Probabilidades - parte 4 (ISMT)
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CET – Curso de Especialização Tecnológica
Ano Lectivo 2009/2010
Métodos Computacionais e Estatísticos
Professor: João Leal
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2. Probabilidades
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• Uma distribuição de Bernoulli resulta de um experiênciaaleatória que origina apenas dois resultados possíveis:“sucesso” e “fracasso”.
• Seja X uma v.a. com uma distribuição Bernoulli. Se pdesigna a probabilidade de sucesso e a probabilidade defalha é (1-p)=q, a função massa de probabilidade deBernoulli é
ou
em que X assume o valor 1 se ocorrer sucesso e o valor 0 seocorrer fracasso. Escreve-se X~Bernoulli(p).
DistribuiDistribuição BernoulliBernoulli
pXPqpXP )1()1()0( e
1,0,)1()( 1 xppxXP xx
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• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli eprobabilidade de sucesso igual a p. A média seráigual a
e a variância
pppxXPxXEX
X )1()1)(0()()(
)1()1()1()0(
)()(])[(
22
222
pppppp
xXPxXEX
XXX
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• Seja X uma v.a. com distribuição Bernoulli eprobabilidade de sucesso igual a p. A média seráigual a
e a variância
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• O número de sequências com x sucessos em nexperiências independentes é igual a:
onde n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 1 e 0! = 1.
• Estas sequências são mutualmente exclusivas dadoque nenhuma das duas pode ocorrer ao mesmo tempo.
)!(!
!
xnx
nCn
x
nxC
SequênSequências de x sucessos em n experiências
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• Suponha que uma experiência aleatória pode resultar emdois resultados mutualmente exclusivos e colectivamenteexaustivos, ou seja, em sucesso e fracasso. Represente-sepor p a probabilidade de sucesso em cada ensaio. Se aexperiência aleatória for repetida n vezes, a distribuição donúmero de sucessos “x” é chamada de distribuição binomial.
• A função massa de probabilidade para uma v.a. binomial X =x (sendo x = número de sucessos em n experiênciasindependentes):
para x = 0, 1, 2 . . . , n. Escreve-se .
)()1()( xnxnx ppCxXP
DistribuiDistribuição BinomialBinomial
),(~ pnBX
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• Seja X o número de sucessos de n experiênciasindependentes, cada uma com probabilidade de sucessop. Então, X segue uma distribuição binomial com média,
• e variância,
DistribuiDistribuição BinomialBinomial
)1(])[( 22 pnpXE XX
npXEX )(
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• Suponha que uma amostra aleatória de n objectos éescolhida de um grupo de N, S dos quais são sucessos. Adistribuição de número de X sucessos na amostra échamada de distribuição hipergeométrica. A sua funçãomassa de probabilidade é
• onde x pode tomar qualquer valor inteiro do maior de 0 e [n-(N-S)] ao menor de n e S.
)!(!
!)!()!(
)!(
)!(!
!
)(
nNnN
xnSNxnSN
xSxS
C
CCxP
Nn
SNxn
Sx
DistribuiDistribuição HipergeométricaHipergeométrica
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Assuma que um intervalo é dividido num grande número desubintervalos tal que a probabilidade da ocorrência de um eventoem cada subintervalo é muito pequena. Uma aplicação comum dadistribuição Poisson é fornecer a probabilidade de um certonúmero de eventos ocorrerem num dado período tempo.
As hipóteses de uma distribuição de Poisson são:
A probabilidade da ocorrência de um evento é constante paratodos os subintervalos;
Não pode haver mais do que uma ocorrência em cadasubintervalo;
As ocorrências são independentes; ou seja, o número deocorrências em intervalos sem sobreposição são independentes.
DistribuiDistribuição de de PoissonPoisson
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• Diz-se que a v.a. X segue uma distribuição de Poisson, X~ P(), se tem função massa de probabilidade:
onde• P(x) é a probabilidade de x sucessos num dado
período de tempo ou espaço, dado • é a taxa média de sucessos por unidade de tempo ouespaço; > 0• e = 2.71828 (base do logaritmo natural)
• A média e a variância da distribuição de Poisson são:
1,2,...0,xpara
,!
)(x
exXP
x
])[()( 22 XEandXE xx
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• Seja x o número de sucessos resultante de n experiênciasindependentes, cada uma com probabilidade de sucesso p. Adistribuição do número de sucessos X é binomial com média np.
• Se n é grande (n≥20) e p pequeno (p0.1), esta distribuiçãopode ser aproximada pela distribuição de Poisson com = np. Afunção massa de probabilidade da distribuição de aproximação éentão:
1,2,...0,xpara
,!
)()(
x
npexP
xnp
AproximacãoAproximacão da distribuida distribuição Binomial Binomial à de à de PoissonPoisson
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DistribuiDistribuição NormalNormal
• Suas média, mediana e moda são iguais.
• Tem forma de sino e é simétrica em torno da média.
• A área total sob a curva é de 100%.
x
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• À medida que a curva se afasta da média, aproxima-secada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.
• Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontosde inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontosde inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles.
x
Ponto de inflexãoPonto de inflexão
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12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20
Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes
Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão
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2012 15 1810 11 13 14 16 17 19 21 229
Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes
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Cerca de 96% da área está a dois desvios padrão.
Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média.
Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média.
68%
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a distribuição das médias da amostra de tamanho n será normal, com média
e desvio padrão
O O TeoremaTeorema do do LimiteLimite CentralCentral
x
Se uma amostra de qualquer tamanho for tirada de uma população com distribuição normal, média = e desvio
padrão =
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