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Coordenadoria de Matemática
Apostila de Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende
Rony Cláudio de Oliveira Freitas
Vitória – ES
Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende Rony Cláudio de Oliveira Freitas ______________________________________ _____________________________
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CAPÍTULO 03 1. INTRODUÇÃO Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático que permite explicar, da melhor forma possível, este fenômeno. Os fenômenos são classificados em dois tipos: Fenômenos determinísticos e Fenômenos aleatórios. 1.1. Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições
iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfície e anotar tempo t de queda livre. 1.2. Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais
podem conduzir a mais que um resultado. Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida útil de uma lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um determinado dia, etc. O objetivo do estudo da teoria das probabilidades são fenômenos aleatórios, e vamos nos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados experimentos. 2. TEORIA DAS PROBABILIDADES Como o objetivo do nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 2.1. Espaço amostral :É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, e será denotado por S. Exemplos : Considere os experimentos a) Lançar uma moeda e anotar a face superior.
S= {ca, co} b) Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior.
S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
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c) Instalar uma lâmpada em um soquete e anotar o tempo que a lâmpada leva para
queimar. S= { }0| ntRt ≤≤∈ , n é o tempo que a lâmpada queima.
2.2. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. Exemplos: a) No lançamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo número da face
superior é par. A= { 2, 4, 6} b) No lançamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo número
da face superior do dado é maior que 4. B= {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)}
A seguir , apresentamos um modelo matemático adequado à representação da relação entre o espaço amostral e o evento
3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Existem três formas de se definir a probabilidade, a escolha da forma depende da natureza da situação. 3.1. Probabilidade Clássica Aplicam-se a situações em que os resultados que compõe o espaço amostral ocorrem com a mesma probabilidade. Nesta situação a probabilidade de um determinado evento é definida coma sendo a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.
S A
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)(
)()(
Sn
AnAP =
Desta definição podemos observar que: a) 1)(0 ≤≤ AP ; b) 1)( =SP ; c) Se φ=A , então 0)( =AP d) 1)()( =+ APAP , sendo A a representação do conjunto “Não A” Exemplo : No lançamento de um dado e observar a face superior deste dado, determine a probabilidade de ocorrer um número par. S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A= {2, 4, 6} então n(S) = 6 e n(A) = 3 P(A) = 3/6 =1/2 3.2. Probabilidade pela freqüência relativa Deve ser aplicada quando um experimento é observado e a freqüência com que determinado evento ocorre nesta observação, esta probabilidade é sempre estabelecida por uma criteriosa pesquisa onde as freqüências são estabelecidas. Exemplo Observa-se que dos 1000 clientes que vão a um supermercado e compram um produto, 500 deles compram o produto da marca A. Podemos estabelecer então que aprobabilidade de um consumidor que compra o produto, comprar o produto da marca A e: P(A)= 500/1000 = 1/2 . 3.3. Probabilidade subjetiva Em situações em que o experimento se repete com uma certa regularidade mas não há possibilidade de repeti-lo sucessivamente um número razoável de vezes e nem aplicar a forma clássica, então se faz uma avaliação subjetiva da probabilidade. Exemplo: A probabilidade de uma pessoa engordar ao comer pizza regularmente durante um ano sem uma queima de calorias adequadas é de 0,8 ou 80%. Esta probabilidade é totalmente subjetiva e foi estabelecida sem nenhum critério cientifico.
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4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS
)(
)()()()(
)(
)()(
SN
BANBNANBAP
SN
BANBAP
IU
UU
−+=
=
)()()()( BAPBPAPBAP IU −+= Quando φ=BAI , ,0)( =BAP I então:
)()()( BPAPBAP +=U Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Seja A: saída de um rei B: saída de uma carta de espadas
52
4)(},,,{ =→= APRRRRA pceo
52
13)(},,2,{ =→= BPRAB eee L
52
1)( =BAP I
logo: )()()()( BAPBPAPBAP IU −+=
52
1
52
13
42
4)( −+=BAP U
52
16)( =BAP U
5. PROBABILIDADE CONDICIONADA
Vamos analisar a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao acaso, com ou sem
reposição. Suponha a seguinte situação: um lote de peças tem 80 peças defeituosas e 20 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote:
A B BAI
S
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a) com reposição; b) sem reposição. A = {a primeira peça é defeituosa}; B = {a segunda peça é defeituosa}. Se estivermos extraindo com reposição , P(A)=P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão imediatos. É ainda verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5, mas para calcularmos P(B) devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido.
No exemplo acima P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então para a Segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas.
Nota: Sempre que calcularmos P(B|A), estaremos essencialmente calculando P(B) em relação ao espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S.
A parte de B que esta contida em A é representada por BAI . Concluímos que:
0)(;)(
)(
)(
)()(
)(
)(
)()/( ≠=== AP
AP
BAP
SN
ANSN
BAN
AN
BANABP
I
I
I
)(
)()/(
AP
BAPABP
I=
B A
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Exemplo: considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte
Total H 40 60 100 M 70 80 150 Total 110 140 250 Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher? Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de
150
80 e representamos 150
80)/( =MQP
Observamos, porém, que 250
80)( =QMP I e
250
150)( =MP . Para obtermos o resultado do
problema basta considerar que:
150
80
250
150250
80
)(
)()/( ===
MP
QMPMQP
I
5.1. Teorema Da Multiplicação
Uma conseqüência importante da definição acima é a seguinte:
)(
)()/(
AP
BAPABP
∩= )/().()( ABPAPBAP =∩⇒
)/().()()(
)()/( BAPBPBAP
BP
BAPBAP =∩⇒
∩=
Em particular quando os eventos A e B são independentes, )()/( APBAP = ou
)()/( BPABP = temos:
)().()( BPAPBAP =I
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5.2. Teorema da Probabilidade Total
Dizemos que os eventos B1, B2, ...,Bk representam uma partição do espaço amostral S, quando a) φ=∩ ji BB para ji ≠ .
b) Uk
ii SB
1
.=
= (união de todos os iB )
c) OBP i >)( para todo i. Vamos ilustrar a situação para um K = 5.
Considerando A um evento qualquer de S e B1, B2, B3, B4 e B5 uma partição de S temos:
)()()()()( 54321 BABABABABAA ∩∪∩∪∩∪∩∪∩= como ))...(( 51 BABA ∩∩ são dois a dois mutuamente excludentes temos:
)()()()()()( 54321 BAPBAPBAPBAPBAPAP ∩+∩+∩+∩+∩= Generalizando temos:
)(...)()()( 21 kBAPBAPBAPAP ∩++∩+∩= Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total. Ele é utilizado quando P(A) é difícil de ser calculada diretamente, porém simples se for usada a relação acima. Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amaralas. Uma Segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade:
AB2
B1 B3
B4
B5
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a) da bola escolhida ser da da urna I e branca? b) da bola escolhida ser branca? c) Se a bola escolhida foi branca, qual a probabilidade que tenha sida escolhida uma bola da
urna I Para resolver este problema vamos usar um modelo matemático conhecido como diagrma de árvore, que auxilia a resolução dos problemas de probabilidade quando é possível fragumentar um experimento em outros experimentos sucessivos.
a)
10
3
5
3
2
1)/()()( =⋅=⋅= IBPIPBIP I
b) 30
19
12
4
10
3
6
4
2
1
5
3
2
1)()()( =+=⋅+⋅=+= BIIPBIPBP II
c) 19
9
30
1910
3
)(
)()/( ===
BP
BIPBIP
I
I II
3B 2A
4B 2A
P(I)=1/2
. P(II)=1/2
II
I
P(B/I)=3/5 B
A
P(A/I)=2/5
B
A
P(B/II)=4/6
P(B/II)=2/6
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6. EXERCÍCIOS 1) Lance um dado e uma moeda
a) Construa o espaço amostral b) Enumere os seguintes eventos
A = { coroa, marcada por um número par} B = { cara, marcado por um número impar} C = { múltiplo de 3 }
c) Expresse os eventos I) B II) A ou B ocorrem III) B e C ocorrem IV) BA∪
2) Se 4
1)(;
2
1)( == BPAp e A e B são mutuamente exclusivos, calcular:
a) )(AP b) )(BP c) )( BAP ∩ d) )( BAP ∪ e) )( BAP ∩ 3) Se
4
1)(
3
1)(;
2
1)( =∩== BAPeBPAP , calcule:
a) )( BAP ∪ b) )( BAP ∪ c) )( BAP ∩ 4) Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número para aparecer no lançamento de um dado não viciado. b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho. c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas. d) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de “n” moedas. e) Duas copas aparecem ao retira-se duas cartas de um baralho. f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um
baralho. 5) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 50. Qual a
probabilidade de que: a) O número seja divisível por 5. b) Terminar em 3. c) Ser primeiro; d) Ser divisível por 6 ou por 8.
6) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de
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um baralho. 7) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4. b) A soma ser 9. c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo.
8) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10?
9) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma
peça é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
10) Considere os mesmos lotes do problema anterior. Retiram-se duas peças são acaso. Qual a probabilidade de que : a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita.
11) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de : a) Todas pretas; b) Exatamente uma branca; c) Ao menos uma preta.
12) numa classe existem 5 alunos do 4º anos, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º ?
13) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Economia, 150 estudam Ciências Contábeis
e 10 estudam Economia e Ciências Contábeis. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) Ele estude somente Economia? b) Ele não estude Economia, nem Ciências Contábeis? c) Ele estude Economia ou Ciências Contábeis?
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d) Ele não estude Economia ou estude Ciências Contábeis? 14) Dado
4
1)(
3
1)(;
2
1)( =∩== BAPeBPAP , calcular:
a) )/( BAP b) )/( ABP c) )/( BBAP ∪ 15) Façam A e B serem dois eventos com
4
1)(
3
1)(;
2
1)( =∩== BAPeBPAP . Encontre
)/()/( ABPeBAP . 16) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente
10
7
6
4,
3
2e .
Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar c) todos errarem.
17) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5
brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?
18) Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,5.
Qual á a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 19) Uma urna contém 1 bolas pretas e 5 vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola
retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual ‘a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E neta ordem 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a Segunda seja preta?
20) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 4
3 e de seu marido é 5
3 . Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo; b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos.
21) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente
da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:
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a) a Segunda bola seja vermelha; b) ambas as bolas sejam da mesma cor. c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja
vermelha; d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas.
22) Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que
6? 23) Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos,
qual a probabilidade de que venha Ter dois filhos de sexos diferentes? 24) Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm olhos
cinzas, 2 têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso: a) não Ter olhos castanhos? b) Ter olhos verdes ou azuis?
25) Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e
96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidades de: a) não ater sangue do tipo A; b) Ter sangue tipo B; c) Ter sangue tipo AB; d) Ter sangue tipo A ou B ou AB; e) Ter sangue tipo O
26) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso,
observa-se que a mesma traz um número impar. Determine a probabilidade de que esse número seja menor que 5.
27) De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas serão extraídas
sucessivamente, sem reposição, duas bolas. a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a Segunda ser
também amarela? b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes?
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d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a Segunda amarela? e) Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor?
28) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2
brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola, também ao acaso. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?
29) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no mês de outubro.
Qual a probabilidade de chover nos dias 1º e 2 de outubro? 30) Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a
clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica, são: Moléstia X : 0,8 Moléstia Y : 0,9 Moléstia Z: 0,95 Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a moléstia Y?
31) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 peças defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
32) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B,
existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C, existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos três lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser:
a) boa? B) defeituosa?
33) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são P(A) = 1/3 e P(B) = 3/5. Qual a probabilidade de que:
a) Ambos resolvam o problema? b) Ao menos um resolva o problema?
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c) Nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema ma B não? e) B resolva o problema mas A não?
34) Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor?
35) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é
correta. Para alguém que esteja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de
a) acertar os 5 testes? b) errar os 5 testes? c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes?
36) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comparando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de:
a) nenhum ser premiado? b) Apenas um ser premiado?
37) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela
Azuis Castanhos
Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3
a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a
probabilidade dela ser 1) morena de olhos azuis 2) morena ou Ter olhos azuis?
b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?
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7-RESPOSTAS
5) a. 1/5 b. 1/10 c. 3/10 d. 6/25 6) 4/3 7) a. 1/12 b. 1/9 c. 5/12 8) 4/45 9) a. 7/8 b.5/8 c.3/4 10) a. 3/8 b. 7/8 c. 91/120 d. 1/8 11) a. 4/33 b. 5/11 c. 31/33 12) 5/22 13) a. 7/50 b.14/25 c.11/25 d. 43/50 14) a.3/4 b. 1/2 c. 1 15) 5/8 e 5/6 16) a. 56/180 b. 38/180 c. 1/30 17) 35/108 18) 5/9 19) 25/1848 25/1848 6/11 20) a. 3/20 b. 3/10 c. 18/20 d. 9/20 21) a. 35/72 b.13/36 c. 4/7 d. 3/13 22) 5/18 23) 1/2 24) a. 5/11 b. 3/22 25) a. 17/20 b. 3/25 c. 1/25 d. 31/100 e. 69/100 26) 1/3 27) a. 1/5 b. 1/15 c. 2/25 d. 4/15 e. 8/15 28) a. 3/14 b. 33/56 c. 4/11 29) 2/93 30) 0,42 31) 3/118 32) a. 53/60 b. 7/60 33) a. 1/5 b. 11/15 c.4/15 d. 2/15 d. 2/5 34) 1/6 35) a. 1/1024 b. 243/1024 c. 81/1024 d. 405/1024 36) a. 130/203 b. 65/203
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17
37) a. 1. 2/25 a.2. 19/25 b. 7/13 8-BIBLIOGRAFIA TRIOLA, Mario F. Introdução a Estatística. 7 ed – Rio de janeiro: LTC , 1999. STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Editora Harbra LTDA, 1988. CRESPO, Antônio Armont. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1996. SILVA, Medeiros da Silva, SILVA, Elio Medeiros, GONÇALVES, Valter, MUROLO, Antônio Carlos. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2a ed, Vol 1 e 2. São Paulo: Editora Atlas S.A, 1997.