Probabilidade parte 2 - Campus Sertão · Uma família planejou ter 3 crianças. Qual ... de...

Probabilidade – parte 2

Robério Satyro

Definição de probabilidade

Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento deuma moeda perfeita.

Nesse caso, temos:

• = {C, C} p() = 1

• Os subconjuntos de são , {C}, { C} e {C, C}.

Assim:

p() = 0 p(C) =𝟏

𝟐p( C) =

𝟏

𝟐p(C, C) = 1

Vemos que p(A) 0, para todo A .

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Definição de probabilidade

Considerando A = {C} e B = { C}, vemos que:

A B = e p(A B) = p({C} { C}) = p(C, C)

= p() = 1 =1

2+

1

2= p({C}) + p({ C}) = p(A) +

p(B).

Assim, podemos teoricamente considerar

probabilidade como uma função definida nas

partes de um conjunto () com valores reais.


Propriedades

Podemos então definir as seguintes

propriedades:

P1: p(A) 0, para qualquer A ;

P2: p() = 1;

P3: p(A B) = p(A) + p(B), quando A B = .


Consequências

Como consequências da definição de probabilidade,temos as seguintes propriedades:

• 1ª propriedade: Impossibilidade ou p() = 0

Como um evento qualquer A (A ) pode serescrito como A e como A = , podemosaplicar a propriedade P3 e temos:

p(A) = p(A ) = p(A) + p() p() = 0


p() = 0

Consequências

• 2ª propriedade: Probabilidade do eventocomplementar

Observe que, sendo A a notação para“complementar de A”, temos:

A A = e A A =

Logo:

p() = p(A A )

Aplicando P2 e P3, temos:

1 = p(A) + p( A) p( A) = 1 - p(A)


p( 𝐀) = 1 - p(A)

Consequências

• 3ª propriedade: Probabilidade da união

de dois eventos

Admitiremos sem justificativas que:

p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) -

probabilidade da união de dois eventos

quaisquer.


p(A B) = p(A) + p(B), quando A B =

Vamos praticar...

No lançamento simultâneo de dois dados

perfeitos distinguíveis, qual é a

probabilidade de não sair soma 5?

Nesse caso, o espaço amostral tem 36

elementos:

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ...,(6, 5), (6, 6)}


Vamos praticar...

Seja A o evento “sair soma 5”;

A = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)} n(A) = 4

p(A) =n(A)n()

4

36

1

9

p( A) = 1 - p(A) 1 -1

9=

9 −1

9=

𝟖

𝟗

A probabilidade de não sair soma 5 é𝟖

𝟗.


Vamos praticar...

Ao retirar uma carta de um baralho de 52

cartas, qual é a probabilidade de que essa

carta seja vermelha ou um ás?

Evento V: “a carta é vermelha”;

Evento A: “a carta é ás”

Evento (V A): “a carta é vermelha ou ás”

p(V A) = p(V) + p(A) – p(V A)


Vamos praticar...

Num baralho de 52 cartas, há 26 cartas vermelhas e26 cartas pretas. Há também 4 ases, dos quais 2 sãovermelhos.

Logo:

p(V) =26

52=

1

2

p(A) =4

52=

1

13

p(V A) =2

52=

1

26Assim:

p(V A) =1

2+

1

13-1

26=

14

26=

7

13

A probabilidade de a carta ser vermelha ou ás é de𝟕

𝟏𝟑.


Vamos praticar...

Uma máquina produz 50 parafusos dos quais 5 eramdefeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual é aprobabilidade de que:

a) Os três sejam perfeitos?

n() = 503

=50!

3!47!=

50 . 49 . 48 . 47!

3 . 2 . 47!= 50 . 49 . 8

Evento A: os três parafusos são perfeitos, como sãoperfeitos retiramos os 5 defeituosos dos 50 ecombinamos 3 a 3.

n(A) = 453

=45!

3!42!

45 . 44 . 43 . 42!

3 . 2 . 42!= 15 . 22 . 43

p(A) =15 . 22 . 43

50 . 49 . 8 0,72398 72%


Vamos praticar...

b) Os três sejam defeituosos

Evento B: os três parafusos são

defeituosos, que pode ocorrer de 53

maneiras. Logo:

n(B) = 53

=5!

3!2!=

5 . 4 . 3!

3! . 2= 10

p(B) =10

50 . 49 . 8=

1

1960 0,0005 0,05%


Vamos praticar...

c) Pelo menos um seja defeituoso?

Evento C: “pelo menos um é defeituoso”,

que é o complementar do evento A: “os três

são perfeitos” (que é o mesmo que “nenhum

é defeituoso”). Logo:

p(E) = p( A) = 1 – p(A) 1 – 0,72398

0,27602 28%


Probabilidade Condicional

Analisemos a seguinte situação:

Uma moeda é lançada três vezes. Nesse casoo espaço amostral é:

= {CCC, CC C, C CC, C C C, CCC, CC C, C CC, C C C}

Consideramos o evento A: sair caraexatamente duas vezes.

Então:

A = {CC C, C CC, CCC} p(A) =3

8



Agora, consideremos que, ao ser lançada amoeda três vezes, “o resultado do primeirolançamento foi cara”. Qual é a probabilidade desair cara exatamente duas vezes?

O espaço amostral passa a ser B com:

B = {CCC, CC C, C CC, C C C} e A’ = {CC C,C CC} em que A’ = A B e a probabilidadepedida é:

p(A’) =n(A’)n(B)

=2

4=

𝟏

𝟐



Observe que a probabilidade do evento “saircara em ambos os lançamentos” foi modificadapela presença do evento condicionante “oresultado do primeiro lançamento foi cara”.

Definimos:

• Evento A: exatamente dois dos trêslançamentos dão cara.

A = {CC C, C CC, CCC}

• Evento B: o primeiro lançamento dá cara.

B = {CCC, CC C, C CC, C C C}



Denotamos por A/B o “evento A

condicionado ao fato de que o evento B já

ocorreu” e por p(A/B) a probabilidade

condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

p(A/B) é a probabilidade de sair cara

exatamente duas vezes, tendo saído cara

no primeiro lançamento.



Vimos que:

p(A/B) = p(A’) =1

2Então:

p(A/B) =n(A’)n(B)

=n(A B)

n(B)Dividimos ambos os termos da fração por n() 0, temos:

p(A/B) =

n(A B)n()n(B)n()

=p(A B)

p(B)

Logo:


p(A/B) = p(A B)

p(B)

p(A B) = p(A/B) . p(B)

Vamos praticar...

Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é

a probabilidade de que a família tenha 3

homens, já que a primeira criança que

nasceu é homem?

Nesse caso, chamando M: mulher e H:

homem, temos:

= {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH,

HMH, MHM} n() = 8


Vamos praticar...

Evento A: a família tem 3 homens A =

(HHH)

Evento B: a primeira criança é homem B

= {HHH, HHM, HMH, HMM}

A B = {HHH}; p(A B) = 1

8; p(B) =

4

8=

1

2

p(A/B) = p(A B)

p(B)=

1

81

2

= 𝟏

𝟒


Vamos praticar...

As pesquisas de opinião apontam 20% da

população é constituída de mulheres que

votam no partido X. Sabendo que 56% da

população são mulheres, qual a probabilidade

de que uma mulher selecionada ao acaso da

população toda vote no partido X?

B: pessoa escolhida mulher

A: a pessoa vota no partido X

A B: mulher que vota no partido X


Vamos praticar...

Procuramos p(A/B).

p(B) = 0,56, que é equivalente a dizer que 56%da população são mulheres.

p(A B) = 0,2, que é equivalente a dizer que20% da população são mulheres que votam nopartido X.

Portanto, p(A/B) =0,2

0,56= 0,35, que é

equivalente a dizer que 35% das mulheresvotam no partido X.


Eventos Independentes

A independência de eventos é muito

importante em probabilidade. Após analisar

um exemplo, definiremos o que são

eventos independentes.

Consideremos o experimento “lançar dois

dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A

o evento “sair o 6 no 1º dado” e B, “sair o 3

no 2º dado”.



Observemos que:

n() = 36

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}

p(A) = 6

36=

1

6

p(B) = 6

36=

1

6

A B = (6, 3) = p(A B) = 1

36

p(B/A) = p(B A)

p(A)=

1

361

6

= 1

6



Assim, p(B) = p(B/A) =1

6, ou seja, a

probabilidade de “sair 3 no 2º dado” não foiafetada pelo fato de “sair 6 no 1º dado”, ou,ainda a probabilidade de ocorrer B nãodependeu da ocorrência de A.

Nesse caso, dizemos que A e B sãoeventos independentes. A probabilidadede ocorrer um deles não depende do fato deter ou não ocorrido o outro.



Dessa forma, também é verdade que p(A) =p(A/B).

Assim, como p(A/B) =p(A B)

p(B), temos:

p(A B) = p(A/B) . p(B) = p(A) . p(B)

Logo, o fato de A e B serem eventosindependentes é equivalente a dizer que p(A B) = p(A) . p(B).



Poderíamos, então, dar a definição:

Com isso, podemos afirmar que dois

eventos A e B são dependentes quando

p(A B) p(A) . p(B)


Dois eventos A e B de um espaço amostral (com p(A) 0 ep(B) 0) são independentes se, e somente se, p(A/B) = p(A),ou de modo equivalente:p(A B) = p(A) . p(B)

Vamos praticar...

Consideremos um cria de cachorros com 3

filhotes. Sejam os eventos A: obtenção de

pelo menos dois machos e B: obtenção de

pelo menos um de cada sexo. Os eventos A

e B são independentes?


Vamos praticar...

m: macho; f: fêmea

= {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}

A = {mmm, mmf, mfm, fmm} p(A) =1

2

B = {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm } p(B) =3

4

A B = {mmf, mfm, fmm} p(A B ) =3

8

Vemos que3

8=

1

2.3

4.

Como p(A B) = p(A) . p(B), temos que A e Bsão independentes.


Método Binomial

• O método do produto probabilidades é

usado, por exemplo, quando se quer

saber qual a probabilidade de, numa

família, todas as crianças serem meninos

ou todas serem meninas. Se uma casal

planejou ter 4 filhos, a probabilidade de

que todos sejam meninos é:


16

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Método Binomial

• Quando há mistura de sexos, por exemplo

3 meninos e 1 menina, 2 meninas, etc. e

não se especifica a ordem de ocorrência,

podemos usar o método binomial.

• Vejamos agora por meio de exemplos, no

que consiste o método binomial e quando

podemos usa-los.


Método Binomial

• 1º) Consideremos uma família com duas

crianças. Se representarmos o

nascimento de um menino por M e o

nascimento de uma menina por F, temos:


Método Binomial


;2

1)( pMp ;

2

1)( qFp

1 qp

},,,{ FFFMMFMM

Método Binomial

• Como sabemos que cada nascimento é

independente de nascimentos anteriores,

temos:


Método Binomial


4

1)()((MM) p²ppMpMpp

4

1

2

1

2

1)()((MF) qpFpMpp

4

1

2

1

2

1)()((FF) ² qFpFpp

4

1

2

1

2

1)()((FM) pqMpFpp

Método Binomial

• Observe que a probabilidade total é igual

a 1:


14

1

4

1

4

1

4

1

Método Binomial

• Se não considerarmos a ordem em que

ocorrem os nascimentos, podemos

escrever:

• Onde p² é a probabilidade de nascerem

meninos, 2pq é a probabilidade de

nascerem 1 menino e 1 menina e q² é a

probabilidade de nascerem 2 meninas.


1²2² qpqp

Método Binomial

• p² é a probabilidade de nascerem

meninos, ou seja:


4

1

2

1

2

1

Método Binomial

• A probabilidade de nascerem 1 menino e

1 menina( desconsiderando a ordem) é

2pq, ou seja:


2

1

2

1

2

12

Método Binomial

• A probabilidade de nascerem 2

meninas é q², ou seja:


4

1

2

1

2

1

Método Binomial

• Observemos que:


²12²1 qpqp

²2

221

²20

qpqp

1²1)²( qp

Método Binomial

• Em uma família, a probabilidade de

nascerem n crianças, das quais k sejam

meninos e n-k sejam meninas, é dada

por:


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

Método Binomial

• Quando usamos essa fórmula, dizemos

que estamos aplicando o método

binomial.

• Essa probabilidade é um termo da

expansão binomial


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

nqp )(

Método Binomial

• 1º) uma casal pretende ter 5 filhos e

deseja saber qual é a probabilidade de ter:

• a) 5 meninos;

• b) 2 meninos e 3 meninas;

• c) 1 menino e 4 meninas;

• d) 3 meninos e 2 meninas


Método Binomial

• a) qual é a probabilidade de ter 5

meninos?


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

Método Binomial


25151050 ²5

251

50

qpqpqp

555454353 5

554

53

qpqpqp

Método Binomial


34150 ²)!25(!2

!5

)!15(!1

!5

)!05(!0

!5qpqpqp

051423

)!55(!5

!5

)!45(!4

!5

)!35(!3

!5qpqpqp

Método Binomial


34150 ²1051 qpqpqp

051423 1510 qpqpqp

Método Binomial

• a) qual é a probabilidade de ter 5

meninos?

;


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

5p2

1p

32

1

2

15

Método Binomial

• b) qual é a probabilidade de ter 2 meninos

e 3 meninas?


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

2

1 qp

16

5

2

1

2

110

32

;²10 3qp

Método Binomial

• c) qual é a probabilidade de ter 1 menino

e 4 meninas?


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

2

1 qp

32

5

2

1

2

15

41

;5 41qp

Método Binomial

• d) qual é a probabilidade de ter 3 meninos

e 2 meninas?


knkqpnk

knkp

meninas) meninos, (

2

1 qp

16

5

2

1

2

110

32

;10 23qp

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