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Probabilidade I

Departamento de Estatıstica

Universidade Federal da Paraıba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25

Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos



Para apresentar os conceitos basicos de probabilidade, usaremosalgumas ideias da teoria de conjuntos.

Um conjunto e uma colecao de objetos, representados por letrasmaiusculas A, B, etc.

Existem tres maneiras de descrever que objetos estao contidosno conjunto A:

1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = 1,2,3,4.2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A e formado pelas

notas dos alunos aprovados em Probabailidade I.

3 A = x |0 ≤ x ≤ 1; A e o conjunto de todos os numeros reais entre0 e 1.



Algumas Notacoes Importantes:

A notacao ω ∈ A significa que ω e um elemento de A.

A notacao ω /∈ A significa que ω nao pertence a A.

Para representar um conjunto, tambem usaremos anotacaoω : p(ω), onde p(ω) e uma proposicao concernete a ω,e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) everdadeira.

Exemplo: ω : ω = 2k ; k = 1,2, . . . e o conjunto de todos osinteiros positivos pares.



Definicao 1.3: Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A e umsubconjunto de B, denotado por A ⊂ B, se cada elemento de A etambem um elemento de B (w ∈ A→ w ∈ B).

Definicao 1.4: (Igualdade entre conjuntos) A e B sao iguais se, esomente se, A ⊂ B e B ⊂ A. (w ∈ A←→ w ∈ B).

Como consequencia dessas definicoes, temos os seguintesresultados:

1 Para qualquer conjunto A, ∅ ⊂ A e A ⊂ A.

2 Se A nao e um subconjunto de B, entao existe pelo menos umw ∈ A tal que w /∈ B.

3 Se A nao e igual a B, entao existe pelo menos um w ∈ A tal quew /∈ B ou um w ∈ B tal que w /∈ A .

4 Se A ⊂ B e B ⊂ C, entao A ⊂ C.



1.1 Algumas operacoes entre conjuntos

1 UNIAO: A ∪ B = w ∈ Ω : w ∈ A ou w ∈ B (ou ambos)A ∪ B sera formado por todos os elementos que estejam em A, ouem B, ou em ambos (adicao).

2 INTERSECAO: A ∩ B = w ∈ Ω : w ∈ A e w ∈ BA ∩ B sera formado por todos os elementos que estejam em A eem B (multiplicacao).

3 COMPLEMENTAR: Ac = w ∈ Ω : w /∈ AAc sera formado por todos os elementos de Ω que nao estejamem A.

4 DIFERENCA: A− B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ BA− B sera formado por todos os elementos de A, exceto os quetambem estejam em B (A− B = A ∩ Bc).



1 DIFERENCA SIMETRICA:A∆B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ B ou w /∈ A e w ∈ BA∆B sera formado por todos os elementos de A ∪ B, exceto osque estejam em A ∩ B (A∆B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B)).

Observacao 1.8: As operacoes de uniao e intersecao podem serestendidas a mais de dois eventos.

A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An oun⋃

i=1

Ai

A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An oun⋂

i=1

Ai

IMPORTANTE: Uma representacao grafica utilizada para uma melhorvisualizacao das operacoes entre eventos e o diagrama de Venn.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos sao disjuntos oumutuamente exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosPARTICAO:Diremos que A1, . . . ,An formam uma particao de Ω se sao disjuntos ese sua uniao e Ω.

n⋃i=1

Ai = Ω, com Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j .


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.6: (Espaco produto) Sejam Ω1 e Ω2 dois espacosamostrais. O espaco produto Ω = Ω1 × Ω2 e dado por:

Ω1 × Ω2 = (w1,w2) : w1 ∈ Ω1 e w2 ∈ Ω2

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

ExeperimentoExeperimento:: Dois dados são jogados e as faces são

observadas.

Espaço Amostral (Ω):

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6



Definicao 1.7: (Produto entre eventos) Sejam A ⊂ Ω1 e B ⊂ Ω2. Oevento produto (produto cartesiano), denotado por A× B e dado por

A× B = (w1,w2) ∈ Ω : w1 ∈ A e w2 ∈ B

Exemplo: No lancamento de um dado, considere os eventos: A:observar numero par e B: Observar numero menor que 3. EncontreA× B.

Observacao 1.9: Em geral, A× B 6= B × A.


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos1.2 Algumas propriedades das operacoes entre conjuntos

Algumas importantes propriedades satisfeitas pelos conjuntos,relativas as operacoes definidas anteriormente sao apresentadas aseguir.

Sejam A, B e C subconjuntos de Ω, entao:

Leis da Identidade:

A ∪ = A A ∪ Ω = Ω

A ∩∅ = ∅ A ∩ Ω = A

Leis do Complemento:

A ∪ Ac = Ω A ∩ Ac = ∅

(Ac)c = A ∅c = Ω

Ωc = ∅Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 18 / 25


1.2 Algumas propriedades das operacoes entre conjuntos

Leis Comutativas:

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

A∆B = B∆A A− B 6= B − A

Leis Associativas:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A∆(B∆C) = (A∆B)∆C A− (B − C) 6= (A− B)− C



Leis Distributivas:

A∪ (B ∩C) = (A∪B)∩ (A∪C) A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)

A∩ (B−C) = (A∩B)− (A∩C) A− (B∪C) 6= (A−B)∪ (A−C)

A− (B ∩C) 6= (A−B)∩ (A−C) A∩ (B∆C) = (A∩B)∆(A∩C)

A ∪ (B − C) = (A ∪ B)− (C − A) 6= (A ∪ B)− (A ∪ C)

A ∪ (B∆C) 6= (A ∪ B)∆(A ∪ C)

Outras propriedades

1 A ⊂ (A ∪ B) e B ⊂ (A ∪ B)

2 (A ∩ B) ⊂ A e (A ∩ B) ⊂ B3 A ⊂ B ←→ A ∪ B = B4 A ⊂ C e B ⊂ C ←→ (A ∪ B) ⊂ C


Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos(I)(⋃n

i=1 Ai)c

=⋂n

i=1 Aci

(I)(⋂n

i=1 Ai)c

=⋃n

i=1 Aci


Exercıcios1. Uma urna contem duas bolas brancas e tres bolas vermelha. Oexperimento e realizado em duas etapas. Retira-se uma bola aoacaso da urna. Se for branca, lanca-se uma moeda; se for vermelha,ela e devolvida a urna e retira-se outra bola. Anota-se o resultadoobtido. Obtenha o espaco amostral desse experimento.

2. Dois dados sao lancados. Sejam os eventos: A=o primeiro numeroe maior que o segundo, B=o primeiro numero e igual ao dobro dosegundo e C=a soma dos dois numeros e maior ou igual a 8.Descreva os eventos: A, B, C, Ac ∪ B, B ∩ Cc , (Ac)c ∩ C e(A ∩ (B ∪ C))c .


Exercıcios3. Considere os veıculos que trafegam pela BR-230 na altura daUFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir emdirecao a UFPB(R) ou seguir em direcao ao centro (L). Observe adirecao de cada um de 3 veıculos sucessivamente:

1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos osveıculos seguem na mesma direcao.

2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos osveıculos seguem diferentes direcoes.

3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamentedois dos tres veıculos seguem para a UFPB.

4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamentedois veıculos seguem na mesma direcao.

5 Relacione os resultados em Dc , C ∪ D e C ∩ D.


Exercıcios4. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaco amostral, traduzapara a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situacoes:

(a) Pelo menos um dos eventos ocorra.

(b) O evento A ocorre mas B nao.

(c) Nenhum deles ocorre.

(d) Exatamente um dos eventos ocorre.


Introducao


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