Probabilidade e estatística- Mat013 Professora - Hévilla Nobre Cezar [email protected] Mestre...
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Probabilidade e estatística-Mat013
Professora - Hévilla Nobre Cezar
[email protected] em Matemática Aplicada
Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI - ICE
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Ementa Estatística descritiva. Probabilidade. Distribuição de Probabilidade de
variáveis. discretas e contínuas. Amostragem. Distribuição de amostras. Estimativa pontual e intervalar. Teste de Hipóteses. Correlação Linear e regressão.
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Objetivo Dominar os conceitos básicos de
estatística e probabilidade, aplicando-os a situações rotineiras na área de trabalho;
Usar pacotes gráficos e estatísticos para agilizar os resultados de uma análise de dados.
Aprender como tratar estatisticamente os dados provenientes da área de trabalho.
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Bibliografia
Magalhães, M. N. de; Lima, A. C. P., Noções de Probabilidade e Estatística, ed. EDUSP, edição (2004).
Bussab, W. O.; Morettin, P.A.,Estatística Básica, Editora Saraiva, 4ª edição (1987).
Triola, M.F., Introdução à Estatística, 7ª ou 8ª ed., ed.,LTC.
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Estatística
Definição: é a ciência que investiga os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados.
Estatística Descritiva X Estatística Inferencial
população = universo = espaço amostral
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EstatísticaEstatística Descritiva
S
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EstatísticaEstatística Descritiva
S
0
5
10
15
20
Classes F.A. F.R.10 - 20 2 0,0220 - 30 4 0,0430 - 40 6 0,0640 - 50 12 0,1150 - 60 10 0,0960 - 70 25 0,2470 - 80 12 0,1180 - 90 19 0,18
90 - 100 7 0,07100 - 110 5 0,05110 - 120 3 0,03120 - 130 1 0,01
106
• média• moda• mediana• desvio médio• desvio padrão• assimetria
+ +
classe 1 classe 2
100
90
80
70
60
50
+ +
classe 1 classe 2
++ ++
classe 1 classe 2
100
90
80
70
60
50
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Estatística
Inferência estatística é a parte da metodologia da Ciência que tem por objetivo a coleta, redução, análise e modelagem dos dados, a partir do que, finalmente, faz-se a inferência para uma população da qual os dados foram obtidos. Importante - fazer previsões a partir
das quais se podem tomar decisões.
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População e amostra
População (universo) = conjunto de todos os possíveis valores de uma variável ou característica.
Amostra = conjunto de observações extraída de uma população.
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Tipos de Variáveis
Qualitativas – apresentam como possíveis realizações uma qualidade do indivíduo pesquisado
Quantitativas – apresentam como possíveis realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração
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Classificação de uma variável
Variável
Qualitativa
QuantitativaContínua
Discreta
Ordinal
Nominal
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Software Estatístico
Action Excel Minitab
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Apresentação Gráfica
Para variáveis qualitativas Gráficos em barra Gráficos em setores (“pizza”)
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Apresentação Gráfica
Para variáveis quantitativas existe uma variedade de representações gráficas Barras Colunas Gráficos de dispersão Histogramas
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1
2
3
4
535% 25%
20%15%
5%
Gráfico de Setores – para porcentagem
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Distribuição de freqüência
Quando se estuda uma variável, o maior interesse é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações.
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Distribuição de freqüência
Análise da variável – grau de instrução
Grau de instrução
Freqüência
Proporção Porcentagem
Fundamenta
MédioSuperior
983
0,450,400,15
454015
Total 20 1,00 100
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Freqüência
Freqüência( ) – número de vezes que ocorre as realizações.
in
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Proporção ou freqüência relativa
Uma outra medida importante para análise de uma variável, é a proporção de cada realização em relação ao total
Proporção( ) -
onde n = número total de realizações
ifn
nf ii
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Porcentagem
A porcentagem é uma medida útil quando se quer comparar resultados de duas pesquisas distintas.
Definição:
Obs: a porcentagem é a freqüência de uma variável em um total de 100 realizações.
ii fP 100
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Exemplo 1
Exemplo1
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Exemplo
Grau de instrução
Freqüência
Freqüência relativa
Porcentagem
Fundamental
9 0.45 45
Médio 8 0.40 40
Superior 3 0.15 15
Total 20 1.000 100.00
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Gráfico de freqüências
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fundamental médio superior
freqüência
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Medidas de tendência central
Média, Mediana e Moda.
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Medidas de posição
Utilizam-se as medidas de posição para representar o conjunto de dados.
As medidas de posição central são: Esperança ou média Mediana Moda
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Média A Média aritmética de um conjunto de
valores é o valor obtido pela soma dos valores dividida pelo número de total de valores do conjunto.
n
ii
n xnn
xxx
1
1 1...
x – valores distintos de uma variável
n - total de valores do conjunto
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Média Quando os valores possuem
freqüências diferentes, definimos a média da seguinte forma:
if
i
n
iinn xfxfxfxfx
1
2211 ...
Onde, é a freqüência relativa
ix é o valor da variável
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Mediana
A mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando os valores estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente).
2
)(1
22
2
1
nn
n
xx
x
Xmd
Se n ímpar
Se n par
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Moda
A moda de um conjunto de valores é o valor que ocorre com maior freqüência.
Se dois valores ocorrem com mesma freqüência máxima, dizemos que o conjunto é bimodal.
Se mais de dois valores ocorrem com mesma freqüência máxima, dizemos que o conjunto é multimodal.
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Exemplo – variável discretaNúmero
Número de filhos
1 0
2 0
3 1
4 1
5 1
6 1
7 2
8 2
9 2
10 3
11 3
12 4
Moda = 1 Mediana =
1+2/2=1.5 Média = 20/12 =
1.666
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Exemplo – variável contínua
Classes de Salários
Ponto médio
Freqüência Freqüênciarelativa
[4.00 , 8.00) [8.00 , 12.00)[12.00 , 16.00)[16.00 , 20.00)[20.00 , 24.00)
6.0010.0014.0018.0022.00
1012851
0,27780,33340,22220,13890,0278
Total - 36 1,0000
Moda = 10,00 Mediana = 10,00
Média = 6.00 x 0,2778 + 10.00 x 0,3334 + 14.00 x 0,2222 + 18.00 x 0.1389 + 22.00 x 0,0278 = 11,22
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Outras medidas de posição
Quartis, Decis e Percentis
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A média e a moda podem não ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados, pois: São afetadas por valores extremos; Apenas com esses dois valores não
temos idéia da simetria da distribuição dos dados.
Para contornar esses fatos, consideramos outras medidas de posição.
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Quartis, Decis e Percentis
São medidas de posição convenientes para comparar valores dentro de um mesmo conjunto de dados, ou entre conjuntos de dados diferentes.
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Quartis
É uma medida de posição que divide as observações (ordenadas em ordem crescente) em quatro grupos.
Dessa forma, temos três quartis denotados por , e .
2Q 3Q1Q
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Quartis - separa os 25% inferiores dos
75% superiores dos valores ordenados
- é a mediana
- separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos valores ordenados
2Q
1Q
3Q
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Decis
É uma medida de posição que divide as observações em 10 grupos com cerca de 10% das observações em cada grupo.
Demotamos os decis por: D1 - 10%, D2 - 20%, D3 - 30% , D4 - 40%,
D5 - 50% ,
D6 - 60%, D7 - 70%, D8 - 80% e D9 - 90%
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Percentis
Divide os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.
Denotamos por: P1 - 1%, P2 - 2%, , P3 - 3%, ... , P99 -
99%.