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Disciplina: Probabilidade e Estatística

Curso de Pós-Graduação GMA e GMP

FCAV/UNESP – Jaboticabal Prof. Adhemar

PROBABILIDADE

1. EXPERIMENTO

Em pesquisas experimentais faz-se uso de experimentos para a obtenção de

informações (ou dados) sobre algum ente (ou variável) de interesse na pesquisa.

Experimentos são estratégias especiais para se colher dados, podendo ser conduzidos em

condições controladas (fixadas) pelo pesquisador ou apenas de observação da(s)

variável(is) de interesse nas condições onde o experimento naturalmente se desenvolve.

Exemplos de experimentos:

a) plantar milho num pedaço de terra e anotar a produção de grãos em kg/ha;

b) submeter um animal (ex: frango) a um regime alimentar por certo número de dias e

anotar o ganho de peso (em kg) desse animal no período;

c) jogar um dado (faces numeradas de 1 a 6) uma única vez sobre uma superfície plana e

observar o número que ocorre na face voltada para cima;

d) anotar a precipitação de chuva (em mm) no mês de agosto em Jaboticabal;

e) num posto de pedágio, em uma estrada, anotar a quantidade de veículos motorizados que

passam durante 1 hora.

Os três primeiros são experimentos ditos conduzidos, enquanto os dois últimos são

mais apropriadamente vistos como experimentos “de observação”. Todos esses cinco

experimentos são ditos não determinísticos, pois mesmo quando realizados em “igualdade”

de condições, provavelmente não produzirão o mesmo resultado, ou seja, exibirão variação

nos resultados, de realização para realização.

2. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO

Ainda que não seja possível dizer exatamente o resultado que irá ocorrer na

realização de um experimento não-determinístico, é sempre possível listar os possíveis

resultados do experimento. Tal conjunto é chamado de espaço amostral do experimento.

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Exemplo: Referentes aos cinco exemplos anteriores temos os seguintes espaços amostrais:

a) S = [0 ; ) b) S = [0 ; ) c) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) S = [0 ; ) e) S = {1, 2, 3, ...}

Um evento é uma “situação” particular de interesse. Em termos de resultados

possíveis de um experimento, um evento fica caracterizado como um subconjunto do

espaço amostral.

Exemplos:

Em (a) podemos estar interessados em que “a produção de milho seja um valor de

7.000 kg/ha a 10.000 kg/ha”. Esse é o evento, e pode ser caracterizado como o intervalo de

valores reais

A = [7.000 ; 10.000]

que é um subconjunto do espaço amostral S = [0 ; ).

Em (b), o evento “o ganho de peso é um valor de 0,5 kg a 1 kg” equivale ao

subconjunto (intervalo) B = [0,5 ; 1] de S = [0 ; ). Em (c), “o número da face para cima é

um número par ” equivale ao subconjunto C = {2, 4, 6} do espaço amostral S = {1, 2, 3, 4,

5, 6} .

3. OCORRÊNCIA DE UM EVENTO

Diz-se que um evento A ocorre quando o resultado do experimento é um elemento

de A. Por exemplo, se no jogo do dado uma única vez ocorreu o número 4 na face para

cima, então diz-se que o evento A = {2, 4, 6} ocorreu, e o evento B = {5, 6} não ocorreu.

O conjunto vazio, indicado por , por ser subconjunto de qualquer conjunto, será

também considerado um evento, em qualquer experimento. Esse evento é geralmente

denominado de evento nulo porque nunca ocorre, uma vez que, por não possuir elementos,

nunca o resultado do experimento poderá a ele pertencer.

O próprio espaço amostral S, por ser um subconjunto de si próprio, é também

considerado um evento. Ao contrário do anterior, este é denominado de evento certo,

3

porque sempre ocorre, ou seja, o resultado do experimento sempre pertencerá a S em

qualquer realização do experimento.

Notação: A menos que se indique outra notação, usaremos a letra S para indicar um espaço

amostral. Eventos, no geral, indicaremos por letras maiúsculas A, B, C, A1, A2, B1 etc.

4. COMBINAÇÃO DE EVENTOS

À partir de dois ou mais eventos é possível a consideração de novos eventos pelas

operações com conjuntos (reunião, intersecção, diferença, complementar). Esses novos

eventos têm suas interpretações. Assim:

AB (reunião) é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. Portanto, é o

evento que ocorre quando A ocorre ou B ocorre, estando aí implícita a ocorrência de

ambos. Pode também ser interpretado assim: ou só A ocorre ou só B ocorre ou ambos

ocorrem. Na sua composição deve-se colocar todos os elementos de A e de B sem repeti-

los.

AB (intersecção) é o conjunto dos elementos que pertencem a A e a B. Assim, é o

evento que ocorre quando A ocorre e B ocorre (aqui ambos têm que ocorrer, para que a

intersecção ocorra). Na sua composição devem estar somente os elementos que estão em A

e B ao mesmo tempo (simultaneamente).

A (complementar do evento A, em relação ao espaço amostral S) é o conjunto dos

elementos do espaço amostral S que não pertencem a A. Portanto, é o evento que ocorre se

A não ocorre, ou seja, a ocorrência de A exclui a ocorrência do evento A.

A – B (diferença) é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Em linguagem de evento, dizemos que é o evento que ocorre se A ocorre e B não ocorre.

As operações (ou regras de composição) reunião, intersecção, complementar e

diferença são as conhecidas operações com conjuntos da matemática, e podem ser

estendidas para mais de dois eventos.

Exemplo: Sejam os eventos A, B e C no jogo do dado uma única vez e observação do

número da face para cima.

4

A o número é par A = {2, 4, 6}

B o número é maior que 2 B = {3, 4, 5, 6}

C o número é ímpar C = {1, 3, 5}

Temos:

AB o número é par ou o número é maior que 2 AB = {2,3,4,5,6}

AB o número é par e o número é maior que 2 AB = {4, 6}

B o número não é maior que 2 B = {1, 2}

A – B o número é par e não é maior que 2 A – B = {2}

5. FREQÜÊNCIA RELATIVA DE UM EVENTO

Considere que o experimento possa ser realizado certo número n (inteiro positivo)

de vezes, em idênticas condições. Se nA representa o número de vezes que o evento “A”

ocorreu nas n realizações, a quantidade

n

nf A

A

é denominada de freqüência relativa do evento A nas n realizações do experimento. É uma

medida de ocorrência do evento A, baseada em n realizações do experimento.

Algumas propriedades de freqüência relativa:

1) 1f0 A ou %100f0 A

2) 0f onde indica o evento que nunca ocorre (conjunto vazio)

3) AAf1f

4) BABABA ffff para dois eventos quaisquer A e B,

5) BABA fff se BA

Exemplo: Os números abaixo representam um rol de pesos (kg) aos 12 meses (P12) de n =

50 bezerros de uma certa raça.

133, 136, 138, 141, 150, 150, 162, 162, 164, 170, 172, 174, 175, 177, 183, 184, 184, 185,

188, 190, 190, 192, 192, 194, 195, 196, 196, 198, 198, 200, 201, 202, 210, 210, 211, 212,

5

215, 215, 218, 218, 219, 226, 228, 230, 244, 246, 247, 250, 255, 262.

Considerando que são de animais da mesma raça e criados em idênticas condições,

podemos considerar a criação dos 50 bezerros e a observação do peso aos 12 meses como

um experimento não-determinístico que foi realizado n = 50 vezes. Considere, então, em

cada realização (isto é, para cada bezerro criado) os eventos A, B e C onde

A “P12 220 kg”

B “P12 194 kg”

C “150 kg P12 205 kg”

ou, em notação de intervalo,

A = [220 ; )

B = (0 ; 194]

C = [150 ; 205]

Observando-se esses dados (já colocados num rol), vemos que 9 deles são 220 kg, 24

deles são 194 kg e 28 deles satisfazem 150 kg P12 205 kg. Assim, nas n = 50

realizações, o evento A ocorreu 9 vezes, o evento B ocorreu 24 vezes e o evento C ocorreu

28 vezes. Então, temos

18,050

9fA 48,0

50

24fB 56,0

50

28fC

Ainda, fazendo combinações (ou composição) desses eventos, é fácil ver pelos dados de

pesos que:

0ff BA 0f CA 50

20f CB

50

41f

A

50

33f BA

50

37f CA

50

32f CB

Exercício: Verifique pelas propriedades de frequência relativa que:

a) BABA fff b) CBCBCB ffff c) AAf1f

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6. PROBABILIDADE

Probabilidade de um evento A, indicada por P(A) e lê-se “P de A”, em termos práticos,

é a medida de frequência de ocorrência do evento A. A probabilidade tem importância

fundamental na Estatística.

6.1. Probabilidade em espaço amostral finito e equiprovável

Há situações onde o espaço amostral S tem um nº finito de elementos e todos esses

elementos têm a mesma “chance” (ou possibilidade) de ocorrer (denominados de resultados

igualmente prováveis). Neste caso, dizemos que o espaço amostral é equiprovável (ou

igualmente provável), e a probabilidade de um evento A pode ser determinada por

S#

A#

Sdeelementosdeºn

Adeelementosdeºn)A(P

Essa situação de resultados igualmente prováveis é comum nos chamados jogos de

azar (ex: jogo de dado não viciado). Outra situação de resultados igualmente prováveis é

quando se escolhe, ao acaso, um indivíduo (ou elemento) de um conjunto de N indivíduos,

processo esse também chamado de sorteio. O espaço amostral S, nesse caso, consiste no

conjunto dos N indivíduos, e todos os resultados possíveis são igualmente prováveis na

escolha.

Exemplo: Um dado “imparcial” com as seis faces numeradas de 1 a 6, é lançado e é

observado o número que ocorre na faca voltada para cima. Obter a probabilidade dos

eventos:

a) A ={2, 5} b) “o número é par” c) “o número é no mínimo 2 e no máximo 4”

Exercício: O mesmo dado é lançado duas vezes, em seguida, e é observada a seqüência de

números das faces para cima. Obter as probabilidades dos eventos:

a) “o primeiro n0 é menor que 3” b) “a soma dos dois números é menor ou igual a 6”

7

Às vezes o espaço amostral equiprovável S pode ter um nº muito grande de elementos,

bem como o evento A, dificultando a listagem de seus elementos. Nesses casos, pode-se

recorrer a técnicas de contagem para contar o número de elementos do evento de interesse e

do espaço amostral, para se fazer o cálculo de P(A) acima definido. Essas técnicas de

contagem fazem parte da Análise Combinatória, tais como combinações, permutações etc.

6.2. Probabilidade como limite de frequência relativa

Muitas vezes não se tem, ou não se sabe, se o espaço amostral é ou não igualmente

provável. Nesse caso, uma idéia para definir a probabilidade de um evento A é como o

limite de freqüências relativas de A, imaginando-se uma quantidade n cada vez maior de

realizações do experimento, isto é, fazendo-se n tender a infinito. Assim, se definiria P(A)

como

P(A) = An

flim

= n

nlim A

n

Na prática, a partir de certo número n suficientemente grande de realizações do

experimento (quando for possível realizá-lo) pode-se considerar

Af)A(P

como uma aproximação. Isso será tanto melhor P(A) quanto maior for o número n de

realizações do experimento.

6.3. Probabilidade como uma medida de crédito

Em algumas situações pode-se ter a probabilidade de um evento como uma medida de

crédito do evento A (ou da ocorrência do evento A). Essa atribuição do valor de P(A) é

considerada subjetiva e baseia-se numa opinião de uma pessoa (aqui denominado de um

“expert” no assunto). Essa idéia de P(A) como medida de crédito não se apoia no contexto

de frequência do evento, mas pode estar tão correta quanto esta última (como também pode

estar equivocada). Um campo de inferência onde é naturalmente utilizada (trazendo óbvias

vantagens) é em Inferência Bayesiana.

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7. ALGUMAS PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE

Qualquer que seja a forma que se defina a probabilidade P(A) de um evento A, em

bases frequentistas ou como medida de crédito, algumas propriedades são listadas a seguir:

(1) 0 P(A) 1 para qualquer evento A;

(2) P() = 0 e P(S) = 1;

(3) P( A ) = 1 – P(A) para qualquer evento A;

(4) P(A B) = P(A) + P(B) se A B = , isto é, se A e B são mutuamente

exclusivos;

(5) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) para A e B dois eventos quaisquer;

(6) P(A – B) = P(A) - P(A B) para A e B dois eventos quaisquer;

(7) P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC)

8. CÁLCULO DE PROBAILIDADES COM O USO DAS PROPRIEDADES.

Exemplo: Sabendo que P(A) = 0,20 , P(B) = 0,30 e P(AB) = 0,10 , obter P(AB),

P( A ), P(A-B) e P( A B).

(Resolver)

Exemplo: Suponha que, numa classe com 100 alunos, 70 deles gostam de rock, 50

gostam de funk e 30 gostam de ambos. Um aluno será escolhido ao acaso da classe.

Obtenha a probabilidade desse aluno:

a) gostar de rock ou funk;

b) não gostar de rock;

c) gostar de funk e não gostar de rock;

d) não gostar de funk e não gostar de rock.

Solução:

Vamos denominar de

F = gostar de funk; R = gostar de rock

Assim, temos

P(R) = 70/100 = 0,7 P(F) = 50/100 = 0,5 P(RF) = 30/100 = 0,3

Logo

9

(a) prob. pedida = P(R F) = P(R) + P(F) – P(R F) = 0,7 + 0,5 – 0,3 = 0,9

(b) prob. pedida = P( R ) = 1 – P(R) = 1 – 0,7 = 0,3

(c) prob. pedida = P(F R ) = P(F) – P(F R) = 0,5 – 0,3 = 0,2

(d) prob. pedida = )RF(P = )RF(P = 1 – P( )RF = 1 – 0,9 = 0,1

9. PROBABILIDADE CONDICIONAL

Pode haver certas situações onde se deseja a probabilidade de um evento B,

condicionado à ocorrência de outro evento A. Assim, no exemplo anterior podemos

perguntar:

(a) qual é a probabilidade que o aluno goste de rock, se ele for daqueles que gostam de

funk? ;

(b) qual é a probabilidade que o aluno goste de rock, se for dos que não gostam de funk?;

(c) qual é a probabilidade que o aluno não goste de rock, se for dos que não gostam de

funk?

O evento A, que representa a condição, reduz o espaço amostral S do experimento para

esse evento. Em muitas situações essa idéia pode ser usada para se encontrar a

probabilidade de um evento B condicionado a um evento A.

Pode-se verificar, também, que

)A(P

)BA(P)A|B(P

()

sempre que A for um evento tal que P(A) > 0. Igualmente, esta expressão pode ser usada

para se encontrar a probabilidade P(B|A), conhecendo-se P(A) e P(AB) ambos os valores

analisados relativamente ao espaço amostral S do experimento.

Exemplo: Com os dados do exemplo anterior, obter a probabilidade que o aluno goste de

rock, se ele gosta de funk. Dito de outra forma, obter a probabilidade que o aluno goste de

rock, dado que ele gosta de funk.

Solução:

10

A condição estabelecida que o aluno goste de funk, reduz os 100 alunos inicialmente

possíveis a apenas aos que gostam de funk, em número de 50. Desses, há apenas 30 que

gostam de rock. Logo,

prob. pedida = P(R | F) = 6,050

30

Como já foi colocado acima, é fácil ver também que

P(R | F) = 6,050

30

100

50100

30

)F(P

)FR(P

10. REGRA DO PRODUTO

Uma consequência da expressão () acima é que

P(A B ) = P(A) P(B | A)

Trocando-se os papéis de A e B, e lembrando que a intersecção é comutativa (isto é,

AB=BA) tem-se, também, que

P(A B ) = P(B) P(A | B)

Estas duas expressões alternativas para P(A B ) são conhecidas como regra do produto

para a probabilidade da intersecção de dois eventos. Isto é, pode-se calcular a probabilidade

da intersecção de dois eventos à partir do produto da probabilidade de um deles pela

probabilidade condicional do outro, dado o primeiro evento.

Esta regra do produto pode ser generalizada para k eventos A1, A2, . . . , Ak, isto é,

P(A1A2 . . . Ak ) = P(A1 ) P(A2 | A1) P(A3 | A1 A2 ). . .P(Ak| A1 A2 . . . Ak )

e é bastante útil no cálculo de probabilidade quando se conhecem todas as probabilidades

condicionais, tal como no exemplo seguinte, envolvendo retiradas de n objetos,

selecionados um a um e ao acaso.

11. APLICAÇÃO DA REGRA DO PRODUTO NO CÁLCULO DE

PROBABILIDADE

11

Exemplo:

Considere uma caixa com 4 bolas verdes (V), 3 azuis (A) e 3 brancas (B), e que dessa caixa

sejam retiradas n = 3 bolas, em seqüência e ao acaso, sem reposição. Pergunta-se:

a) qual a probabilidade de ocorrer a seqüência VVA, isto é, verde na primeira, verde na

segunda e azul na terceira?

b) qual a probabilidade de ocorrer 2 azuis e 1 branca?

c) qual a probabilidade de ocorrer uma de cada cor?

d) qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 branca?

Solução:

a) prob. pedida = P(VVA) = P(V na primeira) . P(V na segunda dado que saiu V na

primeira). P(A na terceira dado que saíram V na primeira e V na segunda.) =

20

1

8

3

9

3

10

4

b) Ocorrer 2 azuis (A) e 1 branca (B) equivale a ocorrerem as sequências AAB ou ABA ou

BAA. Logo,

prob. pedida = P(AAB) + P(ABA) + P(BAA) = 8

3

9

2

10

3 +

8

2

9

3

10

3 +

8

2

9

3

10

3

40

3

c) Ocorrer uma de cada cor equivale a ocorrerem as seqüências VAB ou VBA ou BVA ou

AVB ou ABV ou BAV. É fácil calcular e mostrar que cada uma dessas seqüências tem

probabilidade 20

1. Sendo assim, a probabilidade pedida será

20

6

20

16 , ou seja,

10

3.

d) Denominando por outras (O), a ocorrência de verde (V) ou azul (A), as seqüências

possíveis com exatamente 1 branca são BOO ou OBO ou OOB. O cálculo da probabilidade

dessas seqüências é facilmente feito observando-se que se tem 7 “outras” (pois são 4 verdes

e 3 azuis). Todas essas seqüências têm a mesma probabilidade, e aí é só multiplicar por 3

para se obter o resultado final (Faça como exercício!).

Obs: Esse exercício poderia também ser feito por contagem no espaço amostral igualmente

provável das seqüências possíveis, mas é muito trabalhoso. A regra do produto torna muito

mais fácil e simples a obtenção da solução.

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12. EVENTOS INDEPENDENTES

Há situações onde

P(A | B) = P(A) e P(B | A) = P(B)

indicando que a probabilidade de um evento não muda, mesmo quando condicionado a

outro evento. Nas condições anteriores, dizemos que A e B são eventos independentes. É

fácil notar que, nesse caso,

P(A B ) = P(A) P(B)

isto é, a probabilidade de ocorrer ambos (simultaneamente) os eventos pode ser obtida

como o produto das probabilidades individuais desses eventos. Generalizando, para um

número k qualquer de eventos A1, A2, . . . , Ak independentes tem-se,

P(A1 A2 . . . Ak) = P(A1 ) P(A2 ) . . . P(Ak)

Esta regra do produto para k eventos independentes (k inteiro e 2 ) é muito útil em

cálculo de probabilidades onde se tem experimentos realizados em etapas sucessivas, e

onde, em cada etapa, se conhece a probabilidade de cada evento de interesse.

13. REGRA DE BAYES NO CÁLCULO DE PROBABILIDADE

Em alguns problemas tem-se a situação em que o espaço amostral S pode ser

considerado repartido em dois subconjuntos A e B onde as probabilidades P(A) e P(B) são

conhecidas e esses eventos são tais que A B = e A B = S. Dizemos que A e B são

dois eventos que constituem uma partição do espaço amostral S. Suponha agora um outro

evento C S (ou seja, nesse mesmo espaço amostral) do qual são conhecidas as

probabilidades condicionais P(C | A) e P(C | B), sendo que o objetivo é calcular as

probabilidades de A e B condicionadas a esse evento C, isto é, P(A| C) e P(B | C). Não é

difícil mostrar que essas probabilidades são dadas por:

)B|C(P).B(P)A|C(P).A(P

)A|C(P).A(P

)C(P

)A|C(P).A(P)C|A(P

e

)B|C(P).B(P)A|C(P).A(P

)B|C(P).B(P

)C(P

)B|C(P).B(P)C|B(P

13

Essas fórmulas são usualmente conhecidas como Regra de Bayes para as probabilidades

condicionais P(A | C) e P(B | C).

Consideremos o seguinte exemplo:

Exemplo: Um rebanho é composto de 60% animais machos (M) e 40% de fêmeas (F).

Sabe-se que 30% dos machos e 60% das fêmeas são da raça Nelore (N). Um animal é

escolhido ao acaso desse rebanho. Obter probabilidade que esse animal seja macho, se é

informado que é da raça Nelore.

Solução:

Fazendo as adaptações, temos

Substituindo vem:

43,042,0

18,0

24,018,0

18,0

)60,0)(40,0()30,0)(60,0(

)30,0)(60,0(pedida.probab

Notas:

1) Este problema pode ser resolvido de forma imediata apenas observando-se o diagrama

abaixo e considerando a idéia de restrição do espaço amostral original para o espaço dos

animais Nelores. Considerando-se o rebanho com 100 animais (o número de elementos de

S), os dados do problema nos permitem determinar o número de animais Nelores como

sendo igual a 18 + 24 = 42, sendo os 18 Nelores machos e 24 Nelores fêmeas. Assim, a

probabilidade pedida é

P(M|N) = 43,042

18

2) Este esquema formal pode ser facilmente generalizado para partições do espaço amostral

S em mais de dois subconjuntos.

M(60)

F(40)

NNelore 18 24

42