Princípios e Normas do NCTM – um percurso pela Álgebra Ana Leitão e Lourdes Cangueiro, grupo de trabalho das Publicações, da APM

Princípios e Normas para a Matemática Escolar, traduzido e editado em 2007, pela APM,

a partir da obra publicada em 2000, pelo NCTM, é um documento que serve de referência,

orientação e recurso para todos aqueles cujas decisões afectam a educação matemática dos

alunos, do pré-escolar ao 12º ano, em particular, professores, responsáveis pela elaboração

dos currículos, formadores e decisores de políticas de educação matemática.

Princípios e Normas foi elaborado, pelo NCTM, a partir dos conteúdos dos textos das

Normas (Standards) anteriores, e “reflecte a contribuição e a influência de muitas fontes

diversas”. O processo de elaboração deste documento contou com uma vasta participação

crítica de diversas comunidades especializadas: professores, formadores, matemáticos e

investigadores em educação.

A sua importância está expressa numa “carta de apreciação”, dirigida ao NCTM e incluída

na parte introdutória de Princípios e Normas, na qual quinze instituições, institutos e

sociedades com ligação à matemática expressam a relevância do documento e do seu processo

de elaboração.

Organização do documento

O texto é constituído por cinco partes:

o Uma Visão para a Matemática Escolar (cap.1).

o Princípios para a Matemática Escolar (cap.2).

o Descrição global das Normas para a Matemática Escolar do pré-escolar ao 12º ano

(cap.3).

o Normas para quatro níveis de aprendizagem: do pré-escolar ao 2º ano, do 3º ao 5º ano,

do 6º ao 8º ano e do 9º ao 12º ano (cap.4 a cap.7).

o Discussão sob a forma de tornar a visão contida em Princípios e Normas uma

realidade (cap.8).

Termina com um Apêndice do qual consta uma tabela de “Normas e Expectativas” para

todos os níveis de aprendizagem.

A “Visão para a Matemática Escolar” é descrita como ambiciosa, exigindo um currículo

sólido, professores competentes, recursos apropriados e “um compromisso dirigido à

equidade e à excelência”.

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Partindo desta visão para a educação matemática, são definidos seis “Princípios” que

constituem os “pressupostos considerados essenciais a uma educação matemática de elevada

qualidade”.

o Equidade. Excelência na educação matemática para todos.

o Currículo. Coerente, bem articulado e incidindo numa matemática relevante.

o Ensino. Todos os alunos devem ter a oportunidade de aprender uma matemática de

elevada qualidade.

o Aprendizagem. Aprender matemática com compreensão e ser capaz de aplicar os seus

conhecimentos.

o Avaliação. Como apoio à aprendizagem e fonte de informação para professores e

alunos.

o Tecnologia. Ferramentas essenciais para o ensino, a aprendizagem e para fazer

matemática.

Definidos os “Princípios”, o NCTM dá a conhecer, através de Princípios e Normas para

a Matemática Escolar, a sua opção quanto aos conteúdos e processos matemáticos que os

alunos deverão saber e ser capazes de mobilizar durante a sua escolaridade. Diz, com clareza,

o que deve ser valorizado na educação matemática escolar. “São exigidos padrões ambiciosos

para alcançar uma sociedade que possua a capacidade de pensar e raciocinar

matematicamente”.

As dez “Normas” que este documento propõe constituem “descrições daquilo que o

ensino da matemática deverá habilitar os alunos a saber e fazer”. Cada uma das “Normas”

contém considerações sobre o ensino e a aprendizagem da matemática escolar, orientações

metodológicas e exemplos de actividades de sala de aula bem como trabalhos dos alunos.

As cinco primeiras, “Normas de Conteúdo”, descrevem os objectivos de conteúdo

matemático. A sua ênfase e o grau de aprofundamento variam dentro dos diferentes níveis de

aprendizagem e são expressos através das “expectativas” (objectivos mais específicos)

definidas para cada um dos quatro níveis. As outras cinco, “Normas de Processo”, descrevem

os processos matemáticos e enfatizam as formas de adquirir e usar os conhecimentos sobre os

conteúdos. Estas “Normas” são, também, comuns a todos os níveis de aprendizagem. Estes

dois domínios, conteúdos e processos matemáticos, nos quais deve incidir a aprendizagem

matemática, são sempre vistos e trabalhados como áreas fortemente interligadas.

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Um percurso pela Álgebra

Tal como foi referido na organização do documento, no cap.3 faz-se uma descrição global

das “Normas”, do pré-escolar ao 12º ano, transmitindo as ideias consideradas relevantes e a

forma como estas se desenvolvem ao longo dos quatros níveis de aprendizagem. Realça-se,

ainda, neste capítulo, os aspectos relativamente aos quais são esperados determinados níveis

de competência. É o que, relativamente à álgebra, será referido a seguir.

Descrição global das Normas do pré-escolar ao 12.º ano

Álgebra - do pré-escolar ao 12.º ano

o “Os programas de ensino do pré-escolar ao 12.º ano deverão habilitar todos os alunos

para:

o Compreender padrões, relações e funções

o Representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos

o Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas

o Analisar a variação em diversos contextos”

A álgebra deverá ser encarada como um contínuo curricular desde o pré-escolar ao 12º ano.

Considerá-la como um fio condutor, desde os primeiros anos, ajudará os alunos a adquirirem

uma base sólida para um trabalho algébrico baseado na compreensão, e por isso com

consistência, no 3º ciclo e no secundário. Exemplificando: a experiência sistemática com

padrões poderá vir a desenvolver a compreensão da noção de função (Erick Smith, para

edição); um trabalho contínuo, com os números e as suas propriedades, constrói os

fundamentos da compreensão e uso de símbolos e expressões algébricas; ao aprender que a

matemática pode ser um meio para descrever situações, os alunos irão desenvolvendo noções

elementares de modelação matemática.

São consideradas essenciais as relações entre quantidades, incluindo funções; o modo de

representação das relações matemáticas; a análise da variação enquanto elemento essencial à

compreensão das funções, nomeadamente, as que não possuem taxas de variação constante.

Compreender padrões, relações e funções

Nos primeiros anos os padrões terão como base actividades de classificação. Sequências

repetitivas que se verificam no dia a dia: - padrões repetitivos de som, cor, desenho e outros;

cantigas baseadas na repetição e no crescimento de padrões - ajudam as crianças a

desenvolverem conceitos iniciais relacionados com padrões.

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A ideia de que a sequência vermelho-azul-azul-vermelho-azul-azul pode ser prolongada e

que o 12.º termo é azul, “assumindo que o padrão vermelho-azul-azul se repete

indefinidamente” deverá ser trabalhada, pelos professores. De início, os alunos devem

descrever verbalmente a regularidade dos padrões, em vez de utilizar símbolos matemáticos

(English e Warren, 1998, in NCTM, 2000). Depois, poderão começar a usar variáveis e

expressões para descrever e ampliar padrões. No final do secundário, o uso da notação das

funções para descrever relações deve ser feito com segurança.

Nos primeiros anos, os alunos poderão ser iniciados no pensamento recursivo. De

sequências como 2, 4, 6, 8,…cujo padrão se descreve adicionando 2, até à sequência de

Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … em que cada termo é obtido pela adição dos dois termos

anteriores, a recursão permite definir e ampliar inúmeras sequências e relações. As

sequências recursivas podem ser estudadas com recurso à tecnologia.

Desde o pré-escolar até ao secundário, os alunos deverão familiarizar-se e trabalhar com

vários tipos de funções. Nos 2.º e 3.º ciclos, a prioridade deve ser dada à compreensão das

relações lineares. No secundário, devem aumentar a gama de funções que conhecem e

aprender as características dos diversos tipos de funções.

Nos 2.º e 3.º ciclos, os alunos devem compreender as relações entre tabelas, gráficos e

símbolos e ser capazes de avaliar as vantagens e as desvantagens de cada uma destas formas

de representação, atendendo aos objectivos em presença. À medida que trabalham com

múltiplas representações de funções, tais como numéricas, gráficas e simbólicas, irão

desenvolver um conhecimento mais compreensivo das funções (consultar Leinhardt,

Zaslavsky, e Stein, 1990; Moschkovich, Schoenfeld e Arcavi, 1993; NRC, 1998, in NCTM,

2000).

Representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos

Para que o trabalho com notações simbólicas seja significativo necessita de uma base

conceptual sólida. Esta base conceptual deverá ser construída ao longo de um largo período de

tempo. Isto implica um trabalho sistemático com: os números e suas propriedades; os diversos

sentidos da variável; a noção de equivalência.

A compreensão das propriedades dos números deve ser feita de forma gradual, desde o

pré-escolar ao secundário. As contagens em intervalos, feitas numa tabela de 100, dão origem

a uma variedade de padrões que os mais novos podem reconhecer, descrever e extrapolar com

a ajuda dos professores. No final do 1.º Ciclo, ao investigarem, informalmente, as

propriedades das operações com números inteiros, os alunos poderão intuir, com a ajuda de

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um modelo de área, que podem multiplicar mentalmente 18 por 14, calculando 18 x 10 e

adicionando o valor obtido a 18 x 4; a utilização da propriedade distributiva da multiplicação

em relação à adição foi intuitiva. Os alunos compreendem representações geométricas muito

antes de ser expectável que sejam capazes de manipular símbolos algébricos com destreza.

Por exemplo, o desenho da figura pode ajudar os alunos, dos

últimos anos do 1.º ciclo, a conjecturar que a soma dos

primeiros n números ímpares é n x n ou n2, sendo n conhecido

pelos alunos.

Nos 2.º e 3.º ciclos, os alunos devem perceber de que modo o

desenho se relaciona com a equação. Os alunos do secundário

devem saber representar genericamente essa relação, por meio

de símbolos, como 1 + 3 +… …+ (2n - 1) = n2 e de demonstrar a validade da sua

generalização.

Verificação de que 1+3+5+7= 42

As pesquisas apontam uma multiplicidade de dificuldades sentidas pelos alunos no que diz

respeito ao conceito de variável (Küchemann, 1978; Kieran, 1983; Wagner e Parker, 1993, in

NCTM, 2000). Uma compreensão aprofundada da noção de variável desenvolve-se ao longo

de um extenso período de tempo e é importante que se apoie num vasto conjunto de

experiências (Sfard, 1991, in NCTM, 2000).

Para os alunos dos primeiros anos, a noção de variável baseia-se em algo que substitui um

número específico, tal como __ + 2 = 11. Mais tarde, deverão aprender que a variável x na

equação 3x + 2 = 11 é bastante diferente da variável x na identidade 0 × x = 0, assim como são

diferentes da variável r na fórmula A = πr2.

A noção de igualdade também deverá ser desenvolvida ao longo do currículo.

Normalmente os alunos mais novos entendem o sinal de igual como uma obrigação para

efectuar cálculos, isto é, para “fazer qualquer coisa” (Behr, Erlwanger e Nichols, 1976;

Kieran, 1981, in NCTM, 2000). É imperioso que acabem por perceber o sinal de igual como

um símbolo de equivalência e de equilíbrio.

Os alunos do 2.º e 3.º ciclos devem começar a reconhecer que representações simbólicas,

aparentemente diferentes, podem representar a mesma situação; ou seja, são equivalentes.

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No secundário, os alunos deverão adquirir destreza nas operações com símbolos, através de

cálculos mentais ou escritos, em casos simples, e através da utilização de meios tecnológicos.

Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas

Uma das mais poderosas ferramentas da matemática é a modelação matemática de

fenómenos. Os alunos de todos os níveis de ensino deverão ter oportunidades de modelar

matematicamente fenómenos de vários tipos. Nos primeiros anos, os alunos podem usar

objectos, figuras e símbolos para construírem modelos de situações envolvendo a adição e a

subtracção de números inteiros. Quando as crianças usam objectos para representar um

pequeno problema, estão a iniciar-se no trabalho com modelos.

Do 3.º ao 5.º ano, os alunos devem usar os seus modelos para fazer previsões, tentar tirar

conclusões ou compreender melhor uma situação quantitativa.

Os alunos do 2.º e 3.º ciclos, ao tentarem resolver um problema, por exemplo sobre o modo

de fazer um sumo, podem descrever as relações nele existentes através da fórmula S = (8/3) F,

sendo S o número de copos de sumo e F o número de copos de concentrado de fruta. Este

modelo matemático permitirá, por exemplo, determinar a quantidade de sumo que pode ser

feita a partir de um determinado número de copos de concentrado de fruta.

No secundário, os alunos devem ser capazes de desenvolver modelos, baseando-se no seu

conhecimento dos vários tipos de funções. Determinar, por exemplo, se uma situação deverá

ser modelada por uma função linear ou uma função quadrática, e serem capazes de tentar tirar

conclusões sobre uma dada situação a partir da análise do modelo. A utilização de

laboratórios informáticos (conjunto de aparelhos que recolhem dados e os transmitem para um

computador permitindo a produção de tabelas, gráficos e equações) permite que os alunos

tenham acesso a dados numéricos fiáveis, resultantes de experiências físicas. Esta tecnologia

permite-lhes construir modelos numa diversidade de situações motivadoras.

Analisar a variação em diversos contextos

A compreensão da variação é essencial à compreensão das funções e de muitas ideias que

surgem no dia a dia.

O estudo da variação matemática é formalizado no cálculo, quando os alunos estudam o

conceito de derivada. Se as noções de variação forem privilegiadas logo desde os primeiros

anos de escolaridade, talvez os alunos se iniciem no cálculo com bases mais sólidas que lhes

possibilitem uma real compreensão dos conceitos a esse nível.

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Entre o pré-escolar e o 2.º ano, os alunos poderão, de início, descrever a variação

qualitativa (“Fiquei mais alto durante o verão.”) e mais tarde a variação quantitativa (“Cresci

5 cm ao longo do ano passado.”).

Usando gráficos e tabelas, os alunos do 3.º ao 5.º ano poderão começar por verificar e

descrever a variação como, por exemplo, a variação do crescimento de uma planta: “Primeiro,

cresce devagar, depois cresce mais depressa, e então volta a abrandar”. Ao observar

sequências, podem distinguir entre crescimento aritmético (2, 5, 8, 11, 14, …) e crescimento

geométrico (2, 4, 8, 16, …).

Se, no 2º e 3º ciclos, o conceito de linearidade for aprendido com compreensão, os alunos

poderão aprender que o declive representa a taxa constante de variação das funções lineares

(uma relação de proporcionalidade, por exemplo), e ficarão preparados para, ao longo do

ensino secundário, aprenderem os diversos tipos de funções que não possuem taxas de

variação constantes.

Normas para os quatro níveis de aprendizagem

Álgebra - do pré-escolar ao 2.º ano

“Os padrões constituem uma forma pela qual os alunos mais novos reconhecem a ordem e

organizam o seu mundo”. O reconhecimento, a comparação e a análise dos padrões, que

fazem parte do quotidiano das crianças, são actividades estruturantes do seu desenvolvimento

intelectual. A identificação dos padrões que existem em determinados conjuntos de objectos,

formas e números, e a utilização desses padrões para prever o termo seguinte, desenvolve o

raciocínio lógico e o pensamento pré-algébrico.

Conseguir “ver” os algarismos “0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9”, como uma sequência que se

repete imensas vezes, ajuda os alunos a descobrirem o padrão que os levará a aprender a

contar até ao 100 – actividade bem difícil para as crianças que não conseguem identificar esse

padrão.

Colocar questões, do tipo: “De que forma poderias descrever este padrão?”, ou “De que

forma poderá ser repetido ou ampliado?”, ou ainda “Em que é que estes padrões se

assemelham?”, ajudará os alunos a desenvolverem a capacidade de generalizar. Reconhecer

que o padrão “azul, azul, vermelho, azul, azul, vermelho” é igual, em forma, ao padrão

“palmas, palmas, passo, palmas, palmas, passo”, permite criar bases para a noção de que duas

situações diferentes podem ter as mesmas características matemáticas. Informar os alunos de

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que cada um daqueles padrões poderá ser descrito pela forma AABAAB constitui uma

primeira abordagem ao poder da álgebra.

A figura seguinte reproduz uma sequência com blocos lógicos criada por uma aluna. A

aluna anuncia à professora que acabava de criar quatro padrões num só: um de forma, um de

tamanho, um de espessura e um de cor. Uma colega observou a sequência e disse: “Acho que

só são dois. As formas e as cores têm o padrão AABBCC. Os tamanhos e as espessuras têm o

padrão ABABAB. Por isso só temos dois tipos de padrões”. A primeira aluna pensou nos

argumentos e disse: “Parece-me que tens razão, mas eu também”.

Este episódio está relatado no “Raciocínio e Demonstração” e termina com a seguinte

consideração: “Ser capaz de explicar o próprio raciocínio, enumerando razões, constitui uma

competência extremamente importante no raciocínio formal, que tem início a este nível”.

Fazer corresponder à contagem (dos números) um padrão de repetição pode produzir uma

função, que os professores deverão explorar com os alunos, através de questões como: “Qual

é a segunda forma? Qual a forma que devemos colocar a seguir para ampliar o padrão? Qual é

o número que se segue, quando estamos a contar? Qual ou quais são as particularidades dos

números que se encontram abaixo dos triângulos? Qual é a forma que o número 14 deverá

ter?”

Correspondência entre a contagem e um padrão de repetição.

Esta tarefa ultrapassa a actividade de contagem em intervalos; estabelece uma relação entre

um padrão numérico e um padrão repetitivo de figuras; possibilita a comparação dos padrões,

a verbalização da regularidade do padrão e a previsão dos seus termos.

A aprendizagem da contagem em intervalos (no caso anterior, de 2 em 2) pode ser usada

para, por exemplo, saber quanto se deve pagar por 7 balões se cada um custar 20 cêntimos.

Reconhecer a sequência 20,40,60,…e continuar a adicionar 20 permitirá encontrar a resposta.

Os professores destes anos de escolaridade deverão incentivar e ajudar os alunos a usar

tabelas para o registo e organização da informação. Relativamente ao preço dos balões pode,

ainda, ser explorada a noção de recursividade.

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Uma tabela para registar e organizar informação.

Há dois temas centrais do pensamento algébrico que se revelam particularmente adequados

aos alunos mais novos. O primeiro envolve generalizações e a utilização de símbolos para

representar as ideias matemáticas, enquanto o segundo consiste na representação e na

resolução de problemas (Carpenter e Levi, 1999, in NCTM, 2000). Quando os alunos

observam os números e as operações, e a forma como se comportam, e, a partir dessas

observações, fazem generalizações, estão a construir as bases do pensamento algébrico. Ao

fazerem pequenos cálculos, mentalmente, podem inferir que a ordem das parcelas não é

relevante; e observar que, se decompuserem certos números, os cálculos são mais fáceis. De

uma forma informal, os alunos descobrem e fazem generalizações sobre as propriedades das

operações. Cabe aos professores explorar estas descobertas, torná-las relevantes e incentivar

os alunos a investigar se certas observações e conjecturas são generalizáveis.

Ao longo do pré-escolar e até ao 2º ano, os alunos deverão ir desenvolvendo a capacidade

de usar símbolos para registar o seu raciocínio, através das discussões de turma sobre as

diferentes formas representação. O papel do professor na ajuda e incentivo à realização desses

pequenos registos é determinante.

Outro conceito algébrico muito importante, que os alunos deverão trabalhar e começar a

compreender nesses primeiros anos, é o de igualdade. É necessário que reconheçam que o

sinal de igual expressa uma relação. Isto é, que as quantidades em ambos os lados do sinal são

iguais. Ao longo dos últimos anos deste nível etário, os professores deverão proporcionar aos

alunos oportunidades para estabelecer conexões entre a notação simbólica e a representação

concreta da identidade recorrendo, por exemplo, a cubos e uma balança.

Os alunos deverão aprender a construir modelos para representar e resolver problemas.

Perante o problema: Temos 6 cadeiras e bancos. As cadeiras têm 4 pernas e os bancos apenas 3. O número total de

pernas é 20. Quantas cadeiras e quantos bancos temos?

Um aluno poderá representar a situação através do desenho de seis círculos e de pequenos

traços que representam as pernas, ou poderá representar a mesma situação através de símbolos

tentando obter uma soma de 20 pernas.

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Como já foi dito, a variação é um importante conceito com o qual os alunos se deparam

desde cedo. Quando os alunos efectuam medições ao longo do tempo, podem descrever a

variação tanto a nível qualitativo (p.e., “Hoje está mais frio que ontem”), como a nível

quantitativo (p.e., “Estou 7 cm mais alto do que no ano passado”). A compreensão de que a

maioria das coisas varia ao longo do tempo, de que grande parte dessas variações pode ser

descrita matematicamente, e de que muitas são previsíveis, contribui para estabelecer as bases

para uma futura aplicação da matemática a outras áreas e ajuda à compreensão do mundo.

Álgebra - do 3.º ao 5.º ano

Do 3.º ao 5.º ano, algumas noções algébricas deverão emergir e ser exploradas, à medida que os alunos: o identificam ou criam padrões numéricos e geométricos;

o descrevem padrões verbalmente e representam-nos por meio de tabelas ou símbolos;

o procuram e aplicam relações entre quantidades variáveis, para fazerem previsões;

o fazem e explicam generalizações que aparentam ser sempre válidas em determinadas

situações;

o utilizam gráficos para descrever padrões e fazer previsões;

o exploram propriedades dos números;

o usam notações inventadas por eles, símbolos convencionais e variáveis para representar

um padrão, uma generalização ou uma situação.

Os alunos, do 3.º ao 5.º ano, devem investigar padrões numéricos e geométricos, e

representá-los matematicamente por meio de palavras ou símbolos. Devem, ainda, analisar a

estrutura do padrão e o modo como este cresce ou varia. Organizar esta informação de forma

sistematizada e analisá-la para fazer generalizações acerca das relações matemáticas presentes

no padrão. O professor poderá pedir aos alunos para descreverem os padrões que observam e

para os representarem por meio de expressões matemáticas. Os alunos devem ser encorajados

a explicarem os padrões, verbalmente, e a fazerem previsões

acerca do que acontece quando se continua a sequência.

A figura seguinte ilustra uma tarefa através da qual os

alunos têm a oportunidade de fazer generalizações baseadas

em padrões.

Qual é a área de superfície de cada uma das torres de

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cubos, incluindo a face de baixo? À medida que as torres crescem,

de que modo varia a área da sua superfície? Os alunos do 4.º ano poderão recorrer a uma tabela e perceber a

natureza repetitiva do padrão: “Adiciona-se quatro ao número

anterior”. Ou seja, existe uma relação consistente entre a área de superfície de uma torre e a

da torre seguinte. O professor deverá explorar a recursividade desta relação, solicitando o

preenchimento da tabela para 5 ou mais cubos.

Os alunos do 5.º ano deverão ser estimulados a verbalizar e justificar uma regra geral

relacionada com o modelo geométrico, p.e., “A área da superfície total da torre é sempre

quatro vezes o número de cubos mais dois, porque há sempre quatro unidades quadradas, à

volta de cada cubo, e mais uma, em cada uma das extremidades da torre”. Identificada e

compreendida esta relação, os alunos deverão ser capazes de a usar para responder a questões,

como “Qual é a área de superfície de uma torre com cinquenta cubos?” ou “Quantos cubos

haveria numa torre cuja superfície tem de área 242 unidades quadradas?”.

Neste exemplo, pode ser usada uma tabela para organizar e ordenar os dados ou poderá ser

preciso de recorrer a cubos de encaixar para modelar o crescimento da sequência aritmética.

Uns alunos poderão usar palavras, mas outros poderão usar números e símbolos para

expressarem as suas ideias sobre esta relação funcional.

Os alunos devem ser encorajados a representar o seu raciocínio, ao explorarem padrões e

ao observarem relações. No exemplo que ilustra a sequência das torres de cubos, os alunos

estão a começar a usar a ideia de variável, à medida que tentam descobrir uma forma de

descrever uma regra para descobrir a área de superfície de uma torre qualquer daquele padrão.

Podem começar a usar a notação de variável, e equações para representarem os seus

raciocínios, à medida que conseguem justificar generalizações. Os professores poderão ajudá-

los quanto à notação matemática. Por exemplo, a descrição da área da superfície de uma torre

de cubos de qualquer tamanho (“Obtém-se a área da superfície multiplicando o número de

cubos por 4 e adicionando 2”) pode ser representada pelo professor como A = 4 × n + 2. Por

outro, os alunos devem começar a compreender a utilidade da variável, enquanto “número

ainda desconhecido” (incógnita), e tentarem descobrir o valor que torna verdadeira a equação.

A matemática é utilizada para modelar situações reais, com a finalidade de fazer previsões

acerca dessas situações. Após ser identificado, um padrão pode ser representado numérica,

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gráfica ou simbolicamente, e estas representações utilizadas para prever a forma como o

padrão continua.

Os alunos destes anos devem modelar uma grande diversidade de situações. Por vezes, usarão

o seu modelo para prever o elemento seguinte de um padrão, tal como fizeram os alunos que

descreveram a área de superfície de uma torre a partir da torre anterior. Outras vezes, os

alunos poderão ser capazes de fazer uma generalização acerca da relação de uma variável com

outra (caso do preço dos balões).

Os alunos, destes anos, deverão começar a compreender que diferentes modelos, para a

mesma situação, podem originar os mesmos resultados. No exemplo da torre de cubos, em

que se investiga a relação entre o número de cubos de uma torre e a área da sua superfície,

podem surgir vários modelos. Um aluno pode pensar em cada lado da torre como possuindo o

mesmo número de unidades quadradas como de cubos (n). Como existem quatro lados e uma

unidade extra em cada uma das extremidades da torre, então a área da sua superfície é quatro

vezes o número de cubos mais dois (4 × n + 2). Outro aluno poderá tentar descobrir com

quanto é que cada cubo da torre contribui para a área total da superfície: cada cubo das

extremidades contribui com uma superfície de 5 unidades de área e cada cubo “do meio”

contribui com uma superfície de 4 unidades de área. Algebricamente, a área da superfície

deverá ser 2× 5 + (n – 2) × 4. Ou seja, cada forma de raciocinar dá origem a uma expressão

diferente. Se fizerem os cálculos, para um exemplo concreto, obterão o mesmo resultado.

Neste nível de aprendizagem, os alunos não podem mostrar a equivalência algébrica destas

resoluções, mas sabem reconhecer que estes modelos distintos conduzem ao mesmo resultado,

através de exemplos concretos.

A variação é uma ideia matemática relevante, que pode ser estudada usando ferramentas

algébricas. Neste nível etário, e a partir de um projecto de Ciências, os alunos podem plantar

sementes e registar o crescimento de uma planta. Usando os dados representados na tabela e

no gráfico, os alunos podem descrever o modo como a taxa de crescimento da planta varia ao

longo do tempo: “A minha planta não cresceu durante os primeiros quatro dias. Nos dois dias

seguintes, cresceu muito devagar, depois começou a crescer mais depressa, e depois mais

devagar, outra vez”. Este tipo de trabalho é precursor de um trabalho que se fará

posteriormente: raciocinar sobre o que representa a inclinação de uma linha, isto é, o que é

que o declive de uma linha mostra acerca da taxa de variação. Os alunos deverão analisar

situações que apresentem diferentes padrões de variação: a variação que ocorre a uma taxa

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constante, e taxas de

variação que aumentam ou

diminuem, como no

exemplo do crescimento da

planta.

Álgebra - do 6.º ao 8.º ano

Os alunos, do 6º ao 8º ano, deverão apreender a álgebra como um conjunto de conceitos e

capacidades associadas à representação de relações quantitativas, e como um estilo de

raciocínio matemático utilizado na formalização de padrões, funções e generalizações. É

essencial que adquiram à vontade em relacionar expressões algébricas, contendo variáveis

com representações verbais, gráficas e em tabela de relações numéricas e quantitativas.

Deverão relacionar funções lineares com a proporcionalidade, e aprender a distinguir relações

lineares das não lineares. Deverão, ainda, aprender a reconhecer e formular expressões

equivalentes, resolver equações lineares e utilizar fórmulas simples.

O estudo dos padrões e relações deverá incidir sobre os padrões relacionados com funções

lineares que se verificam quando existe uma taxa de variação constante. Os alunos deverão

resolver problemas, nos quais usem tabelas, gráficos, palavras e expressões simbólicas para

representar e analisar funções e padrões de variação.

A partir de um problema que indica as tarifas de duas companhias de telemóveis: uma

mais barata mas com mensalidade e outra mais cara; ambas cobrando o tempo exacto e não

arredondado o tempo; há que comparar os preços praticados, relativamente ao tempo das

chamadas feitas durante um mês.

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Construída uma tabela e o gráfico de pontos, numa calculadora, o professor deverá

explorar (através de questões oportunamente colocadas) os aspectos fundamentais do

problema, propiciando que os alunos:

- analisem as tabelas e gráficos, para compreenderem os aspectos mais relevantes das

relações neles representadas;

- descrevam verbalmente o padrão formado por cada função representada pelo gráfico;

- interpretem e generalizarem os padrões;

- compreendam a legitimidade de unirem os pontos do gráfico de modo a obterem uma

linha;

- expliquem por que é que um dos gráficos inclui a origem e o outro não;

- expliquem que nas duas situações se verifica uma variação constante no preço a pagar

(cada companhia cobra, por minuto, uma quantia constante);

- identifiquem a relação representada em cada gráfico como uma relação linear;

- tentem escrever uma equação que represente a relação entre as variáveis (preço e tempo);

- comparem os dados das companhias e, eventualmente, decidam qual delas é mais

conveniente e em que circunstâncias;

- descubram se falar o mesmo número de minutos fica ao mesmo preço, nas duas

companhias, e expliquem como pensaram;

- expliquem por que é que pretender falar mais de 60 minutos ou menos de 60 minutos, no

mês, decide a escolha da companhia.

Esta actividade e outras idênticas podem criar as bases para a resolução de sistemas de

equações.

Este problema pode ser alargado e aprofundado, de modo a que os alunos:

- identifiquem características relevantes do gráfico de linhas – ordenada na origem e

declive;

- tirem conclusões, por análise da tabela e do gráfico, após serem alteradas as condições das

tarifas (mensalidade e preço/minuto);

- comparem uma função linear, com uma não linear obtida por alteração das condições da

tarifa (preço não proporcional ao tempo – arredondamento do tempo ao minuto seguinte);

- analisarem as representações gráficas, em tabela e simbólicas, do problema, e

compreenderem quais as características que cada uma delas evidencia.

Este problema permite, ainda, que os alunos visualizem que as equações que encontraram

y=0,45x e y = 0,10x + 20 são ambas equações lineares, que o gráfico correspondente à última

será mais íngreme que o da primeira e que esta intersecta o eixo dos yy no ponto (0, 20), em

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vez de o fazer na origem. Ou seja, os alunos devem ser capazes de usar equações da forma y

= mx + b para representarem relações lineares e compreenderem como os valores do declive

(m) e ordenada na origem (b) afectam a recta.

Os alunos precisam de oportunidades para modelar relações do dia a dia, como este

problema das

“companhias de

telemóveis”. Um

problema do dia-a-dia,

aparentemente simples,

que pode, quando bem

explorado, contribuir

para a aprendizagem de

noções fundamentais da álgebra. Para trabalhar as noções ligadas à variação, os alunos

poderão começar por analisar estes dois gráficos que representam relações distintas da mesma

situação, que os alunos terão de compreender e distinguir. É importante que os professores,

através da colocação de questões pertinentes, propiciem aos alunos:

- verificar que para, p.e., 4 minutos, o valor, que lhe corresponde no 1.º gráfico, representa

o preço do minuto 4, e no 2.º gráfico representa o custo de falar durante 4 minutos;

- verificar que, para 8 minutos, o valor, que lhe corresponde no 1.º gráfico, é igual ao valor

para 4 minutos, e no 2.º gráfico é o dobro do que corresponde a 4 minutos;

- compreender que na relação representada no 1.º gráfico não há variação; que no 2.º

gráfico há variação e ela é sempre igual e, portanto, constante e igual ao declive;

- compreender a noção de taxa de variação nula;

- distinguir a noção de variação (preço/minuto) da noção de acumulação (custo das

chamadas).

O trabalho que envolve variáveis e equações constitui uma importante componente do

currículo destes anos de escolaridade. Neste nível etário, o conhecimento dos alunos, sobre

variáveis, tem que ultrapassar o reconhecimento de que uma letra pode ser usada na

representação de uma incógnita em equações (Schoenfeld e Arcavi, 1988, in NCTM, 2000).

Antes de trabalhar com variáveis e expressões algébricas, muitos alunos precisam de praticar

na interpretação de relações entre quantidades, em problemas e contextos diversos. Como

vimos no problema da “torre de cubos”, as relações entre quantidades podem ter mais do que

uma representação simbólica, o que sensibiliza os alunos para a equivalência entre expressões

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algébricas. Em alguns casos, a equivalência entre expressões pode ser demonstrada

geometricamente.

Na figura está demonstrada

visualmente a identidade (a + b)2

= a2 + 2ab + b2, começando por

um caso concreto e,

posteriormente, generalizando.

Álgebra - do 9.º ao 12.º ano

Os alunos, do 9.º ao 12.º ano, deverão complementar as experiências vividas nos níveis de

aprendizagem anteriores com actividades que lhes proporcionem oportunidades para:

- compreender e analisar padrões, relações e funções com maior aprofundamento do que

nos anos anteriores, e ser capaz de os representar através de tabelas, gráficos e símbolos;

- ampliar o leque de funções conhecidas;

- representar e estudar funções polinomiais, exponenciais e periódicas, utilizando

ferramentas tecnológicas;

- expressar funções de formas equivalentes, compor funções e determinar a função inversa

de uma função;

- compreender o conceito de classe de funções e identificar as suas características;

- compreender as propriedades algébricas, que justificam a manipulação dos símbolos, nas

expressões, equações e inequações, e adquirir destreza na execução dessas manipulações,

quer seja mentalmente, quer seja com papel e lápis ou com tecnologia;

- modelar e analisar diversos fenómenos do mundo real que proporcionam aos alunos meios

eficazes de dar sentido aos conceitos matemáticos subjacentes.

Assim, para além da consolidação do conhecimento sobre as funções do tipo y = mx + b, e

sobre todas as funções do tipo y = (m+k)x + (b+k) verificando que passam pelo ponto (-1, b-

m), os alunos deverão ter muita prática na investigação das propriedades de diferentes tipos de

funções não lineares, quadráticas e exponenciais.

Consideremos o exemplo de uma função quadrática. No estudo da função f(x) = x2 – 2x –

3, os alunos deverão aprender que:

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- é quadrática;

- o seu gráfico é uma parábola;

- a parábola é “voltada para cima” porque o coeficiente do termo de maior grau é positivo;

- a parábola intercepta o eixo das abcissas em dois pontos.

- E, também, que:

- algumas equações quadráticas só possuem uma raiz dupla e por isso o seu gráfico só toca,

num ponto, o eixo das abcissas;

- outras equações quadráticas não possuem raízes reais, por isso o seu gráfico não intercepta

o eixo dos xx.

A análise desta família de funções, do tipo y = ax2 + bx + c, permitirá explorar os efeitos

da alteração de parâmetros:

- a alteração dos parâmetros a e c provocam mudanças no gráfico, a parábola é mais aberta

ou mais fechada, está voltada para cima ou para baixo;

- a alteração de b resulta numa translação da parábola ao longo de uma linha não vertical e

os vértices observados nas parábolas formadas à medida que b varia formam também uma

parábola.

Na investigação de funções do tipo y = a(x-h)2 + b(x-h) + c, a observação da alteração dos

gráficos, à medida que o valor de h varia, permitirá uma maior compreensão das

transformações subjacentes.

Outro exemplo: todas as funções exponenciais do tipo f(x) = a.bx + c, com a > 0 e b > 1,

partilham de determinadas propriedades.

Ao observarem e descreverem as características das funções, da figura, através das respostas a

questões do tipo:

- “O que é que acontece a cada uma destas funções para valores de x positivos e elevados?”;

- “E para valores de x negativos e elevados?”;

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- “Onde é que interceptam o eixo dos yy?”,

os alunos podem dizer que os valores de cada função aumentam rapidamente para valores

positivos e elevados de x, e que a intercepção do eixo dos yy pode ocorrer em cada gráfico,

em a + c.

Nos casos em que a < 0 e 0 < b < 1, poderão descobrir que a mudança de sinal de a, irá

provocar a reflexão do gráfico ao longo de uma linha horizontal, e que a alteração de b para

1/b irá provocar uma reflexão do gráfico relativamente ao eixo dos yy, mantendo os gráficos a

mesma forma.

Neste nível de aprendizagem os alunos deverão usar argumentos algébricos para justificar

e resolver problemas em diversas áreas curriculares, como se elucida nos exemplos seguintes:

Exemplo 1: Um problema da teoria dos números – “O que sabes dizer acerca do número

resultante da subtracção de uma unidade ao quadrado de um número inteiro ímpar?”.

Com este problema demonstra-se que “o quadrado de qualquer número inteiro ímpar tem uma

unidade a mais que um múltiplo de oito”.

É fácil verificar que é verdade para os primeiros números inteiros ímpares: para o inteiro

ímpar 1, 12 – 1 = 0 é múltiplo de 8; para o inteiro ímpar 3, 32 – 1 = 8 é múltiplo de 8; para o

inteiro ímpar 5, 52 – 1 = 24 é múltiplo de 8, etc.

Será esta propriedade generalizável?

Para um número inteiro ímpar qualquer, convém representar os números ímpares por 2n +

1 e operar algebricamente sobre essa mesma representação,

(2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 – 1 = 4n2 + 4n = 4n (n + 1)

e como ou n ou n + 1 é par, logo 4n (n + 1) é divisível por 8.

Exemplo 2: Um problema de geometria – Justificar algebricamente uma representação

geométrica do Teorema de Pitágoras.

As equações da figura sugerem uma justificação algébrica para um argumento visual do

Teorema de Pitágoras.

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Exemplo 3: Um problema de geometria analítica – Justificar algebricamente a seguinte

conjectura geométrica “As medianas de um triângulo interceptam-se num ponto”.

Para esta demonstração, podemos usar um sistema de coordenadas sobre um triângulo

geral, de modo que o eixo de coordenadas coincida com um dos lados do triângulo, como

ilustra a figura.

Esquema que ilustra a utilização da geometria de coordenadas para demonstrar que as medianas de um triângulo se interceptam num ponto.

Os alunos podem:

- determinar o ponto em que se interceptam duas das medianas;

- mostrar que a terceira mediana passa por esse ponto.

- Esta abordagem estimula o desenvolvimento da compreensão sobre a geometria, variações

algébricas e generalizações.

Relativamente à análise e discussão sobre variação em diversos contextos, os alunos já

aprenderam em anos anteriores (ver exemplo da comparação dos custos de dois tarifários

diferentes para chamadas telefónicas) que a variável dependente varia uma quantidade

constante, num certo intervalo, por cada unidade alterada na variável independente.

Do 9.º ao 12.º ano, os alunos deverão analisar situações em que as quantidades variem de

maneira bastante mais complexa, e em que as relações entre as quantidades e as suas taxas de

variação sejam menos evidentes.

Consideremos, por exemplo, a situação (adaptada por Carlson (1998), pg.147) da figura.

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Para poderem responder, com compreensão, a estas questões, os alunos deverão:

- reflectir sobre quais as variáveis que estão representadas no diagrama e de que modo

variam;

- perceber que a variável no eixo vertical é a velocidade e não a posição;

- perceber que o automóvel A percorreu uma distância superior à do automóvel B, devido

ao facto de a velocidade do automóvel A ser superior à do B (alínea a);

- observar que, para t = 1 hora, ambos os automóveis viajam à mesma velocidade(alínea b);

- ter um conhecimento intuitivo da taxa de variação instantânea e que a aceleração constitui

a taxa de variação da velocidade;

- compreender que , para t = 1 hora, a velocidade do automóvel B começa a crescer muito

mais rapidamente do que a do A, o que significa que o automóvel B vai com uma

aceleração muitíssimo superior à do A (alínea c);

- concluir que, no intervalo de tempo entre t = 0,75 hora e t = 1 hora, o automóvel B está a

acelerar mais rapidamente que o A, e que, para valores próximos de t = 1 hora, embora se

encontre muito atrás, o automóvel B vai “apanhar” o A (alínea d, que, segundo Carlson

(1998, in NCTM, 2000), se revela muito difícil para os alunos).

Questões como “Qual dos automóveis se desloca mais rapidamente no intervalo de tempo

entre t=0,75 hora e t = 1 hora?” poderão contribuir para compreender que o automóvel A se

encontra à frente do B, que se move mais rapidamente e que, por isso, se afasta do automóvel

B.

O automóvel B começa a alcançar o A só ao fim de t = 1 hora.

Bibliografia

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APM (1988). Renovação do Currículo de Matemática. Lisboa: APM

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Matemática nº 84, 2-5.

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NCTM (2007), Princípios e Normas para a Matemática Escolar, Lisboa: APM

Ponte, J. (2000), Principles and Standards for School Mathematics, um novo documento de

orientação curricular do NCTM, Educação e Matemática nº 60, 64-66