PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II Modulação em Largura de Pulso...
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PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÃO II
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Modulação em Largura de Pulso - PWM
O sistema PWM consiste em variar a largura do pulso da portadora, proporcionalmente ao sinal
modulante, mantendo constantes a amplitude e o intervalo de tempo a que os pulsos se repetem.
Podemos classifica o PWM como:
- PWM simétrico, quando temos variações em ambos os bordos do pulso.
- PWM assimétrico, quando temos variações em apenas um bordo de cada vez.
A figura abaixo mostra as formas de onda do PWM.
A largura instantânea do pulso é uma função do sinal modulante dada por:
)()( teKt mo ×+= ττ onde τ(t) é a largura instantânea do pulso;
K é a constante do circuito modulador, capaz de converter as
variações de tensão de em(t) em variações da largura de τ(t).
K= s/v (segundos por Volt)
Se utilizarmos um sinal modulante cossenoidal, com uma expressão do tipo:
tEte mmm ωcos)( ×=
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Então teremos o seguinte desenvolvimento:
tEKt mmo ωττ cos)( ××+=
×
×+×= t
EKt m
o
mo ω
τττ cos1)(
Definimos o índice de modulação PWM:
o
mEKm
τ×
= onde 0 ≤ m ≤ 1
O formato ideal para a portadora trem-de-pulsos que vai ser modulada em PWM é com ciclo de
trabalho de 50%, ou seja, um trem-de-pulsos simétrico. Conforme demostrado pela equações abaixo:
tEKt mmo ωττ cos)( ××+=
Quando cosωmt = 1 τ(t) = τmáx
momáx EK.+=ττ
Quando cosωmt = -1 τ(t) = τmín
momín EK .−= ττ
Se considerarmos a máxima largura do pulso modulado coincidente com o período e a mínima largura
sendo nula, teremos:
momáx EK.+=ττ Resolvendo as duas equações, temos
momín EK .−= ττ 2o
o
T=τ
Um trem-de-pulsos desenvolvida em Série de Fourier, sendo descrito como:
tnT
nn
ET
Ete o
o
o
n
o
o
ooo ω
πτπ
τcos.sen.
12.)(
1∑
∞
=
+=
No caso do sinal modulado PWM, ao invés de τo, temos τ(t) na expressão final.
Então:
tntTnm
Tn
nE
tTEm
TE
te
tntmT
nn
Etm
TE
te
tnT
tnn
ET
tEte
omo
o
o
o
n
om
o
oo
o
oo
omo
o
n
om
o
oo
oon
o
o
o
ωωπτπτπ
ωττ
ωωπτπ
ωτ
ωπτπ
cos.cos.
sen.12
cos...
)(
cos).cos1.(sen.12
)cos1.(.
)(
cos.)(
sen.12).(
)(
1
1
1
+++=
+++=
+=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
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Sendo que podemos definir os seguintes termos:
1. o
oo
TE τ.
valor constante, independente do tempo, é o valor médio do sinal modulado e(t).
2. tTEm
mo
oo ωτ
cos..
raia correspondente ao sinal modulante, pois está situada na velocidade wm.
3. 2
1
.. .sen
. . . . .. cos . cos
E nT
n mT
t n to o
o
o
om o
nππ τ π τ
ω ω+
=
∞
∑ que é a função de Bessel, e que desenvolve
numa somátoria de cossenóides de velocidades angulares múltiplas de wm. Como essa parcela está
multiplicada por cosn toω , teremos para cada valor n, um espectro semlhante ao do sinal modulado
em FM, centrado em um harmônico da portadora.
Na figura abaixo mostramos o espectro de amplitudes do sinal modulado PWM
Largura de Faixa Ocupada pelo Sinal Modulado
A largura de faixa de um trem-de- pulsos é dada por:
B = 1τ
No caso de um sinal PWM, temos τ τ= ( )t e, para determinarmos a maior largura de faixa
ocupada pelo sinal modulado PWM, consideremos τ τ( )t min= . Assim:
τ τmin o m= −( )1 e Bmo
==
11τ ( )
com m < 1
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Cicuitos Moduladores PWM
O principio básico para um modulador PWM é fazer com que uma variação de amplitude se
converta, de forma linear, em variação do espaço de tempo transcorridos entre dois eventos. Utilizando a
soma do sinal modulante com uma rampa, simétrica ou assimétrica, obtida a partir da portadora é possível
fazer essa modulação. Ver figura:
O circuito R2, C2 é um integrador que transforma a portadora em uma onda triangular que
acoplada por C3 e R3, soma-se ao sinal modulante (R1, C1) através do operacional A1. O divisor
resistivo formado por R6, R7 e P1 ajusta o nível DC da tensão de saída do somador, para torná-la
compatível com a tensão de disparo do Schmitt-Trigger.
O nível de disparo do Schmitt- Trigger é constante e dado pelos próprios componentes do circuito
e ao variarmos a posição do cursor P1 alteramos a profundidade de modulação dada a portadora. Podemos
deduzir que se fixados τo e EM, o potenciômetro P1 altera o índice de modulação, sendo responsável pelo
“K” do circuito. Na figura mostramos a analise do sinal em cada ponto do circuito.
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Na figura abaixo mostramos uma alternativa de modulador PWM assimétrico de bordo esquerdo e
um integrador para gerar PWM de bordo direito com seus respectivos sinais. Em ambos os integradores, o
resistor R13 é muito menor que R2, de maneira que a carga do capacitor seja lenta, feita somente por r2, e
a descarga é rápida, feita por R13 em paralelo com R2. O comportamento do segundo circuito é o inverso
do primeiro.
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Outro modo de geração do sinal PWM é através do CI 555 ou 556, conforme figura abaixo. A
portadora gerada internamente por esse modulador é um trem-de-pulsos com freqüência dada por:
1).2.21(44,1
CRRfo +
= e ciclo de trabalho 2.21
2RR
Rct
+=
Demodulação do Sinal PWM
A demodulação do sinal PWM pode ser feita por dois processos:
1.Utilizando um circuito detetor de envoltória com um filtro passa-baixas. O inconveniente deste
processo é que há uma inevitável interferência das bandas laterais relativas a fo, causando uma distorção
que só poderia ser eliminada se aumentássemos muito fo. Ocorre que esse aumento exigiria uma largura
de faixa muito maior que aquela calculada, tornando o sistema inviável em função da largura de faixa
ocupada.
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Então, a ser o aumento de fo até o ponto em que isso provoque uma distorção tolerável no sinal
recuperado, mantendo a largura da faixa originalmente determinada.
Tomando por base os valores de Bessel, podemos chegar a um conjunto de equações que definem
a freqüência mínima de portadora, em função do índice de modulação e da freqüência do sinal modulante,
tendo como parâmetro a distorção. Essas expressões, giraram em torno do intervalo 0 < m < 1.
Distorção de 1%:
fo ≥ fm . (3,5 + 2,5 . m)
Distorção de 2%:
fo ≥ fm . (2,9 + 2,2 . m)
Distorção de 5%:
fo ≥ fm . (2,2 + 2 . m)
Distorção de 10%:
fo ≥ fm . (2 + m)
Essas expressões levam em conta que o ciclo de trabalho da portadora é de 50%. Outros valores
do ciclo de trabalho provocam variações no termo que está multiplicando o índice de modulação.
Na modulação PWM, a observância restrita do Teorema da Amostragem (ou seja: fo = 2. fm)
provocará uma distorção no sinal recuperado seguramente maior que 10%.
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2.O outro processo é chamado de “Demodulação Indireta” e consiste em converter o sinal PWM
em PAM, fazendo posteriormente uma amostragem com retenção e uma filtragem passa-baixas, para
recuperar a informação. A figura abaixo mostra um diagrama de blocos básicos para este demodulador.
A figura abaixo mostra as formas de onda relacionadas aos pontos numerados no diagrama de
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blocos do demodulador.
Convém observar que a melhor opção do tipo de PWM a usar para esta demodulação é o
assimétrico de bordo direito, pois todos os instantes de sincronismo são obtidos em relação ao bordo de
subida do pulso modulado PWM. Outro detalhe é relativo às formas de onda nos pontos 6 e 7, que
supõem o circuito já em funcionamento, pois se este tivesse sido ligado em condições iniciais nulas, no
instante do início do gráfico, a forma de onda deveria iniciar em zero.