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Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
• Sistemas compostos. Emaranhamento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 47
Vetores de Estado
e o
Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 48
Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 49
Sistemas de dois estados
fóton refletido
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 50
cara coroafóton transmitido
Sistemas de dois estados
=2
1
a
aAgrandeza física observável:
a2a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 51
A = ? a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 52
Aa1 a2
sistema tem
A = a1
sistema tem
A = a2
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais
(e de comprimento unitário) em um espaço de
duas dimensõesa
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 53
1a
2a
sistema tem
A = a2
sistema tem A = a1
A notação de Dirac
vetor ↔ L
identificação
aa
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 54
↓↑
b↔
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
2a
?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 55
1aAa1 a2
O que muda é o seguinte:
O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.
2211 acac +=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 56
1a
2a ψ
Significado de |ψ⟩
• A = a1 e A = a2 ?
• esquerda e direita?
• horizontal e vertical?
2a ψ
• horizontal e vertical?
• sim e não?
• 0 e 1?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 57
1a
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito
mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do
espaço de estados.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 58
1a
2a
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.
χβ+ϕα=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 59
ϕ
χ ψ
Uma complicação
• As constantes c1 e c2 podem ser números
complexos (o espaço de estados é um
espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como
esta:esta:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 60
1a
2a
ψc2
c1
Outras complicações
• Qual o significado de “ortogonalidade”
num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um
vetor nesse espaço?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 61
1a
2a
?
Produto escalar
O produto escalar ⟨ϕ|ψ⟩ dos vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ é umnúmero complexo com as seguintes propriedades:
1. |ψ⟩ = |ψ1⟩ + |ψ2⟩ ⇒ ⟨ϕ|ψ⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 62
2. |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ⟨ϕ|χ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
3. ⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩* (* indica o conjugado complexo)
4. ⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0 (note que (3) implica em ⟨ψ|ψ⟩ real)
5. ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0 (“0” é o vetor nulo)
Produto escalar
Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como
1. ⟨ϕ|ψ +ψ ⟩ = ⟨ϕ|ψ ⟩ + ⟨ϕ|ψ ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 63
1. ⟨ϕ|ψ1+ψ2⟩ = ⟨ϕ|ψ1⟩ + ⟨ϕ|ψ2⟩
2. ⟨ϕ|cψ⟩ = c ⟨ϕ|ψ⟩
Produto escalar
• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.
• Uma consequência disso é que o produto escalar é • Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:
⟨ cϕ|ψ⟩ = c*⟨ϕ|ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 64
Ortogonalidade
Os vetores |ϕ⟩ e |ψ⟩ são ortogonais se seu produto escalar é zero:
0=ψϕ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 65
0=ψϕ
Norma
A norma ||ψ|| do vetor |ψ⟩ é definida por
ψψ=ψ
• ||ψ|| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ψ⟩
• |χ⟩ = c |ψ⟩ ⇒ ||χ|| = |c| ||ψ||
• ||ψ|| = 0 ⇔ |ψ⟩ = 0
• outra notação: || |ψ⟩ || ≡ ||ψ||
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 66
O produto escalar em termos das componentes
2211
2211
adad
acac
+=ϕ
+=ψ
121
*
2212
*
1222
*
2111
*
1 aacdaacdaacdaacd +++=ψϕ
• Usando as propriedades (1), (2) e (3):
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 67
• Como |a1⟩ e |a2⟩ são ortogonais, ⟨a1|a2⟩ = ⟨a2|a1⟩ = 0 e portanto
222
*
2111
*
1 aacdaacd +=ψϕ
• Como |a1⟩ e |a2⟩ têm comprimento unitário, ⟨a1|a1⟩ = ⟨a2|a2⟩ = 1, temos finalmente que:
2
*
21
*
1 cdcd +=ψϕ
As componentes em termos do produto escalar
2211 acac +=ψ
2121111 aacaaca +=ψ
• Usando as propriedades (1) e (2) temos
• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 68
• Como ⟨a1|a1⟩ = 1 e ⟨a1|a2⟩ = 0,
ψ= 11 ac
• Da mesma forma,
ψ= 22 ac
2,1n,ac nn =ψ=• Ou seja:
A norma em termos das componentes
2
*
21
*
1 cdcd +=ψϕ
2
2
2
12
*
21
*
1 cccccc +=+=ψψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 69
2
2
2
1 cc +=ψ
A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a
2a
ψc2
c
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 71
1a c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
2
2
2
1
2
nn
cc
c)a(P
+=
(n = 1, 2)
A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a2a122
2
11
cc
c)a(P
+=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 72
|ψ⟩ a2a1
a2a1
medidor de “A”
2
2
2
1 cc +
2
2
2
1
2
22
cc
c)a(P
+=
A regra de Born
Como
e
ψ= nn ac
2
2
2
1 cc +=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 73
2
2
n
n
a)a(P
Ψ
Ψ=
a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:
21 cc +=ψ
Probabilidade total
1cc
c
cc
c)a(P)a(P
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
121 =
++
+=+
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 74
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
Normalização do vetor de estado
Ψ
Ψλ=Φ
2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 75
|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
c
cc
c)a(P n2
2
2
1
2
n
2
2
2
1
2
nn ΨΦ =
+=
λ+λ
λ=
Ψ×λ=Φ
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado
físico.
Podemos trabalhar apenas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 76
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1=Ψ
1cc,acac2
2
2
12211 =++=Ψou seja,
1aa 21 ==Note que |a1⟩ e |a2⟩ já estão normalizados:
2
nn c)a(P =
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac +=ψ
aa2
c)a(P =
(normalizado)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77
a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
11 c)a(P =
2
22 c)a(P =
|ψ⟩
Vetores normalizados: a Regra de Born
Em termos do produto escalar, se |Ψ⟩ está normalizado a probabilidade é dada por:
2a)a(P Ψ=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78
2
nn a)a(P Ψ=
Amplitude de probabilidade
cn = ⟨an|Ψ⟩ ⇔ amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 79
Ψ=Ψ nn x)x(função de onda:
2
nn )x()x(P Ψ=
Amplitude de probabilidade
De forma mais geral:
• ⟨Φ|Ψ⟩ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
Ψ → Φ ⟨Φ Ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 80
• P(Ψ → Φ) = |⟨Φ|Ψ⟩|2 = probabilidade de uma medida resultar em |Φ⟩, para um sistema no estado |Ψ⟩
• P(Ψ → Φ) = P(Φ → Ψ) embora ⟨Φ|Ψ⟩ ≠ ⟨Ψ|Φ⟩ (⟨Φ|Ψ⟩ = ⟨Ψ|Φ⟩*)
Frequência dos resultados de medidas
N medidas de A(N→ ∞)
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
N1 ↔ a1
N2 ↔ a2
acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 81
Ψa2a1
••• podemos prever
a frequência dosresultados:
2
111 c)a(P
N
N==
2
222 c)a(P
N
N==
2211 acac +=Ψ
Valor médio dos resultados
valor médio de A:
N
aNaNA 2211 +
=
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 82
Ψa2a1
•••
2211 acac +=Ψ
2
2
21
2
1 acacA +=
Incerteza
2211 acac +=Ψ
a
2a
Ψc2
c1, c2 ≠ 0
impossível prever o
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 83
possível prever o resultado
(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
c1
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ==↔=ΨouSe
1c,0ca 212 ==↔=Ψ
Incerteza
2211 acac +=Ψ
∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩
( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 84
( ) AAAA)A( −=−=∆
1a=Ψou
2a=Ψ∆A = 0
Complementaridade
e o
Princípio da IncertezaPrincípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 85
Complementaridade
a2a1
A1a
2a
duas grandezas
físicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 86
B
b2b1
2b
1b
físicas: A e B
Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
A e B compatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 87
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
O Princípio da Incerteza
2b
2a
Ψ
A e B incertos
(∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)
A bem definido, B incerto
(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)
B bem definido, A incerto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 88
1b
1a
B bem definido, A incerto
(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)
O Princípio da Incerteza
2b
2a
Ψ
A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 89
1b
1a
Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p ⟩, |p ⟩ (“repouso”, “movimento”)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 90
dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)
2p1p
2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
Resumo da “cinemática” quântica
estado físicovetor no espaço
de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 91
grandeza física
sistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
Resumo da “cinemática” quântica
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
2a
a
projeção do vetor de estado no eixo |an⟩
⇓probabilidade da
medida resultar em A = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 92
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
1a em A = an
• “Colapso” durante uma medida
• Evolução unitária (equação de
Como o vetor de estado muda com o tempo?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 93
• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
Colapso do vetor de estado
a2a1Ψ
antes da
medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 95
a2a1 2adepois da
medida
Colapso do vetor de estado
2a
Ψ
resultado
A = a2
resultado
A = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96
1a
A = a1
medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩
Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:
– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais fóton após a primeira medida.
– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 97
Medidas simultâneas de duas grandezas
Ψ Φa2a1
b2b1
(A, B)
(∆ A ≠ 0, ∆B ≠ 0) (∆ A = 0, ∆B = 0)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 98
(A, B)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |Φ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:
|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩
• Dinâmica quântica: determinada pela
energia do sistema (o conceito de força
é pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100
A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 101
2211 EcEc)0t( +==Ψ
2
/tEi
21
/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que ascomponentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t ≠ 0 elas serão complexas:
A (solução da) equação de Schroedinger
• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação deSchroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) edeterminista (sem elementos probabilísticos).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 102
h/tEi
nnnec)t(c
−=
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
Ψ→Ψ
Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ
)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 103
t = 0 t ≠ 0
Demonstração da linearidade
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
+=Ψ
+=Ψ
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
β+α+β+α=
Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104
222111 E)dc(E)dc( β+α+β+α=
( ) ( ))t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2
/tEi
21
/tEi
12
/tEi
21
/tEi
1
2
/tEi
221
/tEi
11
2121
21
Ψβ+Ψα=
+β++α=
β+α+β+α=Ψ−−−−
−−
hhhh
hh
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conservação da norma do vetor de estado:
)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ
)0(Ψtamanho não muda
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 105
• Conservação da ortogonalidade entre vetores:
)0(Ψ
)t(Ψ
)0(Φ)t(Φ
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
Conservação do produto escalar
2
/tEi
21
/tEi
1
2
/tEi
21
/tEi
1
EedEed)t(
EecEec)t(
21
21
hh
hh
−−
−−
+=Φ
+=Ψ
2
*
21
*
1
/tEi
2
/tEi*
2
/tEi
1
/tEi*
1
cdcd
)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211
+=
+=ΨΦ −−−+ hhhh
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 106
2211 cdcd +=
)0()0()t()t( ΨΦ=ΨΦ
conservação da norma:
conservação da ortogonalidade:
)0()t( Ψ=Ψ
0)t()t(0)0()0( =ΨΦ⇒=ΨΦ
• Determinismo
• Continuidade
• Linearidade
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
• Conservação da norma
• Conservação da ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 107
Estados estacionários
nE)0( =Ψ n
/tEiEe)t( n h−=Ψ
mesma “direção” que |En⟩
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 108
• |Ψ(0)⟩ e |Ψ(t)⟩ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
Conservação da energia
2
/tEi
21
/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
2
n
2/tEi
nn cec)t,E(P n == − h
22EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 109
)0()t(EE
ΨΨ=
)0t,E(P)t,E(P nn ==
2
2
21
2
12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE +=+=
Ψ
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:
– contínua
– determinista
– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:
– descontínuo
– probabilístico
– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 110
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.
– A = a e A = a– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado:
– interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).
– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 111
O “problema da medida”
Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 112
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
22 aa ⇒↑
11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo!
aparelho de medida:
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradasno mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estadoscom a observação de apenas alguns poucos estadosmacroscópicos?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113
Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquerprocesso de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio denão podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo emuma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e nãofosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114
Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 115
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
Sistemas de 3 estados
2a
1a a3a1a2
Três valores possíveis para a grandeza A:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 117
1a
3a
332211 acacac ++=Ψ
3,2,1,||)( 2 == ncaP nn
Sistemas de N estados
2a
1a
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2
...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 118
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares) ∑
=
=ΨN
1n
nn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2
nn K==
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:
∑∞
=
=Ψ1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 119
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
∫=Ψ a)a(cda
∫′′
′
=′′′a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:
probabilidade:
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
∫ Ψ=Ψ x)x(dx
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 120
∫ Ψ=2
1
x
x
2
21 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: Ψ(x)
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 121
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn
nn
Produto escalar
∑∑==
=Φ=ΨNN
1n
nn
1n
nnab,ac
∑∑∞∞
=Φ=Ψnnnn
ab,ac
∑=
=ΨΦN
1n
nnc*b
∑∞
=ΨΦnn
c*b
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 122
∑∑== 1n1n
∑=1n
∫∫ Φ=ΦΨ=Ψ x)x(dx,x)x(dx
∫ ΨΦ=ΨΦ )x()x(*dx
Produto escalar
∫∑
∫∑+=Φ
+=Ψ
E)E(bdEEb
E)E(cdEEc
n
nn
n
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 123
∫∑ +=ΨΦ )E(c)E(*bdEc*bn
nn
Sistemas compostos
|an⟩I |bs⟩II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 125
sistema I sistema II
∑β=χs
IIssIIb∑α=ϕ
nInnI
a
Sistemas compostos
subsistema I
|an, bs ⟩
subsistema II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 126
∑=Ψs,n
sns,n b,ac
subsistema I subsistema II
sistema composto
Produto tensorial
IIsInIIsInsn babab,a ⊗≡≡
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 127
A notação do produto tensorial tornaevidentes algumas propriedades que osestados do sistema composto devem ter.
Produto tensorial
Por exemplo:
∑β=χs
IIssIIb
∑α=ϕn
InnIa• sistema I no estado
• sistema II no estado
sistema composto no estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 128
sistema composto no estado
∑
∑
∑∑
βα=
βα=
β
α=χϕ=χϕ
s,n
snsn
s,nIIsInsn
sIIss
nInnIII
b,a
ba
ba,
Produto tensorial
IIsIIInIsnsn ba,b,a χϕ=βα=χϕ
Note que
ou, de maneira geral,
**)(*)(,,
ββ′
αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 129
IIIIII
s
ss
n
nnsn
s,n
sn **)(*)(,,
χχ′ϕϕ′=
ββ′
αα′=βαβ′α′=χϕχ′ϕ′ ∑∑∑
)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn =
Uma consequência disso é
Estados separáveis
• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):
IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩
∑=Ψs,n
sns,n b,acEstado geral do sistema composto:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 130
IIIχϕ=Ψ ↔ sistema I no estado |ϕ⟩, sistema II no estado |χ⟩
∑ βα=Ψs,n
snsn b,a
sns,nc βα=
Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc βα=
Estados emaranhados
2211 b,a2
1b,a
2
1+=Ψ
0e1
12212211 =βα=βα=βα=βα
Exemplo: o estado
não é separável, do contrário deveríamos ter
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 131
0e2
12212211 =βα=βα=βα=βα
Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.
o que é impossível. A primeira equação diz que todos os α’s e β’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.
Estados emaranhados
∫ Ψ=Ψ 212121 x,x)x,x(dxdx
)x()x()x,x( 2121 χϕ=Ψ
Outro exemplo: a função de onda de duas partículas
O estado |Ψ⟩ é separável se
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 132
pois nesse caso
( ) ( )IIIII222
I111 x)x(dxx)x(dx χ⊗ϕ=χ⊗ϕ=Ψ ∫∫
Se o estado |Ψ⟩ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121 χϕ≠Ψ
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 133