108

TEMA VII

AVENIDA DE DISEÑO. Objetivo: Determinar la avenida de diseño para obras hidráulicas. Para diseñar obras de aprovechamiento o de protección si se necesita la información acerca de escurrimientos en una sección de interés. En muchas ocasiones se cuenta poca o ninguna información de mediciones que le permitan conocer la historia de los escurrimientos por lo que tiene que recurrir a estimarlos a partir de los datos de precipitación. La relación entre escurrimiento y precipitación es muy compleja, depende de las características de la cuenca y por otra de la distribución de la lluvia en la cuenca y en el tiempo. Debido a lo complejo del fenómeno se ha desarrollado una gran cantidad de métodos para relacionar la lluvia con el escurrimiento.

PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE UNA CUENCA.

Cauce principal

Parteaguas Punto de Interes

109

Las características de la cuenca que interesan para las relaciones lluvia-escurrimiento son en 2 aspectos:

Volumen de escurrimiento producido por una tormenta dada. La forma del hidrograma.

Características:

Area de la cuenca (A) Longitud del cauce (L) Pendiente del cauce (S)

LOS PARÁMETROS QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE CONVERSIÓN LLUVIA-ESCURRIMIENTO.

• Área de la cuenca • Altura total de precipitación • Características generales o promedio de la cuenca (forma, pendiente,

vegetación, etc). • Distribución de la lluvia en el tiempo. • Distribución en el espacio de la lluvia y de las características de la

cuenca.

PARÁMETROS QUE DEFINEN LA FORMA DEL HIDROGRAMA. a) Volumen de escurrimiento directo Ve b) Tiempo de concentración (tc) que se define como el tiempo que tarda el agua en trasladarse desde l punto más alejado de la cuenca hasta la salida de la misma. c) Tiempo pico (tp) es el tiempo que transcurre entre el momento que se inicia el escurrimiento directo y el momento en que alcanza su valor. a) Tiempo base (tb) es el tiempo que dura el escurrimiento directo.

110

CLASIFICACIÓN DE MÉTODOS.

a. Modelos que requieren únicamente las principales características físicas promedio de la cuenca en estudio.

b. Modelos para lo que es necesario contar con registros simultáneos de precipitación y escurrimiento.

c. Modelos matemáticos. d. Modelos para los que se debe disponer (además de b)) las

características físicas detalladas de la cuenca.

• Al primer grupo corresponden las formulas empíricas • Al segundo grupo se les conoce como modelos de caja negra se calibran a

partir de los datos de ingresos y salida de la cuenca sin tomar en cuenta explícitamente sus características físicas.

• Al tercer grupo se utilizan conceptos de estadística. • Al cuarto grupo pertenecen los modelos que pretenden simular el

proceso de escurrimiento en toda la cuenca aplicando las ecuaciones fundamentales de la hidráulica (complejas).

Ve

Q

111

MODELOS EMPÍRICOS.

Son de utilidad cuando no se tiene información de gastos y solo se conocen características físicas de la cuenca y registros de precipitación.

MÉTODO DE ENVOLVENTES. La idea de estos métodos es relacionar el gasto máximo Q con el área de la cuenca Ac en la forma.

βAcQ =∝ Q, es el gasto máximo α y β son parámetros empíricos.

CREAGER. Formo una gráfica que relaciona el area de la cuenca con el gasto por unidad de área q

Q(m^3/seg/km^2

100

q = 130.3 ((0.386A)α)A-1

α = 0.936/A0.048

112

ENVOLVENTE MUNDIAL

( )( ) 1386.0303.1 −= AAcq α

048.0

936.0A

=α

donde el gasto: q, gasto máximo por unidad de área A, área de la cuenca. Creager encontró que C = 100 para lo datos en que trabajo y se le conoce como envolvente mundial.

LOWRY.

( ) 85.0254+=

AcC

q L

CL es otro coeficiente empírico. Los valores de C y CL se obtienen por regiones. TABLA I.1 Valores del coeficiente C de Creager para las regiones de la República Mexicana.

Región Coeficiente de Creager 1. Baja California Norte 30 2. Baja California Sur 72 3. Río Clorado 14 4. Noreste a) Zona Norte 35 b) Zona Sur 64 5. Sistema Lerma-Chapala-Santiago a) Lerma-Chapala 16 b) Santiago 19 6. Pacífico Centro 100 7. Cuenca Río Balsas a) Alto Balsas 18

113

b) Bajo Balsas 32 8. Pacífico Sur 62 9. Cuenca Río Bravo a) Zona Conchos 23 b) Zona Salado y San Juan 91 10. Golfo Norte 61 11. Cuenca Río Pánuco a) Alto Pánuco 14 b) Bajo Pánuco 67 12. Golfo Centro 59 13.Cuenca río Papaloapan 36 14.Golfo Sur 36 15. Sistema Grijalva-Usumacinta 50 16. Península de Yucatán 3.7 17. Cuencas cerradas del Norte Zona Norte 4 15.Cuencas cerradas del Norte Zona Sur 26

Tabla 8.1 Coeficientes de la envolvente de Lowry.

Región Descripción CL 1 Baja California Noreste (Ensenada) 980 2 Baja California Centro (El Vizcaíno) 530 3 Baja California Suroeste (Magdalena) 2190 4 Baja California Noreste (Laguna

Salada) 1050

5 Baja California Centro este (Sta.Rosalía)

990

6 Baja California Sureste (La Paz) 5120 7 Río Colorado 1050 8 Sonora Norte 760 9 Sonora Sur 2140 10 Sinaloa 3290 11 Presidio-San Pedro zona costera 4630 11 Presidio-San Pedro zona alta 470 12 Lerma -Santiago 1290 13 Huicicila 760 14 Ameca 600 15 Costa de Jalisco 5270 16 Armería-Coahuayana 4940 17 Costa de Michoacán 2100 18 Balsas alto 1090

114

18 Balsas medio y bajo 4450 19 Costa Grande 2100 20 Costa Chica-Río Verde 3180 20 Alto Río Verde 390 21 Costa de Oaxaca (Pto. Angel) 3000 22 Tehuantepec 2170 23 Costa de Chiapas 1190

24A Alto Bravo-Conchos 1020 24B Medio Bravo 5170 24C Río Salado 1410 24D Bajo Bravo 2130 25 San Fernando- Soto la Marina 2330 26ª Alto Pánuco 1360 26B Bajo Pánuco 3010 26C Valle de México 760 27 Tuxpan-Nautla 2450 28 Papaloapan 1750 29 Coatzacoalcos 1840 30 Grijalva-Usumacinta 2130 30 Alto Grijalva 610 31 Yucatán oeste (Campeche) 370 32 Yucatán norte (Yucatán) Sin datos 33 Yucatán este (Quintana Roo) Sin datos 34 Cuencas cerradas del norte (casas grandes) 230

35 Mapimí 36 Nazas 1510 36 Aguanaval 380 37 El Salado 1310

Ejemplo: Estimar el gasto máximo en una cuenca, con área de 300 km^2, localizada en la cuenca de los ríos Atoyoc y Mixteco, de la cual no se tiene información hidrológica. Solución: Debido a la variancia de datos se recurre a las envolventes de Creager. Mundial C = 100 Tabla C = 18.0 (alto balsas).

115

Para C = 100

7118.0300

936.0048.0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=α

( )( ) [ ]smQ /12.3836300*386.0100303.1 37118.0 ==

Para C = 18

( )( ) [ ]smQ /50.690300*386.018303.1 37118.0 ==

FÓRMULA RACIONAL. Se incorporan las características medias de la lluvia y o a través del coeficiente de escurrimiento y el tiempo de concentración, lagunas características de la cuenca además de su área. Si la duración de la lluvia efectiva es > que el tc de la cuenca se alcanza un estado de equilibrio es decir, el volumen que entra por unidad de tiempo por la lluvia será el mismo que el gasto de salida de la cuenca. El tiempo de concentración se calcula con:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 385.0

77.0

000325.0SLtc ó

VLtc

3600= donde V será sacada de la

tabla 8.2 S, pendiente del cauce principal L, longitud del cauce principal en m

116

tc, tiempo de concentración en hr.

360CiAQ =

donde Q, es el gasto a la salida de la cuenca cuando alcanza el equilibrio en m3/s C, coeficiente de escurrimiento i, intensidad media para un t = tc, en mm/hr A, área de la cuenca en ha. Se utiliza para cuencas pequeñas a partir de las curvas i-d-T Tabla 8.3 Valores del coeficiente de escurrimiento.

Tipo del área drenada Coeficiente de escurrimiento Mínimo Máximo Zonas Comerciales Zona comercial 0.70 0.95 Vecindarios 0.50 0.70 Zonas Residenciales Unifamiliares 0.30 0.50 Multifamiliares, espaciados 0.40 0.60 Multifamiliares, compactos 0.60 0.75 Semiurbanas 0.25 0.40 Casas Habitación 0.50 0.70 Zonas Industriales Espaciado 0.50 0.80 Compacto 0.60 0.90 Cementerios, Parques 0.10 0.25 Campos de Juego 0.20 0.35 Patios de Ferrocarril 0.20 0.40 Zonas Suburbanas 0.10 0.30 Calles Asfaltadas 0.70 0.95 De concreto hidráulico 0.70 0.95 Adoquinadas 0.70 0.85 Estacionamientos 0.75 0.85

117

Ejemplo: Determine el gasto de diseño para un periodo de retorno de 10 años a la salida de la cuenca mostrada en la fig.1. Utilice las curvas i-d-T de la fig.2 A1 es una zona suburbana A2 es una zona residencial por casa habitación. Tci = 15 min A1 = 1.5 km2 Tc2 = 5 min A2 = 2.0 km2 Solución:

[ ]min2051521 =+=+= ccc ttt

118

coeficientes tabla 5.2 coeficiente de escurrimiento zona suburbana min = 0.10 máx = 0.30 zona residencial min = 0.50 máx = 0.70 Para toda la cuenca

( ) ( ) 53.025.1

27.05.130.021

2211=

++

=++

=AA

ACACC

Cálculo de la intensidad de lluvia de los datos i.d-T con d = 20 min T = 10 años i = 100 mm/hr Cálculo del gasto de diseño.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

smQ

3

5.51360

100*5.3*100*53.0

MODELOS LLUVIA-ESCURRIMIENTO En el proceso de lluvia escurrimiento, puede considerarse la cuenca como un sistema cuyas entradas y salidas son los registros simultáneos de precipitación y escurrimiento, tratando de encontrar las leyes que rigen la transformación de las entradas (precipitación) en salidas (escurrimientos).

119

MÉTODO DEL HIDROGRAMA UNITARIO.

1. Este método puede considerarse como el de mayor difusión dentro del

grupo de modelos lineales de caja negra. Se presenta el desarrollo del método con respecto al tiempo.

HIDROGRAMA UNITARIO TRADICIONAL.

El hidrograma unitario asociado a una duración d se define como el hidrograma de escurrimiento directo que produce una precipitación efectiva unitaria ( la unidad más frecuentemente utilizada es el mm)

Precipitación efectiva = 1 mm

t (h)

he (mm)

Hidrograma Unitario

t(h)

Q (m3/s)

120

Una vez conocido el hidrograma unitario para una duración dada, el hidrograma producirá una lluvia de cualquier magnitud pero de la misma duración, puede calcularse multiplicando las ordenadas del hidrograma unitario para la magnitud de la lluvia efectiva . Procedimiento:

• Se calcula el hietograma de precipitación media en la cuenca • Se obtiene el hidrograma de escurrimiento directo separándolo del

escurrimiento base. • Se calcula el volumen de escurrimiento directo.

∑ Δ= tQV ie • Se obtiene la altura de la lámina de escurrimiento directo.

c

ee A

VL 001.0=

Le, lámina de escurrimiento directo en mm Ac, área de la cuenca en Km2

• Se calculan las ordenadas del hidrograma unitario, dividiendo cada una

de las ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo entre la lámina de escurrimiento directo, Le.

• Se calcula el hietograma de precipitación efectiva y se obtiene con ello la duración de lluvia efectiva de asociada al H.U. calculado en el paso anterior.

Limitaciones:

Solamente se conoce la función de transformación para lluvias que tengan la misma duración que la que se utilizo en la etapa de calibración.

No se toman en cuenta las variaciones en la intensidad de lluvia.

121

Ejemplo: Calcular el H.U.T. para una cuenca de 888 Km2 Hietograma: a)

T (h) Δhp (mm) 0-2 7 2-4 9 4-6 4 6-8 1 8-10 2

b) Hidrograma de escurrimientos a la salida de la cuenca.

Tiempo (h) Q (m3/s) 0 40 2 80 4 220 6 300 8 200 10 120 12 60 14 40

122

Solución:

Tiempo (hr)

Q (m3/s)

Qd (m3/s)

H.U. (m3/s)

ΔHp (mm)

φ = 7mm/2h

φ = 5mm/2h

0 40 0 0 7 0 2 2 80 40 6.67 9 2 4 4 220 180 30 4 0 0 6 300 160 43.33 1 0 0 8 200 160 26.67 2 0 0 10 120 80 13.30 2≠6 6=6=he 12 60 20 14 40 0 0

∑740 3. ( )( ) 610328.57403600*2 xQitVe ==Δ= ∑

4. mmmxx

AcVeLe 6006.0

1088810328.5001.0001.0 6

6

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

5. 67.6640

= 36

18= etc.

6.Para calcular la duración efectiva de la lluvia a la cual esta asociada el hidrograma unitario calculado en el paso 5 se efectúa lo siguiente:

Calculo de φ

mmxx

AVehe 6

1088810328.5

6

6

===

por lo tanto.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

hrmm

hrmm 5.22

5φ

123

Q(m3/s) de = 4 hrs

Gasto Base

Hidrograma unitario para de=4mm y una lluvia de 1mm

124

Para su aplicación considérese el siguiente hietograma [ ]hrmm 2/10=φ

hrsde 4= múltiplo de 4 por lo tanto

mmhe 15= El hidrograma de escurrimiento directo que se producirá por esa tormenta se obtiene multiplicando las ordenadas del hidrograma unitario por 15 mm.

T(h) H.U *he Q 0 0 0 2 6.67*15 100 4 30*15 450 6 43.33*15 650 8 26.6*15 400 10 13.33*15 200 12 3.33*15 50

0 2 4 6 8 t(h)

20

15

8

10 ϕ

hp (mm)

125

14 0 0

Útil para “de” que son múltiplos de 4 por el principio de superposición de causas y efectos.

[ ]hrsde 8= múltiplo de 4 horas [ ]mmhe 7=

esta compuesta por dos consecutivas cada una con una duración en exceso de 4 horas.

[ ]mmhetotal 7= en las primeras 4 hrs. mmhe 4= en las segundas 4 hrs. mmhe 3= por lo tanto el hidrograma será. (Ojo se desfaso 4 hrs)

0 2 4 6 8 10 12 t(h)

ϕ = 2/2h

de de

126

Primeras 4 hrs Segundas 4 hrs T Q.U. Q.U.(he=4mm) Q.U.(he=3mm) QT 0 0 0 0 2 6.67 6.67*4=26.68 26.68 4 30 30*4=120 0 120 6 43.3 173.33 6.67*3=20 193.33 8 26.67 107.7 30*3=90 197.7 10 13.33 53.32 130 183.32 12 3.33 13.32 80 93.32 14 0 0 40 40 16 0 0 10 10

MÉTODO DE LA CURVA S.

127

El método de la curva S se utiliza para calcular el hidrograma unitario correspondiente a una duración cualquiera d1 a partir de un hidrograma unitario asociado a una duración diferente d0. Esta curva es un hidrograma formado por la superposición de un número de hidrogramas unitarios suficiente para llegar al gasto de equilibrio. Es común que al sumar las ordenadas de los hidrogramas unitarios no se llegue al gasto de equilibrio sino que se presenten oscilaciones en la parte superior de la curva S como se muestra en la figura.

128

Esto ocurre para duraciones en exceso grandes. Cuando sucede esto conviene revisar la separación de gasto base que se hizo, y la duración en exceso, en caso de que sean correctos, por lo tanto se suguiere suavizar la curva S bajo las siguientes consideraciones. a) dett bc −= b) el gasto de equilibrio es

AcdemmiAcQe ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==1

Procedimiento:

1. Se desplaza varias veces el hidrograma unitario conocido, de tal manera que la separación entre cada hidrograma sea igual a la duración de.

2. Se suman las ordenadas de los hidrogramas formados en el paso 1 con la que se obtiene un hidrograma al que se denomina curva S, que corresponde a una lluvia efectiva con intensidad constante i = 1 mm/do.

3. Se desplaza la curva S a una distancia d1 4. Se restan las ordenadas de las curvas S obtenidas en 2 y 3. 5. Las ordenadas del hidrograma unitario deseado, se obtienen

multiplicando los resultados obtenidos en 4 por la relación d0/d1.

d0 = duración de H.U.T d1 = duración que se requiere

Ejemplo: Partiendo del H.U.T del ejemplo anterior obténgase el H.U. asociado a una duración en exceso de 2 horas.

T (hrs)

H.U. (de=4hrs)

H.U.despla (4hrs)

H.U. 8hrs

H.U. 12hrs

H.U. 16hrs

Curva S

Curva S ajustado

0 0 0 0 2 6.67 6.67 6.67

129

4 30 0 30 30 6 43.3 6.67 50 50 8 26.67 30 0 56.67 56.67 10 13.33 43.3 6.67 63.3 61.27 12 3.33 26.67 30 0 60 61.27 14 0 13.33 43.3 6.67 63.3 61.27 16 3.33 26.67 30 0 60 61.27 18 0 13.33 43.3 6.67 63.3 61.27 20 3.33 26.67 30 60 61.27 22 0 13.33 43.3 63.3 61.27 24 3.33 26.67 60 61.27 26 0 13.33

( ) ( ) ( )smmxsegmKm

hrsmmQe /27.6110888*

4*3600001.0888*

41 3262 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

130

Se desplaza la curva S una vez un tiempo de 2 hrs.

t Curva S ajustada (1)

Curva S desplazada 2 hrs (2)

Paso 4 (1)-(2)

0 0 0 2 6.67 0 6.67 4 30 6.67 23.33 6 50 30 20 8 56.67 50 6.67 10 61.27 56.67 4.60 12 61.27 61.27 0 14 61.27 61.27 0 16 61.27 61.27 0 18 61.27 61.27 0 20 61.27 61.27 0

131

22 61.27 61.27 0 24 61.27 61.27 0

Graficando:

Paso 5 Duración del HUT = 4 hrs = 4 = 2

2 Duración que se requiere = 2 hrs.

t Q (1-2) H.U. para 2 hrs. 0 0 0 2 6.67 6.67*2=13.33 4 23.33 23.33*2=46.66 6 20 40 8 6.67 13.33 10 4.60 9.20 12 0 0

Si se conoce la lluvia efectiva he heQmáx 66.46=

132

HIDROGRAMA UNITARIO INSTANTÁNEO.

En los métodos anteriores HUT y curva S se supone que la intensidad de lluvia es constante en toda su duración, para superar toda su limitación se han desarrollado métodos apoyados en el HU que permiten tomar las variaciones de la intensidad de la lluvia con el tiempo. Sea un hidrograma unitario para duración en exceso “de” Si se presenta una tormenta como la de la figura con varios periodos lluviosos, con una “de” correspondiente a cada una de ellas.

Los hidrogramas producidos por cada barra serán los siguientes por el principio de superposición de causas y efectos.

t (hrs)

P1

P2

P3

q (m3/s/mm)

133

Así si Ui es la i-esima ordenada del hidrograma unitario y Pj es la j-ésima lluvia del hietograma las ordenadas Qi del hidrograma serán:

335

23324

1322313

12212

111

UPQUPUPQ

UPUPUPQUPUPQ

UPQ

=+=

++=+=

=

En general la K-ésima ordenada del hidrograma Qk es :

∑=

+−=K

jjKjk UPQ

11

Si K = 1

∑=

+− ==1

1111111

jk UPUPQ

Considere el problema inverso donde se conocen: Hidrograma total y la precipitación efectiva (hietograma) Y se desea conocer el HU

134

El sistema de ecuaciones sigue siendo válido y se puede escribir como:

[ ] [ ]QUP = donde:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

23

123

12

1

000

000

PPPPPP

PPP

P ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

UUU

U

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5

4

3

2

1

QQQQQ

Q

La incógnita es U sin embargo se tendrá 5 ecuaciones con 3 incógnitas por lo tanto el sistema es indeterminado. No existen valores de U que satisfagan simultáneamente las 5 ecuaciones, para tener una solución es necesario aceptar un cierto error en cada una de las componentes de U.

135

Este error es mínimo si se multiplica por la matriz transpuesta de P.

[ ] [ ]QPUPP TT =

por lo tanto desarrollando

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++

+++

534231

433221

332211

3

2

1

23

22

21322131

32212

32

22

13221

3132212

32

22

1

*QPQPQPQPQPQPQPQPQP

UUU

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

PPPPPPPPP

Y esta es ya un sistema determinado con una solución única. En todos los casos el # de ordenadas del hidrograma total NQ, esta ligado con el # de barras del hietograma Np y el # de ordenadas del HU, Nu por medio de la ecuación:

1−+= NuNpNQ Por lo tanto se puede saber el Nu de ordenadas que tendrá el HU y el orden de la matriz Igual que el en HUT en el HUI se tiene que especificar la duración en exceso total (suma de las barras del hietigrama). En la solución del sistema se dan resultados negativos y se obligan a ser cero. Ejemplo: Obtener el HUI para una cuenca en el cual se dispone de la siguiente información. Hietograma Hidrograma

T He(mm) T Qd(m3/s) 0-2 1 0 0 2-4 2 2 3

136

4-6 3 4 12 6 25 8 20 10 10 12 2 14 0

Solución: No de barras del hietograma Np = 3 No de ordenadas del hidrograma NQ = 6 Por lo tanto si:

426

136

1

=+=

−+=

−+=

NuNuNu

NuNpNQ

por lo tanto la ecuación se desarrolla así:

137

si ∑=

+−=K

jjKjk UPQ

11 en este caso K = 6

1625344352616

15243342515

142332414

1322313

1221122211212

111

UPUPUPUPUPUPQUPUPUPUPUPQ

UPUPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPUPQUPQ

+++++=++++=

+++=++=

+=+==

+−+−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

4

3

2

1

3

23

123

123

12

1

*

00000

0000000

QQQQQQ

UUUU

PPPPPP

PPPPP

P

Ahora:

QPPUP TT =

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

23

123

123

12

1

321

321

321

321

00000

0000000

*

000000000000

PPPPPP

PPPPP

P

PPPPPP

PPPPPP

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++++

+++++++

=

23

22

21322131

32122

32

22

1322131

1323122

32

22

13221

1332212

32

22

1

0

0

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

138

PTQ

*

000000000000

321

321

321

321

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

PPPPPP

PPPPPP

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

QQQQQQ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++++

635241

534231

433221

332211

QPQPQPQPQPQPQPQPQPQPQPQP

P1 = 1 Q1 = 3 Q4 = 20 P2 = 3 Q2 = 12 Q5 = 10 P3 = 2 Q3 = 25 Q6 = 2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++=++=++

=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

5443020105206025127407512

8989

*

14920914922914902914

4

3

2

1

UUUU

Resolviendo el sistema

33.161.267.533.2

4

3

2

1

====

UUUU

qm^3/s/mm Hu instantáneo asociado a una duración = 2 hrs

139

Este hidrograma puede ahora aplicarse a cualquier tormenta que se divide en intervalos de 2 hrs. Aplicando al hietograma de la figura (datos) Se tiene un hidrograma igual a

( )( )

66.233.1*221.961.2*233.1*3

5.2067.5*261.2*333.1*128.2433.2*267.5*361.2*1

/66.1233.2*367.5*1/33.233.2*1

436

33425

2332414

1322313

312212

3111

====+=+=

=++=++==++=++=

=+=+=

===

UPQUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

smUPUPQsmUPQ

Hidrograma Unitario Sintético

Hidrograma calculado

140

Cuando no se cuenta con la información de una estación hidrométrica y los registros de precipitación, se cuenta con métodos con lo que puede obtenerse H.U usando solo características generales de la cuenca denominados sintéticos.

Método de Chow Se utiliza para calcular el gasto pico y es aplicable a cuencas no urbanas con A<25 km^2 Por lo tanto el gasto pico se obtiene como: Qp = qp(he).......................(1) qp = gasto del H.U. (pico) he = lluvia en exceso qp se expresa como una fracción del gasto de equilibrio para una lluvia con intensidad i = 1 mm/de Por lo tanto

AcZdemmq p ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=1

donde Z es la fracción mencionada Z: factor de reducción de pico. Si Ac en Km^2 de en hrs. Se tiene

Zde

Acq p *278.0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (m^3/s/mm) (2)

Sustituyendo (2) en (1)

141

Zhede

AcQp ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

278.0 (8.20)

Z se calcula como una función del tiempo de retraso (tiempo que transcurre del centro de masa de la precipitación al pico del hidrograma)

64.0

05.0 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=S

Ltr

L en m tr en hr S en % Para este método se recomienda tener las curvas i.-d-T. Así para el T adecuado al problema se calcularían los picos correspondientes a varias duraciones y se escogerá el mayor. Ejemplo: 8.3 del libro de Aparicio Calcular el gasto de diseño para una alcantarilla de una carretera con los siguientes datos. A = 15 km^2 L = 5 km Tipo de suelo = arcilla en su totalidad Uso de suelo; bosques normales en su totalidad S = 1%

La grafica i-d-T es ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 7.0

4.0

720dTi

Solución:

142

Sea T = 10 años El tiempo de retraso es:

( ) ( )min6.69)16.11

5000005.0005.064.064.0

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= hrsS

Ltr

hp = i*d

( ) 3.07.014.0

7.0

4.0

1.306010720720 ddd

dThp =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

Entre 60 por que se incluye d en min. El número de escurrimiento es, suponiendo que el suelo está inicialmente muy húmedo por ser la condición más desfavorable. N = 89. En la siguiente tabla se muestra el cálculo de los gastos pico. En la columna 1 se han supuesto diferentes duraciones de lluvia efectiva, con las cuales se han calculado las alturas de precipitación total con la ecuación (30.1*d^0.3) (Nótese que se acepta el criterio del coeficiente de escurrimiento, por lo que d = de) anotadas en la columna 2. Las precipitaciones efectivas Pe de la columna 3 se calcularon con los valores de P y la ecuación 7.13 (de los números de escurrimiento). En la columna 4 se muestran los valores de “de/tr” y en la columna 5 los correspondientes de Z, obtenidos de la figura anterior para calcular Z. Finalmente, en la columna 6 se han calculado los gastos pico resultantes de la ecuación 8.20. Nótese que, debido a que la zona estudiada es muy lluviosa, los gastos de pico obtenidos resultan notablemente elevados para el tamaño de la cuenca. Véase siguiente figura.

143

El gasto de diseño será de 180 m3/s. Si el río es perenne se debe agregar un gasto base al obtenido.

HIDROGRAMA UNITARIO TRIANGULAR. Por lo tanto si:

Tr =1.67tp tr = tiempo de receso

tp tr

Qp

Q (m3/s)

T (h)

d/2

tR

144

( )

( ) ( )heAVe

Vetptptp

Vetrtp

VeQp

QptrtpbhVe

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=

+=

+==

67.22

67.122

22

en este caso como es HU por lo tanto he = 1 mm

( )3610001.01 maxmmAVe == tp en min (se divide entre 3600)

( )1........208.03600*67.2

10001.0*2 6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tpA

tpAxQp

Qp en m3/s A en Km2 tp en hrs

( )2...........5.0 Rtdtp += d = duración efectiva en horas (de) tR = tiempo de retraso en hrs

( )3..............6.0 tctR = tc = en horas tR = en horas

( )4.................6.05.0

000325.0 385.0

77.0

tcdetpSLtc

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L en m tc en hrs Si no se conoce “de” si puede estimarse como:

145

tcde 2= para dibujar el hidrograma triangular se necesita conocer: Qp................ecua.(1) tp................ecua.(2) tR................ecua(3) tr = 1.67tp Ejemplo: Obtener el hidrograma triangular con A = 80 Km2 tc = 4 hrs Solución:

( ) ( )

hrstptrhrstct

smtpAQp

hrstcdetphrstcde

R

3.74.4*67.167.14.24*6.06.0

/78.34.4

80208.0208.0

4.446.045.06.05.04422

3

======

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=+=+====

0 12 t (h)

Q (m3/s)

4

146

HIDROGRAMA UNITARIO ADIMENSIONAL

tpAqu 878.4

=

qu = gasto pico en m3/s A = área de la cuenca en Km2 tp = tiempo pico en hrs

tcde

tdetptcdetp

R

2

5.06.05.0

=

+=+=

tc como con la formula racional Conocidos qu t tp el hidrograma se obtiene con ayuda de la siguiente gráfica.

147

Procedimiento:

1. Se escoge una relación t/tp y con la figura se detiene q/qu 2. Se despeja q ya que se conoce qu 3. De t/tp se despeja el valor de t ya que se conoce tp 4. Se repiten los pasos 1,2 y 3 tantas veces como sea necesario para

formar el hidrograma. Ejemplo: Calcular el HU para una de = 4hrs, A = 200 km^2 y tR = 7.5 hrs Solución:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

=+=+=

sm

tpAqu

hrstdetp R

3

3.45.9*878.4

200878.4

5.95.74*5.05.0

a) Para 5=tpt se define el tiempo base

hrstp 5.475.9*5*5 ==

b)

t/tp q/qu t(hrs) q (m^3/s)

0.5 0.43 4.75 1.9 1 1 9.50 4.3 2 0.32 19.0 1.4 3 0.075 28.5 0.32 5 0.004 47.5 0

148

Hidrogram a unitario ad im ensional

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

T iem po en horas

Gas

to e

n m

3/s

q(M 3/S)