Primos: de -300 a 2008 - Página Principalcollier/Palestras/primos1.pdf · O Crivo de Eratóstenes...
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Os Elementos: livro VII
Euclides dizia:
11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.
OBMEP 2009 – p. 5/32
Os Elementos: livro VII
Euclides dizia:
11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.
13. Composto é um número que é medido por algumoutro número.
OBMEP 2009 – p. 5/32
Os Elementos: livro VII
Euclides dizia:
11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.
13. Composto é um número que é medido por algumoutro número.
Nós dizemos:
OBMEP 2009 – p. 5/32
Os Elementos: livro VII
Euclides dizia:
11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.
13. Composto é um número que é medido por algumoutro número.
Nós dizemos:
11. Primo é um número cujos únicos divisores sãoele próprio e a unidade.
OBMEP 2009 – p. 5/32
Os Elementos: livro VII
Euclides dizia:
11. Primo é um número que é medido apenas pelaunidade.
13. Composto é um número que é medido por algumoutro número.
Nós dizemos:
11. Primo é um número cujos únicos divisores sãoele próprio e a unidade.
13. Composto é um número que é divisível por algumoutro número que não é a unidade.
OBMEP 2009 – p. 5/32
O Crivo de Eratóstenes
Um crivo é uma peneira.
O crivo inventado por Eratóstenes peneira os númerosímpares:
OBMEP 2009 – p. 8/32
O Crivo de Eratóstenes
Um crivo é uma peneira.
O crivo inventado por Eratóstenes peneira os númerosímpares:
• passam os compostos,
OBMEP 2009 – p. 8/32
O Crivo de Eratóstenes
Um crivo é uma peneira.
O crivo inventado por Eratóstenes peneira os númerosímpares:
• passam os compostos,
• mas ficam os primos.
OBMEP 2009 – p. 8/32
O Crivo em açãoÍmpares menores que cem:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de três em três:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de cinco em cinco:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de cinco em cinco:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de sete em sete:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em açãoRiscando de sete em sete:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Já podemos parar!
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Já podemos parar!
n =√
n ×√
n
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Já podemos parar!
n =√
n ×√
n
n = a × b
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Já podemos parar!
n =√
n ×√
n
n = a × b
sea for maior que a raiz, entãob é menor,OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Já podemos parar!
n =√
n ×√
n
n = a × b
sea for maior que a raiz, entãob é menor, evice-versa.
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Logo os primosímparesaté 100 são:
OBMEP 2009 – p. 9/32
O Crivo em ação
1 3 5 7 9 11 13 15 17 1921 23 25 27 29 31 33 35 37 3941 43 45 47 49 51 53 55 57 5961 63 65 67 69 71 73 75 77 7981 83 85 87 89 91 93 95 97 99
Logo os primosímparesaté 100 são:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97
OBMEP 2009 – p. 9/32
Crivos
• ainda muito usados hoje em dia;
• precisam de muita memória do computador.
OBMEP 2009 – p. 10/32
Crivos
• ainda muito usados hoje em dia;
• precisam de muita memória do computador.
• bons para listar todos os primos menores que umnúmero dado;
OBMEP 2009 – p. 10/32
Crivos
• ainda muito usados hoje em dia;
• precisam de muita memória do computador.
• bons para listar todos os primos menores que umnúmero dado;
• lentos demais se queremos saber apenas se umnúmero grande é primo;
OBMEP 2009 – p. 10/32
Crivos
• ainda muito usados hoje em dia;
• precisam de muita memória do computador.
• bons para listar todos os primos menores que umnúmero dado;
• lentos demais se queremos saber apenas se umnúmero grande é primo;
• inviáveis se o número dado tem 100 algarismos.
OBMEP 2009 – p. 10/32
Números de Fermat
Em carta de 1640 a seu amigo Frénicle de Bessy,Fermat afirmou
OBMEP 2009 – p. 13/32
Números de Fermat
Em carta de 1640 a seu amigo Frénicle de Bessy,Fermat afirmou
todos os números da forma22n
+ 1 sãoprimos.
OBMEP 2009 – p. 13/32
Números de Fermat
Em carta de 1640 a seu amigo Frénicle de Bessy,Fermat afirmou
todos os números da forma22n
+ 1 sãoprimos.
Mas isto é falso...
OBMEP 2009 – p. 13/32
L. Euler, 1732
O número de Fermat
225
+ 1 = 232 + 1
tem fatoração
641 × 6.700.417.
OBMEP 2009 – p. 14/32
Números de Fermat em 2009
22n
+ 1 é:
• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;
• composto para5 ≤ n ≤ 32;
OBMEP 2009 – p. 15/32
Números de Fermat em 2009
22n
+ 1 é:
• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;
• composto para5 ≤ n ≤ 32;
• quandon > 32 pouco se sabe.
OBMEP 2009 – p. 15/32
Números de Fermat em 2009
22n
+ 1 é:
• primo paran = 0, 1, 2, 3, 4;
• composto para5 ≤ n ≤ 32;
• quandon > 32 pouco se sabe.
Apesar de sabermos que22n
+ 1 écompostoquando
n = 14, 20, 22, 24
nenhum fator destes números de Fermat é conhecido!
OBMEP 2009 – p. 15/32
O Teorema de Fermat
Suponha quen ea são números naturais. Sen primo,então
an − a é divisível por n.
OBMEP 2009 – p. 16/32
O Teorema de Fermat
Suponha quen ea são números naturais. Sen primo,então
an − a é divisível por n.
Enunciado por Fermat em uma carta de 18 de outubrode 1640 enviada a Frénicle.
OBMEP 2009 – p. 16/32
Consequência do Teorema deFermat
Suponha quen ea são números naturais.
Sen é primo
entãoan − a é divisível por n.
OBMEP 2009 – p. 17/32
Consequência do Teorema deFermat
Suponha quen ea são números naturais.
Sean − a nãoé divisível por n
então
OBMEP 2009 – p. 17/32
Consequência do Teorema deFermat
Suponha quen ea são números naturais.
Sean − a nãoé divisível por n
entãon é composto.
OBMEP 2009 – p. 17/32
Conclusão
• com sorte podemos usar o teorema de Fermatpara provar que um número é composto;
OBMEP 2009 – p. 18/32
Conclusão
• com sorte podemos usar o teorema de Fermatpara provar que um número é composto;
• masnuncapara provar que um número é primo.
OBMEP 2009 – p. 18/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Por exemplo,6 é um número perfeito:
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Por exemplo,6 é um número perfeito:
1, 2, 3 são os divisores.
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Por exemplo,6 é um número perfeito:
1 + 2 + 3 = 6
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
22 × (23 − 1)
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
22 × 7 = 28.
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
22 × 7 = 28.
1 + 2 + 4+
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
22 × 7 = 28.
1 + 2 + 4 + 7 + 2 × 7
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Por exemplo, sen = 2:
22 × 7 = 28.
1 + 2 + 4 + 7 + 2 × 7 = 28.
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Mersenne: paran ≤ 257, os números da forma2n − 1 são primos apenas quando
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Mersenne: paran ≤ 257, os números da forma2n − 1 são primos apenas quando
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;
Mersenne estavaerrado,
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Mersenne: paran ≤ 257, os números da forma2n − 1 são primos apenas quando
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;
Mersenne estavaerrado, (os valores den corretos são
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, e 127;
)OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Pitágoras: um número é perfeito quando é igual àsoma dos seus divisores;
Euclides: um númeroparé perfeito quando é igual a2n(2n+1 − 1) e2n+1 − 1 é primo;
Mersenne: paran ≤ 257, os números da forma2n − 1 são primos apenas quando
n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 e 257;
Mersenne estavaerrado, mas estes númerosacabaram conhecidos comonúmeros de Mersenne.
OBMEP 2009 – p. 21/32
Números da forma2n − 1
Sabe-se que:• sen for composto,2n − 1 também é;
• sen for primo,2n − 1 pode ser primo ou não.
OBMEP 2009 – p. 22/32
Números da forma2n − 1
Sabe-se que:• sen for composto,2n − 1 também é;
• sen for primo,2n − 1 pode ser primo ou não.
Cada expoente primon tem que ser analisadoseparadamente para verificar se2n − 1 é ou não éprimo.
OBMEP 2009 – p. 22/32
Lucas e Mersenne
Lucas começou a tentar provar que
2127 − 1
era primo em 1857, quando tinha 15 anos.
OBMEP 2009 – p. 23/32
Lucas e Mersenne
Lucas começou a tentar provar que
2127 − 1
era primo em 1857, quando tinha 15 anos.
Só consegui completar a conta em 1876,
OBMEP 2009 – p. 23/32
Lucas e Mersenne
Lucas começou a tentar provar que
2127 − 1
era primo em 1857, quando tinha 15 anos.
Só consegui completar a conta em 1876, quandoinventou um novo método para verificar se umnúmero de Mersenne é primo ou composto.
OBMEP 2009 – p. 23/32
Lucas e Mersenne
Lucas começou a tentar provar que
2127 − 1
era primo em 1857, quando tinha 15 anos.
Só consegui completar a conta em 1876, quandoinventou um novo método para verificar se umnúmero de Mersenne é primo ou composto.
Nos anos 1930 o teste foi aperfeiçoado por D. H.Lehmer.
OBMEP 2009 – p. 23/32
Uma sequência
Construa uma sequência de números pela regra
S0 = 4 e Sk = S2
k−1 − 2 quando k > 0.
OBMEP 2009 – p. 24/32
Uma sequência
Construa uma sequência de números pela regra
S0 = 4 e Sk = S2
k−1 − 2 quando k > 0.
Alguns valores:
OBMEP 2009 – p. 24/32
Uma sequência
Construa uma sequência de números pela regra
S0 = 4 e Sk = S2
k−1 − 2 quando k > 0.
Alguns valores:
S1 = S2
0 − 2 = 42 − 2 = 16 − 2 = 14.
OBMEP 2009 – p. 24/32
Uma sequência
Construa uma sequência de números pela regra
S0 = 4 e Sk = S2
k−1 − 2 quando k > 0.
Alguns valores:
S1 = 14; S2 = S2
1 − 2 = 142 − 2 = 194.
S1 = 14; S2 = 194; S3 = 37634,
OBMEP 2009 – p. 24/32
Uma sequência
Construa uma sequência de números pela regra
S0 = 4 e Sk = S2
k−1 − 2 quando k > 0.
Alguns valores:
S1 = 14; S2 = 194; S3 = 37634,
e assim por diante.
OBMEP 2009 – p. 24/32
Lucas-LehmerSejap um número primo.
O número de Mersenne2p − 1 é primo se, e somentese,
OBMEP 2009 – p. 25/32
Lucas-LehmerSejap um número primo.
O número de Mersenne2p − 1 é primo se, e somentese,
Sp−1 é divisível por2p − 1.
OBMEP 2009 – p. 25/32
Lucas-LehmerSejap um número primo.
O número de Mersenne2p − 1 é primo se, e somentese,
Sp−1 é divisível por2p − 1.
Este é o mais eficiente teste de primalidadeconhecido!
OBMEP 2009 – p. 25/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto.
OBMEP 2009 – p. 27/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto. Com
12.978.189
algarismos,
OBMEP 2009 – p. 27/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto. Com
12.978.189
algarismos, o número
OBMEP 2009 – p. 27/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto. Com
12.978.189
algarismos, o número
243.112.609 − 1
OBMEP 2009 – p. 27/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto. Com
12.978.189
algarismos, o número
243.112.609 − 1
é o maior número primo conhecido no momento.
OBMEP 2009 – p. 27/32
Doze milhões de algarismos
Agosto de 2008:
Um novo número primo foi descoberto. Com
12.978.189
algarismos, o número
243.112.609 − 1
é o maior número primo conhecido no momento.
A descoberta foi feita por Edson Smith em LosAngeles utilizando os programs do GIMPS.
OBMEP 2009 – p. 27/32
GIMPS
GIMPS é a sigla deGrande Busca de Primos de Mersenne na Internet
O GIMPS fornece uma implementação altamenteeficiente do
OBMEP 2009 – p. 28/32
GIMPS
GIMPS é a sigla deGrande Busca de Primos de Mersenne na Internet
O GIMPS fornece uma implementação altamenteeficiente doteste de Lucas-Lehmer.
Os programas do GIMPS estão disponíveis na web epodem ser baixados e usados em qualquercomputador.
OBMEP 2009 – p. 28/32
O maior primo
Será que um dia o GIMPS vai encontrar o maior detodos os primos?
OBMEP 2009 – p. 29/32
Lembretes
• dois números consecutivos não podem ter fatorescomuns;
• sea divide b, que dividec, entãoa divide c;
OBMEP 2009 – p. 30/32
Lembretes
• dois números consecutivos não podem ter fatorescomuns;
• sea divide b, que dividec, entãoa divide c;
• números sem fatores comuns são divisíveis porprimos diferentes.
OBMEP 2009 – p. 30/32
Lembretes
• dois números consecutivos não podem ter fatorescomuns;
• sea divide b, que dividec, entãoa divide c;
• números sem fatores comuns são divisíveis porprimos diferentes.
Conclusão:
OBMEP 2009 – p. 30/32
Lembretes
• dois números consecutivos não podem ter fatorescomuns;
• sea divide b, que dividec, entãoa divide c;
• números sem fatores comuns são divisíveis porprimos diferentes.
Conclusão:
Sef eg não têm fatores comuns entãof , g ef × g + 1 não têm fatores primos em comum.
OBMEP 2009 – p. 30/32
Demonstração
Como,2 e 2 + 1 = 3
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3 e2 × 3 + 1 = 7
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2 e 2 + 1 = 3
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3 e2 × 3 + 1 = 7
também não podem ter fatores primos comuns.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2 e 2 + 1 = 3
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3 e2 × 3 + 1 = 7
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menostrês números primos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3 e 7
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3 e2 × 3 + 1 = 7
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menostrês números primos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3 e 7
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7 e
2 × 3 × 7 + 1 = 43
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menostrês números primos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3 e 7
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7 e
2 × 3 × 7 + 1 = 43
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menosquatro númerosprimos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3, 7 e 43
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7 e
2 × 3 × 7 + 1 = 43
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menosquatro númerosprimos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3, 7 e 43
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7, 43 e
2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menosquatro númerosprimos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3, 7 e 43
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7, 43 e
2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807
também não podem ter fatores primos comuns.
Portanto, existem pelo menoscinconúmerosprimos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3, 7 e 43
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7, 43 e
2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807
também não podem ter fatores primos comuns.
...e assim por diante...
Portanto, existem pelo menoscinconúmerosprimos.
OBMEP 2009 – p. 32/32
Demonstração
Como,2, 3, 7 e 43
não têm fatores comuns, concluímos que
2, 3, 7, 43 e
2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1807
também não podem ter fatores primos comuns.
...e assim por diante...
OBMEP 2009 – p. 32/32