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PLANEJAMENTO DAS OPERAÇÕES DE LAVRA EM MINAS A CÉU ABERTO COM ALOCAÇÃO DE EQUIPAMENTOS DE CARGA

Mônica do AmaralUniversidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha, CEP: 31.270-010Belo Horizonte – Minas Gerais – Brasil

[email protected]

Luiz Ricardo PintoUniversidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha, CEP: 31.270-010Belo Horizonte – Minas Gerais – Brasil

[email protected]

RESUMOO planejamento de operações de lavra compreende um conjunto de problemas práticos

de grande relevância para a indústria de mineração. Como o lucro das mineradoras é proveniente da comercialização em larga escala do minério concentrado, é preciso minimizar os custos de produção e maximizar a vida útil do empreendimento. Nesse contexto, o controle de alguns indicadores, como o atendimento das metas de produção, de requisitos de qualidade e da relação estéril-minério, é crítico em qualquer horizonte de tempo. Teoricamente, esses problemas são considerados de difícil solução e de grande escala. No presente trabalho, propõe-se um modelo não-linear de planejamento de lavra para minas a céu aberto, considerando a alocação de equipamentos de carga em horizontes de médio prazo. Soluções viáveis são geradas por uma heurística construtiva, que garante a solução ótima para cada período de planejamento. Alguns resultados numéricos demonstram que boas soluções podem ser obtidas em tempo computacional aceitável.

PALAVARAS-CHAVE: Programação inteira mista. Heurística construtiva. Planejamento da produção.

Área Principal: Aplicação à indústria.

ABSTRACTThe planning of mining operations includes a set of practical problems of great relevance

to the mining industry. How the profit from mining is provided by sales in large-scale of the concentrate ore, we must minimize production costs and maximize the life of the venture. In this context, the control of some indicators, such as production requirements, quality requirements and the stripping ratio, is critical in any time horizons. Theoretically, these problems are considered difficult to solve and a large scale size. In this paper, we propose a non-linear model to open pit mining planing, considering the allocation of load equipments in the medium-term horizons. Solutions are generated by a constructive heuristic, which ensures the optimum solution for each period of planning. Some numerical results show that good solutions can be obtained in acceptable computational time.

KEYWORDS: Mixed integer programming. Constructive heuristic. Production Planning.

Main Area: Industry application.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 907

LC

H

Colunasssz

Linhas

Níveis

1. Introdução

As operações de lavra em uma mina a céu aberto compreendem basicamente quatro operações, como mostrado na figura 1 (a): perfuração, desmonte, carregamento e transporte, que representam entre 30% e 40% dos custos totais de produção (QING-XIA, 1982).

Na prática, essas operações são geridas por meio de um plano de lavra, que consiste na programação dos avanços a serem realizados ao longo do tempo, nas respectivas frentes de lavra, fornecendo informações sobre a produção horária a ser implementada por cada um dos equipamentos disponíveis.

Tais planos são imprescindíveis para o planejamento e controle da produção, pois permitem a previsão das quantidades de minério e estéril lavradas, a determinação da qualidade do ROM (run-of-mine), além de permitir o controle de condições de segurança e de manutenção da vida útil da mina.

De acordo com o horizonte de tempo e os objetivos aos quais estão relacionados, os planos de lavra podem ser classificados como de curto, médio e longo prazo. No longo prazo, as atividades de planejamento estão relacionadas à obtenção da cava final ótima, à estimação da reserva lavrável e à determinação de ângulos seguros para a inclinação dos taludes (HUSTRULID & KUCHTA, 1995).

Nessa etapa, é realizado um estudo geológico do terreno e a mina é representada por um modelo de blocos, como pode ser visto na figura 1 (b). Na grande maioria dos casos, o modelo geológico é composto de cubos, normalmente com 10 m de aresta ou mais, para evitar problemas de suavização excessiva na estimação dos teores de parâmetros químicos (CARMO, 2001), normalmente representados pelo minério de interesse e por elementos contaminantes.

A seguir, é feito o seqüenciamento de lavra, em que a evolução da cava é determinada pela retirada sucessiva dos blocos, relacionando-se a horizontes e médio e longo prazo, em que o retorno financeiro é utilizado como critério de maximização, sujeito às restrições de inclinação de taludes consideradas seguras (TOLWINSKI & UNDERWOOD, 1996).

(a) Situação real (b) Representação tridimensional adotadaFigura 1: Operações de desmonte e carregamento em minas a céu aberto

O planejamento de curto prazo se refere aos aspectos operacionais de lavra da mina, como a determinação do ritmo de lavra nas diversas frentes em atividade e a alocação dos equipamentos de carga e transporte (PINTO & MERSCHMANN, 2001).

Embora o planejamento de operações de lavra tenha motivado estudos em Pesquisa Operacional (PO) desde 1965, data da publicação do algoritmo de programação dinâmica de Lerchs-Grossmann para a determinação da cava final ótima, muitos ainda são os desafios encontrados na prática para a utilização dos modelos e métodos de solução propostos.

Dentre eles, pode-se citar principalmente a complexidade dos problemas envolvidos (classe NP-difícil) e o fato de instâncias reais para esses problemas serem consideradas de grande escala, levando à necessidade de longo tempo computacional para a obtenção de soluções ótimas, o que torna comum o uso de heurísticas e de metaheurísticas para a obtenção de soluções aproximadas (RAMAZAN, 2007). Pegman et al. (1996) comentam ainda a dificuldade de

Fonte: Hustrulid & Kuchta (1995)


integração dos objetivos em diferentes horizontes de tempo, obrigando o emprego de diversos modelos, de forma sucessiva para a obtenção de planos de lavra não integrados, utilizando os principais softwares disponíveis.

Diante do contexto exposto, o objetivo do presente trabalho é propor um modelo matemático para planejamento de lavra que incorpore tanto características de longo prazo, como a manutenção de ângulos de talude seguros, quanto objetivos operacionais, como o controle da qualidade do ROM e a redução dos custos operacionais, pelo controle da produção horária e dos deslocamentos dos equipamentos de carga na mina.

Como o modelo apresentado é não linear, propõe-se também uma heurística construtiva para resolução do modelo. O uso de um modelo de planejamento estático, resolvido na otimalidade para cada período de planejamento utilizando-se um software de otimização, permite o aproveitamento de informações atualizadas sobre a localização dos equipamentos de carga e de alguns dados de produção, atualmente disponível na maioria das mineradoras, permitindo o controle imediato de desvios em relação às metas de produção e qualidade.

Alguns testes realizados com instâncias hipotéticas de minério de ferro demonstraram que o modelo proposto representa bem as atividades de planejamento de lavra em minas a céu aberto e que as soluções obtidas pela utilização da heurística apresentam desempenho computacional e prático satisfatórios, o que indica potencial para aplicação a instâncias reais de grande porte, podendo auxiliar decisões em diferentes horizontes de planejamento.

2. Revisão de LiteraturaDentre as classes de problemas de planejamento de lavra, as mais diretamente

relacionadas ao desenvolvimento desta pesquisa são o seqüenciamento de lavra e o planejamento operacional em minas a céu aberto. O leitor interessado em maiores detalhes sobre os problemas de outras classes, como a construção do modelo geológico e a determinação da cava final ótima, pode consultar, por exemplo, Amaral (2008), Carmo (2000) ou Hochbaum & Chen (2000).

O problema de seqüenciamento da produção consiste em encontrar a seqüência em que os blocos devem ser removidos, de forma a maximizar o lucro total descontado, geralmente expresso pelo valor presente líquido, e está sujeito a uma variedade de restrições técnicas (TOLWINSKI & UNDERWOOD, 1996).

Dentre elas, têm-se a manutenção de ângulos de talude seguros, impondo um conjunto de regras de precedência para a retirada dos blocos, da mesma forma como na determinação da cava final ótima. Outras restrições também podem ser encontradas, como um número máximo de taludes que podem ser lavrados simultaneamente (PEGMAN et al., 1996) e a minimização da profundidade da cava (CACCETTA & HILL, 2003).

Já o problema de planejamento operacional é tipicamente um problema de programação por metas (goal programming), em que penalidades são atribuídas a desvios relacionados aos objetivos de produção, de qualidade da mistura formada em pilhas de homogeneização e manutenção de uma relação estéril-minério adequada. Também podem ser incluídas restrições relacionadas à produtividade horária dos equipamentos de carga e transporte disponíveis (PINTO & MERCHMANN, 2000 e COSTA et al.,2005).

Essas duas classes de problemas diferem principalmente pela forma de inserção dos dados da mina nos modelos de otimização e pela representação da retirada de material durante a lavra. De um lado, os problemas de seqüenciamento de lavra estão voltados para o longo prazo, utilizando minas representadas por um modelo geológico, em que cada bloco possui massa definida e valores econômicos distintos. Do outro, nos modelos de planejamento operacional, voltados ao curto prazo, a mina é representada por um conjunto de frentes de lavra, possuindo quantidade infinita de material de características homogêneas.

Em relação à resposta dos modelos, esse distanciamento se mantém pelo fato de que no seqüenciamento de lavra o interesse é a formação da cava, com os blocos retirados um a um (CACCETTA & HILL, 2003) ou em pequenos grupos, um para cada teor de corte ou período de planejamento (RAMAZAN, 2007). Em contrapartida, os problemas de planejamento operacional tratam da lavra simultânea em vários locais da mina, podendo-se alocar equipamentos a esses


pontos e expressando as quantidades lavradas em toneladas, e não por blocos.Essa divisão clara dificulta a construção de modelos mais flexíveis, que possam apoiar

decisões em mais de um horizonte de tempo. Alguns autores, como Kentwell (2002) e Hack (2003) questionam a rigidez dos softwares atualmente disponíveis, afirmando que a escolha entre eles se torna difícil e um resultado satisfatório só é obtido após longas etapas de customização.

Outro fator que não deve ser ignorado é que muitas empresas possuem equipamentos de alta tecnologia, com produtividade elevada, que dispõem de grande quantidade de aparelhos eletrônicos embarcados, capazes de fornecer informações precisas e periódicas sobre o ritmo de produção, de qualidade e de posicionamento geográfico (BOULANGER et al., 2000). Observa-se, que além da rigidez na separação dos horizontes de planejamento, muitos softwares ainda são incapazes de aproveitar esses dados atualizados, abrindo grandes oportunidades de pesquisas e investimentos em melhorias para o setor.

3. Planejamento de lavra em minas a céu aberto com alocação de equipamentos de cargaCom a finalidade de criar um modelo mais genérico, que pudesse auxiliar decisões em

diferentes horizontes de tempo, o modelo de planejamento de operações de lavra proposto incorpora características comuns aos problemas de seqüenciamento de lavra e planejamento operacional.

O primeiro ponto a ser destacado é a representação da mina por meio de um modelo blocos, em que cada elemento recebe um número seqüencial, que pode ser utilizado para mapeamento da sua localização no modelo geológico, descrita por meio de um conjunto de coordenadas de linha (L), coluna (C) e nível (H), como já foi mostrado na figura 1 (b). A cada bloco, em vez de um valor monetário associado, têm-se os teores relativos aos parâmetros químicos de interesse, da mesma forma como é feito para caracterização das frentes de lavra. Essa mudança também permite o estabelecimento de um teor de corte, para classificação de material em minério ou estéril.

A partir daí, permite-se a lavra simultânea em diferentes pontos da mina, desde que exista um equipamento de carga disponível para isso. Os equipamentos, uma vez alocados, permanecem em operação até que um bloco do modelo seja totalmente lavrado. Esse período de tempo entre a alocação dos equipamentos e o término da lavra de um dos blocos é denominado ordem de lavra. Assim que uma ordem de lavra é encerrada, os equipamentos estão livres para se locomoverem até outro bloco e reiniciarem o desmonte, utilizando critérios de qualidade e a REM, tipicamente operacionais, para isso. A consideração de penalizações para os deslocamentos de carga, descrevendo movimentos unidirecionais, segundo as coordenadas do modelo geológico, evita deslocamentos excessivos para ajuste das características desejadas para o ROM, condordando com a premissa de que um equipamento deve permanecer em uma frente o maior tempo possível.

Além disso, a alocação dos equipamentos de carga também está sujeita a restrições de longo prazo, como a inclinação dos ângulos de talude. De acordo com dados fornecidos por estudos geológicos, esses ângulos são calculados com a finalidade de garantir a estabilidade desejada. As inclinações exigidas por esses ângulos impõem precedências, geralmente representadas por matrizes de adjacência, para a retirada dos blocos do modelo geológico, como mostrado na figura 2. Esse tipo de restrição separa os blocos em dois grupos: os blocos lavráveis, aos quais os equipamentos de carga podem ser alocados e os blocos impedidos, que ainda necessitam ter vizinhos lavrados para que possam ser acessados com segurança.

Ângulo de talude = 30º25 blocos precedentes



Figura 2: Relações de precedência de lavra


De forma resumida, o modelo de programação por metas proposto incorpora esses e outros aspectos relevantes para aplicações práticas, refletindo os seguintes objetivos: (i) a maximização da produção horária dos equipamentos de carga; (ii) a obtenção em cada ordem de produção, sempre que possível, do ROM que atenda a todos os requisitos de qualidade; (iii) a obediência da REM, sempre que possível, em cada ordem de produção; (iv) a redução dos custos de deslocamentos dos equipamentos de carga, que, por sua vez, visa a outros dois propósitos: estabelecer uma estrutura de vizinhança que minimize os deslocamentos excessivos para ajuste da qualidade do ROM e evitar o aprofundamento desnecessário da cava.

A alocação e a produção horária dos equipamentos, que descrevem o plano de lavra resultante ao longo eu horizonte de planejamento discretizado em ordens de lavra, estão sujeitas a diversas restrições, como: (i) a manutenção de ângulos de talude adequados; (ii) a qualidade requerida para a mistura do ROM, tratada como restrições de penalização, isto é, sem restringir a viabilidade das soluções; (iii) o atendimento a uma REM requerida, considerada importante para evitar o estrangulamento da mina, também como restrição de penalização; (iv) as capacidades horárias mínimas e máximas de produção dos equipamentos de carga, definidas em função de custos de operação economicamente viáveis e de restrições técnicas de uso recomendadas pelos fabricantes, respectivamente; (v) o estabelecimento de um ritmo mínimo para a produção de minério; (vi) o número de níveis que se deseja lavrar simultaneamente, atendendo a critérios operacionais de lavra.

3.1. Formulação matemática propostaA formulação do modelo possui como parâmetros os seguintes conjuntos de dados:

Dados da Mina:B : Conjunto de índices dos blocos da minaR : Conjunto de coordenadas para representação do modelo geológico, R = {L, C, H}

bqg : Matriz binária que indica a precedência para retirada dos blocos, mantendo-se ângulos de talude adequados (o bloco q deve ser retirado antes de b)

V : Conjunto de variáveis químicas para controle da qualidade, V = {Fe, Al2O3, P, SiO2}

bvT : Teor da variável química de controle v no bloco b (%)

bM : Massa inicial do bloco b (t)

rbp : Posição do bloco b em relação à coordenada r no modelo geológico

Dados dos Equipamentos de Carga:I : Conjunto de equipamentos de carga disponíveis

irpo : Posição inicial do equipamento de carga i em relação à coordenada r

iP min : Produção horária mínima para operação do equipamento i (t/h)iP max : Produção horária máxima para operação do equipamento i (t/h)

Conjunto de Metas e Requisitos de Operação:tc : Teor de corte (% Fe)K : Conjunto de índices para todos os períodos de planejamentoG : Massa do número máximo de blocos q que devem ser retirados antes de b para

manutenção dos ângulos de talude adequados (t)Pr : Produção mínima de minério requerida (t/h)

vT min : Teor mínimo recomendado para a variável química v no ROM (%)

vT max : Teor máximo recomendado para a variável química v no ROM (%)

REM : REM requerida

rd max : Número máximo de deslocamentos permitidos para os equipamentos de carga em relação à coordenada r

NNLS : Número máximo de níveis da mina que podem ser lavrados simultaneamenteConjunto de Penalidades a Serem Aplicadas:

−vα : Penalidade por desvio negativo em relação ao limite inferior da variável v


+vα : Penalidade por desvio positivo em relação ao limite superior da variável v

−β : Penalidade por desvio negativo em relação à REM

+β : Penalidade por desvio positivo em relação à REM

rγ : Custo de deslocamento para os equipamentos de carga em relação à coordenada r

E as seguintes variáveis:

kbv :

kbw :

kt Duração do período kkbx : Quantidade de minério retirado do bloco b no período k (t)

kbM : Massa do bloco b no período k (t)

kbP : Produção horária no bloco b no período k (t/h)

kiby :

kird : Deslocamento do equipamento i em relação à coordenada r no período k

knMin : Número do menor nível com equipamento de carga alocado no período kknMax : Número do maior nível com equipamento de carga alocado no período k

kdN : Diferença entre o maior e o menor nível com equipamento de carga alocado no período k−k

vdT : Desvio negativo em relação ao teor mínimo recomendado para a variável v no período k+k

vdT : Desvio positivo em relação ao teor máximo recomendado para a variável v no período k−k

vfT : Folga de qualidade em relação ao teor mínimo recomendado para a variável v no período k+k

vfT : Folga de qualidade em relação ao teor máximo recomendado para a variável v no período k−dREM : Desvio negativo em relação à relação estéril-minério requerida

+dREM : Desvio positivo em relação à relação estéril-minério requerida

Podendo o modelo ser expresso pelas equações (1) a (35), a seguir:++−−

∈ ∈ ∈

++

∈

−−

∈ ∈−−−−= ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ dREMdREMdTdTxzMax

Kk Kk Vv

kv

Vv

kv

Kk Bb

kb ββαα

∑ ∑ ∑∈ ∈ ∈

−Rr Kk Ii

ikrr dγ (01)

Sujeito a:

∑ ∑≥∈ ≥∈

−− =−++−tcTBb tcTBb

vbvbbvFe Fe

fTdTDTAPTPT, ,

0min KkVv ∈∀∈∀ ,(02)

∑ ∑≥′∈ ≥′∈

++ =−++−tcTBb tcTBb

vbbvbvFe Fe

fTdTDTAPTPT, ,

0max KkVv ∈∀∈∀ ,(03)

0,,

=−+− +−

∈ ≥∈∈ <∈∑ ∑∑ ∑ dREMdREMPREMP

Kk tcTBbb

Kk tcTBbb

FeFe

(04)

0, se o bloco b pode ser lavrado no período k> 0, caso contrário

0, se o bloco b pode ser lavrado no período k1, caso contrário

1, se o equipamento de carga i está alocado bloco b no período k0, caso contrário


∑′∈

=Bb

kiby 1 KkIi ∈∀∈∀ ,

(05)

∑∈

≤Ii

kiby 1 , KkBb ∈∀∈∀ ,

(06)ir

kib

Bbrb

kir poypd −= ∑

∈, 1, =∈∀ kIi

(07)

∑∑∈

−

∈

−=Bb

kibrb

kib

Bbrb

kir ypypd 1 , 1, >∈∀ kIi

(08)r

kir dd max≤ , KkRrIi ∈∀∈∀∈∀ ,, (09)

∑∈

=−Bq

qqbkb Mgv 0 , 1, =∈∀ kBb

(10) ∑∈

− =−Bq

kqbq

kb Mgv 01

, 1, >∈∀ kBb(11)

kb

kb wv ≥ , KkBb ∈∈∀ , (12) k

bkb Gwv ≤ , KkBb ∈∈∀ , (13)

∑≤∈

−≤ksKs

kbb

sb wMox

/

)1( , KkBb ∈∈∀ ,(14) ∑

∈

≥Ii

ikib

kb PyP min , KkBb ∈∈∀ ,

(15)

∑∈

≤Ii

ikib

kb PyP max , KkBb ∈∈∀ ,

(16) ∑≥

∈

≥tcT

Bb

kb

Fe

P,

Pr, Kk∈∀

(17)

= k

b

bk

PM

t , 1, =∈∀ kBb(18)

=

−

kb

kbk

PM

t1

, 1, >∈∀ kBb(19)

kkb

kb tPx = , KkBb ∈∀∈∀ , (20) k

bbkb xMM −= , 1, =∈∀ kBb (21)

kb

kb

kb xMM −= − 1 , 1, >∈∀ kBb (22) kik HN =min , KkIi ∈∀∈∀ , (23)

kik HN =max , KkIi ∈∀∈∀ , (24) kkk NNdN minmax −= , Kk∈∀ (25)

NNLSdN k ≤ , Kk∈∀ (26) 0,, ≥kb

kb

kb Mxv , KkBb ∈∀∈∀ , (27)

}1,0{∈kbw , KkBb ∈∀∈∀ , (28)

+Ζ∈kt , Kk∈∀ (29)

0≥bP , Bb∈∀ (30) }1,0{∈iby , IiBb ∈∀∈∀ , (31)

0≥kird , KkRrIi ∈∀∈∀∈∀ ,, (32) 0,max,min, ≥+− dREMdREMNN (33)

0≥kdN , Kk∈∀ (34) 0,,, ≥+−+−vvvv fTfTdTdT , Vv∈∀ (35)

A função objetivo por metas (1), é composta por parcelas que visam à maximização da produção horária dos equipamentos de carga, à minimização dos desvios em relação às metas estabelecidas para a qualidade do ROM, à minimização dos desvios em relação à REM requerida e a minimização dos deslocamentos dos equipamentos de carga, respectivamente. É importante observar a necessidade de utilização da parcela referente à maximização da produção horária dos equipamentos de carga, pois pela existência dos limites iP min e iP max , o modelo permitiria que essa produção horária assumisse, em alguns casos, valores próximos aos limites inferiores, para diminuição das penalidades impostas para os desvios de qualidade e REM. A penalização por desvios de qualidade e REM estabelece faixas de limites recomendáveis de operação, no sentido que a violação das respectivas restrições associadas não gera soluções inviáveis, mas apenas reduz o valor da função objetivo. Na prática, esse tipo de abordagem é mais realista que o estabelecimento de restrições de viabilidade para a qualidade requerida, pois com o uso de pilhas de homogeneização, valores instantâneos de teores químicos podem ser desprezados, sem prejuízo de generalização. As restrições (2) – (4) são as restrições que computam os desvios encontrados em relação aos critérios e qualidade e REM, enquanto as restrições (5) – (9) se referem à alocação e aos deslocamentos dos equipamentos de carga.

O grupo de restrições (10) – (13) descreve as relações de precedência para a retirada dos blocos. Nas equações (10) e (11), a variável k

bv armazena a massa, em cada ordem de

produção, de todos os blocos precedentes ao bloco b , segundo as regras contidas na matriz bqg .


Assim, podem ser descritos dois casos em que o bloco está liberado: quando o bloco não possuir blocos precedentes, ou seja, todas as linhas referentes à coluna b possuem valor igual à zero ou quando todos os blocos precedentes já tiverem sido lavrados em ordens anteriores, caso em que todas as massas 1−k

qM forem iguais a zero. As restrições (12) e (13) transformam a variável

contínua kbv em uma variável binária k

bw , que significa que o bloco b está liberado para lavra no

período k se não estiver impedido ( 0=kbw ), sendo a constante G um número grande (big M).

A restrição (14) gera limites de produção para a produção dos equipamentos de carga em cada bloco, definidos como zero para os blocos impedidos ou iguais à massa do bloco, caso estes estejam liberados. As restrições (15) e (16) definem as produções mínimas e máximas para os equipamentos de carga, enquanto a produção mínima de minério é garantida em (17).

O grupo formado pelas restrições (18) – (22), serve ao cálculo da duração de cada ordem de lavra, determinando a duração do período, as quantidades de material lavrado e a massa restante nos blocos que ainda não foram exauridos. As três primeiras são não lineares, pois estabelecem uma relação entre a massa dos blocos em cada período e a produção horária dos equipamentos de carga. As duas últimas computam as quantidades de material restante nos blocos.

O grupo (23) – (25) controla a alocação dos equipamentos de carga dentro dos limites estabelecidos para o número máximo de níveis lavrados simultaneamente, enquanto de (26) – (35) são definidos os domínios das variáveis.

3.2. Heurística ConstrutivaCom a finalidade de gerar soluções para o modelo não linear proposto, foi

implementada uma heurística construtiva míope, que realiza otimização seqüencial de cada ordem de lavra, por meio do uso de um software de otimização como “caixa-preta”, para resolver na otimalidade o modelo de planejamento para cada período.

O modelo de planejamento de lavra para um único período de planejamento é apresentado a seguir, sendo necessários os seguintes dados de acompanhamento instantâneo da produção da mina, além das posições atuais dos equipamentos de carga, descritas como coordenadas do modelo geológico, como no modelo anterior:PM : Produção de minério acumulada (t)PE : Produção de estéril acumulada (t)’

vDTA : Desvio de teor acumulado para a variável química de controle v (%)

A definição das variáveis é a mesma utilizada para o modelo de planejamento de lavra, excluindo-se os índices k referentes à ordem de produção corrente. Porém, consideram-se apenas os blocos lavráveis no momento (conjunto BB ⊆' ), reduzindo significativamente o tamanho do problema. Dessa forma, o modelo pode ser formulado como nas equações (36) – (55), a seguir:

∑ ∑ ∑ ∑∑′∈ ∈ ∈ ∈

++−−

∈

++−− −−−−−=Bb Vv Rr Ii

irr

Vvvvvvb ddREMdREMdTdTPzMax γββαα (36)

Sujeito a:

∑ ∑≥′∈ ≥′∈

−− =−++−tcTBb tcTBb

vbvbbvFe Fe

fTdTDTAPTPT, ,

0min Vv∈∀(37)

∑ ∑≥′∈ ≥′∈

++ =−++−tcTBb tcTBb

vbbvbvFe Fe

fTdTDTAPTPT, ,

0max Vv∈∀(38)

0)()(,,

=−++−+ +−

≥′∈<′∈∑∑ dREMdREMPPMREMPPE

tcTBbb

tcTBbb

FeFe

(39)

∑′∈

=Bb

iby 1 , Ii∈∀

(40) ∑∈

≤Ii

iby 1, Bb∈∀

(41)

∑′∈

−=Bb

ir

ibrb

ir poypd , RrIi ∈∀∈∀ ,

(42)r

ir dd max≤ , RrIi ∈∀∈∀ , (43)


∑∈

≥−Ii

iibb PyP 0min , Bb∈∀

(44) ∑∈

≥−Ii

bii

b PPy 0max , Bb∈∀(45)

∑≥

′∈

≥tcT

Bbb

Fe

P,

Pr, Ii∈∀

(46) iHnMin = , Ii∈∀ (47)

iHnMax ≥ , Ii∈∀ (48) nMinnMaxdN −= (49)

NNLSdN ≤ (50) 0≥bP , Bb∈∀ (51)

}1,0{∈iby , IiBb ∈∀∈∀ , (52) 0≥i

rd , RrIi ∈∀∈∀ , (53)

0,,,, ≥+− dREMdREMdNnMaxnMin (54) 0,,, ≥+−+−vvvv fTfTdTdT , Vv∈∀ (55)

As restrições (37) – (39), que computam os desvios apurados para os parâmetros de qualidade e de REM foram modificadas para corrigir desvios computados em ordens anteriores, considerando os dados atualizados da mina, contidos nos parâmetros PM, PE e DTAv. As demais restrições se mantêm em relação ao modelo anterior.

Mas, além de construir uma solução viável para o problema, a heurística proposta considera ainda algumas características práticas adicionais, tais como: (i) a qualidade do ROM deve ser considerada para a formação de pilhas de homogeneização, as quais constituem um lote de produção de minério; (ii) as relações de precedência são indicadas pelos ângulos de talude, descritos para os pontos cardeais e não por uma matriz de precedências; (iii) o horizonte de planejamento é descrito em função do tempo e não do número de ordens de lavra. Por isso, são necessários os seguintes dados adicionais.

ordemtam : Duração mínima de cada ordem de produção (min)

pilhatam : Capacidade da pilha de homogeneização (t)

Nθ , Sθ , Lθ , Oθ : Ângulos de talude requeridos nas direções Norte, Sul, Leste e Oestef

αµ : Intensificador de penalidades para os desvios de qualidade, na faixa f

A figura 3 mostra o fluxograma de execução da heurística. No passo 1, os dados do problema são lidos e carregados no sistema. No passo 2, as relações de precedência são calculadas, de acordo com os ângulos determinados, considerando-se as opções de 30º, 45º e 60º, na direção de cada um dos pontos cardeais. São geradas, então, duas listas: uma de blocos lavráveis e outra contendo os blocos impedidos. No passo 3, o modelo de otimização para uma ordem de lavra é resolvido utilizando-se um software de otimização, considerando-se apenas os blocos lavráveis. Os resultados referentes à alocação dos equipamentos de carga são, então, devolvidos à heurística. No passo 4, kt , k

bx e kbM da ordem k são calculados por meio das

equações (18) – (21), bem como os valores das parcelas da função objetivo (1) e a heurística avança no tempo de planejamento. Se houver desvios computados para a ordem corrente k, a potencialização das penalidades é executada no passo 5, utilizando os parâmetros f

αµ . Uma vez que os desvios que geraram as intensificações nas penalizações sejam corrigidos, as penalidades voltam aos valores fornecidos originalmente. Senão, a heurística segue para o passo 6. Em alguns casos, quando uma ordem de produção termina, condição alcançada quando um bloco que está sendo lavrado é exaurido, algum dos equipamentos de carga está muito próximo de também terminar de lavrar o bloco ao qual está alocado. Para evitar que essa pequena sobra seja lavrada em uma ordem de lavra futura, com poucos minutos de duração, foi estabelecido um limite mínimo para a duração das ordens ordemtam . Nos casos em que a quantidade que sobra no bloco é insuficiente para gerar uma ordem com a duração permitida utilizando o equipamento de carga a ele alocado, no passo 6 essa quantidade restante é incorporada a um bloco adjacente, recalculando-se a sua massa e os seus parâmetros para controle da qualidade por meio de uma média ponderada para cada dado do bloco e dando preferência para unir blocos de mesma natureza (minério ou estéril). O passo 7 é executado quando a solução do modelo de otimização é


inviável, como por exemplo, quando ocorre o estrangulamento da mina, isto é, todo o minério está coberto por blocos de estéril. Foram implementadas duas estratégias para permitir a viabilização do plano de lavra em caso de estrangulamento da mina: (1) a retirada da restrição (46), mantendo-se penalidade nula para desvios positivos em relação à REM (

0=+β ), viabilizando uma solução em 91,45% dos casos; (2) o aumento progressivo do espaço de busca de soluções, aumentando-se, a cada tentativa, os limites estabelecidos nas restrições (43), primeiramente, para os deslocamentos entre níveis, até o limite nH e depois a relaxação do limite de deslocamentos horizontais, simultaneamente.4. Resultados

Todos os experimentos foram realizados em um computador Pentium (R) IV 3.00 GHz, 2.00 Gb de RAM, com Windows XP Professional v. 2002. Para o modelo de otimização, utilizou-se o AMPL/CPLEX 11.0 e o compilador Dev C++, v. 4.9.9.2 foi usado para a implementação da heurística e a geração das instâncias de teste.

Foram utilizadas quatro minas de dimensão 30Lx30Cx12H, totalizando 10.800 blocos cada uma, reproduzindo distribuições minerais em forma de esfera, veio inclinado, cone e geóide assimétrico (“batata”). Foram utilizados 5 equipamentos de carga com capacidades operacionais distintas e um horizonte de planejamento de um ano. Todos os parâmetros utilizados nos testes estão descritos em Amaral (2008) e não serão reproduzidos aqui novamente.

4.1. Desempenho computacionalOs resultados obtidos em termos de

tempo e de produção são mostrados na tabela 1 e se revelam bastante promissores, pois tempos aceitáveis para o seqüenciamento das instâncias consideradas costumam ser ordem de 24 horas, às vezes com menor número de blocos lavrados. Desse tempo, cerca de 75,35% foram gastos para a realização dos passos 3 e 4 da heurística, ou seja, o para o cálculo das ordens de lavra.

O tempo gasto para a resolução do modelo de otimização para uma ordem não é constante e varia a cada período de planejamento, como mostrado na figura 4. Essa variação é esperada, não só pela variação do número de blocos lavráveis, mas também devido às variações dos teores e das localizações desses blocos em cada ordem de lavra, levando a uma maior ou menor exploração da árvore de branch-and-bound pelo CPLEX.

A solução éviável?

Há desvios em relação às metas?

O horizonte de previsão foi

atingido?

FIM

SIM

SIM

SIM

NÃO

NÃO

NÃO

Passo 1:Leitura do dados

Passo 2:Cálculo dos blocos

lavráveis

Passo 3:Alocação dos

equipamentos de carga

Passo 4:Cálculo da ordem de

produção

Passo 5:Potencialização de

penalidades

Passo 7:Relaxa o problema

Passo 6:Incorporação de sobras a

outros blocos

A solução éviável?

Há desvios em relação às metas?

O horizonte de previsão foi

atingido?

FIM

SIM

SIM

SIM

NÃO

NÃO

NÃO

Passo 1:Leitura do dados

Passo 2:Cálculo dos blocos

lavráveis

Passo 3:Alocação dos

equipamentos de carga

Passo 4:Cálculo da ordem de

produção

Passo 5:Potencialização de

penalidades

Passo 7:Relaxa o problema

Passo 6:Incorporação de sobras a

outros blocos

Figura 3: Fluxograma de execução da heurística


Tabela 1: Resultados de Produção e de Tempo de Processamento

Mina REM Blocos Lavrados

(i) 4.368,47 s = 1,21 h 11.317.106,10 t 29.526.811,07 t 2,61 9.194 (ii) 3.144,95 s = 0,87 h 12.389.468,45 t 29.934.134,92 t 2,42 10.423 (iii) 3.802,53 s = 1,06 h 11.154.236,05 t 33.728.945,08 t 3,03 10.121 (iv) 3.330,56 s = 0,93 h 11.765.816,58 t 28.016.583,48 t 2,38 8.947

Produção de Minério

Produção de Estéril

Tempo de Processamento

4.2. Qualidade das soluçõesOs resultados exibidos para

essa análise se referem à mina (iii), que apresentou pior resultado em termos do controle da REM, fato explicado pela necessidade de lavrar grandes quantidades de estéril para liberar o minério e acessá-lo com segurança no fundo do cone. Apesar disso, não foi detectado problema de estrangulamento da mina, pois de acordo com o plano de lavra gerado, o maior período de estrangulamento não deve ultrapassar 36 horas, o que é totalmente aceitável, pois na prática essa situação pode se estender por vários meses.

A figura 5 mostra resultados obtidos para a qualidade das pilhas de homogeneização, em que é possível perceber que a mina apresenta alta contaminação por fósforo, apresentando o maior índice de fechamento de pilhas fora da faixa estabelecida, fato que também ocorre para a alumina em alguns casos. Para os teores de ferro e sílica, não ocorreram desvios.

48

53

58

63

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100Pilhas de Homogeneização

Limite Inferior

T eor na P ilha

Limite Superior

Teor

de

Ferr

o (%

)

Teor Médio:53,485 %

Desvio Padrão:2,130 %

0,0100,0200,0300,0400,0500,060

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100

Pilhas de Homogeneização

Limite Inferior

T eor na P ilha

Limite Superior

Teor

de

Fósf

oro

(%)

Teor Médio:0,042 %


0,000

0,500

1,000

1,500

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100


Limite InferiorTeor na PilhaLimite Superior

Teor

de

Alu

min

a (%

)

Teor Médio:1,097 %


4,5005,5006,5007,5008,5009,500

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100


Limite Inferior

T eor na P ilhha

Limite Superior

Teor

de

Sílic

a (%

)

Teor Médio:6,409 %


Figura 5: Evolução dos parâmetros de controle ao longo de 100 pilhas de homogeneizaçãoPor fim, as taxas de utilização dos equipamentos de carga mantiveram a média de 96,4%,

com desvio padrão de 0,87%, representando um bom aproveitamento da frota disponível e

0

100

200

300

400500

600

700

800

900

1000

1 601 1201 1801 2401 3001 3601 4201 4801 5401 6001 6601 7201 7801 8401

Períodos de Planejamento

Núm

ero

de b

loco

s lav

ráve

is

Tempo de processamento

do CPLEX

Figura 4: Evolução número de blocos lavráveis


facilitando o controle dos custos de produção da mina.

5. ConclusõesEmbora existam diversos modelos de PO para auxílio ao planejamento de operações de

lavra em minas a céu aberto, aplicados a diversos horizontes de tempo, ainda existe uma lacuna tanto teórica quanto prática entre os horizontes de curto e de longo prazo. Contribuem para isso a falta de modelos que sejam capazes de relacionar metas de produção a horizontes mais longos e a incapacidade dos modelos de curto prazo na utilização dos dados do modelo geológico.

No presente trabalho foram propostos modelos matemáticos e uma heurística construtiva, capazes de representar essas duas características, obtendo resultados satisfatórios em termos de qualidade das soluções geradas e em relação ao tempo requerido para processamento. Dessa forma, podem ser utilizados no planejamento de curto prazo, inclusive utilizando informações disponíveis em tempo real, como o acompanhamento das metas de produção, de qualidade e a localização dos equipamentos de carga. E ainda como ferramenta de auxílio ao controle da produção, ajudando a corrigir defasagens em relação ao plano previsto. E, devido à velocidade de processamento, também é possível apoiar decisões de médio e de longo prazo. Nesses casos, há a possibilidade de teste de cenários, respondendo a questões relativas à quantidade de equipamentos necessários para se atingir uma determinada meta de produção anual ou à necessidade de se alterar a REM requerida para evitar o estrangulamento da mina.

A partir desse trabalho, muitas possibilidades de pesquisas futuras podem ser relacionadas, algumas das quais já se encontram em execução, como a inclusão de um algoritmo de determinação da cava final ótima, entre os passos 1 e 2 da heurística; a construção de metaheurísticas para refinamento da solução da heurística construtiva e a realização de estudos para a linearização do modelo de planejamento de operações de lava proposto.

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