Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma...
-
Upload
trannguyet -
Category
Documents
-
view
226 -
download
0
Transcript of Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma...
![Page 1: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/1.jpg)
Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 7
Parte 7 Pré-Cálculo 1
![Page 2: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/2.jpg)
Trigonometria
Parte 7 Pré-Cálculo 2
![Page 3: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/3.jpg)
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 3
![Page 4: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/4.jpg)
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 4
![Page 5: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/5.jpg)
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 5
![Page 6: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/6.jpg)
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Parte 7 Pré-Cálculo 6
![Page 7: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/7.jpg)
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Parte 7 Pré-Cálculo 7
![Page 8: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/8.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 8
![Page 9: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/9.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 9
![Page 10: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/10.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 10
![Page 11: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/11.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 11
![Page 12: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/12.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 12
![Page 13: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/13.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 13
![Page 14: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/14.jpg)
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de CarlosRoberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & EducaçãoMatemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Parte 7 Pré-Cálculo 14
![Page 15: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/15.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 15
![Page 16: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/16.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 16
![Page 17: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/17.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 17
![Page 18: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/18.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 18
![Page 19: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/19.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 19
![Page 20: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/20.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 20
![Page 21: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/21.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =cateto oposto
hipotenusa=
ba, cos(B̂) =
cateto adjacentehipotenusa
=ca,
tg(B̂) =cateto oposto
cateto adjacente=
bc.
Parte 7 Pré-Cálculo 21
![Page 22: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/22.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 22
![Page 23: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/23.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 23
![Page 24: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/24.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 24
![Page 25: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/25.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 25
![Page 26: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/26.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 26
![Page 27: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/27.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 27
![Page 28: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/28.jpg)
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não dotamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Defato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b′
a′=
ba
ec′
a′=
ca
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Parte 7 Pré-Cálculo 28
![Page 29: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/29.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 29
![Page 30: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/30.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 30
![Page 31: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/31.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 31
![Page 32: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/32.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 32
![Page 33: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/33.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 33
![Page 34: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/34.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 34
![Page 35: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/35.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 35
![Page 36: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/36.jpg)
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(cos(B̂)
)2+(
sen(B̂))2
=c2
a2 +b2
a2 =b2 + c2
a2(∗)=
a2
a2 = 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Parte 7 Pré-Cálculo 36
![Page 37: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/37.jpg)
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 37
![Page 38: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/38.jpg)
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 38
![Page 39: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/39.jpg)
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 39
![Page 40: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/40.jpg)
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 40
![Page 41: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/41.jpg)
Notações
cos2(B̂) significa(
cos(B̂))2
e sen2(B̂) significa(
sen(B̂))2.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Parte 7 Pré-Cálculo 41
![Page 42: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/42.jpg)
Funções Trigonométricas
Parte 7 Pré-Cálculo 42
![Page 43: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/43.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 43
![Page 44: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/44.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 44
![Page 45: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/45.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 45
![Page 46: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/46.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 46
![Page 47: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/47.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 47
![Page 48: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/48.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 48
![Page 49: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/49.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 49
![Page 50: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/50.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder acada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), umcaminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário aomovimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos levade (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminhoserá chamado E(t).Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, nosentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede t radianos.
Parte 7 Pré-Cálculo 50
![Page 51: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/51.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E(
2πs360
), para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 51
![Page 52: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/52.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E(
2πs360
), para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste casoque o ângulo AOP mede s graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 52
![Page 53: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/53.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 53
![Page 54: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/54.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 54
![Page 55: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/55.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 55
![Page 56: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/56.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 56
![Page 57: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/57.jpg)
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP temcomprimento igual a 2π/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele quesubtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2π radianos e 360 graus, segue-se que2πrad = 360◦, ou seja,
1rad =
(3602π
)◦= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Parte 7 Pré-Cálculo 57
![Page 58: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/58.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 58
![Page 59: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/59.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 59
![Page 60: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/60.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 60
![Page 61: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/61.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função senorespectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real t dáa medida do ângulo AOP em radianos!.
Parte 7 Pré-Cálculo 61
![Page 62: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/62.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 62
![Page 63: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/63.jpg)
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real tdá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cadas em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa ea ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
Parte 7 Pré-Cálculo 63
![Page 64: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/64.jpg)
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 64
![Page 65: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/65.jpg)
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 65
![Page 66: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/66.jpg)
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 7 Pré-Cálculo 66
![Page 67: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/67.jpg)
A função tangente
Parte 7 Pré-Cálculo 67
![Page 68: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/68.jpg)
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 68
![Page 69: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/69.jpg)
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 69
![Page 70: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/70.jpg)
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 70
![Page 71: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/71.jpg)
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 71
![Page 72: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/72.jpg)
A função tangente
f (x) = tg(x) =sen(x)
cos(x)
Qual é o domínio natural da função tangente?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 72
![Page 73: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/73.jpg)
O gráfico da função tangente
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-tangente-rad-br.html)
Parte 7 Pré-Cálculo 73
![Page 74: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/74.jpg)
A função secante
Parte 7 Pré-Cálculo 74
![Page 75: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/75.jpg)
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 75
![Page 76: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/76.jpg)
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 76
![Page 77: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/77.jpg)
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 77
![Page 78: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/78.jpg)
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 78
![Page 79: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/79.jpg)
A função secante
f (x) = sec(x) =1
cos(x)
Qual é o domínio natural da função secante?
D = {x ∈ R | cos(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= π/2 + k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 79
![Page 80: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/80.jpg)
A função secante
Parte 7 Pré-Cálculo 80
![Page 81: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/81.jpg)
A função cossecante
Parte 7 Pré-Cálculo 81
![Page 82: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/82.jpg)
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 82
![Page 83: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/83.jpg)
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 83
![Page 84: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/84.jpg)
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 84
![Page 85: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/85.jpg)
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 85
![Page 86: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/86.jpg)
A função cossecante
f (x) = cossec(x) =1
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cossecante?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 86
![Page 87: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/87.jpg)
A função cossecante
Parte 7 Pré-Cálculo 87
![Page 88: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/88.jpg)
A função cotangente
Parte 7 Pré-Cálculo 88
![Page 89: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/89.jpg)
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 89
![Page 90: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/90.jpg)
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 90
![Page 91: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/91.jpg)
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 91
![Page 92: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/92.jpg)
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 92
![Page 93: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/93.jpg)
A função cotangente
f (x) = cotg(x) =cos(x)
sen(x)
Qual é o domínio natural da função cotangente?
D = {x ∈ R | sen(x) 6= 0} = {x ∈ R | x 6= k · π, com k ∈ Z}
Parte 7 Pré-Cálculo 93
![Page 94: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/94.jpg)
A função cotangente
Parte 7 Pré-Cálculo 94
![Page 95: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/95.jpg)
A função arco seno
Parte 7 Pré-Cálculo 95
![Page 96: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/96.jpg)
A função arco seno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = sen(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 96
![Page 97: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/97.jpg)
A função arco seno
f : [−π/2,+π/2] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = sen(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 97
![Page 98: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/98.jpg)
A função arco seno
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 98
![Page 99: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/99.jpg)
Exemplo
f−1 : [−1,+1] → [−π/2,+π/2]x 7→ y = f−1(x) = arcsen(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 99
![Page 100: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/100.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 100
![Page 101: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/101.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 101
![Page 102: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/102.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 102
![Page 103: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/103.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 103
![Page 104: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/104.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 104
![Page 105: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/105.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 105
![Page 106: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/106.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 106
![Page 107: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/107.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 107
![Page 108: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/108.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 108
![Page 109: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/109.jpg)
A função arco seno
Mostre que cos(arcsen(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arcsen(x))]2 + [sen(arcsen(x))]2 = 1 ⇒ [cos(arcsen(x))]2 + x2 = 1
⇒ [cos(arcsen(x))]2 = 1− x2
⇒√
[cos(arcsen(x))]2 =√
1− x2
⇒ | cos(arcsen(x))| =√
1− x2
⇒ cos(arcsen(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arcsen(x) ∈ (−π/2,+π/2) e, assim, cos(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 109
![Page 110: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/110.jpg)
A função arco cosseno
Parte 7 Pré-Cálculo 110
![Page 111: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/111.jpg)
A função arco cosseno
f : R → Rx 7→ y = f (x) = cos(x)
não é inversível, pois não é injetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 111
![Page 112: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/112.jpg)
A função arco cosseno
f : [0, π] → [−1,+1]x 7→ y = f (x) = cos(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 112
![Page 113: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/113.jpg)
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 113
![Page 114: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/114.jpg)
A função arco cosseno
f−1 : [−1,+1] → [0, π]x 7→ y = f−1(x) = arccos(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 114
![Page 115: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/115.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 115
![Page 116: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/116.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 116
![Page 117: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/117.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 117
![Page 118: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/118.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 118
![Page 119: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/119.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 119
![Page 120: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/120.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 120
![Page 121: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/121.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 121
![Page 122: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/122.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 122
![Page 123: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/123.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 123
![Page 124: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/124.jpg)
A função arco cosseno
Mostre que sen(arccos(x)) =√
1− x2, para x ∈ (−1,+1).
Demonstração.
[cos(arccos(x))]2 + [sen(arccos(x))]2 = 1 ⇒ x2 + [sen(arccos(x))]2 = 1
⇒ [sen(arccos(x))]2 = 1− x2
⇒√
[sen(arccos(x))]2 =√
1− x2
⇒ | sen(arccos(x))| =√
1− x2
⇒ sen(arccos(x)) =√
1− x2,
pois se x ∈ (−1,+1), então arccos(x) ∈ (0, π) e, assim, sen(arcsen(x)) > 0.
Parte 7 Pré-Cálculo 124
![Page 125: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/125.jpg)
A função arco tangente
Parte 7 Pré-Cálculo 125
![Page 126: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/126.jpg)
A função arco tangente
f : R− {π/2 + k · π | k ∈ Z} → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
não é inversível.
Parte 7 Pré-Cálculo 126
![Page 127: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/127.jpg)
A função arco tangente
f : (−π/2,+π/2) → Rx 7→ y = f (x) = tg(x)
é inversível, pois é bijetiva.
Parte 7 Pré-Cálculo 127
![Page 128: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/128.jpg)
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 128
![Page 129: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/129.jpg)
A função arco tangente
f−1 : R → (−π/2,+π/2)x 7→ y = f−1(x) = arctg(x)
é sua função inversa.
Parte 7 Pré-Cálculo 129
![Page 130: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/130.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 130
![Page 131: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/131.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 131
![Page 132: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/132.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 132
![Page 133: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/133.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 133
![Page 134: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/134.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 134
![Page 135: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/135.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 135
![Page 136: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/136.jpg)
A função arco tangente
Mostre que sec2(arctg(x)) = 1 + x2, para x ∈ R.
Demonstração.
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2 = 1⇓
[cos(arctg(x))]2 + [sen(arctg(x))]2
cos2(arctg(x))=
1cos2(arctg(x))
⇓
1 + tg2(arctg(x)) = sec2(arctg(x))
⇓
1 + x2 = sec2(arctg(x))
⇓
sec2(arctg(x)) = 1 + x2.
Parte 7 Pré-Cálculo 136
![Page 137: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/137.jpg)
As fórmulas de adição
Parte 7 Pré-Cálculo 137
![Page 138: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/138.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 138
![Page 139: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/139.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 139
![Page 140: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/140.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 140
![Page 141: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/141.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 141
![Page 142: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/142.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 142
![Page 143: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/143.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 143
![Page 144: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/144.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 144
![Page 145: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/145.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 145
![Page 146: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/146.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 146
![Page 147: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/147.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 147
![Page 148: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/148.jpg)
As fórmulas de adição
OA = cos(α + β),
OE = cos(β),
EC = sen(β),
AB = DE = sen(α) · sen(β),
OB = cos(α) · cos(β).
cos(α + β) = OA = OB − AB = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
Parte 7 Pré-Cálculo 148
![Page 149: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/149.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 149
![Page 150: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/150.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 150
![Page 151: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/151.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 151
![Page 152: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/152.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 152
![Page 153: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/153.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 153
![Page 154: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/154.jpg)
As fórmulas de adição
cos(α + β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β).
cos(α− β) = cos(α + (−β))
= cos(α) · cos(−β)− sen(α) · sen(−β)
= cos(α) cos(β) + sen(α) · sen(β).
cos(2α) = cos(α + α) = cos2(α)− sen2(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 154
![Page 155: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/155.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 155
![Page 156: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/156.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 156
![Page 157: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/157.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 157
![Page 158: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/158.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 158
![Page 159: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/159.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 159
![Page 160: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/160.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 160
![Page 161: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/161.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 161
![Page 162: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/162.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 162
![Page 163: Pré-Cálculo - professores.im-uff.mat.br · Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021912/5c64cc6609d3f2a36e8bd053/html5/thumbnails/163.jpg)
As fórmulas de adição
Já vimos que:
sen(π
2+ t)
= cos(t), − cos(π
2+ t)
= sen(t).
Agora:
sen(α + β) = − cos(π
2+ α + β
)= − cos
(π2
+ α)· cos(β) + sen
(π2
+ α)· sen(β)
= sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β).
Logo:
sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β) e
sen(2α) = 2 sen(α) · cos(α).
Parte 7 Pré-Cálculo 163