Dicionario

Praciano-Pereira, T

Sobral Matematica

28 de novembro de 2016

Textos da Sobral Matematica

Editor Tarcisio Praciano-Pereira,

tarcisio@member.ams.org

1

——————————————————————- derivada implıcita e um metodo do Calculo Diferencial para calcular

a derivada que produz um modelo da variedade linear tangente a partir daequacao duma variedade. Manipula o conceito de diferencial produzindo uma1-forma-diferencial.

Um exemplo mostra claramente o significado deste metodo. Por definicaoAtan e a funcao inversa da funcao trigonometrica tan entao

Atan(tan(x)) = x; y = Atan(x) ⇒ x = tan(y); (1)

Como conheco a derivada da funcao tangente, ao aplicar derivacao implıcitaa ultima expressao da (eq.1) vem

dx = dycos2(y) =

(sin2(y)+cos2(y))dycos2(y) ; (2)

dx = (1 + tan2(y))dy; (3)

dx = (1 + x2)dy ⇒ dydx = 1

1+x2 ; (4)

e consegui a derivada de y = Atan(x).A equacao (eq.2) foi obtida usando o resultado conhecido como derivada da

funcao tan. A equacao (eq.3) usa uma identidade trigonometrica que permiteescrever o antecedente na equacao (eq.4). O consequente na ultima equacao(eq.4) foi obtido por um salto logico, resolvi uma equacao do primeiro grau nasvariaveis dx, dy, que aparecem no processo de derivacao levando a notacao deLeibniz.

Um outro exemplo deve mostrar o poder do metodo, agora envolvendo de-rivadas parciais.

z = x+ iy ∈ C ⇒ z = ρeiθ; ρ =√

x2 + y2; θ = Atan(y/x); (5)

log(z) = log(ρ) + iθ = log(|z|) + iArg(z) = u(x, y) + iv(x, y); (6)

ux(x, y) =x/ρρ = x

x2+y2 ; (7)

uy(x, y) =y/ρρ = y

x2+y2 ; (8)

θ = v(x, y) = Atan(y/x); (9)

dθ = vxdx+ vydy = dx1+(y/x)2

−yx2 + dy

1+(y/x)21x ; (10)

dθ = −ydxx2+y2 + xdy

x2+y2 ; (11)

vx = − yx2+y2 ; vy = x

x2+y2 ; (12)

Detalhe, observe que ux(x, y) = vy(x, y) e que uy(x, y) = −vx(x, y), asequacoes de Cauchy-Riemann sao satisfeitas e portanto log(z) e uma funcaoanalıtica no plano complexo sem um “raio” partindo de zero. A integral deCauchy, na fronteira dum domınio incluindo o zero, vale 2πi. Se o domınioestiver todo incluıdo no complementar do zero, no plano complexo cortado poruma semireta partindo da origem, a integral de Cauchy vale zero, ou seja, epreciso escolher, duma vez por todas, a semireta saindo do zero ao definir o

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domınio do logaritmo. Isto e consequencia da periodicidade da exponencial emsua parte imaginaria e esta e uma forma bem simples de explicar este fenomenoda exclusao duma semireta partindo da origem na construcao do domınio dologaritmo.

A periodicidade 2πi da exponencial, em sua parte imaginaria, e consequenciada formula de Euler que tambem justifica a forma polar dum numero complexo.

Os exemplos aqui apresentados mostram, ou pelo menos sugerem, que asvariaveis dx, dy, dθ, dρ que aparecem no processo de derivacao podem ser trata-das com as regras da aritmetica conduzindo a famosa fracao de Leibniz e queuma maneira diferente de explica-la dentro da teoria das formas diferenciais.

A derivada implıcita esta intimamente ligada com o teorema da funcaoimplıcita e com a expressao trivial da formula de Green.

Se z = F (x, y) for uma funcao real de duas variaveis, diferenciavel, numdomınio Ω do R2, entao a derivada implıcita nos fornece a 1-forma diferencial

dz = P (x, y)dx +Q(x, y)dy =∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy; (13)

Como (eq.13) se origina numa funcao diferenciavel por derivacao, entao dadoum ponto (a, b) ∈ Ω a integral

(x,y)∮

(a,b)

P (x, y)dx+Q(x, y)dy (14)

esta bem definida nao importa o caminho γ ligando os pontos (a, b), (x, y) o queainda e caracterizado com a afirmacao de que esta integral e independente decaminho, e tem que ser porque F e uma primitiva da forma diferencial exata daequacao (eq.13). Se γ for um curva fechada contida em Ω entao esta integraltem que ser zero que e o valor da integral no segundo membro da formula deGreen:

∮

∂D

P (x, y)dx +Q(x, y)dy =

∫ ∫

D∂Q

∂x−

∂P

∂ydxdy = 0; (15)

A expressao trivial do teorema de Green.A primeira integral e zero porque e igual, pelo teorema fundamental do

Calculo Integral a F (a, b)− F (a, b) em que (a, b) e condicao inicial selecionadasobre a fronteira de D.

A segunda integral e zero pelo teorema da simetria da derivadas mistas:

∂P

∂y=

∂2P

∂x∂y=

∂2P

∂y∂x=

∂Q

∂x(16)

——————————————————————- fator integrante, relativo as equacoes diferenciais, e uma poderosa tecnica

para explodir uma equacao diferencial, produzindo mais termos, e com isto abrira possibilidade de encontrar-se uma solucao. Esta tecnica ainda e chamada de“variacao dos coeficientes” em que os coeficientes sao considerados “variaveis”.

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Por exemplo, considere a equacao diferencial linear nao homogenea:

(1 + x2)y′ + 2xy = 3x2 (17)

e nela substitua y := z = µy em que µ e uma funcao diferenciavel,

(1 + x2)z′ + 2xz = 3x2; z = µy; (18)

(1 + x2)(µy)′ + 2x(µy) = 3x2; (19)

(1 + x2)(µ′y + µy′) + 2x(µy) = 3x2; (20)

(1 + x2)µ′y + (1 + x2)µy′ + 2x(µy) = 3x2; (21)(

(1 + x2)µ′ + 2xµ)

y + (1 + x2)µy′ = 3x2; (22)

e voce pode identificar a equacao homogenea associada a (eq.17) na expressao

(

(1 + x2)µ′ + 2xµ)

= 0

o que permite supor que µ seja uma solucao da equacao homogenea, que sempreexiste, transformando a equacao (eq.22) em

(1 + x2)µy′ = 3x2; (23)

O fator µ pode ser calculado usando a equacao homogenea que surgiu com aexplosao da equacao:

(1 + x2)µ′ + 2xµ = 0 ⇒ log(µ) = − log(1 + x2) + C; (24)

µ(x) = K1+x2 ;K ∈ R++; (25)

e usado na equacao (eq.23), µ e a “constante” encontrada na equacao (eq.25),uma solucao da equacao homogenea mencionada acima, e nela vou considerK = 1,

µ(x) =1

1 + x2; (26)

(1 + x2)µy′ = 3x2 ⇒ y′ =3x2

(1 + x2)µ(x)= 3x2 (27)

uma equacao diferencial do Calculo, determinacao dum primitiva, que sabemosresolver exatamente ou aproximadamente. Neste exemplo

µ(x) = 11+x2 ; (28)

y′ = 3x2

µ(1+x2) = 3x2; (29)

y = x3 + C; (30)

Retornando a equacao transformada, (eq.18),

z = µy =x3 + C

1 + x2; (31)

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Testando, partindo da equacao (eq.18), ou equivalentemente da equacao(eq.17),

I(x) = (1 + x2)y′ + 2xy = 3x2; y = x3+C1+x2 ; (32)

y′ = 3x2(1+x2)−2x(x3+C)(1+x2)2 ; (33)

y′ = 3x2+3x4−2x4

−2Cx(1+x2)2 ; (34)

y′ = x4+3x2−2Cx

(1+x2)2 ; (35)

I(x) = x4+3x2−2Cx

1+x2 + 2x(x3+C)1+x2 ; (36)

I(x) = 3x4+3x2

1+x2 = (x2+1)3x2

1+x2 = 3x2; (37)

——————————————————————- hipersuperfıcie

Um hiperplano e uma hipersuperfıcie “linear”. As hipersuperfıcie sao asvariedades de maior dimensao dentro do espaco que se estiver considerando, por-tanto um conceito relativo, complicado, mais muito util. O adjetivo linear estasendo aplicado num sentido largo em que retas, planos sao variedades “linea-res” que na verdade devem ser chamadas de variedades lineares afim porque elassao translacoes de variedades lineares. As variedades lineares necessariamentepassam pelo zero.

Se estivermos num plano, as retas sao hipersuperfıcie “lineares”. O graficodum funcao univariada e uma hipersuperfıcie do R2.

Se F for uma funcao real de n variaveis, seu grafico que esta contido noRn+1 e uma hipersuperfıcie deste espaco.

Um ponto e uma hipersuperfıcie da reta em que ele estiver e aqui voce vea importancia das hipersuperfıcie: neste caso, um ponto e um hiperplano edivide o espaco em dois semiespacos. Voce ja conhece este resultado com outraredacao: “um ponto divide uma reta em duas semi retas”.

Uma reta e hipersuperfıcie do plano em que ela estiver e divide o espaco emdois semiespacos. Voce ja conhece este resultado com outra redacao: “uma retadivide um plano em dois semiplanos”.

Nestes dois ultimos exemplos voce ve a importancia dum tipo de hipersu-perfıcie, os hiperplanos.

E a definicao: se E for um espaco de dimensao n entao qualquer variedadede dimensao n− 1 e uma hipersuperfıcie de E.

Hipersuperfıcie e hiperplano sao duas invencoes que levaram algum tempopara serem bem afinadas, como outras definicoes em Matematica que nem sem-pre surgiram claras. Outras ate mesmo desapareceram, caıram em desuso por-que nao teriam mesmo sentido, ou representavam um erro que, com o tempo foicorrigido1.

——————————————————————

1Como os infinitesimais que aparecem nos livros de Calculo da decada de 50 do seculopassado e foram varridos pelas formas diferenciais de Cartan. Era um conceito muito queridoque aparece no tıtulo do famoso livro de Calculo de R. Courant.

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- logaritmo e o nome de uma famılia de funcoes estudadas intensivamente,pelo menos desde 1614, confira [?, logaritmo]. Os logaritmos estavam funda-mentados na relacao axay = ax+y em que as potencias transformam produtoem adicao. Foram usados de modo sistematico ate a decada de 70 do seculopassado quando as maquinas eletronicas lhes tomaram o lugar como “maquinasde calcular” depois de 350 anos dum servico exemplar.

No final do seculo 17 foi uma construıda uma maquina de calculo, a reguade calculo, “slide rule”, em ingles, baseada no princıpio da correspondenciaentre as duas progressoes, apenas usando uma distribuicao logarıtmica para asmarcacoes numericas, como voce pode ver nas figuras (fig 1), (fig 2) pagina 5.

Figura 1: Regua de calculo

Figura 2: 2× 3 = 6

Ate 1960, as chamadas tabelas de logaritmos, eram indispensaveis nas esco-las e todo estudante tinha a sua tabela, ou a sua regua de calculo. Foi umadas invencoes mais prolıficas da Matematica, foi a “maquina de calcular” usadapelos calculistas do final Idade Media, descritos no livro, Mirifici Logarithmo-

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rum Canonis Descriptio por John Napier, em 1614, e ainda estavam uso ate aprimeira metade do seculo 20.

Os calculistas descobriram o segredo dos logaritmos : colocar em corres-pondencia duas progressoes, uma geometrica e a outra aritmetica com a sin-cronizacao dos elementos neutros da multiplicacao e da adicao.

Um exemplo simples vem quando voce escrever as sucessıveis potencias deum numero a > 0, as potencias formam uma progressao aritmetica, e o resultadode elevar a a cada uma dessas potencias e uma progressao geometrica.

Os calculistas da Idade Media descobriram isto e comecaram a colocar lon-gas listas de p.g. sincronizadas com p.a. e depois somando os termos na p.a.aritmetica podiam descobrir quanto valia o produto dos numeros em corres-pondencia.

Experimente, na pagina 8 voce encontra uma tabela de logaritmos . Se vocequiser efetuar o produto dos numeros 1.1651390, 1.1973770, leia os logaritmosque lhe correspondem na coluna ao lado dos mesmos:

• 1.1651390 7→ 0.175 = log(1.1651390)

• 1.1973770 7→ 0.20625 = log(1.1973770)

• 0.175 + 0.20625 = 0.38125 ← 1.3951107 = 1.1651390 ∗ 1.1973770

Usando calc, uma linguagem de programacao de domınio publico, o resul-tado que encontro e

1.1651390 ∗ 1.1973770 = 1.395110640403

portanto ha um erro na setima casa decimal usando esta tabela de logaritmos.Com uma tabela mais precisa este erro pode ser mais reduzido.

Uma tabela de logaritmos, essencialmente, e a listagem de duas progressoes,uma geometrica, a coluna do x e a outra aritmetica, a coluna de log(x), sincro-nizadas pela associacao

1 7→ 0;

pondo em correspondencia os elementos neutros da adicao e da multiplicacao.Qualquer tabela deste tipo e uma tabela de logaritmos e no ponto em que surgira associacao

a 7→ 1;

se tem a base a dos logaritmos desta tabela. E voce nao precisa saber qual ea base para usar os logaritmos, basta construir as duas progressoes com grandeprecisao:

• Fixe a associacao fundamental, 1 7→ 0;

• e na coluna do 1 divida ou multiplique por q > 0, muito pequeno;

• na coluna do 0 subtraia ou some um ∆ muito pequeno, em valor absoluto;

• e mantenha as duas sucessoes acopladas na relacao fundamental.

7

Nao interessa nem mesmo se voce alterar a ordem de crescimento entre asduas colunas isto significaria apenas que voce inverteu a base do logaritmo, dea, para 1

a . . .Os dois numeros muito pequenos q > 0,∆ representam a precisao da tabela

construıda. Se voce puder encontrar a 7→ 1 voce fica sabendo qual e a basedestes logaritmos. Mas esta descoberta nao interessa para fazer as contas comos logaritmos, e esta segunda associacao nao e sempre possıvel de ser obtida aocolocarmos em correspondencia as duas progressoes, o caso do numero a = eilustra bem esta dificuldade uma vez que e e um dos poucos numeros que nao ealgebrico cuja identidade nos conhecemos. Nao e possıvel encontrar-se um parde sucessoes com as duas associacoes:

1 7→ 0; e 7→ 1;

a segunda associacao tem que ser feita com um numero que representa umaaproximacao do numero e. Esta tabela de logaritmos e chamada tabela delogaritmos naturais.

As tabelas de logaritmos decimais foram as mais comuns, nelas se tinha opar de associacoes

1 7→ 0; 10 7→ 1;

e se voce quiser construir uma tabela de logaritmos decimais, sincronize asprogressoes usando a relacao 10 7→ 1 usando os dois numeros q,∆ mencionadosacima. Se quiser os logaritmos de base a sincronize as progressoes usando aassociacao a 7→ 1.

Na tabela , na pagina 8, voce pode ver uma tabela de logaritmos que foigerada por um programa em python que pode ser baixado de [?, log tabela py].Para executar o programa, troque o nome de log tabela py para log tabela.py

para que o interpretador do python o reconheca.Com este programa em python voce pode construir uma tabela de logaritmos

de alta precisao e bastante extensa. Imprima e guarde para quando nao tivermosmais computadores disponıveis quando teremos que retornar aos metodos decalculo da Idade Media ou de muito antes. . . se ainda soubermos ler, as tabelasserao uteis.

A correspondencia entre progressoes geometrica e aritmetica mostra a impos-sibilidade de que se calcule p = log(0) porque nao e possıvel escrever a potenciaap = 0. Desta forma o domınio de qualquer funcao logarıtmica real e o conjuntodos numeros reais estritamente positivos.

Na epoca em que Napier divulgou os logaritmos, eles foram objeto de diversaspesquisas um dos pontos altos, certamente, foi a demonstracao por Euler dosdois limites notaveis

ex = limn(1 + x/n)n;

log(x) = limn

n(x1/n − 1);(38)

definindo um par de funcoes inversas.

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x log x x log x x log x x log x1 0 1.2440142 0.25 1.5475715 0.5 1.9252010 0.751.0054735 0.00625 1.2508234 0.25625 1.5560421 0.50625 1.9357386 0.756251.0109769 0.0125 1.2576698 0.2625 1.5645591 0.5125 1.9463339 0.76251.0165105 0.01875 1.2645536 0.26875 1.5731228 0.51875 1.9569872 0.768751.0220744 0.025 1.2714752 0.275 1.5817333 0.525 1.9676988 0.7751.0276687 0.03125 1.2784346 0.28125 1.5903909 0.53125 1.9784690 0.781251.0332937 0.0375 1.2854321 0.2875 1.5990959 0.5375 1.9892982 0.78751.0389495 0.04375 1.2924680 0.29375 1.6078486 0.54375 2.0001866 0.793751.0446362 0.05 1.2995423 0.3 1.6166492 0.55 2.0111347 0.81.0503540 0.05625 1.3066554 0.30625 1.6254979 0.55625 2.0221427 0.806251.0561031 0.0625 1.3138074 0.3125 1.6343951 0.5625 2.0332109 0.81251.0618837 0.06875 1.3209985 0.31875 1.6433410 0.56875 2.0443397 0.818751.0676959 0.075 1.3282290 0.325 1.6523358 0.575 2.0555294 0.8251.0735400 0.08125 1.3354991 0.33125 1.6613799 0.58125 2.0667804 0.831251.0794160 0.0875 1.3428089 0.3375 1.6704735 0.5875 2.0780929 0.83751.0853242 0.09375 1.3501588 0.34375 1.6796169 0.59375 2.0894674 0.843751.0912647 0.1 1.3575489 0.35 1.6888103 0.6 2.1009041 0.851.0972378 0.10625 1.3649795 0.35625 1.6980540 0.60625 2.1124034 0.856251.1032435 0.1125 1.3724507 0.3625 1.7073483 0.6125 2.1239657 0.86251.1092822 0.11875 1.3799629 0.36875 1.7166935 0.61875 2.1355912 0.868751.1153538 0.125 1.3875161 0.375 1.7260899 0.625 2.1472804 0.8751.1214587 0.13125 1.3951107 0.38125 1.7355376 0.63125 2.1590336 0.881251.1275971 0.1375 1.4027468 0.3875 1.7450371 0.6375 2.1708511 0.88751.1337690 0.14375 1.4104248 0.39375 1.7545886 0.64375 2.1827333 0.893751.1399747 0.15 1.4181448 0.4 1.7641924 0.65 2.1946805 0.91.1462143 0.15625 1.4259070 0.40625 1.7738487 0.65625 2.2066931 0.906251.1524881 0.1625 1.4337117 0.4125 1.7835579 0.6625 2.2187715 0.91251.1587963 0.16875 1.4415592 0.41875 1.7933202 0.66875 2.2309159 0.918751.1651390 0.175 1.4494496 0.425 1.8031360 0.675 2.2431269 0.9251.1715164 0.18125 1.4573831 0.43125 1.8130054 0.68125 2.2554047 0.931251.1779287 0.1875 1.4653601 0.4375 1.8229289 0.6875 2.2677496 0.93751.1843761 0.19375 1.4733808 0.44375 1.8329068 0.69375 2.2801622 0.943751.1908588 0.2 1.4814454 0.45 1.8429392 0.7 2.2926427 0.951.1973770 0.20625 1.4895541 0.45625 1.8530266 0.70625 2.3051915 0.956251.2039308 0.2125 1.4977072 0.4625 1.8631691 0.7125 2.3178090 0.96251.2105206 0.21875 1.5059049 0.46875 1.8733672 0.71875 2.3304956 0.968751.2171464 0.225 1.5141475 0.475 1.8836211 0.725 2.3432515 0.9751.2238084 0.23125 1.5224352 0.48125 1.8939311 0.73125 2.3560774 0.981251.2305070 0.2375 1.5307683 0.4875 1.9042976 0.7375 2.3689734 0.98751.2372422 0.24375 1.5391469 0.49375 1.9147208 0.74375 2.3819400 0.99375

9

x log x x log x x log x x log x2.3949776 1.0 2.9793863 1.25 3.7063991 1.5 4.6108134 1.752.4080865 1.00625 2.9956940 1.25625 3.7266861 1.50625 4.6360507 1.756252.4212672 1.0125 3.0120910 1.2625 3.7470842 1.5125 4.6614262 1.76252.4345200 1.01875 3.0285777 1.26875 3.7675939 1.51875 4.6869406 1.768752.4478454 1.025 3.0451546 1.275 3.7882159 1.525 4.7125946 1.7752.4612437 1.03125 3.0618223 1.28125 3.8089507 1.53125 4.7383891 1.781252.4747154 1.0375 3.0785813 1.2875 3.8297990 1.5375 4.7643247 1.78752.4882607 1.04375 3.0954319 1.29375 3.8507615 1.54375 4.7904023 1.793752.5018803 1.05 3.1123748 1.3 3.8718387 1.55 4.8166226 1.82.5155743 1.05625 3.1294104 1.30625 3.8930312 1.55625 4.8429865 1.806252.5293434 1.0625 3.1465393 1.3125 3.9143398 1.5625 4.8694946 1.81252.5431878 1.06875 3.1637619 1.31875 3.9357650 1.56875 4.8961478 1.818752.5571079 1.075 3.1810788 1.325 3.9573074 1.575 4.9229470 1.8252.5711043 1.08125 3.1984905 1.33125 3.9789678 1.58125 4.9498928 1.831252.5851773 1.0875 3.2159974 1.3375 4.0007467 1.5875 4.9769861 1.83752.5993273 1.09375 3.2336002 1.34375 4.0226449 1.59375 5.0042277 1.843752.6135547 1.1 3.2512994 1.35 4.0446629 1.6 5.0316184 1.852.6278600 1.10625 3.2690954 1.35625 4.0668014 1.60625 5.0591590 1.856252.6422437 1.1125 3.2869888 1.3625 4.0890611 1.6125 5.0868504 1.86252.6567060 1.11875 3.3049802 1.36875 4.1114426 1.61875 5.1146933 1.868752.6712475 1.125 3.3230701 1.375 4.1339466 1.625 5.1426886 1.8752.6858686 1.13125 3.3412589 1.38125 4.1565738 1.63125 5.1708372 1.881252.7005698 1.1375 3.3595474 1.3875 4.1793249 1.6375 5.1991398 1.88752.7153514 1.14375 3.3779359 1.39375 4.2022005 1.64375 5.2275974 1.893752.7302139 1.15 3.3964250 1.4 4.2252013 1.65 5.2562107 1.92.7451577 1.15625 3.4150154 1.40625 4.2483280 1.65625 5.2849806 1.906252.7601834 1.1625 3.4337075 1.4125 4.2715812 1.6625 5.3139080 1.91252.7752913 1.16875 3.4525020 1.41875 4.2949618 1.66875 5.3429938 1.918752.7904819 1.175 3.4713993 1.425 4.3184703 1.675 5.3722387 1.9252.8057556 1.18125 3.4904000 1.43125 4.3421075 1.68125 5.4016437 1.931252.8211129 1.1875 3.5095048 1.4375 4.3658741 1.6875 5.4312097 1.93752.8365543 1.19375 3.5287141 1.44375 4.3897707 1.69375 5.4609375 1.943752.8520803 1.2 3.5480286 1.45 4.4137982 1.7 5.4908280 1.952.8676912 1.20625 3.5674487 1.45625 4.4379572 1.70625 5.5208821 1.956252.8833875 1.2125 3.5869752 1.4625 4.4622484 1.7125 5.5511007 1.96252.8991698 1.21875 3.6066086 1.46875 4.4866726 1.71875 5.5814847 1.968752.9150384 1.225 3.6263494 1.475 4.5112304 1.725 5.6120351 1.9752.9309939 1.23125 3.6461983 1.48125 4.5359227 1.73125 5.6427526 1.981252.9470367 1.2375 3.6661558 1.4875 4.5607501 1.7375 5.6736383 1.98752.9631674 1.24375 3.6862225 1.49375 4.5857134 1.74375 5.7046930 1.99375

10

A forma moderna como se apresentam os logaritmos passa pela definicao:

log(x) =

x∫

1

dt

t(39)

com a qual e bem simples provar que log(ab) = log(a)+log(b) para dois numerosreais positivos quaisquer, e, por definicao mesmo, log(1) = 0.

Depois e relativamente facil encontrar a solucao aproximada para a equacao

x∫

1

dt

t= 1 ⇒ x = e (40)

usando algum metodo para o calculo aproximado da integral.Como o integrando e uma funcao indefinidamente derivavel entao log(x)

tambem o e. Depois como a derivada de log(x) e 1x entao log(x) e uma funcao

crescente, logo inversıvel e podemos chamar a sua inversa de exp(x) e com elasduas e possıvel obter as duas progressoes, a aritmetica e a geometrica, referidasacima com as associacoes:

1 7→ 0; e 7→ 1; (41)

e facil encontrar a solucao aproximada para a equacao apenas a segunda ficandoem aberto...mas nos sabemos onde esta o numero e. Mesmo o atalho moderno,representado pela equacao (eq. 39), nao torna muito mais facil provar as duasidentidades da equacao (38). . .

Por outro lado e a forma como se pode facilmente demonstrar as propriedadesde diferenciabilidade e continuidade do logaritmo natural e consequentemente dasua funcao inversa y = ex. Mas, depois de estabelecida, facilmente se mostra queela leva de volta a correspondencia entre as progressoes da tabela do logaritmonatural, ou ainda chamado logaritmo neperiano.

A notacao varia um pouco, alguma vezes o logaritmo natural e designadopor ln(x) mas entendemos que log(x) quer dizer o logaritmo neperiano. Quandose tratar de outra base o habito e indica-lo:

• loga(x) o logaritmo de x na base a;

• log10(x) o logaritmo decimal de x.

As linguagens de programacao “entendem” que log(x) e o logaritmo natural.Para obter os outros tipos de logaritmo podemos usar a equacao:

loga(x) =

x∫

1

k

xdx = k log(x) (42)

e podemos descobrir o numero k que corresponde a uma base de logaritmosusando a propria base. Por exemplo, para encontrar a constante que ira repro-

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duzir o log10 escreva x = 10 na equacao (42):

log10(10) = 1 =10∫

1

kt dt = k log(10) = 2.625 ∗ k (43)

k = 1log(10) =

1ln(10) ; (44)

log10(x) =ln(x)ln(10) ; ln(x) = ln(10) log10(x); (45)

Deste exemplo voce ve que

loga(x) = Cln(x); (46)

loga(a) = 1 = Cln(a) ⇒ C = 1ln(a) ; (47)

loga(x) =ln(x)ln(a) ; (48)

loga(x) =ln(x)/ln(b)ln(b)/ln(a) = logb(x)

logb(a); (49)

loga(x) =log

10(x)

log10

(a) ; (50)

loga(x) =log(x)log(a) ; (51)

a formula muito conhecida de transformacao do logaritmo na base a a partir dologaritmo decimal. A multiplicacao e divisao pelo mesmo numero na equacao(eq. 49) mostra que a mesma expressao vale para qualquer logaritmo em lugardo logaritmo decimal o que me permite escrever a formula ambıgua, (eq. 51)mas correta, usando a notacao log querendo dizer “escolha a base que desejarneste formula”. . .

A definicao na equacao (eq. 39) da um exemplo da ruptura cultural entrea Matematica atual e aquela que se fazia no seculo 15. Esta equacao apareceabruptamente dentro dos livros de Calculo sem aparente ligacao com os siste-mas de progressoes aritmeticas e geometricas do seculo 15. Pior, nada tem oque ver a forma arcaica com que as professoras apresentam logaritmo no EnsinoMedio em que se vem forcadas a algumas ginasticas mentais para manter nestaetapa do ensino algo que simplesmente ja deveria ter desaparecido uma vez queperdeu a sua razao de ser na forma como se tenta mostrar. Se apenas as alunastivessem voz ativa e senso crıtico, coisa que o ensino nao objetiva estimular,a pergunta natural seria “para que serve logaritmo?” que deixaria as profes-soras entaladas com a perda de sentido calculatorio do logaritmo. Ou talveza resposta fosse: porque eles aparecem obrigatoriamente nos exames oficiais doMinisterio da Educacao . . . numa demonstracao de que os burocratas que diri-gem o ensino precisavam mesmo desaparecer. . . afinal quem entende de ensinosao as professoras.

Os logaritmos perderam o seu posto como “maquina de calcular” mas ad-quiriram uma posicao muito mais proeminente, eles descrevem diversas relacoesimportantes para as ciencias naturais, na Biologia, na Fısica, na Quımica e atemesmo na Economia. Esta outra forma de usar os logaritmos e que justificaque aparecam nos livros de Calculo usando a equacao (eq. 39) como definicao erepresentando um caminho rapido para estudar log, exp como um par de funcoes

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inversas, seus graficos e suas propriedades, e ate mesmo as tabelas de logaritmo.Mais a outra forma de ver, a da Idade Media, e a que se encontra no EnsinoMedio.

Observacao 1 (A questao) historicaA proposta de que o logaritmo desapareca do Ensino Medio pode se bater com a questao da

historia. Eu acho que existe historicismo em certas tentativas pedagogicas. E facil demonstrarque e impossıvel construirmos o conhecimento usando o metodo historico, porque nao haveriatempo habil para faze-lo. . .

Os objetos historicos devem ser preservados em museus que sao locais que devemos visitarregularmente e desta forma, com certeza, criar motivacoes para os estudos. Sala de aulanao pode ser considerada parte do museu, mas pode, se houver razoes, ser transferida paraum ambiente de museu. O currıculo e que nao pode ser sacrificado para incluir todo oconhecimento acumulado pela Humanidade.

E logaritmo como maquina de calcular pertence a historia, e um artigo de museu.

E aqui vem um salto importante: podemos definir logaritmo para os numeroscomplexos? A resposta e sim e voce pode ver aqui o metodo:

Se z = x+ iy = ρeiθ entao posso definir log(z) como

log(z) = log(ρ) + iθ; θ = arg(z); (52)

Se z ∈ R++ se recupera o logaritmo real: log(z) = log(ρ) uma vez que arg(z) =0.

A funcao log(z) e analıtica em todo o plano menos o zero, e 2π−periodicaem y = Re(z). Ela se repete em cada faixa de largura vertical 2π do planocomplexo e a sua inversa e a exponencial para quem o zero nao faz parte daimagem.

E muito interessante a discussao e a definicao das funcoes complexas, loga-ritmo e exponencial:

ez, log(z); z ∈ C (53)

mas, passando para as funcoes complexas, ha um salto, dentro do currıculouniversitario de dois anos, pelo menos, de afastamento do ponto em que oslogaritmos aparecem no Calculo. Entretanto serao as funcoes complexas que vaomostrar mais claramente porque nao temos logaritmos de numeros negativos nadefinicao do caso real.

Ainda no caso complexo temos que fazer restricoes ao domınio do logaritmo,por exemplo nao podemos definir p = log(0) porque tambem e impossıvel obter-se ep = 0. A forma de definir logaritmos para os numero complexos passapela formula de Euler: eit = cos(t) + i sin(t). Com algum trabalho tıpico daGeometria Analıtica podemos demonstrar que a formula de Euler se comportacomo uma exponencial. A sequencia de equacoes

ei(a+b) = cos(a+ b) + i sin(a+ b) ∈ S1; (54)

ei(a+b) = ei(a)ei(b) = (cos(a) + i sin(a))(cos(b) + i sin(b)); (55)

ei(a+b) = cos(a) cos(b)− cos(a) sin(b) + i (cos(a) sin(b) + cos(b) sin(a)) ; (56)

cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− cos(a) sin(b); (57)

sin(a+ b) = cos(a) sin(b) + cos(b) sin(a); (58)

(cos(a) + i sin(a)), (cos(b) + i sin(b)) ∈ S1; (59)

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sao verdades simples a partir da formula de Euler. Como os numeros complexosde modulo 1 sao estaveis frente a multiplicacao, entao o produto na equacao (eq.55) se mantem no cırculo unitario S1, que assim se verifica ser um subgrupomultiplicativo do grupo multiplicativo dos complexos diferentes de zero. De-pois, uma ingeniosa construcao geometrica, na verdade da Geometria Analıtica,mostra que o produto corresponde a soma de arcos da equacao (eq. 56). Comisto se prova que a formula de Euler e uma exponencial verdadeira.

Agora posso terminar a definicao da exponencial complexa

ex+iy = exeiy = ex(cos(y) + i sin(y)); (60)

que representa uma extensao da formula de Euler2 ao plano complexo, e adefinicao da exponencial complexa.

Considerando a formula polar podemos escrever

w = ρeiθ = ex+iy;Log(w) = log(ρ) + iθ; (61)

w = 1− i;Log(w) = log(2)2 − iπ4 ; (62)

w = a ∈ R++;Log(w) = log(a); (63)

Log(w1w2) = log(‖w1w2‖) + iArg(w1w2) (64)

Log(w1w2) = log(‖w1‖) + log(‖w2‖) + i (Arg(w1) +Arg(w2)) (65)

Log(w1w2) = Log(w1) + Log(w2) (66)

A equacao (eq. 61) e uma definicao! A soma de arcos que aparece naequacao (eq. 65), vem do produto de numeros complexos usando a forma polar,em outras palavras, propriedade da exponencial.

Algumas vezes se usa a notacao Log(w) para fazer referencia a expressaoprincipal do logaritmo associado a faixa de largura [−π, π) da exponencial. Masnao ha uma convencao estabelecida neste sentido. A parte imaginaria do loga-ritmo e chamada de argumento.

Consequencia da equacao (eq. 60), a funcao exponencial e periodica navariavel y se repetindo em faixas de largura 2π portanto deixando de ser injetiva.Para que o logaritmo tenha inversa e preciso fazer uma restricao da exponenciala uma faixa de largura 2π. A figura (fig 3), pagina 14, mostra alguma das“relacoes geometricas” que podemos obter de forma imediata a partir da (eq.60):

• A imagem duma semirreta partindo da origem, pela funcao logaritmo, euma reta horizontal no domınio da exp entao para que se tenha uma funcaoexponencial injetiva, que tenha inversa, temos que eliminar do domınio dafuncao logaritmo uma semirreta partindo de zero e inclusive o zero. . . destaforma podemos obter a funcao bijetiva, exp, de uma faixa de largura 2π,sem a fronteira, no plano complexo de onde se retirou uma semirreta.

2Tambem e a forma polar dum numero complexo usualmente escrita como w = ex+iθ =exeiθ = ρeiθ

14

1

a

Arg(a) = α

α−π

α+π

α

S S+a1

1

explog

log

log

Figura 3: Exponencial e logaritmo no plano complexo

• Voce pode escolher qual semirreta retirar, na figura (fig 3) foi retiradaa semirreta dos numeros reais negativos. Na proxima figura eu retirei asemirreta que se opoe ao vetor ~a que faz um angulo α com a semirretados numeros reais positivos. Neste caso a exp estara definida na faixa quecorrespondem a variacao [alpha− π, alpha+ π).

• Os cırculos de centro na origem, no domınio do logaritmo, correspondemaos segmentos de reta verticais de comprimento 2π na faixa-domınio daexponencial. Por exemplo, a imagem Log(S1) e o segmento de reta quecorta a faixa no argumento zero.

A figura (fig 3), pagina 14, mostra como podemos obter, geometricamente, aimagem duma curva via logaritmo, no caso uma translacao de S1 por um vetorde modulo menor que 1.

Dominando a imagem de semirretas partindo da origem e de cırculos concentricosno ponto (0, 0), podemos obter a imagem de praticamente qualquer curva en-tre o plano complexo-logarıtmico (sem uma semirreta) e uma faixa-domınio daexponencial. A liberdade da escolha duma semirreta para ser eliminada facilitaeste trabalho geometrico sem nenhuma particularizacao do problema: A funcaoLog e definida assim

Logα : C− 0 → R× [α− π, α+ π)

e poderıamos dizer que Log corresponderia a α = 0, aqui nao ha uma notacaopadrao. Este e o caso da figura (fig 4), pagina 15, em que foi eliminada asemirreta que se opoe ao vetor ~a usado para obter a translacao S1 + ~a cujaimagem aparece num retangulo da faixa-domınio da exponencial.

Ha duas classes de graficos (transformacoes) de S1 + ~aClassificacao das transformacoes sob Logaritmo

15

aα

α = Arg( a )

1

S1

SS 1+ a

α

Arg(z) = α

α+π

α−π

logexp

log(S + a)1

Figura 4: Imagem de S1 + ~a pelo Log

• Se o vetor ~a tiver modulo menor do que 1 entao S1 +~a estara contida emum cırculo de centro na origem e de raio ‖a‖+1, tangenciando este cırculonum ponto que se encontra sobre a reta r que passa por ~a e tambem iratangenciar o cırculo de centro na origem de raio 1 − ‖a‖, tambem numponto sobre a mesma reta r, analise a (fig 4). A particularidade quecaracteriza esta classe e que 0 ∈ U +~a, em que U e o disco unitario, tendocomo resultado que Logα(S

1 + ~a) e uma curva aberta.

• Se o vetor ~a tiver modulo maior do que 1 entao 0 /∈ U+~a e os dois cırculosque “limitam” S1 + ~a definem um retangulo que vai contem a imagem deLog(S1 + ~a), agora uma curva fechada. Se o cırculo de raio menor, comomostra a figura tiver raio menor do que um, entao a imagem de Log(S1+~a)ira cortar a imagem de de Log(S1) e aqui poderıamos ter duas subclassesde graficos, quando Log(S1) estiver contida no retangulo que contem aimagem de Log(S1 + ~a) e o outro caso em que Log(S1) esteja a esquerdadeste retangulo.

O ponto alto do raciocınio geometrico, que tambem envolve os conhecimentosdo Calculo sobre curvas tangentes e suas imagens por uma transformacao quepreserve angulos, as chamadas transformacoes conformes, estudadas em variavelcomplexa, mostra que Log(S1 +~a) esta contida no retangulo que e obtido comoimagem dos dois cırculos tangentes, referidos acima, tendo a reta de altura αcomo centro de simetria. A imagem estara contida entre as retas de alturasα−π, α+π nas duas classes descritas acima e em particular nas duas subclassesdo segundo item.

Desenhando uma famılia de cırculos “entre os cırculos de raio menor emaior”, referidos acima, e possıvel obter uma quantidade significativa de pontosda imagem e assim desenhar esta imagem com precisao melhor do que esta queaparece nas figuras(fig 3), (fig 4).

16

Nas figuras (fig 5), pagina 16, voce pode ver o grafico da imagem via Log

Figura 5: Imagem de S1 + ~a pelo Log

de S1 + ~a feita com o programa LogImage.cc que pode ser obtido em [?]. Esteprograma ainda nao esta completo, mas esta perfeitamente operacional, ele gerao arquivo,

transfere3

com comandos para gnuplot que voce pode editar para atender as suas neces-sidades e pode voltar a ver o grafico executando num terminal

gnuplot transfere3.O grafico de y = f(x) = (b/a)x serve para mostrar a direcao sobre a qual

foi feita a translacao S1 + ~a;~a = (a, b). Na versao produzida pelo programaaparecem vetores mostrando a orientacao das curvas, eles foram eliminados aoproduzir a imagem nas figuras (fig 5)- (fig ??).

Derivada e primitiva

17

Figura 6:

Os numeros complexos funcionam algebrica e topologicamente de forma se-melhante aos numeros reais o que nos permite transferir para eles os conceitosde limite, derivada e integral do Calculo mas surgem alguns fenomenos novosque de certa forma tem de ser esperados uma vez que C se identifica com R2 sobalguns aspectos, quer dizer, que C e um espaco vetorial complexo de dimensao1 e um espaco vetorial real de dimensao 2.

Confira o exemplo seguinte e as “coincidencias” que ele apresenta

f(z) = z2; f ′(z) = 2z; (67)

z = x+ iy; f(z) = x2 − y2 + 2xyi; (68)

f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) = x2 − y2 + 2xyi; (69)

J(f) =

(

2x −2y2y 2x

)

=

(

ux uy

vx vy

)

=

(

ux uy

−uy ux

)

=

(

vy −vxvx vy

)

(70)

18

Como compatibilizar todas as expressoes (eq. 67)-(eq. 70)?A resposta vem da teoria das funcoes analıticas que identificou a J(f) com

um unico numero complexo a partir das equacoes seguintes:

f ′(z)dz = f ′(z)(dx+ idy) ≡ J(f)

(

dxdy

)

; (71)

f ′(z)dz =

(

ux uy

−uy ux

)(

dxdy

)

=

(

uxdx+ uydy−uydx + uxdy

)

(72)

f ′(z)dz ≡ uxdx + uydy + i (−uydx+ uxdy) = (ux − iuy)(dx+ idy) (73)

f ′(z)dz =

(

vy −vxvx vy

)(

dxdy

)

(74)

f ′(z)dz = (vydx− vxdy) + i (vxdx+ vydy) (75)

f ′(z)dz = (vy + ivx)(dx+ idy) (76)

Na equacao (eq. 72) identifiquei a J(f) usando apenas as derivadas de u edepois usando apenas as derivadas de v usando a primeira matriz.

Usei esta identificacao para reescrever a diferencial nas equacoes (eq. 71)-(eq. 76). Os dois numeros ux − iuy ou vy + ivx, qualquer um deles, serve paraidentificar a jacobiana J(f) usando as identidades

ux = vy;uy = −vx; (77)

chamadas equacoes de Cauchy-Riemann que valem para qualquer funcao com-plexa que seja diferenciavel quando fizermos a identificacao da funcao complexacom uma funcao de R2 em R2 usando as funcoes coordenadas u, v, portanto assequencias de equacoes acima nao foi nenhuma coincidencia.

A conclusao e que a diferencial das funcoes complexas que forem diferenciaveis,e isto quer dizer, “satisfacam as equacoes de Cauchy-Riemann”, se expressamda mesma forma como a diferencial no Calculo a uma variavel como o produtode numeros, a derivada univariada e um numero. A derivada complexa e umnumero complexo e uma funcao complexa e derivavel se sua derivada for umnumero complexo, o que e equivalente a dizer-se que a jacobiana da correspon-dente funcao de R2 em R2 satisfaz as equacoes de Cauchy-Riemann.

A funcao f(z) = ez = ex+iy = ex(cos(y) + i sin(y)) em que u(x, y) =ex cos(y); v(x, y) = ex sin(y) satisfaz as equacoes de Cauchy-Riemann e f ′(z) =ez a verificacao e um bom exercıcio.

Da mesma forma Log(z) = log‖z‖ + iArg(z) = u(x, y) + iv(x, y) tambemsatisfaz as equacoes de Cauchy-Riemann em que Arg(z) = atan(y/x); z = x+iy;se x 6= 0 em cujo caso Arg(z) = sign(y)π2 , a verificacao e um bom exercıcio.

A derivada de Log(z) e, como se deveria esperar, 1z , verifique as equacoes de

Cauchy-Riemann.O efeito do zeroNas figuras (fig 5)- (fig 6). voce pode ver a evidencia da classificacao feita

acima das transformacoes sob logaritmo complexo. Se o zero for ponto interiorde uma curva fechada, a transformada desta curva, pelo logaritmo complexo

19

sera uma curva aberta, confira (fig 4) tangenciando a segmento de reta-imagemdo cırculo interior a curva nos seus pontos extremos. O padrao assim obtidorepetir-se-a por diversas faixas paralelas se a curva der varias voltas em tornodo zero. E isto que estabelece o numero de voltas chamado de “ındice de umponto curva relativamente a uma curva”, Indγ(a). Tambem tem o que ver coma “multiplicidade de uma raiz em uma equacao”, ou de um polo.

E facil provar isto interpretando geometricamente a integral

∮

S1

dz

z=

π∫

−π

idt = 2πi (78)

em vez de calcular a integral vou interpreta-la geometricamente e assim nova-mente obter o resultado da conta acima. Pelo teorema fundamental do Calculo,o valor da integral e a diferenca de uma primitiva calculada nos extremos dointervalo de integracao:

∮

S1

dz

z= Log(z1)− Log(z0) = 2πi (79)

porque Log transforma S1 em uma curva aberta cujos extremos tangenciam aimagem de S1 que e um segmento de reta perpendicular ao eixo OX limitadopela faixa-imagem do Log que tem largura 2π. Este e o significado da integralna equacao (eq. 78).

Este resultado nao e particular da curva S1, vale para qualquer curva quelhe seja homotopica a um ponto, quer dizer, uma curva em que S1 possa sercontinuamente transformada com um mesmo ponto interior, no caso o zero.

A homotopia e uma relacao de equivalencia entre objetos, neste caso estouusando a homotopia entre curvas. Este conceito e usado no teorema de Greenpara definir integrais independentes do caminho.

——————————————————————- rotacional e um operador diferencial que mede movimento angular dum

campo vetorial.Se F (x, y, z) = c for uma superfıcie de nıvel3 duma funcao diferenciavel

3em outras palavras a fronteira duma variedade diferenciavel de dimensao 3, um solido.

20

entao o seu gradiente e um campo vetorial e tem-se

∇F =(

∂F∂x ,

∂F∂y ,

∂F∂z

)

; (80)

rot(F ) = ∇×∇(F ) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂F∂x

∂F∂y

∂F∂z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

; (81)

=(

∂2F∂y∂z −

∂2F∂z∂y ,

∂2F∂x∂z −

∂2F∂z∂x ,

∂2F∂x∂y −

∂2F∂y∂x

)

= 0; (82)

G = (P,Q,R) ; rot(G) = ∇×G =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~i ~j ~k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (83)

(

∂R∂y −

∂Q∂z ,

∂P∂z −

∂R∂x ,

∂Q∂x −

∂P∂y

)

(84)

Comentando o determinante funcional4 que aparece na equacao (eq.81) ,se as duas ultimas linhas forem proporcionais, o determinante e zero e isto querdizer, se o ∇F(x,y,z) for colinear com ~r entao o determinante sera zero. Istomostra que ~r×∇F mede o afastamento entre a direcao do ∇F(x,y,z) da direcaodo vetor ~r.

Considere duas superfıcies F (x, y, z) = c,G(x, y, z) = c sendo F,G duasfuncoes diferenciaveis entao F (x, y, z) = c ∩ G(x, y, z) = c pode caracterizaruma curva α. Suponha que ao longo de α

∇F ×∇G = 0 (85)

entao estas duas superfıcies se cortam ao longo da curvaSignificado do rotacional

Considere a equacao (eq.82) ,——————————————————————- valor medio e um “valor” que se encontra entre dois outros dados. Com

muita frequencia e confundido com um caso particular de valor medio, a mediaaritmetica.

A media aritmetica e um tipo de valor medio que se obtem com formula

dados A,B 7→A+B

2(86)

que e um caso particular da media aritmetica ponderada definida pela equacao

dados A,B 7→M =mA+ nB

m+ n;m,n ∈ R; (87)

ou seja, temos duas entidades para as quais faz sentido a multiplicacao por umnumero real entao M , calculado na formula que aparece na equacao (eq.87), ea media aritmetica ponderada entre A,B. Os dois numeros m,n sao chamadospesos.

21

A

B

M

= (p,q)

= (m,n)

média aritmética ponderada

Figura 7: media aritmetica ponderada

Confira a interpretacao geometrica na figura (fig. 7), pagina 21, em queA,B,M sao pontos do plano. A Geometria Analıtica prova que o ponto Mobtido como media aritmetica ponderada dos pontos A,B se situa no segmentode reta que une estes dois pontos. Em particular pode M = A se voce escolheros pesos m = 1, n = 0 ou M = B se voce escolher os pesos m = 0, n = 1.Observe que a equacao (eq.87) pode ser rescrita para que se tenha

M = mA+nBm+n = mA

m+n + nBm+n ; (88)

m,n ≥ 0 ⇒ s = mm+n , t =

nm+n ; (89)

s, t ≥ 0; s+ t = 1; (90)

M = sA+ tB; (91)

e nesta ultima expressao os pesos sao dois numeros positivos, menores ou iguaisa 1 (se um deles for 1 o outro sera 0) cuja soma e 1.

Na interpretacao geometrica, se voce desobedecer a regra estabelecia naequacao (eq.90) para os pesos s, t entao voce pode obter um ponto qualquerda reta determinada pelos pontos A,B. Quer dizer que a expressao na equacao(eq.91) e a equacao da reta que passa pelos dois pontos A,B se for desobedecidaa restricao para que s, t sejam pesos. O seguinte script para gnuplot

A1 = 4; A2 = 2; B1 = 1; B2 = 8;

set arrow from A1, A2 to B1, B2 nohead

s = 0.2; t = 0.8;

M1 = s*A1 + t*B1; M2 = s*A2 + t*B2;

set arrow from 0,0 to A1, A2 head

set arrow from 0,0 to B1, B2 head

set arrow from 0,0 to M1, M2 head

4funcional e formal. . .

22

set xrange [0:10]; set yrange [0:10]

plot 0

pause -2 "Aperte enter para terminar"

lhe mostra o grafico dum segmento de reta determinado pelos pontos A,B ecom o ponto medio M calculado usando os valores para s, t que aparecem naterceira linha. Abra um terminal do gnuplot e nele copie os comandos. Altereos valores de s, t inclusive desobedecendo a condicao para que sejam pesos epodera encontrar o ponto M fora do segmento de reta AB.

Este outro script para gnuplot

set xrange [-10:10]; set yrange [-10:10]

f(x) = x-3;

g(x) = x+4;

s = 0.2; t = 0.8;

h(x) = s*f(x) + t*g(x);

plot f(x), g(x), h(x), 0

pause -2 "Aperte enter para terminar"

vai lhe mostrar uma faixa de funcoes determinadas pelas funcao f, g com umafuncao-valor-medio que e h. Troque as equacoes das funcoes e se divirta desco-brindo faixas determinadas pelas funcoes f, g que podem ser bem interessantese ira ajuda-la a romper alguns preconceitos sobre como pode ser uma faixa numespaco de funcoes ou sobre o significado de valor medio se os objetos foremfuncoes. . .

Confira tambem

• valor medio, teorema do Calculo Diferencial;

• valor medio, teorema do Calculo Integral;

• valor medio, teorema para funcoes contınuas;

——————————————————————- valor medio, Calculo Diferencial estabelece que se uma funcao for di-

ferenciavel no intervalo fechado [a, b] entao existe um ponto c ∈ [a, b] tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a(92)

A figura (fig 8), pagina 23, mostra que as condicoes enunciadas acima sao insu-ficientes e o grafico da funcao f na figura (fig 8) nao tera uma tangente paralelaa secante deerminada pelos pontos (a, f(a)), (b, f(b)). E preciso que a derivadaseja contınua o que vai permitir aplicacao do valor medio de funcoes contınuaspara garantir o resultado.

23

f

ca b

(a,f(a))

uma tangente paralela à secante

(b,f(b))

não terá

Figura 8: a derivada de f nao e contınua

Teorema 1 (valor medio) da derivadaSe f for continuamente derivavel no intervalo [a, b] entao existe um ponto

c ∈ [a, b] tal que

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

Dem : e uma simples aplicacao do teorema do valor medio das funcoes contınuas.

q.e.d .

A figura (fig 9), pagina 23, mostra um exemplo do teorema, agora f e uma

a b

uma tangente paralela à secanteterá

(a,f(a))

(b,f(b))

c

f

Figura 9: Tangente paralela a secante

funcao de classe C1 como estipulado na condicao do teorema.

24

Um caso particular deste teorema e o teorema de Rolle em que f ′(c) = 0 eportanto f(b) = f(a).

——————————————————————- valor medio, Calculo integral estabelece que

m ≤1

b− a

b∫

a

f(x)dx ≤M (93)

em que

m = infx∈[a,b]

f(x); (94)

M = supx∈[a,b]

f(x); (95)

se f for uma funcao integravel no intervalo [a, b].Como qualquer numero que fique entrem,M e um valor medio para a funcao

f , o numero estabelecido na (eq. 93) costuma ser designado como valor mediointegral de f .

——————————————————————- valor medio, funcao contınua O teorema do valor medio para funcao

contınua estabelece que qualquer que seja o valor C ∈ [m,M ] em que

• m = infx∈[a,b]

f(x)

• M = supx∈[a,b]

f(x)

existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = C, ou ainda, que f assume todos os valores entreseu mınimo e seu maximo. Em particular vale para C = m e C = M ou ainda,toda funcao contınua tem um maximo e um mınimo que ocorre para algumponto do domınio.

A demonstracao deste teorema e difıcil mas pode ser construıdo um caminhopara visualiza-la. Suponha que o teorema seja falso e que haja uma funcaocontınua, f , que nao atinja algum valor intermediario C ∈ [m,M ] e isto quedizer que o conjunto de valores de f esta incluıdo na reuniao de dois intervalosdisjuntos

f([a, b]) ⊂ [m,M1] ∪ [M2,M ];M1 < M2;C ∈ (M1,M2); (96)

[m,M1] ∩ [M2,M ] = ∅ (97)

Mas duas propriedades das funcoes levam-nos agora a uma contradicao:

f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B); (98)

f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B); (99)

25

As propriedades, (eq. 98) (eq. 99) valem para qualquer funcao. Entao

f−1([m,M1] ∩ [M2,M ]) = ∅; (100)

f−1([m,M1] ∪ [M2,M ]) = [a, b] (101)

o que e uma contradicao porque fica caracterizado que f tem um salto de ta-manho M2 −M1 em algum ponto do intervalo [a, b].

Isto e uma demonstracao mas ela se encontra alem do nıvel do CalculoDiferencial e Integral onde este teorema e com frequencia mencionado. Eu useiuma propriedade dos intervalos da reta: um intervalo e um conjunto conexo, nafigura (fig 10), pagina 25, voce ve dois conjuntos desconexos no plano. Na reta

U

J I = O

JU I X=

I

J

f

f

Figura 10: imagem inversa de desconexos e desconexo

os conjuntos conexos sao os intervalos, em espacos de dimensao maior ha maiscoisas acontecendo e a figura (fig 10) mostra que um ponto dentro do conjuntoI nao pode ser ligado por uma curva a um ponto do conjunto J ficando a curvadentro de I∪J o que caracteriza que I∪J nao e conexo e nem a imagem inversade I ∪ J pode ser conexa e assim f tem um salto, portanto f e descontinua. Aalternativa, para que f seja contınua e que I ∪J seja conexa o que na reta querdizer um intervalo e f transforma intervalos em intervalos. As funcoes continuastransformam intervalos em intervalos, conjuntos conexos em conjuntos conexos.

A verdade entao e que toda funcao contınua assume os valores intermediariosentre o mınimo e o maximo. Toda funcao continua tem valores medios.

E muito difıcil fazer a demonstracao deste teorema dentro das condicoes doCalculo e isto lhe mostra como o Calculo Diferencial e Integral e necessariamentedifıcil porque ele e apresentado num cenario artificial e infelizmente nao comofazer diferente apenas nao se deve esconder esta dificuldade, honestamente.

——————————————————————- valor proprio da Algebra Linear, associado ao conceito de vetor proprio.

Sinonimo: autovalor.

26

Definicao 1 (valor proprio) relativamente a um operador linearSe diz que um vetor ~u 6= 0 e um vetor proprio relativamente a um operador

linear T se houver um escalar λ, chamado valor proprio tal que

T (u) = λu

Confira vetor proprio, equacao caracterıstica——————————————————————- variedade A palavra variedade foi inventada para nos liberar da prisao

tridimensional em que nos encontramos tanto por razoes fısico-energeticas, comoculturais uma vez que a nossa cultura geometrica, de origem dita grega, nos fixouo vocabulario dentro da dimensao tres.

Falamos em ponto, retas, planos, superfıcies, volumes que sao todos objetosque ficam dentro do limite da dimensao tres. Embora pontos, reta, planos sejaminvisıveis para nos seres tridimensionais, temos a sensacao de que os conhecemose entendemos.

As necessidades cientıficas vao muito alem da dimensao tres e precisam dasdimensoes 0,1,2 as quais nao podemos ter acesso por razoes fısicas, de energiamesmo. Para isto, e para completar o vocabulario, criamos a palavra variedadeque modificada por um adjetivo dimensional, resolve a questao linguıstica.

Por exemplo, classificamos os objetos da geometria, como variedades,

• diremos uma variedade de dimensao 1, para fazermos referencia aos seg-mentos de reta, as retas, as curvas. Todos estes objetos sao variedades dedimensao 1.

• quando nos referirmos aos objetos de dimensao 2, diremos variedades dedimensao dois sao os planos e as superfıcies da geometria;

• ha uma grande subclassificacao das variedades - duas grandes classes:

– As variedades lineares, segmentos de reta, retas, planos , as varie-dade lineares de dimensao 3, 4 para as quais nao temos mais nomesgeometricos.

– As variedades nao lineares, um cırculo, uma parabola, sao dois exem-plos de variedades nao lineares de dimensao 1. Uma superfıcie de tipoparaboloide, as parabolicas podem ser pensadas como sendo tal, saovariedades nao lineares de dimensao 2.

– Um ponto voce pode classificar como quiser, uma variedade linear dedimensao 0, ou uma variedade nao linear de dimensao 0.

• Herdamos nomes particulares para alguns tipos de variedades de dimensao1, cırculos, retas, parabolas, ou simplesmente a palavra curva, variedadesde dimensao 1.

• Tambem temos nomes para algumas variedades de dimensao dois, plano,superfıcie esferica. A palavra superfıcie quer dizer uma variedade de di-mensao 2.

27

• O espaco todo em que estamos imersos e uma variedade linear de dimensao3.

• O espaco-tempo da Fısica e uma variedade de dimensao 4. Linear? de-pende, se o tempo tiver uma condicao inicial, nao! porque neste caso seriaum poliedro... poliedros, embora tenham fronteiras feitas de subconjuntosde variedades lineares, nao sao mais variedades lineares.

• Observe que uma reta qualquer e uma variedade linear afim, isto querdizer, por exemplo, que a origem pode nao pertencer a reta. Se a origempertencer a reta, ela e uma variedade linear. Se a origem nao pertencer areta ela e uma variedade linear afim de dimensao 1.

• As variedades lineares afins de dimensao 2 sao os planos que podem naopassar pela origem. O qualificativo “afim” caracteriza que a variedade foiobtida por uma translacao de uma variedade linear.

——————————————————————- Vens diagramas de. Sao figuras geometricas planas, que sao regioes bem

delimitadas do plano, como auxılio duma curva, para representar conjuntos.Na figura (fig 11), pagina 27, voce pode ver alguns diagramas de Venn in-

A

B

C

E

F

U

Figura 11: diagrama de Venn

cluıdos num diagrama, chamado U, representando o universo relativo aos de-mais que nele estao contidos.

Os diagramas de Venn servem para destacar intersecao de conjuntos e tambema inclusao entre eles. Na (fig 11), pagina 27, voce pode ver um conjunto U quee o universo relativo aos demais que estao contidos nele.

Os conjuntos A,B, F,C todos tem intersecao nao vazia uns com os outros,excecao: os conjuntos B e C sao disjuntos.

O conjunto E tem intersecao vazia com todos os conjuntos A,B, F,C.

28

Todos os conjuntos A,B, F,C,E sao subconjuntos de U que assim e o uni-verso.

Um outro diagrama, chamado de Hasse tem o aspecto dum tipo de grafo,arvore, e serve para representar inclusao. Confira Hasse, diagrama.

——————————————————————- verdade, tabela confira tabela verdade. Dada uma relacao frequente-

mente e possıvel identificar dois estados que esta relacao pode assumir cara-terizados pelos dois valores verdade, falso. Ha relacoes para as quais nao epossıvel definir um destes estados para elas, o que conduz a uma classe de logicachamada de logica fuzzy em que se considera um terceiro estado de indecisaoacrescentando-se um percentual para as possibilidade verdade, falso.

Estes conceitos fazem parte da logica matematica.——————————————————————- vetor proprio da Algebra Linear, associado ao conceito de valor proprio

ou autovalor. Sinonimos autovetor, vetor caracterıstico, Confira tambem equacaocaracterıstica.

Os vetores proprios e seus correspondentes valores proprios permitem umadescricao matricial muito simples de um operador linear e e o que vou descreveraqui. Serve para criar uma base natural para o espaco vetorial relativa aooperador linear em questao.

Definicao 2 (vetor proprio) relativamente a um operador linearSe diz que um vetor ~u 6= 0 e um vetor proprio relativamente a um operador

linear T se houver um escalar λ, chamado valor proprio tal que

T (u) = λu

Se u for um vetor proprio do operador T e α ∈ R, entao αu tambem seraum vetor proprio, porque

T (αu) = αT (u) = αλu = λT (u); (102)

o que gera uma aparente inconsistencia na definicao. Na verdade vamos ver quenao e exatamente um vetor proprio que e a informacao importante, mas simo “espaco proprio de dimensao 1” que ele define, ou, como algumas vezes sediz, “as linhas proprias de um operador T ” para fazer referencias aos espacosproprios de T de dimensao 1.

O vetor nulo tambem responde a definicao de “vetor proprio” e como osvetores nulos geram um subespaco “sem grande interesse”, precisamos eliminaresta possibilidade. Logo voce vai ver que ha outra razao importante para eli-minar o vetor nulo: ele “destroi a base dos vetores proprios”, melhor dizendo,precisamos que o conjunto dos vetores proprios seja l.i. entao nao interessa umvetor proprio nulo.

Um vetor proprio representa uma direcao do espaco em que o operadorlinear fica extremamente simples: multiplicacao por um escalar que e o seuvalor proprio. Confira valor proprio.

29

Uma alteracao da equacao na definicao 2 vai nos levar a um metodo, (algo-ritmo), para encontrar os valores proprios.

T (u) = λu = λI(u);

em que I e o operador identidade, entao podemos “colocar u em evidencia”,escrevendo

T (u) = λu = λI(u) ⇒ T (u)− λI(u) = 0; (103)

(T − λI)u = 0 ⇒ det(T − λI) = 0; (104)

O consequente, a tese, na equacao (eq. 104), vem que de que precisamos deum vetor diferente de zero que seja solucao da equacao linear homogenea. Paratal e preciso que o determinante do sistema de equacoes lineares em (eq. 104)seja nulo afim de que haja solucoes nao triviais: diferentes de zero.

A equacao polinomial det(T − λI) e chamada de equacao caracterıstica dooperador linear T . O proximo teorema mostra a razao da exclusao do zero e aimportancia dos valores proprios e vetores proprios.

Teorema 2 (indepencia) dos vetores propriosDado um operador linear T , se a equacao (eq. 104) tiver n solucoes dis-

tintas, λ1, . . . , λn, os correspondentes vetores proprios u1, . . . , un de T for-mam um conjunto de vetores linearmente independentes, portanto uma base paraespaco vetorial Rn.

Dem :Os valores proprios podem ser todos iguais, como solucoes duma equacao polinomial de

grau n, o que equivale a dizer que T = λI e neste caso qualquer que seja a base escolhida osvetores da base vao ser vetores proprios e portanto l.i.. Observe que, por hipotese, a equacaocaracterıstica tem n solucoes em que n = dim(V ).

Deixe-me agora supor que haja dois valores proprios diferentes, λ1 6= λ2 e seus corres-pondentes vetores proprios, u1, u2, e escreva uma combinacao linear nula nao trivial, e paraisto basta que um dos coeficientes seja diferente de zero:

suponha α1 6= 0;α1u1 + α2u2 = 0; (105)

T (α1u1 + α2u2) = α1T (u1) + α2T (u2) = α1λ1u1 + α2λ2u2 = 0; (106)

u1 = −α2

α1

λ2

λ1u2; (107)

T (u1) = λ1u1 = −α2

α1

λ2

2

λ1u2 ⇒ u1 = −

α2

α1

λ2

2

λ2

1

u2; (108)

λ2

λ1=

λ2

2

λ21

; (109)

A equacao (eq. 109) e consequencia das equacoes (eq. 107) e (eq. 108), com o que seconclui que λ2 = 0 ou λ2 = λ1 contradicao sendo a alternativa α2 = 0 o que me conduziria,na terceira equacao a u1 = 0 e entao u1 nao seria um vetor proprio. Por contradicao α1 = 0.

Repetindo o argumento com a hipotese de que α2 6= 0 chega-se tambem a uma contradicaoportanto α1 = α2 = 0 provando que u1, u2 sao l.i..

Considere agora tres valores proprios diferentes, λ1, λ2, λ3 e seus correspondentes vetoresproprios, u1, u2, u3 e uma combinacao linear nula nao trivial dos mesmos. Para isto bastasupor que um dos coeficientes seja diferente de zero e ja sabemos que u1, u2 sao l.i. que e oconteudo dos calculos anteriores: os vetores proprios sao l.i. dois a dois.

30

suponha α3 6= 0;α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0; (110)

u3 = −(α1

α3u1 + α2

α3u2); (111)

T (u3) = λ3u3 = −(α1

α3λ1u1 + α2

α3λ2u2) ⇒ u3 = −(α1λ1

λ3α3u1 + α2λ2

λ3α3u2) (112)

Como os valores proprios sao diferentes encontramos duas expansoes diferentes para u3

como combinacao linear dos vetores l.i. u1, u2, contradicao entao α3 = 0. Como sempre doisautovetores sao l.i. que e o conteudo da primeira da demonstracao, basta repetir o argumentocom α2 e com α1 para concluir que α1, α2, α3 tem que zero numa combinacao linear nulade tres vetores proprios. Isto significa que qualquer colecao de tres vetores proprios e umconjunto l.i.

Por inducao, sobre o numero de vetores, se conclui que os vetores proprios sao todos l.i.

Havia um erro nesta demonstracao que foi corrigido agora q.e.d .

A hipotese de que a equacao caracterıstica tenha n solucoes nao e necessaria,o numero de vetores proprios com frequencia e m ≤ n e formam um conjuntol.i.. Este “defeito” esta ligado a incompletitude algebrica de R, sobre o corpo Cdos complexos, a equacao caracterıstica tera exatamente n solucoes, entretantocom a possibilidade de raızes multiplas trazendo uma outra informacao sobre oespaco proprio associado as raızes multiplas.

O vetor nulo ~0 satisfaz a esta definicao para qualquer escalar, mas se forincluıdo tornaria l.d. o conjunto dos vetores proprios o que no fundo representauma informacao “desnecessaria” que deve ser retirada do contexto. . .

A importancia dos vetores proprios fica salientado neste caso particular emque T e um operador linear de Rn:

Teorema 3 (base) matriz de TSe o operador linear T do Rn tiver n vetores proprios a matriz de T rela-

tivamente a base dos vetores proprios e uma matriz diagonal tendo os valoresproprios na diagonal.

Dem :Basta escrever a matriz de T relativamente a base.

q.e.d .

Ou seja, os vetores proprios representam uma base em que o operador lineartem a matriz mais simples possıvel. Esta tecnica e muito usada no estudo dasequacoes diferenciais. Mesmo no caso em que os vetores proprios de T nao seencontrem na quantidade n que corresponde a dimensao do espaco, ainda assimeles representam uma informacao importante permitindo decompor uma matrizde T em blocos que salientam os subespacos que ficam invariantes por T .

O proximo teorema traz outro aspecto importante dos valores proprios.

Teorema 4 (inversibilidade) de um operador linearSe o zero for solucao da equacao caracterıstica dum operador linear T entao

este operador nao e inversıvel e reciprocamente, se T nao for inversıvel entao 0e um valor proprio de T .

Dem :

31

Porque existe um vetor nao nulo u tal que Tu = 0u = 0, ou ainda Nuc(T ) e um espacoproprio.

Se T for inversıvel entao sua matriz pode ser triangularizada e os valores proprios apa-

recem na diagonal desta matriz sendo det(T ) 6= 0 o produto dos elementos da diagonal que

nao pode ser zero. q.e.d .

Observacao 2 (Notacao:) espectro de TO conjunto dos valores proprios de T e chamado de espectro de T e se usa a notacao

σ(T ) para identificar o espectro de T .Prese atencao de que excluımos o vetor zero na definicao de vetor proprio porque ele

atrapalharia a teoria. Mas nao se exclui o zero como valor proprio e neste caso e umainformacao importante: zero ser solucao da equacao caracterıstica.

Enquanto estivermos em dimensao finita, os valores proprios aparecem tambemem numero finito menor ou igual a dimensao do espaco. Passando a espacos dedimensao nao finita, por exemplo das ondas eletromagneticas, e naturalmenteconsiderando um operador T definido neste espaco, o espectro e um conjuntocompacto dum espaco vetorial adequado e o estudo dos valores proprios se chamade teoria espectral. Aqui, novamente se ve a importancia dos vetores proprios edos valores proprios: o espectro de um operador linear e um espaco topologicosobre o qual podemos representar o operador linear sob a forma duma integral.

A teoria espectral e, assim, uma generalizacao da diagonalizacao de matrizespara o caso dos operadores integrais, ou dos operadores lineares que se possamexpressar sob forma de integral cuja expressao mais simples seria sob a formade uma integral sendo o espectro o espaco medido onde esta integral estaradefinida, “domınio de integracao”. Se um operador integral T for inversıvelentao o zero nao pertence ao espectro de T , σ(T ). A recıproca e verdadeira masa demonstracao e muito grande para este verbete. . . O caso mais intuitivo e odas matrizes n× n, uma matriz diagonal (ou triangular) sera inversıvel sse naohouver zero na diagonal (no espectro).

——————————————————————- vizinhanca e um aberto de um espaco topologico contendo um ponto x,

se diz entao uma vizinhanca de x, vx. O conceito “vizinhanca” pode ser usadocomo “conceito primitivo” para definir topologia, assim como topologia pode sero “conceito primitivo” para definir vizinhanca. Funcionam as duas formas depensar.

Topologia ou vizinhanca servem para definir convergencia, entretanto estee um conceito mais fraco do que topologia no sentido de que nem todas aspropriedades de um espaco topologico podem ser obtidos a partir do conceitode convergencia. Um exemplo interessante e o conjunto dos numeros reais emque a convergencia usual define a sua topologia usual, e consequentemente umafuncao sera contınua, se e somente se, for sequencialmente contınua. Quase todosos teoremas sobre limite e derivacao do Calculo ficam bastante simplificados sefor usada continuidade sequencial em lugar da continuidade tradicional que eusada.

Ha autores que admitem vizinhancas que nao sejam abertas, aqui vou consi-derar apenas abertos como vizinhancas. Uma bola aberta, centrada num ponto

32

x em um espaco metrico e uma vizinhanca de x neste espaco metrico. Se usa anotacao B(x, ǫ), bola de centro x e raio ǫ.

Uma forma de definir topologia parte do conceito de distancia e das bolasabertas definidas com uma distancia a serem usadas como vizinhancas basicasda topologia. Metrica e um sinonimo de distancia.

Quando pudermos definir uma distancia d em um conjunto X , diremos quese trata de um espaco metrico (X, d)

Definicao 3 (distancia) Distancia ou metricaUma distancia e uma funcao positiva, d, definida para todos os pares (x, y)

de elementos de um conjunto X satisfazendo as propriedades

1. positiva d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 se e somente se x = y;

2. reflexividade d(x, y) = d(y, x);

3. desigualdade triangular d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z);

Os espacos metricos sao casos particulares de espacos topologicos.Um tipo particular de espaco metrico e o espaco das funcoes contınuas com

a metrica do supremo (convergencia uniforme) e na figura (12) pagina 33, vocepode ver um exemplo de vizinhanca tubular, uma bola da metrica do supremono espaco C([a, b]) centrada em uma funcao contınua, o grafico de f e o centro dafaixa (vizinhanca tubular). A topologia construıda com esta metrica e chamadade topologia da convergencia uniforme.

Outro exemplo de distancia entre duas funcoes, no espaco f, g ∈ C([a, b])pode ser definida como o modulo da diferenca entre os valores destas funcoesem um dado ponto do espaco: |f(x) − g(x)|, neste caso uma vizinhanca de f ,pode ser vista na figura (13) pagina 34, e o conjunto de todas as funcoes cujosgraficos cortem o segmento vertical de medida 2ǫ contendo o ponto (c, f(c)).Todos os graficos, na figura (13) se encontram a uma distancia menor do queǫ de f . O sistema destas vizinhancas define a convergencia ponto a ponto emC([a, b]). A topologia construıda com esta metrica e chamada de topologia daconvergencia pontual.

Uma outra forma de medir a distancia entre funcoes e sugerida pela quanti-dade do fenomeno contido na funcao, por exemplo, a Fısica fala de quantidadede movimento e calcula a integral da velocidade sobre um intervalo considerado.

Podemos assim definir

Definicao 4 (distancia) entre funcoesDadas duas funcoes integraveis, f, g definidas no intervalo [a, b] podemos

definir

d(f, g) =

b∫

a

|f(x)− g(x)|dx = ||f − g||1

33

a b

Figura 12: Vizinhanca tubular em C([a, b])

O numero ”1”que aparece no sımbolo ||f−g||1 esta registrando que foi usadoum caso particular de distancia entre funcoes e um caso mais geral seria

Definicao 5 (distancia) entre funcoesDadas duas funcoes integraveis, f, g definidas no intervalo [a, b] podemos

definir

d(f, g) = p

√

√

√

√

√

b∫

a

|f(x)− g(x)|pdx = ||f − g||p

com ∞ > p ≥ 1.

Se p < 1 se perde a desigualdade triangular e dizemos que se trata de umapedometrica. As pedometrica tem tambem as suas utilidades. Enquanto que

34

a bc

f

g

h

s

Figura 13: Distancia pontual, da convergencia pontual

as bolas, quando p ≥ 1 serao conjuntos convexos (onde vale a desigualdadetriangular), as bolas das pedometricas deixarao de ser convexas e e por isso quefalha a desigualdade triangular.

Como no caso das distancias entre pontos doRn, podemos definir a distanciaou a norma do supremo

Definicao 6 (distancia do supremo) entre funcoesDadas duas funcoes limitadas, f, g definidas no intervalo [a, b] podemos de-

finird∞(f, g) = sup

x∈[a,b]

|f(x)− g(x)| = ||f − g||∞

com p =∞.

A norma do sup e usada para definir vizinhancas tubulares, convergenciauniforme e a continuidade uniforme.

Voce encontra este conceito sendo usado em nıvel muito elementar, em Es-tatıstica, no desvio padrao que e uma aplicacao distancia-2 a uma massa dedados discreta.

Voce pode se perguntar pela razao da variedade tao grande de topologias,e consequentemente, de tipos de convergencia. Uma forma simples de justificarque e necessaria esta variedade, vem com o seguinte exemplo. Suponha que dese-jemos medir a distancia entre duas funcoes f, g, diferenciaveis, f, g ∈ Cn([a, b]),tais funcoes nao guardam a apenas informacao do valor num determinado pontoc ∈ (a, b), mas tambem das taxas de variacao instantaneas em c ate a ordem n,

35

as sucessivas derivadas,

f(c), f ′(c), . . . , f (n)(c); g(c), g′(c), . . . , g(n)(c);

e, para medir a distancia entre f, g teremos que tambem incluir as distanciasentre suas derivadas o que nos leva a definir, por exemplo,

dp(f, g) =

n∑

k=0

p

√

√

√

√

√

b∫

a

|f (n)(x)− g(n)(x)|p; (113)

Agora foi feita uma medicao mais fina das distancias entre f, g, usando a normap espalhada por todas as derivadas possıveis das funcoes f, g. Com supremopodemos definir

d∞(f, g) = ||f − g||∞

se as derivadas de todas as ordens forem limitadas. Os espacos definidos usandoestas metricas ou normas, levando em conta as derivadas, sao chamados deespacos de Hardy com variantes chamados de espacos de Besov. Estes espacosaparecem na busca de solucoes de equacoes diferenciais parciais.

Os exemplos de distancia entre duas funcoes diferenciaveis, mostra que te-mos necessidade de distintos tipos de topologias, ou metricas para formalizardistintas situacoes, a distancia entre solucoes de equacoes diferenciais tem queser medida usando uma norma-p ou uma pseudo-distancia-p.

——————————————————————- volume e um tipo de medida usado habitualmente para objetos tridimen-

sionais, como por exemplo o volume da esfera de raio R que e 4πR3

3 e que ecalculada usando a semelhanca que ela tem com uma piramide, como cırculosse assemelham a triangulos no calculo da area.

A area do cırculo e do triangulo, na figura (fig 14), pagina 36, sao iguais,sendo a base do triangulo o perımetro do cırculo e a altura do triangulo o raio docırculo. De maneira equivalente calculamos o volume duma esfera, comparando-a com uma piramide que tenha base um retangulo cuja area seja a area da esferae por altura o raio da esfera.

36

R

R

π2 R

Figura 14: area do cırculo e dum triangulo equivalente

Indice Remissivo

arvore, 28ındice

ponto,curva, 19σ(T ), 311-forma-diferencial, 1

algebriconumero, 7

autovalor, 25

baseespaco vetorial, 28

blocomatriz, 30

bolaconvexa, 34nao convexa, 34

calculistas, 5caracterıstica

equacao, 26, 29Cauchy

integral de, 1, 2Cauchy-Riemann

equacoes, 1, 2, 18calculo

regua, 5, 6complexa

exponencial, 12logaritmo, 12

complexoforma polar, 13

conexoconjunto, 25

conformetransformacao, 15

consequente, 29convergencia

ponto a ponto, 32uniforme, 32

derivadacomplexa, 18

derivada implıcita, 1desigualdade

triangular, 34desvio padrao, 34dimensao, 26distancia, 32

entre funcoes, 32–34

errono dicionario, 30

espacode Besov, 35de Hardy, 35metrico, 32topologico, 32

espaco metrico, 32espaco-tempo, 27espectral

teoria, 31espectro

operador, 31Euler, 7

formula, 12, 13formula de, 2

falsoverdade, 28

fator integrante, 2formula

de Green, 2figura

area do cırculo, 36complexaexponencial, 14logaritmo, 14

conjunto conexo, 25distanciaponto a ponto, 34

funcao contınua, 25Logaritmo, 17logaritmo complexo, 15, 16mediaponderada, 21

37

INDICE REMISSIVO 38

reguacalculo, 5

valor medioderivada, 23

Venndiagrama de, 27

vizinhanca tubular, 33

grafo, 28Green

formula de, 2teoremacaso trivial, 2

Hassediagrama, 28

hiperplano, 4hipersuperfıcie, 4homotopia

equivalencia, 19

implıcitaderivada, 1

infinitesimais, 4invariante

subespaco, 30

Leibnizfracao de, 2notacao de, 2

logica fuzzy, 28logica matematica, 28logaritmo, 5, 11

argumento, 13complexo, 2, 12decimal, 7domınio, 7formula fundamental, 11integral, 10natural, 7, 10neperiano, 10p.a., 6p.g., 6precisao, 7

logaritmostabelas, 7

matrizbloco, 30diagonal, 30

media, 20aritmetica, 20ponderada, 20pesos, 20

metodohistoria, 12

metrica, 32pseudo, 33

metricoespaco, 32

museu, 12

NapierJohn, 6

normado sup, 34

notacao de Leibniz, 1

polo, 19propria

linha, 28proprio

espaco, 28prisao

tridimensional, 26progressao

aritmetica, 6geometrica, 6

quantidade de movimento, 32

raiz, 19regua

de calculo, 6Rolle

teorema de, 23rotacional, 19rule

slide, 5, 6

sliderule, 6

tangente

INDICE REMISSIVO 39

variedade linear, 1teorema

de Greencaso trivial, 2

funcao implıcita, 2teoria espectral, 31topologia, 31tubular

vizinhanca, 34

uniformecontinuidade, 34convergencia, 34

valormedio, 20funcoes, 22

valor medioCalculo Diferencial, 22Calculo integral, 24funcao contınua, 24integral, 24

valor proprio, 25, 26, 28variedade, 26variedades

dimensao 1, 26dimensao 2, 26lineares, 26nao lineares, 26

verdadefalso, 28

vetor proprio, 26, 28vizinhanca, 31

tubular, 32, 34volume, 35

REFERENCIAS 40

Referencias

[1] American Mathematical Society. 2010 mathematics subject classification.http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html.

[2] J. Dieudonne. Calcul Infinitesimal. Herman Editeurs, 1968.

[3] S.V. Gelfand, I.M. e Fomin. Calculus of variations. Dover, 2000.

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[5] T Praciano-Pereira. Programando em gnuplot. Preprints da SobralMatematica no 2008.1 - 2008http://www.sobralmatematica.org/preprints/programando gnuplot.pdf,01 2008.

[6] Tarcisio Praciano-Pereira Stalio Rodrigues dos Santos. Introducao a Ma-tematica Universitaria. Sobral Matematica, 2009.

[7] G.F. Simmons. Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill - Book Company, 1968.

[8] G.F. Simmons. Differential Equations with Applications and Historical No-tes. McGraw-Hill - Book Company, 1979.

[9] Foundation for Free Software. Gpl - general public license. Technical report,http://www.FSF.org, 2011.

[10] V. I. Arnold. Mathematics: Frontiers and Perspectives, chapter Poltmathe-matics: Is Mathematics a Single Science or a Set of Arts?, page 14 (403).American Mathematical Society, 1999.