MDULO II POTENCIAO E RADICIAO

PAGE 27

Potenciao

e

Radiciao Potenciao e Radiciao

O mdulo II composto por exerccios envolvendo potenciao e radiciao.

Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreenso.

1 Parte:Potenciao

1. Definio de Potenciao

A potenciao indica multiplicaes de fatores iguais. Por exemplo, o produto pode ser indicado na forma . Assim, o smbolo , sendo a um nmero inteiro e n um nmero natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:

a a base;

n o expoente;

o resultado a potncia.Por definio temos que:

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

CUIDADO !!

Cuidado com os sinais.

Nmero negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos:

Nmero negativo elevado a expoente mpar permanece negativo. Exemplo:Ex. 1:

EMBED Equation.3 Se , qual ser o valor de ?

Observe:

, pois o sinal negativo no est elevado ao quadrado.

os parnteses devem ser usados, porque o sinal negativo - no deve ser elevado ao quadrado, somente o nmero 2 que o valor de x.

2.Propriedades da Potenciao

Quadro Resumo das Propriedades

A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades:

a) Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicao de potencias de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes.

Ex. 1.:

Ex. 2.:

Ex. 3.: ( neste caso devemos primeiramente resolver as potncias para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 so diferentes.

Obs.:Devemos lembrar que esta propriedade vlida nos dois sentidos. Assim: ou Exemplo:

b) Nesta propriedade vemos que quando tivermos diviso de potencias de bases iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes.

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja

ou Exemplo:

c) Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

d)

EMBED Equation.3 Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de expoente fracionrio, onde o ndice da raiz o denominador do expoente.

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Ex. 4:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

e)

Ex. 1:

Ex. 2:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

f)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja

ou Ex.:

g)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.:Esta propriedade tambm vlida nos dois sentidos, ou seja ou

Ex.:a)

b)

CUIDADO !!!

Obs.: importante colocar que nos trs exemplos acima o sinal negativo do expoente no interferiu no sinal do resultado final, pois esta no a sua funo.

Exerccios

1) Calcule as potncias:

a)

b) (-6)2c) -62d) (-2)3e) -23f) 50g) (-8)0h)

i)

j)

k) 028l) 132m) (-1)20n) (-1)17o)

2.O valor de [47.410.4]2 : (45)7 :

a) 16

b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

3. Qual a forma mais simples de escrever:

a) (a . b)3 . b . (b . c)2b)

4. Sendo e , o quociente de a por b :

a) 252

b) 36

c) 126

d) 48

e) 42

5. Calcule o valor da expresso:

6. Simplificando a expresso , obtemos o nmero:

a)

b)

c)

d)

e)

7.Quando, qual o valor numrico da expresso ?

8.Escreva a forma decimal de representar as seguintes potncias:

a) 2-3 =

b) 10-2 =

c) 4-1 =

Exemplos mais complexos:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operao que aparece dentro dos parnteses.

(6)

(7)

EMBED Equation.3 ou

Exerccios

9.Efetue:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

10. Sabendo que , determine o valor de a.

Ateno neste exemplo. Simplifique as expresses:

Como temos multiplicao e diviso de potncias de bases diferentes, devemos reduzir todas a mesma base. Como a menor base 2, tentaremos escrever todos os nmeros que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e .

Agora aplicaremos as propriedades de multiplicao e diviso de potncias de mesma base.

EMBED Equation.3 ou

Exerccios

11. Simplifique as expresses:

a)

b)

c)

2 Parte:Radiciao

1.Definio de Radiciao

A radiciao a operao inversa da potenciao. De modo geral podemos escrever:

Ex. 1:

Ex. 2:

Na raiz , temos:

O nmero n chamado ndice; O nmero a chamado radicando.2.Clculo da raiz por decomposio

2.1Propriedades dos radicais

a)

Ex. 1:

Ex. 2:

Ex. 3:

Obs.: importante lembrar que esta propriedade tambm muito usada no sentido contrrio ou seja (o denominador n do expoente fracionrio o ndice do radical).

Exemplo : .b) Ex.:

c) Ex.:

d) Ex.:

e)

Ex.:

f) Ex.:

Exerccios

12. D o valor das expresses e apresente o resultado na forma fracionria:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

13. Calcule a raiz indicada:

a)

b)

c)

d)

14. Escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

15. Escreva na forma de radical:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

16.De que forma escrevemos o nmero racional 0,001, usando expoente inteiro negativo?

a) b)

c) d)

e)

2.2 Razes Numricas

Exemplos:

a)

b)

ou

ou

Obs.:Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.

2.3 Razes Literais

a)

Escrever o radical na forma de expoente fracionrio no resolve o problema, pois nove no divisvel por 2. Assim decomporemos o nmero 9 da seguinte forma:

9 = 8 + 1, pois 8 divisvel por 2 que o ndice da raiz.

Assim teremos:

b) pois 12 divisvel por 3 (ndice da raiz).

Outros Exemplos:

a)

b)

Exerccios

17. Calcule:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

18. Fatore e escreva na forma de potncia com expoente fracionrio:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

19. Calcule a raiz indicada:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

20. Simplifique os radicais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Operaes com radicais

3.1. Adio e Subtrao

Quando temos radicais semelhantes em uma adio algbrica, podemos reduzi-los a um nico radical somando-se os fatores externos desses radicais.

Exemplos:

1)

2)

Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidncia os radicais que apareceram em todos os termos da soma.

3)

4)

Exerccios

21. Simplifique :

22. Determine as somas algbricas:

a)

b)

c)

d)

23. Simplifique as expresses e calcule as somas algbricas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

24. Calcule as somas algbricas:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

25. Considere e determine:

a) a + b + c =b) a ( b + c )=c) a b + c=d) ( a + b ) c=

26. Simplifique a expresso.

3.2 Multiplicao

Temos 4 casos bsicos para a multiplicao de radicais, a seguir veremos cada um:

1 caso: Radicais tm razes exatas.

Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:

Exemplo:

2 caso: Radicais tm o mesmo ndice.

Devemos conservar o ndice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possvel o resultado obtido.

Exemplos: a)

b)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 pode parar aqui!Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicao e diviso:

c)

3 caso: Radicais tm ndices diferentes.

O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionrios em fraes equivalentes (com mesmo denominador).

Exemplos: a)

b)

ATENO:

, ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois igual a duas razes de dois.

por que?

ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potncia, ento:

3.3 Diviso

A diviso de radicais tem 3 casos bsicos, a seguir veremos cada um deles:

1 caso: Os radicais tm razes exatas.

Nesse caso, extramos as razes e dividimos os resultados.

Exemplo:

2 caso: Radicais tm o mesmo ndice.

Devemos conservar o ndice e dividir os radicandos.

Exemplos:

3 caso: Radicais com ndices diferentes.

O caminho mais fcil transformar os radicais em potncias fracionrias, efetuar as operaes de potncias de mesma base e voltar para a forma de radical .

Exemplo:

4. Racionalizao de Denominadores

Racionalizar uma frao cujo denominador um nmero irracional, significa achar uma frao equivalente ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da frao por um nmero conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma frao significa reescrever a frao eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:

1) Temos no denominador apenas raiz quadrada:

2) Temos no denominador razes com ndices maiores que 2:

(a)

Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 1 + 2 = 3.

(b)

Temos que multiplicar numerador e denominador por , pois 2 + 3 = 5.

3) Temos no denominador soma ou subtrao de radicais:

Exerccios

27.Calcule

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

28.Simplifique os radicais e efetue:

a)

b)

c)

29. Efetue:

a)

b)

c)

d)

30. Escreva na forma mais simplificada:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

31. Efetue as multiplicaes e divises:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

32.Efetue:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

33.Quando , o valor numrico da expresso :

a) 0

b) 1

c) 1

d)

e)

34.Se e :

a) x o dobro de y;

b)

c)

d) y o triplo de x;

e)

35. Racionalize as fraes:

a)

b)

c)

d)

Respostas dos Exerccios

1 Questo:

a)36h)

o)

b)36i)

c)36j)

d)8k)0

e)8l)1

f)1m)1

g)1n)-1

2 Questo:

d)

3 Questo:

a)

b)

4 Questo:

a)

5 Questo:

6 Questo:

a)

7 Questo:

8 Questo:

a)0,125b)0,01c)0,25

9 Questo:

a)

d)

g)

j)

b)

e)

h)

k)

c)

f)

i)

10 Questo:

11 Questo:

a)E = 3nb)F = 2n 3 c)G = 5 n + 4 . 2

12 Questo:

a)

c)

e)

b)

d)

f)

13 Questo:

a)

b)

c)

d)

14 Questo:

a)

c)

e)

b)

d)

f)

15 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

16 Questo:

c)

17 Questo:

a)5c)6e)0g)-5

b)3d)1f)7h)2

i)-1

18 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

19 Questo:

a)2ad)

g)

j)

b)

e)

h)

k)

c)

f)

i)

20 Questo:

a)

c)

e)

b)

d)

f)

21 Questo:

22 Questo:

a)

b)

c)

d)

23 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

24 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

25 Questo:

a)

b)

c)

d)

26 Questo:

27 Questo:

a)

c)

e)

g)

b)

d) f)24h)1

i)5

28 Questo:

a)

b)28c)

29 Questo:

a)

b)

c)

d)

30 Questo:

a)xd)

g)

j)

b)

e)xh)

k)5b4

c)

f)x -7i)

31 Questo:

a)

c)

e)

b)

d)

f)

32 Questo:

a)

c)

e)

b)

d)2f)

33 Questo:

a)

34 Questo:

c)

35 Questo:

a)

b)

c)

d)

EMBED Equation.3

O sinal negativo no expoente indica que a base da potncia deve ser invertida e simultaneamente devemos eliminar o sinal negativo do expoente.

Primeiro eliminamos o sinal negativo do expoente invertendo a base.

Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potncia.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Resultados possveis

O sinal deve ser contrrio, seno a raiz no ser eliminada do denominador.

Como os ndices das razes so iguais, podemos substituir as duas razes por uma s!

Multiplicamos numerador e denominador da frao por 2 e transformamos na frao equivalente EMBED Equation.3

A ordem dos fatores no altera o produto (multiplicao)

Forma fatorada de 243

Forma fatorada de 144

Devemos fatorar 144

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Conservamos a base e somamos os expoentes.

EMBED Equation.3

PAGE

_1122787231.unknown

_1122795387.unknown

_1152012575.unknown

_1152014593.unknown

_1152019064.unknown

_1152107229.unknown

_1152789908.unknown

_1183273845.unknown

_1183273918.unknown

_1152796147.unknown

_1152796330.unknown

_1169732632.unknown

_1152795698.unknown

_1152107506.unknown

_1152108294.unknown

_1152108460.unknown

_1152108481.unknown

_1152108111.unknown

_1152107256.unknown

_1152020856.unknown

_1152107197.unknown

_1152107211.unknown

_1152106012.unknown

_1152019138.unknown

_1152019153.unknown

_1152019111.unknown

_1152017690.unknown

_1152018234.unknown

_1152018429.unknown

_1152018538.unknown

_1152018724.unknown

_1152018401.unknown

_1152018137.unknown

_1152018216.unknown

_1152017936.unknown

_1152017962.unknown

_1152016272.unknown

_1152016795.unknown

_1152017573.unknown

_1152017580.unknown

_1152017413.unknown

_1152017054.unknown

_1152016313.unknown

_1152014667.unknown

_1152014772.unknown

_1152015713.unknown

_1152014617.unknown

_1152013842.unknown

_1152013861.unknown

_1152014256.unknown

_1152014341.unknown

_1152013908.unknown

_1152014218.unknown

_1152013871.unknown

_1152013905.unknown

_1152013865.unknown

_1152013849.unknown

_1152013854.unknown

_1152013858.unknown

_1152013846.unknown

_1152012689.unknown

_1152012767.unknown

_1152013743.unknown

_1152013757.unknown

_1152013431.unknown

_1152013414.unknown

_1152012730.unknown

_1152012592.unknown

_1152012595.unknown

_1152012584.unknown

_1127306844.unknown

_1127308837.unknown

_1130069259.unknown

_1151936120.unknown

_1152012470.unknown

_1152012482.unknown

_1152012521.unknown

_1152012475.unknown

_1152012132.unknown

_1152012312.unknown

_1152012464.unknown

_1152012334.unknown

_1152012306.unknown

_1152012025.unknown

_1130069333.unknown

_1130069601.unknown

_1130073085.unknown

_1130073829.unknown

_1130069362.unknown

_1130069298.unknown

_1127309388.unknown

_1127309743.unknown

_1127309857.unknown

_1127309899.unknown

_1127309940.unknown

_1127309876.unknown

_1127309772.unknown

_1127309442.unknown

_1127309462.unknown

_1127309730.unknown

_1127309439.unknown

_1127309440.unknown

_1127309423.unknown

_1127308942.unknown

_1127309205.unknown

_1127309365.unknown

_1127309191.unknown

_1127308870.unknown

_1127308883.unknown

_1127308914.unknown

_1127308853.unknown

_1127307672.unknown

_1127308028.unknown

_1127308285.unknown

_1127308287.unknown

_1127308289.unknown

_1127308286.unknown

_1127308283.unknown

_1127308284.unknown

_1127308029.unknown

_1127308282.unknown

_1127307944.unknown

_1127308026.unknown

_1127308027.unknown

_1127307947.unknown

_1127307929.unknown

_1127306929.unknown

_1127307213.unknown

_1127307277.unknown

_1127306944.unknown

_1127306889.unknown

_1127306896.unknown

_1127306908.unknown

_1127306861.unknown

_1127134250.unknown

_1127305612.unknown

_1127306493.unknown

_1127306674.unknown

_1127306806.unknown

_1127306819.unknown

_1127306675.unknown

_1127306576.unknown

_1127306672.unknown

_1127306673.unknown

_1127306670.unknown

_1127306671.unknown

_1127306649.unknown

_1127306506.unknown

_1127306536.unknown

_1127305804.unknown

_1127306474.unknown

_1127305774.unknown

_1127134378.unknown

_1127196780.unknown

_1127304532.unknown

_1127304971.unknown

_1127305511.unknown

_1127196781.unknown

_1127203520.unknown

_1127134436.unknown

_1127196777.unknown

_1127196775.unknown

_1127134396.unknown

_1127134268.unknown

_1127134292.unknown

_1127134314.unknown

_1127134279.unknown

_1127134260.unknown

_1122797123.unknown

_1123673303.unknown

_1123674605.unknown

_1127134231.unknown

_1127134240.unknown

_1127134208.unknown

_1123674601.unknown

_1123673219.unknown

_1123673279.unknown

_1122797307.unknown

_1122798619.unknown

_1122796755.unknown

_1122796802.unknown

_1122797021.unknown

_1122796757.unknown

_1122796648.unknown

_1122796742.unknown

_1122795497.unknown

_1122787547.unknown

_1122787671.unknown

_1122788006.unknown

_1122788138.unknown

_1122795080.unknown

_1122795246.unknown

_1122795275.unknown

_1122795162.unknown

_1122788210.unknown

_1122791275.unknown

_1122791344.unknown

_1122791365.unknown

_1122791308.unknown

_1122791225.unknown

_1122791249.unknown

_1122788182.unknown

_1122788193.unknown

_1122788149.unknown

_1122788050.unknown

_1122788110.unknown

_1122788119.unknown

_1122788074.unknown

_1122788025.unknown

_1122788032.unknown

_1122788015.unknown

_1122787750.unknown

_1122787842.unknown

_1122787866.unknown

_1122787996.unknown

_1122787868.unknown

_1122787852.unknown

_1122787821.unknown

_1122787832.unknown

_1122787753.unknown

_1122787739.unknown

_1122787745.unknown

_1122787747.unknown

_1122787742.unknown

_1122787677.unknown

_1122787679.unknown

_1122787674.unknown

_1122787639.unknown

_1122787659.unknown

_1122787666.unknown

_1122787669.unknown

_1122787663.unknown

_1122787654.unknown

_1122787657.unknown

_1122787652.unknown

_1122787627.unknown

_1122787633.unknown

_1122787637.unknown

_1122787630.unknown

_1122787608.unknown

_1122787621.unknown

_1122787624.unknown

_1122787613.unknown

_1122787618.unknown

_1122787610.unknown

_1122787596.unknown

_1122787598.unknown

_1122787593.unknown

_1122787306.unknown

_1122787333.unknown

_1122787435.unknown

_1122787476.unknown

_1122787499.unknown

_1122787437.unknown

_1122787346.unknown

_1122787428.unknown

_1122787431.unknown

_1122787351.unknown

_1122787362.unknown

_1122787426.unknown

_1122787357.unknown

_1122787349.unknown

_1122787339.unknown

_1122787342.unknown

_1122787336.unknown

_1122787320.unknown

_1122787324.unknown

_1122787330.unknown

_1122787323.unknown

_1122787315.unknown

_1122787317.unknown

_1122787309.unknown

_1122787258.unknown

_1122787293.unknown

_1122787298.unknown

_1122787304.unknown

_1122787296.unknown

_1122787271.unknown

_1122787287.unknown

_1122787290.unknown

_1122787278.unknown

_1122787281.unknown

_1122787274.unknown

_1122787263.unknown

_1122787269.unknown

_1122787260.unknown

_1122787245.unknown

_1122787252.unknown

_1122787255.unknown

_1122787249.unknown

_1122787236.unknown

_1122787239.unknown

_1122787233.unknown

_1105879779.unknown

_1122786111.unknown

_1122787207.unknown

_1122787219.unknown

_1122787225.unknown

_1122787228.unknown

_1122787221.unknown

_1122787213.unknown

_1122787216.unknown

_1122787211.unknown

_1122786807.unknown

_1122786825.unknown

_1122786947.unknown

_1122786957.unknown

_1122786970.unknown

_1122787007.unknown

_1122787010.unknown

_1122786959.unknown

_1122786952.unknown

_1122786955.unknown

_1122786950.unknown

_1122786832.unknown

_1122786835.unknown

_1122786828.unknown

_1122786812.unknown

_1122786823.unknown

_1122786820.unknown

_1122786810.unknown

_1122786129.unknown

_1122786657.unknown

_1122786794.unknown

_1122786132.unknown

_1122786116.unknown

_1122786127.unknown

_1122786119.unknown

_1122786114.unknown

_1107346082.unknown

_1113740975.unknown

_1122786033.unknown

_1122786085.unknown

_1122786109.unknown

_1122786081.unknown

_1122786028.unknown

_1122786031.unknown

_1122786009.unknown

_1113740971.unknown

_1113740973.unknown

_1113740974.unknown

_1113740972.unknown

_1113740869.unknown

_1113740883.unknown

_1113740967.unknown

_1113740970.unknown

_1113740886.unknown

_1113740963.unknown

_1113740877.unknown

_1113740880.unknown

_1113740875.unknown

_1107346286.unknown

_1113740270.unknown

_1113740779.unknown

_1113739079.unknown

_1107346099.unknown

_1107085266.unknown

_1107087767.unknown

_1107088133.unknown

_1107345872.unknown

_1107345940.unknown

_1107088393.unknown

_1107088662.unknown

_1107088254.unknown

_1107087938.unknown

_1107088105.unknown

_1107087781.unknown

_1107085772.unknown

_1107086721.unknown

_1107085631.unknown

_1105881893.unknown

_1107083871.unknown

_1107083988.unknown

_1107083553.unknown

_1105880166.unknown

_1105880246.unknown

_1105880586.unknown

_1105880821.unknown

_1105880561.unknown

_1105880241.unknown

_1105880061.unknown

_1105880088.unknown

_1105879852.unknown

_1105357754.unknown

_1105358665.unknown

_1105359295.unknown

_1105359828.unknown

_1105360834.unknown

_1105361686.unknown

_1105361943.unknown

_1105361991.unknown

_1105361964.unknown

_1105361809.unknown

_1105360997.unknown

_1105361105.unknown

_1105360852.unknown

_1105360829.unknown

_1105360832.unknown

_1105360167.unknown

_1105359357.unknown

_1105359782.unknown

_1105359302.unknown

_1105358681.unknown

_1105358692.unknown

_1105358880.unknown

_1105358687.unknown

_1105358676.unknown

_1105358678.unknown

_1105358668.unknown

_1105358138.unknown

_1105358547.unknown

_1105358574.unknown

_1105358528.unknown

_1105358441.unknown

_1105358089.unknown

_1105358117.unknown

_1105357816.unknown

_1076909695.unknown

_1105355513.unknown

_1105355846.unknown

_1105356795.unknown

_1105357131.unknown

_1105357177.unknown

_1105357092.unknown

_1105356466.unknown

_1105356749.unknown

_1105356328.unknown

_1105355628.unknown

_1105355787.unknown

_1105355545.unknown

_1105281373.unknown

_1105281446.unknown

_1105355290.unknown

_1105281445.unknown

_1089008154.unknown

_1105281367.unknown

_1089008094.unknown

_1076909653.unknown

_1076909691.unknown

_1076909693.unknown

_1076909694.unknown

_1076909692.unknown

_1076909655.unknown

_1076909657.unknown

_1076909654.unknown

_1075269822.unknown

_1075269884.unknown

_1076909358.unknown

_1076909651.unknown

_1076225779.unknown

_1075269856.unknown

_1075269520.unknown

_1075269601.unknown

_1075269684.unknown

_1075269626.unknown

_1075269557.unknown

_1075269409.unknown