Pop 2003

Pesquisa Operacional - Administracao de Empresas

Prof. Dr. Evandro BittencourtUNIVILLE

5 de marco de 2003

Sumario

1 Introducao 31.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Metodologia da Pesquisa Operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Definicao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Desenvolvimento de um modelo matematico e aquisicao dos dados . . 31.2.3 Resolucao do modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Validacao, instrumentacao e controle da solucao . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Ferramentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Programacao Linear 42.1 Exemplos de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Analise Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 O problema de Programacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Formulacao Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Interpretacao Economica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 O Metodo do Simplexo 133.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Problemas Especiais de Formulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Formulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Dificuldades Durante a Solucao pelo Metodo do Simplexo . . . . . . . 16

3.4 Metodo do Simplexo - Fase I/Fase II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.1 Procedimento para a Fase I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Analise de Sensibilidade 184.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Variacao na Funcao Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2 Variacao na Quantidade de Recursos Escassos . . . . . . . . . . . . . 19

1

Prof. Evandro Bittencourt - Pesquisa Operacional - 2003 2

4.2.3 Preco Sombra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Exercıcio - Problema - Alocacao de Recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Solver 235.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Pert - Redes de Precedencia 256.1 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4 Formacao de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Otimimizacao Nao-Linear 297.1 Funcao de uma variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


1 Introducao

1.1 Definicao

E uma metodologia de estruturar processos aparentemente nao estruturados por meio daconstrucao de modelos. Utiliza um conjunto de tecnicas quantitativsas com o intuito deresolver os aspectos matematicos dos modelos. (Pierre Jacques Ehrlich)

Aplicacao do Metodo Cientifico, por equipes interdisciplinares a problemas que dizem res-peito ao controle de seistema organizados (homem-maquina), com a finalidade de obter assolucoes que melhor satisfacam aos objetivos da organizacao, como um todo. (Joao VitorMoccelin)

1.2 Metodologia da Pesquisa Operacional

Definicao doProblema

Desenvolvimento de ummodelo matematico eaquisicao dos dados

Resolucao domodelo

matematico

Solucao

Modificacoes nomodelo

?´

´´

´

QQ

QQQ

QQ

QQQ

´´

´´

?

Solucaovalida?

Implementacao

�nao

sim

6

?

- -

1.2.1 Definicao do Problema

• Identificar;

• Comprender;

• Descrever.

1.2.2 Desenvolvimento de um modelo matematico e aquisicao dos dados

• Definir as variaveis de decisao (variaveis);

• Funcao Objetivo;

• Restricoes.


1.2.3 Resolucao do modelo matematico

• Metodos Otimos;

• Metodos Heurısticos.

1.2.4 Validacao, instrumentacao e controle da solucao

1.3 Aplicacao

Aplica-se na selecao de alternativas, buscando a maximizacao do lucro ou minimizacao decusto (geralmente).

1.3.1 Areas

• Processos de producao

• Processos de Fluxo (transporte)

• Financas

• Marketing (participacao no mercado)

• Misturas (alimentos, ligas, misturas quimicas)

1.3.2 Ferramentas

• Matematica

• Analise de sistemas

• Estatistica

2 Programacao Linear

2.1 Exemplos de problemas

1. Um fabricante deseja maximizar a receita bruta. A tabela ilustra as composicoes dasligas metalicas, seus precos e as limitacoes na disponibilidade de materia prima.

Atividades→ Liga Tipo Liga Tipo Materia Prima

Itens A B Disponivel

Cobre 2 1 16Zinco 1 2 11Chumbo 1 3 15Preco unitario de R$30 R$50venda

Decisoes: Quantidade de Liga A (xa)Quantidade de Liga B (xb)

Receita = Z


Funcao ObjetivoMaximizar Z= 30.xa + 50.xb

RestricoesSujeito A 2xa + xb ≤ 16 (para o cobre)

xa + 2.xb ≤ 11 (para o zinco)xa + 3.xb ≤ 15 (para o chumbo)

Restricoes de nao xa ≥ 0Negatividade xb ≥ 0

(Nao podemos fabricar quantidade negativa de liga)

2. Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros saode R$2.000 por alqueire de milho e de R$1.000 por alqueire de alfafa. Suponha quesuas limitacoes sejam: terra disponivel = 8 alqueires; agua disponivel para irrigacao =80.000 litros; deseja plantar no maximo 4 alqueires de milho; cada alqueire de milhorequerera 10.000 litros de agua para irrigacao; cada alqueire de alfafa requerera 20.000litros de agua para irrigacao.

3. Sabe-se que os alimentos, leite, carne e ovos fornecem as quantidades de vitaminasdadas pela tabela.

Vitaminas Leite (litro) Carne (kg) Ovos(duzia) Quantidade

diaria minima

A 0,25 mg 2 mg 10 mg 1 mgB 25 mg 20 mg 10 mg 50 mgC 2,5 mg 200 mg 10 mg 10 mg

Custo unitario R$2,2 R$17,0 R$4,2

Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e ovos a fim de satisfazer asquantidades diarias minimas de nutrientes (vitaminas) a um custo minimo.

4. Uma fabrica utiliza dois tipos de insumo: - A a um custo unitario CA e com umaquantidade maxima disponivel NA.- B a um custo unitario CB e com uma quantidade maxima disponivel NB.Estes insumos podem ser processados pelos Processos I, II ou III a um custo operacionalnulo. Serao produzidos os produtos α, β, γ, que alcancaram precos de venda Pα,Pβ, Pγ, respectivamente (precos unitarios).- Uma unidade de A processada em I produz, simultaneamente 5α e 1γ;- Uma unidade de A junto com duas unidades de B conjuntamente processadas em IIproduz, simultaneamente 3α, 9β e 8γ;- Uma unidade de B processada em III produz simultaneamente 1α, 4β, 1γ.Formule o problema como programacao linear de modo a maximizar o lucro.

5. Um jovem estava sainda com duas namoradas: Maria e Luisa. Sabe, por experiencia,que:

(a) Maria, elegante, gosta de frequentar lugares sofisticados, mais caros, de modo queuma saida de tres horas custara 80 reais;


(b) Luisa, mais simples, prefere um divertimento mais popular, de modo que, umasaida de tres horas custara 55 reais;

(c) seu orcamento permite dispor de 330 reais mensais para diversao;

(d) seus afazeres escolares lhe dao liberdade de, no maximo, 18 horas e 40.000 caloriasde sua energia para atividades sociais;

(e) cada saida com Maria consome 5.000 calorias, mas com Lisa, mais alegre e extro-vertida, gasta o dobro;

(f) ele gosta das duas com a mesma intensidade.

Como deve planejar sua vida social para obter o numero maximo de saidas? Formuleo problema.

6. Devido ao numero incostante de passageiros, uma companhia de onibus necessita umnumero variado de motoristas dependendo do horario considerado. A tabela a seguirespecifica a quantidade de motoristas necessarios.

Horario Quantidade demotoristas

1 as 5 horas 155 as 9 horas 309 as 13 horas 2613 as 17 horas 3217 as 21 horas 3021 as 1 horas 19

Considerando que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o servico pode seriniciado as 1, 5, 9, 13, 17 ou 21 horas, elaborar um plano de trabalho para os motoristas,de modo que o numero destes seja minimo.


7. A companhia ALT-M produz moveis de escritorio que, por questoes de marketing,agrupou em tres conjuntos basicos cujos modelos sao: ALFA, BETA E GAMA.

O parque de producao da empresa e de porte medio e bem dimensionado parao nıvel de producao que ela tem conseguido colocar no mercado. Ultimamente, no en-tanto, a demanda tem crescido, o que levou a gerencia a encomendar um planejamentode producao mensal, com a finalidade de determinar os possıveis estrangulamentos nalinha de producao e analisar algumas alternativas de correcao.

Inicialmente, o profissional encarregado do planejamento analisou o sistema deproducao e determinou que apemas mao-de-obra e a madeira poderiam ser os recursoslimitativos da producao. Os demais insumos que a empresa utiliza sao encontraveiscom facilidade no mercado, ja que existem varios fornecedores, alem do fato de quea empresa possui capacidade suficiente de estocagem. Assim, a analise se concentrouapenas nesses dois recursos.

A empresa possui a seguinte disponibilidade total desses dois recursos:

• mao-de-obra: 3.520 H.h.

• estoque de madeira: 10.000 m2 por mes.

O processo de fabricacao de moveis requer 5 fases, realizadas em secoes es-pecıficas, conforme mostra o fluxograma (a lista) que se segue. O fluxograma (a lista)tambem indica a capacidade de producao disponıvel em cada fase, em funcao da mao-de-obra e dos equipamentos e ferramentas existentes.

Essa capacidade de cada secao corresponde a alocacao anterior de mao-de-obrae sera avaliada ao longo desse estudo de caso. Para simplificar o caso, vamos consi-derar que, quando houver necessidade de transferir um funcionario de uma secao paraoutra, isso correspondera a transferencia de modulos de 44 H.h (1 semana de trabalho).

PROCESSO DE FABRICACAO E ALOCACAO INICIAL DE MAO-DE-OBRA

(a) Corte ⇒ 704 H.h.

(b) Preparacao ⇒ 1232 H.h.

(c) Montagem ⇒ 704 H.h.

(d) Pintura ⇒ 528 H.h.

(e) Embalagem ⇒ 352 H.h.

O objetivo da gerencia e desenvolver um estudo de planejamento da producaoda empresa de forma a otimizar sua capacidade produtiva.

Para atingir esse objetivo, o encarregado do planejamento escolheu como tecnicade trabalho o desenvolvimento de um modelo de Programacao Linear de forma que elepudesse encontrar a alocacao ideal de mao-de-obra e da madeira. Como criterio paramedir a ”idealidade da alocacao”, ele escolheu a margem de contribuicao a cada pro-duto para o lucro total.

Apos a escolha do criterio de decisao, ele passou a examinar o processo defabricacao de cada um dos conjuntos que, em face das diferencas de design, exigequantidades diferentes de cada recurso. Uma vez de posse do projeto do produto e,apos medicoes in loco, foi facil obter os coeficientes de utilizacao unitaria de recurso,conforme mostra a Tabela ??.

Alem disso, sao conhecidos os custos unitarios dos recursos, conforme mostraa Tabela ??.


Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocacao Inicial deAlfa Beta Gama Recurso Por Secao

Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h.Preparacao 0,8 0,4 0,6 1.232 H.h.Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h.Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h.

Embalagem 0,06 0,1 0,05 352 H.h.Madeira 3 4,5 6 10.000 m2

Tabela 1: Utilizacao unitaria de recursos para fabricacao dos conjuntos

Recurso Custo Unitario

Corte 2,40Preparacao 3,50Montagem 2,20Pintura 2,50Embalagem 2,00Madeira 6,50

Tabela 2: Custos Unitarios de Recursos

Obs.: Mao-de-Obra: Custo horario proprio, encargos e custo de operacao das maquinas (R$/H.h).

Madeira: Custo por m2 (R$/m2).

Conhecendo os precos de venda dos produtos, pode-se calcular a contribuicaounitaria (preco de venda menos custos variaveis de producao) de cada um, conformemostra a Tabela ??.

Conjunto Contribuicao Unitaria (R$)

Alfa 21,00Beta 19,50Gama 22,00

Tabela 3: Contribuicoes marginais dos conjuntos


8. Uma empresa tem tres tipos de maquinas na sua linha de producao, tendo cada umadelas velocidade e precisao diferente. A maquina do tipo 1 produz 20 pecas por horacom 99% de precisao. A maquina do tipo 2 produz 15 pecas por hora com 95% deprecisao. E a maquina do tipo 3 produz 10 pecas por hora com 100% de precisao.A maquina do tipo 1 custa R$2,00 por hora de operacao, o tipo 2 custa R$1,75 porhora de operacao e o tipo 3 custa R$1,50 por hora de operacao. A empresa possui 15operadores fixos disponıveis para as maquinas 1 e 2, e todos devem ser utilizados, osoutros serao contratados temporariamente. Devem ser processados por dia pelo menos3.500 pecas (dia de 8 horas), mas so se dispoe de 8 maquinas do tipo 1, dez maquinasdo tipo 2 e 20 maquinas do tipo 3. Cada peca errada custa R$1,00.Pergunta-se:

(a) Quantas maquinas de cada tipo devem ser usadas para minimizar o custo.

(b) Qual o benefıcio marginal no custo no caso da:

• aquisicao de mais uma maquina do tipo 1.



• diminuicao na producao de 8 pecas por dia.

• demissao de um operador fixo.


2.2 Analise Grafica

2.2.1 Exemplo

Max. Z= 30.xa + 50.xb

Sujeito A 2xa + xb ≤ 16 (para o cobre)xa + 2.xb ≤ 11 (para o zinco)xa + 3.xb ≤ 15 (para o chumbo)xa ≥ 0xb ≥ 0

-

6

0 5 10 15 xb

5

10

15

xa

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

BB

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

HHHH

HHHHH

HHAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AA

¡¡

¡¡¡ª

chumbo

¡¡

¡¡¡ª

cobre

@@

@@@R

zinco

¡¡

¡¡

¡¡ª

ponto otimo

@@

@@@

regiao deaceitacao

u

2.2.2 Exercicios

1. Resolva graficamente, mostrando a regiao de pontos viaveis (regiao de aceitacao), in-dicando o ponto otimo.

Max. Z= −10.x + 15.ySujeito A x + y ≤ 12

2.x + 5.y ≤ 40x ≥ 2x ≤ 8y ≥ 1

2. Resolva graficamente o problema de Programacao Linear.


Max. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A x1 + 4.x2 ≤ 24x1 + 2.x2 ≤ 142.x1 − x2 ≤ 8x1 − x2 ≤ 3x1 ≥ 0x2 ≥ 0

3. Resolva graficamenteMin. Z= −x1 + 2.x2

Sujeito A −x1 + x2 ≤ 16.x1 + 4.x2 ≤ 24x1 ≥ 0x2 ≥ 2

4. Resolva graficamenteMin. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A 4.x1 − 5.x2 ≤ 405.x1 + 8.x2 ≤ 409.x1 − 6.x2 ≥ 0x1 ≥ 0x2 ≥ 2

2.3 O problema de Programacao linear

A representacao grafica se aplica nos casos bem mais simples de apenas duas variaveis dedecisao (x1, x2), em geral o numero de variaveis e muito maior, o que impossibilita visuali-zacoes graficas.

Ao estruturarmos um problema sob a forma de um modelo matematico, o intuito e o denos ajudar no processo de decisao: que atividade empreender e o quanto de cada uma, a fimde satisfazer de um dado objetivo.

Programacao Linear e uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar queatividades (variaveis de decisao) empreender, dado que essas atividades (diversas alternati-vas) competem entre si pela utilizacao de recursos escassos (restricoes) ou entao precisamsatisfazer certos requisitos minimos. O objetivo sera maximizar (ou minimizar) uma funcaodas atividades, geralmente lucros (perdas).


2.3.1 Formulacao Generica

Funcao ObjetivoMaximizar Z= c1.x1 + c2.x2 + · · ·+ cn.xn

Restricoes Principais

Sujeito A a11.x1 + a12.x2 + · · ·+ a1n.xn

{ ≤≥ b1

a21.x1 + a22.x2 + · · ·+ a2n.xn

{ ≤≥ b2

. . . . . . . . .

am1.x1 + am2.x2 + · · ·+ amn.xn

{ ≤≥ bm

onde bi ≥ 0 para i=1,. . . , m

Restricoes de nao Negatividadex1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . . . . , xn ≥ 0

O problema resume-se na maximizacao (ou minimizacao) de uma funcao objetivo, sujeita arestricoes tambem lineares.

2.3.2 Interpretacao Economica

n sao as atividades que competem sendo x1, . . . . . . , xn seus niveis de atividade.

cj e o aumento de Z por unidade de atividade j.

m sao os recursos escassos cujos niveis sao b1, . . . . . . , bm.

aij e o quanto de recurso i e consumido pela atividade j.


3 O Metodo do Simplexo

O Metodo do simplexo e um algoritmo iterativo convergente, que pesquisa os vertices dopoliedro de restricoes, passando, em cada iteracao f de um vertice para outro vertice comvalor associada nao pior que o anterior. Em um numero finito de iteracoes, o algoritmofornece.- A solucao otima- A indicacao da inexistencia da solucaoO Metodo do Simplexo explora o fato de o maximo, ou o minimo da funcao objetiva, ocorrernum vertice do poliedro convexo de restricoes.

3.1 Algoritmo Simplexo - Exemplo

Max. Z= 30.x1 + 50.x2

Sujeito A 2x1 + x2 ≤ 16x1 + 2.x2 ≤ 11x1 + 3.x2 ≤ 15x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Forma padrao para escrever os dados

Atividades x Variavel de Folgas b

A (coeficientes das restricoes) I(matriz b(coeficientes)

identidade) independentes)

-c (coeficientes da funcao objetiva) 0 0

1o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

2 1 1 0 0 16

1 2 0 1 0 11

1 3 0 0 1 15

-30 -50 0 0 0 0

±°²¯

mais negativo@@I

161

112

153

menor relacao

6

Procedimento:

1. Selecionar a coluna j com o valor mais negativo;

2. Ache, para todas as linha i, a menor relacao bi

aijcom aij > 0: O valor de aij assim

escolhido sera o pivo.

3. Agora proceda a operacao-pivo, que torna o coeficiente da xij igual a 1 e todos osoutros coeficientes da coluna j nulos.

(a) divida a linha i por aij.


(b) em todas as outras linhas de r, para cada elemento da coluna k, calcular ark =ark − aij

aik.arj.

(c) fazer o calculo do item b tambem para a lilha c.

4. Repita as etapas 1,2,3 ate que nao haja mais valores negativos na ultima linha c.

2o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

5/3 0 1 0 −1/3 11

1/3 0 0 1 −2/3 1

1/3 1 0 0 1/3 5

−40/3 0 0 0 50/3 250

µ´¶³

3o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

0 0 1 -5 3 6

1 0 0 3 −2 3

0 1 0 -1 1 4

0 0 0 40 −10 290

±°²¯

4o Tableau

Atividades Folgas

x1 x2 y1 y2 y3 b

0 0 1/3 -5/3 1 2

1 0 2/3 -1/3 0 7

0 1 -1/3 2/3 0 2

0 0 10/3 70/3 0 310

ResultadosZ = 310x1 = 7x2 = 2x3 = 0y1 = 0y2 = 0y3 = 2

3.2 Exercicios

1. Resolva pelo Simplexo:Max. Z= 2.x1 + x2

Sujeito A x1 + x2 ≤ 5x1 + 2.x2 ≤ 8

x1 ≤ 4x1 ≥ 0x2 ≥ 0


2. Resolva pelo Simplexo:Max. Z = 7.x1 + 3.x2 + 2.x3

Sujeito A 5.x1 + 2.x2 + 2.x3 ≤ 192.x1 + x2 + 2.x3 ≤ 8

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

3. Resolva pelo Simplexo:Max. Z = 2.x1 + 5.x2 + 7.x3

Sujeito A x1 + 3.x2 + 6.x3 ≤ 122.x1 + 3.x2 ≤ 9

x3 ≤ 2x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

4. Resolva pelo Simplexo:Min. Z = x1 + 2x2 − x3

Sujeito A −x1 + x2 − 4x3 ≤ 302x1 − x2 + 2x3 ≤ 10

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0

3.3 Problemas Especiais de Formulacao

3.3.1 Formulacao

1. Conversao de Minimizar para Maximizar na Funcao Objetivo:O Simplexo, resolve apenas problemas de maximizacao. Devemos converter os proble-mas de minimizacao, fazendo: Max(Z ′) = Min(Z), onde Z ′ = −Z

2. xj livre:Uma variavel e livre quando nao tem condicoes de nao negatividade.Resolve-se introduzindo as variaveis x′j e x′′j .Com

xj = x′j − x′′jx′j ≥ 0

x′′j ≥ 0

E resolvendo o problema nas novas variaveis.Exemplo

Max. Z= 4.x1 + x2 + 3.x3

Sujeito A x1 − 2.x2 + x3 = 20x1 + 5.x2 − 2.x3 ≤ 50

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

x3 livre


3.3.2 Dificuldades Durante a Solucao pelo Metodo do Simplexo

1. Empate para decidir qual a variavel que deve entrar na base, isto e −cj = −ck.Escolha arbitrariamente qualquer um dos dois. De qualquer modo, o otimo sera atin-gido. Nao podemos, entretanto, garantir, a priori, qual a melhor escolha do ponto devista de terminar o problema em um menor numero de iteracoes.

2. Empate para sair da BaseA degenerescencia vai resultar em que uma variavel basica sera nula no Tableau se-guinte. Do ponto de vista geometrico, isto corresponde a ativar duas restricoes simul-taneamente.Decida arbitrariamente. O Tableau seguinte tera a outra variavel candidata a baseigual a zero. Se a variavel escolhida for a seguinte a deixar a base, o valor da funcaoobjetiva nao mudara nesta iteracao. Pode resultar em circuito vicioso.

Exemplo: Caso de degenerescencia

Primeiro Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 b

1 0 1 0 0 4

0 1 0 1 0 6

3 2 0 0 1 12

-3 -5 0 0 0 0

No empate para sair da base, escolha a segunda linha

3.4 Metodo do Simplexo - Fase I/Fase II

O Metodo do Simplexo requer uma solucao basica ja no primeiro Tableau.Quando existem restricoes do tipo = ou ≥, nao teremos uma solucao inicial.

A resolucao pelo Simplexo e feita entao em duas fases.

A Fase I encontrara (se possivel) a solucao inicial e a Fase II termina de otimizar o va-lor da funcao objetiva.

Se a Fase I nao encontrar uma solucao inicial, poderemos concluir que nao existe solucao.

A Fase II e exatamente aquela que nos ja estudamos.

3.4.1 Procedimento para a Fase I

1. Alem das variaveis de folga, serao introduzidas variaveis artificiais, da seguinte maneira:


sinal variavel de folga variavel artificial

≤ +

≥ − +

= +

2. Escreva o tableau inicial incluindo a linha Z.

3. Adicione mais uma linha no tableau inicial, a linha W.Preencha a linha Z, somando os coeficientes das linhas superiores que tenham variavelartificial e trocando o sinal do resultado. Faca isto nas colunas das variaveis normais,de folga e na coluna b. Nas colunas das variaveis artificiais inclua zero.

4. Aplique o algoritmo simplexo, tomando como base de decisao para quem deve entrarna base a linha W.

5. Quando a Fase I terminar, ou seja, quando na linha W nao mais tiver numeros nega-tivos, e a coluna b estiver zerada, a Fase I teve sucesso.

6. Para a Fase II, elimine a linha W, e as colunas das variaveis artificiais.

7. O primeiro Tableau da Fase II, podera ja ser o Tableau Final.

3.4.2 Exemplo

Max. Z= −x1 − 6.x2 + 7.x3 − x4 − 5.x5

Sujeito A 5.x1 − 4.x2 + 13.x3 − 2.x4 + x5 ≥ 20x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 82.x1 + x2 − x3 + 4.x4 ≤ 15

x1 ≥ 0x2 ≥ 0x3 ≥ 0x4 ≥ 0x5 ≥ 0

Primeiro Tableau - Fase I

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y1 y2 b

5 -4 +13 -2 1 -1 0 1 0 20

1 -1 1 -1 1 0 0 0 1 8

2 1 -1 4 0 0 1 0 0 15

1 6 -7 1 5 0 0 0 0 0

-6 5 -14 3 -2 1 0 0 0 -28

3.4.3 Exercıcios

1. Resolva pelo Simplexo Fase I/Fase II:

Max. Z= 2.x1 + x2 + x3

Sujeito A 3.x1 + 4.x2 + x3 = 5

x1 + x2 + 2.x3 = 3

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

x3 ≥ 0


4 Analise de Sensibilidade

4.1 Introducao

A resposta final de um problema de Programacao Linear, muitas vezes, tem valor limitada.

Alem da simples resposta do valor das variaveis, devemos saber o que acontece com elas, seexistir variacoes nos coeficientes dados no problema original.

Muitas vezes queremos saber, quanto podemos variar nos coeficientes da funcao objetivae na quantidade de recursos escassos de maneira que aquela resposta final otimizada (asalternativas que devemos usar) nao sera modificada.

A analise de sensibilidade e feita de maneira muito facil, analisando os dados do primei-ro e ultimo Tableau.

4.2 Exemplo

Primeiro Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b

1 1 1 1 1 0 0 35

1 4 2 2 0 1 0 80

2 3 6 1 0 0 1 90

-5 -4 -6 8 0 0 0 0

Ultimo Tableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b

1 3/4 0 5/4 3/2 0 -1/4 30

0 11/4 0 5/4 -1/2 1 -1/4 40

0 1/4 1 -1/4 -1/2 0 1/4 5

0 5/4 0 51/4 9/2 0 1/4 180

4.2.1 Variacao na Funcao Objetivo

a) Decrescimo em cj para xj nao basico

Se a variavel xj nao e basica, diminuir o coeficiente da funcao objetiva cj torna aatividade menos atrativa ainda. Entao nao temos limite para este decrescimo.

Decrescimo em cj para xj nao basico ⇒ sem limite

No exemplo dado, o decrescimo nao tem limite em 4, coeficiente de x2 e em 8, coeficientede x4.

b) Acrescimo em cj para xj nao basico

No ultimo Tableau, na linha de custo reduzido, podemos notar valores positivos paraas variaveis nao basicas (x2 e x4). Se estes valores fossem negativos, o processo deotimizacao continuaria, e estas variaveis seriam candidatas a entrar na base.Para que isto aconteca, basta aumentar o valor inicial do coeficiente cj, exatamente novalor encontrado no ultimo Tableau.


Acrescimo em cj para xj nao basico ⇒ limite no ultimo Tableau

No exemplo dado, o limite para acrescimo de 4, coeficiente de x2 e 5/4, e para o 8,coeficiente de x4 e 51/4.

c) Acrescimo e Decrescimo cm cj para xj basico

Para conhecer estes limites, vamos acrescer o coeficiente da funcao objetiva de umvalor generico γ. A partir disso vamos simular a ultima linha de custo reduzido doultimo Tableau, fazendo:

Z ′ = Z + γ.x1

Da ultima linha do ultimo Tableau

Z = 180− 5/4.x2 − 51/4.x4 − 9/2.x5 − 1/4.x7

Da primeira linha do ultimo Tableau

x1 = 30− 3/4.x2 − 5/4.x4 − 3/2.x5 + 1/4.x7

Z ′ = (180 + 30.γ)− (5/4 + 3/4.γ).x2 − (51/4 + 5/4.γ).x4

− (9/2 + 3/2.γ).x5 − (1/4− 1/4.γ).x7

Os coeficientes que acompanham as variaveis na funcao Z’ devem permanecer positivos.Portanto o limite da variacao do coeficiente que acompanham as variaveis e zero. Entaofazemos:

5/4 + 3/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −5/3

51/4 + 5/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −51/5

9/2 + 3/2.γ ≥ 0 ⇒ γ ≥ −3

1/4− 1/4.γ ≥ 0 ⇒ γ ≤ 1

Os limites, para acrescimo e decrescimo sao os mais ”apertados”. Portanto:

Limite para acrescimo em c1 ⇒ 1

Limite para decrescimo em c1 ⇒ 5/3

Para obter os limites para c3 procedemos de maneira similar.

4.2.2 Variacao na Quantidade de Recursos Escassos

a) Acrescimo em bi para restricao com folga

Se o recurso escasso tem folga, um aumento na sua quantidade so vai aumentar ovalor final da folga. Portanto, nao existe limite para acrescimo.

Acrescimo em bi para restricao com folga ⇒ sem limite

No exemplo, nao existe limite para acrescimo para b2.

b) Decrescimo em bi para restricao com folga

Se o recurso escasso tem folga, o limite para decrescimo na sua quantidade e a propriafolga.


Decrescimo em bi para restricao com folga ⇒ o limite e o valor da folga

No exemplo, o limite para decrescimo para b2 e 40.

c) Acrescimo e decrescimo em bi para restricao sem folga

Vamos simular um acrescimo generico γ no valor de bi estudado.No exemplo vamos simular b1 igual a 35+γ.Entao temos a coluna b como sendo:

35 + γ

80

90

Que pode ser reescrita como:

35

80

90

+

1

0

0

.γ

No ultimo Tableau as colunas se transformam em:

30

40

5

+

3/2

−1/2

−1/2

.γ

Os valores das variaveis basicas passam a ser:

x1 = 30 +3

2.γ

x6 = 40− 1

2.γ

x3 = 5− 1

2.γ

Como os valores da coluna b nunca podem assumir valores negativos, temos os limitespara γ sendo impostos desta maneira:

30 +3

2.γ ≥ 0

40− 1

2.γ ≥ 0

5− 1

2.γ ≥ 0

⇒γ ≥ −20

γ ≤ 80

γ ≤ 10

Os limites, para acrescimo e decrescimo sao os mais ”apertados”. Portanto:

Limite para acrescimo em b1 ⇒ 10

Limite para decrescimo em b1 ⇒ 20

Para obter os limites para b3 procedemos de maneira similar.


4.2.3 Preco Sombra

Quanto efetuamos um acrescimo de uma unidade numa quantidade de Recurso Escasso quenao tenha folga, vamos ter um acrescimo correspondente no valor do Z maximo. Este valore chamado de preco Sombra ou beneficio marginal deste recurso escasso.Podemos identificar o preco sombra para cada quantidade de recurso escasso diretamente noultimo Tableau, na linha linha de custo reduzido, na coluna da variavel de folga correspon-dente.

Preco Sombra para bi ⇒ ultimo Tableau

No exemplo temos, o preco sombra para b1 igual a 9/2, o preco sombra para b3 igual a 1/4e o preco sombra para b2 igual a 0 pois o recurso escasso tem folga e nao obtemos nenhumbeneficio aumentando a sua quantidade.

4.3 Exercıcio - Problema - Alocacao de Recursos

Dados Iniciais

Itens em ProducaoConjunto ALFA Conjunto BETA Conjunto GAMA

Disponibilidade de Recursosmao-de-obra: 3520 H.h. por mesestoque de madeira: 10.000 m2 por mes

Processo de Fabricacaoe Alocacao Inicial de Mao-De-Obra

a) Corte ⇒ 704 H.h.

b) Preparacao ⇒ 1232 H.h.

c) Montagem ⇒ 704 H.h.

d) Pintura ⇒ 528 H.h.

e) Embalagem ⇒ 352 H.h.

Utilizacao Unitaria dos Recursos

Recursos Conjunto Conjunto Conjunto Alocacao Inicial Realocacao

Alfa Beta Gama Recurso/Secao de Recurso

Corte 0,4 0,3 0,3 704 H.h. 704 H.h.

Preparacao 0,8 0,4 0,6 1.232 H.h. 1.364 H.h.

Montagem 0,25 0,4 0,4 704 H.h. 704 H.h.

Pintura 0,2 0,2 0,2 528 H.h. 484 H.h.

Embalagem 0,06 0,1 0,05 352 H.h. 264 H.h.

Madeira 3 4,5 6 10.000 m2

Contribuicao Unitaria


Conjunto Contribuicao Unitaria (R$)

Alfa 21,00

Beta 19,50

Gama 22,00

Modelagem

Variaveis de Decisaox1 = numero de conjuntos ALFAx2 = numero de conjuntos BETAx3 = numero de conjuntos GAMA

Funcao Objetivo (maximizar o lucro)Max. Z = 21.x1 + 19, 5.x2 + 22.x3

Restricoes (condicoes devido aos recursos escassos)

0, 4.x1 +0, 3.x2 +0, 3.x3 ≤ 704 (corte)

0, 8.x1 +0, 4.x2 +0, 6.x3 ≤ 1.232 (preparacao)

0, 25.x1 +0, 4.x2 +0, 4.x3 ≤ 704 (montagem)

0, 2.x1 +0, 2.x2 +0, 2.x3 ≤ 528 (pintura)

0, 06.x1 +0, 1.x2 +0, 05.x3 ≤ 352 (embalagem)

3.x1 +4, 5.x2 +6.x3 ≤ 10.000 (madeira)

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

Primeiro Tableau

1 0.350 0.400 0.300 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 704.000

2 0.450 0.300 0.400 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1232.000

3 0.350 0.350 0.400 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 704.000

4 0.350 0.450 0.200 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 528.000

5 0.070 0.110 0.040 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 352.000

6 3.000 4.500 6.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 10000.000

Z -19.000 -20.000 -23.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

Ultimo Tableau

1 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 -0.500 -0.500 0.000 -0.000 88.000

2 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 -2.308 0.385 0.000 0.074 554.051

3 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 9.231 -1.539 0.000 -0.564 45.129

4 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 -7.692 4.615 0.000 0.359 611.282

5 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.154 -0.292 1.000 -0.007 234.174

6 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 1.154 -2.692 0.000 0.179 1185.641

Z 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 48.077 1.154 0.000 0.590 40352.820


5 Solver

5.1 Introducao

O Solver e um modulo do Excel que permite-nos de uma forma muito simples e rapidaobter solucoes para problemas de programacao linear.

5.2 Exemplo

Como exemplo, vamos resolver o exercıcio envolvendo a companhia ALT-M que produzmoveis de escritorio que, por questoes de marketing, agrupou em tres conjuntos basicoscujos modelos sao: ALFA, BETA E GAMA. Exercıcio resolvido e analisado em sala.

Em geral o modulo Solver nao esta disponıvel no arranque do Excel. Devemos ativa-lono menu Ferramentas - Suplementos. Para rodar o modulo Solver selecione a funcaoSolver no menu Ferramentas.

Organize as informacoes pertinentes da melhor forma possıvel em uma planilha.(Exemplo: ultima folha).

• reserve uma celula para a formula do calculo de Z (E17)(=B18*B5+C18*C5+D18*D5)

• calcule os recursos escassos consumidos (coluna E linhas 9 a 14)(E9 ⇐ =B9*B5+C9*C5+D9*D5)(E10 ⇐ =B10*B5+C10*C5+D10*D5)(E11 ⇐ =B11*B5+C11*C5+D11*D5)(E12 ⇐ =B12*B5+C12*C5+D12*D5)(E13 ⇐ =B13*B5+C13*C5+D13*D5)(E14 ⇐ =B14*B5+C14*C5+D14*D5)

• rode o Solver

• no parametro Definir celula destino (conforme figura acima) coloque a celula reser-vada para o Z ($E$18).


• no parametro Celulas variaveis coloque as celulas das variaveis de decisao ($B$5:$D$5)

• no parametro Submeter as restricoes coloque as restricoes usando Adicionar.

• no parametro Opcoes marque conforme Figura abaixo.

• aplique Resolver

• aplique Continuar ate

• marque Resposta, Sensibilidade, Limites e OK.


6 Pert - Redes de Precedencia

6.1 Definicoes

• Redes de Precedencia:

– atividades do projeto

– sequencia temporal

– obedecer restricoes

• Redes de Precedencia: Uma vez definidas as atividades do projeto e suas respectivasduracoes deve-se empreender a montagem destas atividades em um sequencia temporal,de maneira racional, exequıvel e efeciente, de forma a dispo-las na melhor ordem parao projeto. Esta montagem deve obedecer a restricoes de precedencia, conflitos derecursos, fluxos de recursos e janelas de oportunidades. Existem diversas tecnicas paraelaboracao destas redes como PERT, P-PERT, PERT-Custo, GERT, CPM, PDM eCorrente Crıtica.

• CPM - Critical Path Method.

• PERT - Program Evaluation and Review Technique.

6.2 Redes

• Atividade = tarefa que consome tempo

• Evento = termino de uma ou mais atividades

&%

'$

&%

'$

1 2A

4 h

-

evento eventoatividade

? ? ?

tempo

6

6.3 Exemplos

a) Provao 1999


b) Provao 2000

6.4 Formacao de Redes

Exemplo 1:


Atividades Duracao da

Atividade antecessoras tarefa -

imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C B 2

D C 2


Exemplo 2:



imediatas (Dias)

A -.- 3

B -.- 2

C A e B 2

Exemplo 3:



imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C A 2

D B 2

E C 1

F D e E 2

Exemplo 4:



imediatas (Dias)

A -.- 3

B A 2

C A 2

D B 2

E B 1

F D 2

G E 2

H C 2

I H e G 2

J I e F 2


7 Otimimizacao Nao-Linear

7.1 Funcao de uma variavel

a) Derivada primeira da Funcao Objetiva (Z’)

b) Pontos Extremos: raızes da primeira derivada (Z’=0) (x1, x2, ...)

c) Derivada Segunda da Funcao Objetiva (Z”)

d) Teste das raızes da Derivada Primeira na Derivada Segunda.

(a) Z ′′(x1) > 0 ⇒ a funcao passa por um mınimo em x1

(b) Z ′′(x1) < 0 ⇒ a funcao passa por um maximo em x1

e) Testa os pontos extremos das restricoes

f) Verifica a Funcao Objetiva nos extremos das restricoes

7.2 Exercıcios

a) Exemplo 1Max. Z = 32x− 2x2

Sujeito A: x ≥ 2x ≤ 10

(a) Z ′ = 32− 4x

(b) Z ′ = 0; 32− 4x = 0; x = 8

(c) Z ′′ = −4

(d) Z ′′(8) = −4 < 0A funcao passa por um maximo em x=8 (Z=128)

(e) 8 ≥ 2 ok8 ≤ 10 ok

(f) Z(2) = 56Z(10) = 120

Resposta: Ponto otimo : x=8Z maximo = 128

b) Exemplo 2Min. Z = x2 − 8xSujeito A: x ≥ 0

x ≤ 3

c) Exemplo 3Min. Z = 1

3x3 − 3x2 + 5x + 3

Sujeito A: x ≥ 0x ≤ 4

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