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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Carlos Alberto de Miranda Pinheiro ANÁLISE COMBINATÓRIA: organizações matemáticas e didáticas nos livros escolares brasileiros no período entre 1895-2009 DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SÃO PAULO 2015
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Carlos Alberto de Miranda Pinheiro
ANÁLISE COMBINATÓRIA: organizações matemáticas e
didáticas nos livros escolares brasileiros no período
entre 1895-2009
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2015
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Carlos Alberto de Miranda Pinheiro
ANÁLISE COMBINATÓRIA: organizações matemáticas e
didáticas dos livros escolares brasileiros no período
entre 1895-2009
Teseapresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência
parcial para obtenção do título de DOUTOR EMEDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho
SÃO PAULO
2015
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________
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__________________________________________________
__________________________________________________
_____________________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _________________________ Local e data: ____________________
Agradecimentos
Aos meus pais João e Adélia, pela educação familiar que me proporcionaram.
Àminha esposa Mônica e minhas filhas Viviane e Karla pelo amor, apoio e compreensão durante essa caminhada.
À minha ilustre orientadora, professora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho pela orientação firme e segura, mas também pela amizade, paciência e entusiasmo que proporcionaram a conquista de mais uma realização de vida.
Ao meu mestre e amigo professor Pedro Franco de Sá por ter sempre acreditado no meu trabalho desde a especialização e depois orientando o mestrado
À minha amiga, professora Rose Jucá, pelo seu apoio nos momentos de tristeza e alegria dessa caminhada.
Aos professores, Maria Jose Ferreira da Silva, Fumikazu Saito e Rute Elisabete de Souza RosaBorbapelas sábias orientações apresentadas durante o processo de qualificação.
Ao professor Saddo Ag Almouloud pela força e companheirismo dado ao longo dessa jornada
A todos os professores, do programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da PUC-SP pelo incentivo e apoio oferecido de diversas maneiras.
À secretaria de Educação do Estado do Pará por ter acreditado nesse projeto.
À Universidade do Estado do Pará por nos proporcionar a oportunidade dessa formação.
Aos Meus amigos Gilberto Vogado, Antônio Sérgio, Antônio José, Rubens Vilhena, Walmir Mota por dividirem comigo os custos de manutenção em São Paulo e as angustia que passamos com essa jornada.
Ao Meu amigo professor AmariGoulart pelo apoio fornecido em São Paulo.
Ao meu amigo Carlos Campelo pelos momentos difíceis da formatação do texto do trabalho
RESUMO
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma pesquisa que se propôs a
investigar os saberes da Análise Combinatória estudada nas escolas brasileiras,
no período entre 1895 e 2009. Esta pesquisa articula-se no interior do projeto
“Educação Estatística e Educação Financeira na Escola Básica”, vinculado ao
grupo de pesquisa PEA-MAT. Analisamos alguns aspectos didáticos e
matemáticos presentes em sete livros didáticos que circularam nas escolas
brasileiras, no período em questão, realizando um estudo bibliográfico e
documental fundamentado em pressupostos da análise de conteúdo. Buscamos
responder à seguinte questão de investigação: que características de inserção
dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos podem ser identificadas
no período 1895-2009? A primeira fase da análise de conteúdo consistiu em
reunir e estudar textos que nos informassem quais livros escolares apresentavam
os saberes da Análise Combinatória e alguns aspectos do momento histórico
desses livros, desde a fundação do Colégio Pedro II. Com isso, identificamos que
o programa de 1895 foi o que teve a maior inserção de livros didáticos e de novos
conteúdos escolares, antes das principais reformas educacionais ocorridas nas
primeiras décadas do século XX. Também procuramos identificar no site do
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD-Ensino Médio) o livro de Matemática
mais utilizado nas escolas de Belém do Pará, na primeira fase de implantação
desse programa, 2004-2009. A segunda fase da análise de conteúdo foi a
exploração do material. Nesta fase foi realizada uma análise à luz da Teoria
Antropológica do Didático, especificamente sobre as organizações praxeológica
tanto matemáticas como didáticas, juntamente com a noção de modelos didáticos,
proposta por JosepGáscon. Entre os resultados observados, destacamos que,
enquanto nos primeiros livros o enfoque era apenas a apresentação da dedução
das fórmulas, ao longo do tempo foi inserida a tarefa de calcular os valores a
partir dessas fórmulas, passando, assim, de uma abordagem puramente teoricista
para uma abordagem tecnicista ou clássica. Observa-se, também, uma mudança
nas técnicas para calcular o Arranjo e a Permutação no livro produzido à luz das
ideias do Movimento de Matemática Moderna e no livro mais recente, aprovado
no PNLD-Ensino Médio. As tarefas e as técnicas, relativas ao cálculo do número
de combinações simples, não sofreram transformações, ao longo do tempo. Ou
seja, a organização praxeológica identificada no bloco
tarefa/técnica/tecnologia/teoria passou de uma abordagem teoricista para uma
abordagem tecnicista ou clássica ao longo de todo o período estudado.
Palavras-chave: Análise Combinatória, Livros didáticos, Teoria Antropológica do
Didático.
ABSTRACT
This paper presents the development of a research, which proposed to investigate
the knowledge of Combinatorial Analysis studied in the Brazilian schools during
1895 and 2009. This research articulates inside a project called “Educação
Estatística e Educação Financeira na Escola Básica” (Statistical Education and
Financial Education in Basic School), linked to the research group PEA-MAT. We
analysed some didactic aspects and mathematicians present in seven textbooks
used in Brazilian schools during that time, we also had a bibliographical and
documental study in presuppositions of content analysis. We wanted to answer the
following investigation question:what characteristics of knowledge insertion of
Combinatorial Analysis are identified in textbooks during 1895 and 2009? The first
phase of content analysis consisted in collecting and studying texts that would
inform us what textbooks presented the knowledge of Combinatorial Analysis and
some aspects of historical moments of these books, since the foundation of the
Pedro II School. With this, we identified that the program of 1895 was the one with
more insertion of textbooks and new school contents, before the main educational
reforms occurred in the first decades of the XX century. We also tried to identify on
the website of the Programa Nacional do Livro Didático (PNLD-Ensino Médio)
(National Program of Textbooks-High School) the Mathematic book more used in
Belémdo Pará schools, in the first phase of the program, 2004-2009. The second
phase of content analysis was the material exploration. In this phase we analysed
based on the Anthropological Theory of Didactic, specifically about the
praxeological organizations not only mathematical but also didactic, together with
the notion of didactic models proposed by Josep Gáscon. Among the results
observed, we highlight that while in the first books the focus was only on
presentation of formulas deduction, some years later, the task of calculating the
values from those formulas was introduced, modifying the approach from
theoretical to technical or classic. We can also observe the change in the
techniques to calculate the Arrange and the Permutation in the book produced
based on the Movement of Modern Mathematics and in a more recent book,
approved by the PNLD-Ensino Médio. The tasks and the techniques related to the
calculation of numbers of simple combinations will not undergo transformations as
time goes by. That is, the praxeological organization identified in the block
task/technique/technology/theory changed from a theoretical to a technical
approach during the whole period studied.
Keywords: Combinatorial Analysis, Textbooks, Anthropological Theory of
Didactic.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de Item referente ao descritor 32 do SAEB. ........................................... 20
Figura 2: Questão 29 da prova PRISE - Subprograma XIV .................................................. 21
Figura 3: Questão 31 da prova PRISE - Subprograma XV ................................................... 22
Figura 4: Solução do problema da roleta ................................................................................ 23
Figura 5: Sistema de Referência das organizações didáticas. ............................................. 56
Figura 6: Sumário do livro Eléments d`Algébrede. ........................................................................ 66
Figura 7: Representação do número de Permutações com 2 letras. .............................................. 68
Figura 8: Cálculo do número de Permutações com n letras........................................................... 69
Figura 9: Cálculo do número de Permutações com n letras........................................................... 71
Figura 10: Capítulo I: Binomio de Newton, livro Álgebra Elementar. ............................................. 73
Figura 11: Introdução do capítulo I do livro Tratado de Álgebra Elementar. .................................. 74
Figura 12: Fórmulas do Arranjo e da Combinação com Fatorial. ................................................... 76
Figura 13:Contra capa do livro Curso de Matemática. .................................................................. 80
Figura 14:Noção de Agrupamento. ............................................................................................... 81
Figura 15: Fórmula para o cálculo do número de Arranjos com repetição..................................... 82
Figura 16: Permutação com elementos repetidos......................................................................... 83
Figura 17: Capa do livro Matemática para os ................................................................................ 87
Figura 18: Extensão da regra da Adição. ....................................................................................... 89
Figura 19: Relação da Inclusão-exclusão. ...................................................................................... 90
Figura 20: Regra do Produto......................................................................................................... 91
Figura 21: Árvore de Possibilidade. .............................................................................................. 92
Figura 22: Árvore de possibilidades relativa ao problema. ............................................................ 94
Figura 23: Fórmula da Combinação Simples. .............................................................................. 100
Figura 24: Situação-problema da introdução .............................................................................. 107
Figura 25: Solução da situação-problema para introduzir o P.F.C ................................................ 109
Figura 26: Resolução da primeira situação-problema utilizada para introduzir a noção de
Permutação simples. .................................................................................................................. 111
Figura 27: Resolução da segunda situação-problema utilizada para introduzir a noção de
Permutação simples. .................................................................................................................. 112
Figura 28: Institucionalização da Permutação simples ................................................................ 113
Figura 29: Apresentação do fatorial no livro ............................................................................... 113
Figura 30: Figura 30: Noção de arranjo simples apresentada. ..................................................... 115
Figura 31: Cálculo do número de Arranjos de n elementos p a p. ............................................... 116
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Apresentação das obras do período ente 1895-1980 e critérios de seleção. .. 29
Quadro 2: Título da obra, autor, ano e codificação para análise. ................................................ 120
Quadro 3: Caracterização da finalidade dos saberes identificada nos livros analisados. .............. 121
Quadro 4: Caracterização dos saberes identificado nos livros analisados. ................................... 123
Quadro 5: Caracterização da forma como os saberes são apresentados nos livros analisados. ... 126
Quadro 6: Caracterização dos exercícios resolvidos dos livros analisados. .................................. 128
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Número de exercícios resolvidos e propostos .................................................... 107
SUMÁRIO
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................................................... 15
1.1. Problemática ................................................................................................................ 18
1.2. Questões de Pesquisa ................................................................................................... 26
1.3. Objetivos ...................................................................................................................... 26
1.4. Metodologia e Procedimentos ...................................................................................... 26
1.5. Descrição da estrutura do trabalho ............................................................................... 31
2. REVISÃO DA LITERATURA ..................................................................................................... 32
2.1. Estudos que investigaram dificuldades enfrentadas e estratégias desenvolvidas
por alunos na resolução de problemas de contagem ........................................................ 32
2.2. Estudos que utilizaram metodologias para ensinar Análise Combinatória nas
escolas ................................................................................................................................... 38
2.3. Estudos envolvendo relação dos professores com os saberes da Análise
Cominatória ............................................................................................................................ 48
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................................ 50
3.1. O enfoque antropológico .............................................................................................. 50
3.2. Modelos Didáticos de Josep Gascón ....................................................................... 56
4. ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS E ASPECTOS HISTÓRICOS DOS LIVROS DIDÁTICOS NO PERIODO
ENTRE 1985 ATÉ 2009 .................................................................................................................. 62
4.1. Aspectos históricos e Livros didáticos que antecederam os anos 1900............... 62
4.2. Análise de livros entre 1900 e 1960 .............................................................................. 72
4.3. Análise de livro entre 1960 e 1980 ................................................................................ 89
4.4. Análise de livro entre 1980 e 2009. ........................................................................ 103
4.5. Aspectos gerais da análise realizada nos livros didáticos ............................................. 120
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS .............................................................................. 131
REFERÊNCIAS. ............................................................................................................................ 135
ANEXO A .................................................................................................................................... 141
ANEXO B .................................................................................................................................... 143
15
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O surgimento da Análise Combinatória é marcado por uma fantástica
invenção humana, o ato de contar. Muitas foram às formas de contar
desenvolvidas por várias civilizações para solucionar problemas cotidianos. Uma
dessas formas de contar é designada de método por agrupamento. Katz (2010)
descreve que a primeira ocorrência da existência do referido método foi em
Ishango, no Zaire, num osso fossilizado com data aproximada em 20 000 antes
da era cristã (a.C.). O método consistia na utilização de uma barra (/) para
representar o número 1; sendo usadas repetições apropriadas para representar
números maiores. De acordo com Katz (2010) não há clareza em relação ao que
as marcas no osso representavam. Contudo, elas podem representar uma
contagem de certos períodos da lua.
A falta de clareza e as continuas suposições realizadas por alguns
historiadores da Matemática para justificar certos registros deixados por
civilizações antigas são contestadas por pesquisadores que seguem uma visão
crítica da história da Matemática. Um exemplo disso pode ser observado em
Roque (2012), quando a autora procura desconstruir um mito em relação à
história dos números:
Normalmente, associa-se a história dos números à necessidade de contagem, relacionada a problemas de subsistência, e o exemplo mais frequente é o de pastores de ovelhas que teriam sentido a necessidade de controlar o rebanho por meio da associação de cada animal a uma pedra. Em seguida, em vez de pedras, teria se tornado mais prático associar marcas escritas na argila, e essas marcas estariam na origem dos números. Usamos aqui o futuro do pretérito – “teria”, “estariam” – para indicar que essa versão não é comprovada. As fontes para o estudo das civilizações antigas são escassas e fragmentadas (ROQUE, 2012, p.35).
A autora ressalta que a história dos números deve ser analisada a partir
do surgimento da escrita, mas enfatiza que as primeiras formas de escritas
decorreram da necessidade de registrar quantidades, não apenas de rebanhos,
mas também de insumos relacionados à sobrevivência e, sobretudo, à
organização da sociedade. Não estamos preocupados com a história dos
números, mas apresentamos a discussão acima para esclarecer que estudiosos
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como Victor J. Katz- que segue uma tendência factual da história - e como
Tatiane Roque - que segue uma tendência crítica da história - enfatizam uma
prática humana que atravessou séculos e continua fortemente presente nos dias
atuais: a necessidade de quantificar as coisas. Diante disso, as civilizações
tiveram que criar um procedimento para ser utilizado antes do ato de registrar as
quantidades, denominado Contagem.
A Contagem é uma prática cultural desenvolvida a partir de técnicas
criadas pelo homem para quantificar objetos. Com o intercâmbio cultural, que
existiu entre as civilizações do oriente médio e, também, com os povos europeus,
a prática da Contagem foi elevada por meio do estudo de técnicas de Contagens
a um nível mais teórico e, com isso, surgiu um novo termo para o ato de contar
objetos, por meio do estudo de técnicas de Contagens: Análise Combinatória ou
simplesmente Combinatória.
Como descreve Djebbar (2013):
Se considerarmos a Combinatória em seu sentido geral, ou seja, todas as manipulações e estudos de configurações, sua presença é inegável em diferentes áreas da atividade intelectual árabe medieval e ela ocorre relativamente cedo. Como em outras tradições científicas, anteriores aquela dos países islâmicos, a combinatória vem em primeiro lugar em disciplinas não matemáticas, no sentido moderno do termo: astrologia, lexicografia, música, química e filosofia. Então, com a revitalização de áreas tradicionais (geometria, teoria dos números, astronomia) e no desenvolvimento de novas disciplinas (álgebra, cálculo, trigonometria dos indianos), aparecem outras preocupações Combinatória, relacionadas com estudos de questões teóricas. (DJEBBAR, 2013, p.83. Tradução nossa).
Nos dias atuais, podemos considerar que a Análise Combinatória é o
ramo da Matemática que tem como objeto de estudo as estruturas discretas, as
suas propriedades e relações internas. Para Cerioli e Viana (2010, p.12) uma
estrutura é discreta se todos os conjuntos, operações e relações são finitos ou
podem ser dados como uma lista infinita de elementos. Os autores explicam que
os principais problemas estudados na Análise Combinatória são:
Problema de existência: existe alguma configuração satisfazendo a uma
dada especificação? A resposta para esse problema pode ser sim ou não. Em
certos casos, podemos também exigir que ao menos uma configuração seja
exibida, quando a resposta é afirmativa. Problema de Contagem: quantas
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configurações existem, satisfazendo a uma dada especificação? A resposta para
este problema pode ser exata ou aproximada. No primeiro caso, a resposta é o
número de configurações; no segundo, a resposta pode ser um par de
expressões fornecendo limites inferiores e superiores para o número de
configurações. Problema de enumeração: listar todas as configurações, que
corresponde a uma dada especificação. A resposta para este problema pode ser
uma lista, contendo todas as configurações, dadas em uma certa ordem; ou
quando isto é impraticável, um método que, quando aplicado, nos permite obter
as configurações em dada ordem(CERIOLI e VIANA, 2010,p.14).
A Análise Combinatória que abordaremos neste estudo tratará
especificamente dos Problemas de Contagem, pois são os tipos de problemas
que observamos nos livros escolares brasileiros. Diante disso, admitimos que tais
classes de problemas sejam importantes na formação dos estudantes, porque
mobilizam a capacidade do indivíduo de analisar, de interpretar e de avaliar
diferentes situações ou contextos, que envolvem ideias da Combinatória. Isto, em
muitos casos, ocorre por meio de habilidades matemáticas básicas mobilizadas
na resolução de problemas ou situações que necessitam do raciocínio
combinatório para sua solução. No que se refere ao raciocínio combinatório,
Borba (2010) dispõe:
Um modo de pensar presente na análise de situações nas quais,
dados determinados conjuntos, deve-se agrupar os elementos dos
mesmos, e modo a atender critérios específicos (de escolha e/ou
ordenação dos elementos) e determinar-se – direta ou
indiretamente – o número total de agrupamentos possíveis. Este
modo de pensar é útil no cotidiano – por estar presente em
situações variadas como organizações de equipes, de
campeonatos esportivos, de cardápios etc. – bem como é aplicado
em variadas áreas do conhecimento – tais como Biologia,
Química, Estatística, Ciências da Computação dentre outras – em
situações classificatórias, por exemplo. (BORBA, 2010, p.3).
A autora ressalta, ainda, que o desenvolvimento do raciocínio
combinatório é de extrema relevância e deve ser alvo do ensino formal na
Educação Básica. Nessa direção, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1999) ressaltam que no mundo real o indivíduo necessita de habilidades
aplicadas às noções de Probabilidade e Combinatória para analisar dados,
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realizar inferências e desenvolver soluções com base em certas amostras de
algumas populações. Essas concepções estão no cerne do crescimento dos
fenômenos naturais e do cotidiano que se tornam cada vez mais complexo; em
alguns casos, pela dependência do homem em face das novas tecnologias da
informação e da comunicação. Contudo, nossas experiências registraram, ao
longo dos anos em que ministramos aulas para alunos do Ensino Médio, em
escolas públicas e particulares, que ensinar e aprender Análise Combinatória são
duas situações altamente complexas no contexto escolar.
1.1. Problemática
Diversos estudos têm sido realizados sobre o processo de ensino e
aprendizagem da Análise Combinatória. Entre estes, identificamos três categorias
de estudos:
Estudos que investigaram estratégia e dificuldades na aprendizagem
dos saberes da Análise Combinatória, entre os quais citamos: Esteves
(2001); Correia e Fernandes (2007); Fernandes, Silva e Soares (2004),
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996); Pacheco (2001); Duro (2012),
Pessoa (2009);
Estudos que utilizaram sequências de ensino envolvendo os saberes
da Análise Combinatória, como os realizados por:Sturm (1999); Rocha
(2002); Dornelas (2004); Pinheiro (2008);
Estudos envolvendo professores e os saberes da Análise
Combinatória, entre os quais: Sabo (2010) e Rocha (2011).
Estes estudos, de forma geral, têm evidenciado as dificuldades ora do
sujeito que aprende (aluno), ou ora do sujeito que ensina (professor). Mas,
também, podemos considerar que alguns avanços para minimizar tais
dificuldades são apontados pelos mesmos estudos.
As dificuldades no processo de ensino e de aprendizagem da Análise
Combinatória, apontada naqueles estudos, destacam que em alguns casos:
Os alunos não conseguem interpretar corretamente um problema de
contagem;
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Os alunos confundem problemas de combinação com problemas de
arranjos;
Os alunos desconhecem o uso da árvore de possibilidade como
técnica para resolver determinados problemas;
Os alunos não conseguem resolver problemas de contagem com
mais de uma operação combinatória;
Os alunos realizam operações aritméticas erradas utilizando as
informações numéricas descritas no texto do problema;
Os professores se apresentam com muita fragilidade em relação ao
domínio dos saberes do conteúdo da Análise Combinatória.
Os avanços identificados para diminuição das dificuldades, apontada
naqueles estudos, destacam que em alguns casos:
O uso do Princípio Multiplicativo da contagem potencializa o
desenvolvimento da noção de Arranjo simples, Arranjo com
repetição e Permutação simples, evitando a memorização de
fórmulas;
A técnica de listagem direta para contar agrupamentos simples tem
se apresentado como uma importante ferramenta para o
desenvolvimento do raciocínio combinatório dos alunos;
Os professores quando inseridos em curso de formação que os
colocam diante das discussões acerca dos problemas relacionados
com o ensino e aprendizagem da Análise Combinatória têm
apresentado propostas significativas de mudança em relação às
suas práticas docentes.
No que tange às questões de algumas avaliações em âmbito regional,
Belém do Pará, e nacional, o quadro que apresenta o desempenho dos alunos em
face dos problemas de contagem revela dados mais preocupantes. Como
podemos observar nos exemplos a seguir.
OSistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB (BRASIL, 2011),
que procura avaliar o nível de competências e de habilidades, esperadas em um
20
determinado conteúdo de matemática, dos estudantes brasileiros concluintes do
Ensino Médio, apresenta o exemplo que consta na Figura 1, relativo a
determinado item do descritor D32 1 , que exigia dos sujeitos participantes da
avaliação a habilidade de resolver problemas envolvendo a extensão do princípio
multiplicativo da contagem. E, segundo o documento oficial, somente 17% dos
estudantes que realizaram a avaliação acertaram o problema.
Figura 1: Exemplo de Item referente ao descritor 32 do SAEB.
Fonte: BRASIL. PDE/ Prova Brasil, (2011)
Outra referência para nossas discussões está nas informações
concedidas pelo Departamento de Acesso e Avaliações da UEPA (cf.ANEXO). A
segunda etapa do Programa de Ingresso Seriado (PRISE)2 contém sempre um
problema envolvendo Análise Combinatória. Na Figura 2, apresentamos o
problema, que consta no boletim de questões do concurso de 2012, Subprograma
XIV, no qual participaram da prova 13.131 candidatos.
1 .Descritor 32 – Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de
permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples. Com itens associados a esse descritor, pode-se avaliar a habilidade de o aluno resolver um problema de contagem usando ou o princípio multiplicativo ou a aplicação de fórmulas na resolução de uma situação-problema contextualizada. O raciocínio combinatório é uma das ideias da multiplicação, trabalhada desde as séries/anos iniciais, e que se revela importante na continuidade dos estudos e nos cálculos probabilísticos. (BRASIL. PDE/ Prova Brasil, 2011, p.123). 2 .Os candidatos inscritos no PRISE concorrem a 50% das vagas de cada curso oferecido pela
UEPA. Esta modalidade de ingresso ocorre em três etapas. A cada ciclo dessas etapas denomina-subprograma. Em cada etapa o candidato é submetido a uma prova com 60 questões objetivas, envolvendo as disciplinas estudadas em cada série do Ensino Médio. A Matemática está presente nas três etapas, com 7 questões nas duas primeiras etapas e 5 na terceira etapa. A Análise Combinatória consta entre os conteúdos de Matemática da segunda etapa. O objetivo principal do PRISE é minimizar o impacto da passagem de Ensino Médio para o Ensino Superior, apoiando-se na integração dos dois níveis de Ensino; ampliando, assim, o processo seletivo dos candidatos discentes da UEPA.
21
Figura 2: Questão 29 da prova PRISE - Subprograma XIV
Um profissional de design de interior precisa planejar as cores
que serão utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui
seis cores diferentes de tinta. O número de maneiras diferentes que
esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, sabendo-se
que somente utilizará uma cor em cada parede é:
a) 24 b) 30 c) 120 d) 360 e) 400
Fonte: Departamento de Acesso e Avaliação – UEPA (2014)
Somente 38,10% dos participantes assinalaram a alternativa correta (d);
37,11% assinalaram a alternativa (a); 12,44% assinalaram a alternativa (b); 11,4
% assinalaram a letra (c); e os demais participantes assinalaram a alternativa (e)
ou deixaram em Branco. Os candidatos que assinalaram a alternativa (a)
possivelmente efetuaram o produto entre o número de cores e o número de
quartos (6x4). Este é um tipo de erro que aparece com certa frequência na
literatura acadêmica e que foi revelado nos resultados da questão 29 da prova do
PRISE, por aproximadamente 4.873 candidatos.
A segunda fase, do processo seletivo do PRISE 2013, subprograma XV,
teve a participação de 14.968 candidatos. Desses, 16% assinalaram a alternativa
correta (e); 16,64% assinalaram a alternativa (a); 35,54% assinalaram a
alternativa (b); a alternativa (c) foi assinalada por 16,4%; a alternativa (d) foi
assinalada por 15,3%; e 0,05% assinalou em branco ou em várias alternativas. Na
Figura 3, apresentamos o problema de contagem presente na prova da referida
fase do PRISE 2013.
22
Figura 3: Questão 31 da prova PRISE - Subprograma XV
Segundo a revista VEJA (11/01/2012), cinco habilidades
fundamentais compõem a nova teoria da inteligência social:
Comunicação; Empatia; Assertividade; Feedback e Auto
apresentação. Dentre as habilidades que compõem a nova teoria da
inteligência social, o número de possibilidades distintas em que o
setor de Recursos Humanos de uma empresa pode eleger três
dessas habilidades é:
a) 120 b) 60 c) 30 d) 20 e)10
Fonte: Departamento de Acesso e Avaliação – UEPA (2014)
Os candidatos que assinalaram a alternativa (b) possivelmente utilizaram
a noção de arranjos simples ou utilizaram a noção do princípio multiplicativo da
contagem (5x4x3), mas o problema trata da noção de combinação simples. Este é
um tipo de erro que aparece, também, com certa frequência na literatura
acadêmica e que foi revelado nos resultados da questão 31 da prova do PRISE,
por aproximadamente 5.318 candidatos.
Além das dificuldades apontadas nos estudos correlatos, também em
nossa prática docente, ministrando aulas de Análise Combinatória para curso de
Licenciatura em Matemática, da Universidade do Estado do Pará (UEPA),
observamos que comumente os alunos apresentam dificuldades para resolver
problemas de contagem envolvendo agrupamentos que não podem ser contados,
por meio de soluções consistentes. Estas são justificadas pelo uso do princípio
multiplicativo da contagem, ou do arranjo, ou da permutação, ou da combinação.
O motivo que explica essa questão é que existem problemas envolvendo
agrupamentos simples que apresentam soluções mais consistentes quando são
resolvidos por intermédio da árvore de possibilidade ou por outros princípios da
Análise Combinatória. Como, por exemplo, o problema a seguir, encontrado em
Magalhães e Oliveira (2004):
Um jogador pode fazer cinco jogadas sucessivas na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde 1euro e só para de jogar quando perde todo o dinheiro ou quando ganha 3 euros. De quantas maneiras diferentes pode o jogo decorrer, supondo que o jogador tem 1euro quando iniciou o jogo? Magalhães e Oliveira (2004, p.97).
23
Os autores apresentam uma árvore de possibilidades (Figura 4), como
estratégia na solução do problema para justificar as 11 maneiras diferentes que o
jogo pode ocorrer. Nesse caso não é possível utilizar o princípio multiplicativo da
contagem, pois a árvore de possibilidades não apresenta “regularidades” em seus
ramos.
Figura 4: Solução do problema da roleta
Fonte: Magalhães e Oliveira (2004).
O nosso primeiro estudo relativo à Análise Combinatória (PINHEIRO e
ROSA, 2006) procurou analisar as dificuldades que os alunos3 enfrentam quando
são submetidos à solução de um grupo de problemas de contagem. Os resultados
principais destacaram que 12% dos sujeitos acertaram todos os problemas;
28,3% erraram os problemas e os demais alunos não conseguiram resolver
nenhum problema. Os problemas envolvendo combinações simples foram os que
apresentaram maior índice de erros; em alguns casos, os sujeitos utilizavam a
fórmula para calcular o número de arranjos simples como estratégia para solução
de problemas envolvendo combinações simples, semelhante aos estudos citados
anteriormente; e, também, houve situações em que os sujeitos somavam ou
multiplicavam as informações numéricas dos problemas, incorrendo no uso
inadequado de fórmulas.
A partir desses resultados, focamos a questão da culpabilidade do ensino.
A forma como os saberes da Análise Combinatória eram ensinados passou a ser,
no nosso entendimento, o problema que precisava ser investigado. Diante disso,
realizamos uma consulta com vinte professores de matemática, procurando
identificar a forma como eles ensinavam Análise Combinatória (PINHEIRO e SÁ,
3 . Pesquisa que contou com a colaboração de 482 alunos concluintes do Ensino Médio de três
escolas particulares da região metropolita do Pará.
24
2007). O estudo nos revelou que a prática pedagógica predominante na maioria
dos professores investigados consistia em apresentar a definição e, em seguida,
os exemplos e os exercícios4; as aulas eram elaboradas seguindo o livro didático;
os docentes consideravam que os alunos apresentavam muitas dificuldades em
responder os problemas de contagem que são resolvidos por mais de uma
operação combinatória, em diferenciar os problemas que envolvem arranjos dos
problemas que envolvem combinações.
A nossa interpretação dos resultados obtidos por Pinheiro e Rosa (2006)
por Pinheiro e Sá (2007) nos fez acreditar que a causa das dificuldades dos
alunos estava concentrada na forma como os professores ensinavam os saberes
da Análise Combinatória.
Diante disso, realizamos uma investigação (PINHEIRO, 2008) que
procurou verificar se uma sequência de ensino, desenvolvida por meio da
resolução de problemas como um ponto de partida5, proporcionava condições
favoráveis à institucionalização das noções do princípio multiplicativo, arranjos
simples, Permutações simples e Combinações simples. Entre os resultados,
destacamos que a metodologia de ensino mobilizou a participação dos sujeitos e
mostrou-se como um caminho favorável às institucionalizações 6 dos objetos
matemáticos em questão. O uso do Princípio multiplicativo para justificar as
noções de Permutação simples e Arranjo simples mostrou-se como uma técnica
eficaz, mas algumas das dificuldades de aprendizagem identificadas nas
pesquisas citadas anteriormente foram reveladas, também, no estudo. A principal
delas consiste no uso da fórmula do Arranjo simples para resolver os problemas
de Combinação simples.
Com os resultados de Pinheiro (2008), observamos que uma abordagem
metodológica de ensino que se diferencie da Clássica, principalmente quando a
resolução de problemas não fica em segundo plano na proposta, produz melhores
4.ParaGáscon(2003), esta forma de ensinar é denominada de organizações didáticas Clássicas. 5 . Mendonça (1993), citada por Sá (2005), descreve que na resolução de problema como um
ponto de partida os problemas são usados como recursos pedagógicos para iniciar o processo de construção de um dado conhecimento específico. 6 . Chevallard, Bosch e Gascón(2001) explicam que a institucionalização é o momento didático, no
qual o professor, percebendo certas condições, apresenta o conceito matemático do objeto estudado.
25
condições de ensino e aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória.
Contudo, observamos também que isso não representa a panaceia que evitará o
surgimento das dificuldades de aprendizagem dos saberes da Análise
Combinatória, descritas neste texto, principalmente aquelas que envolvem a
noção de Combinação Simples. Diante disso, questionamo-nos se os saberes da
Análise Combinatória, institucionalizados em nossas escolas e currículos oficiais,
nacionais e estaduais, não poderiam ser também os causadores das referidas
dificuldades.
Acreditamos que as situações descritas representam um extrato das
dificuldades que professores e alunos enfrentam, respectivamente, durante o
ensino e a aprendizagem dos saberes da Análise Combinatória. Nessa direção,
consideramos que o principal argumento de nossa investigação é quetais
dificuldades estão relacionadas com a forma como esses saberes vieram, ao
longo dos anos, sendo desenvolvidos no contexto escolar, ou seja, com as
poucas mudanças significativas em relação aos saberes a serem ensinados.
Diante disso, nossa Hipótese é que no conteúdo dos livros didáticos existe um
predomínio da memorização e utilização de fórmulas, em detrimento do
desenvolvimento do raciocínio combinatório. Nesta perspectiva, fixamo-nos em
analisar a problemática em discussão a partir da forma como esses saberes
foram e estão impostos nos livros escolares brasileiros. Pois, corroboramos com
Lima et al.(2001) quando nos diz que o livro didático é, na maioria dos casos, a
única fonte de referência com que conta o professor para organizar suas aulas,
aperfeiçoar seus conhecimentos e dosar a apresentação que fará em classe.
Sobre a forma como os conteúdos de Análise Combinatória são
abordados nos livros didáticos, Lima et al.(2001) constataram que os saberes da
Análise Combinatória, presentes em alguns livros 7 , apresentavam definições
confusas sobre o arranjo simples, a permutação simples e a combinação simples;
utilizavam linguagens obscuras e ambíguas para o conceito de permutação e
combinação; apresentavam a ideia de que os problemas de Análise combinatória
se reduzem a determinar o número de arranjos simples, combinações simples ou
7Os autores analisaram 12 coleções de livros didáticos de matemática, aprovadas pelo Ministério
da Educação. Os livros foram destinados para o uso nas três séries do Ensino Médio das escolas brasileiras.
26
permutações simples; apresentavam fórmulas sem demonstrações, além do que
apresentavam erros na solução de exercícios resolvidos e utilizavam linguagem
matemática inapropriada.
Por tudo isso, partindo do pressuposto que o ensino de Análise
Combinatória é fortemente influenciado pelos livros didáticos, e da escassez de
estudos que apontem os processos de transformação dos saberes da Análise
Combinatória nos livros didáticos, bem como articulando estas questões à nossa
prática profissional, surgiu a motivação para a realização desta pesquisa.
1.2. Questões de Pesquisa
Nesta pesquisa nos propomos a responder à questão: Que características
de inserção dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos podem ser
identificadas no período de 1895-2009?
1.3. Objetivos
Investigar as organizações matemáticas e didáticas da Análise
Combinatória, por meio de uma análise dos livros didáticos, utilizados nas escolas
brasileiras, no período entre 1895-2009.
Como objetivos específicos, destacamos:
Identificar no percurso histórico dos livros didáticos de matemática,
no período entre 1895-2009, os saberes da Análise Combinatória;
Analisar as organizações praxeológicas nos livros didáticos entre o
período de 1895-2009.
1.4. Metodologia e Procedimentos
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma pesquisa que se
propôs a investigar os saberes da Análise Combinatória, possivelmente
estudados nas escolas brasileiras, no período entre 1985 e 2009. Para isso,
optamos por analisar alguns aspectos didáticos e matemáticos desenvolvidos em
sete livros didáticos que circularam nas escolas brasileiras, no período em
questão, realizando um estudo bibliográfico e documental fundamentado, sob
alguns aspectos, na análise de conteúdo, como método de produção e de análise
dos dados. Segundo Gil (2011, p.50), a pesquisa bibliografia é desenvolvida a
27
partir de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos
científicos. O autor ressalta, ainda, que embora em quase todos os estudos seja
exigido algum tipo de trabalho de natureza bibliográfica, há pesquisa desenvolvida
exclusivamente a partir de fontes bibliográficas.
Como método de investigação, a análise de conteúdo compreende
procedimentos especiais para o processamento de dados científicos. Nessa
direção,Morais (1999) explica que a análise de conteúdo é uma ferramenta, um
guia prático para ação, sempre renovada em função dos problemas cada vez
mais diversificados que são propostas à investigação.
Bardin (2011, p.126) descreve que as diferentes fases da análise de
conteúdo organizam-se em torno de três polos cronológicos: (1) a pré-análise; (2)
a exploração do material e (3) o tratamento dos resultados, a inferência e a
interpretação.
A pré-análise é a fase de organização, na qual se busca escolher os
textos, formular as hipóteses e os objetivos e elaborar os indicadores ou
categorias para a interpretação final. Trata-se de atividades não estruturadas que
não seguem ordem cronológica. Nesta primeira etapa, Bardin (1995, p.125)
sugere uma leitura “flutuante” que visa a um primeiro contato com o texto. Neste,
retira-se as primeiras impressões e orientações.
A primeira fase consistiu em reunir e estudar textos que nos informassem
quais livros escolares apresentavam os saberes da Análise Combinatória e alguns
aspectos do momento histórico desses livros, desde a fundação do Colégio Pedro
II. É importante ressaltar que a opção por esta instituição se deu porque crermos
na sua importante influência nas primeiras reformas do ensino da Matemática no
contexto nacional.
Nesta direção, encontramos duas obras do Professor Doutor Wagner
Valente que nos deram informações sobre os livros escolares que circularam nas
escolas brasileiras no período entre 1730 até 1980. Na obra intitulada Uma
história da matemática escolar no Brasil, 1730-1930, Valente (2007) destaca a
participação dos livros didáticos no Colégio Pedro II, que, para o autor, era
28
considerado a instituição de referência para o ensino secundário brasileiro. A obra
intitulada “A Matemática do Colégio: livros didáticos para a história de uma
disciplina” 8 , Valente (2011) explica que a sua finalidade é apresentar aos
pesquisadores e interessados uma base de dados de livros didáticos destinados
ao curso colegial, desde a década de 1930 até finais do chamado Movimento da
Matemática Moderna (1980).Além dos textos de Valente(2007) e Valente (2011),
tivemos acesso ao texto “Os livros didáticos de matemática na escola secundária
brasileira no século XIX”,de Lorenz e Vechia (2004), e o texto “Euclides Roxo e a
Constituição da Educação Matemática do Brasil”, de Dassie (2008), que nos
ofereceram principalmente informações sobre os programas de ensino do colégio
Pedro II e, também, informações sobre os livros analisados na pesquisa.
Após um estudo realizado nos textos de Valente (2007), Valente(2011),
Lorenz e Vechia (2004) e Dassie (2008), executamos algumas etapas para que
pudéssemos alcançar o primeiro objetivo específico da investigação:
A primeira etapa consistiu em um levantamento que fizemos de
todos os livros didáticos descritos nas duas obras;
Na segunda etapa, passamos a visitar lojas de livros usados,
bibliotecas particulares, bibliotecas de escolas e bibliotecas de
Universidades para efeito de obtenção das obras levantadas na primeira
etapa. Devemos ressaltar que todos os livros utilizados na pesquisa foram
obtidos em lojas de livros usados;
A terceira etapa correspondeu ao critério de seleção das obras
utilizadas.
Para nós foi interessante analisarmos: (i) obras que apresentavam
influências estrangeiras ou que circularam, também, em escolas estrangeiras.
Nossa crença era a de que essas obras pudessem nos fornecer informações
acerca das primeiras finalidades dos saberes da Análise Combinatória nas
escolas brasileiras e do efeito dessa influência nos livros produzidos por
professores brasileiros. (ii) obras que foram inseridas nos programas do Colégio
Pedro II ou em outras escolas brasileiras depois da Proclamação da República,
8.A obra em formato de DVD, na versão 1, de 2011, é uma produção do GHEMAT - Grupo de
Pesquisa de História da Educação Matemática. O Grupo vincula-se à UNIFESP – Universidade Federal de São Paulo e é coordenado pelo Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente.
29
em 1889. Após este importante momento da História do Brasil, surgiu, também,
importantes reformas no contexto educacional. Para Lorenz e Vechia (2004), as
reformas de Benjamim Constant em 1890, Fernando Lobo em 1892 e Cassiano
do Nascimento em 1894 produziram alterações profundas no currículo do Colégio
Pedro II. Os autores ressaltam, ainda, que o programa de ensino de 1895 foi o
que apresentou maior relevância pela inserção de um volume maior de livros de
matemática. (iii) obras escritas por professores do colégio Pedro II e/ou por
professores com forte influência no contexto das mudanças educacionais do
Brasil.
Diante disso, optamos por iniciar nossa pesquisa analisando livros que
constavam no programa de 1895, do colégio Pedro II, por entendermos que essas
mudanças representaram uma transição na mentalidade entre os séculos XIX e
XX.
É importante deixar claro que esses critérios foram utilizados para
selecionar os livros didáticos que circularam nas escolas brasileiras no período
entre 1895 e 1980. O Quadro 1 apresenta o título do livro selecionado, oseu autor,
o ano da obra e o critério de seleção.
Quadro 1 - Apresentação das obras do período ente 1895-1980 e critérios de seleção.
Título Autor Ano Critério de seleção
Éléments d`algébre Bourdon 1981 Livro que influenciou vários autores brasileiros e entrou no programa do Pedro II em 1985
Álgebra Elementar F.T.D. 1921 Livro de influência francês que circulou nas escolas da congregação dos irmãos maristas
Tratado de Álgebra Elementar
Serrasqueiro 1925 Livro de influência portuguesa que esteve durante muitos anos nos programas do Pedro II
Curso de Matemática
Roxo, Thiré e Souza
1940 Livro escrito por importantes professores de matemática do colégio Pedro II
Matemática para cursos clássico e científico
Carvalho 1956 Livro com importante representação na reforma de Capanema e escrito por um influente professor desse período
Matemática para um curso colegial moderno
Barbosa e Roxa
1970 Livro de importante representação no período do Movimento de Matemática Moderna. E, também, escrito por influentes professores do referido período.
Fonte: Construção do Autor
Os livros de Bourdon (1981), de F.T.D.(1921) e de Serrasqueiro (1925)
foram identificados na obra de Valente (2007).Os livros de Roxo, de Thiré e de
30
Souza(1940), de Carvalho(1956) e de Barbosa e Roxa(1970) foram identificados
na obra de Valente(2011). Os livros foram separados por períodos, após a
identificação, a seleção e a leitura “flutuante” realizada nos livros. Este fato
ocorreu na pesquisa, porque observamos, por intermédio da leitura “flutuante”,
que os saberes da Análise Combinatória passaram por mudanças, no sentido de
suas finalidades no contexto Matemático e na forma como seus saberes eram
apresentados aos leitores, aspectos do contexto didáticos. Com isso,
consideramos os seguintes períodos: antes de 1900, entre 1900 até 1960, entre
1960 até 1980 e 1980 até 2009. No que tange a esse último período,
consideramos analisar o livro de Matemática mais utilizado nas escolas de Belém
do Pará, na primeira fase do Programa Nacional do Livro Didático (Ensino Médio),
no período entre 2004 e 2009. Dentro desse critério, identificamos o livro de
Dante (2004). No capítulo 4, descrevemos mais informações acerca da seleção
da referida obra.
A segunda etapa da análise de conteúdo é a exploração do material.
Nesta fase foi realizada uma análise descritiva à luz de alguns aspectos da Teoria
Antropológica do Didático, de Yves Chevallard, especificamente sobre as
organizações praxeológica.Com isso, utilizamos as categorias já estabelecidas
para análise das organizações praxeológica: as tarefas, as técnicas e o discurso
teórico-tecnológico. Outro instrumento que utilizamos foi a noção de modelos
didáticos, elaborada por Josep Gáscon, para efeito de análise das organizações
didáticas presentes nos livros selecionados para a pesquisa.No capítulo 3,
descrevemos mais informações sobre os elementos teóricos de Yves Chevallarde
de Josep Gáscon utilizados como instrumentos de análise da pesquisa.
A última fase da análise de conteúdo é o tratamento dos resultados. Após
a verificação das organizações praxeológica, procuramos respeitar a sequência
de apresentação de cada livro e utilizamos uma análise categorial. Para Bardin
(2011, p.199), este tipo de análise funciona por operações de desmembramento
do texto em unidades ou em categorias segundo os reagrupamentos analógicos.
Os resultados dessa fase são identificados na seção 4.5 do capitulo 4 deste
trabalho.
31
1.5. Descrição da estrutura do trabalho
Este trabalho está estruturado em 5 capítulos:
No capítulo1, referentes às considerações iniciais, apresentamos o nosso
objeto matemático de pesquisa, a problemática, a motivação, a questão de
investigação e o objetivo da pesquisa.
No capítulo 2, apresentamos uma revisão bibliográfica dos estudos
desenvolvidos no Brasil e no exterior sobre Análise Combinatória.
No capítulo 3,apresentamos nosso aporte teórico, baseados na Teoria
Antropológica do Didático e nos estudos sobre os modelos didáticos de referência
do pesquisador Josep Gascón.
No capítulo 4,apresentamos as análises praxeológicas realizadas com os
livros didáticos e, também, procuramos descrever a temporalidade histórica de
cada livro a partir das ideias de alguns educadores matemáticos que
desenvolvem suas pesquisas na história do livro didático e na história das
disciplinas escolares.
No capítulo 5,apresentamos as nossas considerações finais e algumas
perspectivas futuras de pesquisa que surgiram durante as análises dos livros
didáticos e uma nova compreensão que surgiu dos saberes da Análise
Combinatória estudados nas escolas brasileiras. Ao término do trabalho,
apresentamos as nossas referências.
32
2. REVISÃO DA LITERATURA Neste capítulo, apresentamos alguns estudos que encontramos na
literatura acadêmica que abordam as questões voltadas para o ensino e a
aprendizagem da Análise Combinatória. Diante do universo de trabalhos já
existentes sobre o tema, procuramos selecionar pesquisas cujo público alvo foi
constituído por alunos e professores do Ensino Médio. Buscamos identificar:
Dificuldades enfrentadas e estratégias desenvolvidas por alunos na
resolução de problemas de contagem;
Resultados obtidos por pesquisas que utilizaram metodologias para
ensinar Análise Combinatória nas escolas;
Relação dos professores com os saberes da Análise Cominatória.
Com isso, foram selecionados três artigos, cinco dissertações e uma tese.
2.1. Estudos que investigaram dificuldades enfrentadas e estratégias
desenvolvidas por alunos na resolução de problemas de
contagem
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996) desenvolveram uma pesquisa
intitulada “Raciocínio Combinatório em alunos do ensino secundário”. Para os
autores, é importante analisar as variáveis que afetam os procedimentos e os
erros dos alunos ao resolverem problemas da Análise Combinatória, mostrando
como devem ser consideradas essas variáveis no aprendizado. Para efeito de
análise, os autores descreveram e classificaram os problemas da Análise
Combinatória com agrupamentos simples, segundo três modelos básicos:
seleção, partição e colocação. Eles realizaram o estudo a partir de uma amostra
de 720 alunos, com idades entre 14 e 15 anos, de nove escolas da cidade de
Granada– Espanha -, utilizando como instrumento de coleta de dados um
conjunto de 13 problemas de Análise Combinatória. Dos alunos que participaram
da pesquisa, 352 haviam recebido instrução acerca das operações básicas de
combinatória e 368 não haviam tido nenhum contato com o assunto em questão.
Segundo estes autores, os alunos consultados apresentaram as seguintes
dificuldades na resolução dos problemas citados:
33
Enumeração não sistemática, que consiste em uma estratégia de
tentativa e erro, sem qualquer procedimento recursivo que leve à
formação de todas as possibilidades;
Uso incorreto do diagrama de árvore;
Erro de ordem, em que é considerada a ordem em situações em que
é irrelevante ou não é considerada em situações em que é pertinente;
Erro de repetição, em que não é considerada a repetição dos
elementos quando tal é possível ou é considerada em situações de
impossibilidade;
Confundir o tipo de objeto, isto é, os objetos idênticos são
considerados distinguíveis ou os objetos distintos são considerados
indistinguíveis;
Confundir o tipo de subconjunto em modelos de partição ou de
distribuição, que consiste em distinguir subconjuntos idênticos ou em não
diferenciar subconjuntos distinguíveis.
Fernandes, Silva e Soares (2004) investigaram 38 alunos que ainda não
haviam passado por qualquer experiência de ensino formal de Análise
Combinatória. Os autores utilizaram um questionário, com cinco questões,
abordando permutação simples e com repetição, arranjos simples e com
repetição e combinação simples. Os resultados indicaram que os alunos têm
intuições combinatórias muito limitadas em todas as formas de agrupamentos,
destacando-se apenas o caso em que está envolvido um pequeno número de
elementos e,também, a estratégia de enumeração (contagem direta) que permitiu
aos alunos chegarem à resposta correta. Entre os problemas propostos, em
termos gerais, os alunos obtiveram resultados ligeiramente melhores nos arranjos
com repetição e piores nas combinações simples.
Em outro trabalho, desenvolvido em Portugal, no distrito de Braga, os
pesquisadores Correia e Fernandes (2007) procuraram investigar as estratégias
intuitivas de 27 alunos, do 9º ano de escolaridade, a partir da resolução de
problemas de Análise Combinatória. Os autores empenharam-se em responder
duas questões: “Que estratégias utilizam os alunos do 9º ano de escolaridade na
resolução de problemas combinatório?” E “qual a influência dos fatores operação
34
combinatória, número de elementos envolvidos na operação combinatória e
desempenho em Matemática no desempenho dos alunos em combinatória?”.
Para Correia e Fernandes (2007), os alunos quando resolvem os
problemas de Análise Combinatória utilizam com maior frequência a enumeração
(contagem direta) como estratégia, seguida do pelo uso da árvore de
possibilidade. O uso de fórmulas foi a estratégia utilizada por cinco alunos
consultados. Os autores observaram, também, que quando ocorre nos problemas
um aumento no tamanho da amostra dos elementos as estratégias mais utilizadas
pelos alunos passam a ser a menos usada; diminuindo, assim, a eficácia das
estratégias construídas para a construção de respostas corretas. A pesquisa
desenvolvida por eles revelou que o maior fracasso dos alunos ocorreu na
resolução dos problemas de combinação simples. Nesses problemas, a
dificuldade dos alunos residiu no fato de considerarem a ordem, tal como tinham
resolvido os problemas de arranjos.
Os erros apresentados por estudantes na resolução de problemas verbais
no campo da Análise Combinatória foram objeto da investigação de Pacheco
(2001). A autora desenvolveu um trabalho dentro de uma abordagem qualitativa
com uma inspiração na análise cognitiva das produções escritas dos estudantes,
da terceira série do Ensino Médio, com idade entre 17 e 23 anos. Os alunos,
sujeitos da pesquisa, ainda não haviam estudado Análise Combinatória. A
pesquisadora desenvolveu aulas expositivas acerca do assunto e proporcionou
aos alunos acesso a uma bibliografia diversificada do assunto. As aulas foram
desenvolvidas durante seis semanas com alunos de escolas públicas de
diferentes cidades do Estado de Alagoas.
O objetivo do trabalho realizado por Pacheco (2001) foi confrontar as
abordagens dos estudantes em diferentes tipos de problemas de Análise
Cominatória e buscar algumas explicações para as possíveis performances nos
diferentes casos e para os possíveis erros apresentados. Os problemas utilizados
na pesquisa foram classificados do tipo simbólico “não-verbal”, “modelagem” e
“verbais”, todos de Análise Combinatória.
A pesquisa de Pacheco (2001) apontou que os alunos apresentaram êxito
nas abordagens dos problemas do tipo “não-verbal”, ou melhor, desenvolvimento
35
direto das fórmulas. Entretanto, isto não implicou um desempenho mais adequado
nos problemas do tipo verbal. Segundo a autora, uma boa habilidade com o uso
de fórmulas não é suficiente para a resolução de problemas verbais que
relacionam os conceitos de arranjo e de combinação com situações do dia a dia.
Pessoa (2009) verificou e analisou o desenvolvimento do raciocínio
combinatório entre alunos do 2º ao 12º ano de escolarização, no Estado de
Pernambuco. A autora definiu o raciocínio combinatório como sendo uma forma
de pensar que permite que se levantem possibilidades e sejam analisadas as
combinações das mesmas. O estudo contou com a participação de 568 alunos,
de quatro escolas, sendo duas públicas e duas particulares. A escolha das
referidas escolas, segundo a autora, se deu por uma questão de conveniência.
Dessa forma, a amostra da pesquisa ficou distribuída com 255 alunos do Ensino
Fundamental I (2º ao 5º ano), 174 alunos do Ensino Fundamental II (6º ao 9º ano)
e 139 alunos do Ensino Médio (10º ao 12º ano). Pessoa (2009) desenvolveu uma
pesquisa de caráter descritivo para defender a tese segundo a qual o
desenvolvimento do raciocínio combinatório é um processo longo que se amplia a
partir de experiências extra escolares e vivências escolares – sejam diretamente
relacionadas a situações combinatórias, sejam as indiretamente relacionadas- e
que este desenvolvimento vai se modificando no sentido de uma maior
sistematização e formalização na compreensão das definições de diferentes tipos
de problemas(PESSOA, 2009, p.33).
Segundo Pessoa (2009), a produção dos dados da pesquisa foi realizada
por meio de uma ficha com oito problemas de Combinatória, sendo dois de
produto cartesiano, dois de combinação simples, dois de arranjos simples e dois
de permutação simples. A análise dos dados foi realizada de forma qualitativa e
quantitativa. Na abordagem qualitativa foram analisadas estratégias e as repostas
apresentadas pelos alunos. Na abordagem quantitativa foi analisado o
desempenho dos alunos a partir das variáveis: gênero (masculino e feminino), tipo
de escola (pública e particular), nível de ensino, ano de escolaridade, significado
combinatório dos problemas e ordem de grandezas dos números.
O estudo que Pessoa (2009) desenvolveu revelou que os alunos iniciam a
escolarização com o mesmo nível de desempenho, na solução dos problemas de
36
Análise Combinatória, e que o nível de desempenho aumenta à medida que os
anos de escolaridades vão aumentando. Este fato, segundo a autora, independe
do tipo de escola, pública ou particular. Entretanto, os alunos da escola particular
tiveram um desempenho melhor que os alunos da escola pública. No estudo foi
observado um avanço significativo no nível de desempenho dos alunos do Ensino
Fundamental II em relação aos alunos do Ensino Fundamental I. Contudo, os
avanços dos alunos do Ensino Fundamental em relação aos alunos do Ensino
Médio não foram tão expressivos.
Os resultados da pesquisa de Pessoa (2009) revelaram que em todos os
níveis de escolarização os problemas com pior nível de desempenho dos alunos
foram os de combinação simples, seguidos pelos problemas de permutação
simples. Os problemas de produto cartesiano tiveram o melhor percentual de
acertos por parte dos alunos. Além disso, foi observado que a utilização de
fórmulas como estratégia para resolver os problemas continua sendo feita de
maneira inadequada. A autora descreveu, ainda, que o ato de listar os
agrupamentos para posteriormente efetuar a contagem foi a estratégia que
apresentou melhores resultados, principalmente por parte dos alunos que ainda
não haviam estudado combinatória. A pesquisa de Pessoa (2009), também,
confirmou que os problemas com menor ordem de grandezas nos resultados
apresentam mais possibilidades de acertos.
Duro (2012) procurou investigar as estratégias utilizadas por estudantes,
durante a realização de experimentos, levando em conta a estruturação do
raciocínio e os esquemas previamente construídos por eles que possibilitam ou
limitam o desenvolvimento raciocínio combinatório. A questão central da pesquisa
realizada por Duro (2012) foi: “Como se dá a construção do Pensamento
Combinatório em alunos do Ensino Médio?”. Com isso, segundo a autora,
buscou-se, fundamentada na epistemologia genética de Piaget, compreender
como os alunos do Ensino Médio Regular e da Educação de Jovens e Adultos
(EJA) aprendem Análise Combinatória.
A autora partiu do princípio que o raciocínio combinatório é construído e
se dá por sucessivos níveis de pensamento, sempre em função da ação do
sujeito e de seus desdobramentos, sobretudo de tomada de consciência. É por
37
esse processo que o sujeito constrói generalizações e hipóteses. Com base nos
estudos de Inhelder e Piaget, a autora descreve três níveis de Pensamento
Combinatório utilizados na investigação:
Nível I: caracterizados por estarem em um nível de pensamento pré-operatório, esses sujeitos relacionam casualmente dois ou mais elementos ao mesmo tempo, observando apenas o resultado final (tendo em vista a sua forma atual estática), não entendendo as transformações como reversíveis. Não elaboram hipóteses prévias que possibilitem levá-los a uma dedução, ficando simplesmente restritos a um pequeno conjunto de combinações aleatórias não sistematizadas.
Nível II: caracterizados por estarem em um nível de operatório concreto, esses sujeitos são capazes de fazer pequenas sistematizações relacionadas ao real observado, podendo ainda estendê-las a situações virtuais, vinculadas a suas tentativas empíricas.
Nível III: Caracterizados por estarem em um nível de pensamento operatório formal, esses sujeitos apresentam como novidade, em relação aos demais, o método sistemático de obtenção de todas as combinações possíveis e a capacidade de generalizar e de criação de teorias (INHELDER e PAGET apud DURO, 2012,p.13).
A pesquisa realizada por Duro (2012) contou com a participação de 18
(dezoito) sujeitos, sendo oito alunos da EJA e dez alunos do ensino Médio
regular. A autora utilizou o Método Clínico de investigação que lhe permitiu
realizar intervenções, questionando os sujeitos, em busca da compreensão, da
gênese do pensamento. A coleta de dados foi realizada por meio de registros de
imagens e de aplicação de quatro problemas, envolvendo os agrupamentos
básicos da combinatória (Princípio fundamental da contagem, arranjo simples,
permutação simples, combinação simples), operacionalizados por meio de
material concreto confeccionado pela própria pesquisadora. Segundo Duro
(2012), a coleta de dados foi realizada por sessões individuais com os sujeitos,
com duração média de uma hora. A autora identificou nos sujeitos investigados as
seguintes características:
No Nível I os sujeitos apresentaram: combinações aleatórias e
não sistemática; foco no resultado e não no processo; indiferença
frente a contradições; ausência de tomada de consciência sobre
ações; pensamento operante sobre a materialidade; necessidade
do concreto.
38
Os sujeitos do Nível II apresentaram: explicações presas ao concreto e levantamento de hipóteses sem considerações à lei geral.
No Nível III os sujeitos apresentaram: pensamento hipotético-
dedutivo, dissociado do real; foco no processo e não no resultado;
verificação de hipóteses no nível mental e tomada de consciência
no processo (DURO, 2012, p.85).
Os resultados obtidos na investigação de Duro (2012) propiciaram à
pesquisadora a seguinte reflexão:
A conceituação se dá por tomada de consciência, a qual se configura com um processo longo e trabalhoso no que tange às reconstruções estruturais. Construir um Pensamento Combinatório exige não só uma estrutura formal de pensamento, mas uma estruturação mental que possibilite ampliar este mecanismo até chegar a essa compreensão. Para isso, o raciocínio deve passar por abstrações reflexionantes realizadas pelo sujeito no plano dos possíveis. Ou seja, o sujeito deve trabalhar com hipóteses, sobre eventos inexistentes no mundo dos observáveis: as possibilidades (DURO, 2012, p.97).
Segundo Duro (2012), a construção do Pensamento Combinatório nos
alunos independe da idade ou da série escolar. A pesquisa aponta que os sujeitos
mais jovens demonstraram maior quantidade e qualidade na tomada de
consciência do que os sujeitos mais velhos (alunos da EJA). Estes tentavam
relacionar as situações-problemas com situações concretas de suas vidas, mas
isso não garantiu melhor qualidade nos argumentos. E, finalmente, o uso das
fórmulas para calcular os agrupamentos simples foi a estratégia mais usada pelos
alunos.
2.2. Estudos que utilizaram metodologias para ensinar Análise
Combinatória nas escolas
Sturm (1999) procurou investigar as possibilidades de um ensino de
análise combinatória sob uma abordagem alternativa. O autor considerou como
“alternativa” uma abordagem de ensino que é desenvolvida diferentemente das
abordagens tradicionais (valoriza a definição do conceito, seguido de exemplos,
exercícios e o uso excessivo de fórmulas). Os objetivos descritos pelo autor
foram:
Analisar uma proposta de ensino de análise combinatória e sua
experimentação em sala de aula;
39
Identificar as possibilidades e limites em relação ao ensino-
aprendizagem da proposta no sentido de colaborar em futuras
investigações sobre análise combinatória;
Contribuir para o trabalho de professores de matemática do Ensino Médio
que busquem aprimorar sua formação em relação ao ensino-aprendizagem de
Análise Combinatória.
A proposta elaborada por Sturm (1999) abordou os seguintes tópicos:
arranjo, permutação e a combinação, sem repetição de elementos. Foi
desenvolvida por meio de resolução de problemas, com 33 alunos de uma escola
particular da rede privada de ensino da cidade de ITU-SP. As aulas aconteciam
no turno da noite e foi dividida nas seguintes etapas:
Formalização com problemas de contagem em geral (4 aulas): Nesta
etapa, o professor apresentou inicialmente quatro problemas como o
lançamento de uma moeda, o número de maneiras diferentes que uma
pessoa vai de uma cidade A até uma cidade B e da composição de
números a partir de alguns algarismos. Houve a necessidade de
intervenção do professor, porém ele realizou dialogando com a turma e
resolvendo por definitivo o problema contando com a participação da fala
dos alunos.Isto é considerado pelo pesquisador como um processo de
interação. Após a resolução dos problemas foi proposto outro grupo de
quatro problemas retirados do chamado “cadernão da escola”;
Estudo da anotação fatorial (pouco mais de uma aula): O professor
inicia esta etapa esperando que os alunos tenham percebido que a
multiplicação tem um papel importante no estudo de Análise
Combinatória. Dessa forma, propõe quatro problemas e o primeiro é
saber o número de anagramas da palavra “GRAU”, o segundo e para
formar números com 5 (cinco) algarismos dado um conjunto com cinco
números e os problemas seguintes são para calcular o fatorial de um
determinado número e simplificações com fatorial. O autor considerou que
esta etapa não foi produtiva, pois teve que apresentar o fatorial sem que
os alunos tenham observado as variantes necessárias à formação desse
conceito;
40
Levantamento e observação das características dos problemas que
determinam seu modo de resolução (3 aulas): Para o professor, as
características que determinam o modo de resolução dos problemas
foram: ordenação dos elementos, aplicação direta do princípio
multiplicativo, aplicabilidade do diagrama de árvore. Nesta fase foi
elaborada uma lista de exercícios- oito problemas - com o intuito de
contemplar os diferentes temas, de modo que, a partir dela, fosse
possível um levantamento das características e, na fase seguinte, a
classificação dos problemas de Arranjo, Permutação e Combinações. Os
problemas foram resolvidos em duplas e o autor considerou que foi
possível levantar as características de cada um dos tipos de problemas.
Os alunos compreenderam, de maneira geral, a importância da
ordenação dos elementos nos agrupamentos e a necessidade de saber
se há ou não repetição de elementos. Ressaltando que nesta etapa o
pesquisador desenvolveu o processo de ensino da mesma maneira que
foi desenvolvido nas etapas anteriores;
Relação das características (modo de resolver) com os temas em si
e formalização dos conceitos: arranjo, permutação e combinação (8
aulas): Nesta última etapa, o professor utilizou 20 problemas que
envolvem respectivamente Arranjo, Permutação e Combinação. Segundo
o autor, nesta etapa os alunos estavam familiarizados com sua estratégia
de ensino e com problemas de contagem. Dessa forma, tornaram-se fácil
apresentar à turma as particularidades de cada um daqueles métodos de
contagem e a apresentação de suas fórmulas.
As aulas se diferenciaram do método tradicional pelo fato de as definições
não serem apresentadas inicialmente. No entanto, o professor apresentava e
resolvia os problemas, propondo uma estratégia didática concentrada na
interação dos alunos com a resolução dos problemas, que a princípio era
resolvido pelo próprio professor:
A metodologia de pesquisa empregada no trabalho de Sturm (1999) teve uma abordagem qualitativa e utilizou como É verdade que os exercícios contidos na proposta podem ser considerados um tanto tradicionais. No entanto, a proposta se diferencia da maioria da prática vigente, no sentido de se experimentar uma
41
mudança na relação do professor e dos alunos com a Análise Combinatória, mais precisamente no modo como aquele apresenta e discute cada tema (arranjo, permutação e combinação), primeiramente apresentando exercícios para depois chegar às sistematizações (STURM, 1999, p.81).
Os instrumentos de coleta de dados foram um caderno (diário), em que o
pesquisador realizava anotações sobre o que tinha ocorrido durante as aulas; as
avaliações dos alunos (duas provas escritas); um questionário para saber as
concepções dos alunos quanto ao trabalho desenvolvido pelo professor-
pesquisador.
Em suas conclusões, Sturm (1999) considerou que a proposta teve um
efeito positivo e destacou alguns aspectos:
Os alunos trabalhavam durante todo o dia e mesmo assim
participavam intensamente da pesquisa;
Os alunos demonstraram ter compreendido a “potencialidade” do
Princípio Fundamental da Contagem na resolução de problemas
combinatórios;
Os alunos passaram a ver as fórmulas de arranjo e permutação
como apenas mais um auxílio na resolução dos problemas, pois
perceberam que as fórmulas decorrem do modo direto do Princípio
Multiplicativo.
É importante ressaltar o valor do trabalho desenvolvido por Sturm (1999),
pois, tratou-se da primeira dissertação de mestrado no Brasil que teve como
objeto de estudo o ensino e aprendizagem de Análise Combinatória.
Avançando nesse sentido, Esteves (2001) construiu duas sequências de
ensino centralizadas na formação do conceito ligado à operação de Análise
Combinatória, com a intenção de estudar a aquisição e o desenvolvimento dos
primeiros conceitos de análise combinatória em adolescentes de 14 anos de
idade, cursando a 8a série do Ensino Fundamental.
A primeira sequência considerada tradicional é aplicada a uma turma de
alunos da segunda série do Ensino Médio que a autora define como grupo de
referência. A turma foi formada por 28 alunos com idade de 16 anos.
42
A segunda foi elaborada com a utilização de situações-problema e
desenvolvida com um grupo experimental de alunos da 8a série do Ensino
Fundamental, que nunca haviam tido contato com Análise Combinatória. Foram
utilizados, em alguns casos, materiais concretos para resolver as atividades.
Nesta etapa, a professora contou com 14 duplas de alunos. As situações-
problema, inicialmente, envolveram apenas contagens diretas e depois o princípio
fundamental da contagem até a institucionalização dos agrupamentos simples,
sem suas respectivas fórmulas.
Esteves (2001) afirmou que a intenção da pesquisa foi a formalização do
conceito, logo não ocorreu treinamento com os algoritmos utilizados no ensino de
Análise Combinatória. O estudo foi desenvolvido com alunos de uma instituição
da rede particular de ensino da Cidade de Santos, em São Paulo. Ambos os
grupos foram submetidos a dois testes individuais: o primeiro antes de ser
introduzido o ensino de Análise combinatória, contendo 10 questões do assunto; o
segundo, após o contato com conteúdo, também contendo 10 questões que
possuíam similaridades com as questões do pré-teste. É importante ressaltar que
a sequência de ensino do grupo não experimental foi desenvolvida pela própria
pesquisadora durante 12 horas/aulas e a do grupo experimental foi desenvolvida
com uma hora de duração cada.
A pesquisadora procurou responder às seguintes questões: Em função do
ensino oferecido, os sujeitos demonstram progresso verificável no que tange ao
campo conceitual considerado? Como pergunta derivada da primeira: Tal
evolução se diferencia daquela observada no grupo de referência?
O método misto (qualitativo-quantitativo) foi empregado na pesquisa
durante a análise dos dados produzidos no pré-teste e no pós-teste. A abordagem
metodológica utilizada foi qualitativa quando foram analisadas as aulas vídeo
gravadas e áudio gravadas nas sequências de ensino.
Esteves (2001) relatou que no início da realização da sequência de
ensino com o grupo experimental, houve certa rejeição dos alunos. Estes
anunciavam que não haviam compreendido os enunciados das situações-
problema e esperavam pela intervenção da professora. Porém, no final, a autora
observou uma aceitação maior do novo método de ensino.
43
Ao analisar as concepções apresentadas pelos alunos no pré-teste e na
sequência de ensino, a pesquisadora pôde classificar algumas que dificultavam a
aprendizagem dos tópicos da Análise Combinatória:
A falta de um procedimento recursivo que os levassem à formulação
de todas as possibilidades. Isto acontecia quando os alunos resolviam
problemas por enumeração, mediante tentativas e erros, principalmente
nos casos em que a formação de todas as possibilidades se tornava
exaustiva;
A resposta injustificada e errônea. Algumas vezes os alunos
apresentavam uma solução numérica errônea, sem explicar de onde veio
tal número ou ainda sem indicar o caminho percorrido para encontrá-lo;
O não uso da árvore de possibilidades ou a sua construção
inadequada, a qual levava a uma interpretação errônea;
Nos problemas de permutação e arranjo, aparece a interpretação da
palavra distribuir como dividir;
Nos problemas de combinação e arranjo, os alunos confundiam os
critérios que deviam ser usados em cada situação e algumas vezes
decidiam considerar a ordem importante quando esta não era ou vice-
versa.
O estudo de Esteves (2001) revelou que os alunos pouco usavam a
árvore de possibilidades mesmo quando esta estratégia era proposta como
sugestão nos problemas. Contudo, considerou que a sequência de ensino
desenvolvida com o grupo experimental foi bastante proveitosa, como podemos
constatar na seguinte citação:
Durante a sequência, observamos que os alunos evoluíram passo a passo com as representações das resoluções e com as discussões relativas aos processos de resolução usados. Acreditamos que a mudança na forma de se trabalhar com o conteúdo seguindo uma abordagem que procurou envolver o aluno através de situações reais, além do trabalho desenvolvido em duplas criou um ambiente favorável para tal comportamento (ESTEVES, 2001, p. 184).
A autora ao comparar as duas sequências de ensino identificou que a que
foi desenvolvida com o grupo experimental, mesmo sendo trabalhada fora do
44
horário escolar, produzia mais interação entre o professor, o aluno e o saber
matemático em jogo.
Em suas considerações finais, Esteves (2001) considerou que o estudo
de Análise Combinatória deveria ser iniciado no Ensino Fundamental de forma
significativa, sem apresentação de fórmulas, e que no Ensino Médio o aluno
pudesse ter este conceito institucionalizado, apresentando as fórmulas de forma
significativa e não apenas como algoritmo que o leve a mecanizar e associar
palavras-chave.
Rocha (2002) investigou um processo de resolução de problemas de
Análise Combinatória apoiando-se essencialmente na aplicação do princípio
multiplicativo. Este processo de resolução de problemas centrou-se na análise da
evolução do aprendizado dos alunos em relação à resolução de problemas de
Análise Combinatória, à luz de influências de um método de ensino desenvolvido
segundo pressupostos construtivistas. A pesquisa seguiu uma abordagem
qualitativa de estudo de casos. O método de ensino de Combinatória proposto por
Rocha (2002) seguiu as seguintes etapas:
Primeira Etapa: apresentar aos alunos problemas básicos de contagem
direcionados a fatos do cotidiano e que pudessem ser resolvidos a partir do seu
conhecimento prévio, sem formalização.
Segunda Etapa: apresentar aos alunos problemas mais complexos que
envolveram os conceitos de Análise Combinatória.
Terceira Etapa: sugerir aos alunos que criassem e resolvessem seus
próprios problemas referentes à contagem.
Quarta Etapa: partir do uso do princípio fundamental da contagem e
resolver problemas de permutação, arranjo ou combinação e depois deduzir as
respectivas fórmulas.
Quinta Etapa: submeter os alunos a uma avaliação formal. Esta teve que
ser corrigida respeitando os diversos métodos de resolução apresentados por
eles.
45
O trabalho de campo foi desenvolvido com alunos de duas escolas, uma
pública Escola Técnica Estadual em turmas do curso de Eletrônica, em 1998 e
2000, e outra escola particular em turma do Ensino Médio em 2001.
A autora utilizou como material de apoio os livros didáticos adotados
pelas escolas. Esse material foi utilizado pelos alunos a partir da segunda
aula.Em seu trabalho, Rocha (2002) apresentou as fórmulas de arranjo e
combinação aos alunos, após ter percebido que eles estavam em condições de
acompanhá-la na construção da fórmula. A professora retomou os procedimentos
de resolução de um problema resolvido pelo princípio multiplicativo e foi expondo
aos alunos a forma como o fatorial pode surgir na resolução dada e depois
apresentou a resolução toda na forma de fatorial. A última etapa correspondeu à
substituição dos valores numéricos na forma de fatorial pelas letras n e p. A letra
n para representar o número de elementos da amostra e p para representar as
etapas do problema. O mesmo aconteceu na apresentação da fórmula da
combinação simples.
Segundo a autora, os resultados da aplicação do método tendo como
referências as interfaces: aluno-conteúdo, interação professor-aluno e as
contribuições do princípio multiplicativo na resolução de problemas de Análise
Combinatória foram: (1) permitir aos alunos que interagissem com o conteúdo de
forma integradora; (2) observar o professor como um mediador entre o aluno e os
enunciados; (3) poder propor a implementação do ensino da Análise Combinatória
de forma produtiva e satisfatória.
Apoiado na sugestão de Sturm (1999) que o princípio multiplicativo é um
importante recurso didático para o ensino de Análise Combinatória, Dornelas
(2004) procurou analisar as diferentes estratégias utilizadas pelos estudantes na
resolução de problemas de Análise Combinatória; identificou os principais tipos de
erros cometidos por estudantes no tocante à resolução de problemas de
Combinatória; categorizou os tipos de erros cometidos; mensurou os erros
categorizados; analisou a influência que uma compreensão significativa do
princípio multiplicativo pode trazer para o desenvolvimento de habilidades e
competências na resolução de problemas de Análise Combinatória; avaliou os
estudantes em relação à compreensão e interpretação de problemas, à
46
formulação de hipóteses, à previsão de resultados, à seleção e execução de
estratégias e ao desenvolvimento da capacidade de realizar retrospecto de
resultados obtidos na resolução dos problemas.
Dornelas (2004) propôs estabelecer uma categorização dos principais
tipos de erros cometidos por alunos quando se deparam com o problema de
contagem e sugeriu uma metodologia adequada, em termos didáticos e
pedagógicos, com a utilização do princípio multiplicativo.
A pesquisa de Dornelas (2004) foi realizada em duas etapas, envolvendo
alunos de três escolas, da cidade de Recife, sendo duas particulares e uma
pública. Na primeira fase contou com a colaboração de 87 alunos, para analisar
os diferentes processos heurísticos utilizados na resolução de problemas de
contagem, por meio de questionários (perguntas abertas e outro com problemas,
ambos, envolvendo Combinatória). Na segunda fase, além da aplicação dos
questionários citados, pré-teste e pós-teste, foi executada uma ação didática
pedagógica voltada a um aprofundamento do conhecimento do princípio
multiplicativo e sua consequente utilização na resolução de problemas de
contagem, com 12 alunos da 2a série do Ensino Médio de um dos colégios
particulares.
O autor, em suas conclusões, revelou que a estratégia de resoluções dos
problemas utilizada pelos alunos durante a investigação, a partir do
conhecimento, da criatividade e de uma boa orientação didática, pode provocar
no estudante estímulos no sentido de elaborar e manifestar possibilidades de
resolução que vão além do simples emprego de fórmulas, que são necessárias,
segundo o autor, mas não suficientes para consolidar um aprendizado
significativo.
Ao contrário das outras pesquisas que investigaram sequências de ensino
para a Análise Combinatória, Dornelas (2004) não elaborou sequência de ensino
para ser desenvolvida em sua pesquisa. O autor utilizou as aulas do programa
Telecurso 2000 – Ensino Médio, desenvolvido pela Universidade do Estado de
São Paulo.
Pinheiro (2008) desenvolveu um estudo que procurou verificar se uma
sequência de ensino - enfatizando a resolução de problemas como ponto de
47
partida - proporcionava condições favoráveis para que fossem institucionalizados
os conceitos básicos de Análise Combinatória. O autor fundamentado nas ideias
de Mendonça (apud PINHEIRO, 2008) descreveu que na utilização da resolução
de problemas como ponto de partida os problemas tornam-se recursos
pedagógicos, para iniciar o processo de construção de um determinado
conhecimento específico. Nesse sentido, a sequência de ensino desenvolvida
pelo autor foi constituída por sete “encontros experimentais”. Houve sete
encontros experimentais, sendo dois destinados à aplicação de um pré-teste/pós-
teste e cinco encontros para efeito de institucionalização dos conceitos básicos da
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Permutação Simples,
Arranjo Simples e Combinação Simples), seguido da redescoberta das fórmulas
do Arranjo simples e da Combinação Simples. Segundo Pinheiro (2008), a
realização dos encontros experimentais destinados à institucionalização dos
conceitos seguiu as noções da Teoria das Situações Didáticas.
A metodologia de investigação utilizada por Pinheiro (2008) foi baseada
nos princípios da Engenharia Didática de primeira geração. A coleta de dados foi
realizada por meio dos registros escritos dos alunos (pré/pós- teste e fichas
resolvidas pelos grupos) e dos registros vídeo gravados de cada encontro
experimental. O autor contou com a participação de 15 alunos, da segunda série
do Ensino Médio, de uma escola pública da região central de Belém do Pará, que
ainda não haviam estudado Combinatória. A pesquisa foi realizada nos horários
das aulas de Matemática que foram gentilmente cedidas pela professora da turma
ao pesquisador.
Pinheiro (2008) revelou em seu estudo que os resultados do pré-teste
foram insatisfatórios, pois a maioria dos alunos não fez os cinco problemas.
Entretanto, após a realização das sequências de ensino, os resultados obtidos,
por meio do pós-teste, revelaram que a maioria dos alunos acertou ou errou os
cinco problemas. Os erros cometidos foram poucos, segundo o autor. Mas, entre
esses erros, destacou-se a falta de atenção na finalização dos problemas,
gerando o erro de cálculo básico, e erro no problema de combinação simples,
pois os alunos interpretaram os problemas de combinação simples como sendo
problema de arranjo simples. Entre as estratégias utilizadas pelos alunos –
48
diagrama de árvore, listagem direta, cálculo com fórmula, estimativa subjetiva – ,o
pesquisador revelou que os sujeitos da pesquisa priorizavam o cálculo com
fórmula.
2.3. Estudos envolvendo relação dos professores com os saberes da
Análise Cominatória
Sabo (2010) desenvolveu uma pesquisa que teve o objetivo de investigar
os saberes do professor de Matemática do Ensino Médio acerca da Análise
Combinatória. O autor defendeu a idéia de que as dificuldades que os alunos
enfrentam, diante do tema, possam emergir dos saberes e da prática do
professor. Diante disso, ele entrevistou seis professores, quatro licenciados em
Matemática e dois cursando o 3º ano do curso de licenciatura em Matemática,
que haviam lecionado ou estavam lecionando Análise Combinatória no Ensino
Médio.
Os resultados da pesquisa de Sabo (2010) mostraram que os professores
investigados ensinam Análise Combinatória procurando reproduzir a forma como
eles estudaram no Ensino Médio. Segundo o autor, os professores admitiram
valorizar a memorização e a aplicabilidade de fórmulas, no processo de ensino e
Aprendizagem da Análise Combinatória, sem saber justiçar e explicar a validade e
a origem das fórmulas.
Segundo Sabo (2010), alguns professores consultados na pesquisa
revelaram fazer uso do Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) quando
ministram aulas de Análise Combinatória, mas o autor observou durante a análise
das entrevistas que esses autores não mostraram evidências e clareza sobre a
importância do P.F.C. no contexto das aulas de Análise Combinatória. O autor,
ainda se referindo às técnicas de Contagem da Análise Combinatória, revelou que
os professores não fizeram nenhum comentário sobre o uso da construção da
árvore de possibilidade e da enumeração (listagem direta) como técnica de
Contagem durante a realização de suas aulas.
Sabo (2010) acredita, diante dos resultados apresentados na pesquisa,
que as dificuldades apresentadas pelos alunos com a Análise Combinatória
49
podem ser consequências da falta de conhecimento específico do professor a
respeito da Análise Combinatória.
Rocha (2011) procurou analisar os conhecimentos que professores do
Ensino Fundamental e Médio têm sobre a Análise Combinatória e seu ensino. A
autora, partindo da crença que existe uma forte influência da formação inicial e
das experiências vivenciadas pelos professores na construção de seus
conhecimentos, desenvolveu uma pesquisa com seis professores, sendo dois dos
anos iniciais do Ensino Fundamental, dois dos anos finais do Ensino Fundamental
e dois do Ensino Médio, por meio de um conjunto de entrevistas semiestruturas.
A pesquisa de Rocha (2011) revelou que quase todos os professores
entrevistados apresentaram dificuldades quando foram solicitados a diferenciar os
problemas que envolvem arranjos dos problemas que envolvem combinação.
Segundo a autora, as concepções que professores apresentaram quanto ao nível
de dificuldades dos problemas de contagem da Análise combinatória são
projetadas sobre o nível escolar dos alunos implicando, dessa forma, nas técnicas
de contagem que os professores priorizam na solução de problemas. Os
professores dos anos iniciais do ensino fundamental, por exemplo, priorizaram
resolver problemas que utilizem a listagem direta dos agrupamentos; os
professores dos anos finais do ensino fundamental priorizaram resolver
problemas que utilizem a árvore de possibilidades e a listagem direta; e os
professores do ensino médio priorizaram resolver problemas que utilizem o
Princípio Fundamental da Contagem. Segundo Rocha (2011), os professores
entrevistados apontaram os problemas de contagem que envolvem combinação,
como sendo os problemas que os alunos apresentam maiores dificuldades para
resolver.
A postura dos professores do Ensino Médio, entrevistados por Rocha
(2011), em face da Análise Combinatória, resume-se na valorização dos aspectos
do conteúdo apresentados nos livros didáticos e, principalmente, no uso de regras
para facilitar a compreensão dos alunos.
.
50
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo, apresentamos alguns aspectos relevantes da Teoria
Antropológica do Didático (TAD),que utilizamos para identificar as organizações
didáticas e matemáticas, bem como, os elementos denominados tarefa/ técnica e
tecnologia/teoria. Os primeiros elementos sendo caracterizados como saber/fazer
e os segundos como o bloco do saber de uma organização praxeológica,
respectivamente. No sentido de procurar entender a funcionalidade das
organizações didáticas em termos de modelos teóricos de ensino. Apresentamos,
também, a teoria dos modelos didáticos de Josep Gáscon.
3.1. O enfoque antropológico
O programa epistemológico de investigação em Didática da Matemática
iniciou na França, nos anos 60,mas somente nos anos 70, é que as discussões
foram se intensificando com a Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Guy
Brousseau, que integrou o “matemático” e o “pedagógico” modelando de maneira
inseparável os conhecimentos matemáticos e as suas condições de utilização em
situação escolar. Tendo como fundamentação a TSD, Yves Chevallard
desenvolveu a Teoria da Transposição Didática, na qual discute as noções de
saber sábio, saber a ensinar e saber ensinado.Estes conceitos permitem mostrar
as diferenças entre o saber matemático (produzido pelos matemáticos) e o saber
a ser ensinado, o qual sofre as transformações adaptativas de um objeto de saber
a ensinar em objeto de ensino.
A Transposição Didática ocorre nos âmbitos externos e internos da
escola. As instituições de transposição de saberes, espaço onde se opera a
interação entre o sistema didático e o ambiente social, são definidas por
Chevallard (2005) como noosfera, as competências estão delimitadas com
precisão pelos representantes do sistema de ensino e os representantes da
sociedade.
Para Chevallard (2005), a noosfera atua prioritariamente por um
reequilíbrio intermediado por uma manipulação do saber. No contexto da noosfera
é que se realiza a seleção do saber sábio designado como o saber a ensinar,
esses saberes serão submetidos ao trabalho de transposição; é a noosfera que
assume a parte visível deste trabalho, o que o autor chama de trabalho externo,
51
em oposição ao trabalho interno. O trabalho interno é designado pelo professor
quando prepara o texto eminente do saber a ser ensinado e quando no interior do
sistema didático o coloca em ação.
Da problemática da Transposição Didática, Chevallard (1999)
desenvolveu a Teoria Antropológica do Didático (TAD), que inicialmente foi
construída como uma teoria cujo objetivo consiste em controlar os problemas da
difusão de conhecimentos e de saberes quaisquer, compreendidos em suas
especificidades, assim como, os conhecimentos matemáticos.
As primeiras formulações da TAD, e que posteriormente evoluíram,
surgiram da problematização do conhecimento matemático, na qual Chevallard
(1999) evidencia a relatividade institucional do conhecimento matemático e sua
evolução no centro de uma instituição didática. Para o autor, a TAD estuda o
homem perante o saber matemático, e mais especificamente, perante situações
matemáticas. Um motivo para a utilização do termo “antropológico” é que a TAD
situa a atividade matemática e, em consequência, o estudo da matemática, dentro
do conjunto de atividades humanas e das instituições sociais.
Os elementos primitivos da TAD são os conceitos de instituições (I),
indivíduos (X) e objeto (O). Chevallard (1999) explica que uma instituição (I) é um
dispositivo social total que pode ter apenas uma extensão muito reduzida no
espaço social, mas que permite – e impõe – a seus sujeitos maneiras próprias de
fazer e de pensar. Sob a ótica da TAD, cada saber é saber de pelo menos uma
instituição; um mesmo objeto do saber pode “viver” em instituições diferentes e
para viver em uma instituição um saber necessita submeter-se a certas
imposições, o que o conduz a ser transformado.
Dessa forma, o conhecimento entra em cena na TAD com a noção de
relação. Um objeto existe, se existe uma relação com este objeto, ou seja, se um
indivíduo ou uma instituição o reconhece como objeto. É a partir das práticas que
se realizam com o objeto que se define a relação (institucional) da instituição com
o objeto. Assim, dados um objeto O (por exemplo, a noção de Permutação
simples) e uma instituição I (por exemplo, o livro didático), a noção de relação,
segundo Chevallard (1999), diz respeito às práticas sociais que se realizam na
52
instituição e que põem em jogo o objeto em questão, ou seja, o que se faz na
instituição com este objeto.
Elemento importante da Teoria Antropológica do Didático é o estudo das
organizações praxeológica: a noção de Organização Matemática (OM), que
constitui a ferramenta fundamental para modelizar a atividade matemática. Uma
organização matemática é qualquer estrutura possível de atuação e
conhecimento, assumindo que toda atividade humana apresenta dois aspectos
inseparáveis: a prática matemática ou “práxis”, que consta de tarefas(T) e
técnicas (𝝉), e o discurso fundamentado ou “logos” sobre essa prática que é
constituída por tecnologias(𝜃) e teorias(𝜣).
Chevallard, Bosch e Gascón (2001, pag.275) consideram que não é
possível,
nem para o matemático profissional nem para os alunos de uma série do ensino fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficácia sem entender o que está fazendo. Mas também não se pode entender em profundidade uma organização matemática determinada se, simultaneamente, não for realizada uma prática matemática eficaz. Não há práxis sem logos, mas também não há logos sem práxis. Ao unir as duas faces da atividade matemática, obtemos a noção de praxeologia.(p.275)
Assim, podemos entender uma organização praxeológica ou
praxeologias, como a realização de certo tipo de tarefa, que resulta da aplicação
de uma determinada técnica, que precisa ser descrita e justificada por uma
tecnologia, que necessita de uma justificação, que é chamada de teoria da
técnica. Chevallard e Bosch (1999) explicam que as distinções entre a técnica, a
tecnologia e a teoria são funcionais e devem ser referenciadas ao tipo de tarefa
que se toma como ponto de referência.
Um tipo de tarefa pode se exprimir por meio de um verbo. Por exemplo:
integrar uma função, dividir um inteiro por outro etc. Uma praxeologia relativa à
tarefa requer, em princípio, uma maneira de realizar as tarefas. Uma determinada
maneira de se fazer a tarefa recebe o nome de técnica. Assim, uma praxeologia
relativa ao tipo de tarefa contém, pois, em princípio, uma técnica relativa à tarefa.
Temos, assim, o bloco designado por tarefa/técnica que se denomina bloco
prático-técnico (T/ 𝝉) e que se identificará, genericamente, com o que comumente
53
se denomina o saber- fazer um determinado tipo de tarefa, e uma determinada
maneira de fazer (técnica) de realizar as tarefas deste tipo. No entanto, uma
determinada técnica pode não ser suficiente para realizar todas as tarefas; ela
pode funcionar para uma parte das tarefas e fracassar para outras. Para
Chevallard (1999), isso significa que em uma praxeologia pode existir uma técnica
superior a outras técnicas, ao menos no que concerne à realização de certo
número de tarefas.
Um discurso racional (logos) sobre certa técnica se denomina tecnologia,
cujo primeiro objetivo é justificar racionalmente a técnica, para assegurar-se de
que a técnica permite realizar as tarefas de certos tipos de problemas, ou seja,
realizar o que se pretende. Em matemática, tradicionalmente, a justificação de
uma técnica é realizada por meio de demonstração. O segundo objetivo da
tecnologia consiste em explicar, tornar inteligível e esclarecer uma técnica, isto é,
em expor porque ela funciona bem. Além disso, segundo Chevallard (1999), a
tecnologia tem também a função de reproduzir novas técnicas, mais eficientes e
adaptadas à realização de uma determinada tarefa.
O discurso tecnológico, por sua vez, contém afirmações, mais ou menos
explícitas, as quais necessitam de justificativas. Passa-se, então, a um nível
superior de justificação, explicação e produção da teoria, que retoma em relação
à tecnologia o papel que a última tem a respeito da técnica. A teoria tem como
objetivo justificar e esclarecer a tecnologia, bem como tornar inteligível o discurso
tecnológico. Temos, assim, o bloco designado por Saber que se denomina bloco
tecnológico/teórico (𝜃/ 𝜣). Chevallard (1999) adverte, no entanto, que geralmente
essa capacidade de justificar e de explicar da teoria é quase sempre obscurecida
pela forma abstrata como os enunciados teóricos são apresentados,
frequentemente por meio de uma técnica, justificada por uma tecnologia, que, por
sua vez, é justificada por uma teoria.
Em resumo, uma praxeologia ou organização praxeológica é constituída
por dois blocos: o saber fazer (prático-técnico), e o bloco do saber (tecnológico-
teórico). Assim, ao unir a práxis ao logos obtêm-se as organizações
praxeológicas.
54
Para Chevallard (1999), as praxeologias associadas, a um saber
matemático, são de duas espécies: Matemáticas e Didáticas. As praxeologias
matemáticas ou organizações matemáticas (OM) referem-se à realidade
matemática que pode ser desenvolvida em uma sala de aula, elas são elaboradas
em torno de uma noção, ou conceito, inerente à própria Matemática. As
praxeologias didáticas ou organizações didáticas (OD) referem-se à maneira de
como se faz essa construção, são as respostas (a rigor) a questões do tipo “como
realizar o estudo de determinado assunto”. Refere-se ao modo que possibilita a
realização do estudo de um determinado tema.
Em suma, um dos discursos da TAD é que um objeto existe a partir da
existência de instituições e pessoas que cultivam relações com esse objeto. A
questão da natureza desse objeto nos leva assim ao problema da descrição das
práticas institucionais, em que o objeto está inserido, problema ao qual é preciso
responder em termos de organizações praxeológicas.Seguindo este pensamento,
podemos pensar quais são os tipos de tarefas e técnicas que compõem as
praxeologias institucionais que compõem a Análise Combinatória e quais
elementos tecnológicos e teóricos vêm descrever e justificar essas práticas, e que
organizam um discurso sobre este objeto matemático. Pois, segundo Chevallard e
Bosch (1999),os conceitos matemáticos podem assim ser considerados como
emergentes dessas praxeologias e das relações institucionais em torno desse
objeto.
No contexto das organizações didáticas encontra-se a noção de
momentos didáticos que, segundo Gascón (2003), pode ser considerada como
um modelo funcional do processo de estudo das organizações matemática. Para
Almouloud (2007), os momentos do estudo ou momentos didáticos estão
necessariamente presentes quando se pretende descrever uma organização
didática em torno de um objeto matemático. Nessa direção, a TAD, para efeito de
organizações didáticas, propõe seis momentos didáticos, também chamados de
dimensões do processo de estudo.
O primeiro momento refere-se ao encontro com a organização praxiológica por meio de tarefas; esse encontro vai orientar o desenvolvimento das relações institucionais e pessoais do objeto. (...) este momento consiste em encontrar a OM por meio de, pelo menos, um dos tipos de tarefas que a constituem e que, no
55
entanto, não determina completamente a relação com o objeto, porque a OM é construída e modificada durante o processo de estudo. No segundo momento, tem-se a exploração das tarefas e o início da elaboração de uma técnica para resolver esse tipo de tarefa. É nesse momento que o professor tem o papel de orientar os alunos para que seja constituída, pelo menos parcialmente, uma técnica que, a princípio, possa resolver o problema, que representa uma espécie do tipo de tarefa estudado. Essa ação deve, posteriormente, possibilitar a emergência de outra técnica mais elaborada, geral e completa. (...) O terceiro momento diz respeito à construção do ambiente tecnológico/teórico que começa a ser constituir desde o primeiro encontro, tornando-se cada vez mais preciso no decorrer do estudo. (...) Assim, desde o primeiro encontro com um tipo de tarefa, têm-se inter-relações e/ou conexões com um ambiente tecnológico/teórico anteriormente elaborado. Vale a pena ressaltar que, no ensino tradicional, esse momento constitui a primeira etapa do estudo e as tarefas aparecem como aplicação do bloco tecnológico/teórico. No quarto momento ocorre o trabalho com a técnica em diferentes tarefas, que pode, eventualmente, ser aperfeiçoada pela sua mobilização relativa a um conjunto de tarefas qualitativamente e quantitativamente representativas da organização matemática em jogo. No quinto momento, o da institucionalização, a organização matemática é definida. Elementos que fizeram parte do estudo em fases anteriores podem ser descartados e outros integrados definitivamente a partir da explicitação oficial desses elementos pelo professor ou pelo aluno tronando-se parte integral da cultura da instituição ou da classe. (...) O sexto momento é considerado sob dois aspectos: a avaliação das relações pessoais e a avaliação da relação institucional, ambas em relação ao objeto construído, da técnica construída, buscando verificar sua capacidade intelectual. (ALMOULOUD, 2007, p.124-125).
É importante ressaltar que os momentos didáticos são uma realidade
funcional, antes de ser uma realidade cronológica. O terceiro momento, por
exemplo, constitui a primeira etapa do estudo, no ensino tradicional, e as tarefas
surgem como aplicações do bloco tecnológico/ teórico. Contudo, Gascón (2003)
ressalta que determinado processo de ensino, de algum saber matemático,
produtor de situações que conduzam os sujeitos a uma aprendizagem sólida
precisa que suas organizações didáticas possibilitem e gerenciem um processo
de estudo cuja dinâmica pode ser descrita seguindo os seis momentos ou
dimensões do referido processo. Diante disso, Chevallard (1999) explica que uma
proposta de análise para organizações didáticas, de algum saber, pode buscar
suas evidências nas questões sobre a realização dos diferentes momentos
didáticos: Como realizar o primeiro encontro com a organização didática? Com
56
qual tipo de tarefa? Como conduzir o estudo exploratório de um tipo de tarefa
dado? Como conduzir o momento da institucionalização? Como realizar a
avaliação?
A partir da noção dos momentos didáticos, o pesquisador Josep Gascón
elaborou um modelo teórico, chamado pelo autor de sistema de referência, que
permite situar cada uma das organizações didáticas possíveis em
correspondência com alguma das dimensões (momentos) da atividade
matemática.
3.2. Modelos Didáticos de Josep Gascón
Segundo Gascón (2003), o modelo teórico é representado por um
hipotético espaço tridimensional, cujos pontos representam uma organização
didática possível. Os eixos do sistema tridimensional, conforme Figura 5, são
representados por três dos momentos ou dimensões da atividade matemática:
O momento tecnológico/teórico (𝜃/ 𝜣), o momento do trabalho da técnica (T/ 𝝉) e o momento exploratório (ex). Em cada eixo, estão situadas as organizações didáticas ideais que chamamos de unidimensionais porque se caracterizam por única dimensão do processo de estudo, possibilitando à referida dimensão prioridade absoluta e o papel secundário às outras dimensões. Nessa direção, surgem as organizações didáticas Teoricistas, Tecnicistas e Modernistas (GASCÓN, 2003, p.19).
Figura 5: Sistema de Referência das organizações didáticas.
Fonte: Gascón(2003)
Na organização didática Teoricista predomina o momento
tecnológico/teórico; isto implica que a atividade matemática enfatiza o aspecto
teórico. O ensino da matemática se apresenta como conhecimento acabado,
57
deixando de lado a importância da exploração da atividade matemática. Gascón
(2003) explica que as organizações didáticas Teoricista são identificadas pelo
processo de ensinar e aprender teorias matemáticas e que o referido processo
começa e praticamente acaba no momento que as teorias são transmitidas para
os alunos. O autor ressalta que a resolução de problemas é considerada uma
atividade secundária dentro do processo de ensino e que serve como um
elemento auxiliar na aprendizagem das teorias.
A organização didática Tecnicista enfatiza o aspecto da técnica e, com
isso, pode-se dizer que o mais importante na atividade matemática é o uso de
algoritmos. Segundo Gascón (2003), o Tecnicismo parte de certas técnicas
algorítmicas e propõe unicamente aqueles exercícios que servem como
treinamento para chegar a dominar as técnicas. Diante disso, não são utilizadas
estratégias de resolução de problemas sem aplicação de algoritmos.
Para Gascón (2003), a atividade de resolução de problemas nas
organizações didáticas Teoricistas e Tecnicistas apresenta.
um grave defeito que é tratar os problemas matemáticos como se fossem isolados e descontextualizados. Isto significa, por um lado, que os problemas se tratam individualmente e nunca como representantes de certas classes de problemas e, por outro lado, que se tende apresentar os problemas separados de seu contexto, sem nenhuma conexão com o sistema (matemático o extramatemático) a partir do qual surgem no seio de uma atividade matemática (GASCÓN, 2003,p.25).
Na organização didática Modernista observa-se a predominância do
momento exploratório da tarefa que conduz a um processo de estudo por meio de
atividades matemáticas que enfatizam a construção de conhecimentos. Gascón
(2003) explica que o Modernismo se caracteriza por conceder uma importância
absoluta ao momento exploratório; isto significa que ensinar e aprender
matemáticas consiste em propor aos alunos atividades exploratórias de
problemas não triviais, evidenciando a valorização das estratégias de solução
utilizadas para resolver os problemas propostos que não apresentem semelhança
com os problemas dos livros didáticos (por exemplo, problemas do tipo de
olimpíadas). O autor ressalta, ainda, que:
o Modernismo se posiciona contra a visão simplicista de um ensino considerado como um processo trivial, mecânico e
58
totalmente controlado pelo professor. Translada o centro de gravidade do processo didático para aprendizagem e considera que o referido processo de aprendizagem é um processo de descobrimento indutivo e autônomo (GASCÓN, 2003, p.26).
Contudo, as organizações didáticas Modernistas se caracterizam por
desenvolver atividades matemáticas que incluem os sujeitos (professores e/ou
alunos) em um processo de pensamento livre e criativo. Para isso, as teorias e
técnicas matemáticas ficam distantes do processo de ensino e aprendizagem.
Dessa forma, segundo Gascón (2003), o isolamento e a descontextualização dos
problemas, que eram preocupantes nas organizações didáticas Clássicas, se
agravam ainda mais no modernismo.
O modernismo pretende destriavilizar a atividade matemática ocultando as classes de problemas que constituem o contexto em que estão situados os problemas e fingindo que não existem técnicas matemáticas, isto é, maneiras sistemáticas e compartilhadas que podem ser ensinadas na instituição. Esta ocultação se realiza com a intenção de assegurar que a exploração seja “livre”(das técnicas matemáticas potencialmente úteis, para que isso não diminua a liberdade do “explorador”) e “criatividade” no sentido cultural de “surpreendente” e “não rotineiro” (GASCÓN, 2003, p.26-27).
Em geral, as organizações didáticas Teoricistas, Tecnicistas e
Modernistas enfatizam uma única dimensão da atividade matemática. A figura 5
mostra a representação geométrica idealizada por Gascón (2003) para o sistema
de referência.
O plano formado pelos eixos que contêm os momentos
tecnológico/teórico (𝜃/ 𝜣) e o trabalho da técnica (T/ 𝝉)constitui o que Gascón
(2003) denomina de organizações didáticas Clássicas. Para o autor, as
organizações didáticas Clássicas se caracterizam pela trivialização da atividade
da resolução de problemas e por considerar o ensino das matemáticas um
processo mecânico e totalmente controlado pelo professor.
O plano formado pelos eixos que contêm os momentos didáticos
exploratórios (ex) e o trabalho da técnica (T/ 𝝉) constitui o que Gascón (2003)
denomina de organizações didáticas Empiristas. Para o autor, as organizações
didáticas Empiristas se caracterizam pela atividade da resolução de problemas
dentro do processo didático global e por considerar que aprender matemática é
um processo indutivo baseado na reprodução e na prática.
59
Contudo, há organizações didáticas, com raízes no Empirismo, que vão
além das barreiras da reprodução e da prática, denominadas de
Procedimentalistas ou Procedimentalismo. Para Gascón (2003), as
organizações didáticas Procedimentalistas são:
formas de organizar o estudo das matemáticas que situam como principal objetivo didático o domínio de sistemas estruturados de técnicas heurísticas( o sentido de não algorítmica). Nesse sentido completa e melhora a destrivialização dos conhecimentos matemáticos iniciados pelo modernismo (GASCÓN, 2003, p.27).
Com isso, o Procedimentalismo se caracteriza por iniciar o processo de
ensino e aprendizagem com a exploração dos problemas(Modernismo) e, depois,
com o desenvolvimento do trabalho das técnicas matemática(Técnicismo). Nessa
direção, Gascón (2003), explica que a resolução de problemas é utilizada como
estratégia didática que conduz o aluno a dominar sistemas estruturados de
técnicas.
O plano formado pelos eixos que contêm os momentos didáticos
exploratórios (ex) e o tecnológico/teórico (T/ 𝝉) constitui o que Gascón (2003)
denomina de organizações didáticas Construtivistas. Segundo o autor, as
organizações didáticas Construtivistas se caracterizam por considerarem a
atividade da resolução de problemas o caminho para construção de
conhecimentos, tornando a aprendizagem um processo ativo, e que as etapas
dessa construção dependem dos conhecimentos adquiridos anteriormente. As
organizações didáticas construtivistas se dividem em duas concepções:
Construtivismo Psicológico e Construtivismo Matemático.
As organizações didáticas que surgem sob a perspectiva do
construtivismo psicológico utilizam a resolução de problemas como um caminho
simples de construir novos conhecimentos, ou melhor, como instrumento para a
formação dos conceitos. Gascón (2003) explica que esse fato faz com que o
trabalho da técnica seja ignorado na aprendizagem das matemáticas e,
particularmente, na resolução de problemas.
60
Para Gascón (2003), o uso de situações-problema 9 no contexto do
construtivismo psicológico:
Apresenta o problema matemático tão isolado como o Teoricismo, o Tecnicismo e quase tanto como o Modernismo. Porém o sistema conceitual em que o conceito a construir ocupará seu lugar constitui certo contexto da situação-problema e, com isso, o instrumento de construção desse conceito permite que os problemas sejam apresentados mais contextualizados, diferentemente das outras organizações didáticas (GASCÓN, 2003, p.29).
As organizações didáticas atreladas à perspectiva do construtivismo
matemático procuram desenvolver a formação do conhecimento mediante um
processo de Modelização. Gascón (2003) explica que o “aprender matemática”,
nessa organização, é interpretado como um processo de constituição do
conhecimento matemático, relativo a um sistema matemático e
extramatemático 10 , por meio da utilização de modelos matemáticos desse
sistema. Nessa direção, a resolução de problemas compõe um papel importante
no construtivismo matemático, porque representa a atividade responsável pela
modelização matemática.
Gascón (2003) explica que as organizações didáticas Clássicas,
Empiristas e Construtivistas possuem seus fundamentos em modelos
epistemológicos gerais das matemáticas. Para o autor, as organizações didáticas
Clássicas são sustentadas pelo modelo denominado Euclidianismo; o modelo
epistemológico denominado Quase-empirismo sustenta as organizações
didáticas Empiristas; e as organizações didáticas Construtivistas são sustentadas
pelo modelo denominado Construtivismo.
Para Pires (apud CAMILA, 2007),os modelos epistemológicos de Gascón
apresentam características peculiares diante de situações de ensino das
matemáticas:
99
. Mirieu (1988), citado por Perrenoud et al.(2002,p.115), define situação-problema sendo uma
situação didática na qual se propõe ao sujeito uma tarefa que ele não pode realizar sem efetuar uma aprendizagem precisa. E essa aprendizagem, que constitui o verdadeiro objetivo da situação-problema, se dá ao vencer o obstáculo na realização da tarefa. É nessa perspectiva que entendemos a ideia de situação-problema em Gascón (2003). 10
. Para Gascón(2003) são construções matemáticas realizadas no campo da Economia, no campo da Física, da biologia etc..
61
No modelo Euclidianista o professor “usa o problematizar como controle das aprendizagens adquiridas pelos alunos”, o aluno “deve aprender o conteúdo, suas relações e seus fundamentos” e no saber predomina o caráter conceituar. No modelo Quase-empirista o professor usa o problema como motivo para satisfazer as inquietações dos alunos”, o aluno “ seu interesse é medido pela sua participação e desempenho nas sequências apresentadas” e no saber ”predomina o caráter atitudinal”. No modelo Construtivista o professor “usa o problema como meio para aproximar o aluno do saber matemático”, o aluno “importa como se relaciona com o saber” e no saber ”predomina o caráter procedimental”(PIRES apud CAMILA, 2007,p.27).
Diante do exposto, esta pesquisa se encontra dentro da abordagem
antropológica do didático, na qual investigamos a organização matemática e a
organização didática dos objetos da Análise Combinatória. A organização
matemática refere-se à realidade que se pode construir com os objetos da Análise
Combinatória para ser desenvolvida em uma sala de aula. A organização didática
refere-se à forma que os objetos da Análise Combinatória se configuram nos
livros didáticos. Os resultados da pesquisa referentes ao estudo dessas
organizações praxeológicas que realizamos serão descritos no capítulo seguinte.
62
4. ANÁLISES PRAXEOLÓGICAS E ASPECTOS HISTÓRICOS DOS
LIVROS DIDÁTICOS NO PERIODO ENTRE 1985 ATÉ 2009
Neste capítulo, apresentamos as análises praxeológicas, dos saberes da
Análise Combinatória, realizadas em livros didáticos, que estiveram no currículo
escolar brasileiro, no período entre 1900 e 2009. Para justificar a importância que
tais obras tiveram no contexto escolar, descrevemos alguns aspectos históricos
dos livros à luz das ideias de educadores matemáticos que desenvolvem suas
pesquisas no campo da história do livro e das disciplinas escolares. É importante
ressaltar que não tivemos a pretensão de estabelecer uma análise histórica, mas
apenas contextualizar o período temporal dos livros que categorizamos da
seguinte maneira: livros que antecederam os anos 1900; livros entre 1900 e 1960;
e livros entre 1980 e 2009. Ao longo desses períodos, podemos observar obras
que tiveram fortes influências de algumas reformas educacionais que produziram
transformações no modo de ver e de ensinar matemática nas escolas brasileiras.
No que se referem às análises das organizações praxeológica,optamos
por indicar cada tarefa – matemática ou didática – por Tarefa (Tij), com i
indicando a ordem do livro, respeitando sua temporalidade, e j, a ordem da tarefa.
Por exemplo: Tarefa (T12) indica que pertence ao primeiro livro analisado e a
segunda tarefa analisa do respectivo livro. O mesmo ocorre com as técnicas
associadas ás tarefa, por exemplo: Técnica 1.2, indica que pertence ao primeiro
livro e é uma técnica da segunda tarefa.
4.1. Aspectos históricos e Livros didáticos que antecederam os anos
1900
O período moderno representou uma fase importante para a estruturação
da Álgebra. De acordo Lloyd (2003), entre as principais questões estudadas pelos
matemáticos da época era o desenvolvimento binomial. Tais estudos tinham
como foco principal a solução de problemas envolvendo potenciação de
polinômios. Nesse sentido, a expansão binomial tornou-se um objeto matemático
importante na prática dos matemáticos. Contudo, houve a necessidade de
primeiramente compreender o funcionamento das expansões binomiais. Diante
desta, situação a Análise Combinatória é conduzida para o contexto das práticas
matemáticas numa concepção puramente simbólica. E, com isso, a combinatória
63
ganha seu espaço na matemática, com uma necessidade para no estudo do
desenvolvimento binomial, principalmente o estudo das permutações e das
combinações. Este fato pode ser observado na primeira coletânea de textos de
Análise Combinatória escritos na língua inglesa,escrito por Nicholson, em 1818.
O trabalho de Nicholson (apud Lloyd 2003), intitulado Análise
Combinatória aplicação para problemas da álgebra, apesentava notações
modernas para expações binomiais com expoentes quaisquer, produto com dois
ou mais binômios, objetos multinomiais, reversões e conversões de séries e teoria
das equações indeterminadas. Segundo Lloyd (2013), o trabalho desenvolvido por
Nicholson foi muito valioso no ponto de vista da história da matemática, pois a
obra reuniu os próprios estudos de Nicholson como, também, estudos de outros
matemáticos que o antecederam.
No que se refere aos conteúdos estudados nas escolas secundárias
brasileiras, a origem se deu com a instalação da Academia Real Militar e
Academia Real de Guardas-Marinha, em virtude da chegada da corte portuguesa
no Brasil. O ensino de matemática superior foi com o tempo sendo produto da
Academia Real Militar, enquanto que a Matemática, em nível secundário, foi se
constituindo objeto estudado na Academia Real de Guardas-Marinha. Valente
(2007) ressalta que:
a criação da Academia Real Militar estabelece, no Brasil, a separação matemática elementar/matemática superior. Já a Academia Real dos Guardas-Marinha vai solidificando um programa de estudos e conteúdos de nível médio elementar. Tanto uma como a outra dão contribuições decisivas para o que podemos chamar de Matemática escolar secundária. (VALENTE, 2007, p.107).
É diante desse contexto que surgem, dentro das Academias militares, os
livros didáticos de Matemática. Contudo a formação que as escolas militares
destinavam aos jovens, no período imperial, tinha um caráter militar e técnico,
pois formavam oficiais de carreira e engenheiros. Os cursos superiores jurídicos e
médicos eram desenvolvidos em outras instituições distribuídas em Pernambuco,
Bahia, São Paulo e Rio de Janeiro.
Com o surgimento dos cursos superiores, acima descritos, emergiu a
questão referente aos requisitos básicos que o jovem deveria ter para ingressar
64
nas escolas de formação de engenheiros, ou de Médicos, ou de Advogados.
Nesse sentido, Valente (2007) considera que:
o engenheiro estava desde muito tempo caracterizado como um oficial militar. Um oficial cujo núcleo de estudo centrava-se nas matemáticas. Do futuro oficial militar exigia-se o conhecimento das quatro operações fundamentais da aritmética no momento de seu ingresso na Academia Real Militar. Ao futuro médico, o primeiro plano de estudos de constituição do curso de cirurgia na Bahia exigia tão somente que o candidato soubesse ler e escrever. Ao futuro advogado, bacharela dos cursos jurídicos criados em 1827, algo mais complexo era exigido: o artigo 8º da lei de 11 de agosto que estabeleceu a criação das Academias de São Paulo e Olinda dizia: os estudantes que se quisessem matricular nos cursos jurídicos devem apresentar as certidões de idade por que mostrem ter a de quinze anos completos, e de aprovação da língua francesa, gramática latina, retórica, filosofia racional e moral e geometria (VALENTE, 2007, p.113).
Moreira de Azevedo (1881, p.99-100) citado por Valente (2007, p.118),
descreve que em 1832, por ocasião da nova estrutura organizacional das
Academias Médicos-Cirúrgicas do Rio de Janeiro e da Bahia, também foram
exigidos que os jovens apresentassem conhecimento de aritmética e geometria,
para ingresso nas referidas instituições.
Como se vê a aritmética e a geometria, juntamente com as disciplinas
clássicas, faziam parte do núcleo de disciplinas que os jovens deveriam dominar
para ingressar nas instituições de ensino superior. Dessa forma, a formação entre
o ensino primário e o ensino superior, denominada secundária, passou a ter um
espaço privilegiado na educação do período imperial com a criação do Colégio
Pedro II, em 1838. Segundo Valente (2007), o Colégio foi instituído para servir de
modelo de escolarização secundária para o país.
A matemática desenvolvida no Colégio Pedro II passou a ser a principal
referência dentro do contexto nacional. Nesse sentido, o colégio tornou-se o
centro de discussões acerca do que deveria ser ensinado aos alunos
secundaristas e dos livros didáticos que deveriam ser adotados no País. Melhor
dizendo, o núcleo de decisões educacionais para o ensino de matemática escolar
no Brasil. Nos primeiros anos do Colégio Pedro II, a matemática era estudada em
todos os oito anos destinados à formação secundária dos jovens. Segundo
Valente (2007), a Aritmética era estudada nos três primeiros anos; a geometria
65
nos 4º e 5º anos; a álgebra nos 6 º e 7º anos e, finalmente, a trigonometria no 8º
ano. O autor revela, ainda, que a finalidade do ensino do Colégio era puramente
preparatória aos exames para o ingresso dos jovens nos cursos superiores. Para
isso, o Colégio precisava ter professores com excelente formação matemática e
que fossem capazes de produzir o material didático que correspondesse aos
programas de ensino da época.
De acordo com Valente (2007), os primeiros autores de livros didáticos
foram professores que estudaram nas escolares militares e que posteriormente
tronaram-se mestres da própria escola. Assim sendo os professores foram
influenciados pelos livros de Bézout11, adotado na Academia de Marinha, e os
livros de Lacroix 12 , adotado pela Academia Militar. Contudo o desafio dos
professores era de produzir textos que tivessem uma característica mais voltada
para o ensino secundário. É, nessa direção, que podemos observar os indícios de
uma didática da matemática manifestando-se, no contexto do Colégio Pedro II,
com uma preocupação voltada às organizações didáticas dos livros. Valente
(2007) descreve ainda que mesmo com as várias
reedições das primeiras obras didáticas nacionais entrando pela segunda metade do século XIX, haverá, por essa época, o que poderemos chamar de atualização da escrita dos compêndios de matemática em face do que se está produzindo para o ensino nas escolas francesas. Essa atualização está representada pelas compilações de novos autores didáticos franceses, que já de um tempo substituem os velhos manuais de Bézout e Lacroix não mais reeditados. O principal responsável por essas compilações é Cristiano Benedito Ottoni (VALENTE, 2007, p.128).
Para Lorenz e Vechia (2004), Cristiano Benedito Ottoni foi o autor cujos
livros didáticos predominaram no ensino de matemática do Colégio Pedro II, na
segunda metade do século XIX até 1890, com os seus compêndios de aritmética,
álgebra, geometria e trigonometria. Os autores ressaltam que Ottoni publicou em,
1852, no Rio de Janeiro, o livro Elementos de Álgebra para os estabelecimentos
de instrução superior e secundária, utilizado no Colégio Pedro II até 1870. A obra
11 . EttieneBézout era examinador dos aspirantes e dos alunos de Artilharia na França. Publicou no final do século XVIII o curso de MAthématiques à l`uagedesgardesdupavillon de la marine e o curso de Mathématiques à l´usageducorpsroyal de l´artilleire(LORENZ&VECHIA, 2004,p.58). 12
. SylvestreFraçoisLacroix, professor de Matemática da ècolePolitechinque, da ècole Central desquatreNations e do Collége de France[...]A versão em português adotada no Colégio foi Elmentos de Geometria de S.F.Lacroix-tradução para uso da Imperial Academia Militar(LORENZ&VECHIA, 2004,p.57).
66
foi uma compilação de Elémentsd`Algébre, escrito por Bourdon13, em 1817, e tal
foi reimpresso mais de vinte vezes até o fim do século XIX (VALENTE, 2007,
p.151). A versão do Elémentsd`Algébre, de Bourdon, de 1891, foi organizada em
10 capítulos para uso na L´écolePolytechnique. A figura 6 mostra que o capítulo
V, intitulado formationdespuissancesetextractiondesracines d`undegréquelconque,
possui um sub capítulo destinado ao estudo do Binômio de Newton, como
consequência das fórmulas do que o autor intitula de Teoria das Combinações.
Figura 6: Sumário do livro Eléments d`Algébrede.
Fonte: Bourdon(1891).
O que se denomina, na obra de Bourdon (1891), Teoria das Combinações
é o desenvolvimento, nesta ordem, das fórmulas da Permutação simples, do
Arranjo simples e da Combinação simples. Identificamos na obra quatro tarefas
distribuídas em seis páginas do livro.A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas
e o discurso tecnológico/teórico identificados no livro Eléments d`Algébrede
Bourdon (1891).
Tarefa T1.1: apresentar a noção de Permutação, Arranjo e Combinação.
13
.Pierre Louis Bourdon, matemático francês que lecionava em várias instituições e era inspetor da Universidade de Paris. Ficou muito conhecido pelos seus livros didáticos Eléments d´arithmétiques e Eléments d´algèbre(LORENZ&VECHIA, 2004,p.65)
67
Técnica 1.1 e discurso tecnológico/teórico: A técnica utilizada por
Bourdon (1891) para o desenvolvimento da tarefa T1.1 consiste em construir
intuitivamente alguns agrupamentos com as letras a, b, c, d,...O autor inicia
mostrando que duas letras, a e b, fornecem duas Permutações ab e ba. Três
letras a, b e c, fornecem seis Permutações abc, acb, cab, cba, bac, bca. Em
seguida, o autor explica que para um total de m letras a, b, c, d, e,..., selecionadas
2 a 2, ou 3 a 3, ou 4 a 4,..., Têm-se a constituição de Arranjos. Em seguida,
Bourdon (1891, p.210) explica que: ab, ac, ad,..., ba, bc, bd,...,ca ,cb..., são
Arranjos 2 a 2 de m letras; da mesma forma abc, abd,...,bac, bad,..., abc,...são
arranjos 3 a 3 de m letras. E, finalmente, o autor explica que a Combinação de n
elementos selecionados 2 a 2, ou 3 a 3, ou 4 a 4,..., “são grupos de arranjos que
diferem um do outro pelo menos com uma letra”(BOURDON, 1891,p.211). A
justificativa para o uso dessa técnica (discurso tecnológico/teórico) parte da
constituição dos agrupamentos por meio de listagem direta para apresentar as
noções de Arranjo simples, de Permutação simples e a noção de Combinação.
Tarefa T1.2: mostrar uma regra geral para o número de Permutações de
n elementos.
Técnica 1.2: A figura 7 mostra que Bourdon (1891, p.212) partindo da
noção de Permutação com duas letras (a e b) e com três letras (a, b e c),
descritas na técnica 1.1, utiliza a notação P2 para representar o número de
Permutações com 2 letras. E, com isso, apresenta a seguinte expressão: P2 = 1 x
2. Em seguida o autor utiliza a notação P3 para representar o número de
Permutações com 3 letras. E, com isso, apresenta as seguintes expressões: 2x3
ou 1x2x3 ou P3 = 1 x 2 x 3. A partir dessas duas situações o autor explica que a
Permutação de n letras (Pn) é igual ao produto da Permutação das (n-1) letras
(P(n-1)) pelo número n de letras que estão sendo permutadas: Pn = P(n- 1) x n.
68
Figura 7: Representação do número de Permutações com 2 letras.
Fonte: Bourdon (1891)
O discurso tecnológico/teórico consiste numa abordagem teorista nos
termos de Gascón (2003)
Tarefa T1.3: mostrar uma regra geral para o número de Arranjo de m
elementos tomados n a n.
Técnica 1.3: A figura 8, mostra que Bourdon (1891, p.213) partiu da regra
para calcular o número de Permutações com n letras, descrita na Tarefa (T1.2), e
utiliza a notação An para representar o número de Arranjos de m letras tomadas n
a n. Para isso, o autor considera, inicialmente, que seja conhecido o número de
Arranjos de m letras tomadas (n-1) a (n-1). Pois, como em cada um desses
69
Arranjos entram (n-1) letras, e o número de total de letras é m, então (m-n+1)
letras que faltarão em cada um dos Arranjos. Diante disso, o número total de
Arranjos de m letras tomados n a n é calculado pela seguinte expressão:𝐴𝑛 =
𝐴 𝑛−1 . (𝑚 − 𝑛 + 1) . Partindo dessa regra Bourdon (1891, p.213) realiza uma
sequência de cálculo de Arranjos, iniciando com n = 2, depois n=3, depois n = 4 e,
com isso, generaliza a seguinte regra geral:
𝐴𝑛 = 𝑚. 𝑚 − 1 . 𝑚 − 2 . 𝑚 − 3 … 𝑚 − 𝑛 + 1 .
Figura 8: Cálculo do número de Permutações com n letras.
Fonte: Bourdon (1891)
Técnica 1.3.1: A Técnica 1.3.1 é uma consequência da Técnica 1.3 na
qual o autor por considerar a Permutação como um caso particular do Arranjo e,
70
com isso, admitindo que m = n generaliza a seguinte regra geral para o cálculo do
número de Permutações: 𝑃𝑛 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 . 𝑛 − 3 … 2.1 . O discurso
tecnológico que justifica a Técnica 1.3 é formado pelos pressupostos de uma
abordagem teorista nos termos de Gascón (2003)
Tarefa (T1.4): mostrar uma regra geral para o número de Combinações
de m elementos tomados n a n.
Técnica 1.4: Na figura 9, Bourdon (1891, p.213) partiu da regra para
calcular o número de Permutações com n letras, descrita na Técnica 1.2 e,
também, da regra para calcular o número de Arranjos com m letras tomadas n a
n, descrita na Técnica 1.3, para calcular o número Combinações com m letras
tomadas n a n, utiliza a notação Cn. Para isso, o autor explica que Permutando
todas as possíveis n letras de cada Combinação têm-se os Arranjos das m letras
tomados n a n. Diante disso, o autor conclui que: 𝐴𝑛 = 𝐶𝑛𝑥𝑃𝑛 . Em seguida,
apresenta a regra geral 𝐶𝑛 =𝐴𝑛
𝑃𝑛=
𝑚 . 𝑚−1 . 𝑚−2 …(𝑚−𝑛+1)
𝑛 . 𝑛−1 . 𝑛−2 …3.2.1.
71
Figura 9: Cálculo do número de Permutações com n letras.
Fonte: Bourdon (1891)
A tecnologia que justifica a Técnica 1.4 tem sua estrutura construída a
partir das tarefas e técnicas precedentes, mantendo assim uma escolha didática
com as características de uma abordagem Teoricista, nos termos de Gascón
(2003).
O livro de Bourdon (1891) não apresenta grupo de exercícios resolvidos e
nem exercícios propostos para os alunos. Os três problemas descritos na obra –
identificados em nossa análise praxeológica por Tarefa 1.2, Tarefa 1.3 e
Tarefa 1.4 – tiveram a finalidade de mostrar, por meio de situações particulares
para depois generalizar as fórmulas da Permutação simples, do Arranjo simples e
da Combinação simples.
Dessa forma, pode-se observar que essa obra não apresenta problemas
propostos para que o aluno resolva e não pressupõe a aprendizagem como
consequência da atividade matemática do aluno. A escolha de abordagem, pelo
que se pode perceber da obra analisada, é Teoricista, nos termos de Gascón
(2003). Retomando o apresentado no item 3.2, lembramos que as organizações
72
didáticas Teoricistas privilegiam teorias matemáticas e o processo de
aprendizagem começa e praticamente acaba no momento que as teorias são
transmitidas para os alunos.
Após a proclamação da República, em 1889, as reformas educacionais,
iniciando com a de Benjamin Constant em 1890, produziram um processo intenso
de alterações no currículo do Colégio Pedro II. De acordo com Lorenz e Vechia
(2004, p.64), na área de matemática, os estudos passaram a ser mais
aprofundados, incluindo tópicos de matemática superior. Foi-lhes atribuído um
maior número de anos de estudos; maior carga horária e um número maior de
itens no programa. Essas mudanças no programa de matemática acarretaram na
inserção de novos livros didáticos, visando aprofundar os estudos.
Com isso, o Livro Elémentsd`Algébre, de Bourdon, foi inserido oficialmente,
como livro didático, no programa de ensino de 1895. Três anos mais tarde, 1898,
a obra foi substituída pelo Leçonsd`Agébre, de Charles August Albert Broit,
publicado em Paris, em 1855, 40 anos antes. Nesta obra, Charles Broit, apresenta
no capítulo III, a mesma sequência demonstrativa da Permutação, do Arranjo e da
Combinação, utilizada por Bourdon(1891), servindo de fundamentação para o
desenvolvimento do Binômio de Newton. Logo, a organização didática identificada
permanece, mesmo com a mudança do livro didático adotado.
Na seção a seguir, fazemos a análise praxeológica e discutimos o
movimento histórico educacional brasileiro de outros livros didáticos, utilizados na
pesquisa, no período que vai de 1900, passando pela reforma Francisco Campos,
até a reforma Gustavo Capanema.
4.2. Análise de livros entre 1900 e 1960
Um fato marcante na história dos livros didáticos brasileiros ocorreu, em
1902, com a fundação da editora F.T.D. (FréreThéophaneDurand), no Rio de
Janeiro, que supriu a demanda de livros europeus pelos colégios católicos criados
no Brasil (VALENTE, 2007, p.190). A congregação dos Irmãos Maristas,
responsável pela editora, também, se instalou no Brasil com a fundação de seus
próprios colégios. De acordo com Barone (2008) os livros utilizados pelos
maristas eram geralmente escritos pelos próprios irmãos, mas seus nomes não
73
apareciam como autores da obra. Isto ocorreu porque no final do século XIX, a
congregação dos irmãos maristas passou a escrever sua própria produção
assinada pela sigla da editora.
O livro “Álgebra Elementar” produzido por essa editora, no ano de 1921,
para uso dos colégios e principalmente na preparação dos jovens que estavam
interessados em ingressar nas universidades, possui um capítulo intitulado
“Binomio e Applicações” que apresenta em seis páginas um estudo intitulado
Theoria das Combinações. Na figura 10 podemos observar um possível objetivo
pelo qual os saberes da Análise Combinatória estavam presentes nas escolas
brasileiras da época.
Figura 10: Capítulo I: Binomio de Newton, livro Álgebra Elementar.
Fonte: F.T.D.(1921)
O livro Elementos de Álgebra, publicado pela editora F.T.D.(1921), assim
como o livro Élements d’Algèbre, não apresenta exercícios propostos aos alunos.
Mantém assim as características de uma organização praxeológicateoricista
Segundo Lorenz e Vechin (2004), no programa de 1892 do Colégio Pedro
II, constava o Tratado de Álgebra Elementar, escrito pelo professor de Matemática
74
do liceu de Coimbra, José Adelino Serrasqueiro, que se manteve no programa até
1930. A Figura 15 mostra que na versão de 1925, o capítulo I, intitulado
“Potencias e raízes de polynomios”, inicia com o estudo do Arranjo, da
Permutação e da Combinação, para fundamentar o estudo do Binômio.
Figura 11: Introdução do capítulo I do livro Tratado de Álgebra Elementar.
Fonte: Serrasqueiro (1925)
A obra de Serrasquiero (1925) apresenta, inicialmente, as fórmulas do
Arranjo, da Permutação e da Combinação, nas mesmas condições que
analisamos na obra de F.T.D. (1921). Ou seja, as tarefas e as técnicas para
mostrar as fórmulas gerais do cálculo do número de Arranjos, de Permutações e
de Combinações são idênticas. Nessa direção, identificamos na obra de
Serranqueiro (1925) uma escolha didática com as características de uma
abordagem teoricista, nos termos de Gascón (2003). Contudo, identificamos um
fato interessante que diferencia, em parte, a opção metodológica do primeiro
autor em relação à do segundo autor, que é a presença de exemplos resolvidos
após a apresentação de cada fórmula. Isto nos permitiu realizar uma análise das
organizações matemáticas identificadas na obra.
75
Analisaremos os exemplos resolvidos na perspectiva de organizações
matemáticas. Segundo Chevallard (1999), uma organização matemática de um
tema de estudo é o estudo da própria realidade matemática. E, para nós, essa
realidade se manifesta na forma como os sujeitos resolvem os problemas que
envolvem os objetos matemáticos em questão.
Primeiro exemplo: “o número de arranjos de 8objectos 4 a 4 é”
(SERRASQUEIRO, 1925, p.270).
Tarefa (T3.1): determinar o número de arranjos simples de 8 elementos
tomados 4 a 4.
Técnica 3.1: optamos em subdividir a técnica adotada pelo autor em
etapas, pois acreditamos que cada uma dessas etapas nos descreve melhor a
realidade matemática que o autor pretende construir.
Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula
para calcular o número de Arranjo simples. Com isso, temos:𝐴84 = 8𝑥7𝑥6𝑥5.
Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, temos que 𝐴84 = 1680.
Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m
elementos tomados p a p.
Segundo exemplo: “o número de permutações de cinco objetos é”
(SERRASQUEIRO, 1925, p.271).
Tarefa (T3.2): determinar o número de permutações de 5 elementos.
Técnica 3.2: a técnica foi desenvolvida pelo autor em duas etapas
Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula
para calcular o número de Permutações simples. Com isso, temos:
𝑃5 = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1
Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, temos que 𝑃5 = 120.
Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m
elementos tomados m a m que, por sua vez, gera a noção de Permutação
simples.
76
Terceiro exemplo: “o número de combinações de 8objetcos 5 a 5 é”
(SERRASQUEIRO, 1925, p.273).
Tarefa (T3.3): determinar o número de combinações de 8 elementos
tomados 5 a 5.
Técnica 3.3: a técnica pelo autor foi desenvolvida em quatro etapas:
Primeira etapa: substituir os valores do enunciado do exemplo na fórmula
para calcular o número de Combinações simples. Com isso, temos:𝐶85 =
8𝑥7𝑥6𝑥4𝑥5
5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1.
Segunda etapa: efetuar o produto do numerador.
Terceira etapa: efetuar o produto do denominador.
Quarta etapa: efetuar a divisão. Com isso, temos que 𝐶85 = 56.
Discurso tecnológico/teórico: A noção de Combinação simples de m
elementos tomados p a p e a regra da divisão entre números inteiros.
Serrasqueiro (1925), após apresentar a fórmula geral da Combinação,
descreve a situação seguinte, que não identificamos na obra de Bourdon (1981) e
nem na obra de F.T.D. (1921): ”para representar o producto 1.2.3...n, emprega-se
muitas vezes o symbolo n!. Segundo esta notação, a fórmula geral das
Permutações é 𝑃𝑛 = 𝑛! “(SERRASQUEIRO,1925,p.273). Em seguida, o autor
apresenta as fórmulas para calcular o número de Arranjos e Combinações
utilizando o Fatorial. A figura 16 mostra a forma como as fórmulas estão
apresentadas no texto.
Figura 12: Fórmulas do Arranjo e da Combinação com Fatorial.
Fonte: Serrasqueiro (1925)
Um fato interessante na obra de Serrasqueiro (1925) é que as fórmulas,
apresentadas na Figura 16, são expostas como uma alternativa para o cálculo do
77
número de Arranjos e do número de Combinações, mas ficaram em desuso no
livro. Outra questão importante, que identificamos na obra, é que no final do
capítulo consta uma lista com 32 exercícios, sendo alguns de Análise
Combinatória que seguem o mesmo padrão das Tarefas 3.1, 3.2 e 3.3, com
exceção do seguinte exercício: “Determinar todos os anagramas da palavra prato”
(SERRASQUEIRO, 1925, p.273). Analisaremos o exercício na perspectiva das
organizações matemáticas.
Tarefa (T3.4): calcular o número de permutações simples com cinco
elementos.
Técnica 3.4: a técnica será desenvolvida em duas etapas
Primeira etapa: substituir o valor n = 5 na fórmula da permutação simples.
Com isso, temos: 𝑃5 = 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1.
Segunda etapa: efetuar o produto. Com isso, 𝑃5 = 120.
Discurso tecnológico/teórico: A noção de Arranjo simples de m
elementos tomados m a m que, por sua vez, gera a noção de Permutação
simples.
Os exercícios que apresentamos em termos de organização praxeológica,
observadas a partir das atividades matemáticas, realizadas por Serrasqueiro
(1925), nos revelam que as técnicas utilizadas valorizaram exclusivamente o uso
das fórmulas para calcular o número de Arranjos, Permutações e Combinações. A
lista de exercícios propostos é formada por um grupo de dezesseis questões de
Análise Combinatória que possuem as mesmas características dos exercícios
resolvidos.
Os livros didáticos franceses tiveram uma marcante presença na
matemática do Colégio Pedro II, desde sua fundação até os anos de 1900, seja
por meio da compilação realizada pelos professores brasileiros ou pela inserção
dos livros nos programas de ensino. É importante ressaltar que no período em
questão havia outros livros didáticos de álgebra, aritmética e geometria, escritos
78
por professores do Colégio Pedro II e por autores que faziam parte de outros
colégios espalhados nas demais regiões do Brasil14, não citados neste texto.
É possível que o livro de Bourdon (1981) esteja entre as primeiras obras
no Brasil que apresentou a noção do Arranjo simples, da Permutação simples e
da Combinação simples. Os primeiros livros didáticos de álgebra elementar
apresentavam a “Teoria das Combinações” ou “Análise Combinatória”, com a
finalidade de utilizar as fórmulas do Arranjo, da Permutação e da Combinação no
desenvolvimento do Binômio de Newton e das potencias de polinômios. Este fato
nos fez inferir que o surgimento da Análise Combinatória nas escolas brasileiras
se deu por uma necessidade de utilizá-la como ferramenta para o
desenvolvimento de outros conteúdos escolares. Nessa direção, o importante
eram as fórmulas desenvolvidas para o cálculo de certos agrupamentos.
Segundo Dassie (2008), entre o final da década de 1920 e o início da
década de 1930, os programas de ensino passaram de uma estrutura
fragmentada (aritmética – álgebra – geometria – trigonometria) para uma unidade
denominada Matemática. Nesta direção, devemos destacar que o ensino
secundário como um todo passava por um processo intenso de mudança. Souza
(2012, p.327) explica que as mudanças geradas pela Reforma Francisco
Campos15, no ano de 1931, organizou o ensino secundário em dois ciclos. Os
dois ciclos eram divididos em Fundamental, com duração de cinco anos; e o outro
Complementar, com duração de dois anos.
Com a nova estrutura curricular para a matemática escolar implantada
pelo Colégio Pedro II, surgiu também um novo tipo de livro didático destinado a
esta disciplina. Os livros de aritmética, álgebra, geometria e trigonometria
deixaram de ser constituídos separadamente. Nesta direção surge, no contexto
escolar, o livro didático de Matemática, diferente para cada uma das séries do
ensino. O ensino de matemática para o primeiro ciclo do curso secundário no
Brasil ganhou o caráter de disciplina escolar, a partir das ações do professor
14
. cf.Lorenz&Vechia(2004) e Valente(2007) 15
. Após a Revolução de 30, durante o governo provisório chefiado por Getúlio Vargas foi criado o
Ministério da Educação e Saúde Pública, que sinalizava a tonificação do Estado educador, e Francisco Campos foi indicado como o seu primeiro titular. Na primeira metade de 1931, ele inseriu uma significativa reforma na educação nacional, com destaque para a criação do Conselho Nacional de Educação e a reorganização do ensino secundário e superior.
79
Euclides Roxo 16 . Valente (2003) explica que o professor Euclides Roxo fez
colocar no texto da legislação da Reforma Campos, denominada primeira reforma
nacional do ensino brasileiro, sua escrita sobre conteúdos e métodos de como a
disciplina Matemática deveria ser conduzida. Dassie (2008) acrescenta que uma
consequência das propostas de renovação para matemática realizada por
Euclides Roxo
é a escrita de novos livros para esta disciplina. Portanto, nada mais natural do que o próprio Euclides Roxo construir um livro, ou melhor, uma coleção para atingir os objetivos da reforma. O Curso de mathematica elementar, publicado a partir de setembro de
1929, materializa de forma ímpar os programas e as orientações metodológicas que estavam sendo constituídas (DASSIE, 2008, p.159).
O autor ressalta que os livros didáticos produzidos pelos professores
Cecil Thiré e Mello e Souza, também, do Colégio Pedro II, tiveram um papel
importante durante a reforma Campos. Os livros faziam parte de uma coleção
intitulada Mathematica, composta por três volumes, destinados às três primeiras
séries do curso secundário. Os dois primeiros foram publicados em 1931 e o
terceiro em 1932. Segundo Dassie (2008) a coleção estava intimamente ligada à
elaboração dos programas de ensino para o ano de 1930 e pode ser considerada
como uma reação contra as inovações propostas por Euclides Roxo.
Mesmo diante da possível crise que tenha ocorrido entre esses autores
durante a reforma Campos, a coleção escrita por Cecil Thiré e Mello e Souza,
após a reforma Campos, que passou a ser intitulada de Curso de Matemática,
para os dois últimos anos (4º e 5º) do ensino secundário, passou a ter Euclides
Roxo como coautor. Para Dassie (2008)este fato ocorreu inicialmente a partir do
quarto volume, mas alguns anos depois, o terceiro volume, por exemplo, é
reelaborado pelos três autores e passou, também, a compor a coleção do Curso
de Matemática. A figura 17 mostra a contracapa do Curso de Matemática, 4ª
edição, produzido em 1940, para os alunos do 5º ano 17. A obra apresenta o
Capitulo VII, intitulado noções de Análise Combinatória.
16
. Segundo Dassie(2008) Euclides de Medeiros Guimarães Roxo assumiu a cadeira de professor catedrático de Matemática do Colégio Pedro II, em 1929. 17
Após o 5º ano, os alunos ingressavam nos cursos complementares de 2 anos.
80
Figura 13:Contra capa do livro Curso de Matemática.
Fonte: Roxo, Thiré e Souza (1940)
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso
tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos
na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940).
Tarefa (T4.1): apresentar as ideias preliminares(introdução)
Técnica 4.1: a técnica é dividida em cinco etapas:
Primeira etapa: os autores iniciam o capítulo apresentando um grupo de
cinco problemas de contagem; explicando que para resolver tais problemas deve-
se levar em consideração a ordem e a maneira que são escolhidos os elementos
que figuram a coleção que contém os referidos elementos. Essa primeira etapa é
para situar o leitor no contexto da Análise combinatória.
Quando num problema figura uma coleção de elementos, é
possível que a solução desse problema vá depender da maneira
por que se escolhem alguns desses elementos e também da
ordem em que os elementos se dispõem [...]Tais problemas
constituem objeto de uma parte da Matemática denominada
Análise Combinatória ou Cálculo Combinatório(ROXO, SOUZA e
THIRÈ, 1940, p.75).
81
Segunda etapa: os autores apresentam uma classificação para os tipos de
problemas estudados na Análise Combinatória e destacam que o texto tratará
somente de problemas da “teoria dos agrupamentos”.
Terceira etapa: a Figura 18 mostra que, nesta etapa, os autores procuram
explicar a noção de agrupamentos.
Figura 14:Noção de Agrupamento.
Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)
Quanta etapa: consta em explicar o que são agrupamentos simples e
agrupamentos com repetição. Para isso, os autores utilizam as letras a, b, c e d,
formando agrupamentos com três letras.
Quinta etapa: informam que os arranjos, as permutações e as
combinações, são as principais formas de agrupamentos estudadas na Análise
combinatória. Porém, não explicam nesta etapa o que são essas formas de
agrupamento.
Discurso tecnológico/teórico: observamos que a obra apresenta
algumas ideias preliminares importantes para o desenvolvimento dos saberes da
Análise Combinatória. Fato este que não foi identificado nas obras anteriores. No
entanto, o discurso tecnológico/ teórico ainda consiste nos pressupostos de
organizações didáticas Teoricistas, segundo as ideias de Gascón (2003). Da
mesma forma identificamos que as tarefas e técnicas utilizadas, na obra de Roxo,
82
Thiré e Souza (1940), para apresentar as noções de Arranjo simples, Permutação
simples e Combinação simples, são as mesmas identificadas no livro Élements
d’Algèbre. Este fato reforça o aspecto Teoricista presente no livro. Contudo a
Tarefa (T4.4) e a Tarefa (T4.5) ainda não foram identificadas em nenhuma das
obras analisadas anteriormente.
Tarefa(T4.2) : apresentar a fórmula do número de Arranjos com repetição
Técnica 4.2 e discurso tecnológico/teórico: a Figura 21 mostra que os
autores realizaram uma exposição direta da fórmula. Este fato caracteriza ainda
mais a postura didática teoricista. Pois segundo Gascón (2003), no Teoricismo o
processo de ensino das matemáticas é um processo mecânico e totalmente
controlado pelo professor.
Figura 15: Fórmula para o cálculo do número de Arranjos com repetição.
Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)
Tarefa (T4.3): apresentar a noção de Permutações com elementos
repetidos
Técnica 4.3 e discurso tecnológico/teórico: a Figura 24 mostra que os
autores realizaram uma exposição direta da fórmula sem apresentar a noção de
Permutação com elementos repetidos. Fato semelhante ao ocorrido na Tarefa
(T4.2).
83
Figura 16: Permutação com elementos repetidos.
Fonte: Roxo, Souza e Thiré (1940)
Uma questão que observamos na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940) foi
o a forma como a fórmula para calcular o número de Combinações Completas
(com elementos repetidos) é apresentada. Os autores optaram, sem nenhuma
explicação, de apresentá-la por meio de uma nota de rodapé: “deixamos de incluir
exercícios numéricos sobre os problemas relativos às combinações com
repetição, para o caso de m elementos o número total de combinações eneárias
com elementos repetição será dado pela fórmula 𝐶𝑅𝑚𝑛 = 𝐶𝑚+𝑛−1
𝑛 ” (ROXO, SOUZA
e THIRÉ, 1940, p.78).
Algumas exercícios resolvidos do livro de Roxo, Souza e Thiré(1940),
apresentam as mesmas tarefas, técnicas e discurso tecnológico/teórico do livro
Tratado de Álgebra Elementar. Contudo os exercícios e organizações
matemáticas a seguir ainda não haviam sido identificados nas obras analisadas
anteriormente.
De quantos modos podemos dispor 5 cores, sem repetição, em quatro
retângulo iguais, colocando como indica a figura, de modo a formar bandeiras
diferentes? (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.81)
84
Tarefa (T4.4) calcular o número de bandeiras diferentes que podemos
formar com 5 cores.
Técnica 4.4: a técnica foi realizada em duas etapas
Primeira etapa: substituindo os valores de m=5 e n=4 na fórmula para
calcular o número de arranjos de m elementos tomados n a n: 𝐴54 = 5.4.3.2
Segunda etapa: O produto foi efetuado. 𝐴54 = 120
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo de m elementos
tomados n a n.
Num ramal de estrada de ferro existem 32 estações. A estrada deve
possuir bilhetes que possuem indicar todas as viagens possíveis entre as
estações. Qual é o número de bilhetes distintos? (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940,
p.81)
Tarefa (T4.5) calcular o número de Arranjos dos 32 elementos tomados 2
a 2.
Técnica 4.5: a técnica foi realizada em duas etapas
Primeira etapa: substituindo os valores de m=32 e n=2 na fórmula para
calcular o número de arranjos de m elementos tomados n a n: 𝐴322 = 32.31
Segunda etapa: O produto foi efetuado. 𝐴322 = 992
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo de m elementos
tomados n a n.
Com os algarismos 2, 4, 6, e 8 quantos números diferentes de três
algarismos podemos formar?(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.82)
Tarefa (T4.6): Determinar o número de Arranjos com repetição de 4
elementos 3 a 3.
Técnica 4.6: a técnica foi realizada pelos autores em duas etapas
Primeira etapa: substituindo os valores de m=4 e n=3 na fórmula para
calcular o número de arranjos com repetição de m elementos tomados n a n:
𝐴𝑅43 = 43
85
Segunda etapa: A potência foi desenvolvida. 𝐴𝑅43 = 64
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo com repetição de m
elementos tomados n a n.
Com as 26 letras do alfabeto quantos Arranjos ternários com repetição
podemos obter?(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.82)
Tarefa (T4.7): Determinar o número de Arranjos com repetição de 26
elementos 3 a 3.
Técnica 4.7: a técnica foi realizada pelos autores em duas etapas
Primeira etapa: substituindo os valores de m=26 e n=3 na fórmula para
calcular o número de Arranjos com repetição de m elementos tomados n a n:
𝐴𝑅263 = 263
Segunda etapa: A potência foi desenvolvida. 𝐴𝑅263 = 17576
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Arranjo com repetição de m
elementos tomados n a n.
“Quantas permutações diferentes podemos formar com as letras da
palavra MATEMATICA?” (ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.84)
Tarefa (T4.8): Determinar o número de Permutações de 10 elementos
com repetições de 2 elementos iguais(M), 2 elementos iguais(T), 3 elementos
iguais(A).
Técnica 4.8: a técnica foi realizada pelos autores em três etapas
Primeira etapa: substituindo os valore de m=10, a´=2, b´=2 e c´=3 na
fórmula para calcular o número de Permutação com elementos repetidos:
𝑃𝑅 =10!
3!.2!.2!
Segunda etapa: simplificaram a expressão. 𝑃𝑅 = 10.9.8.7.6.5
Terceira etapa: efetuaram o produto. 𝑃𝑅 = 151200
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Permutação com elementos
repetidos.
86
Exercício 8: Determinar o número de combinações binárias e ternárias de 9
elementos.
“Quantos “teams” diferentes de “basket-ball” se podem organizar com
uma turma de 50 alunos, sabendo-se que em cada “team” figuram 5
jogadores?”(ROXO, SOUZA e THIRÉ, 1940, p.84)
Tarefa(T4.9): Calcular o número de combinações de 50 elementos 5 a 5.
Técnica 4.9: a técnica foi realizada em três etapas
Primeira etapa: substituindo os valores de m=50 e n=5 na fórmula para
calcular o número de Combinações de m elementos tomados n a n:
𝐶505 =
50.49.48.47
5.4.3.2.1.
Segunda etapa: foi efetuada a simplificação. 𝐶505 = 5.49.4.47
Segunda etapa: O produto foi efetuado. 𝐶505 = 2.118.760
Discurso tecnológico/teórico: a noção de Combinação de m elementos
tomados n a n.
Os exercícios que apresentamos em termos de organização praxeológica,
observadas a partir das atividades matemáticas, realizadas por Roxo, Souza e
Thiré (1940), nos revelam que as técnicas utilizadas valorizaram exclusivamente o
uso das fórmulas para calcular o número de Arranjos, Permutações e
Combinações. A lista de exercícios propostos é formada por um grupo de 30
questões que possuem as mesmas características dos exercícios resolvidos. Com
isso, pode-se inferir que a resolução de problemas possui no contexto da obra
uma função puramente secundária.
A análise realizada na obra de Roxo, Souza e Thiré (1940) que esteve
dentro do programa de matemática, da reforma Campos, nos revelou que não
houve mudanças significativas em relação aos saberes, a ensinar da Análise
Combinatória, nas escolas brasileiras, descritos nos livros de Álgebra Elementar
analisados neste texto. Seguimos analisando uma obra que esteve no contexto
educacional da reforma Capanema.
87
A reforma educacional que ficou conhecida como reforma Capanema18
deu nova organização ao Ensino Secundário, criando o ginásio de quatro anos e
os cursos clássico e científico de três anos. Segundo Carvalho (2012, p.25) os
programas de matemática expedidos em 16 de março de 1943 estiveram em vigor
durante muito tempo, sofrendo algumas adaptações em 1951. O autor ressalta,
ainda, que a verdadeira mudança só ocorreria em 1967, com o advento do
Movimento de Matemática Moderna.
Uma obra que teve importante destaque, em todo período que antecedeu
o Movimento de Matemática Moderna, foi Matemática Para os Cursos Clássicos e
Científicos, de autoria do Professor Thales de Mello Carvalho. A Figura 25 mostra
a capa da edição que data no ano de 1956, para o 2º ano, contém o capítulo I,
intitulado Análise Combinatória. Segundo Dassie (2008) a Análise Combinatória
constava, no programa da reforma Capanema, como apoio para o cálculo do
Binômio de Newton.
Figura 17: Capa do livro Matemática para os Cursos Clássicos e Científico de Carvalho.
Fonte: Carvalho (1956)
18.Decreto-lei n.4.244 de 9 de abril de 1942.
88
A obra de Carvalho (1956) apresenta, inicialmente, as noções de
agrupamentos; em seguida as noções de Arranjo simples, Permutação simples e
Combinação simples; e as fórmulas do Arranjo, da Permutação e da Combinação,
nas mesmas condições que observamos nas outras obras. Ou seja, as tarefas e
as técnicas para mostrar as fórmulas gerais do cálculo do número de Arranjos, de
Permutações e de Combinações são as mesmas identificadas nas obras
anteriormente analisadas. Diante disso, a obra apresenta características de uma
organização didáticateoricista.
Contudo, o excesso de exemplos explorando identidades combinatórias é
um fato interessante que diferencia a organização matemática identificada na
obra de Carvalho (1956), por exemplo:
“Demonstrar a relação 𝑚. 𝐶 𝑚−1 ,𝑝 = 𝑚 −
𝑝.𝐶𝑚, 𝑝"(CARVALHO, 1956, P.39).
No nosso entendimento os exercícios realizados com identidades
combinatórias são importantes na medida em que sejam propostos problemas
contextualizados, na atividade matemática, que possibilitem a utilização dessas
identidades. No caso do livro de Carvalho (1956) as identidades são exercícios
para o desenvolvimento de propriedades para uso no Binômio de Newton.
A seguir analisaremos um livro que surgiu no contexto do Movimento da
Matemática Moderna (MMM). O livro é uma indicação obtida por meio da obra
intitulada “A MATEMÁTICA DO COLÉGIO: livros didáticos para a história de uma
disciplina”19. Valente (2011) explica que a finalidade dessa obra é apresentar aos
pesquisadores e interessados, uma base de dados de livros didáticos destinados
ao curso colegial, desde a década de 1930 até finais do chamado Movimento da
Matemática Moderna (1980).Não pretendemos, neste estudo, levantar discussões
acerca do MMM, pois nosso interesse é analisar as organizações didáticas e
matemática propostas nos livros didáticos. Diante disso, analisaremos o livro
Matemática Curso Colegial Moderno, volume 3, 1970, de autoria dos professores
Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa. Segundo Valente (2011), o livro
19
.a obra em formato de DVD, na versão 1 de 2011, é uma produção do GHEMAT - Grupo de Pesquisa de História da Educação Matemática. O Grupo vincula-se à UNIFESP – Universidade Federal de São Paulo e é coordenado pelo Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente.
89
escrito por esses dois autores é a presença mais significativa de obras
modernistas para o ensino colegial.
4.3. Análise de livro entre 1960 e 1980
O livro de Barbosa e Rocha (1970) apresenta o primeiro capítulo com o
título “Regras de Contagens”. O segundo capítulo é destinado ao ensino da noção
de Probabilidade. Na sequência, os autores descrevem o terceiro capitulo
intitulado “Fórmulas do Cálculo de Combinatória”. Observamos que a organização
dos capítulos ocorre dessa maneira porque os autores utilizam o primeiro capítulo
como fundamentação teórica para os dois seguintes. Este fato representa uma
significativa na obra de Barbosa e Rocha (1970) em relação às obras analisadas
antes do período em questão.
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso
tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos
na obra de Barbosa e Rocha (1970).
Tarefa (T6.1): apresentar a regra da adição para conjuntos disjuntos dois
a dois.
Técnica 6.1 e Discurso tecnológico/ teórico: os autores induzem um
diálogo com os leitores lembrando que o número de elementos da união de dois
conjuntos A e B, com interseção vazia, correspondem à soma do número de
elementos de cada um desses conjuntos. Em seguida, eles descrevem a seguinte
regra: N(AUB) = N(A) +N(B), com 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅. A figura 26 mostra que os autores
também apresentaram de forma direta a extensão da regra da Adição.
Figura 18: Extensão da regra da Adição.
Fonte: e Barbosa e Rocha (1970)
90
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista.
Tarefa(T6.2) apresentar a regra da adição para dois conjuntos quaisquer
Técnica 6.2 e discurso tecnológico/teórico: A figura 27 mostra que o
autor procurou utilizar dois conjuntos quaisquer A e B, atribuindo-lhes
cardinalidades representadas pelas letras x, y e z para justificar, por meio da
visualização dos diagramas, que: 𝑁 𝐴𝑈𝐵 = 𝑁 𝐴 + 𝑁 𝐵 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐵 . O autor
utilizou os diagramas de Venn20 para evitar o formalismo matemático da teoria
dos conjuntos.
Figura 19: Relação da Inclusão-exclusão.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista
Tarefa(T6.3)apresentara regra da adição para três conjuntos
20. Segundo Eves (1997, p.451) os diagramas de Venn, em referência ao lógico inglês John Venn
(1834-1923), são comumente utilizados para ilustrar graficamente, por meio de uma região plana, “classes de objetos”. O autor ressalta que o conceito de “classes de objetos” é fundamental em lógica, por exemplo: se P e Q são classes de objetos, então P∩Q (interseção) representa a classe de objetos que pertencem tanto a P como a Q.
91
Técnica 6.3 e discurso tecnológico/teórico: a técnica utilizada foi
desenvolvida em quatro etapas. Os autores utilizaram a regra da inclusão-
exclusão e as propriedades de conjuntos.
Primeira etapa: considerar os conjuntos A, B e C e aplicar a propriedade
associativa da união entre conjuntos: AUBUC =(AUB)UC
Segunda etapa: aplicar a relação da inclusão-exclusão
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴𝑈𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴𝑈𝐵 ∩ (𝐶)
Terceira etapa: aplicar a propriedade distributiva da intersecção
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴𝑈𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐶 𝑈(𝐵 ∩ 𝐶)
Quarta etapa: aplicar novamente a regra da inclusão-exclusão
𝑁 𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶 = 𝑁 𝐴 + 𝑁 𝐵 + 𝑁 𝐶 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑁 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑁 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑁(𝐴𝑈𝐵𝑈𝐶)
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista
Tarefa(T6.4): apresentar a regra do produto
Técnica 6.4 e Discurso tecnológico/ teórico: a Figura 28 mostra que os
autores utilizaram a noção de produto cartesiano entre os conjuntos A e B, para
definirem a regra do produto. Em seguida, os autores apresentaram a extensão
da regra do produto para um número n de conjuntos diferentes.
Figura 20: Regra do Produto
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
92
O discurso tecnológico/ teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista
Tarefa (T6.5) apresentar a noção de árvore de possibilidades
Técnica 6.5 e Discurso tecnológico/ teórico: a técnica utilizada pelos
autores parte de um exemplo que procura saber o número de casais que se
podem ser formados com 4 rapazes e 3 moças. Em seguida, definiram a letra O
como sendo a origem da árvore. Do ponto O saíram quatro caminhos diferentes
com vértice na representação Ri, com i∈{1,2,3,4} de cada rapaz. Os caminhos são
denominados ramos da árvore. De cada vértice Ri saíram três outros caminhos
com vértices em Mj, j∈{1,2,3}, representando as moças. O número de pares
ordenados X = (Ri, Mj) é o resultado do exemplo. A Figura 29 mostra a árvore de
possibilidades construída pelos autores
Figura 21: Árvore de Possibilidade.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
O discurso tecnológico/teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista
O capitulo encerra com uma lista contendo 22 problemas de contagem.
Alguns desses são aplicações diretas das regras e outros exploram as regras de
forma diferentes. Os saberes presentes no capitulo I, da obra de Barbosa e Rocha
93
(1970), revelam novas classes de problemas que até então ainda não haviam sido
identificadas nos livros analisados anteriormente. Contudo, entendemos que as
atividades matemáticas propostas mantêm a resolução de problema no posto da
trivialização, pois a ênfase das atividades é a exposição da Teoria. Neste caso, as
evidencias apontam para uma organização didática que evidencia um discurso
teórico cristalizado e, com isso, mantendo a resolução de problemas como uma
atividade secundaria.
A seguir analisaremos alguns dos exercícios resolvidos, que constam no
primeiro capítulo, do livro de Barbosa e Rocha (1970) objetivando analisar as
organizações matemáticas.
Um jovem possui para trajes esporte 2 calças e 3 camisas, mas para
social possui 2 ternos, 4 camisas e 3 gravatas. De quantas maneiras poderá se
vestir ou de maneira esporte ou social? (BARBOSA e ROCHA, 1970, p.12).
Tarefa (T6.7) : calcular o número de resultados possíveis que a pessoa
poderá se vestir socialmente ou esporte.
Técnica 6.8: a técnica possui três etapas
Primeira etapa: utilizar a regra do produto para calcular o número de
trajes esporte. N(E) = 2x3 = 6
Segunda etapa: utilizar a extensão da regra do produto para calcular o
número de trajes sociais. N(S) = 2x4x3 =24
Terceira etapa: utilizar a regra da adição para dois conjuntos disjuntos
N(E U S) = N(E) + N(S) = 30
Discurso tecnológico/teórico: a regra do produto e a regra da adição,
fundamentadas pelas noções de conjuntos.
Uma urna possui 2 bolas amarelas, 1 verde e 1 branca; fazendo 3
retiradas sucessivas, sem reposição: a) quantas possibilidades existem? b)
saindo uma de cada cor, quantas são as possibilidades?(BARBOSA e ROCHA,
1970, p.14).
Tarefa (T6.9): calcular o número de possibilidades que existem para
retirar três bolas simultaneamente de uma urna com 2 bolas amarela, 1 verde e 1
94
branca. Em seguida, calcular o número de possibilidades que existem saindo
apenas resultados com uma cor.
Técnica 6.10: consiste na construção de uma árvore de possibilidade
(Figura 30) nas seguintes etapas
Primeira etapa: nomear as bolas: A1 e A2, V1, B1.
Primeira etapa: fixar uma origem
Segunda etapa: criar os ramos com uma bola em cada vértice, primeira
retirada.
Terceira etapa: cada vértice será origem de três outros ramos, com uma
bola em cada vértice.
Quarta etapa: cada vértice será origem dos ramos com vértices nas bolas
restantes.
Figura 22: Árvore de possibilidades relativa ao problema.
Fonte: BARBOSA e ROCHA (1970)
Quinta etapa: contar o número de ramos completos a partir da origem O,
obtendo 12 possibilidades.
95
Sexta etapa: contar o número de ramos completos a partir da origem O,
que apresentem vértices com cores diferentes: 6 possibilidades.
Discurso tecnológico/teórico: listagem direta dos agrupamentos
realizada por meio da noção de Grafos.
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso
tecnológico/teórico das organizações didáticas e matemáticas que identificamos
no Capitulo III, intitulado “Fórmula do Cálculo Combinatório”, obra deBarbosa e
Rocha (1970).
Tarefa (T6.11): determinar o número de funções injetora𝑓: 𝐴 → 𝐵, sendo
𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 , . . , 𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2 , 𝑏3 , . . , 𝑏𝑛 , com n elementos.
Técnica6.11 e discurso tecnológico/ teórico: a técnica parte da noção
de função injetora: uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 será injetora quando cada elementos do
conjunto imagem de 𝑓 for elemento de um único elemento de 𝐴 , isto é, dois
elementos diferentes de 𝐴, 𝑎1 𝑒 𝑎2, têm imagens diferentes em 𝐵. Admite-se que
k≤n e seleciona qualquer elemento do conjunto 𝐴, que seja 𝑎1. Na formação das
correspondências que deverão existir entre os elementos de A e os elementos de
B, verificamos que para o elemento 𝑎1 existe n possibilidades de imagens em B.
Tendo o elemento 𝑎1 correspondido com algum elemento em B, restarão (n-1)
elementos possíveis para que sejam imagem de algum elemento e A, diferente de
𝑎1 , supondo 𝑎2 ·. O próximo elemento do conjunto A possuirá (n-2) elementos
possíveis para corresponder em B. E, assim sucessivamente, até que ao k-ésimo
elemento de A só poderá corresponder com um dos [n-(k-1)] elementos restantes
de B. Em seguida, aplica-se a extensão da regra do produto para obter o número
de funções injetora que os autores representam por 𝑁𝐼 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 −
2 … [𝑛 − 𝑘 − 1 ]. Para justificar a técnica dos autores o discurso tecnológico/
teórico consiste na noção de função, na noção de função injetora, na noção de
produto cartesiano, no princípio da indução finita e regra do produto.
Tarefa (T6.12): determinar o número de funções não injetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵,
sendo 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . , 𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2, 𝑏3 , . . , 𝑏𝑛 , com n
elementos.
96
Técnica 6.12 e discurso tecnológico/ teórico:a técnica consiste em
admitir que o K ≥ n e, com isso, cada dois elementos diferentes do conjunto A
poderão ter a mesma imagem. Na formação das correspondências que deverão
existir entre os elementos de A e os elementos de B, verificamos que para o
elemento, por exemplo, 𝑎1 existe n possibilidades de imagens em B. Tendo o
elemento 𝑎1 correspondido com algum elemento em B, restarão n elementos
possíveis para que sejam imagem de algum elemento e A, diferente de 𝑎1 ,
supondo 𝑎2. O próximo elemento do conjunto A possuirá n elementos possíveis
para corresponder em B. E, assim sucessivamente, até que ao k-ésimo elemento
de A poderá corresponder com n elementos restantes de B. Em seguida, aplica-
se a extensão da regra do produto para obter o número de funções não injetora
que os autores representam por 𝑁 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛. 𝑛 …𝑛 = 𝑛𝑘 . Para justificar a
técnica dos autores o discurso tecnológico/ teórico consiste na noção de função,
na noção de função injetora, na noção de produto cartesiano, no princípio da
indução finita e regra do produto.
Tarefa(T6.13) : determinar o número de funções bijetora𝑓: 𝐴 → 𝐵, sendo
𝐴 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, . . , 𝑎𝑘 , com k elementos e 𝐵 = 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , . . , 𝑏𝑛 , com n elementos.
Técnica 6.13: a técnica consiste nas seguintes etapas
Primeira etapa: explicar que as funções ditas bijetoras são consideradas
ao mesmo tempo funções: injetora e sobrejetora.
Segunda etapa: explicar que por ser injetora K≤n; e sendo sobrejetiva
todo elemento do conjunto B é imagem de pelo menos um elemento do conjunto
A.
Terceira etapa: considerar que diante do exposto K = n
Quarta etapa: substituir na fórmula obtida na Técnica 5.9
𝑁𝐵 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … [𝑛 − 𝑛 − 1 ].
Quinta etapa: efetuar a operação. 𝑁𝐵 𝐴 → 𝐵 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1
Sexta etapa: informar que 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1 = 𝑛!
97
O discurso tecnológico/ teórico consiste na noção de função, noção de
função injetora, noção de função sobrejetora, noção de função bijetora, noção de
produto cartesiano, no princípio da indução finita e regra do produto.
A Tarefa de apresentar a noção de Arranjos simples e Permutações
simples é uma Tarefa comum a todos os livros analisados anteriormente. Contudo
a Técnicas para desenvolver tais noções é completamente diferente. Mas, o
discurso tecnológico/teórico é o mesmo apresentado por todos os livros
analisados anteriormente.
Técnica 6.14: a técnica consiste nas seguintes etapas
Primeira etapa: um conjunto 𝐴 = {1, 2, 3} com um pequeno número de
elementos e um conjunto qualquer 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, com um número maior ou
igual de elemento do conjunto 𝐴.
Segunda etapa: admitir uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵.
Terceira etapa: exemplificar uma possível função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que seja
injetiva.
1 → 𝑎2 → 𝑏3 → 𝑐
Quarta etapa: explicar que o subconjunto do conjunto B formado pelas
imagens da função, {a, b, c}, é diferente de outro subconjunto de B formado pelos
mesmos elementos, por exemplo, {b, a, c} ou {c, b, a}, porque constituiria outra
função injetora. Sendo assim, deve-se esclarecer que os conjuntos imagens
possuem os mesmos elementos, mas a ordem dos elementos é diferente.
Quarta etapa: explicar que os subconjuntos {a, b, c}, {b, a, c}, {c, b, a}, são
Arranjos simples do conjunto B, selecionados 3 a 3. O número de elementos do
conjunto A que corresponde com o número de elementos dos Arranjos é chamado
de classe ou taxa. Assim, para K = 1, 2, 3, 4,...,n, tem-se Arranjos unitários,
Arranjos binários, ternários,..., e Arranjos plenos.
Quinta etapa: explicar que Arranjos plenos são denominados Permutação
simples. Isto ocorrerá com funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 bijetivas.
98
Sexta etapa: explicar que os subconjuntos do conjunto B que sejam
formados por elementos que podem ser repetidos, mas respeitando a ordem, por
exemplo, {a, b, c}, {a, a, b} e {b, a, a}, são denominados Arranjos com repetição
do conjunto B tomado 3 a 3.
O Discurso tecnológico/teórico apresenta características de uma
organização didáticateoricista.
Observamos que Barbosa e Rocha (1970) apresentam as noções de
Arranjos simples, Arranjos com repetições e Permutação simples, fortemente
sustentadas pela teoria dos conjuntos e as noções de funções. Isto representa
uma grande mudança, nas organizações didáticas e nas organizações
matemáticas, em relação às outras obras analisadas anteriormente. Os Arranjos
com repetições, descritos nas demais obras, apresentavam a fórmula, sem o
devido cuidado em discutir a forma como esses agrupamentos são constituídos.
No caso do livro em análise, a fórmula é apresentada, por meio de uma técnica
que se justifica por um forte arcabouço tecnológico/teórico descritos Tarefas
(T6.1), T6.2, T6.3 e T6.4. As evidencias apontam para uma organização didática
Teoricista, à luz dos conceitos de Gascón (2003).
Tarefa de apresentar a fórmula para calcular o número de Arranjos com
repetição de elementos só foi identificada nos livros de Roxo, Souza e Thiré(1940)
e Carvalho (1956). Contudo a Técnica 6.16 não é a mesma apresentada pelos
livros citados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico se mantem constante.
Técnica 6.15: a técnica é desenvolvida nas seguintes etapas
Primeira etapa: explicar novamente que os Arranjos simples são
conjuntos imagens constituídas por funções injetora 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , sendo A um
conjunto com k elementos, B um conjunto com n elementos e k≤n. Com isso, os
Arranjos são subconjuntos, ordenados, do conjunto B com n elementos tomados k
a k.
Segunda etapa: apresentar a fórmula na Técnica 5.9 como sendo a
fórmula para calcular o número de Arranjos simples de um conjunto com n
elementos tomados k a k: 𝐴𝑛𝑘 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … [𝑛 − 𝑘 − 1 ].
99
Terceira etapa: explicar que Arranjos plenos são denominados
Permutação simples. Isto ocorrerá com funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 bijetoras. E, com isso, k
= n.
Quarta etapa: substituindo k = n na fórmula do Arranjo obtém-se a fórmula
da 𝑃𝑛 = 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 … 3.2.1.
Sexta etapa: explicar que os subconjuntos do conjunto B que sejam
formados por elementos que podem ser repetidos, mas respeitando a ordem, por
exemplo, são denominados Arranjos com repetição do conjunto B com n
elementos tomados k a k.
Sétima etapa: utilizar a fórmula desenvolvida na técnica 5.10. 𝐴𝑅𝑛𝑘 = 𝑛𝑘
Discurso tecnológico/ teórico: apresenta características de uma
organização didáticateoricista.
No caso da fórmula para calcular o número de combinações simples de n
elementos tomados p a p, identificamos que a tarefa, a técnica e o discurso
tecnológico/teórico se mantêm idênticos a todos os livros analisados
anteriormente. Este fato pode ser observado na figura 31.
100
Figura 23: Fórmula da Combinação Simples.
Fonte: Barbosa e Rocha (1970)
Tarefa (T6.17) : Determinar o número de maneiras que se pode separar
em dois subconjunto possível o conjunto A com n elementos.
Técnica 6.17: a técnica desenvolvida pelos autores consiste nas
seguintes etapas.
Primeira etapa: considerar que o conjunto A será separado em dois
subconjuntos 𝐴1e 𝐴2, com 𝑘1e 𝑘2 elementos respectivamente.
Segunda etapa: partir do princípio que 𝐴1𝑈𝐴2 = 𝐴 e que 𝐴1 ∩ 𝐴2 = ∅, para
que sejam Combinações complementares. E, com isso, 𝑘1 + 𝑘2 = 𝑛.
Terceira etapa: para os possíveis subconjuntos 𝐴1,·, com 𝑘1 elementos,
têm-se que: 𝐶𝑛𝑘1 =
𝑛 . 𝑛−1 . 𝑛−2 …[𝑛− 𝑘1+1 ]
(𝑘1!)
Quarta etapa: multiplicando numerado e denominador pelo fator(𝑛 − 𝑘1)! ,
tem-se que: 𝐶𝑛𝑘1 =
𝑛 . 𝑛−1 . 𝑛−2 …[𝑛− 𝑘1+1 ]
(𝑘1!). 𝑛−𝑘1 !
𝑛−𝑘1 !.
101
Quinta etapa: o número de maneiras possíveis de separar o conjunto A,
com n elementos, em dois subconjuntos 𝐴1e 𝐴2, com 𝑘1e 𝑘2 elementos é:
𝐶𝑛𝑘1 ,𝑘2 =
𝑛 !
𝑘1! .𝑘2!.
Discurso tecnológico/ teórico: a justificativa consiste na noção de
Combinação simples e a idéia de Combinações complementares. Observamos
um discurso abstrato caracterizado por um raciocínio algébrico.
Tarefa de apresentar a fórmula para calcular o número de Permutações
com repetição de elementos só foi identificada nos livros de Roxo, Souza e Thiré
(1940) e Carvalho (1956). Contudo a Técnica 6.18 não é a mesma apresentada
pelos livros citados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico se mantem
constante.
Tarefa (T4.3) do Livro de Roxo, Souza e Thiré (1940): Determinar o
número de Permutações com elementos repetidos.
Técnica 6.18: a técnica será dividida nas seguintes etapas
Primeira etapa: considerando uma ordenação que existam entre os 𝑛
elementos 𝑥1 de um tipo a, indistinguíveis entre si; 𝑥2 de um tipo b, indistinguíveis
entre si; 𝑥3 de um tipo c, indistinguíveis entre si; 𝑥𝑘 de um tipo k, indistinguíveis
entre si; e se deseja formar o número de ordenações distintas.
Segunda etapa: se as letras fossem diferentes o numero de permutações
corresponderia a 𝑛!.
Terceira etapa: verificar que o resultado anterior não é correto, pois
existem letras do tipo a, que repetem 𝑥1! vezes nos anagramas; letras do tipo b,
que repetem 𝑥2! vezes nos anagramas e, assim diante, até letras do tipo k, que
repetem 𝑥𝑘 ! vezes nos anagramas.
Quarta etapa: o número de Permutações é o resultado da divisão de 𝑛!.
Pelo seguinte produto 𝑥1!. 𝑥2! .𝑥3! …𝑥𝑘 ! .
Sexta etapa: anunciar a fórmula geral. P(𝑥1, 𝑥2,𝑥3… 𝑥𝑘) =𝑛!
𝑥1!.𝑥2! .𝑥3!…𝑥𝑘 !
102
As organizações matemáticas do livro de Barbosa e Rocha (1970)
apresentam em geral o bloco do saber, no contexto da Análise Combinatória,
fundamentado nas noções de conjuntos, de função injetora e não injetora bijetora
e nas operações algébricas. Enquanto que as organizações didáticas continuam
apresentando-se no contexto das organizações Teoricistas contudo, observamos
uma mudança na fundamentação teórica que abrange a noção de Arranjo
simples, Permutação simples e Arranjo com elementos repetidos, que ainda não
havia sido observada nas obras anteriormente analisadas.
Pinto (2005) explica que a busca por um ensino de matemática
consolidado pelas estruturas algébricas, pela teoria dos conjuntos e pelo rigor das
práticas formalistas eram algumas características do Movimento da Matemática
Moderna. Contudo, mesmo diante de tantas transformações ocorridas por esses
Movimento, a noção de Combinação simples e o discurso tecnológico, que
justifica a técnica para o cálculo do número de Combinações simples, ficaram
inalterados desde o livro de Bourdon (1981). A noção de partição (no livro
Dicotomias) e de Permutação com elementos repetidos e suas respectivas
fórmulas são saberes com pouco ou nenhuma frequência nas obras analisadas
anteriormente.
Analisaremos a seguir as outras organizações matemáticas por meio de
alguns os exercícios resolvidos do livro de Barbosa e Rocha (1970).
Dispõe-se de dois conjuntos:
A = conjunto de 2 fitas: verde e azul
B = conjunto de 4 meninas: a, b, c e d
De quantas maneiras diferentes podemos colocar as fitas nas meninas,
não podendo cada menina ficar com mais que uma fita?(BARBOSA e ROCHA,
1970, p.47).
Tarefa (T6.19): Determinar o número de funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 que sejam
injetivas. A tarefa pode também ser interpretada como sendo para calcular o
número de Arranjos de 4 elementos tomados 2 a 2.
Técnica 6.19: a técnica será dividida nas seguintes etapas
103
Primeira etapa: verificar que há 4 possíveis meninas que podem utilizar a
fita verde. Tendo uma menina escolhido a fita verde, então restarão 3 meninas
para escolher uma fita azul.
Segunda etapa: utilizando a regra N(𝐴 → 𝐵) = 4x3 = 12
Discurso tecnológico/teórico: observe que as meninas dependem das
fitas, por isso, A em relação a B. A noção de arranjo de n elementos tomados k a
k é fundamentada pela noção de conjuntos e funções injetora.
Dispõe-se de um conjunto de 5 meninos e de um conjunto de 3 lugares
num banco, de quantas maneiras os meninos poderiam se sentar, ficando cada
lugar ocupado por um menino.(BARBOSA e ROCHA, 1970, p.47).
Tarefa (T6.20): determinar o número de funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , sendo A o
conjunto dos lugares e B o conjunto do meninos, que sejam injetivas. A tarefa
pode também ser interpretada como sendo para calcular o número de Arranjos de
5 elementos tomados 3 a 3.
Técnica 6.20: a técnica será dividida nas seguintes etapas
Primeira etapa: verificar que há 5 possíveis meninos que podem sentar
em qualquer um dos três lugares do banco. Tendo um menino escolhido o lugar,
então restarão 4 meninos para escolher o próximo lugar. O próximo lugar do
banco será escolhido por um dos 3 últimos meninos.
Segunda etapa: utilizando a regra N(𝐴 → 𝐵) = 5x4x3 = 60
Discurso tecnológico/teórico: observe que os meninos dependem dos
lugares do banco, por isso, A em relação a B. A noção de arranjo de n elementos
tomados k a k é fundamentada pela noção de conjuntos e funções injetora.
4.4. Análise de livro entre 1980 e 2009.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira (LDB), nº 9.9394/96,
instituiu que o ensino secundário passaria a ter uma formação de quatro anos,
denominada Ensino Fundamental, que atenderia aos alunos da 5ª série a 8ª série;
e uma formação denominada Ensino Médio que atenderia aos três últimos anos
de escolarização básica. No que se refere especificamente ao Ensino
Médio,dizemos, fundamentados em Brasil (1999), que nesse nível de ensino:
104
a formação dos alunos deverá possuir um caráter geral em oposição à formação específica.A formação dos alunos deverá valorizar o desenvolvimento de capacidades de pesquisa, buscar informações, analisá-las e selecioná-las.Os alunos em formação deverão desenvolver a capacidade de aprender, criar, formular, ao invés do simples exercício de memorização (BRASIL, 1999, p.16).
Com relação à Matemática no Ensino Médio, os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) descrevem que:
a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (BRASIL, 1999, p.252).
Nessa direção são muitos os desafios para o professor que ensina
matemática, pois propor uma formação aos jovens que se aproxime das
orientações descritas acima não é uma tarefa fácil e necessita de muitos materiais
de apoio para desenvolvê-la. Diante disso, o livro didático passou a ter um espaço
privilegiado nas escolas brasileiras. No que tange ao contexto das escolas
públicas, houve uma conquista educacional muito forte com a Resolução nº 38, de
15 de outubro de 2003, que possibilitou aos alunos do ensino médio das escolas
públicas brasileiras livros didáticos de Português e Matemática gratuitamente.
Art. 1º - Prover as escolas do ensino médio das Redes Estadual, do Distrito Federal e Municipal de livros didáticos de qualidade, para uso dos alunos, abrangendo os componentes curriculares de Português e Matemática por meio do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM (DIARIO OFICIAL DA UNIÃO, 2003).
As regiões Norte e Nordeste foram as primeiras a serem contempladas
com os livros de Matemática para os alunos do Ensino Médio. No primeiro ano de
distribuição, em2005, foram entregues os livros da primeira série e nos anos
seguintes foram entregues os livros da segunda e terceira série .A partir das
informações do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) 21
sobre a distribuição dos livros didáticos nas regiões brasileiras, podemos observar
que a coleção Matemática, em três volumes, do professor Luiz Roberto Dante, foi
a obra com maior número de exemplares distribuídos nas região metropolitana de
21 . Cf. em www.fnde.gov.br/distribuicaosistemanet/comfirmarcancelar.
105
Belém do Pará. Tratava-se de uma obra compilada de outra coleção, do mesmo
autor, intitulada Matemática: contexto & aplicações. Os livros dessa coleção eram
estudados nas escolas particulares que exercíamos a função de professor de
Matemática para o Ensino Médio. Em síntese, é possível inferir que as obras do
professor Luiz Roberto Dante tiveram no primeiro período de implantação do
PNLEM-Matemática (2004-2009), na região metropolitana de Belém, uma
representativa participação nas escolas públicas e particulares.
No PNLEM/2009, a obra Matemática de Dante é apresentada em volume
único procurando manter as principais características das obras anteriores. A
partir das informações obtidas na página do FNDE, na Internet, a obra do Dante
em volume único passou a abranger, a partir de sua distribuição, que ocorreu em
2011, um número maior de escolas públicas – estaduais e federais – do município
de Belém do Pará (cf. Anexo B). A síntese avaliativa sobre a obra no catálogo do
PNLEM (2009) descreve que:
a obra, apresentada em volume único, destaca-se pela abordagem inovadora dada aos conteúdos normalmente estudados no ensino médio. Há constante preocupação de dispô-los segundo um encadeamento lógico que privilegia a integração harmônica entre seus tópicos, não os esgotando em único capítulo, mas retomando-os sob distintas perspectivas em outros capítulos. A obra, contudo, não trata de limites nem derivadas. Os conteúdos apresentados em cada capítulo são invariavelmente iniciados com uma situação-problema contextualizada por fatos cotidianos ou interdisciplinares. Em seguida, desenvolve-se sistematicamente a teoria necessária à análise daquela situação-problema, que é então aplicada para efetivamente fornecer a correspondente solução (BRASIL, 2009, p.56).
Por termos utilizado as obras do professor Luiz Roberto Dante em nossa
prática docente e por entendermos que eram os principais livros utilizados por
alunos e professores das escolas públicas e particulares de Belém do Pará, então
optamos por realizar a análise praxeológica no conteúdo da Análise Combinatória,
do livro Matemática: contexto & aplicações, segundo volume, de 2004. Diante do
exposto, essa obra esteve presente tanto nas escolas particulares como nas
públicas, por meio de suas compilações. Outro ponto que nos influenciou a
escolha da obra de 2004 foi que observamos uma situação interessante em
relação à definição do Princípio Multiplicativo na passagem da versão da obra de
106
2000 para versão da obra de 2004 e à análise crítica realizada na versão de 2000
por Lima et al.(2001).
Na versão de 2000, o Princípio Multiplicativo era definido da seguinte
forma:
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado por m.n.(DANTE, 2000, p.395, grifo nosso).
Para Lima et al.(2001, p. 297),a definição estava posta de forma incorreta,
pois o correto é informar que para cada possibilidade da primeira etapa existem m
possibilidades para segunda etapa. Não temos informações consistentes que nos
permitam afirmar a influência que o exame de textos escolares realizado por Lima
et al.(2001) exerceu sobre a obra Matemática: contexto & aplicações, de 2004,
mas observamos que o Princípio Multiplicativo passou a ser definido da seguinte
forma:
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n(DANTE, 2004, p.350).
Diante disso, acreditamos que a obra passou por uma revisão em seus
elementos conceituais e metodológicos. Isto representou outro critério de escolha
do livro Matemática: contexto & aplicações, de 2004.
Os objetos da Análise Combinatória são estudados no Capítulo 24, do
livro do autor, iniciando com uma situação-problema, na qual o autor procura
informar os alunos deque “problemas como esse envolvendo o cálculo de
agrupamentos que podem ser feitos com os elementos de um ou mais conjuntos,
submetidos a certas condições”. Nesta fala, podemos observar que um diferencial
do já foi apresentado ao longo deste texto trata-se do termo “elementos do
conjunto”. Outro aspecto interessante situa-se na segunda unidade do capítulo
com a apresentação do Princípio Fundamental da Contagem e da árvore de
possibilidade. A necessidade de um desenvolvimento das fórmulas do arranjo
simples, da permutação simples e da combinação simples ainda é muito forte na
107
referida obra. A seguir apresentamos a análise praxeológica do Livro de Dante
(2004).
A obra de Dante (2004) inicia o capítulo 14, intitulado “Análise
Combinatória”, com a apresentação de uma situação-problema(Figura 32), que o
autor utiliza somente para informar o leitor deque se trata de uma classe de
problemas que “envolvem o cálculo do número de agrupamentos que podem ser
feitos com os elementos de um conjunto, submetidos a certas condições”(DANTE,
2004, p.348). Com isso, o autor descreve que os problemas que apresentam tais
características são resolvidos pelos tópicos da Análise Combinatória.
Figura 24: Situação-problema da introdução
Fonte: Dante (2004)
A tabela 1 apresenta o número de exercícios resolvidos e propostos
apresentados após cada Tarefa que identificamos na organização didática da
obra de Dante (2004).
Tabela 1- Número de exercícios resolvidos e propostos
Tarefas Exercícios
resolvidos
Exercícios
propostos
Apresentar o P.F.C 4 6
Apresentar a noção e a fórmula da
Permutação simples
6 11
Apresentar a noção e a fórmula do Arranjo 12 13
108
simples
Apresentar a noção e a fórmula da
Combinação simples
10 13
Apresentar a noção e a fórmula da
Permutação com elementos repetidos
5 1
Fonte: Construção do Autor.
A seguir descrevemos as tarefas, as técnicas e o discurso
tecnológico/teórico de cada organização praxeológica do livro de Dante (2004).
Tarefa (T7.1): apresentar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C).
A análise da tarefa ocorrerá em duas etapas: na primeira etapa,
apresentamos a técnica 7.1 e o discurso tecnológico/teórico que conduzirá ao
momento da institucionalização do conceito do P.F.C.; na segunda etapa,
apresentamos as tarefas, as técnicas e os discursos tecnológico-teóricos,
correspondentes, respectivamente, aos exercícios 1 e 2 da lista de exercícios
resolvidos, que denominaremos de Tarefa(T7.2), Tarefa(T7.3), técnica 7.2 e
técnica 7.3. Optamos por analisar somente dois exercícios, porque os demais não
proporcionam nenhuma mudança de técnica, nem de discurso tecnológico/teórico,
em relação aos exercícios analisados anteriormente.
Técnica 7.1 e discurso tecnológico/teórico: O autor utiliza inicialmente
a seguinte situação-problema:
Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?(DANTE,2004,p.348).
Em uma caixa de diálogo denominada “para refletir”, o autor informa que
a viagem de Recife a Porto Alegre constitui um evento composto por duas etapas
sucessivas e independentes e levanta o seguinte questionamento ao leitor: “quais
são elas?”(DANTE,2004,p. 348). Na sequência, o autor apresenta uma árvore de
possibilidades para fazer o leitor observar que há cinco possibilidades para ir de
Recife a São Paulo e quatro possibilidades para ir de São Paulo a Porto Alegre.
Na figura 33, podemos observar que, após a apresentação da árvore, o autor
109
efetua o produto entre os números que representam as referidas possibilidades;
obtendo, assim, resultado igual a vinte maneiras diferentes.
Figura 25: Solução da situação-problema para introduzir o P.F.C
Foto: Dante(2004)
Na continuidade, o autor utiliza outras duas situações-problema, resolve-
as com o auxílio da árvore de possibilidades e institucionaliza o conceito de
Princípio Fundamental da Contagem, citado anteriormente.
O discurso tecnológico/teórico identificado é centrado nos pressupostos
de uma organização didática tecnicista. Segundo Gascón (2003), as organizações
tecnicistas são identificadas implicitamente por meio do entendimento de que
ensinar e aprender matemática são atividades que correspondem a ensinar e
aprender técnicas, dotadas do reducionismo que este pensamento implica.
Análise Praxeológica dos exercícios resolvidos postos após a Tarefa 7.1.
Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos
de sobremesa. Quais e quantas possibilidades têm para fazer uma refeição com
uma salada, um prato quente e uma sobremesa?(DANTE, 2004, p.350).
Tarefa (T7.2): Descrever e determinar todas as possibilidades que
existem para constituir uma refeição com um tipo de salada, um prato quente e
uma sobremesa.
110
Técnica 7.2: o autor apresenta inicialmente as nomenclaturas S1 e S2
para representar os tipos de saladas; as nomenclaturas P1, P2 e P3 para
representar os tipos de pratos; as nomenclaturas s1, s2 e s3para representar os
três tipos de sobremesa. O segundo passo foi construir uma árvore de
possibilidades para constituir todos os agrupamentos possíveis. E o terceiro
passo foi verificar que para a escolha da salada há duas possibilidades, para
escolha do prato quente há três possibilidades e para escolha da sobremesa há
três possibilidades. O produto obtido pelo número de saladas, pelo número de
pratos e pelo número de sobremesa corresponde a dezoito maneiras diferentes
de constituir a refeição.
O discurso tecnológico/ teórico justifica-se pela árvore de possibilidade
e a noção do Princípio Fundamental da Contagem.
“Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,
2, 3, 4, 5 e 6?”(DANTE, 2004, p.351).
Tarefa (T 7.3): calcular o número de agrupamentos constituídos de três
elementos, de forma que a ordem entre eles seja relevante.
Técnica 7.3: utiliza a noção de “celas” para indicar a unidade de centena,
a unidade de dezena e a unidade simples.
Unidade de Centenas Unidades de dezenas Unidades simples
Com isso, o autor considera que há seis possibilidades para as centenas,
seis possibilidades para dezenas e seis possibilidades para unidade simples.
6 6 6
Unidade de Centenas Unidades de dezenas Unidades simples
Efetuando o produto entre os números que representam as possibilidades
das centenas, o número que representa as unidades das dezenas e o número
que representa as unidades simples, obtém-se o resultado correspondente a 216
números diferentes.
111
O discurso tecnológico/teórico é constituído pelo Princípio
Fundamental da Contagem.
A Tarefa de apresentar a noção de Permutações simples foi identificada
em todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a
apresentação do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento.
Contudo, a Técnica 7.4e a Técnica 7.5não são as mesmas desenvolvidas pelos
livros citados. O discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste
em uma organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).
Técnica 7.4: o autor parte primeiramente da seguinte situação-problema:
Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número)
podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?(DANTE, 2004, p.352). A figura 35
mostra que o autor apresenta os possíveis agrupamentos por meio de listagem
direta e pela árvore de possibilidades.
Figura 26: Resolução da primeira situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples.
Fonte: Dante (2004)
Em seguida, o autor resolve o mesmo problema por meio do Princípio
Fundamental da Contagem. E, finalmente, solicita ao leitor que seja observado
“que a ordem dos agrupamentos é muito importante. Todos os números diferem
entre si pela ordem de seus algarismos” (DANTE, 2004, p. 353).
O segundo momento da técnica 7.4 ocorre com apresentação e resolução
da seguinte situação-problema:
112
“Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma
palavra) da palavra ANEL?”(DANTE, 2004, p.353). A figura 36 mostra que o autor
apresenta os possíveis agrupamentos por meio de listagem direta e pela árvore
de possibilidade. O P.F.C. é utilizado para efeito de cálculo do número de
anagramas da palavra.
Figura 27: Resolução da segunda situação-problema utilizada para introduzir a noção de Permutação simples.
Fonte: Dante (2004)
Técnica 7.5 é constituída pela concepção deque o autor possui que, a
partir das situações-problema desenvolvidas pela técnica 7.4, o aluno estará em
condições favoráveis de compreender a institucionalização da Permutação
simples. A figura 37 mostra como ocorre a passagem da técnica 7.4 para técnica
7.5.
113
Figura 28: Institucionalização da Permutação simples
Fonte: Dante (2004)
A figura 38 mostra que,na continuidade da técnica 7.5,o autor apresenta o
fatorial do número natural n como sendo a Pn. Uma janela de diálogo, intitulada
“para refletir”, foi aberta para o autor informar o leitor que: n! = n.(n-1)!.
Figura 29: Apresentação do fatorial no livro
Fonte: Dante (2004)
Entre os seis exercícios resolvidos no livro de Dante (2004),
correspondentes à noção de permutação simples, foram identificados quatro que
apresentam as mesmas características da segunda situação-problema resolvida
pela Técnica 7.5 e os dois últimos são exercícios envolvendo o cálculo do fatorial
que, em nossa compreensão, não caracterizam problemas de contagem.
Contudo, observamos que há um exercício proposto que apresenta
características diferentes das situações-problema resolvidas pela Técnica 7.5. A
seguir apresentamos a análise praxeológica do referido exercício. A tarefa e a
técnica do exercício serão codificadas como Tarefa (T 7.6) e técnica 7.6.
Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10000
podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?” (DANTE, 2004, p.356).
Tarefa (T 7.6): determinar todos os números com quatro algarismos
distintos iniciando com o algarismo 6.
Técnica 7.6: constitui, inicialmente, em observar que os agrupamentos
formam números com quatro algarismos, com o algarismo 6 fixo e os demais
algarismos podendo permutar entre si, por exemplo: 6421, 6241, 6124 e assim
114
por diante. Com isso, há três possibilidades para o segundo algarismo do
agrupamento, duas possibilidades para terceiro algarismo e uma possibilidade
para o último algarismo do agrupamento. Efetuando o produto do número de
possibilidades (3x2x1), obtém-se o resultado correspondente a seis números
naturais entre 5000 e 10000, o qual é formado pelos algarismos 6, 4, 2 e 1.
O discurso tecnológico/ teórico que justifica a técnica é constituído pela
noção de valor posicional do número natural, do Princípio Fundamental da
Contagem e da noção de Permutação simples.
A Tarefa de apresentar a noção de Arranjo simples foi identificada em
todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a apresentação
do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento. Contudo, a
Técnica 7.7 e a Técnica 7.8 não são as mesmas desenvolvidas pelos livros
citados. O discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste emuma
organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).
Técnica 7.7: o autor parte da noção de permutação simples para induzir o
leitor à compreensão da noção de Arranjo simples. A figura 39 mostra que o autor
procura utilizar as árvores de possibilidades, a listagem direta e o P.F.C. para
apresentação da noção de Arranjos simples.
115
Figura 30: Figura 30: Noção de arranjo simples apresentada.
Fonte: Dante (2004)
A intencionalidade do autor é fazer com que o leitor observe que
agrupamentos ordenados de n elementos, utilizando os n elementos, são
denominados de Permutação simples e agrupamentos ordenados de n
elementos, utilizando p elementos, com p ≤n, são denominados de Arranjos
simples. Um fato a ser destacado na técnica 7.7 é deque o autor “mistura” o
momento da apresentação da noção de Arranjos simples com o momento do
cálculo do número de Arranjos. Observamos que isso ocorre porque ele procura
desenvolver sua proposta de ensino utilizando sempre o momento da técnica, por
meio de situações-problema, e tem a finalidade específica de revelar técnicas
específicas para uma determinada classe de problemas de contagem.
Técnica 7.8 consiste em uma técnica que procura mobilizar de forma
abstrata O P.F.C. A figura 40 mostra que o autor subdivide a técnica em duas
etapas: a primeira etapa é para desenvolver a regra geral para calcular o número
de Arranjos simples de n elementos tomados p a p, utilizando o P.F.C.; a segunda
etapa parte da institucionalização realizada na primeira etapa é para mostrar que
o cálculo do número de Arranjos simples pode ser representado pela notação
fatorial.
116
Figura 31: Cálculo do número de Arranjos de n elementos p a p.
Fonte: Dante (2004)
Os doze exercícios resolvidos, que seguem após o desenvolvimento das
Técnicas7.7 e 7.8, apresentam características similares às características dessas
Técnicas e, por conseguinte, não apresentam mudanças significativas. Na mesma
direção, observamos que entre os dez exercícios propostos: três são para
treinamento da fórmula do Arranjo com notação fatorial; seis são exercícios que
apresentam as mesmas tarefas encontradas nos exercícios resolvidos; somente o
exercício proposto número 22 apresenta tarefa que não consta no rol de Tarefas
já identificadas neste texto. A diferença consiste no tamanho da amostra (trinta
pessoas). A seguir analisaremos a organização praxeológica do exercício
proposto número 22. A tarefa e a técnica do exercício serão codificadas como
Tarefa (T7.9) e técnica 7.9.
“Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um
vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar
117
apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma
diretoria?”(DANTE, 2004, p.361).
Tarefa (T 7.9): determinar o número de maneiras de escolher quatro
pessoas de um total de trinta pessoas, de modo que cada pessoa represente uma
função específica.
Técnica 7.9: consiste em considerar um conjunto formado por 30
pessoas, representado por P = {P1, P2, P3, P4,..,P30}. Em seguida, verificar que
para a função de presidente há 30 possibilidades; para a função de vice-
presidente há 29 possibilidades; para a função de secretário há 28 possibilidades;
para a função de tesoureiro há 27 possibilidades de escolhas diferentes. Com
isso, o número de possibilidades diferentes de formar uma diretoria é o produto
30x29x28x27 = 657.720.
Discurso tecnológico/ teórico: noções de conjuntos e Princípio
Fundamental da Contagem.
A Tarefa de apresentar a noção de Combinação simples foi identificada em
todos os livros analisados anteriormente. O mesmo ocorre com a apresentação
do cálculo do número de permutações simples de um agrupamento. Contudo, as
Tarefas e Técnicas a seguir são as mesmas desenvolvidas pelos livros
anteriormente analisados. No entanto, o discurso tecnológico/teórico posto pela
opção didática consiste em uma organização tecnicista, seguindo as ideias de
Gascón (2003).
Observamos que três exercícios resolvidos, entre os dez exercícios
apresentados no livro, com a intenção de desenvolver habilidades da Combinação
simples, possuem Tarefas e Técnicas que se diferenciam das que já foram
desenvolvidas. Este fato ainda não havia sido identificado na obra de Dante
(2004),nem nas obras analisadas anteriormente. Diante disso, analisaremos as
organizações matemáticas dos referidos exercícios, seguindo a ordem numérica
na lista de exercícios.
“Quantas diagonais tem um hexágono convexo?” (DANTE, 2004, p.365).
118
Tarefa (T 7.10): Determinar o número de segmentos que podem ser
formados com os vértices de um polígono convexo que possui seis lados,
excluindo os segmentos que constituem os lados do polígono.
Técnica 7.10: Considerar o conjunto formado pelos vértices do polígono
V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}. Em seguida, calcular todos os subconjuntos formados
com dois elementos do conjunto V, por meio da seguinte fórmula:
𝐶6,2 =6.5
2.1= 15
Este resultado não resolve a tarefa, pois há seis seguimentos, entre os
quinze seguimentos diferentes, que constituem os lados do polígono. Então, para
finalizar, deve-se tomar os 15 resultados obtidos na técnica anterior e subtrair de
6 (número de lados do polígono), obtendo resultado igual a 9 diagonais que
possui o hexágono convexo.
Discurso tecnológico/ teórico: noção de conjuntos, noção de polígonos
regulares, noção de diagonal de um polígono e noção de Combinação simples.
“O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3
alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras
diferentes esse conselho pode ser eleito?” (DANTE, 2004, p.365).
Tarefa (T 7.11): Determinar o número de agrupamentos formados por
cinco elementos, sendo dois elementos pertencentes a um conjunto A e três
elementos pertencentes a um conjunto B. Admitindo que A={p1, p2, p3, p4, p5} seja
o conjunto que representa os professores e B={a1, a2, a3, a4, a5,...,a30}.
Técnica 7.11:Faz-se o cálculo do número de subconjuntos, com dois
elementos, do conjunto A:
𝐶5,2 =5.4
2.1= 10. Em seguida, deve-se calcular o número de subconjuntos,
com três elementos, do conjunto B:
𝐶30,3 =30.29.28
3.2.1= 4060 . E, finalmente, pelo P.F.C. obtém-se o seguinte
resultado: 𝐶5,2𝑥𝐶30,3 = 40600 maneiras diferentes.
O discurso tecnológico/ teórico é constituído pela noção de P.F.C., a
noção de Combinação simples e a noção de conjuntos.
119
“De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, de modo
que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na
terceira?”(DANTE, 2004, p.367).
Tarefa (T 7.12): Determinar o número de maneiras diferentes que podem
ser distribuídas dez bolas em três urnas, sendo 2 bolas na primeira, 3 bolas na
segunda e 5 bolas na terceira. Admitindo que B = {b1, b2, b3, b4, b5,.., b10}, o
conjunto é formado pelas 10 bolas.
Técnica 7.12: Faz-se o cálculo do número de subconjuntos, com dois
elementos, do conjunto B:
𝐶10,2 =10.9
2.1= 45. Em seguida, deve-se considerar a possibilidade de duas
bolas ficarem na urna e, com isso, sobrarão oito bolas para segunda urna. Dessas
oito bolas, deve-se fazer o cálculo do número de subconjuntos com três
elementos:
𝐶8,3 =8.7.6
3.2.1= 56. Na sequência, deve-se considerar a possibilidade de três
bolas ficarem na urna e, com isso, sobrarão cinco bolas para terceira urna.
Dessas cinco bolas, deve-se verificar que só será possível formar um
subconjunto. E, finalmente, com o P.F.C. obtém-se o seguinte resultado:
𝐶10,2𝑥𝐶8,3𝑥 1 = 2.520
Discurso tecnológico/ teórico: noção de conjuntos, noção do Princípio
Fundamental da Contagem e noção de Combinação simples.
Na obra de Dante(2004), a Tarefa de apresentar a noção de Permutação
com elementos repetidos foi identificada nos livros de Roxo, de Souza e Thiré
(1940), de Carvalho(1956) e de Barbosa e Rocha(1970). A Tarefa de apresentar o
cálculo do número de Permutações com repetições de elemento é a mesma
identificada nos livros de Roxo, de Souza e Thiré (1940) e de Carvalho (1956). O
discurso tecnológico/teórico posto pela opção didática consiste em uma
organização tecnicista, seguindo as ideias de Gascón (2003).
Observamos no livro de Dante(2004) uma postura didática que procura
utilizar a atividade de resolução de problemas como principal instrumento para
institucionalizar os conceitos dos saberes da Análise Combinatória postos na
120
obra. Este fato aponta para uma perspectiva de resgatar a atividade de resolução
de problema em si mesma. Segundo Gascón (2003), esse tipo de postura didática
se coloca em oposição às limitações produzidas pelas organizações didáticas
clássicas que tratam os problemas matemáticos de forma isolada e
descontextualizada. No entanto, o fato de a obra ter como opção metodológica o
uso da resolução de problemas e evidenciar o momento da técnica, em
detrimento do momento exploratório, faz com que a resolução de problemas
assuma uma função trivial no contexto das organizações didáticas. Dessa forma,
entendemos que a obra apresenta características de uma organização didática
Tecnicista.
No que consiste às organizações matemáticas identificadas no livro,
corroboramos com Lima et al (2001) quando descrevem que a obra de Dante
(2004), no que se refere aos saberes da Análise Combinatória apresenta
exercícios resolvidos e propostos que não induzem o leitor a desenvolver o
raciocínio combinatório.
4.5. Aspectos gerais da análise realizada nos livros didáticos
Nesta seção, apresentamos uma discussão mais geral envolvendo as
obras analisadas com a finalidade de descrever as características dos saberes da
Análise Combinatória, a partir dos resultados das análises praxeológicas
realizadas nos livros didáticos. Para isso, os livros foram codificados em L1, L2,
L3,..., L7, respeitando a ordem cronológica das obras no contexto deste trabalho.
O Quadro1 apresenta o nome do livro, do seu autor, o ano e a codificação.
Quadro 2: Título da obra, autor, ano e codificação para análise.
Título da obra Autor Ano Codificação
Eléments d`Algébre Bourdon 1891 L1
AlgebraElemetar F.T.D. 1921 L2
Tratado de Algebra Elementar Serrasqueiro 1925 L3 Curso de Matemática Roxo, Thiré e
Souza 1940 L4
Matemática Para os Cursos Clássicos e Científicos
Carvalho 1956 L5
Matemática Para o curso Colegial Moderno Barbosa e Rocha 1970 L6
Matemática: Contexto & aplicações Dante 2004 L7 Fonte: Construção do Autor
A primeira característica que conseguimos identificar nos livros analisados
refere-se à finalidade pela qual os saberes da Análise Combinatória eram
121
estudados em cada período. O quadro 2 apresenta, na primeira coluna, as cinco
finalidades que categorizamos e nas demais colunas, assinaladas com X, os
livros analisados.
Quadro 3: Caracterização da finalidade dos saberes identificada nos livros analisados.
Finalidades L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Exclusivamente para utilizar os saberes da Análise Combinatória no estudo do desenvolvimento do Binômio de Newton.
X X X
Ênfase nas identidades combinatórias (algebrismo) para o desenvolvimento do Binômio de Newton, mas apresentando interesse na solução de alguns problemas de contagem, envolvendo a noção de Arranjos simples, Permutações simples e Combinações simples.
X X
Desenvolvimento dos saberes da Análise combinatória, dissociado da necessidade de utilizá-los no estudo do Binômio de Newton.
X X
Desenvolvimento dos saberes por intermédio de alguns aspectos da teoria dos conjuntos para inserção do Princípio multiplicativo, do princípio aditivo, da árvore de possibilidade, da noção de combinação simples, bem como de alguns aspectos da teoria das funções para fundamentar a noção de Arranjos simples, Arranjos com repetição e Permutação simples no contexto dos saberes da Análise Combinatória.
X
Desenvolvimento dos saberes da Análise Combinatória, fundamentados pelo princípio multiplicativo e pela árvore de possibilidades.
X
Fonte: Construção do Autor
Os livros analisados até o final dos anos 1930 nos revelaram que o
Arranjo simples, a Permutação simples e a Combinação simples foram os
primeiros saberes da Análise combinatória estudados nas escolas brasileiras,
prioritariamente no âmbito do uso de suas fórmulas. O interesse pelo
desenvolvimento da fórmula do Arranjo simples e da Permutação simples estava
centrado na fórmula da Combinação simples. Nessa direção, a principal finalidade
dos livros analisados era mostrar a fórmula da Combinação simples para que a
mesma fosse utilizada no desenvolvimento do Binômio de Newton. Essa postura,
também, foi identificada nos livros analisados até o final dos anos 1960. Mas,
observamos nos livros desse período que já havia algum interesse pela solução
de problemas de contagem que envolviam as noções de Arranjo simples,
Combinação simples e Permutação simples.
Contudo, as tarefas identificadas nos exercícios resolvidos dos livros do
período em questão foram desenvolvidas por um único tipo de técnica, ou seja, o
122
uso direto das fórmulas para calcular o número de Arranjos simples, de
Permutação simples e Combinação simples. No livro L5, identificamos algumas
tarefas que mostravam certas identidades combinatórias não observadas nos
livros analisados anteriores. Tais tarefas foram desenvolvidas por meio de
técnicas centradas no desenvolvimento de expressões algébricas elementares.
A partir do surgimento do Movimento de Matemática Moderna, fortemente
evidenciado no livro L6, pudemos constatar que a finalidade dos saberes da
Análise Combinatória, nas escolas brasileiras, deixava de ser o desenvolvimento
de fórmulas para o cálculo do Binômio de Newton. Contudo,passou-se a
evidenciar o surgimento de novas técnicas de contagem no contexto dos
conteúdos escolares, fundamentadas na teoria dos conjuntos e nas noções de
funções. Para nós, o caráter teórico desse período proporcionou para os estudos
de Análise Combinatória uma fundamentação matemática mais consistente, mas
as tarefas identificadas nos exercícios resolvidos dos livros ainda continuavam
apresentando como técnica de solução dos problemas o uso direto das fórmulas
e, também, o desenvolvimento algébrico de identidades envolvendo-as.
O livro L7 desmistifica definitivamente o que constatamos no livro L6, em
relação ao cálculo do Binômio de Newton– inserido ao longo de todo capítulo dos
conteúdos da Análise Combinatória–, a atividade de resolução de problemas,com
a pretensão de desenvolver a capacidade dos alunos em resolver problemas
envolvendo contagem. Contudo, observamos que as atividades de matemática da
obra são trivializadas por meio de problemas de contagem com a intenção de
desenvolver técnicas do tipo Algorítmicas.
Como foi descrito anteriormente, as mudanças de finalidades dos saberes
da Análise Combinatória começaram a ocorrer após o final dos anos 1930. Assim
como foi, também, observado que novos saberes foram inseridos no contexto
escolar brasileiro. Nesta direção, construímos o Quadro 4 para que pudéssemos
caracterizar os conteúdos que se mantiveram ao longo das mudanças ocorridas e
os conteúdos que por algum motivo deixaram de ser desenvolvidos por
determinado livro.
123
Na primeira coluna apresentamos os conteúdos que identificamos nas
tarefas propostas dos livros analisados e nas demais colunas, assinaladas com X,
os livros analisados.
Quadro 4: Caracterização dos saberes identificado nos livros analisados.
Conteúdos L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Princípio Multiplicativo da contagem
X X
Princípio Aditivo da contagem X
Princípio da inclusão-exclusão X
Listagem Direta de agrupamentos X X X X X X
Árvore de Possibilidades X X
Arranjos simples X X X X X X X
Arranjos com elementos repetidos X X X
Permutação simples X X X X X X X
Permutação com elementos repetidos
X X X X
Combinações simples X X X X X X X
Combinação com elementos repetidos
X X
Fonte: Construção do Autor
Como podemos observar, o processo de listagem direta dos
agrupamentos consta em quase todos os livros analisados. É importante ressaltar
que, nos livros L1, L2, L3, L4 e L5, esse processo era utilizado na técnica que
apresentava a fórmula para calcular o número de Arranjos simples, Permutações
simples e Combinações simples, justificada por um discurso tecnológico/teórico
contido nos pressupostos Teoricistas. Isto caracteriza o fato deque em todos os
esses livros o processo de listagem direta era abandonado depois que as
fórmulas, dos agrupamentos citados, eram apresentadas. Para Gascón (2003),
essa postura prioriza o produto final. Isto pode ser verificado por meio das Tarefas
(T1.1), Tarefa (T1.2) , Tarefa(T1.3) e,também, por intermédio das técnica(1.1),
técnica (1.2) e da técnica (1.3). No livro L7,observamos que o processo de
listagem direta dos agrupamentos é utilizado de forma puramente secundária, ao
contrário do que ocorre nos primeiros livros citados.
Em quase todos os casos que identificamos agrupamentos com
elementos repetidos – livros L4, L5 e L6–, as tarefas que apresentam as fórmulas
para calcular tais agrupamentos foram desenvolvidas por técnicas que utilizaram
a exposição direta das fórmulas, sem nenhuma justificativa. O caso mais
agressivo foi identificado no livro L4 que apresentou a fórmula para calcular o
número de Combinações com elementos repetidos em uma nota de rodapé. Em
124
todos esses casos, a postura didática consiste em admitir que “o importante seja
o momento que o professor apresenta aos alunos um corpo de conhecimentos
cristalizados em uma teoria” (GASCÓN, 2003, p.22). O livro L6 apresenta
justificativas consistentes para todos os conteúdos que apresentam elementos
repetidos na formação de seus agrupamentos. No entanto, o discurso
tecnológico/teórico é o mesmo dos outros livros, ou seja, segue os pressupostos
Teoricistas.
Vale ressaltar que o Livro L6 é a obra mais completa em se tratando do
número de conteúdos desenvolvidos. Nesta obra, identificamos o surgimento da
Tarefa (T6.1) e da técnica(6.1), referentes à apresentação do Princípio Aditivo da
contagem; da Tarefa(T6.2) e da técnica(6.2), referentes à apresentação do
Princípio da Inclusão-exclusão; da Tarefa (T6.3) e da técnica(6.3), referentes ao
Princípio Multiplicativo da contagem; e da Tarefa (T6.5) e técnica(6.5), referentes
às árvores de possibilidades. Essas tarefas e técnicas didáticas possuem um
discurso tecnológico/teórico contido nos pressupostos Teoricista. Isto representa
uma questão didática interessante, pois de alguma forma houve uma necessidade
de evoluir o bloco do saber/fazer (Tarefa/técnica) no contexto da combinatória,
mas o bloco do saber (tecnológico/teórico) continuou o mesmo. Ou seja,
caracterizado por uma organização didática Teoricista.
Seguindo essa mesma linha de observação, podemos afirmar que o Livro
L7 é o segundo que apresenta o maior número de conteúdos desenvolvidos da
Análise Combinatória. No entanto, a árvore de possibilidade e o processo de
listagem direta são utilizados, no livro L7, como técnicas de contagem,
especificamente para que sejam apresentados o Arranjo simples e a Permutação
simples. Depois disso, a árvore e a listagem desaparecem no contexto da obra. O
mesmo ocorre com o princípio multiplicativo, que desaparece depois que as
fórmulas são apresentadas. Mas as tarefas didáticas, identificadas no Livro 7,
associadas às técnicas que, também, identificamos na obra, implicam um
discurso tecnológico/teórico dentro dos pressupostos encontrados em
organizações didáticas Tecnicistas. De acordo com Gascón (2003), o Tecnicismo
não prioriza estratégias de resolução de problemas sem o uso direto da aplicação
da fórmula.
125
No caso do livro L7, não admitimos apenas a ideia de utilizar a aplicação
das fórmulas e, sim, a aplicação direta de técnicas de contagens padronizadas
(princípio multiplicativo, árvores de possibilidade, princípio aditivo e outros)em
todo contexto da obra, em que são apresentados os conteúdos da Análise
Combinatória. Por exemplo, a técnica 7.4 apresenta a permutação simples por
meio da árvore de possibilidade, do princípio multiplicativo da contagem e do
processo de listagem direta, utilizando a seguinte situação-problema: “Quantos
são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra
ANEL?” (cf. seção 4.4, p.107). Esses tipos de problemas são rotineiros no
contexto do livro L7. Com isso, fica a impressão que os problemas que são
resolvidos pela árvore de possibilidades podem, também, ser resolvidos pelo
princípio multiplicativo. Tal proposição não é verdadeira e isso pode ser verificado
na figura 4, que apresenta a solução do problema do “joga da roleta”, retirado de
Magalhães e Oliveira (2004). Diante dessa e de outras situações, podemos inferir
que o livro L7 utiliza a resolução de problemas para efeito de treinamento das
técnicas padronizadas; caracterizando, dessa forma, uma obra com pressupostos
Tecnicistas.
Um fato relevante consiste em observar que as tarefas para calcular o
número de Arranjo simples, de Permutação simples e de Combinação simples
são as mesmas desde o primeiro livro analisado (L1). Ou seja, respectivamente,
Tarefa (T1.1), Tarefa(T1.2) e Tarefa (T1.3).Isto ocorre mesmo diante do fato
deque as finalidades para o estudo dos saberes da Análise Combinatória nas
escolas brasileiras sofreram alterações em três momentos cronológicos (1900 até
1960, 1960 até 1980 e 1980 até 2009). Contudo, as técnicas 1.1 e 1.2,utilizadas
nas Tarefas (T1.1) e Tarefa (T1.2), não foram identificadas nos livros L6 e L7. Isto
pode ser observado nas técnicas 6.11, 6.12, 6.13 e 6.14 – desenvolvidas no livro
L6 –, e nas técnicas 7.4, 7.5, 7.7, 7.8, desenvolvidas no livro L7. A técnica para
calcular o número de combinações simples de n elementos tomados p a p
continuou a mesma desde o primeiro livro analisado.
O livro L7, que reúne o princípio multiplicativo e as árvores de
possibilidades – observados inicialmente no livro L6, no período de 1960 até 1980
– e o processo de listagem direta–observados nos livros do primeiro momento
126
cronológico–, demonstra ser uma obra que se adaptou nos dois contextos, mas
não manteve sua postura transformadora e cedeu à predominância dos
problemas envolvendo Arranjo simples, Permutação simples e Combinação
simples. Este fato pode ser observado na Tabela 1, diante do número de
exercícios resolvidos e propostos envolvendo tais agrupamentos.
Diante do exposto acima, podemos dizer que a forma como os saberes
são apresentados nos livros didáticos também passaram por transformações
associadas às finalidades de se estudar Análise Combinatória nas escolas
brasileiras. A partir das tarefas e técnicas didáticas, identificadas nos livros
analisados, foi possível construir o Quadro 5, que apresenta na primeira coluna as
características que obtivemos acerca da forma como os saberes são
apresentados nos livros e nas demais colunas, assinalamos com X, os livros que
apresentam tais características.
Quadro 5: Caracterização da forma como os saberes são apresentados nos livros analisados.
Tarefas/técnicas L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando listagem direta dos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas dos Arranjos simples, Permutação simples e Combinação simples.
X X X
Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando listagem direta dos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas dos Arranjos simples, Permutação simples e Combinação simples, seguida de exercícios resolvidos e exercícios propostos.
X X
Apresentação por meio de explanação teórica, utilizando a noção de conjuntos, de algumas funções, a árvore de possibilidades, o Princípio Multiplicativo, o Princípio Aditivo nos agrupamentos para efeito de generalização das fórmulas.
X
Apresentação por meio de uma ou poucas situações-problema resolvidas utilizando o Princípio Multiplicativo ou a árvore de possibilidades para generalização das fórmulas seguidas de exercícios resolvidos e exercícios propostos.
X
Apresentação por meio de exposição direta das fórmulas sem utilizar a listagem direta ou o Princípio Multiplicativo ou a árvore de possibilidades ou outros.
X X X
Fonte: Construção do Autor
Duas questões interessantes devem ser postas no contexto de nossas
discussões. Trata-se da transição que identificamos entre os livros do período
1940 até 1960 (L4 e L5) e o livro do período entre 1980 e 2009(L7), que tem como
127
“ponte teórica” alguns saberes identificados no livro do período entre 1960 e
1980(L6).
A primeira questão centraliza-se na última linha do Quadro 5. Os livros L4,
L5 e L7 possuem em comum a forma como a permutação com elementos
repetidos é apresentada. A tarefa didática e sua técnica consistem em apresentar
as fórmulas desse agrupamento e resolver exercícios com aplicações diretas. O
discurso tecnológico/teórico para essa situação segue uma abordagem
Tecnicista. Um exemplo do que estamos nos referindo pode ser observado na
Tarefa (T4.3): apresentar a noção de Permutações com elementos repetidos e na
sua técnica 4.3, mostrada pela figura 16 (cf. seção 4.4, p.81). O livro L6, também,
apresenta a permutação com elementos repetidos, ou seja, a mesma tarefa que
os livros L4, L5 e L7 apresentam. Entretanto, o livro L6 não apresenta a mesma
técnica e o discurso tecnológico/teórico segue pressupostos Teoricistas. A técnica
6.18 do livro L6, utilizada para desenvolver a Tarefa (T4.3), apresenta
características formalistas muito intensas. Nesse sentido, podemos inferir que os
livros atuais ainda não conseguiram apresentar um caminho metodológico que
propicie aos alunos a solução de problemas de contagem, que produzam a real
necessidade da utilização do saber envolvendo permutações com elementos
repetidos e, principalmente, a consciente utilização da técnica usada na tarefa.
A segunda questão centraliza-se especificamente em uma reflexão
acerca das metodologias observadas na segunda, terceira e quarta linhas do
Quadro 5. E, também, segue a mesma linha de discussão do parágrafo anterior.
Porém, envolvendo os Arranjos simples e a Permutação simples. A tarefa para
apresentar esses dois agrupamentos é a mesma desde antes 1900. Este fato já
foi descrito anteriormente, bem como o fato de que as técnicas dessas tarefas
utilizadas nos livros L6 e L7 são diferentes dos livros anteriores. É neste ponto
que desejamos voltar. O livro L7 apresenta, por exemplo, a técnica 7.8 para
apresentar o arranjo simples (cf. seção 4.4, p.114). O que podemos observar é
que a técnica 7.8 é constituída por uma adaptação dos elementos formalistas
contidos nas técnicas 6.14 e 6.15, para mesma tarefa, identificadas no livro L6.
Este fato, para nós, representa uma perda no aspecto do saber matemático em
128
questão, pois a técnica utilizada pelo livro L6 consegue mostrar a real
necessidade da utilização do saber.
Mas, por um lado, a carga de elementos formalistas embutida nas
técnicas 6.14 e 6.15, possivelmente poderão gerar dificuldades de apreensão da
noção de Arranjo simples por parte dos alunos. Essa é uma característica de
abordagens Teoricistas. Por outro lado, a adaptação identificada na técnica 7.8
poderá gerar, também, tais dificuldades, porque se trata de um discurso
tecnológico/teórico com características da abordagem Tecnicista e, com isso,
restringindo o aluno à solução de problemas de contagens envolvendo o Arranjo,
que são resolvidos pela aplicação direta da técnica. Este fato ocorre de forma
idêntica à Permutação simples. Nesse sentido, podemos inferir que os livros
atuais ainda não conseguiram apresentar um caminho metodológico que propicie
aos alunos a solução de problemas de contagem que produzam a real
necessidade da utilização dos saberes envolvendo Arranjo simples e Permutação
simples, sem a carga de formalismo identificada no livro L6.
Os livros que estão no contexto do parágrafo anterior revelam um avanço
em relação aos livros L1, L2 e L3, em se tratando da apresentação de alguns
exercícios resolvidos e propostos envolvendo problemas de contagem no
desenvolvimento dos conteúdos observados no Quadro 4. Por meio desses
exercícios, podemos identificar algumas organizações matemáticas nos livros
analisados. O Quadro 6 apresenta uma caracterização dos exercícios resolvidos
identificados na pesquisa.
Quadro 6: Caracterização dos exercícios resolvidos dos livros analisados.
Tarefa/técnicas L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7
Exercícios que incentivam o uso de diferentes técnicas de resolução.
E E E E E B A
Exercícios que valorizam a verificação de processos e validação de respostas.
E E E E E E C
Exercícios de aplicação, análogo aos exemplos usados na apresentação dos conteúdos.
E E D A A A A
Exercícios de treino de procedimento e simples aplicação de fórmulas.
E E E B B B B
Categorias Muitos Alguns Poucos Raros Não existe
A B C D E
Fonte: Construção do Autor
129
O Quadro 6 apresenta na primeira coluna a caracterização dos exercícios
que identificamos nas obras analisadas.As demais colunas são preenchidas com
a frequência com que observamos os exercícios, caracterizados nos seus
respectivos livros. No preenchimento das colunas, utilizamos as Letras A para
informar que o livro possui “Muitos” exercícios com as características
identificadas; B para informar que o livro possui “Alguns” exercícios com as
características identificadas; C para informar que o livro possui “poucos”
exercícios; D para informar que o livro possui “Raros” exercícios; e, finalmente,E
para informar que “Não existe” exercícios no livro com as características
identificadas.
Nos livros L1 e L2 não existem exercícios com as características
apresentadas no Quadro 6. Para constar, nessas obras identificamos a ausência
de qualquer tipo de exercício. Neste caso não foi possível identificar organizações
matemáticas nas duas obras. As primeiras tarefas e as técnicas matemáticas
foram identificadas, nesta pesquisa, no livro L3. O livro, como descrevemos
anteriormente, apresenta um grupo de tarefas e de técnicas didáticas inseridas
nos pressupostos Teoricistas. Os exercícios resolvidos tinham um caráter
puramente reprodutivo, como, por exemplo: “o número de Arranjos de 8
elementos tomados 4 a 4” (cf. seção 4.4, p.72). A tarefa é determinar o número de
arranjos simples de 8 elementos tomados 4 a 4; identificada, neste texto, como
Tarefa(T3.1). A técnica 3.1 usada na tarefa sublinha diretamente o uso da
seguinte fórmula:
𝐴𝑚𝑝
= 𝑚. 𝑚 − 1 . (𝑚 − 2). (𝑚 − 3) … (𝑚 − 𝑝 + 1)
O discurso tecnológico/teórico consiste no desenvolvimento da fórmula do
Arranjo simples pelo processo de listagem direta dos agrupamentos. Outra tarefa
que identificamos no livro L3 e, também, nos demais livros analisados é a
Tarefa(T3.4): “calcular o número de anagramas da palavra com cinco letras”. No
livro mais contemporâneo, o livro L7, identificamos outra tarefa com as mesmas
características, só que com quatro letras (ANEL), e utilizada para fins didáticos. O
discurso tecnológico/teórico que justifica a Tarefa (T3.4) e a técnica 3.4 consiste
no desenvolvimento da fórmula da permutação simples e pelo processo de
listagem direta dos agrupamentos. `
130
Os exercícios que valorizam a verificação de processos e a validação de
repostas, que Gascón (2003) considera importantes para efeito de organizações
didáticas Construtivistas, são identificados com pouca frequência no livro L7 e
sem nenhuma presença nos demais livros analisados.Enquanto os exercícios de
aplicação, análogos aos exemplos usados na apresentação dos conteúdos, são
os que apresentam a maior frequência, na maior parte dos livros analisados.
Os discursos tecnológico/teórico identificados nos livros entre 1900 até
1960, analisados nesta pesquisa, para as Tarefas envolvendo o arranjo simples e
a Permutação simples, eram constituídos pelo processo de contagem direta. O
livro do período entre 1960 até 1980 apresentou um discurso tecnológico/teórico
constituído, principalmente pelo princípio multiplicativo e pela noção de funções
injetoras, sobrejetoras e bijetoras para as mesmas tarefas do período anterior. O
livro analisado, no período entre 1980 até 2009, apresentou um discurso
tecnológico/teórico constituído, principalmente, pelo princípio multiplicativo e
depois pelo uso das fórmulas para as mesmas tarefas do primeiro período.
No capítulo seguinte, apresentamos nossas considerações e perspectivas
futuras extraídas dos resultados descritos neste trabalho, pertencentes à
investigação que realizamos com os sete livros didáticos.
131
CONSIDERAÇÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS
Este trabalho apresentou um estudo que analisou alguns aspectos
didáticos e matemáticos referentes aos saberes da Análise Combinatória,
possivelmente, estudados nas escolas brasileiras. Optamos por seguir uma linha
de investigação, explorando as tarefas, as técnicas e os discursos tecnológico-
teóricos, identificados nos conteúdos de sete livros didáticos,editados no período
entre 1895-2009, procurando responder à seguinte questão: que características
de inserção dos saberes da Análise Combinatória nos livros didáticos
podem ser identificadas no período de 1895-2009?
Para nós, a trajetória trilhada na busca de solução à questão de pesquisa
possibilitou a validação de nossa hipótese inicial:consideramos nos conteúdos
dos livros didáticos a existência de um predomínio da memorização e
dautilização de fórmulas, em detrimento do desenvolvimento do raciocínio
combinatório. Neste trabalho, admitimos, sob os aspectos didáticos, a noção de
raciocínio combinatório a partir da definição de Borba (2010), apresentada nas
considerações iniciais deste trabalho.
A análise realizada nos três primeiros livros, com data que antecede os
anos 60, revelou que a principal finalidade dos saberes a serem ensinados da
Análise Combinatória, nas escolas secundárias brasileiras, era para que
servissem de criações didáticas destinadas ao desenvolvimento do Binômio de
Newton e para solução de problemas envolvendo potências de um polinômio. Tal
situação é evidenciada nas folhas introdutórias dos capítulos, que em alguns
casos, recebiam o título de “Theoria das Combinações”. No conteúdo desses
livros, identificamos um conjunto de tarefas didáticas que apresentam as noções e
as fórmulas dos Arranjos simples, da Permutação simples e das Combinações
simples. As técnicas que desenvolviam essas tarefas apresentavam um discurso
tecnológico/teórico contido nos pressupostos Teoricistas, segundo análise
realizada a partir das ideias de Gascón (2003). Nesse contexto, podemos afirmar
que a Análise Combinatória foi inserida na escola secundária brasileira para uso
exclusivo das fórmulas do Arranjo simples, da Permutação simples e da
Combinação simples.
132
Contudo, a análise realizada nos livros editados entre 1940 e 1960 revela
que nesse período havia um enfoque para a resolução de problemas, mas com a
intenção de treinar as fórmulas dos agrupamentos citados no parágrafo anterior.
Além disso, identificamos nesse período tarefas didáticas que apresentam as
fórmulas do Arranjo com repetição e da Permutação com repetição, por meio de
técnicas de exposição direta. Isto no fez inferir que o discurso tecnológico/teórico
desses livros ainda é Teoricista, mas alguns aspectos relativos a organizações
didáticas tecnicistas começaram a surgir nos livros desse período.
Um fato interessante que observamos, em todos os períodos, está
relacionado à tarefa identificada para apresentar a fórmula da Combinação
simples. A análise realizada nos conteúdo dos livros revela que a tarefa e a
técnica para apresentar a fórmula da combinação simples são as mesmas desde
1895. A técnica utilizada sempre foi desenvolvida por meio das fórmulas da
Permutação simples e dos Arranjos simples. Nesse sentido, podemos inferir que
os livros atuais ainda não conseguiram apresentar um caminho metodológico que
propicie aos alunos a solução de problemas de contagem que produzam a real
necessidade da utilização dos saberes envolvendo a Combinação simples,
dissociada do Arranjo e da Permutação. Isto pode ser a causa das dificuldades
que alguns alunos apresentam ao resolver problemas de contagem envolvendo a
Combinação simples, revelados nos estudos de Pinheiro (2008), de Sturm (1999),
de Pessoa (2010) e de Rocha(2004).
Alguns saberes da Análise Combinatória, no período de 1960 até
1980,passaram a ser fundamentados teoricamente pela noção de função injetora,
a noção de função bijetora, a teoria dos conjuntos e o princípio da indução finita.
As técnicas usadas nas tarefas para calcular os Arranjos simples, os Arranjos
com repetição e a Permutação simples foram fortemente influenciadas no
processo de transformação ocorrido nesse período, em decorrência do
Movimento de Matemática Moderna. O que consiste que o discurso
tecnológico/teórico continuou sob os pressupostos Teoricistas. Nessa direção, o
período em questão também é marcado pelo uso do princípio multiplicativo,
aditivo, da inclusão-exclusão e da árvore de possibilidades na solução de certos
133
tipos de problemas de contagem que não poderiam ser resolvidos pelos Arranjos,
pela Permutação e pela Combinação.
Um fato interessante que observamos após esse período envolve a
árvore de possibilidades e o princípio multiplicativo. Os livros didáticos passaram
a utilizar a árvore de possibilidades como uma técnica para apresentar o princípio
multiplicativo. Mas ambas as técnicas são diferentes e conseguem resolver um
determinado tipo de tarefa. Entretanto, o que observamos são abordagens
metodológicas procurando justificar o princípio multiplicativo a partir da árvore de
possibilidades. E, nessa mesma direção, o princípio multiplicativo justificará o
arranjo e desaparece após o momento que as fórmulas são institucionalizadas.
Diante disso, surge a seguinte questão: como os alunos desenvolverão o
raciocínio combinatório se as potencialidades das técnicas estão sendo limitadas
pelas próprias metodologias de ensino? Isto pode ser observado no livro do
período entre 1980 e 2009.
Cada vez mais que a pesquisa foi avançando e revelando as
características dos saberes da Análise Combinatória nos livros analisados,
verificamos a presença de organizações praxeológicas identificadas no bloco
tarefa/técnica/tecnologia/teoria, as quais passaram de uma abordagem Teoricista
para uma abordagem tecnicista ou clássica ao longo de todo o período estudado.
Diante do exposto, surgiu a necessidade de continuarmos, em pesquisas
futuras, analisando outros livros para que possamos identificar nos seus blocos
tarefa/técnica e tecnologia/teoria a presença de abordagens modernistas ou, até
mesmo, construtivistas, seguindo a análise de Gascón (2003). Para nós, a
implicação educacional do estudo que desenvolvemos e nos propomos continuar
desenvolvendo será a de propiciar à comunidade de Educadores Matemáticos
questões epistemológicas e didáticas acerca dos saberes a serem ensinados da
Análise Combinatória. Nessa direção, seguindo as ideias de Gascón(2003),
ressaltamos a necessidade de rever as abordagens de ensino referentes aos
saberes da Análise Combinatória,fundadas ora nos pressupostos teoricista, ora
nos pressupostos tecnicistas. Isto porque a realidade educacional atual necessita
de uma abordagem com componentes didáticos contidos nos três eixos,
apresentados na figura 5.Ou seja, uma abordagem que poderia ser representada
134
por um ponto no espaço. Isto será possível a partir de novas pesquisas que
procurem utilizar a metodologia da resolução de problemas, articulando de forma
interligada o momento didático da técnica, o momento exploratório e o momento
teórico. Um verdadeiro desafio que possivelmente desenvolverá o raciocínio
combinatório dos alunos de forma mais consistente.
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ANEXO A
ANEXO B
