PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO presente no Caderno do Aluno na...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Fernanda Roberta Ravazi Bailo

Produto da dissertação: Análise dos usos da variável

presente no Caderno do Aluno na introdução à Álgebra da

Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino

Fundamental II de 2008 e 2009

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2011

RESUMO

O presente produto, originário de uma pesquisa qualitativa de cunho documental do

Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, tinha como objetivo investigar

quais os diferentes usos da variável emergem da sequência de ensino, que compõe

as quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano)

volume 4-2009, sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino

Fundamental II do ano de 2008. Para o seu desenvolvimento utilizamos uma

ferramenta teórico-metodológica denominada Modelo 3UV, tal modelo apresenta

uma interpretação do conceito de variável em três principais usos no ensino em

álgebra escolar – incógnita específica, número genérico e uma relação funcional.

Além disso, investigamos se as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,

1998) também estão presentes nestas Situações de Aprendizagem. Como resultado

desta pesquisa, concluímos que o Modelo 3UV, as concepções de álgebra de

Usiskin (1995) e as dimensões de álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) podem

ser identificadas nas Situações de Aprendizagem analisadas, porém, de acordo com

o Modelo 3UV nestas situações são enfatizados os usos da variável como incógnita

específica e número genérico. Nas concepções de álgebra de Usiskin (1995) não

está presente a concepção de Álgebra como estudo de estruturas e nas dimensões

da álgebra segundo o PCN (BRASIL, 1998) não está contida a dimensão da Álgebra

estrutural. Portanto, este trabalho tem como produto propiciar a diferenciação entre

os distintos usos das variáveis para melhor instrumentalização do professor e estará

disponível para consulta dos docentes em versão digital em separado da dissertação

intitulada: Análise dos usos da variável presente no Caderno do Aluno na introdução

à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II

de 2008 e 2009.

Palavras-chave: Educação Algébrica, Diferentes usos da variável, Modelo 3UV,

Material Didático, Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO -------------------------------------------------------------------------------------------- 4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS --------------------------------------------------------- 5 ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM ------------------------------------------ 6

Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e álgebra - 6 Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas ------------------------------------ 20 Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças --------------------- 40 Situação de Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações e a regra de três --- 54

CONSIDERAÇÕES FINAIS ------------------------------------------------------------------------- 64 REFERÊNCIAS ---------------------------------------------------------------------------------------- 68

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INTRODUÇÃO

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II – PCN

(BRASIL, 1998) e vários pesquisadores como Booth (1995), Demana e Leitzel

(1995), House (1995) e Scarlassari (2007), discutem a respeito das dificuldades

encontradas pelos alunos ao estudar Álgebra e a relevância da compreensão do

conceito de variável. Entretanto, pesquisas recentes como Silva (2009) apontam que

alunos na fase de conclusão do Ensino Fundamental (8ª série/9°ano) apresentam

dificuldades em relação ás variáveis e suas distintas utilizações. Já Rodrigues

(2008) em sua pesquisa verificou que estudantes, na fase de conclusão do Ensino

Médio (3° ano), também manifestam estas dificuldades e Queiroz (2008) constatou

em seu trabalho que professores destes níveis de ensino têm problemas em relação

ás variáveis e suas diferentes utilizações.

Como podemos notar tanto alunos, na fase de conclusão do Ensino

Fundamental II como do Ensino Médio, apresentam dificuldades os diferentes usos

das variáveis e Demana e Leitzel (1995, p. 74) ainda ressaltam: “É um fato bem

conhecido que os alunos têm dificuldade com o conceito de variável e que essa

dificuldade pode ser decisiva para um fracasso em Álgebra”.

Diante da relevância do conceito de variável para o ensino da Álgebra e as

dificuldades que os estudantes apresentam a respeito deste tema, temos como

objetivo nesta pesquisa investigar quais os diferentes usos da variável emergem da

sequência de ensino, que compõe as quatro Situações de Aprendizagem do

Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano) volume 4-2009, quando se inicia formalmente

o ensino da Álgebra, sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do

Ensino Fundamental II do ano de 2008.

A escolha pela análise desse material é em razão de deste conter Situações

de Aprendizagem envolvendo a introdução ao estudo da Álgebra, que o mesmo

deve ser utilizado por todos os professores e estudantes da Rede Estadual de

Ensino do Estado de São Paulo. Então está pesquisa tem como produto propiciar a

diferenciação entre os distintos usos das variáveis do referido material, para melhor

instrumentalização do professor. A seguir apresentaremos os procedimentos

metodológicos.

5

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para realização desta pesquisa, inicialmente foi efetuada a leitura da Proposta

Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), com o intuito de verificar,

em qual bimestre da 6ª série tínhamos a introdução ao estudo da Álgebra e

descobrimos que estava presente no 4º bimestre.

Após a familiarização com o instrumento de análise, resolvemos os

problemas/atividades propostas nas quatro Situações de Aprendizagem do Caderno

do Aluno da 6ª série/7º ano Volume 4-2009, durante sua resolução consultamos o

que era proposto no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009) e no gabarito do

Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2009a) apresentado pela Secretaria de Educação

do Estado de São Paulo, posteriormente iniciamos nossa análise.

Em cada problema/atividade das Situações de Aprendizagem, analisamos

quais aspectos da variável, segundo o Modelo 3UV, estavam presentes. Além disso,

verificamos quais concepções de álgebra de Usiskin (1995) e quais dimensões da

álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), podiam ser

identificadas.

A seguir apresentaremos as Situações de Aprendizagem contidas no Caderno

do Aluno da 6ª série volume 4-2009, seus objetivos segundo o Caderno do Professor

(SÃO PAULO, 2009), suas soluções apresentadas pela Secretaria de Educação do

Estado de São Paulo em forma de gabarito e suas respectivas análises.

6

ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por

aritmética e álgebra

Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):

Na Situação de Aprendizagem 1, o foco das atividades é o reconhecimento de padrões, em figuras e em sequências numéricas. Um dos objetivos da Álgebra é justamente a representação de regularidades por meio da linguagem simbólica da Matemática. Apresentamos uma série de atividades envolvendo a descoberta de padrões e regularidades e sua posterior representação na forma algébrica. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).

Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas treze atividades

subdivididas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a

seção Você aprendeu?, apresentada na Figura 1.

Figura 1 - Atividades 1, 2, 3 e 4 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 3-4

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

1. Observe com atenção a sequência abaixo:

Qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão?

I. II. III. IV. V.

a) O símbolo I.

b) O símbolo II.

c) Os símbolos II ou III.

d) Os símbolos I ou IV.

e) Os símbolos II ou IV.

2. Por que é possível escolher mais de um símbolo para continuar o padrão da sequência? ________________________________________________________________________________________________________

3. Desenhe uma sequência usando como padrão o símbolo da figura III, apresentado na Atividade 1.

4. Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequência, apresentados na Atividade 1, numerando-os conforme sua posição.

a) Qual símbolo deve ser colocado na 20ª posição da sequência? E na posição 573? ________________________________________________________________________________________________________

b) Escreva uma regra que permita identificar o símbolo correspondente a cada uma das posições da sequência. ________________________________________________________________________________________________________

7

Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação

1. Alternativa e.

Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo

símbolo será / \. Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será

apenas /, o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a

alternância das barras / e \. Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de

forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito

com o seguinte tipo de pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é

formada pelas figuras / e \ em alternância? O que nos impede de dizer que as

figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo /\/, ou ainda do tipo /\/\?

2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos

na sequência.

3.

4.

a) Na 20ª posição será o símbolo II.. Na 573ª posição, o símbolo I..

b) O símbolo I. está associado às posições pares, e o símbolo II. às posições

ímpares.

Exemplos de resposta:

• nas posições ímpares a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares a

linha está deitada para a esquerda;

• quando a posição indica um múltiplo de 2 teremos \, caso contrário teremos / .

Análise

Vale ressaltar que na resposta apresentada pelo gabarito na atividade 3, há

vírgulas e na sequência estas não aparecem, portanto, seria aconselhável nesta

sequência não se colocar as vírgulas. Já a resposta dada para a atividade 4 (a) esta

incorreta, pois na 20ª posição será o símbolo I., ou seja \. Já na posição 573ª será o

símbolo II., ou seja /.

Na série de atividades apresentadas em Você aprendeu? observamos que a

pré-álgebra está presente, uma vez que é dada uma sequência de padrão figurativo,

8

cuja finalidade é explorar a identificação do padrão da mesma e sua representação é

feita por meio de palavras e figuras. Além disso, fazemos o uso de recursos

aritméticos para investigar os termos da sequência, e atribuímos números para

detectar suas posições. Neste episódio foram utilizados os números naturais pares

(ou múltiplos de 2) e os números naturais ímpares.

Nestas atividades embora em sua resolução “não apareçam letras” e o foco

seja regularidades, temos de acordo com o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5

da variável como número genérico. Nas atividades 1, 2, 3 e 4 é necessário o aspecto

G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em uma

sequência; na 4 (a) temos o aspecto G3, já que deverão deduzir a regra em uma

sequência; e na 4 (b) é indispensável o aspecto G5, uma vez que necessitarão

simbolizar enunciados e regras, na qual representarão este padrão por meio de

palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente.

Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) não identificamos nenhuma

das duas. A meu ver, isto se justifica em virtude de tanto as concepções quanto as

dimensões da álgebra, focarem o uso da variável letra e como podemos observar

em nenhuma destas atividades tivemos a presença de letras, e sim da variável

palavra.

Nas Figuras 2 e 3, apresentamos a Lição de casa com as atividades 5 e 6.

Figura 2 - Atividade 5 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 4-5

5. Escreva uma regra de identificação dos símbolos para cada uma das sequências a seguir:

a) Sequência 1

____________________________________________________________________________________________________

b) Sequência 2

____________________________________________________________________________________________________

c) Sequência 3

____________________________________________________________________________________________________

d) Sequência 4

____________________________________________________________________________________________________

9

Figura 3 - Atividade 6 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 5


5. a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3.

Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.

Símbolo \: quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.

b) Símbolo : quando a posição for um número ímpar.

Símbolo : quando a posição for um número par.

c) Símbolo : quando a posição for um múltiplo de 3.

Símbolo : quando a posição não for um múltiplo de 3.

d) Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3.

Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.

Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.

6. a) A figura que ocupa a 20ª posição na sequência 1 é \.

b) A figura que ocupa a 73ª posição na sequência 2 é .

c) A figura que ocupa a 123ª posição na sequência 3 é .

d) A figura que ocupa a 344ª posição na sequência 4 é .

6. Tendo como base as sequências apresentadas na atividade anterior, desenhe:

a) a figura que ocupa a 20ª posição na Sequência 1.

b) a figura que ocupa a 73ª posição na Sequência 2.

c) a figura que ocupa a 123ª posição na Sequência 3.

d) a figura que ocupa a 344ª posição na Sequência 4.

10

Análise

Nesta seção Lição de casa, temos ainda um modelo de pré-álgebra, na qual

são apresentadas sequências de padrão figurativo com a intenção de explorar a

identificação do padrão da mesma. A representação deste padrão é feita por meio

de palavras e figuras, tendo o uso de recursos aritméticos para identificar os termos

da sequência; neste caso, foram utilizados os múltiplos, os divisores, o resto da

divisão.

Nas atividades 5 e 6, ocorre o mesmo que nas anteriores (Você Aprendeu?).

Apesar de na resolução, cujo foco é regularidades “não aparecerem letras” temos

segundo o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5 da variável como número

genérico. Sendo indispensável na atividade 5 o aspecto G1, já que precisarão

reconhecer padrões, perceber regras e métodos em sequências; o aspecto G3, pois

necessitarão deduzir regras em sequências; e o aspecto G5, porque deverão

simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais, representando este padrão por

meio de palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente. Já na atividade 6

temos apenas o aspecto G3.

Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades da seção anterior

(Você aprendeu?), não tivemos a presença da variável letra. Logo, não identificamos

nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.

Nas Figuras 4 e 5, temos novamente a seção Você aprendeu? com as

atividades 7, 8, 9 e o 10 em forma de Desafio.

Figura 4 - Atividade 7 da Situação de Aprendizagem 1

Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6

7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) Qual é a próxima figura da sequência? __________________

b) Escreva uma regra para determinar a posição de cada símbolo da sequência. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Qual é figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? ______________

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Figura 5 - Atividades 8, 9 e 10 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6-8


7. a) É a figura . (paus)

b) A figura ocupa as posições 4, 8, 12, 16,..., ou seja, posições correspondentes

a um múltiplo de 4. As posições ocupadas por são as de número 2, 6, 10, 14,

18,..., ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2” ou, dizendo

de outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na

8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade em 180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega:

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira Sábado

Região 1 Região 2 Região 3 Região 4 Região 5 Região 6

Região 7 Região 8 Região 9 Região 10 Região 11 Região 12 . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a) Cite cinco regiões da cidade que recebem o gás às sextas-feiras. __________________________________________________________________________________________________

b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados? __________________________________________________________________________________________________

c) Em que dia da semana a região 180 recebe a entrega de gás? E a região 129? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões servidas pela entrega de gás às quintas-feiras?

____________________________________________________________________________________________________

9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de repetição do algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas:

70 71 72 73 74 75 76 77

1 7

a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem? __________________________________________________________________________________________________

b) Explique por que esse padrão acontece. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 1? __________________________________________________________________________________________________ d) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 7? __________________________________________________________________________________________________ e) Qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7179 ? __________________________________________________________________________________________________

Desafio! 10. Qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica 7100 + 7150 + 5?

Resposta: ________________

12

divisão por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura são

identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3

na divisão por 4”), e as posições da figura são identificadas por “múltiplos de 4

acrescidos de 1” (ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”).

c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será .

8. a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29.

b) Todas as regiões que são múltiplas de 6: 6, 12, 18, 24,..., 180.

c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a

região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras.

d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um

múltiplo de 6 acrescido de 4.

9.

70 71 72 73 74 75 76 77

1 7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543

a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem.

b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em

um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por 7,

termina em 9. Um número, terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em 3.

E, um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando ao

início do ciclo.

c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12,...

d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9,

13,...

e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado

da potência terá o algarismo da unidade igual a 3.

Desafio !

10. Resposta: 5.

Nesse item, teremos que descobrir inicialmente a casa da unidade das potências

7100 e 7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de

150 por 4. No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a

1. No segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos,

portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas

13

das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da

soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5.

Análise

Nesta seção Você aprendeu? também temos um modelo de pré-álgebra, em

que mais uma vez ocorre o que foi mencionado nas atividades anteriores, isto é,

busca explorar a identificação do padrão da sequência e a sua representação é feita

por meio de palavras e figuras. Ainda temos o uso de recursos aritméticos para

identificar os termos da sequência, nestes também foram empregados os múltiplos,

os divisores, o resto da divisão e na atividade 9, temos uma sequência numérica.

Ressaltamos que segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009, p.14)

“Investigações sobre o resto de uma divisão podem ser utilizadas sempre que temos

uma sequência em que determinado padrão aritmético se repete”.

Nestas atividades 7, 8 e 9 ainda “não aparecem letras” em sua resolução e o

foco é regularidades, mas de acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G3

e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário na atividade 7 (a), 8 (a)

e (b), 9 (a) o aspecto G1, uma vez que necessitarão reconhecer padrões e perceber

regras e métodos em sequências; já na 7 (b) e (c), 8 (a), (b) e (c), 9 (b), (c), (d) e (e)

temos o aspecto G3, pois precisarão deduzir regras em sequências; e na 7 (b), 8 (d)

e 9 (b) temos o aspecto G5, porque deverão simbolizar enunciados, regras ou

métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio de palavras, ou seja,

terão que escrever retoricamente.

Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades das seções

antecedentes, não tivemos a presença da variável letra, consequentemente não

identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.

De acordo com o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):

Nos problemas anteriores, trabalhamos com sequências figuradas e numéricas e nosso principal objetivo foi identificar regularidades e representá-las com o uso da linguagem escrita ou de recursos aritméticos. Nossa próxima atividade tem o objetivo de estabelecer um ambiente favorável para o uso de letras na representação dos padrões identificados de forma indutiva. (SÃO PAULO, 2009, p.16-17).

14

Como podemos notar até o presente momento durante as resoluções das

atividades, não foram utilizadas letras. Mas nas atividades seguintes teremos o uso

de letras para representar os padrões identificados.

Na Figura 6, apresentamos a seção Você aprendeu? com as atividades 11 e

12.

Figura 6 - Atividades 11 e 12 da Situação de Aprendizagem 1 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 8-9

11. Observe as sequências de bolinhas e responda às perguntas:

a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar a posição 5 e 6.

b) Preencha a tabela associando o número de bolinhas com a posição da figura.

Posição 1 2 3 4 5 6

Número de bolinhas

c) Quantas bolinhas terá a figura que ocupa a 10ª posição? ___________________________________________________________________________________________________

d) E a figura que ocupa a 45ª posição? ___________________________________________________________________________________________________

e) Descreva, em palavras, o padrão de formação dessa sequência. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por bolinhas coloridas.

a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Qual é a única bolinha que não tem forma par e está presente em todas as figuras? ________________________________________________________________________________________________

c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5? ________________________________________________________________________________________________

d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém na figura 18? E na figura 31? ________________________________________________________________________________________________

e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas bolinhas essa figura possui no total? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que determine o número N de bolinhas de cada figura.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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11. a)

5 6 b)

Posição 1 2 3 4 5 6

Número de bolinhas 1 3 5 7 9 11

c) 19 bolinhas.

d) 89 bolinhas.

e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o

padrão da sequência há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral,

podemos agrupá-las em duas categorias: as das representações chamadas

recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende

diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e as das não

recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com

informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na

sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência

em palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à

etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras,

seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição.

12. a) Nessa figura marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em

todas as posições, e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição.

b) A vermelha.

c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5.

d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares.

e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos 25

pares (25.2) mais a bolinha vermelha.

f) N = 1 + 2.(P – 1) ou N = 2.P – 1.

Análise

Ressaltamos que na atividade 12 (b), devemos observar com atenção quando

está escrito: “bolinha que não tem forma par”, mas a bolinha tem forma par? E nas

resoluções apresentadas pelo gabarito para atividade 12, no item (a) precisamos

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também, prestar atenção em “em tons de azul”, isto poderia ser substituído por “de

mesma cor”, já nos itens (e) e (f), é utilizado o ponto no lugar do sinal de

multiplicação, em que (25.2) poderia ser trocado por )225( × , N = 1 + 2.(P – 1) por

)1(21 −×+= PN e N = 2.P – 1 por 12 −×= PN .

Nesta seção Você aprendeu? novamente, temos atividades que procuram

explorar a identificação do padrão da sequência; e sua representação é feita por

meio de palavras e figuras; já na atividade 12 item (f), pela primeira vez foi solicitado

o uso de letras para representar o padrão da sequência.

Na atividade 11, em sua resolução ainda “não aparecem letras”, mas de

acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G2 e G3 da variável como

número genérico. Sendo indispensável no item (a) e (b) o aspecto G1, pois deverão

reconhecer padrões e perceber regras em uma sequência; já nos itens (b), (c) e (d)

temos o aspecto G3, porque precisarão deduzir regras e métodos gerais em uma

sequência; e no item (e) temos o aspecto G5, visto que necessitarão simbolizar

enunciados, regras ou métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio

de palavras, ou seja, será necessário escrever retoricamente.


álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 11, também como nas

atividades das seções anteriores, não tivemos a presença da variável letra, portanto,

não identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.

Na atividade 12 item (f), temos o aparecimento de letras para escrever uma

fórmula que determina o número N de bolinhas de cada figura, utilizando a letra P

para identificar a posição da figura. Segundo o Modelo 3UV, nesta atividade, temos

os aspectos G1, G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário

nos itens (a), (b) e (c) o aspecto G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber

regras em uma sequência; já nos itens (d) e (e) temos o aspecto G3, porque

necessitarão deduzir regras e métodos gerais em uma sequência; e no item (f)

temos os aspectos G2 e G5, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra)

como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir

qualquer valor (G2) e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Como

nesta atividade, temos a variável letra, que aparece para generalizar padrões de

uma sequência, de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

17

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) identificamos a concepção

e dimensão Álgebra como aritmética generalizada.

Para finalizar esta Situação de Aprendizagem, na Figura 7 apresentamos a

seção Lição de casa com a atividade 13.

Figura 7 - Atividade 13 da Situação de Aprendizagem 1

Fonte: São Paulo, 2009a, p. 10-11

13. Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede.

I. Desenhe a próxima figura da sequência.

II. Calcule o número de bolinhas das figuras que ocupam a 5ª e a 20ª posição.

II. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que ocupa a figura na sequência.

Sequência 1

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

Sequência 2

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

Sequência 3

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

Sequência 4

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

Sequência 5

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

Sequência 6

II. 5ª : _______ / 20ª : _______ III. N = ___________________

18


13.

I

II. 9 bolinhas e 24

bolinhas, respectivamente.

III. Sequência 1: N = P+4

I

II.II.II.II. 17 e 62 bolinhas,

respectivamente. III.III.III.III. Sequência 2:

N = P+2(P+1)

I



N = 1+4(P-1)

I



N = 4.P-1

I


respectivamente. III. III. III. III. Sequência 5:

N = 5P–2

I II.II.II.II. 20 e 80 bolinhas,

respectivamente.

19

III.III.III.III. Sequência 6:

N = 4P

Análise

Na seção Lição de casa, temos também atividades que buscam explorar a

identificação do padrão da sequência, para isto utilizam recursos aritméticos e letras

para representar deste padrão.

Nesta atividade, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos G1, G2,

G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário o aspecto G1, pois

precisarão reconhecer padrões e perceber regras em sequências; o aspecto G2, já

que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma

entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; o aspecto G3, uma

vez que necessitarão deduzir regras e métodos gerais em sequências; e por fim o

aspecto G5, porque precisarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.

Como na atividade 13, temos a variável letra, que aparece para generalizar

padrões de uma sequência. De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin

(1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a

concepção e a dimensão Álgebra como aritmética generalizada.

Podemos observar, nesta primeira Situação de Aprendizagem, durante as

resoluções das atividades foram necessários quatro aspectos que constituem a

variável como número genérico, segundo o Modelo 3UV, faltando apenas o aspecto

G4; os aspectos G1, G3 e G5 apareceram com maior frequência, estando presentes

em todas as atividades, com exceção da atividade 6 que teve somente o G3; o

aspecto G2 ocorreu apenas nas atividades 12 e 13, quando tínhamos a variável

letra. Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos nas atividades 12 e

13 a Álgebra como aritmética generalizada, já que foram nestas atividades que

tivemos a variável letra, em que a mesma aparece para generalizar padrões de uma

sequência.

20

Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas


A Situação de Aprendizagem 2, explora a relação entre fórmulas e equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação explícita de “resolvê-las”. A fórmula possui um contexto que lhe é inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem do aluno. Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer com que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se preocupar com técnicas e métodos de resolução. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).

Também, destaca que “A ideia central que deve nortear o trabalho com

fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer.”

(SÃO PAULO, 2009, p. 21).

Ressaltamos que durante as análises no que se refere às fórmulas segundo

Ursini et al (2005, p. 80) “[...] fórmulas geométricas, interpretando as letras como

número genérico [...]”.

Nesta Situação de Aprendizagem são apresentados onze problemas,

envolvendo fórmulas na geometria, fórmulas de média aritmética, fórmula do

imposto de renda, fórmula para o cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC) e

fórmulas da Física. Estes problemas estão subdivididos em: Você aprendeu?, Lição

de casa e um Desafio!. Iniciando-se com uma Pesquisa individual, na qual dois

exemplos de fórmulas são solicitados aos alunos, como mostra a Figura 8.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES E FÓRMULAS

1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço abaixo e escreva um parágrafo sobre o que você sabe sobre elas (para que são usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm, etc.). Dicas de pesquisa: Você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet.

Fórmula 1: ___________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Fórmula 2: ___________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21

Figura 8 - Problema 1 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13


1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de

fórmulas em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias,

jornais e revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que

os alunos devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma

fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas

encontradas.

Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a

respeito de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os

resultados de suas pesquisas.

Análise

Nesta seção Pesquisa individual, os temas a serem abordados são: letras

para representar números ou grandezas. De acordo com o Modelo 3UV, temos o

aspecto G2 da variável como número genérico, visto que deverão interpretar a

variável simbólica (letra) como a representação de um número genérico,

indeterminado, que pode assumir qualquer valor. Com relação às concepções de

álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,

1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a

dimensão da Álgebra funcional, já que teremos uma relação entre grandezas e

serão utilizadas fórmulas.

Na Figura 9, apresentamos a seção Você aprendeu? Contendo o problema 2

utilizando Fórmulas na Geometria.

Porém, segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):

Podemos iniciar esta atividade solicitando aos alunos que procurem no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir desta lista, o professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias, envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de

22

resultados a partir de valores numéricos, etc. (SÃO PAULO, 2009, p.22).

Figura 9 - Problema 2 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13-14


2. a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20

b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42

P = 45 + 84

P = 129

c) P = a + a + b + b

Fórmulas na Geometria

2. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a sentença matemática correspondente a essa operação.

P = _________________ = ______

b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm? P =__________________________________________ = _______

c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo. P =__________________________________________ = _______

d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo. Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a mede 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm.

e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22 m, descubra qual é a medida de seu comprimento.

f) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm.

23

Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se

escrever P = 2.a + 2.b.

d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm.

O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm.

e) 22 = 2.a + 2.5

a = 6 m

f) Solução em aberto.

Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos

alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar

em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro.

Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou

36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10.

Análise

Notamos que nas resoluções apresentadas pelo gabarito, nos itens (a), (b) e

(f) não estiveram presentes as unidades de medida na resposta do problema, nos

itens (c), (d), (e) e (f), precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no

lugar do sinal de multiplicação.

Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 2, cujo objetivo é explorar as

letras para representar números e grandezas, e ainda o valor numérico de uma

fórmula, neste caso, relacionada à geometria para o cálculo do perímetro de um

retângulo.

Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e

I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3, G4 e G5 da

variável como número genérico. Nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) é necessário o

aspecto I1, pois deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido

que pode ser determinado considerando as restrições do problema. Já para os itens

(d), (e) e (f) também são indispensáveis os aspectos I2, I4 e I5, visto que deverão

interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a

representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos (I4) e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em

uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). No item (c) são

necessários os aspectos G2, G3, G4 e G5, já que deverá interpretar a variável

24

simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que

pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de

problemas (G3); manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica (G4) e

simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).

Já em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões

da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como

estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que

teremos uma relação entre grandezas, neste caso, foi utilizada a fórmula do

perímetro de um retângulo. Além disso, no item (c) temos a concepção e dimensão

Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão generalizar modelos, e nos

itens (a), (b), (d), (e) e (f) temos a concepção de Álgebra como um estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das

equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.

Na Figura 10, temos a seção Lição de casa, com o problema 3:

Figura 10 - Problema 3 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 14-15


3. A fórmula para o cálculo da área de um

triângulo qualquer é 2

.hlA = , onde A

representa a medida da área, l a medida de um lado é h, a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, representado ao lado.

a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para um retângulo de lados a, b e c?

b) Use a fórmula do item anterior para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm.

c) A área de um triângulo é conhecida e igual a 144 cm2. Use a fórmula 2

.hlA = para

descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo.

I. 12 cm e 25 cm.

II. 14 cm e 24 cm.

III. 16 cm e 18 cm.

IV. 17 cm e 17 cm. d) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm2 e que um dos catetos mede 10

cm, determine a medida do outro cateto.

25

3. a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao

outro cateto, podemos escrever a fórmula da área como 2.ba

A = .

É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e

da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma

substituição de duas letras (l e h) por outras duas letras (a e b).

b) 448232.28

2.

===ba

A . Portanto, A = 448 cm².

c) III. 16 cm e 18 cm.

2144218.16

2.

cmba

A ===

d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido, e, por

isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a

ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e

a por 10, obtemos a seguinte igualdade: 2.10

40b

= . A equação a seguir corresponde

à seguinte pergunta: Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2

resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8.

Análise

Observamos que no problema 3, onde temos a expressão “área de um

triângulo”, a meu ver, deveria ser substituída por “a medida da área de um triângulo”

e quando é apresentada a fórmula para este cálculo o ponto é utilizado no lugar do

sinal de multiplicação e o mesmo acontece durante as resoluções apresentadas pelo

gabarito.

Na seção Lição de casa temos o problema 3, que tem como objetivo explorar

as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma

fórmula. Neste caso, também é utilizada uma fórmula relacionada à geometria, mas

agora para o cálculo da medida da área do triângulo.

No terceiro problema, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e

I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da

variável como número genérico. No item (a) são necessários os aspectos G2, G3 e

G5, pois deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de

uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir

regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados,

26

regras ou métodos gerais (G5). Nos itens (b), (c) e (d) são indispensáveis os

aspectos I1, I2, I4 e I5, visto que deverão reconhecer e identificar a presença de algo

desconhecido que pode ser determinada, considerando as restrições do problema

(I1); interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação como a

representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em

uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5).

Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como

estudo de relação entre grandezas e dimensão da Álgebra funcional, uma vez que

teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula para a

medida da área de um triângulo. Além disso, no item (a) temos a concepção e

dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão generalizar

modelos. Já nos itens (b), (c) e (d) temos a concepção de Álgebra como um estudo

de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra

das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.

Na Figura 11, temos a seção Você aprendeu? com o problema 4, contendo

Fórmulas de Média Aritmética.

Fórmulas de Média Aritmética 4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática.

a) Calcule a média aritmética das notas obtidas.

b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b) de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b.

c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b, c) de três valores

quaisquer, representados pelas letras a, b e c. d) Use a fórmula encontrada no item anterior e calcule a média aritmética dos números

19, 24 e 35. e) Um aluno obteve 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a

ser realizada, qual nota ele deve obter para que média aritmética das três provas seja igual a 6?

Resposta: ___________________________________________________________

27

Figura 11 – Problema 4 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 16


4. a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75.

b) Generalizando a ideias de que a média aritmética entre dois valores é obtida

somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como:

2),(

baM ba

+= ou 2)(),( ÷+= baM ba .

Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos

parênteses na sentença matemática.

c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3.

3),,(

cbaM cba

++=

d) Solução: 263

352419)35,24,19( =

++=M .

e) Substituindo os valores das provas 1P e 2P , e o valor da média desejada na

fórmula, obtemos a seguinte equação: 3

5,75,56 3P++

= ou 3

136 3P+

= .

Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do

tipo: qual é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar

nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6ª série é capaz de

responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse

número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número

procurado é 5.

Análise

Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 4, cujo o objetivo é explorar

as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma

fórmula, neste caso é utilizado a fórmula de Média Aritmética.

Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e

I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da

variável como número genérico. Nos itens (a), (d) e (e) é necessário o aspecto I1,

uma vez que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que

pode ser determinado considerando as restrições do problema; já os itens (d) e (e)

28

são indispensáveis também os aspectos I2, I4 e I5, pois terão que interpretar a

variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de

valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em

equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e

simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica

e utilizá-las para formular equações (I5). Nos itens (b) e (c) são necessários os

aspectos G2, G3 e G5, já que deverão reconhecer interpretar a variável simbólica

(letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode

assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de

problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).

Já com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões

da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como


teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula de Média

Aritmética. Além disso, nos itens (b) e (c) temos a concepção e dimensão Álgebra

como aritmética generalizada, pois precisarão generalizar modelos. E nos itens (a),

(d) e (e) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para

resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez

que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.

Na Figura 12, apresentamos a Pesquisa individual, em que é solicitado aos

alunos fazerem uma pesquisa a respeito do que são os impostos, quem os arrecada,

para onde vai o dinheiro e o que é o Imposto de Renda.


Fórmulas na Economia

5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de renda, tendo como base as seguintes perguntas: O que são os impostos? Quem arrecada? Para onde vai o dinheiro? O que é o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

Já na Figura 13, temos Leitura e Análise do Texto, em que são apresentados

dois textos a respeito do Imposto de Renda:

Figura 13 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2

Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda?

A “mordida do leão” dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do Adolescente.

CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época. Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/

0,,ERT 29453- 15201-294553-3934.html>. Acesso em: 21 jul. 2009.

O surgimento do Leão

No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas mesmo assim, a campanha foi lançada.

A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características:

1) É o rei dos animais mas não ataca sem avisar; 2) É justo; 3) É leal; 4) É manso, mas não é bobo.

A campanha resultou numa identificação pela opinião pública do leão com a Receita Federal, e em especial com o imposto de renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes.

Disponível em: <http://receita. fazenda.gov.br/Memoria/irpf/curiosidades/

curiosidades.asp#surgimentodoLeão>. Acesso em: 23 jul. 2009.

6. Explique o significado da expressão “mordida do leão”, que aparece na matéria apresentada na seção Leitura e Análise de Texto.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

30



5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros,

dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos

alguns sites que trazem informações a respeito de impostos e do imposto de renda.

O papel dos impostos: http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm

http://www.alemg.gov.br/cedis/cartilha/Modulo%20Vermelho/Aula4/default.htm

Imposto de renda:

http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp. Acessado em 29

set. 2009.

A ideia central que deve ser discutida com os alunos é a de que os impostos

são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das

empresas para promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes,

usinas, etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há

diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos

sobre a venda de produtos, sobre a produção das indústrias, sobre os serviços e

operações financeiras, sobre a propriedade, etc. O imposto de renda é um imposto

cobrado sobre os rendimentos provenientes do trabalho de uma pessoa (como o

salário mensal). Ele é calculado a partir de uma porcentagem (alíquota) cobrada de

forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais.

6. A expressão “mordida do leão” refere-se ao valor que é cobrado por meio do

imposto de renda, considerado muito alto pelos contribuintes.

Análise

Notamos que, embora, durante as resoluções destes problemas envolvendo a

Fórmula do Imposto de Renda sejam utilizada calculadora, acho um pouco

pré-maturo esta abordagem na 6ª série.

Como os problemas 5 e 6 são para apresentar o assunto referente ao Imposto

de Renda não notamos nenhum aspecto de acordo com o Modelo 3UV, nenhuma

das concepções de álgebra de Usiskin (1995) e nenhuma das dimensões da álgebra

segundo os PCN (BRASIL, 1998).

Na Figura 14 é apresentada a seção Você aprendeu? com os problemas 7 e 8

contendo a Fórmula do Imposto de Renda.

31

A fórmula do Imposto de Renda

7. A tabela a seguir mostra o cálculo que deve ser feito para a cobrança do Imposto de Renda no Brasil (no ano de 2007). Ela informa a porcentagem que deve ser cobrada de cada faixa de rendimento (salários, aluguéis e outras remunerações). Veja que até determinado valor o contribuinte é isento, isto é, não precisa pagar Imposto de Renda. Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado.

Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa Física para o exercício de 2008, ano-calendário de 2007

Base de cálculo

mensal em R$

Alíquota

%

Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1313,69 -- --

De 1313,70 até 2625,12 15,0 197,05

Acima de 26 27,5 525,19 Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil. Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ContribFont.htm>.

Acesso em: 27 jul. 2009. Para efetuar os cálculos propostos a seguir, você poderá usar a calculadora.

a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 1 500,00 de rendimento mensal.

b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 15%.

Represente o imposto a ser pago pela letra I a remuneração pela letra R.

c) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%.

d) Calcule o valor do Imposto de Renda para os seguintes valores: I. R$ 2 500,00 II. R$ 3 000,00 III. R$ 6 000,00

8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior.

a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso:

• Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ _______ → Imposto = ___ %. Remuneração



b) O que você pode concluir com base nesses resultados? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) As remunerações de R$ 3 000,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alíquota de imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual é a razão para essa diferença?

32

Figura 14 - Problemas 7 e 8 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 18-20


7. a) 1ª etapa: calcular 15% de R$ 1500,00

225100

225001500.

10015

== . São R$ 225,00.

2ª etapa: parcela a deduzir

225 – 197,05 = 27,95

O imposto a ser retido é de R$ 27,95.

b) 05,197%.15 −= RI ou 05,197.15,0 −= RI

c) 19,525%.5,27 −= RI ou 19,525.275,0 −= RI

d) Para R$ 2 500,00 usamos a fórmula com alíquota de 15%. O imposto a ser

cobrado é de R$ 177,95. Para os outros dois valores, usamos a fórmula com

alíquota de 27,5%. O imposto sobre R$ 3000,00 é de R$ 299,81, e sobre

R$ 6000,00 é de R$ 1124,81.

8. a)

• Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ 177,95. Imposto ≅ 7,1 %. Remuneração • Remuneração = R$ 3000,00 → Imposto = R$ 299,81 Imposto ≅ 9,9 %. Remuneração • Remuneração = R$ 6000,00 → Imposto = R$ 1124,81 Imposto ≅ 18,7 %. Remuneração

b) Sobre a maior remuneração (R$ 6000,00) incide imposto proporcionalmente

maior (18,7%).

33

c) A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 525,19) é fixo. Dessa forma,

para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente maior que para um

salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$ 6000,00 é maior

do que o cobrado sobre o valor de R$ 3000,00.

Análise

Ressaltamos que no problema 8 devemos observar com atenção o registro,

visto que quando aparece

“Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ _______ → Imposto_ _ = ___ %”, Remuneração notamos que ocorreu uma mistura entre a língua portuguesa e a linguagem

matemática. Embora, isto também apareça em alguns livros didáticos como

podemos dividir palavras?, além disso, neste mesmo registro, o sinal de igual que

antecede o símbolo de porcentagem (%), a meu ver, deveria ser substituído pelo

símbolo de aproximadamente ( ≅ ), porém no enunciado do problema temos o sinal

de igual e no gabarito do mesmo, o símbolo de aproximadamente. Ainda no

gabarito, onde aparece 05,197%.15 −= RI em matemática não é possível operar com

estes símbolos, pois %15 no registro matemático é

10015

ou 15,0 e mais uma vez o

ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação.

Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 7 e 8, cujo objetivo é

explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico

de uma fórmula, que neste caso é utilizada a Fórmula para o Imposto de Renda.

Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5

da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da

variável como número genérico. Nos itens (a) e (d) do problema 7 e (a) do 8 é

necessário o aspecto I1, já que deverão reconhecer e identificar a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; já

no item (d) do 7, são indispensáveis também os aspectos I2 e I5, uma vez que terão

que interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a

representação de valores específicos (I2); e simbolizar as quantidades

desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular

equações (I5). Nos itens (d) do 7 e (a) do 8, além do I1 é necessário o aspecto I4,

pois precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações

34

ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

Nos itens (b) e (c) do problema 7 são indispensáveis os aspectos G2, G3 e G5, visto

que deverão reconhecer e interpretar a variável simbólica (letra) como a

representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer

valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e

simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).

De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões

da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como


teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a Fórmula para o

Imposto de Renda. Além disso, nos itens (b) e (c) do problema 7 temos a

concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão

generalizar modelos; já no item (d) do 7 e no problema 8 temos a concepção de

Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas

e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e

apresentar a solução do problema.

Na Figura 15 é apresentada a Leitura e Análise de Texto relacionado ao

Índice de Massa Corpórea (IMC).

Fórmula relacionada à saúde

O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilograma

de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela Organização Mundial de Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção saudável entre a massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo-se o peso da pessoa pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula a seguir:

2a

PI = , onde P é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metro.

Observação! Usamos comumente a palavra “peso” para nos referir à massa de uma pessoa, embora,

na Física, tais termos possuam significados distintos. A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o

valor do IMC.

Classificação IMC (kg/m2) Magreza severa Menor que 16

Abaixo do peso Menor que 18,5 Peso normal Entre 18,5 e 24,99

Sobrepeso/pré-obesidade Entre 25,0 e 29,99 Obesidade Entre 30,0 e 39,99

Obesidade de alto grau Maior que 40 Fonte: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 16 jul. 2009.

35

Figura 15 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 21

Na Figura 16, temos e a Lição de casa com o problema 9.



9. a) 4,256,1

652

≅=I

Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de

sobrepeso.

b) • Pessoa A: IMC ≅ 24,34, peso normal.

• Pessoa B: IMC ≅ 26,81, sobrepeso.

• Pessoa C: IMC ≅ 21,1, peso normal.

• Pessoa D: IMC ≅ 18,11, abaixo do peso.

9. Com base nos dados fornecidos, resolva as questões a seguir. Para efetuar os cálculos,

você poderá usar a calculadora.

a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela? Resposta: ______________________________________________________________

b) Os resultados a seguir referem-se às medidas de peso e altura de um grupo de adultos. Calcule o IMC para cada par de medidas e classifique-os conforme a tabela fornecida.

• Pessoa A: 72 kg e 1,72 m - _________________________________

• Pessoa B: 84 kg e 1,77 m - _________________________________

• Pessoa C: 54 kg e 1,60 m - _________________________________

• Pessoa D: 60 kg e 1,82 m - _________________________________

c) Qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar dentro da categoria de peso normal segundo a tabela?

Resposta: ______________________________________________________________

36

c) Para ser classificada como Normal, o IMC deve ser menor que 25. Substituindo-

se os valores fornecidos na fórmula, temos:

273,125

P= ou

99,225

P= .

Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se

reduz a saber qual é o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é

aproximadamente 75.

Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg

para que seu IMC se situe na categoria de peso normal.

Análise

Observamos na Leitura e Análise de Texto onde aparece a expressão “a é a

altura”, a meu ver, deveria ser substituída por “a é a medida da altura”. Além disso,

acho um pouco delicado o professor abordar este tipo de assunto na 6ª série, será

que ele está preparado para falar a respeito disso?

Nesta seção Lição de casa, temos o problema 9, na qual a intenção é

explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico

de uma fórmula, neste caso é utilizado a Fórmula do Índice de Massa Corpórea

(IMC).

Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos em todos os itens os

aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica, sendo necessário o

aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo

desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o

aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra), que aparece em

uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, uma vez

que necessitarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações

ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e

o aspecto I5, pois terão que simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas

em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.

Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como um

estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da

Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do

problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre

37

grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre

grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula do IMC.

Nas Figuras 17 e 18, apresentamos a Leitura e Análise de Texto, agora com

Fórmulas da Física, e o Você aprendeu? com os problemas 10 e 11.

Fórmulas da Física

Uma das fórmulas mais conhecidas na Física é a que relaciona a distância aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em segundos, de queda:

D = 5 . t2

Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda livre que estejam próximos à superfície da Terra, desprezando os efeitos de resistência do ar. A partir dessa fórmula, podemos determinar, com relativa precisão, a distância em metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, a partir de repouso, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre.

10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a

água. Use a fórmula citada da seção Leitura e Análise de Texto e calcule a altura aproximada dessa ponte.

Resposta: ______________________________________________________________ 11. Um paraquedista saltou de um avião a 3500 metros de altura. Considerando

desprezível a resistência do ar, calcule a distância percorrida em queda livre pelo esportista a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com os valores da distância percorrida (d) e do tempo (t) em segundos encontrados.

Tempo t (segundos) 1 2 3 4 5

Distância d (metros)

a) Assinale, no desenho, as distâncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de queda.

38

Figura 17 - Leitura e Análise de Texto e os problemas 10 e 11 da Situação de Aprendizagem 2


Figura 18 - Continuação do problema 11 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 24


10. Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos 27.5=d , ou seja, 245=d .

Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos.

Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros.

11.

Tempo t (segundos) 1 2 3 4 5

Distância d (metros) 5 20 45 80 125

a) Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e 3

segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45

metros.

b) Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se

dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes.

c) Ele vai percorrer 2000 metros (3500 – 1500) em queda livre. Substituindo esse

valor na fórmula, obtemos: 2.52000 d= . O valor de t que satisfaz a igualdade acima é

20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos.

b) Há proporcionalidade direta entre a distância percorrida e o tempo de queda livre? Justifique.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) O paraquedista deve abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3500 metros de altura, determine o tempo de queda livre antes que ele acione o paraquedas.

Resposta: ______________________________________________________________

39

Análise

Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 10 e 11, cujo intuito é

explorar as letras para representar números e grandezas e o valor numérico de uma

fórmula, nesta atividade é utilizada uma Fórmula da Física.

Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e

I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos F1, F2, F3 e F4 da

variável como uma relação funcional. Nos problemas 10, e 11 (a) e (c), é necessário

o aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo


aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em

uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, pois terão

que determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou

problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e o

aspecto I5, uma vez que necessitarão simbolizar as quantidades desconhecidas

identificadas em uma situação específica e utilizá-las para construir equações. No

item (c) do problema 11, temos também o aspecto I3, pois deverão substituir a

variável pelo valor que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro, além

disso, é indispensável o aspecto F1, visto que deverão reconhecer a partir do

problema verbal, a existência de uma correspondência entre os valores das duas

variáveis envolvidas; os aspectos F2 e F3, já que precisarão determinar o valor de

uma das variáveis quando se conhece o valor da outra; e o aspecto F4, uma vez que

deverão reconhecer a variação conjunta das duas variáveis envolvidas na expressão

analítica.

40


álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) em ambos os problemas temos a

concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos

de problemas e a dimensão Álgebra das equações, visto que necessitarão resolver e

apresentar a solução do problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como

estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez

que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada uma da Fórmula

da Física.

Nesta Situação de Aprendizagem 2, observamos que no decorrer das

resoluções dos problemas foram necessários os aspectos que constituem a variável

como incógnita específica, número genérico e uma relação funcional, segundo o

Modelo 3UV. Porém os aspectos I1, I2, I4, I5 e G2, G3, G4, G5 apareceram em

quase todos os problemas e sentimos falta do aspecto G1. Já os aspectos F1, F2,

F3 e F4 só apareceram no último problema.

Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção de

Álgebra como aritmética generalizada, uma vez que precisaram generalizar

modelos; a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver

certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que

necessitaram resolver os problemas; a concepção de Álgebra como estudo de

relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez que tivemos

relações entre grandezas, em que precisaram utilizar fórmulas.

Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças


Na Situação de Aprendizagem 3, o foco do trabalho é a resolução de equações. Exploramos duas linhas principais. A primeira envolve um tipo de resolução mais imediato, ao enxergar uma equação como uma pergunta do tipo: Qual é o número que satisfaz determinadas operações aritméticas? Por meio de um raciocínio aritmético, o aluno é capaz de resolver determinado tipo de equação usando apenas operações inversas. A segunda linha de resolução está relacionada à ideia de equivalência. Faremos uso da analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança, a fim de facilitar a compreensão dos alunos com relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os lados de uma equação. Nesse caso, discutiremos as vantagens e os limites do uso dessa imagem para

41

ajudar na compreensão dos processos de resolução de equações. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).

Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas dez atividades,

subdividas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a

seção Você Aprendeu? com cinco atividades (1 ao 5), apresentadas na Figura 19.



1. a) Equação: 195.2 =+x . Solução: 7 .

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAÇÕES E FÓRMULAS

1. Escreva a equação que representa o problema e descubra a resposta, se houver.

a) Qual é o número cujo dobro somado a 5 resulta em 19? Equação: __________________________________ Solução: ____________

b) O triplo de um número menos 12 é igual a -3. Qual é esse número? Equação: __________________________________ Solução: ____________

c) Qual é o número cuja quarta parte menos 5 é igual a zero? Equação: __________________________________ Solução: ____________

d) O quadrado de um número natural acrescido de 19 é igual a 100. Qual é esse número? Equação: __________________________________ Solução: ____________

2. Escreva uma pergunta que represente na equação dada. Em seguida, determine o valor de x.

a) 21123 =+x ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) 643

=+x

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) 12)1.(2 =+x ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) 1212 =+x ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

e) 034

1=−

−x

42

b) Equação: 312.3 −=−x . Solução: 3.

c) Equação: 054

=−x

. Solução: 20.

d) Equação: 100192=+x . Solução: 9.

2. a) Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? 3=x

b) Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? 30=x

c) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? 5=x

d) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número? 5,5=x

e) A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse

número? 13=x

Observação: Oriente os alunos a olharem para as equações como uma

pergunta, cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético.

Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos

registrem as contas, outros façam “de cabeça” e outros tenham um tipo de notação

própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma

técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre 4

1−x e 3 é zero,

então 4

1−x é igual a 3, 1−x vale 12 e, portanto, x é igual a 13.

Análise

Na seção Você aprendeu? temos as atividades 1 e 2, sendo a que a primeira

atividade utiliza a linguagem materna e espera-se que “traduzam” para a linguagem

algébrica, encontrando uma equação e posteriormente descubram o valor que

satisfaça esta equação, ou seja, a solução. Porém, eles podem resolver a atividade

1 por meio de um raciocínio aritmético. A atividade 2 utiliza a linguagem algébrica

(equação) e é solicitado que escrevam uma pergunta (linguagem materna) que

represente a equação dada e em seguida determinem o valor de x , ou seja,

encontrem a solução. Observamos que tanto em livros didáticos como neste material

o valor a ser descoberto (incógnita), na maioria das vezes, é representado apenas

pela letra x . Achamos importante salientar que atividades do tipo 2 não são

habitualmente pedidas nos livros didáticos.

Segundo o Modelo 3UV, nestas atividades, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e

I5 da variável como incógnita específica. Na primeira atividade é necessário o

43

aspecto I1, pois necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo


aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em

uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I3, visto que

terão que substituir a variável que faz com que a equação seja um enunciado

verdadeiro; o aspecto I4, já que precisarão determinar a quantidade desconhecida

que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos; e o aspecto I5, visto que necessitarão simbolizar

as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para construir equações. Entretanto, se resolverem pelo raciocínio aritmético, temos

apenas os aspectos I1 e I4. Já na atividade 2 temos todos estes aspectos com

exceção do I5.


da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 1 temos a concepção e a

dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão traduzir o

problema para a linguagem algébrica. Em ambas as atividades 1 e 2 temos a

concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos

de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que terão que resolver o

problema e apresentar sua respectiva solução.

Na sequência temos as Figuras 20 e 21, na qual é apresentada uma analogia

com a imagem do equilíbrio de uma balança de dois pratos e a igualdade da

equação.

O equilíbrio na balança e a igualdade na equação

3. Antigamente, para determinar a massa de um produto qualquer, utilizava-se uma balança de pratos. Seu funcionamento é bem simples. Em um prato, coloca-se o objeto cuja massa deseja-se saber. No outro prato, colocam-se peças de diferentes tamanhos, com massas padronizadas (500 gramas, 300 gramas, etc.). Quando os pratos estiverem no mesmo nível, em equilíbrio, a massa do abacaxi equivalerá à soma das massas das peças colocadas no outro prato.

Sabendo que o abacaxi da figura tem massa igual a 1,95 kg, quais peças devem ser colocadas no outro prato para que a balança fique equilibrada? ________________________________________________________________________________________________

4. Sabendo que a balança de pratos está em equilíbrio e a massa do melão vale 1,15 kg, descubra a massa da peça desconhecida.

44

Figura 20 - Atividades 3, 4 e 5 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 27-28

a) Se trocarmos os objetos de um prato para o outro de uma balança, o equilíbrio se mantém.

________________________________

________________________________

Conclusão: __________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

b) Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilíbrio da balança na se altera.

________________________________

________________________________

Conclusão: ___________________________________________________________

c) Na balança, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilíbrio permanece inalterado.

_____________________________

_____________________________

Conclusão: __________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

d) Se juntarmos os elementos de duas balanças em equilíbrio em uma só balança, como mostra a figura, o equilíbrio se mantém.

________________________________

________________________________

________________________________

Conclusão: __________________________________________________________________________________

45

Figura 21 - Continuação da atividade 5 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 28-29


3. São várias possibilidades. Uma delas é a seguinte: 2 peças de 500 g, 2 de 300 g,

1 de 200 g, 1 de 100 g e 1 de 50 g.

4. gx 350= .

5. a) 512 =+x e 125 += x .

Em uma equação, invertendo-se os membros, a igualdade se mantém.

b) 2=x e 2+=+ yyx .

Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em ambos os membros, a

igualdade se mantém.

c) Em termos algébricos, se 31 =+x , então 1311 −=−+x . Portanto, 2=x .

Em uma equação, subtraindo-se um mesmo valor em ambos os lados, a

igualdade se mantém.

d) Se 2000=x e 3002 =y , então 30020002 +=+ yx , ou, 23002 =+ yx .

A soma de duas equações resulta em uma 3ª equação, mantendo-se a

igualdade.

Análise

Na terceira atividade, temos uma explicação a respeito do funcionamento de

uma balança de pratos. Na quarta atividade, sabendo que a balança de pratos está

em equilíbrio é solicitada descobrir a massa da peça desconhecida chamada de x .

Na quinta, também são apresentas balanças de pratos em equilíbrio, em que

deverão escrever conclusões a respeito das operações realizadas.

Nestas atividades, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I3,

I4 e I5 da variável como incógnita específica e os aspectos F1 e F6 da variável uma

relação funcional. Na atividade 4 é necessário o aspecto I1, pois precisarão

reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada

46

considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que deverão interpretar a


valores específicos; o aspecto I3, visto que terão que substituir a variável que faz

com que a equação seja um enunciado verdadeiro; e o aspecto I4, uma vez que

necessitarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou

problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.

Já na atividade 5 (a), (b) e (c) temos apenas os aspectos I2 e I5, porque

deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como

a representação de valores específicos (I2); e necessitarão simbolizar as

quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las

para construir equações (I5). No item (d) são necessários os aspectos F1, pois

deverão reconhecer que as duas variáveis envolvidas na expressão analítica estão

em correspondência; e o aspecto F6, visto que precisarão simbolizar a relação

funcional, com base na análise de dados de um problema.

Segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos na atividade 4 a concepção de


e a dimensão da Álgebra das equações, já que terão que resolver o problema e

apresentar sua respectiva solução. Na atividade 5, temos a concepção e a dimensão

Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão traduzir o problema para a

linguagem algébrica.

Na Figura 22, temos a seção Lição de casa e Desafio:

6. Nesta atividade, o quadrado representa uma massa x, o triângulo representa uma massa

y e o círculo representa uma massa z. Represente o equilíbrio da balança por meio de uma equação e escreva uma conclusão sobre o resultado obtido.

• Se aumentarmos ou diminuirmos proporcionalmente o peso de ambos os pratos de uma balança, o equilíbrio se mantém.

_____________________

_____________________

_____________________

Conclusão: __________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________

Desafio!

7. Um problema de peso - Tenho seis bolinhas idênticas em aspecto. Há, porém, uma pequena diferença entre elas: uma delas tem um peso ligeiramente diferente das demais, não se sabe se para mais ou para menos. Com o auxílio de uma balança de pratos, descubra uma estratégia para identificar a bolinha diferente, usando, no máximo, três pesagens.

47

Figura 22 - Atividades 6 e 7 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 30


6. zyx 622 =+ / zyx 1244 =+ / zyx 3=+

Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um

mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera.

Desafio !

7. Uma possível solução para esse problema é a seguinte: numeramos as bolinhas

de 1 a 6. Em seguida, comparamos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem

diferentes, então, com mais uma pesagem, pode-se descobrir qual é a bolinha

diferente. Se forem iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4.

Se os pesos forem diferentes, a terceira pesagem determinará a bolinha diferente.

Se forem iguais, isso significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já

sabemos que as bolinhas de 1 a 4 são iguais, basta comparar uma das duas bolas

restantes (5 ou 6) com uma das bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a

4 com a 5. Se forem iguais em peso, a bolinha diferente será a 6. Se forem

diferentes, a bolinha diferente será a 5, pois a 4 é igual em peso às demais.

Análise

Nesta seção Lição de casa, temos as atividades 6 e 7 em forma de Desafio!.

A atividade 6 também apresenta uma balança de pratos em equilíbrio, sendo

necessário a observação, se aumentar ou diminuir proporcionalmente o peso em

ambos os pratos o equilíbrio se mantém.

Segundo o Modelo 3UV, na atividade 6 temos os aspectos F1 e F6 da

variável como uma relação funcional, sendo necessário o aspecto F1, já que

48

deverão reconhecer a correspondência entre as variáveis relacionadas,

independentemente da representação utilizada; e o aspecto F6, visto que precisarão

simbolizar a relação funcional, com base na análise de dados de uma problema.


da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos na atividade 6 a concepção e a

dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão traduzir o problema

para a linguagem algébrica.

Na Figura 23, temos novamente a seção Você aprendeu? com as atividades 8

e 9.

8. Vamos utilizar os princípios ilustrados nos exemplos anteriores para resolver equações com incógnitas em ambos os lados.

a) Resolva a equação 1174 +=− xx fazendo as transformações solicitadas.

1174 +=− xx

Subtraia x em ambos os lados Adicione 7 em ambos os lados

Divida ambos os lados por 3 Resultado final

b) Faça o mesmo para a equação 82

15 +=−x

x .

82

15 +=−x

x

Multiplique ambos os lados da equação por 2 para eliminar a fração

Subtraia x de ambos os lados para

eliminar o termo com x do 2º membro da equação

Adicione 2 em ambos os lados da equação

Divida ambos os lados por 9

Resultado final

9. Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equações, um professor, acidentalmente, trocou as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova associando cada equação.

Equação Gabarito trocado Gabarito correto

a) 272125 +=− xx a) 2−=x

b) 223

+=+ xx

x b) 5=x

49



8.

a)

1174 +=− xx

xxxx −+=−− 1174 Subtraia x em ambos os lados

1173 =−x

711773 +=+−x Adicione 7 em ambos os lados

183 =x

318

33

=x

Divida ambos os lados por 3

6=x Resultado final

b)

82

15 +=−x

x

2.82.2

2.15.2 +=−x

x Multiplique ambos os lados da equação por 2

para eliminar a fração

16210 +=− xx

xxxx −+=−− 16210 Subtraia x de ambos os lados para eliminar o termo com x do 2º membro da equação

1629 =−x

216229 +=+−x Adicione 2 em ambos os lados da equação

189 =x

918

99

=x

Dividir ambos os lados por 9

50

2=x Resultado final

9.

Equação Gabarito trocado Gabarito correto

a) 272125 +=− xx a) 2−=x a) 13=x

b) 222

3+=+ x

xx

b) 5=x b) 4=x

c) xx 74)3(2 +=− c) 13=x c) 2−=x

d) 55

3)1(34 +=−−

xxx

d) 4=x d) 5=x

Análise

Nesta seção Você aprendeu? temos as atividades 8 e 9, na qual é solicitada a

resolução de equações do 1º grau.

De acordo com o Modelo 3UV, nestas atividades, temos os aspectos I1, I2, I3

e I4 da variável como incógnita específica, sendo necessário o aspecto I1, pois

necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser

determinado considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que terão que

interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a

representação de valores específicos; o aspecto I3, uma vez que deverão substituir

a variável que faz da equação verdadeira; e o aspecto I4, porque precisarão

determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando

operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.


álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como um

estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da

Álgebra das equações, visto que terão que resolver as equações e apresentar sua

respectiva solução.

E para finalizar temos a seção Lição de casa, com a atividade 10 apresentada

nas Figuras 24 e 25.

10. Resolva as equações a seguir e descreva cada etapa de resolução.

a) 14275 −−=+ xx

Resolução Descrição

14275 −−=+ xx

51

Figura 24 - Atividade 10 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 32

b) 26325

−=+ xx


26325

−=+ xx

c) xx4

53

3

2=−


xx45

332

=−

d) 21

24

553

+=+− xx


2

12

4

5

5

3+=+− x

x

52

Figura 25 - Continuação da atividade 10 da Situação de Aprendizagem 3 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 33-34


10. As equações podem ser resolvidas de diferentes maneiras. Apresentamos um

exemplo para cada item.

a) Resolução Descrição

14275 −−=+ xx

xxxx 2142275 +−−=++ Somar x2 em ambos os lados para eliminar o termo com x do 2º membro da equação

1477 −=+x

714777 −−=−+x Subtrair 7 de ambos os lados

217 −=x

721

77 −

=x

Dividir por 7 ambos ao lados

3−=x Obtemos 3−=x como resultado b)


26325

−=+ xx

Multiplicar ambos os lados por 5

26.53.52.55

.5 −=+ xx

1301510 −=+ xx Subtrair x de ambos os lados da equação

1301410 −= x Inverter os lados da equação (opcional)

1013014 =−x Adicionar 130 em ambos os lados

14014 =x Dividir ambos os lados por 14

10=x

c)

53


xx45

332

=− Multiplicar ambos os lados por 12, que

é o m.m.c de 3 e 4

xx45

.123.1232

.12 =−

xx 15368 =− Subtrair x8 de ambos os lados

x736 =− Inverter os lados da equação (opcional)

367 −=x Dividir ambos os lados por 7

736

77

−

=

−

− x

d)


21

24

553

+=+− xx

Multiplicar ambos os lados pelo m.m.c. de 2, 4 e 5: 20

20.21

20.220.4

520.

53

+=+− xx

10402512 +=+− xx Subtrair x25 de ambos os lados

101512 +=− x Inverter os lados da equação (opcional)

121015 −=+x Subtrair 10 de ambos os lados

2215 =− x Dividir ambos os lados por 15

1522

−=x

Análise

Nesta seção Lição de casa temos a atividade 10, que são solicitadas mais

resoluções de equações do 1º grau descrevendo cada etapa de sua resolução.

Observamos que nas respostas apresentadas pelo gabarito, nos itens (b) e (c)

precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no lugar do sinal de

multiplicação e no item (c) também não temos o resultado final.

Segundo o Modelo 3UV, nesta atividade temos os aspectos I1, I2, I3 e I4 da

variável como incógnita específica, sendo necessário o aspecto I1, pois deverão

reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado

considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que deverão interpretar a


54

valores específicos; o aspecto I3, visto que precisarão substituir a variável que faz

da equação verdadeira; e o aspecto I4, já que terão que determinar a quantidade

desconhecida que aparece em equações realizando operações algébricas,

aritméticas ou de ambos os tipos.

Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de


e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que deverão resolver as equações

e apresentar sua respectiva solução.

Notamos, nesta terceira Situação de Aprendizagem, que durante as

resoluções das atividades, foram necessários aspectos que constituem a variável

como incógnita específica, número genérico e uma relação funcional, segundo o

Modelo 3UV. Entretanto o aspecto I2 esteve presente em todas as atividades com

exceção das 6 e 7, e os aspectos F1 e F6, só apareceram na atividade 6.

Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção e

dimensão de Álgebra como aritmética generalizada, já que precisaram “traduzir” da

linguagem materna para a algébrica; a concepção de Álgebra como um estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das

equações, visto que necessitarão resolver as equações e apresentar suas

respectivas soluções.

Situação de Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações e a

regra de três


Por fim, na última Situação de Aprendizagem, retomaremos algumas das noções de proporcionalidade trabalhadas anteriormente para introduzir a regra de três. No Caderno do 3º bimestre, a abordagem dessas noções priorizou a análise de tabelas e o conceito de razão. Agora, dentro do contexto do estudo das equações, podemos introduzir o procedimento da regra de três como forma de resolução de problemas envolvendo proporcionalidade. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).

Nesta Situação de Aprendizagem são propostos cinco problemas,

subdivididos em Você Aprendeu? e Lição de casa. Tendo início com a seção Você

Aprendeu?, com os problemas 1, 2 e 3, apresentados nas Figuras 26 e 27.

55


1. Uma das equações abaixo foi resolvida de maneira incorreta. a) Identifique-a e explique por que o erro aconteceu.

I.

4

520

205

3175

1735

=

÷=

=

+=

=−

x

x

x

x

x

II.

30

260

602

12.52

125

2

=

÷=

=

=

=

x

x

x

x

x

III.

712

846.2

28.36

28

3

2

=

=

=

=

x

x

x

x

IV.

5

16

61

2.31

32

1

=

−=

=+

=+

=+

x

x

x

x

x

V.

83

24

8.33

218

3

18

32

=

=

=

+=

=+−

x

x

x

x

x

VI.

8

340

158.5

158

155

=

=

=

=

x

x

x

x

___________________________________________________________________________________________________

Agora, resolva-a da maneira correta.

2. Considere o seguinte problema:

João comprou 5 CDs idênticos por R$ 4,80. Quanto João pagaria por uma dúzia de CDs do mesmo tipo?

a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.

CD Valor

b) Determine o preço unitário de cada CD.

c) A partir dessa informação, descubra o valor referente à compra de 12 CDs.

d) Agora, resolva o problema por meio da regra de três.

Resposta: ___________________________________________________

3. Considere o seguinte problema: dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora até a cidade em que reside a mãe dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mesma viagem com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo ela demoraria?

a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor desconhecido.

Velocidade Tempo

b) Se Mariana faz a viagem em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, qual é a distância entre as duas cidades?

c) Sabendo a distância entre as duas cidades, calcule o tempo de viagem que ela levaria

se a velocidade fosse de 100 km/h. d) Identifique o tipo de proporcionalidade existente entre as grandezas nas condições do

problema.

• O tempo de viagem é _____________________ proporcional à velocidade.

• A distância percorrida é _____________________ proporcional à velocidade.

• A distância percorrida é ___________________ proporcional ao tempo de viagem.

e) Resolva o problema usando, adequadamente, a regra de três.

56

Figura 27 – Problemas 2 e 3 da Situação de Aprendizagem 4 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 36-37


1. a) É a equação IV. 32

1 =+x

. A solução 5=x não satisfaz à equação dada. O

erro foi a “multiplicação em cruz” entre o denominador da fração 2

x

e o número 3.

b) Nesse caso, a resolução correta da equação 32

1 =+x

.

Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2 teremos 62 =+ x .

Subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade teremos 26 −=x e, portanto, 4=x .

2. a)

CD Valor 5 4,8 12 x

b) 96,05

8,4= . Cada CD custa R$ 0,96.

c) 52,11

96,0.12

=

=

x

x

Os 12 CDs custam R$ 11,52.

d) 125

8,4 x= . Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 12 teremos a equação

equivalente x=

5

8,4.12, cuja solução é 52,11=x .

3. a)

Velocidade Tempo 80 km/h 1,5 h 100 km/h X

57

b) Basta multiplicar 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a

uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km

a cada 1 hora, em 1,5 horas ela fará km1205,1.80 = .

c) Isso pode ser feito através de outra regra de três com grandezas diretamente

proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2

hora.

d) O tempo de viagem é inversamente proporcional à velocidade.

A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.

A distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem.

e) Resolução com regra de três:

Obtém-se como solução 2,1=x hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de

hora”. Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos

de 60 minutos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1

hora e 12 minutos na viagem.

Análise

Notamos que no segundo problema, quando apresenta 5 CDs por R$ 4,80, a

meu ver, precisamos observar com atenção o contexto, pois onde vamos encontrar

5 CDs por este preço? No problema 3, temos a expressão “1,5 hora”, acredito ser

mais aconselhável escrever “1 hora e meia”. E tanto no problema 2 como no 3, o

termo desconhecido é chamado de x , poderia deixar em aberto para o aluno

escolher sua representação ou letra. E mais uma vez o ponto é utilizado no lugar do

sinal de multiplicação. Além disso, na resposta 2 (d), onde aparece a expressão

“dois lados da igualdade”, creio ser mais aconselhável escrever “dois membros da

igualdade”.

Nesta seção Você aprendeu?, temos os problemas 1, 2 e 3. No problema 1 é

solicitada a resolução de equações do 1º grau, descobrindo qual esta resolvida de

maneira incorreta, para isto poderão substituir os valores encontrados para verificar

se satisfazem ou não a equação dada. Além disso, neste problema estaremos

58

fazendo a discussão citada anteriormente, antes da apresentação do método prático

da regra de três.

No problema 2 temos sua resolução de duas maneiras diferentes,

primeiramente utilizando o valor unitário do produto, em seguida, o método prático

da regra de três. Tanto no problema 2 como no 3, é solicitada a regra de três, porém

no problema 1 temos grandezas diretamente proporcionais e no problema 3

grandezas inversamente proporcionais, nas quais são utilizadas a linguagem

matemática das equações para modelar e resolver problemas que envolvem

proporcionalidade.

O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009), chama a atenção:

[...] muitos alunos que mecanizam a regra de “multiplicar em cruz” na resolução de problemas de regra de três não dão atenção à verificação inicial se as grandezas analisadas são direta ou inversamente proporcionais. Aplicar diretamente a regra de multiplicação em cruz em um problema em que estamos trabalhando com grandezas inversamente proporcionais é fonte de frequentes erros dos alunos [...]. (SÃO PAULO, 2009, p. 41).

De acordo com o Modelo 3UV, nestes problemas temos os aspectos I1, I2, I3,

I4 e I5 da variável como incógnita específica. Nos problemas 1, 2 (b), (c) e (d) e 3

(b), (c) e (e) é indispensável o aspecto I1, já que necessitarão reconhecer e

identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando

as restrições do problema. Nos problemas 1, 2 (d) e 3 (e) também são necessários

os aspectos I2, visto que deverá interpretar a variável simbólica que aparece em

uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I3, pois terão

que substituir a variável que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro;

o aspecto I4, porque precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos. E os problemas 2 (d) e 3 (d) ainda necessitarão do aspecto I5, pois

terão que simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação

específica e utilizá-las para construir equações.


álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) nos três problemas temos a concepção de


e a dimensão da Álgebra das equações, visto que deverão resolver as equações e

apresentar sua respectiva solução. Nos problemas 2 e 3 temos também a

59

concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da

Álgebra funcional, pois necessitarão observar a variação entre as grandezas.

Nas Figuras 28, 29 e 30, temos os problemas 4 e 5, finalizando esta Situação

de Aprendizagem e também esta sequência de ensino.


4. A tabela mostra os valores de duas grandezas diretamente

proporcionais entre si. a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a

razão obtida com os valores da grandeza B. O que você observou?

Razão entre os valores da grandeza A:

Razão entre os valores da grandeza B:

A B

5 8 10 16

Resposta: ___________________________________________________

b) Calcule a razão entre os valores correspondentes da grandeza A e grandeza B na 1ª linha. Compare-a com a razão entre os valores das grandezas da 2ª linha. O que você observou?

Razão entre os valores da 1ª linha:

Razão entre os valores da 2ª linha:

Resposta: ___________________________________________________

c) Multiplique o valor da grandeza A na 1ª linha pelo valor da grandeza B na 2ª linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2ª linha e o valor da grandeza B na 1ª linha. O que você observou?

Produto A1 . B2 = ____________________________________________

Produto A2 . B1 = ____________________________________________ Resposta: ___________________________________________________

d) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas.

• ____________________________________

• ____________________________________

• ____________________________________

A B

x y z w

5. A tabela mostra os valores de duas grandezas inversamente proporcionais entre si.

A B

5 8 10 4

a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razão obtida com os valores da grandeza B. O que você observou?

Razão entre os valores da grandeza A: Razão entre os valores da grandeza B:

Resposta: ___________________________________________________

60

Figura 29 – Continuação do problema 4 e problema 5 da Situação de Aprendizagem 4 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 37-39

Figura 30 - Continuação do problema 5 da Situação de Aprendizagem 4 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 39


c) Multiplique o valor da grandeza A na 1ª linha pelo valor da grandeza B na 2ª linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2ª linha e o valor da grandeza B na 1ª linha. O que você observou?

Produto A1 . B2 = ____________________________________________

Produto A2 . B1 = ____________________________________________

Resposta: ___________________________________________________

d) Multiplique o valor da grandeza A pelo valor da grandeza B na 1ª linha. Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A e o valor da grandeza B na 2ª linha. O que você observou?

Produto A1 . B1 = ____________________________________________

Produto A2 . B2 = ____________________________________________

Resposta: ___________________________________________________

e) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para representar os valores das duas grandezas.

• ____________________________________

• ____________________________________

• ____________________________________

A B

x y

z w

61

4. a) Razão entre os valores da grandeza A:

25

10= .

Razão entre os valores da grandeza B: 28

16= .

As razões encontradas são iguais.

b) Razão entre os valores da 1ª linha: 6,158

= ou 625,085

= .

Razão entre os valores da 2ª linha: 6,11016

= ou 625,01610

= .

As razões encontradas são iguais.

c) Produto A1.B2: 8016.5 = .

Produto A2.B1: 808.10 = .

Os produtos são iguais.

d) I. w

y

z

x=

II. w

z

y

x=

III. yzwx .. =

5. a) Razão entre os valores da grandeza A: 25

10= .

Razão entre os valores da grandeza B: 5,084

= .

As razões encontradas não são iguais.

b) Razão entre os valores da 1ª linha: 6,158

= .

Razão entre os valores da 2ª linha: 4,0104

= .

As razões encontradas não são iguais.

c) Produto A1.B2: 204.5 = .

Produto A2.B1: 808.10 = .

Os produtos não são iguais.

d) Produto A1.B1: 408.5 = .

Produto A2.B2: 404.10 = .

Os produtos obtidos são iguais.

62

e) I. w

y

z

x≠

II. w

z

y

x≠

III. yzwx .. ≠

IV. wzyx .. =

Análise

Notamos que tanto na apresentação dos problemas como na resolução dada,

mais uma vez o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação. Além disso,

achei estes problemas um pouco confuso para os alunos.

Nesta seção Lição de casa, temos os problemas 4 e 5 que os estudantes

deverão calcular a razão entre os valores de duas grandezas, uma diretamente

proporcional e a outra inversamente proporcional, e posteriormente generalizar as

conclusões obtidas.

Segundo o Modelo 3UV, nestes problemas temos os aspectos I1 e I4 da

variável incógnita específica e os aspectos G1, G2, G3 e G4 da variável número

genérico. Nos problemas 4 (a), (b), (c) e 5 (a), (b), (c), (d) são necessários os

aspectos I1, já que necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo

desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; o

aspecto I4, visto que precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece

em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de

ambos os tipos.

Já nos problemas 4 (d) e 5 (e) são indispensáveis o aspecto G1, pois

necessitarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em problemas; o

aspecto G2, visto que deverão interpretar a variável simbólica como a representação

de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; o aspecto

G3, já que precisarão deduzir regras e métodos gerais em problemas; e o aspecto

G5, porque necessitarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.


álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) em ambos os problemas temos a

concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão

generalizar modelos e também a concepção de Álgebra como estudo de relações

63

entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, pois necessitarão observar a

variação entre as grandezas.

Observamos nesta quarta e última Situação de Aprendizagem, durante a

resolução dos problemas, segundo o Modelo 3UV, foram necessários os aspectos

que constituem a variável como incógnita específica e número genérico. Com

relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção de Álgebra como

aritmética generalizada, visto que precisaram generalizar modelos; a concepção de


e a dimensão da Álgebra das equações, pois necessitaram resolver os problemas; a

concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da

Álgebra funcional, já que necessitaram observar a variação entre as grandezas.

64

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Faremos uma síntese de nossas análises em cada Situação de

Aprendizagem apresentada no Caderno do Aluno da 6ª série volume 4-2009.

Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e

álgebra: o foco destas atividades eram o reconhecimento de padrões em sequências

de padrão figurativo ou numéricas e sua representação era feita por meio de

palavras e/ou letras. Identificamos o Modelo 3UV com os aspectos da variável como

número genérico, entretanto os aspectos mais enfatizados foram G1, G3 e G5. Já

em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra

segundo os PCN (BRASIL, 1998) está presente a concepção e dimensão Álgebra

como aritmética generalizada, fazendo parte das duas últimas atividades em que

temos a variável letra.

Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas: o intuito destes

problemas é o de explorar a relação entre fórmulas e equações e fazer com que os

alunos realizem operações com expressões algébricas sem se preocupar com

técnicas e métodos de resolução. Identificamos nesta Situação o Modelo 3UV com

os aspectos da variável como incógnita específica, número genérico e uma relação

funcional, porém este último não foi tão enfatizado como os dois primeiros. Com

relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra

segundo os PCN (BRASIL, 1998) identificamos as concepções de Álgebra:

aritmética generalizada, estudo de relações entre grandezas e estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas. E as dimensões da Álgebra

presentes foram: aritmética generalizada, das equações e funcional.

Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças: a finalidade

destas atividades é a resolução de equações. No primeiro momento estas equações

foram resolvidas por meio de um raciocínio aritmético utilizando operações inversas,

posteriormente tínhamos a resolução pautada na ideia de equivalência, na qual é

utilizada a analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança de dois pratos, com

a intenção de facilitar a compreensão dos estudantes em relação a certos

procedimentos, tais como: somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os

membros de uma equação.

65

Identificamos nesta Situação o Modelo 3UV com os aspectos da variável

como incógnita específica e uma relação funcional, porém é enfatizada a incógnita

específica. Entre as dez atividades apenas duas apresentam uma relação funcional.

Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da

álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) observamos a Álgebra como aritmética

generalizada tanto na concepção quanto na dimensão, e também a Álgebra como

um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e Álgebra das

equações, as quais ocorrem com maior frequência na concepção e na dimensão

respectivamente.

Situação de Aprendizagem 4 – Proporcionalidade, equações e a regra de

três: o objetivo destes problemas é retomar algumas das noções de

proporcionalidade trabalhadas anteriormente (no bimestre anterior) para introduzir a

regra de três agora no contexto do estudo das equações. Identificamos nesta

Situação o Modelo 3UV com os aspectos da variável como incógnita específica e

número genérico. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) observamos as concepções

de Álgebra: aritmética generalizada, estudo de relações entre grandezas e estudo de

procedimentos para resolver certos tipos de problemas. E as dimensões da Álgebra

presentes foram: aritmética generalizada, das equações e funcional.

Para facilitar a compreensão em relação às análises realizadas, elaboramos o

Quadro 1 com os aspectos das variáveis, segundo o Modelo 3UV, presentes em

cada atividade/problema das Situações de Aprendizagem.

66

Usos da variável – Modelo 3UV

Incógnita específica Número genérico Relação funcional

Situação de Aprendizagem 1

1)

2)

3) G1, G3 e G5

4)

5)

6) G3

7)

8) G1, G3 e G5

9)

11)

12) G1, G2, G3 e G5

13)


2)

3) I1, I2, I4 e I5

4)

7)

8) I1 e I4

9) I1, I2, I4 e I5

10)

11) I1, I2, I3, I4 e I5

1) G2

2) G2, G3, G4 e G5

3)

4) G2, G3 e G5

7)

11) F1, F2, F3 e F4


1) I1, I2, I3, I4 e I5

2) I1, I2, I3 e I4

4)

5) I2 e I5

8)

9) I1, I2, I3 e I4

10)

5) F1 e F6

6)


1) I1, I2, I3 e I4

2) I1, I2, I3, I4 e I5

3)

4) I1 e I4

5)

4) G1,G2, G3 e G5

5)

Quadro 1 - Aspectos das variáveis segundo o Modelo 3UV, presentes em cada atividade/problema das Situações de Aprendizagem

67

E no Quadro 2, temos as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as

dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), presentes em cada

atividade/problema das Situações de Aprendizagem.

Concepção de álgebra de Usiskin (1995)

Álgebra como aritmética

generalizada

Álgebra como estudo de

procedimentos para resolver

certos tipos de problemas

Álgebra como estudo de

relações entre grandezas

Álgebra como estudo das estruturas


Nas atividades 12 e 13


Nos problemas 2, 3, 4 e 7

Nos problemas 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10 e

11

Nos problemas 1, 2, 3, 4, 7, 8,

9, 10 e 11


Nas atividades 1, 5 e 6

Nas atividades 1, 2, 4, 8, 9 e 10


Nos problemas 4 e 5

Nos problemas 1, 2 e 3

Nos problemas 2, 3, 4 e 5

Álgebra como aritmética

generalizada

Álgebra das equações

Álgebra funcional

Álgebra estrutural

Dimensão da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998)

Quadro 2 - Concepções de álgebra de Usiskin e as dimensões da álgebra segundo os PCN, presentes em cada atividade/problema das Situações de Aprendizagem

Observamos que estão presentes nestas Situações de Aprendizagem,

segundo o Modelo 3UV, a variável como incógnita específica, como número

genérico e como uma relação funcional. Em relação às concepções de álgebra de

Usiskin (1995) temos: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo

de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e Álgebra como estudo de

relações entre grandezas. Com relação às dimensões da álgebra, segundo os PCN

(BRASIL, 1998) temos: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das

equações e Álgebra funcional. A meu ver estas Situações de Aprendizagem

possibilitam ao aluno a compreensão do conceito de variável.

68

REFERÊNCIAS

BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em Álgebra. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p. 23-37. BRASIL, Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DEMANA, F.; LEITZEL, J. Estabelecendo conceitos fundamentais através da resolução de problemas numéricos. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p. 70-78. HOUSE, P. A. Reformular a álgebra da escola média: por que e como? In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p. 1- 8. QUEIROZ, P. C. G. Conhecimentos relativos à variável, mobilizados por professores da educação básica. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2008. RODRIGUES, D. M. A compreensão de alunos, ao final do Ensino Médio, relativa ao conceito de variável. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2008. SÃO PAULO. Proposta Curricular de São Paulo: Matemática. Coordenação geral Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008. ____________. Secretaria da Educação. Caderno do Professor: matemática, ensino fundamental – 6ª série, volume 4. Coordenação geral Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009. ____________. Secretaria da Educação. Caderno do Aluno: matemática, ensino fundamental – 6ª série, volume 4. Coordenação geral Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009a. SCARLASSARI, N. T. Um estudo de dificuldades ao aprender álgebra em situações diferenciadas de ensino em alunos da 6ª série do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação). Campinas: Universidade Estadual de Campinas, 2007. Disponível em: http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000421677. Acesso em: 01 jun. 2009. SILVA, R. M. Diferentes usos da variável por alunos do Ensino Fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2009.

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URSINI, S et al. Enseñanza del Álgebra elemental: uma propuesta alternativa. México: Trillas, 2005. USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Alberto P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p. 9-22.

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO presente no Caderno do Aluno na...

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