PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Paiva de... · Ao professor Doutor Gerson...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP

Edílson Paiva de Souza

AS FUNÇÕES SENO E COSSENO: DIAGNÓSTICO DE

DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM ATRAVÉS DE SEQUÊNCIAS

DIDÁTICAS COM DIFERENTES MÍDIAS

São Paulo

2010

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP

Edílson Paiva de Souza

AS FUNÇÕES SENO E COSSENO: DIAGNÓSTICO DE

DIFICULDADES DE APRENDIZAGEM ATRAVÉS DE SEQUÊNCIAS

DIDÁTICAS COM DIFERENTES MÍDIAS

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para

obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE

MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr. Gerson Pastre.

São Paulo

2010

Banca Examinadora

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por ter me guiado, dado forças e sabedoria, estando comigo em todo este longo trajeto. A minha esposa, Adriana Ricci Duarte de Souza pela paciência, confiança e apoio nos piores momentos. Ao professor Doutor Gerson Pastre por sua experiência e conhecimento que ajudaram muito na elaboração desse trabalho. Aos professores Antonio Carlos Brolezzi e Silvania Netto pelas contribuições e comentários sobre o projeto desse trabalho durante o exame de qualificação. Aos professores do programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, pela convivência e por todo aprendizado alcançado. A todos os amigos do curso em especial Claudia Vicente de Souza, pelas contribuições em diversos momentos que foram muito importantes para o fechamento desse trabalho. A professora Vilma A. Galhego que gentilmente realizou a revisão deste trabalho. Aos alunos da E.E. Jacob Salvador Zveibil, participantes desta pesquisa. A Rosana Duarte e a todos que contribuíram de forma direta ou indireta para realização deste trabalho A secretaria da Educação do Estado de São Paulo pela concessão da bolsa de estudos que permitiu realizar meu Mestrado, assim como seus representantes da Diretoria de Ensino Norte-1.

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo diagnosticar as dificuldades de aprendizagem de

alunos do Ensino Médio em relação aos conceitos das funções trigonométricas seno

e cosseno. A investigação está fundamentada nos princípios da Engenharia Didática

e embasada na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond

Duval. A sequência didática apresentada orienta-se nas análises de livros didáticos

do Ensino Médio e pesquisas que utilizaram o software gráfico no processo de

ensino aprendizagem para melhoria do conhecimento. As ferramentas utilizadas na

aplicação da sequência foram o lápis e o papel e o software Graphmatic. A

sequência foi aplicada com alunos do segundo ano do Ensino Médio, de uma escola

pública da capital de São Paulo. Foram analisados os protocolos de oito duplas que

participaram de quatro sessões. Os dados coletados foram analisados e levaram a

concluir que a utilização da tecnologia, através de um processo de ensino dinâmico

proporcionado pelo software gráfico Graphmatic, propiciou um aumento no

conhecimento sobre os conceitos das funções seno e cosseno.

Palavras-Chave: Funções Seno e Cosseno, Registros de Representação Semiótica,

Tecnologias na Educação Matemática

ABSTRACT

This research aims to diagnose the learning difficulties of high school students

about the concepts of the trigonometric functions sine and cosine. The research is

based on the principles of Didactic Engineering and on the theory of Semiotic

Representation Registers created by Raymond Duval. The didactic sequence

presented is oriented by analysis of high school textbooks and considers the

research works made using the graphical software in teaching and learning

process to improve knowledge. The tools used in the application of the sequence

were pencil and paper and software Graphmatic. The sequence was applied with

second year students of public high school in the capital of São Paulo. The

protocols produced by eight teams of students who participated in four sessions

allowed the analysis, and led to the conclusion that the use of technology through

a process of education provided by a dynamic graphics software provided an

increase in knowledge about the concepts of sine and cosine functions.

Keywords: Sine and Cosine Functions, Semiotic Representation Registers,

Technologies in Mathematics Education.

SUMÁRIO INTRODUÇÃO...........................................................................................................1

CAPÍTULO 1...............................................................................................................8

1.1 Justificativa...............................................................................................8

1.2 Levantamento bibliográfico ...................................................................11

CAPÍTULO 2.............................................................................................................14

2.1 Documentos Oficiais Nacionais............................................................14

2.1.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio.....................14

2.1.2 Orientações Curriculares para o Ensino Médio...............................16

2.2 Documento Oficial do Estado de São Paulo............................18

2.2.1 Proposta Curricular do Estado de São Paulo.........................18

2.2.3 Análise de livros didáticos.......................................................21

2.2.4 Software Graphmátic................................................................27

CAPÍTULO 3.............................................................................................................29

3.1 Pressupostos teóricos...........................................................................29

3.1.1 Registros de representação semiótica..............................................29

3.1.2 Teoria das Situações Didáticas..........................................................32

3.2 Aspectos Metodológicos ..........................................................34

3.2.1 Engenharia Didática.................................................................34

3.2.2 Fases da metodologia da Engenharia Didática.....................35

CAPÍTULO 4.............................................................................................................38

4.1 Participantes da pesquisa.....................................................................38

4.2 Descrição da aplicação das atividades................................................38

4.3 Análise da sequência.............................................................................39

4.3.1 Objetivo das atividades propostas na pesquisa..............................40

4.5 Análise a priori das atividades realizadas em sala de aula.....41

4.5.1 Análise a priori da Atividade 1................................................43

4.5.2 Análise a posteriori da atividade 1, questão A......................44

4.5.3 Análise a posteriori da questão B da Atividade 1...................47

4.5.4 Análise a priori da Atividade 2.................................................50

4.5.5 Análise a posteriori da Atividade 2, questão C.......................51

4.5.6 Análise a posteriori da Atividade 2, questão D.......................53

4.5.7 Análise a priori da Atividade 3..................................................56

4.5.8 Análise a posteriori da Atividade 3, questão E.......................56

4.5.9 Análise a priori da Atividade 4..................................................59

4.5.10 Análise a posteriori da Atividade 4, questão F.....................60

4.5.11 Análise a posteriori da Atividade 4, questão G.....................61

4.5.12 Análise a priori da Atividade 5................................................65

4.5.13 Análise a posteriori da Atividade 5, questão H.....................66

4.5.14 Análise a posteriori da Atividade 5, questão I.......................68

4.5.15 Análise a priori da Atividade 6, questão J............................70

4.5.16 Análise a posteriori da Atividade 6, questão J......................71

4.6 Análises a priori das atividades realizadas na sala de

informática................................................................................74

4.6.1 Análise a priori da atividade 1 realizada na sala de

informática................................................................................76

4.6.2 Análise a posteriori da Atividade 1 realizada na sala

de informática...........................................................................79


informática................................................................................80


de informática...........................................................................81


informática................................................................................82


de informática...........................................................................83


informática................................................................................85


de informática...........................................................................86


informática................................................................................88


de informática...........................................................................89


informática................................................................................90


de informática...........................................................................91


informática................................................................................91


de informática...........................................................................92


informática................................................................................95


de informática...........................................................................95


informática................................................................................99

4.6.18 Análise a posteriori da atividade 9 realizada na sala

de informática...........................................................................99

CAPÍTULO 5............................................................................................................103

CONSIDERAÇÕES FINAIS.....................................................................................103

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................108

ANEXOS................................................................................................................112

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa........................................43

QUADRO 2 – Atividade 2 do instrumento de pesquisa...........................................50




QUADRO 6 – Atividade 6 do instrumento de pesquisa...........................................70

QUADRO 7 – Atividade 1, utilizando o software Graphmatic..............................76



QUADRO 10 – Atividade 4, utilizando o software Graphmatic............................85






LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1A – Dimensões do uso de tecnologias por professores – Fonte: Oliveira,

2009..............................................................................................................................8

FIGURA 1 – Questão do SARESP 2007- Período: Manhã..........................................8

FIGURA 2 – Questão do SARESP 2007- Período: Tarde...........................................9

FIGURA 3 – Questão do SARESP 2007- Período: Noite............................................9

FIGURA 4 – Conteúdos de Matemática por série e bimestre do E.M.......................20

FIGURA 5 – Representação utilizada no livro didático A..........................................22



FIGURA 8 – Representação utilizada no livro didático B..........................................26

FIGURA 9 – Representação utilizada no livro didático B..........................................26

FIGURA 10 – Esquema de organização semiótica e do funcionamento das

representações..........................................................................................................31

FIGURA 11 – Triângulo didático...............................................................................32

FIGURA 12 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H..............45

FIGURA 13 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H..............45

FIGURA 14 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla D..............46

FIGURA 15 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla A..............46

FIGURA 16 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla A..............48

FIGURA 17– Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G..............48

FIGURA 18 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G..............49

FIGURA 19 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla H..............49

FIGURA 20 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla A.............51

FIGURA 21 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla G............52

FIGURA 22 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C..............52

FIGURA 23 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C..............53

FIGURA 24 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E..............54

FIGURA 25 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E..............54

FIGURA 26 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla C..............55

FIGURA 27 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla A................................57

FIGURA 28 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla B................................57

FIGURA 29 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla E................................58

FIGURA 30 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla H..............60

FIGURA 31 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla G..............61

FIGURA 32 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla E..............61

FIGURA 33 – Protocolo da atividade 4, questão G, realizado pela dupla H.............62

FIGURA 34 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla B..............63

FIGURA 35 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla D..............63

FIGURA 36 – Protocolo da Atividade 4, questão G realizado pela dupla E..............64

FIGURA 37 – Protocolo da Atividade 5, questão H realizado pela dupla D..............67

FIGURA 38 – Protocolo da Atividade 5, questão H realizado pela dupla H..............67

FIGURA 39- Protocolo da Atividade 5, questão I realizado pela dupla E.................69

FIGURA 40 – Protocolo da Atividade 5, questão I realizado pela dupla A................69

FIGURA 41 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla F..............72

FIGURA 42 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla B..............72

FIGURA 43 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla G.............73

FIGURA 44 – Protocolo da atividade 2, dupla B, utilizando o software.....................81

FIGURA 45 – Protocolo da atividade 2, dupla G, utilizando o software.....................81

FIGURA 46– Protocolo da atividade 2, dupla A, utilizando o software......................81

FIGURA 47 – Protocolo da Atividade 3, dupla C, utilizando o software....................83

FIGURA 48 – Protocolo da Atividade 3, dupla F, utilizando o software.....................83

FIGURA 49 – Protocolo da Atividade 3,dupla G, utilizando o software.....................84

FIGURA 50 – Protocolo da Atividade 3,dupla E, utilizando o software......................84

FIGURA 51 – Protocolo da Atividade 3,dupla H, utilizando o software......................84

FIGURA 52 – Protocolo da Atividade 4,dupla C, utilizando o software......................87

FIGURA 53 – Protocolo da Atividade 4, dupla D, utilizando o software.....................87

FIGURA 54 – Protocolo da Atividade 4, dupla C, utilizando o software.....................87

FIGURA 55 – Protocolo da Atividade 4, dupla C, utilizando o software.....................89

FIGURA 56 – Protocolo da Atividade 4, dupla H, utilizando o software.....................90

FIGURA 57 – Protocolo da Atividade 7,dupla A, utilizando o software......................93

FIGURA 58 – Protocolo da Atividade 7, dupla B, utilizando o software.....................94

FIGURA 59 – Protocolo da Atividade 8, dupla B, utilizando o software.....................96

FIGURA 60 – Protocolo da Atividade 8 , dupla D, utilizando o software....................96

FIGURA 61 – Protocolo da Atividade 8 , dupla H, utilizando o software....................97

FIGURA 62 – Protocolo da Atividade 8 , dupla A, utilizando o software....................97

FIGURA 63 – Protocolo da Atividade 9 , dupla F, utilizando o software..................100

FIGURA 64 – Protocolo da Atividade 9 , dupla C, utilizando o software.................100

FIGURA 65 – Protocolo da Atividade 9, dupla A, utilizando o software...................101

LISTA DE TABELAS

TABELA 1- Desempenho relativo a atividade 1, questão A...................................47

TABELA 2- Desempenho relativo a atividade 1, questão B...................................50

TABELA 3- Desempenho relativo a atividade 2, questão C...................................53

TABELA 4- Desempenho relativo a atividade 2, questão D...................................55

TABELA 5- Desempenho relativo a Atividade 3, questão E...................................58

TABELA 6- Desempenho relativo a Atividade 4, questão F...................................62

TABELA 7- Desempenho relativo a Atividade 4, questão G..................................64

TABELA 8- Desempenho relativo a Atividade 5, questão H .................................68

TABELA 9- Desempenho relativo a Atividade 5, questão I ...................................70

TABELA 10 - Desempenho relativo a Atividade 6, questão J ................................73

TABELA 11 - Desempenho relativo a atividade 1 realizada com o software..........79

TABELA 12 - Desempenho relativo a Atividade 3 realizada com o software..........84

TABELA 13 - Desempenho relativo a Atividade 4 realizada com o software..........88

TABELA 14- Desempenho relativo a Atividade 7 realizada com o software.........94

TABELA 15 - Desempenho relativo a Atividade 8 realizada com software............98

TABELA 16 - Desempenho relativo a Atividade 9 realizada com o software........101

TABELA 17 - Quantidade de acertos das atividades realizados, sobre o conceito

de Amplitude, sem o uso do software......................................................................102

TABELA 18 - Quantidade de acertos das atividades sobre o conceito de amplitude,

com o uso do software Graphmatic..........................................................................103

TABELA 19 - Quantidade de acertos das atividades realizadas sem o uso do

software Graphmatic................................................................................................103

TABELA 20 - Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do


TABELA 21 - Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do


LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 01– Expectativa de resolução gráfica da questão A.................................44

GRÁFICO 02 - Expectativa de resolução gráfica da questão B.................................44

GRÁFICO 03– Expectativa de resolução gráfica da questão C.................................50

GRÁFICO 04– Expectativa de resolução gráfica da questão D.................................51

GRÁFICO 05– Expectativa de resolução gráfica da questão E.................................56

GRÁFICO 06– Expectativa de resolução gráfica da questão F.................................59

GRÁFICO 07– Expectativa de resolução gráfica da questão G................................59

GRÁFICO 08– Expectativa de resolução gráfica da questão H................................65

GRÁFICO 09– Expectativa de resolução gráfica da questão I..................................66

GRÁFICO 10– Expectativa de resolução gráfica da questão J.................................71

GRÁFICO 11– Resolução gráfica da função y=sen x................................................76

GRÁFICO 12– Resolução gráfica da função y=sen 4x..............................................77

GRÁFICO 13– Resolução gráfica da função y=-4sen 4x...........................................77

GRÁFICO 14– Resolução gráfica da função y=sen x\5.............................................78

GRÁFICO 15– Resolução gráfica da função y=5sen 5x............................................78

GRÁFICO 16 – Resolução gráfica das funções y = sen x, y = 2 sen x, y = 3 sen x,

y = 4 sen x..................................................................................................................80

GRÁFICO 17 – Resolução gráfica das funções y = cos x, y = 1,5 cos x, y = 3 cos x,

y=5 cos x....................................................................................................................82

GRÁFICO 18 – Resolução gráfica das funções y= sen x /2, y= sen x, y= sen 2x,

y= sen 5x....................................................................................................................85

GRÁFICO 19 – Resolução gráfica das funções y = cos x /3, y =cos x/2, y = cosx,

y =cos2x, y =cos3x.....................................................................................................86

GRÁFICO 20 – Resolução gráfica das funções y = -1 + sen 5x, y = sen 5x,

y = 1+ sen 5x..............................................................................................................89

GRÁFICO 21 – Resolução gráfica das funções y = 5sen 2x, y = sen x.....................90

1

INTRODUÇÃO

Esta pesquisa tem como objetivo diagnosticar as dificuldades que

alunos do Ensino Médio podem apresentar em relação aos conceitos das funções

trigonométricas seno e cosseno, empregando uma dupla abordagem: atividades

comuns à rotina escolar dos estudantes, realizadas em sala de aula, bem como

com a utilização de tecnologias através de um software gráfico, o Graphmatic.

Sobre o uso da tecnologia digital supramencionada, aliás, cabem alguns

esclarecimentos. As interfaces proporcionadas pelas tecnologias digitais usadas

nos processos educativos têm o potencial, sob o planejamento do professor, de

interferir de maneira positiva no processo de ensino-aprendizagem de conteúdos

matemáticos. Estes efeitos são obtidos, prioritariamente, quando as tecnologias são

mediadoras, usadas no contexto de uma estratégia didática que, apoiada no

conhecimento do professor acerca do tema de ensino e de diagnósticos referentes

às necessidades cognitivas dos estudantes, pode auxiliar os aprendizes através da

elaboração de problematizações, calcadas em situações que serão exploradas de

maneira dinâmica, com possibilidades abertas à experimentação e às interações

(Oliveira, 2009; Borba e Penteado, 2007).

Kenski (2008) afirma que a presença de uma determinada tecnologia pode

induzir profundas mudanças na maneira de organizar o ensino. Quando bem

utilizadas, as mediações através de softwares e similares provocam a alteração dos

comportamentos de professores e alunos, transformando a realidade da aula

tradicional, dinamizando o espaço de ensino-aprendizagem, levando os alunos à

possibilidade de aprender melhor e de obter maior aprofundamento do conteúdo

estudado. Neste aspecto, entende-se que as tecnologias ampliam as possibilidades

de ensino para além do curto e delimitado espaço de presença física de professores

e alunos na mesma sala de aula, redefinindo toda dinâmica da aula e criando novos

vínculos entre os participantes do processo educacional, através da possibilidade

de interações de caráter intensivo. A autora, então, indica ainda que

As novas tecnologias de comunicação (TICs), sobretudo a televisão e o computador movimentaram a educação e provocaram novas mediações entre a abordagem do professor, a compreensão do aluno e o conteúdo veiculado. (KENSKI, 2008, pg.45)

2

Estratégias pedagógicas com mídias

Os trabalhos de Oliveira (2009) e de Carvalho (2010), que utilizou o anterior

como base teórica, indicam que as maiores possibilidades estão ligadas às

estratégias pedagógicas com a mediação de tecnologias de informação e

comunicação – sem descartar as tecnologias vistas como tradicionais.

De fato, Oliveira (2009) reforça a idéia de que as tecnologias digitais de

aprendizagem não produzem, por elas mesmas, avanços no processo de ensino-

aprendizagem em Matemática. Entretanto, estes aparatos podem ampliar, no

âmbito da transposição em direção do saber a ensinar, as possibilidades de

construção do conhecimento por parte dos estudantes. Nesta perspectiva, Carvalho

(2010) indica:

O uso de tecnologias por parte de professores de Matemática tem sido objeto de estudos de diversos pesquisadores. Frota e Borges (2004) e Goos et al (2003) mencionam que esta prática está fundamentada em níveis distintos, alguns deles identificáveis nos documentos oficiais. Para estes autores, algumas dimensões da prática docente permeada por tecnologias incluem: consumir, incorporar e matematizar a tecnologia (CARVALHO, 2010, p.27)

Assim, o consumo da tecnologia está ligado aos aparatos que podem ajudar

no processo ensino-aprendizagem em Matemática. Os professores de Matemática

podem ver, neste contexto, que semelhantes recursos podem alterar a educação ou

os processos de ensino – apesar de isto não ocorrer através do uso descolado de

projetos de ensino e da dimensão crítica. De acordo com os autores mencionados

na argumentação de Carvalho (2010), este consumo “pode trazer eficiência para a

realização das tarefas antigas, mas também pode gerar dependência na

consecução da tarefa” (Frota e Borges, 2004). Tal efeito pode surgir se o docente

fica adstrito a esta dimensão, sem pensar no avanço das concepções e usos das

interfaces.

Na visão de Frota e Borges (2004), a incorporação das tecnologias habilita

uma nova maneira de fazer Matemática. No entanto, pede alterações nas tarefas

propostas aos estudantes: a tecnologia pode ser vista como um recurso que auxilia

as discussões matemáticas em sala de aula – ou seja, que media a

problematização de conteúdos. Na argumentação de OLIVEIRA (2009, p. 5):

3

a incorporação das tecnologias pelas pessoas pode conduzir à ampliação de estratégias usadas no fazer matemático, alterando-o substancialmente, o que conduz, a partir de tais mudanças, a novas maneiras de pensar e solucionar problemas, com o uso de elementos dinâmicos, heurísticas, ampliação de representações gráficas e outros recursos. Ocorre, assim, uma mudança no fazer matemático dos indivíduos, e podem ocorrer, por conseqüência, mudanças na maneira de pensar e resolver problemas, com as interfaces assumindo o papel de suportes do pensamento. As tecnologias, aqui, são vistas como parceiras e como extensões da pessoa.

Por fim, os Frota e Borges (2004) e Goos et al (2003) referem-se à

matematizar a tecnologia, de forma a aproximar o conhecimento matemático

existente nos elementos tecnológicos dos alunos, os quais, boa parte das vezes,

não percebem que existem elementos matemáticos subjacentes aos processos que

envolvem tecnologia. Em OLIVEIRA (2009, p. 5),

esta concepção consiste em considerar o valor da tecnologia por ela mesma como objeto curricular. Por um lado, segundo os autores, a matematização diz respeito à identificação dos elementos matemáticos que permeiam as ferramentas e interfaces de origem tecnológica, o que permitiria compreender a matemática como fator de efetivação das realidades cotidianas, acima das tecnologias e suas limitações, bem como fornecer elementos para o desenvolvimento de senso crítico em relação ao alcance e uso das mídias; por outro lado, a matematização das tecnologias permitiria trabalhar amplamente com a modelagem de objetos e processos, de modo a aliar tecnologia e matemática no trato de questões reais.

Destarte, para Oliveira (2009), a apropriação dos recursos de ordem

tecnológica – principalmente TICs – por parte dos professores envolve, além dos

níveis já mencionados, um quarto item, ligado à criação de estratégias pedagógicas

com a mediação de tecnologias, o que possibilita aos professores de Matemática

empregar os recursos e interfaces das diversas tecnologias de maneira crítica, na

presença de um planejamento consistente. Isto implica em convergência: não usar

apenas recursos digitais, mas selecionar os elementos mais adequados em relação

aos objetivos de ensino. Adicionalmente, para o autor, este processo de

aprimoramento é cíclico, o que permite que o professor de Matemática retome, em

4

relação a outro software ou interface, o papel de consumidor, para depois voltar a

incorporar o novo elemento em suas práticas, e assim por diante.

Figura 1A – Dimensões do uso de tecnologias por professores – Fonte: Oliveira, 2009

Fundamentação da questão de pesquisa

De acordo, então, com os pressupostos de Oliveira (2009), entende-se que

existe a possibilidade de elaborar estratégias que possam servir para colocar os

estudantes em situações através das quais seria possível diagnosticar suas

dificuldades acerca de certo tema, o que representaria uma possibilidade avaliativa

importante, à medida que ações que permitam conhecer as precariedades

apresentadas no aprendizado de um dado tema podem fomentar ações de

planejamento mais consistente, visando não apenas certificar os erros cometidos,

mas propor o uso reconstrutivo destas ocorrências, no sentido de obter meios que

permitam ao estudante, de fato, aprender (Oliveira, 2007; Luckesi, 2001; Perrenoud,

1999). Isto se daria através da elaboração de situações-problema que trabalhassem

as dificuldades cognitivas dos aprendizes, em um ambiente orientado pelo

professor, mediado pelas tecnologias necessárias, criticamente escolhidas entre as

tradicionais e as digitais e voltado às interações intensivas, de caráter colaborativo

(Oliveira, 2007).

Esta pesquisa, no entanto, precisava ser definida por um recorte, já que

estudo individual algum poderia dar conta de tantas inquietudes. Optou-se, aqui, por

trabalhar no aspecto diagnóstico das dificuldades, ou seja, no mapeamento dos

Consumir Incorporar

Matematizar Elaborar

estratégias

5

problemas de ordem cognitiva encontrados pelos alunos no processo de aprender

as funções trigonométricas seno e cosseno. Também por isso, as questões das

duas sequências didáticas utilizadas nesta pesquisa têm a mesma natureza:

exercícios conceituais, não problematizados. O cerne desta motivação, entretanto,

ocorre por outra causa: para diagnosticar, é necessário empregar elementos da

realidade vivida pelos sujeitos, ou seja, é preciso recriar uma forma de obter dados

que habilitem análises a partir de uma dada realidade existente, e não potencial

(Oliveira, 2007). Estudos sobre o tema desta investigação indicam, assim, que os

exercícios desconectados da realidade dos alunos representam a modalidade mais

empregada nas salas de aula. A este respeito, por exemplo, Silva (2005) inidica que

a abordagem da trigonometria, em particular no triângulo retângulo, que os livros

didáticos fazem não favorece a produção de sentido para o aluno. Sobre esta

afirmação, Costa (1997) indica que

...muitas vezes, para o aluno, as funções trigonométricas surgem como um conteúdo vazio de sentido, uma vez que geralmente são introduzidas sem nenhuma ligação com a vida cotidiana. Assim sendo, a trigonometria, que é uma das formas matemáticas do Homem compreender e interpretar a Natureza pode ser, para nossos alunos, um assunto abstrato e sem utilidade (COSTA, 1997, p.1).

Para a autora, os alunos apresentam intensas dificuldades em compreender

um conteúdo de tal forma desconectado. Segundo Costa (1997), de fato, alguns

deles chegam a mencionar que perderiam menos tempo se aprendessem sobre

juros, probabilidade, álgebra e porcentagens. Claro que uma visão apenas utilitária

do conhecimento matemático não é adequada, mas, por outro lado, não é possível

esquecer que há instâncias de transposição didática a percorrer, desde o saber

acadêmico e formal, até o saber a ensinar, e que semelhante trajetória implica em

transformações adaptativas que transformem o conteúdo, objeto formal de saber,

em objeto de ensino, com possibilidades de serem assimilados por não-cientistas,

ou seja, pelos estudantes (Chevallard, 1991; Oliveira, 2009b-livro).

Com base nestes pressupostos, pode-se, então, anunciar a questão

direcionadora desta pesquisa:

Em que medida uma estratégia didática com a utilização de mídias tradicionais

(lápis e papel) e digitais (computador e o software Graphmatic) pode contribuir para

6

diagnosticar as dificuldades de aprendizagem relativas ao tema “funções

trigonométricas seno e cosseno” entre estudantes do Ensino Médio?

Estrutura do trabalho

Este trabalho apresenta, como estrutura, os elementos que seguem nos

próximos parágrafos.

No Capitulo 1, é apresentado a problemática e a justificativa, assim como os

resultados das análises do SARESP ( Sistema de Avaliação do Rendimento escolar

de São Paulo) mostrando desempenho dos alunos do Ensino Médio no SARESP,

referentes a aprendizagem de conceitos de funções e o levantamento bibliográfico,

que estão inclusos pesquisas relacionadas a funções, que utilizaram a tecnologia

aliada a educação.

No Capítulo 2 são apresentados os Parâmetros Curriculares Nacionais do

Ensino Médio (PCNEM) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio

(OCEM), com o propósito de verificar as abordagens referentes a funções e o uso

de tecnologias aliada a construção do conhecimento. Fazendo parte deste capítulo,

a Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresentando o currículo utilizado em

toda rede com seus objetivos principais. E ainda a análise dos livros didáticos do

Ensino Médio com o propósito de investigar os processos utilizados para obtenção

do saber relativos as funções seno e cosseno, e uma breve descrição do software

Graphmátic

No capitulo 3 é apresentada a Teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Raymond Duval (2003), a Teoria das Situações Didáticas de Guy

Brousseau (1986), na qual foi fundamentada a pesquisa e os princípios da

Engenharia Didática, de Michele Artigue (1996), na qual foi elaborada uma

sequência didática realizando analise a priori, partindo para experimentação, para

então fazer analise a posteriori e validação da pesquisa realizada.

O capítulo 4 tem a finalidade de apresentar os participantes da pesquisa, a

descrição da aplicação das atividades com seus objetivos e a análise a priori e

posteriori das atividades realizadas, mostrando as dificuldades encontradas pelos

alunos durante a aprendizagem da função seno e cosseno e o desempenho

cognitivo relativo aos conceitos envolvidos das funções, durante a realização da

pesquisa.

7

No capítulo 5 encontra se as considerações finais dos resultados obtidos

durante a realização da pesquisa.

8

CAPÍTULO 1

1.1 JUSTIFICATIVA

Através do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo – SARESP, que avalia o ensino regular em todas as escolas públicas do

estado de São Paulo, pode-se constatar que os alunos do Ensino Médio possuem

pouco conhecimento de conceitos relacionados à função seno e cosseno. Foram

apresentadas na avaliação de 2007 questões referentes à aprendizagem das

funções seno e cosseno.

Na figura 1 pode-se perceber que a questão tem o objetivo de analisar o

conhecimento dos alunos em relação à conceitos da função seno, avaliando sua

habilidade em uma representação gráfica e com outro tipo de tratamento dado com

relação aos valores do eixo das abscissas.

Figura 1 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007- Período: MANHÃ

Fonte: SARESP 2007

9

Nas figuras 2 e 3 pode-se perceber que a questão tem o objetivo de analisar

o conhecimento dos alunos em relação à conceitos da função cosseno, avaliando

sua habilidade em dois tipos de representação.

Na figura 2 o exercício explora o conteúdo através do registro algébrico.

Figura 2 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007- Período: TARDE

Fonte: SARESP 2007

Na figura 3 o exercício explora o conteúdo através do registro gráfico.

Figura 3 – Questão 11 do SARESP aplicado em 2007-Período: NOITE

Fonte: SARESP 2007

O objetivo do SARESP é subsidiar as ações pedagógicas, apresentando

formas possíveis de intervenção nas práticas escolares, para a construção de um

projeto que tenha por meta responder às necessidades educacionais da escola e

conduzir à melhoria do processo de ensino do professor e da aprendizagem dos

alunos.

10

Dados do SARESP de 2007 apontam que 71% dos alunos do terceiro ano do

ensino médio estão abaixo do básico e neste nível, demonstram domínio

insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série

escolar em que se encontram 24,7% estão no nível denominado Básico nas quais

os alunos neste nível demonstram desenvolvimento parcial dos conteúdos,

competências e habilidades requeridos para a série em que se encontram; 3,7%

encontram-se no nível considerado Adequado, nesse nível os alunos demonstram

domínio dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para a série escolar

em que se encontram e 0,6% encontram-se no nível Avançado, nível em que

demonstram conhecimentos e domínios dos conteúdos, competências e habilidades

acima dos requeridos na serie escolar em que se encontram, conforme tabela de

distribuição dos alunos pelos níveis de proficiência descrito no relatório do Saresp

realizado em 2007.

O SARESP (2007) aponta ainda que as atividades relativas à números,

operações, relações e funções, apenas 10% e 20% dos alunos do terceiro ano do

Ensino Médio identificam o gráfico que representa uma reta, dada sua equação e

identificam um gráfico que representa uma função do segundo grau e que somente

40% interpretam o gráfico de uma função para analisar as suas propriedades

(crescimento, raiz e etc.).

Nos dados do SARESP (2007) pode se verificar que os alunos do Ensino

Médio demonstram em sua maioria um nível insuficiente nos conhecimentos e

domínios dos conteúdos, competências e habilidades e sentem também muitas

dificuldades quando se trata do tema funções.

Através dessa problemática, a pesquisa tem como objetivo diagnosticar as

concepções dos alunos em relação aos conceitos das funções trigonométricas,

utilizando as tecnologias que estão cada vez mais presentes no dia a dia dos

cidadãos, podendo estar também inserida na educação.

Relacionando o uso da tecnologia com a problemática apresentada, este

trabalho se propõe verificar o uso do Graphmatic nas atividades das funções seno e

cosseno e a aprendizagem de conceitos relacionados a estas funções.

As leituras utilizadas para a reflexão desta problemática partem de

estudiosos que utilizaram tecnologias em suas pesquisas sobre funções e sua

contribuição na Educação, revelando as dificuldades apresentadas pelos alunos.

11

1.2 LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO

Pesquisas realizadas abordando conhecimentos relacionados à função,

domínio, imagem e idéias de variáveis tem sido exploradas por alguns

pesquisadores que utilizaram como ferramenta a tecnologia na Educação para o

auxílio da aprendizagem.

Muitas investigações referem-se à conceitos de funções do primeiro e

segundo graus, havendo poucas sobre funções seno e cosseno, diante desse

quadro esta pesquisa procura contribuir com o propósito de ser útil para futuras

pesquisas sobre esses tipos de funções.

Santos (2002) estudando a aquisição de saberes relacionados aos

coeficientes da equação y=ax+b pela articulação dos registros gráfico e algébrico da

função afim realizou sua pesquisa com alunos do segundo ano do ensino médio

utilizando o software Funcplus, conclui que houve uma evolução em relação à

construção de significados dos coeficientes da representação algébrica da função

afim, associados à sua representação gráfica, ou seja, a reta correspondente e

afirma que a investigação evidenciou que o ambiente informático estabelecido

possibilitou uma nova forma de trabalhar com os alunos e de avaliar seus

desempenhos, possibilitando o desenvolvimento do processo de ensino

aprendizagem da função afim, mais especificamente da conversão do registro

gráfico para o algébrico.

Martins (2003) introduziu o conceito de seno e cosseno de forma

coordenada, partindo do triângulo retângulo, passando pelo ciclo trigonométrico e

finalizando com os gráficos das funções correspondentes, tentando propiciar aos

alunos condições para atribuir significado a tais conceitos. Através de uma

sequência de ensino com alunos do 2º ano do ensino médio concluiu que o

software gráfico utilizado mostrou se bastante eficaz, auxiliando os alunos a

associar os conceitos já estudados no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico

com as funções seno e cosseno.

Pelho (2003) introduziu o conceito de função por meio da compreensão das

variáveis dependentes e independentes e do relacionamento entre elas, utilizando

papel e lápis e o software gráfico Cabri Géometre II na aplicação da sequência,

como ferramentas de ensino.

12

A sequência didática utilizou exemplos de função afim e quadrática com

alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola particular da cidade de

Araçatuba, interior de São Paulo, na qual já haviam estudado o conteúdo de função

em séries anteriores e chegou a conclusão de que houve uma evolução por parte

dos alunos na apreensão do conceito de função, propiciado pela compreensão e

relacionamento entre as variáveis e pelas devidas articulações entre os diferentes

registros de representação da função.

Maia (2007) abordou a questão da construção gráfica da função quadrática,

utilizando o procedimento de interpretação global das propriedades figurais e inseriu

uma dinâmica lúdica para introduzir as noções de intervalo e domínio da função.

Foi utilizado o software Winplot, como ferramenta computacional, e a

seqüência foi aplicada com os alunos da oitava serie do Ensino Fundamental de

uma escola particular de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo, e

concluiu que houve um avanço por parte dos alunos na apreensão do conceito de

função quadrática, propiciado pela compreensão e articulação entre as variáveis

visuais e as unidades simbólicas significativas.

Augusto (2008) investigou alunos de duas salas de 3º ano do Ensino Médio

de uma escola da rede pública estadual, do município de Cotia - SP, a possibilidade

da apropriação de conceitos relativos à função afim, a partir de uma intervenção de

ensino subsidiada por ferramentas tecnológicas, utilizando se do software gráfico

Graphmatic.

Através de análise tanto do ponto de vista quantitativo (relativo aos

instrumentos diagnósticos) como qualitativo (relativo à Intervenção de Ensino)

concluiu que o uso de um ambiente gráfico possibilitou ensaios dinâmicos e a

interação com o software trabalhado da pesquisa, facilitando a construção de novos

conceitos e a comparação com que havia sido aprendido, ampliando dessa forma o

campo conceitual constituído pela intersecção entre a leitura e a interpretação de

gráficos e expressões da função afim.

Santos (2009) desenvolveu um ambiente informatizado voltado ao ensino,

para favorecer o aprofundamento dos conhecimentos relacionados à função

polinomial de segundo grau, realizada com alunos do 2º ano do Ensino Médio de

uma escola pública da grande São Paulo, situada na cidade de Carapicuíba, utilizou

as ferramentas computacionais GEOGEBRA e NVU.

13

Após a análise dos protocolos dos alunos que participaram ativamente de

todas as discussões no grupo de estudo, o autor concluiu que o ambiente

informatizado e as atividades nele contidas favorecem à compreensão da

articulação dos registros de representação algébrica e gráfica e o aprofundamento

dos conhecimentos relacionados à função polinomial do segundo grau.

14

CAPÍTULO 2

2.1 DOCUMENTOS OFICIAIS NACIONAIS

A seguir serão analisados os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio

(PCNEM) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM) com o

propósito de verificar as abordagens referentes a funções e o uso de tecnologias

aliadas a construção do conhecimento.

O PCNEM foi criado por especialistas da educação com o objetivo de

contribuir para a atualização profissional do professor, no planejamento de suas

aulas e na reflexão de sua prática diária orientando o a buscar novas abordagens e

metodologias significativas no processo de ensino aprendizagem dos alunos.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio foram elaboradas por

equipes técnicas dos Sistemas Estaduais de Educação, professores, alunos da rede

pública e representantes da comunidade acadêmica, com o objetivo de contribuir

para o diálogo entre professor e escola sobre a prática docente em busca da

melhoria do ensino.

2.1.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS DO ENSINO

MÉDIO

Matemática

Segundo o PCNEM (1999), o aluno deve perceber a Matemática como um

sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de

idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la e suas finalidades no ensino no

nível médio indicam como objetivos, levar o aluno a:

Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que

permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação

científica geral;

Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando os

na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades

cotidianas;

15

Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando

ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita

expressar se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas

do conhecimento e da atualidade.

Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas de

comunicação bem como o espírito crítico e criativo;

Utilizar, com confiança, procedimentos de resolução de problemas para

desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;

Expressar se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e

valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;

Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses

temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

Reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,

relacionando procedimentos associados às diferentes representações;

Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em

relação as suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de

autonomia e cooperação.

O PCNEM (1999) afirma ainda que, além das conexões internas à própria

Matemática, o conceito de função desempenha também papel importante para

descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o

comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do

conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia e destaca:

Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (PCN, 1999, p.255)

O PCNEM (1999) aponta aspectos a serem considerados sobre a tecnologia

no ensino de matemática:

16

É preciso ainda uma rápida reflexão sobre a relação entre Matemática e tecnologia. Embora seja comum, quando nos referimos às tecnologias ligadas à Matemática, tomarmos por base a informática e o uso de calculadoras, estes instrumentos, não obstante sua importância, de maneira alguma constitui o centro da questão. ( 1999, p.252)

Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento. ( 1999, p 252)

No ensino das Ciências, da Matemática e suas Tecnologias, o PCNEM

(1999) afirma que, quando a escola promove uma condição de aprendizado em que

há entusiasmo nos fazeres, paixão nos desafios, cooperação entre os participeis,

ética nos procedimentos está construindo a cidadania em sua prática, dando as

condições para a formação dos valores humanos fundamentais, que são centrais

entre os objetivos da educação, sendo assim, este trabalho pode contribuir, na

medida em que sugere uma maneira de abordar a tecnologia para aprendizagem

dos conceitos relacionados à função seno e cosseno.

2.1.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MEDIO

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

As Orientações Curriculares para o Ensino Médio afirmam que a forma de

trabalhar os conteúdos deve sempre agregar um valor formativo no que diz respeito

ao desenvolvimento do pensamento matemático. Isso significa colocar os alunos

em um processo de aprendizagem que valorize o raciocínio matemático, nos

aspectos de formular questões, perguntar se sobre a existência de solução,

estabelecer hipóteses e tirar conclusões, apresentar exemplos e contra exemplos,

generalizar situações, abstrair regularidades, crias modelos, argumentar com

fundamentação lógico-dedutiva. Também significa um processo de ensino que

valorize tanto a apresentação de propriedades matemáticas acompanhadas de

explicação quanto a de fórmulas acompanhadas de dedução, e que valorize o uso

17

da Matemática para a resolução de problemas interessantes, quer sejam de

aplicação ou de natureza simplesmente teórica.

Com relação às funções trigonométricas é preciso atenção à transição do

seno e do cosseno no triângulo retângulo (em que a medida do ângulo é dada em

graus), para seno e o cosseno, definidos como as coordenadas de um ponto que

percorre um arco do círculo de raio unitário com medida em radianos. As funções

trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas

então definidas para ângulos com medida entre zero e cento e oitenta graus.

Afirmando ainda que, os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos

referentes às funções trigonométricas, aqui se entendendo que, quando se escreve

f(x)=sen (x), usualmente a variável x corresponde à medida do arco de círculo

tomada em radianos.

As funções trigonométricas seno e cosseno também devem ser associados

aos fenômenos que apresentam comportamentos periódicos e que os estudos das

demais funções trigonométricas possam e deve ser colocadas em segundo plano.

No uso de tecnologia, as Orientações Curriculares do Ensino Médio declara

que não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e

comunicação na configuração da sociedade atual, que por um lado, tem se a

inserção dessa tecnologia no dia a dia da sociedade a exigir indivíduos com

capacitação para subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática e que é

importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a

Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como

ferramenta para entender a Matemática e destaca:

“No uso de tecnologia para o aprendizado da

Matemática, a escolha de um programa torna se um

fator que determina a qualidade do aprendizado. É com

a utilização de programas que oferecem recursos para a

exploração de conceitos e idéias matemáticas que está

se fazendo um interessante uso de tecnologia para o

ensino da Matemática.” (OCEM, p.89-90).

Segundo a OCEM, os programas de expressão apresentam recursos que

provocam, de forma muito natural, o processo que caracteriza por “pensar

18

matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses,

esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas.

2.2 DOCUMENTO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO

O documento oficial analisado será a Proposta Curricular do Estado de São

Paulo, criado em 2008, pela Secretaria de Educação do Estado, que teve por

objetivo organizar o sistema educacional de São Paulo, através de um currículo

apresentado em toda rede.

2.2.1 PROPOSTA CURRICULAR DO ESTADO DE SÃO PAULO

Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio – Matemática

Segundo a proposta curricular, o objetivo principal curricular é mapear as

informações relevantes e organizá-las em narrativas significativas, em cada

território disciplinar.

Com relação à Matemática afirma que gostando ou não, as crianças a

estudam e os adultos a utilizam em suas ações como cidadãos, pessoas

conscientes e autônomas, consumidores ou não e todos lidam com números,

medidas, formas, operações; todos lêem e interpretam textos e gráficos, vivenciam

relações de ordem e de equivalência, argumentam e tiram conclusões validas a

partir de proposições verdadeiras, fazem inferências plausíveis a partir de

informações parciais ou incertas, ou seja, a ninguém é permitido dispensar o

conhecimento da Matemática sem abdicar de seu bem mais precioso: a consciência

nas ações, dessa maneira a Matemática é apresentada como um sistema simbólico

que se articula diretamente com a língua materna, na forma oral e escrita, bem

como com outras linguagens e recursos de representação.

Os conteúdos disciplinares de Matemática, tanto no Ensino Fundamental

quanto no Ensino Médio, abrangem quatro grandes eixos temáticos; números,

geometria, medidas e tratamento da informação.

No uso da tecnologia, a proposta deve estar especialmente atenta à

incorporação critica dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para a

representação de dados e o tratamento das informações de dados e o tratamento

das informações, na busca da transformação de informação em conhecimento.

19

Segundo a proposta, os conteúdos sugeridos para a grade privilegiam

algumas idéias fundamentais, de natureza transdisciplinar, que servirão de

mediadores na mobilização dos temas para o desenvolvimento das competências

pessoais dos alunos, bem como para a construção dos significados dos conteúdos

estudados.

O estudo da trigonometria para o Ensino Médio deverá ser desenvolvido no

quarto bimestre do primeiro ano e no primeiro bimestre do segundo ano, afirmando

que possui importante característica de estabelecer ligação entre o eixo geometria e

medidas e o eixo número e funções.

No caso de geometria, a proposta afirma que o elemento norteador de todo o

trabalho é a proporcionalidade que está presente no estudo das relações métricas

entre lados do triângulo retângulo e a noção de semelhança, base para a aplicação

das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, enquanto que os conceitos

pertinentes ao segundo eixo, números e funções, possuem a idéia fundamental da

periodicidade de determinados fenômenos e a possibilidade de modelá-los, isto é,

representá-los por intermédio de uma equação matemática.

Os conteúdos referentes ao Ensino Médio são divididos por série e bimestre,

conforme a tabela 1 a seguir.

20

FIGURA 4 – Conteúdos de Matemática por serie e bimestre do Ensino Médio Fonte: Proposta Curricular do Estado de São Paulo

Os documentos oficiais orientam sobre o uso de tecnologias no processo de

ensino aprendizagem, mostrando sua importância para a construção do

conhecimento.

Nessa pesquisa será utilizado o software gráfico Graphmatic, para verificar

se há melhoria cognitiva ou não dos educandos, na abordagem de conceitos

relacionados à função seno e cosseno.

21

2.3 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

Nesta análise pode se verificar de que maneira os livros didáticos abordam

os conceitos de função seno e função cosseno e os tipos de exercícios propostos

para o ensino dessas funções aos alunos do nível médio

Os livros escolhidos como amostra são utilizados pelas escolas estaduais de

São Paulo e seguem o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

(PNLEM), Implantado em 2004, pela Resolução nº 38 do Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação (FNDE) que prevê a universalização de livros

didáticos para os alunos do ensino médio público de todo o país

Para análise dos livros utilizou se os seguintes critérios:

Parte teórica

De que maneira ocorre a introdução dos conceitos?

São abordados todos os conceitos?

Conseguiram dar sentido a função seno e cosseno?

A abordagem foi realizada de forma correta sem dar margem a concepções

errôneas?

Exercícios

Há exercícios utilizados em vestibulares?

Possui uma quantidade suficiente para abordar os conceitos?

Há mudanças de representações?

Os livros escolhidos para análise foram:

Livro A: BIANCHINI, Edwaldo;PACCOLA,Herval,”Matemática”, 1. ed. São Paulo:

Editora Moderna, 2004.Coleção 2ª série Ensino Médio.

Livro B: GIOVANNI e BONJORNO, “Matemática Completa”, Volume 2, 2ª Ed.

São Paulo: Editora FTD,2005.

22

O livro A está de acordo com o PNLEM de 2006 e sua proposta sobre o

ensino de trigonometria no ensino médio concentra-se totalmente nesta coleção e

como sugestão deverá ser usada por alunos do 2º ano do Ensino Médio.

A sequência de apresentação do assunto nesta coleção é seguida por dois

capítulos. O primeiro capítulo é destinado a apresentação do ciclo trigonométrico e

o segundo à apresentação das funções trigonométricas.

No primeiro capítulo sobre o ciclo trigonométrico o autor começa no inicio do

tópico mostrando ao leitor ou aluno, como se deu a utilização do ciclo trigonométrico

na Historia antiga. Em seguida define circunferência, sua medida e seu

comprimento e introduz o radiano seguindo com medidas de arcos côngruos,

variação do valor do seno e do cosseno de um arco e seus arcos notáveis,

terminando o primeiro capítulo com tangente, cotangente, secante e cossecante no

ciclo trigonométrico.

Neste capítulo após a apresentação de cada tópico o autor deixa ao aluno

exercícios propostos, exercícios complementares, constando entre eles alguns

exercícios contextualizados para que sejam resolvidos.

No final do capítulo consta ainda uma atividade que pede ao aluno para que

reproduza e resolva perguntas relacionadas aos conceitos aprendidos neste

capitulo. Em seguida há alguns testes de vestibulares e questões para pensar, que

são exercícios contextualizados.

No capítulo posterior o autor apresenta ao aluno a utilização das funções

trigonométricas, o surgimento do termo trigonometria e as áreas de aplicações da

trigonometria e inicia então com uma definição da função seno (Figura 5).

A seguir pode se verificar a definição utilizada pelo livro:

Figura 5 – Definição utilizada para a função seno, no livro didático A

23

Após a definição da função seno o autor introduz o conceito de domínio,

imagem, periodicidade e imparidade da função seno, logo a seguir apresenta uma

construção gráfica utilizando uma tabela de valores para a função y=sen x e faz

algumas observações com relação ao intervalo gráfico do gráfico sobre máximo e

mínimo, intervalos crescentes ou decrescentes, período em que a função é positiva

e negativa.

Demonstra a função y = 3 sen (x/2) no plano cartesiano e faz comparações

com a função anterior y = sen x afirmando que “o fator 3 que aparece na função

dada puxou a curva para cima e para baixo. Já o fator ½ que apareceu,

multiplicando o arco- alterou o período de 2 π rad para 4 π rad”.

A figura 6 apresenta a demonstração utilizada pelo livro para explicar o

período de uma função.

Figura 6 – Demonstração utilizada para o período da função seno, do livro didático A.

Em seguida faz a representação gráfica da função y=-2+sen(x+ π) utilizando

a tabela de valores, identifica o domínio a imagem e o período e compara este

gráfico com o gráfico da função y=senx afirmando que “a parcela –2 que aparece na

função dada, deslocou a curva para baixo. Já a parcela π, que apareceu somada ao

arco deslocou a curva paralelamente ao eixo x. Isso nao produz alteração no

periodo da função, que é 2 π rad.”

No final desse tópico que trabalha com a função seno, o autor traz atividades

como exercícios propostos, na qual se trabalha com construção gráfica e

identificação da imagem e período de funções e uma atividade na qual pede se para

que determine o valor de p de modo que o período da função definida por y = sen

(px) seja a)π rad e b)2 π/3 rad , após essas atividades o livro traz a origem do nome

da função seno.

No segundo tópico o livro trabalha com a função cosseno trazendo sua

definição (Figura 7), apresentada a seguir :

24

Figura 7 – Definição utilizada para a função cosseno, no livro didático A

Após a definição da função cosseno, o livro traz o conceito de domínio e

imagem, periodicidade e paridade da função cosseno.

Demonstra os gráficos das funções y =cos x, y= 3 cos(x/2) e y =2 + cos(x+ π)

utilizando uma tabela para a construção gráfica e resolvendo as atividades de forma

análoga a função seno estudada anteriormente.

Traz uma atividade explicativa, ou seja, já resolvida na qual pede para que se

determine quais valores de k existe x tal que cosx= k/3 e em seguida traz exercícios

propostos para que o aluno realize a construção gráfica e identifique períodos.

Após a função seno e a função cosseno o livro traz ao aluno a função

tangente, outras funções trigonométricas, relações entre as funções

trigonométricas, redução ao 1º quadrante, relações entre as funções

trigonométricas de arcos complementares e funções trigonométricas da soma e da

diferença de dois arcos.

No terceiro capítulo o livro traz equações e inequações trigonométricas, leis

dos senos e cossenos.

Observa-se que as atividades realizadas com as funções seno e cosseno em

momento algum trazem o conceito de amplitude e suas atividades propostas não

trazem nenhuma contextualização.

Na construção gráfica das funções que o livro traz a tabela é abstrata e

descontextualizada e em nenhum momento o livro usa ângulos que necessitem

uma consulta a tabela trigonométrica.

25

As atividades são apresentadas de forma didática, na qual o livro tenta

transferir toda informação contida em seus tópicos não permitindo que o aluno

venha a descobrir por si só as alterações ocorridas entre os gráficos, as atividades

estão prontas e acabadas.

O livro B está de acordo com o PNLEM de 2009 e sua proposta sobre o

ensino de trigonometria no Ensino Médio concentra se totalmente nesta coleção e

como sugestão deverá ser usada por alunos do 2º ano do ensino médio.

A sequência de apresentação do assunto nesta coleção é seguida por um

capítulo e dividida em vinte e dois tópicos relacionados à trigonometria.

O primeiro assunto a ser tratado pelo livro sobre trigonometria é razões

trigonométricas no triângulo retângulo. O livro traz a tabela trigonométrica, em

seguida apresenta a calculadora científica, com instruções sobre transformações de

graus, minutos e segundos em graus mostrando sua utilização para o cálculo do

valor do seno, cosseno e tangente.

No tópico posterior, tráz uma tabela chamada, pelo livro, de “tabela de

valores importantes” com ângulos de 30, 45 e 60 graus e seus respectivos valores

para seno, cosseno e tangente, em seguida traz um exemplo de sua aplicação a ser

resolvido e exercícios para que sejam realizados pelos alunos.

A seguir o livro traz informações sobre seno e cosseno de ângulos

suplementares e lei dos cossenos, trazendo um exemplo de exercício a ser

realizado e outras atividades, continua com lei dos senos, área de um triângulo

qualquer circunferência: arco, ângulo central e comprimento, em seguida

apresentam unidade de medida de arcos e ângulos, circunferência trigonométrica

ou ciclo trigonométrico, seno e cosseno de um arco chegando ao tópico

Introduzindo o gráfico da função seno e função cosseno.

O livro inicia o estudo da função seno apresentando um gráfico da função

y = sen x e identificando o domínio e a imagem.

Na figura 8, pode se verificar a representação utilizada pelo livro para a

função seno.

26

Figura 8 – Representação da função seno, utilizada no livro didático B

No estudo do período da função, o livro traz a identificação através da

visualização gráfica e faz uma demonstração do período no ciclo trigonométrico.

O gráfico da função cosseno é apresentado e seus conceitos são

identificados da mesma forma da função seno.

A figura 9 apresenta a representação utilizada pelo livro didático para a

função cosseno.

Figura 9 – Representação da função cosseno utilizada no livro didático B

27

Define o conceito de paridade e traz exercícios sobre a função seno e a

função cosseno para serem resolvidos.

O capítulo destinado a trigonometria traz ainda tópicos sobre: tangente de um

arco, equações trigonométricas, cotangente de um arco, secante e cossecante de

um arco, relação trigonométrica fundamental, valor numérico de uma expressão

trigonométrica, propriedade dos arcos complementares, equações trigonométricas

que envolvem artifícios, fórmula da adição de arcos, fórmulas da multiplicação de

arcos, Identidades trigonométricas e inequações trigonométricas.

A função seno e a função cosseno são apresentadas por meio de uma

representação gráfica, sem trazer nenhuma definição das funções.

O livro não traz nenhuma informação sobre variáveis que interferem na

construção gráfica da função, não mencionando o conceito de amplitude, mudanças

de período e deslocamento vertical e horizontal do gráfico das funções.

Embora tenha tratado sobre valores de ângulos para função seno e cosseno

no tópico anterior, a construção gráfica utiliza valores dos ângulos das funções sem

relacionar com a tabela estudada.

No final das análises pode se destacar algumas observações que cabe aos

dois livros:

Não há atividades que explorem mudanças de representações, ou seja,

representação gráfica para representação algébrica, o livro não apresenta

mudanças de quadro cujos exercícios são formados em um único sentido.

Os exercícios de construção gráfica são realizados separadamente, ou seja,

cada gráfico no seu plano cartesiano não abordando de forma significativa os

conceitos das funções e em nenhum momento mencionam a utilidade das

tecnologias como os softwares gráficos, utilizados na aprendizagem de conceitos

relacionados às funções trigonométricas estudadas.

2.4 SOFTWARE GRAPHMATIC

O software Graphmatic é um programa de domínio público, criado por Keith

Hertzer, bacharel em Engenharia Elétrica e Ciência da Computação, traduzido em

diversas versões desde o original em inglês até traduções para o espanhol, francês,

28

coreano e português, podendo ser utilizado por professores e alunos no Ensino

Fundamental, Médio e Superior.

O Graphmatic é um aplicativo capaz de representar graficamente funções de

qualquer grau, funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas,

entre outras. Útil também no cálculo diferencial e integral: hachura áreas para

ilustrar integrais, cria gráficos de equações diferenciais ordinárias e desenha

gráficos de derivadas. Em trigonometria, o software trabalha com ângulo em graus

ou em radianos. Os gráficos podem ser representados com coordenadas

cartesianos ou em polares, facilitando a criação de figuras envolvendo funções

trigonométricas.

O software possui uma tela para formação dos gráficos, possui barra de

menus e barra de botões com os principais comandos usados e uma área para

editar as funções.

Através do menu Ver é possível introduzir o intervalo da Grelha da maneira

que achar mais conveniente, se precisar verificar os pontos da função utiliza-se a

Tabelas de Pontos.

Possui o Editor de Gráfico de Dados, na qual o usuário pode introduzir na

tabela alguns pontos que achar conveniente e se precisar inserir valores para as

variáveis utilizadas encontrará essa possibilidade no Painel de Variáveis.

No menu Opções, pode-se ajustar o papel do gráfico, alterar legendas,

etiquetas, cores, fontes e há possibilidade de utilizar opções logarítmicas alterando

base do logaritmo se for preciso.

O menu Ferramentas possui três funções distintas: calcular, intersecção e

funções, que fornece ao usuário a possibilidade de calcular valores de x ou y da

função trabalhada para algum número digitado, interseccionar duas equações e em

funções, o usuário poderá digitar várias funções como f(x), g(x), h(x) ou

parametrizada f(t).

Serão analisados dois livros didáticos que apresentam o conteúdo de função

seno e cosseno, observando suas características e investigando como se dá a

construção do conhecimento através desse material muito utilizado pelos alunos.

29

CAPÍTULO 3

3.1 PRESUPOSTOS TEÓRICOS

Neste capítulo será apresentado, a fundamentação teórica utilizada neste

trabalho, baseada na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e a teoria

dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval revelando sua

importância na construção do conhecimento em relação a função seno e cosseno.

3.1.1 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Raymond Duval, pesquisador Francês, filósofo e psicólogo, desenvolveu a

Teoria dos Registros de Representação Semiótica, com a intenção de compreender

as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos alunos têm na compreensão

da matemática, a natureza dessas dificuldades e onde se encontram, Duval (2003)

afirma que não podemos nos restringir ao campo matemático ou à sua historia. É

necessária uma abordagem cognitiva, pois o objetivo do ensino da matemática, em

formação inicial, não é nem formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos

instrumentos que só lhes serão eventualmente úteis muito mais tarde e sim

contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de

análise e de visualização”.

Para Duval (2003), a originalidade de uma abordagem cognitiva não esta em

partir dos erros para tentar determinar as “concepções” dos alunos e a origem de

suas dificuldades e sim procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo

que faça com que o aluno compreenda, efetua e consiga controlar a diversidade

dos processos matemáticos em cada conceito apresentado durante sua

aprendizagem e afirma que a diferença entre a atividade cognitiva requerida pela

matemática ou em outros domínios do conhecimento não está nos conceitos e sim

na importância das representações semióticas, nas quais se devem a duas razões

fundamentais, como as possibilidades de tratamento matemático e fato dos objetos

matemáticos, como pelos números que não são perceptíveis ou observáveis com a

30

ajuda de instrumentos e na grande variedade de representações semióticas

utilizadas em matemática.

Para diferenciar os diversos tipos de representações semióticas utilizadas em

matemática, Duval (2003) utiliza o termo “registro”, que se divide em Registros

Multifuncionais e Registros Monofuncionais.

Nos Registros Multifuncionais, os tratamentos não são algoritmizáveis, a

representação discursiva é dividida em língua natural, associações verbais

(conceituais), forma de raciocinar, como argumentação a partir de observações,

crenças, por exemplo, e de dedução válida a partir de definição ou teoremas e a

representação não-discursiva dividida em figuras geométricas planas ou em

perspectiva, apreensão operatória e não somente perceptiva e construção com

instrumentos.

Nos Registros Monofuncionais, os tratamentos são principalmente

algoritmos, a representação discursiva é identificada por sistemas de escritas

numéricas, algébricas e simbólicas e a representação não discursiva, os gráficos

cartesianos, suas mudanças de sistema de coordenadas e interpolação e

extrapolação.

Segundo Duval (2003), em uma resolução de um problema, um registro pode

aparecer em evidência, mas deve existir sempre a possibilidade de passar de um

registro ao outro e a articulação desses diferentes registros é condição para a

compreensão em matemática.

A diversidade dos registros de representação semiótica, mobilizada

obrigatoriamente é uma das características importantes da atividade matemática.

Duval (2003) destaca, ainda, os dois tipos diferentes de transformação de

representações semióticas: os tratamentos e as conversões:

Os tratamentos são transformações de representações dentro de um mesmo

registro, por exemplo: efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema de

escrita ou de representação dos números; resolver uma equação ou um sistema de

equações; completar uma figura sendo critérios de conexidade e de simetria.

As conversões são transformações de representações que consistem em

mudar de registro, conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo,

passar da escrita algébrica de uma equação a sua representação gráfica. Como

pode ser visto a seguir, na figura 10:

31

Figura 10 – Esquema de organização semiótica e do funcionamento das representações gráficas

O objeto matemático nessa pesquisa é a aprendizagem do aluno com

relação ao conceito de amplitude, período e deslocamento vertical da função seno e

cosseno, as conversões utilizadas são da gráfica para algébrica e vice-versa, e o

tratamento utilizado é a representação algébrica dessas funções.

Segundo Duval (2003), do ponto de vista matemático, a conversão intervém

somente para escolher o registro nos quais os tratamentos a serem realizados são

mais significantes ou para obter um segundo registro que serve de suporte ou de

guia aos tratamentos que se efetivam em outro registro, e afirma que, há por trás da

aplicação de uma regra de codificação para passar uma equação a um gráfico

cartesiano, a necessária articulação entre as variáveis cognitivas que são

especificas do funcionamento de cada um dos dois registros”.

A conversão das representações, quaisquer que sejam os registros

considerados é irredutível a um tratamento.

Duval (2003) afirma que passar de um registro de representação a outro não

é somente mudar o modo de tratamento é também explicar as propriedades ou os

aspectos diferentes de um mesmo objeto, e essa articulação constitui uma condição

de acesso à compreensão em matemática.

Utilizaremos a Teoria dos Registros de Representações Semióticas para

compreender o funcionamento cognitivo da compreensão de funções

trigonométricas: função seno e função cosseno e suas propriedades.

32

3.1.2 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDATICAS

Essa teoria foi desenvolvida por Guy Brousseau (1986), pesquisador francês

da Universidade de Bourdeaux e tem por objetivo caracterizar um processo de

aprendizagem por situações.

Segundo Almouloud (2007) essa teoria busca criar um modelo de interação

entre o aprendiz, o saber e o meio em que será desenvolvido o processo de ensino

aprendizagem por uma série de situações reprodutíveis, levando a um conjunto de

modificações comportamentais dos alunos e tem por objeto central de estudo a

situação didática, identificadas nas relações estabelecidas entre professor, aluno e

saber e o sistema didático strictu sensu (Figura 11).

Figura 11 – Triângulo didático

Brousseau (1986) define situação adidática como um caminho percorrido

para se chegar a uma situação didática, na qual o aluno busca o conhecimento sem

nenhuma participação efetiva do professor, na qual a intenção didática deve estar

presente, mas não revelada, ou seja, não há interferência no processo de

construção do conhecimento.

33

O professor, nesse processo, é mediador da atividade e o responsável pela

construção do conhecimento através de atividades previamente elaboradas, que

criam condições para que o aluno aceite essa responsabilidade de desenvolver a

atividade construindo seu conhecimento.

Segundo Almouloud (2007) para analisar o processo de aprendizagem,

Brousseau divide a Teoria das Situações Didáticas em três fases adidáticas: ação,

formulação e validação.

Na fase de ação é permitido ao aluno julgar o resultado de sua ação e ajustá-

lo se achar necessário, adaptando sua aprendizagem sem intervenção do

professor.

Na fase de formulação ocorre a troca de informações com as pessoas

envolvidas na atividade, na qual o aluno utiliza uma linguagem compreensível a

todos, com o propósito de apresentar ferramentas para resolução da atividade.

Na fase de validação o aluno é levado a provar o modo de resolução da

atividade ou o caminho seguido, que foi decidido anteriormente na fase de ação.

Na fase da institucionalização, a situação passa a ser didática e de

responsabilidade do professor, que finaliza a atividade tornando o saber oficial e

seus alunos o incorporam em seus esquemas mentais e este saber estará

disponível para resolução de problemas matemáticos.

As estratégias e regras utilizadas durante a atividade são estabelecidas

através de um contrato didático.

Conforme Almouloud (2007), Guy Brousseau introduziu a noção de contrato

didático, com objetivo de analisar as relações estabelecidas explicitamente ou

implicitamente entre o professor e os alunos, suas influências sobre o ensino

aprendizagem de matemática e a aquisição de saberes pelos alunos.

Nesta pesquisa a Teoria das Situações Didáticas contribuirá para que os

alunos possam vivenciar suas fases de ação, formulação e validação e a fase

desenvolvida pelo professor de institucionalização por meio de atividades

desenvolvidas em sala de aula e na sala de informática.

As fases de ação, formulação e validação estão presentes no momento em

que os alunos realizam a leitura e a interpretação do enunciado, faz a construção

gráfica e através de análise e discussão da atividade com o parceiro da dupla,

valida ou não suas estratégias de resolução utilizadas, registrando suas

observações na folha de resposta da atividade.

34

A fase de Institucionalização ocorrerá no final das atividades, quando o

professor revelar a intenção didática através de atividades realizadas em sala de

aula e de informática, solucionando dúvidas referentes aos conceitos envolvidos na

função seno e cosseno, finalizando dessa maneira o processo de ensino

aprendizagem desse conteúdo.

Diante desse quadro, o próximo passo será a introdução de atividades

relacionadas à função seno e cosseno seguindo uma seqüência didática com o

objetivo de investigar a construção do conhecimento.

3.2 ASPECTOS METODOLOGICOS

Será apresentada a metodologia da pesquisa que aborda os conceitos da

Engenharia Didática, a apresentação dos sujeitos envolvidos e a descrição da

aplicação da atividade.

3.2.1 ENGENHARIA DIDÁTICA

Foi utilizada a Engenharia Didática de Michele Artigue (1996), na qual foi

constatada a investigação de produções realizadas em sala de aula, envolvendo o

conceito de função seno e função cosseno através do desenvolvimento de uma

sequência didática.

A engenharia didática surgiu no inicio da década de 1980, segundo Artigue,

caracterizava se por um esquema experimental baseado na concepção, na

realização, na observação e na análise de sequências de ensino, com o objetivo de

etiquetar uma forma de trabalho didático.

Artigue (1986) afirma que faz parte da engenharia didática outros tipos de

investigação baseados na experimentação na sala de aula e pelo registro no qual

se situa e pelos modos de validação que lhe estão associados.

Machado (2008) distingue dois níveis de engenharia didática: micro engenharia e a

macro engenharia.

35

A microengenharia é aquela que têm por objeto o estudo de um determinado

assunto levando em conta a complexidade dos fenômenos em sala de aula.

É caracterizada pelo registro dos estudos feitos sobre o caso em questão e

pela validação feita internamente, na qual se baseia na confrontação entre a análise

à priori apoiada no quadro teórico e a analise posteriori.

A macroengenharia permite compor a complexidade das pesquisas de micro

engenharia com os fenômenos ligados a duração nas relações de ensino

aprendizagem.

3.2.2 FASES DA METODOLOGIA DA ENGENHARIA DIDÁTICA

Artigue (1996) apresenta quatro fases da Metodologia de Engenharia:

Análises prévias;

Da concepção e da analise a priori das situações didáticas da engenharia;

Da experimentação;

Da análise a posteriori e da avaliação

As análises prévias

Esta fase, segundo Artigue (1996) consiste nas análises preliminares das

concepções, dificuldades, erros dos alunos pesquisados e a forma de provocar a

evolução dessas concepções.

Essas análises, segundo Machado, são feitas através de considerações

sobre o quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos já

adquiridos sobre o assunto em questão, da seguinte forma:

- a análise epistemológica dos conteúdos contemplados pelo ensino;

- a análise do ensino atual e de seus efeitos;

-a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e dos obstáculos que

determinam sua evolução,

- a análise do campo dos entraves no qual vai se situar e efetiva realização

didática.

36

As dificuldades encontradas pelos alunos em compreender o conceito de

amplitude, período e deslocamento vertical e a fundamentação teórica utilizada na

pesquisa define a análise prévia utilizada.

Concepção e análise a priori

Nesta fase o investigador elabora uma sequência didática que deverá ser

aplicada, apoiando-se no referencial teórico e nas análises prévias.

Segundo Artigue (1996), o investigador toma a decisão de agir sobre um

determinado número de variáveis de sistema, que supõe serem pertinentes ao

problema estudado.

Essas variáveis de sistema são conhecidas, segundo Artigue (1996), como

variáveis de comando, podendo ser divididas em dois tipos.

- Variáveis macrodidáticas ou globais que dizem respeito à organização global da

engenharia

- Variáveis microdidáticas ou locais, que dizem respeito à organização local da

engenharia

Artigue (1996) afirma que o objetivo da análise a priori, tem por finalidade

determinar de que forma permitem as escolhas efetivadas controlar os

comportamentos dos alunos e o sentido desses comportamentos.

Nesta pesquisa a análise a priori é formada por uma sequência didática,

pelas resoluções das atividades e suas respectivas respostas e pela descrição do

comportamento dos alunos durante a realização das atividades.

Experimentação

Artigue (1996) considera esta fase como clássica. É seguida da análise

posteriori, sendo apoiada em observações realizadas nas sessões de ensino e

pelas produções dos alunos em sala de aula e fora dela, obtidas através de

questionários, testes individuais ou em grupos, realizados em vários momentos do

ensino ou no final.

Machado (2008) afirma que esta fase inicia se no momento em que se dá o

contato pesquisador / professor / observador (es) e com a população de alunos

que é o objeto da investigação.

37

Os dados nessa pesquisa serão coletados a partir de produções dos alunos,

escritas através de questionários e anotações do professor.

Análise a posteriori e validação

Segundo Machado (2008), esta fase apóia-se sobre os dados coletados

durante a experimentação constante das observações realizadas durante cada

sessão de ensino, bem como das produções dos alunos em classe ou fora dela.

Nesta fase há o confronto das duas análises, a priori e a posteriori, buscando

investigar o levantamento das hipóteses e a sua validação ocorrida durante a

análise a priori.

As considerações finais apresentadas estão baseadas na realização desta

análise.

38

CAPÍTULO 4

COLETA E ANÁLISE DOS DADOS

4.1 PARTICIPANTES DA PESQUISA

A pesquisa de campo foi realizada em uma escola da rede estadual de São

Paulo, situada na Zona Oeste da capital, no bairro de Parada de Taipas,

pertencente ao subdistrito de Pirituba.

Foi solicitada autorização (por escrito) à direção da escola e aos pais dos

alunos/ responsáveis para realização da pesquisa com os alunos do 2º ano do

Ensino Médio.

4.2 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES

Aos alunos foram esclarecidos os objetivos da pesquisa e foram convidados

para participar dessa experiência. A pesquisa foi realizada com 16 alunos que se

prontificaram, voluntariamente, a participar em horário especial, ou seja, realizariam

as atividades no horário das aulas de Educação Física de outras salas que

permaneceriam vazias, dessa maneira não haveria necessidade de vir em outro

horário.

Foram realizadas quatro sessões de aproximadamente 50 minutos cada

uma, separadas uma da outra por no mínimo três dias e no máximo uma semana

As atividades foram realizadas com oito duplas, na intenção de provocar a

interação entre os alunos. A discussão das atividades ficava limitada apenas as

duplas e foram orientados para que não apagassem as tentativas de resolução,

mesmo aquelas que julgassem erradas, para que durante a análise dessas

atividades fosse possível entender através da estratégia utilizada de resolução a

maneira de pensar dos participantes.

39

Algumas das atividades propostas foram retiradas do Caderno do Aluno do

ensino médio da 2ª série do volume um de 2009, que se refere à construção de

gráficos de funções trigonométricas dadas a equação que as representam,

identificando alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a

descrição matemática de fenômenos periódicos e determinando a equação da

função representada por um gráfico dado. As sessões ocorreram nas dependências

da escola, no período da manhã, em salas de aula organizadas com carteiras em

duplas e na sala de informática os alunos sentavam juntos para realização das

atividades, conforme as duplas formadas realizando as atividades sem nenhuma

intervenção do professor que foi mediador das atividades e recolheu as mesmas

sem fazer nenhuma correção ou observação sobre o trabalho realizado.

Com a intenção de preservar o anonimato dos participantes deste trabalho,

os alunos foram divididos em duplas, sem mencionar seus nomes.

Após obter todos os dados e realizar as análises, foram produzidas as

considerações finais, levantadas através de estudos preliminares e das análises a

priori e posteriori.

4.3 ANÁLISE DA SEQUÊNCIA

Com o objetivo de investigar as concepções dos alunos do segundo ano do

Ensino Médio sobre os conceitos envolvidos nas funções seno e cosseno, uma

sequência de ensino foi elaborada e aplicada para análise dos resultados obtidos.

A sequência foi elaborada com base na Teoria dos Registros de

Representação Semiótica de Raymond Duval (2003).

O objeto matemático utilizado na pesquisa é a aprendizagem do aluno com

relação a conceitos da função seno e cosseno, com o auxílio do software

Graphmatic.

Segundo Duval (2003), quanto maior a articulação entre os diferentes tipos

de registro, maior será a possibilidade de apreensão desse objeto. Dessa maneira

pretende-se, favorecer a conversão de registros de representação algébrica para

registros de representação gráfica e vice versa, trabalhar com registro numérico de

tabela e de linguagem natural e com tratamentos, utilizando algoritmos de

40

operações aritméticas com escrita decimal ou com escrita fracionária. Pretende se

fazer com que os alunos compreendam os tipos de representações que uma função

pode ter.

Durante a realização da atividade, os alunos usaram o registro na língua

natural para registrar as alterações ocorridas nas representações gráficas e

algébricas da função seno e cosseno.

Para resolução das atividades, a mobilização de conhecimentos matemáticos

dos estudantes deveria seguir a lógica pertinente aos registros de representação

semiótica, apresentados anteriormente, os quais, segundo Duval (2003), constituem

uma condição de acesso à compreensão em Matemática. A construção de

atividades que permitam esta mobilização passa por uma situação adidática,

desenvolvida através de elementos de ação, formulação e validação por parte do

aluno, de modo a permitir que o professor, em um momento seguinte, estabeleça

uma situação de institucionalização (Brousseau, 1986).

Nesta pesquisa as atividades sobre o estudo de conceitos relacionados à

função seno e cosseno seguirão esse contexto teórico.

4.3.1 Objetivo das atividades propostas na pesquisa

O objetivo das atividades realizadas é de identificar mudanças ocorridas que

as constantes A, B e C de uma função f(x) = A + B sen Cx ou f(x) = A + B cos Cx

acarretam na representação gráfica, através de um processo de ação, formulação e

validação conforme a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1986) e aplicar

os conceitos adquiridos para resolver atividades que envolvam passagens de

registros de representação conforme Teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Raymond Duval (2003).

A atividade será realizada em dois momentos, primeiramente com lápis e

papel e posteriormente com o uso do software Graphmatic, que permite a interação

do aluno com o meio material de forma dinâmica, no momento de representar a

função apresentada no registro algébrico para representação gráfica.

41

4.5 Análises a priori das atividades realizadas em sala de

aula

Para determinação das atividades temos o meio material do aluno, que são:

o lápis, papel sulfite, papel quadriculado e as representações gráficas construídas

por ele, disponíveis para realização das atividades.

As atividades estão compostas no registro de partida da língua natural e os

alunos deverão mudar do registro algébrico para o registro gráfico e registrar, na

folha de repostas, as mudanças ocorridas entre os gráficos construídos, durante a

realização dessas atividades o papel do professor será de mediador, não havendo

nenhuma intervenção de sua parte.

Através de conhecimentos prévios, espera se que as duplas, após a

construção gráfica das funções, façam conjecturas à respeito do coeficiente a,

passando para a fase de formulação obtida através da resolução e análise dos

resultados de suas atividades.

As duplas mobilizarão conhecimentos prévios de plano cartesiano, conjuntos

numéricos, coordenadas cartesianas, função seno e função cosseno,

representações gráficas, coeficiente e amplitude do gráfico sejam utilizados pelo

aluno como ferramentas para resolução das atividades.

Espera-se que os alunos visualizem os gráficos das funções observe sua

formação e compreenda os conceitos envolvidos nas atividades propostas.

De acordo com esta análise, os procedimentos seguintes seriam os

esperados, quando um determinado sujeito resolvesse corretamente a questão:

O aluno preenche a tabela de ângulos corretamente;

O aluno preenche os valores dos ângulos corretamente;

O aluno calcula o ângulo da segunda função para inserir no eixo x;

O aluno calcula corretamente os valores dos ângulos nas funções;

O aluno orienta os eixos cartesianos e seus respectivos valores;

O aluno orienta no eixo cartesiano os pares ordenados;

O aluno faz a conversão de registro algébrico para o registro gráfico e

constrói o gráfico utilizando a tabela preenchida,

O aluno visualiza o gráfico construído e percebe as modificações ocorridas

entre as funções construídas.

42

Além disso, devem ser consideradas as variáveis didáticas pertinentes a

essa questão, que seriam:

a) Tipos de função e a representação gráfica

f(x) = sen x

f(x) = cos x

b) Conjunto dos números utilizados para valores do coeficiente a:

Números Inteiros

Números Racionais

c) Quantidade de valores de coeficientes das funções:

Na atividade, apresentam-se valores distintos para utilização do coeficiente a,

para que seja feita a representação gráfica em um mesmo eixo cartesiano.

O instrumento utilizado para a recolha e posterior análise de dados trazia

uma parte de suas questões que deveriam ser resolvidas com ferramentas

tradicionais (lápis e papel quadriculado/papel simples) e outra parte para ser

trabalhada com o auxílio do software Graphmatic. De acordo com Oliveira (2009),

uma estratégia pedagógica que ofereça suporte ao desenvolvimento da construção

do conhecimento matemático utiliza-se de variadas interfaces e instrumentos,

considerando tecnologias digitais, bem como aquelas outras de aplicação clássica,

como, por exemplo, lápis e papel, esquadro, compasso, etc. Isto porque não são as

tecnologias, sofisticadas ou simples, que farão o trabalho pedagógico, mas a

orientação do professor, pensada na forma de estratégia para abordagem de

determinado conteúdo, bem como o trabalho dos estudantes diante de situações-

problema em relação às quais vivenciam situações adidáticas, nas quais podem,

sobre determinado contexto matemático, agir, formular e validar suas conjecturas,

sob orientação do professor (Brousseau, 1987). Assim, a diversificação dos

suportes para o trabalho das duplas com as questões do instrumento baseia-se em

uma estratégia de ensino que considera múltiplas possibilidades de mobilização dos

conhecimentos prévios, bem como de avanço em direção a novos ganhos

cognitivos. Para Oliveira (2009, p. 6):

43

A amplitude desta estratégia permite compreender as chamadas tecnologias “tradicionais” (uso de sólidos, giz e lousa, lápis e papel, régua e compasso, etc) como outras abordagens, igualmente válidas, e que podem, em dados momentos, apresentar maior pertinência, de acordo com o cenário, os sujeitos, as disponibilidades de infra-estrutura tecnológica, entre outros elementos. (...) O termo software didático é meramente relativo, no máximo, a uma intenção, mas que sua efetividade didática depende de estratégia, planejamento, crítica, debate e significação. Não há software didático, por si, assim como não há tecnologias que educam.

Desta forma, a primeira questão do instrumento assumiu a forma exibida no

próximo quadro, dividida em duas partes distintas.

Atividade 1

1 - Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os

dois tipos de funções.

Questão A: y = senx e y = 2,5sen x

Questão B: y = cosx e y = 2,5cos x

1A - Analisando os gráficos, responda:

a) Comparando os gráficos da questão A, houve alguma diferença na representação dos

mesmos? Se houve diferença, indique e explique quais foram.

b) Comparando os gráficos da questão B, houve alguma diferença na representação dos

mesmos? Explique, caso tenham existido, as diferenças encontradas.

Quadro 01 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa

4.5.1 Análise a priori da Atividade 1

Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em

caso de acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos

expostos.

44

Gráfico 01 – Expectativa de resolução gráfica da questão A

Gráfico 02 – Expectativa de resolução gráfica da questão B

A atividade tem como propósito explorar a mudança de amplitude entre os

gráficos das funções seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números

decimais para o coeficiente a.

As possíveis dificuldades nesta atividade poderão ocorrer no momento de

representar os valores obtidos da tabela nos eixos cartesianos para a realização da

construção gráfica.

45

4.5.2 Análise a posteriori da atividade 1, questão A

Durante a realização da atividade, as duplas não tiveram dúvidas em fazer os

cálculos para o preenchimento da tabela, com exceção da dupla H, que na segunda

função não conseguiu efetuar o cálculo de maneira correta para a função y = 2,5

senx. Com isso, pode-se entender que a maioria dos sujeitos estava apta a transitar

entre os registros algébricos para outro, em forma de tabela, bem como deste último

para o algébrico, conforme as asserções teóricas de Duval (2003). Quanto ao erro

cometido, percebe-se que é de natureza aritmética, o que geralmente é chamado,

de forma corriqueira, como “erro de conta”.

Figura 12 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H

Na realização dos gráficos das funções, as duplas B, F e G representaram de

maneira incorreta os pares ordenados no eixo cartesiano, não utilizaram uma escala

adequada, apresentando dificuldades ao fazer a conversão do registro na forma de

tabela para o registro gráfico.

Figura 13 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla H

46

A dupla D construiu o gráfico parcialmente, mas de maneira incorreta, ligando

de forma linear os pontos através de segmentos. Esta característica parece indicar

uma dificuldade de superar a visão relativa a uma abordagem de funções em geral

baseada na construção de gráficos muito parecidos como exemplo de sala de aula

– os alunos podem ter relacionado a existência dos pontos com a idéia de função

afim, o que caracteriza um obstáculo epistemológico (Almouloud, 2004). A dupla H

fez somente um gráfico correto, devido ao erro de cálculo mencionado

anteriormente, enquanto que as duplas A, C, E conseguiram realizar a construção

gráfica de maneira correta.

Figura 14 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla D

No momento de analisar e identificar e registrar as mudanças ocorridas entre

os dois gráficos da função somente as duplas A, C e E conseguiram visualizar as

diferenças ocorridas nas representações gráficas, pois preencheram a tabela

corretamente, não encontrando dificuldades em representar adequadamente a

função solicitada. As duplas B, D, F, G e H não conseguiram visualizar e identificar

as diferenças entre os gráficos, pois não ocorreu a conversão do registro de tabela

para o registro gráfico corretamente, errando na construção gráfica.

Figura 15 – Protocolo da Atividade1, questão A, realizado pela dupla A

47

Pode se notar que as duplas que conseguiram realizar corretamente o

preenchimento da tabela e a construção gráfica das funções também conseguiram

analisar e identificar as mudanças ocorridas entre os dois gráficos, demonstrando

possuir conhecimento sobre o conceito envolvido na atividade. É possível perceber

que nessa atividade que envolve número decimal utilizado no coeficiente que altera

a amplitude do gráfico das funções, as duplas não tiveram muitas dúvidas no

preenchimento da tabela, o que não ocorreu no momento de realizar as construções

gráficas, houve muitos erros o que de certa forma contribuiu para um mau

desempenho no momento de realizar a análise dos gráficos

Nas atividades haverá uma tabela para demonstrar o desempenho das

duplas, na qual será utilizada esse mesmo critério para todas as análises: acertos

representados por SIM, erros por NÃO, resolução parcialmente correta por P1 e

quando não a dupla não fizer o exercício por NF.

DUPLAS TABELA GRÁFICO ANÁLISE

A SIM SIM SIM

B SIM NÃO NÃO

C SIM SIM SIM

D SIM P NÃO

E SIM SIM SIM

F SIM NÃO NÃO

G SIM NÃO NÃO

H NÃO P NÃO

Tabela 01 – Desempenho relativo a atividade 1, questão A, do instrumento de pesquisa.

4.5.3 Análise a posteriori da questão B da Atividade 1

No momento de preencher a tabela, as duplas realizaram seus cálculos

corretamente, com exceção da dupla A, que atribuiu por engano, os valores dos

ângulos da função cosseno errados, semelhantes ao da função seno.

1 Entende-se, nesta análise, por “parcialmente correta” a resolução que traz elementos corretos até certo ponto

(por exemplo, preenchimento correto da tabela de valores ou cálculos feitos acertadamente), mas que apresentas

erros ou concepções equivocadas em algum momento (transposição inadequada dos pontos para o gráfico, por

exemplo, ou traçar incorretamente a curva da função).

48

Figura 16 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla A

Na construção gráfica, as duplas A, B, F e G não realizaram adequadamente

a correspondência entre os pares ordenados e não utilizam uma escala correta,

representando o gráfico de maneira incorreta, a dupla D construiu o gráfico

parcialmente, semelhante aos gráficos da questão anterior, ligando linearmente os

pontos através de segmento de retas, método utilizado semelhante à construção

gráfica da função afim, a dupla A não representou corretamente devido ao erro no

preenchimento da tabela e as duplas C, E, H conseguiram realizar a construção

gráfica, realizando a conversão do registro de tabela para o registro gráfico

corretamente.

Figura 17 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla G

49

Figura 18 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla F

Na análise e registro das mudanças ocorridas entre os dois gráficos da

função, as duplas C, D e G conseguiram visualizar e identificar corretamente as

diferenças ocorridas, registrando em sua folha de resposta. Embora as duplas D e

G tenham construído seus gráficos de maneira incorreta conseguiram identificar as

diferenças. O gráfico da dupla G, visto na figura 15, não está correto, mas a dupla

conseguiu identificar as diferenças por que ambos os gráficos terminam no mesmo

período, demonstrando ter conhecimento sobre o conceito. A dupla E acertou

parcialmente, pois identificou a mudança na amplitude, mas registrou também que a

imagem permanecia a mesma, respondendo erroneamente e demonstrando

desconhecer o conceito de imagem. A dupla H construiu os gráficos das funções

corretamente, mas não conseguiu visualizar e identificar corretamente as

diferenças, demonstrando desconhecer os conceitos, conforme figura abaixo.

Figura 19 – Protocolo da Atividade1, questão B, realizado pela dupla H

Nesta atividade com a função cosseno utilizando o mesmo número para o

coeficiente a, utilizado anteriormente na atividade da função seno, percebe se que o

resultado no desempenho das duplas são semelhantes.

50


A NÃO NÃO NÃO

B SIM NÃO NÃO

C SIM SIM SIM

D SIM P SIM

E SIM SIM P

F SIM NÃO NÃO

G SIM NÃO SIM

H SIM SIM NÃO

Tabela 02 - Desempenho relativo à atividade 1, questão B, do instrumento de pesquisa

ATIVIDADE 2



Questão C: y = senx e y = sen (x/2)

Questão D: y = cosx e y = cos (x/4)


a) Comparando os gráficos da questão E, houve alguma diferença na representação dos

mesmos? Se houve diferença, indique e expliquem quais foram.

b) Comparando os gráficos da questão F, houve alguma diferença na representação dos




Em função dos enunciados acima, a expectativa era a de que, em caso de

acerto as duplas obtivessem como resultados os gráficos semelhantes aos

expostos.

Gráfico 03 – Expectativa de resolução gráfica da questão C

51

Gráfico 04 – Expectativa de resolução gráfica da questão D

A atividade tem como propósito explorar a mudança de período entre os

gráficos das funções seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números

fracionários.

As possíveis dificuldades nesta atividade poderão ocorrer no momento de

representar os valores dos ângulos no eixo do x.

4.5.5 Análise a posteriori da Atividade 2, questão C

As duplas A e C calcularam erroneamente os ângulos correspondentes,

cometendo erros aritméticos e nos valores referentes à segunda função, calcularam

substituindo o valor de x na função, método semelhante ao utilizado para outros

tipos de funções, demonstrando não compreender o preenchimento da tabela para

esta atividade, a dupla D não conseguiu realizar essa atividade, as demais duplas

preencheram a tabela corretamente.

Figura 20 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla A

Na realização da construção dos gráficos das funções, as duplas A, B e H

representaram de forma incorreta os pares ordenados não realizando sua

correspondência adequadamente no eixo cartesiano, não conseguindo fazer os

gráficos corretamente, a dupla D não conseguiu realizar a construção dos gráficos,

52

as duplas E e G construíram os gráficos da função y=senx corretamente, no gráfico

da função y= sen(x/2), realizaram sua construção errando na representação dos

ângulos do eixo x, a dupla C errou o segundo gráfico, pois registrou de maneira

incorreta seus valores na tabela, mencionado anteriormente e a dupla F realizou a

conversão do registro de tabela para o registro gráfico, no entanto não os fez no

mesmo eixo, pois sentiram dificuldades.

Figura 21 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla G

Figura 22 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C

No momento de analisar, identificar e registrar as mudanças ocorridas entre

os dois gráficos da função, somente as duplas C, E e G mesmo não fazendo os

gráficos corretamente, conseguiram identificar as diferenças ocorridas, pois

visualizaram somente a mudança do período, demonstrando compreender o

conceito, as duplas A, B e F erraram em suas respostas não identificando

53

corretamente as mudanças ocorridas, pois erraram em suas construções gráficas, e

as duplas D e H não registraram nenhuma análise, pois sentiram dificuldades em

realizar o registro de tabela corretamente o que comprometeu toda atividade.

Figura 23 – Protocolo da Atividade 2, questão C, realizado pela dupla C

As duplas sentiram bastantes dificuldades no preenchimento da tabela

cometendo erros aritméticos. Comparando com a atividade 1, parte A, que

trabalhou com o conceito de amplitude, percebe-se que as duplas sentem mais

dificuldades nas atividades que envolvem o conceito de período da função.


A NÃO NÃO NAO

B SIM NÃO NAO

C NÃO P SIM

D NF NF NF

E SIM P SIM

F SIM P NAO

G SIM P SIM

H NAO NAO NF

Tabela 03 – Desempenho relativo a atividade 2, questão C, do instrumento de pesquisa

4.5.6 Análise a posteriori da Atividade 2, questão D

A dupla B realizou o preenchimento da tabela corretamente, a dupla D não

realizou a atividade, alegando sentir dificuldades, as demais duplas preencheram

corretamente os valores para a primeira função, na segunda função cometeram

erros aritméticos no momento de calcular os ângulos correspondentes e no

preenchimento do valor da segunda função, calcularam substituindo o valor de x na

54

função, método semelhante ao utilizado para outros tipos de funções,

demonstrando não compreender o preenchimento dessa tabela.

Figura 24 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E

Figura 25 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla E

A dupla B fez somente o gráfico referente a primeira função, as duplas D e H

não realizaram a construção gráfica, a dupla F fez seus gráficos separados fazendo

corretamente somente o referente a função y=cos x, as duplas A, C, E e G

construíram seus gráficos em um mesmo eixo cartesiano mas realizaram a

construção gráfica corretamente na função y=cosx, Na segunda função nenhuma

dupla realizou corretamente, devido a erros no preenchimento da tabela.

Na análise referente a alterações surgidas entre os gráficos, as duplas C e E

registraram corretamente as diferenças ocorridas. Como esse exercício foi realizado

no mesmo momento ao da função seno, acredito que devem ter se baseado por

essa atividade para registrar corretamente suas respostas.

55

Figura 26 – Protocolo da Atividade 2, questão D, realizado pela dupla C

Na atividade 1, parte B, que alterava o coeficiente da função responsável

pela alteração da amplitude, as duplas cometeram menos erros, percebe se que

essa atividade que trabalhou com alteração do período, as duplas sentiram mais

dificuldades. Comparando com a atividade anterior, questão C, atividade 2,

semelhantes a essa, que utiliza números fracionários na função seno, percebe-se,

cometem mais erros ao preencher a tabela e fazer a análise .


A P P NAO

B SIM P NAO

C P P SIM

D P NF NAO

E P P SIM

F P P NAO

G P P NAO

H P P NÃO

Tabela 04 - Desempenho relativo a atividade 2, questão D, do instrumento de pesquisa.

Atividade 3



Questão E: y = sen3x, y = 2sen3x, y = 2+2sen3x


a) Comparando os gráficos da questão I, houve alguma diferença na representação dos



56




expostos a seguir.

Gráfico 05 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 3, questão E


gráficos y = sen3x e y = 2sen3x, e o deslocamento vertical ocorrido entre as

funções y = 2sen3x e y = 2+2sen3x.

As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar no momento de

interpretar as mudanças ocorridas entre os gráficos.

4.5.8 Análise a posteriori da Atividade 3, questão E

As duplas sentiram dificuldades em preencher corretamente a tabela, as

duplas C e D preencheram parcialmente a tabela errando no cálculo referente ao

valor negativo, utilizado na última função da tabela. As duplas A, F e G erraram no

momento de calcular os ângulos correspondentes das funções, efetuando cálculos

aritméticos incorretos, e no cálculo referente a última função, a dupla H, não

preencheu corretamente a tabela, somente as duplas B e E não cometeram erros,

57

Figura 27 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla A

Na realização dos gráficos das funções, as duplas B e E conseguiram

realizar a conversão do registro de tabela para o registro gráfico parcialmente, pois

não identificaram a orientação e os ângulos corretos no eixo do x e realizou a

correspondência entre os pares ordenados de forma parcialmente correta, a dupla

C não fez a construção gráfica, sentindo dificuldades em realizar a atividade, a

duplas A e G fizeram somente um gráfico, pois não preencheram corretamente a

tabela referente as outras funções e as duplas D, F e H erraram na construção

gráfica das funções, devido aos erros cometidos no preenchimento da tabela,

conforme mencionado anteriormente. Devo ressaltar que devido o preenchimento

errado da tabela, nenhuma das duplas realizaram a conversão do registro de tabela

para o registro gráfico da última função, na qual aconteceria o deslocamento

vertical.

Figura 28 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla B


os gráficos da função, as duplas A, B, F e G erraram nas respostas, registrando em

58

suas folhas de respostas mudanças que não ocorreram demonstrando não ter

conhecimento sobre os conceitos ou por não compreender suas construções

gráficas. As duplas C, D e H não registraram nenhuma resposta, pois erraram no

momento de preencher e construir seus gráficos, a dupla E embora não realizando

a conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, conseguiu

responder parcialmente a pergunta da questão, conforme figura abaixo.

Figura 29 – Protocolo da Atividade 3, realizado pela dupla E

Nota se que os alunos sentiram dificuldades em preencher a tabela, errando

em cálculos aritméticos e na conversão do registro de tabela para o registro gráfico,

o que comprometeu a análise dos gráficos.


A P NÃO NAO

B SIM P NAO

C P NF NF

D P NAO NF

E SIM P P

F P NAO NAO

G P NÃO NAO

H NAO NAO NF

Tabela 05 - Desempenho relativo a Atividade 3, questão E, do instrumento de pesquisa

Atividade 4



Questão F: y = cosx e y = 5 cosx

Questão G: y = senx e y = 5 senx


a) Comparando os gráficos da questão C, houve alguma diferença na representação dos


b) Comparando os gráficos da questão D, houve alguma diferença na representação dos



59




expostos a seguir.

Gráfico 06 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 4, questão F

Gráfico 07 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 4, questão G

60

A atividade explora a mudança de amplitude entre os gráficos das funções

seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando números inteiros.

Os alunos deverão utilizar papel quadriculado para representar os gráficos e

suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de preencher a tabela.

4.5.10 Análise a posteriori da Atividade 4, questão F

No preenchimento da tabela, as duplas calcularam corretamente a tabela,

com exceção da dupla A, que atribuiu os valores dos ângulos da função cosseno

errados, semelhantes ao da função seno, acredito que devido à falta de atenção no

momento de realizar a atividade e a dupla H registrou errado os valores dos ângulos

para a segunda função, devido a erros aritméticos cometidos pela dupla

Figura 30 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla H

Na realização dos gráficos das funções, as duplas B, C e E realizaram a

conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, demonstrando

não terem dificuldades nesta parte da atividade, a dupla A e H não realizaram a

construção gráfica, pois preencheram a tabela de forma incorreta. A dupla D errou

somente no momento de ligar os pares ordenados, construindo seu gráfico através

de segmento de retas, método utilizado para a construção da função afim, a dupla F

e G não realizaram adequadamente a correspondência entre os pares ordenados,

não representando corretamente o gráfico da função.

61

Figura 31 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla G


os dois gráficos da função, somente as duplas C, D e F conseguiram visualizar e

identificar as diferenças ocorridas. Embora os gráficos das duplas D e F não

estivessem totalmente corretos, foi possível identificar suas mudanças, pois ambos

os gráficos terminavam no mesmo período. As duplas B e G não conseguiram

identificar as diferenças, registrando em suas folhas de respostas várias mudanças

que não ocorreram, demonstrando não ter conhecimento dos conceitos trabalhados.

A dupla E respondeu parcialmente correto, pois registrou que a imagem não havia

mudado, demonstrando desconhecer esse conceito, e as duplas A e H não

realizaram a construção gráfica.

Figura 32 – Protocolo da Atividade 4, questão F, realizado pela dupla E

Nota-se que os alunos conseguem localizar os pontos nos eixos x e y

corretamente, utilizando o papel quadriculado, mas não conseguem representar os

pares ordenados de maneira correta para fazer os gráficos. Os alunos sentem

dificuldades na conversão do registro de tabela para o registro gráfico. Ao

compararmos com a atividade 1, questão B, que utilizava números decimais,

62

percebe se que o desempenho das duplas nessa atividade melhorou com relação a

construção gráfica.


A NÃO NF NF

B SIM SIM NÃO

C SIM SIM SIM

D SIM P SIM

E SIM SIM P

F SIM P SIM

G SIM P NÃO

H P NF NF

Tabela 06 - Desempenho relativo a Atividade 4, questão F, do instrumento de pesquisa

4.5.11 Análise a posteriori da Atividade 4, questão G

No preenchimento da tabela, a única dupla que não conseguiu realizar a

atividade foi a dupla H, que calculou de maneira incorreta o valor dos ângulos para

a função y = 5senx, causado por erros aritméticos.

Figura 33 – Protocolo da atividade 4, questão G, realizado pela dupla H

Na realização dos gráficos das funções, a dupla H não fez a atividade e as

duplas B e D fizeram a representação gráfica parcialmente correta, pois não

orientaram corretamente os valores do eixo y e não fizeram a ligação dos pares

ordenados representados no eixo cartesiano corretamente, ligando os com

segmento de retas, utilizando um método parecido ao da construção gráfica da

função Afim. As duplas A, C, E, F e G realizaram a construção gráfica corretamente.

63

Figura 34 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla B

Figura 35 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla D


os dois gráficos da função, as duplas A, C, D e F conseguiram visualizar e

identificar as diferenças ocorridas, demonstrando ter conhecimento sobre os

conceitos. A dupla D mesmo errando sua construção gráfica identificou as

diferenças, pois o erro cometido foi ter ligado os pares ordenados com segmentos

de retas, semelhante à construção gráfica da função afim, o que não atrapalhou na

sua visualização. As duplas B e G não conseguiram identificar as diferenças,

demonstrando desconhecer os conceitos envolvidos nas funções, a dupla E

64

respondeu parcialmente correto a pergunta, conforme figura 39 abaixo, e a dupla H

não fez o exercício, pois não fez a tabela corretamente, sentindo dificuldades em

realizar a atividade.

Figura 36 – Protocolo da Atividade 4, questão G, realizado pela dupla E

As duplas conseguiram localizar os pontos nos eixo x e y corretamente,

utilizando o papel quadriculado, mas não realizam a ligação dos pares ordenados

corretamente. Se compararmos esta atividade com a anterior, atividade 4, parte G,

na qual utilizaram os mesmos coeficientes de alteração da amplitude, percebe se

que na função cosseno as duplas encontraram mais dificuldades na realização da

atividade. Seus desempenhos relacionados com a primeira função trabalhada,

atividade 1, questão A, que utilizava números decimais melhorou, mostrando que

sentiram mais dificuldades com os números decimais no momento de representar

os gráficos, o que prejudicou a análise.


A SIM SIM SIM

B SIM P NÃO

C SIM SIM SIM

D SIM P SIM

E SIM SIM P

F SIM SIM SIM

G SIM SIM NAO

H P NF NF

Tabela 07- Desempenho relativo a Atividade 4, questão G, do instrumento de pesquisa

65

Atividade 5



Questão H: y = cos 2x e y = 3 cos 2x

Questão I: y = sen 4x e y = 2 sen 4x


a) Comparando os gráficos da questão G, houve alguma diferença na representação dos


b) Comparando os gráficos da questão H, houve alguma diferença na representação dos






expostos a seguir.

Gráfico 08 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 5, questão H

66

Gráfico 09 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 5, questão I

A atividade explora a alteração de amplitude entre os gráficos das funções

seno e os gráficos das funções cosseno, utilizando funções que alteram seus

períodos se comparada com a função y=sen x, semelhantes as atividades

anteriores.

Os alunos deverão utilizar papel quadriculado, para representar os gráficos e

suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de preencher a tabela.

4.5.13 Análise a posteriori da Atividade 5, questão H

No preenchimento da tabela as duplas C, D, E e G não tiveram dúvidas

quanto ao preenchimento da tabela, a dupla A errou somente nos valores dos

ângulos correspondentes, as duplas B,Fe H não preencheram corretamente.

Na realização dos gráficos das funções, a dupla A conseguiu realizar a

atividade corretamente, a dupla E acertou parcialmente o gráfico, não ligando

corretamente os pares ordenados, as duplas B, C, D e G representaram de maneira

incorreta os ângulos no eixo x, as duplas F e H não fizeram a atividade, por

sentirem dificuldades em fazer a conversão do registro de tabela para o registro

gráfico.

67

Figura 37 – Protocolo da Atividade 5, questão H, realizado pela dupla D

Figura 38 – Protocolo da Atividade 5, questão H, realizado pela dupla H


os dois gráficos da função, a dupla E conseguiu visualizar as diferenças ocorridas

entre os gráficos, a dupla D, mesmo errando seu gráfico conseguiu responder a

questão, demonstrando ter conhecimento sobre a alteração que o coeficiente causa

nos gráficos, a dupla A acertou parcialmente, respondendo que alterava a amplitude

e o período, a duplas B, C, F, G e H por não conseguir realizar corretamente a

conversão do registro de tabela para o registro gráfico erraram em suas respostas.

Nesta atividade os alunos não sentiram dificuldades em preencher a tabela,

mas no momento de realizar a conversão do registro de tabela para o registro

gráfico cometeram erros que comprometem sua construção, prejudicando dessa

maneira, a análise das mudanças ocorridas entre os gráficos.

68

Em comparação com as outras atividades da função cosseno realizadas

anteriormente que envolvia alteração do mesmo coeficiente, as duplas tiveram mais

dúvidas nessa atividade, isso ocorreu devido a alteração dos ângulos da função,

utilizados para construção gráfica.


A P SIM P

B NÃO NÃO NÃO

C SIM NAO NÃO

D SIM NAO SIM

E SIM P SIM

F NÃO NF NÃO

G SIM NÃO NÃO

H NÃO NF NÃO

Tabela 08 - Desempenho relativo a Atividade 5, questão H, do instrumento de pesquisa

4.5.14 Análise a posteriori da Atividade 5, questão I

Nesta atividade todos os alunos realizaram o preenchimento da tabela

corretamente. Durante a construção gráfica das funções, a dupla F e H realizaram a

conversão do registro de tabela para o registro gráfico corretamente, a dupla B

mesmo utilizando o papel quadriculado não fez adequadamente a correspondências

entre os pares ordenados, comprometendo a construção gráfica, as duplas C, D, E

e G erraram, pois utilizaram todos os ângulos que preencheram na tabela,

demonstrando não saber qual valor deveria ser usado para a construção dos

gráficos, a dupla A fez o gráfico parcialmente correto, pois ligou os pares ordenados

com segmentos de reta, semelhantes aos gráficos da função afim.

69

Figura 39 – Protocolo da Atividade 5, questão I, realizado pela dupla E


os dois gráficos da função, a dupla F registrou corretamente a alteração que

ocorreu entre os gráficos, as duplas D, E e G, também conseguiram registrar

corretamente suas respostas, seus gráficos embora construídos de maneira errada

acabavam terminando no mesmo período o que facilitou sua análise, as duplas B e

C não conseguiram identificar as diferenças, pois não realizaram a construção

gráfica de forma correta, a dupla H mesmo acertando o gráfico não respondeu

corretamente, registrando que havia ocorrido todas as mudanças possíveis entre os

gráficos, o que demonstra não ter conhecimento sobre os conceitos das funções

trabalhadas, a dupla A respondeu parcialmente correto, registrando que havia

ocorrido mudança somente na imagem.

Figura 40 – Protocolo da Atividade 5, questão I, realizado pela dupla A

Na realização desta atividade a maioria dos alunos não conseguiu anotar os

ângulos nos eixo x corretamente, erraram no momento de realizar a

correspondência dos pares ordenados para fazer a representação gráfica, pois

utilizaram todos os ângulos da tabela fazendo duas representações com ângulos

distintos, demonstrando desconhecer qual o ângulo que deveria ser utilizado para

construção gráfica. Comparando com atividades realizadas anteriormente, na qual

70

envolvia alteração da amplitude na função seno, percebe-se que os alunos sentiram

mais dificuldades no momento de realizar a construção gráfica nesta atividade,

devido a representação dos ângulos no eixo do x. E com relação a atividade

anterior, da função cosseno, atividade 5, questão H, as duplas cometeram erros

semelhantes.


A SIM P P

B SIM NÃO NÃO

C SIM NÃO NÃO

D SIM NÃO SIM

E SIM NAO SIM

F SIM SIM SIM

G SIM NÃO SIM

H SIM SIM NÃO

Tabela 09 - Desempenho relativo a Atividade 5, questão I, do instrumento de pesquisa

ATIVIDADE 6

6) Complete as tabelas e construa os gráficos utilizando um sistema de eixos cartesianos para os


Questão J: y = sen3x, y = 2sen3x, y = -2 + 2sen3x

(6A) Analisando os gráficos, responda:

a) Comparando os gráficos da questão L, houve alguma diferença na representação dos

mesmos? Se houve diferença, indique e expliquem quais foram.


4.5.15 Análise a priori da Atividade 6, questão J



expostos a seguir.

71

Gráfico 10 – Expectativa de resolução gráfica da Atividade 6, questão J


gráficos y= sen3x e y= 2sen3x, e o deslocamento vertical ocorrido entre as funções

y = 2sen3x e y =- 2+2sen3x.

Os alunos deverão utilizar papel quadriculado para representar os gráficos e

suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de interpretar as mudanças

ocorridas entre os gráficos.

4.5.16 Análise a posteriori da Atividade 6, questão J

As duplas B, C e D conseguiram preencher a tabela, sem cometer erros, as

duplas A e E preencheram parcialmente a tabela errando no cálculo da ultima

função da tabela, a dupla F errou no cálculo dos ângulos correspondentes do eixo

do x e no cálculo dos valores da última função, conforme figura abaixo e as duplas

G e H não preencheram corretamente as ângulos correspondentes, errando em

seus cálculos. As duplas cometem erros aritméticos no momento de preencher a

tabela.

72

Figura 41 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla F

As duplas F e G não realizaram corretamente a construção gráfica, pois

utilizaram os valores dos ângulos do eixo x erroneamente, a dupla D errou a

atividade, pois utilizou todos os ângulos que estavam na tabela, a dupla E não

representou corretamente de forma adequada os pares ordenados e errou também

no cálculo dos valores para última função, a dupla B utilizou os ângulos do eixo x

erroneamente e realizou de maneira incorreta a correspondência dos pares

ordenados, ocasionando erros na construção gráfica, as duplas A, C e H não

fizeram a construção gráfica, por sentirem dificuldades na realização da atividade.

Figura 42 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla B

73

Figura 43 – Protocolo da Atividade 6, questão J, realizado pela dupla G


os gráficos da função, as duplas A, B, E, F e G erraram em suas respostas, as

duplas C, D e H não registraram nenhuma resposta, pois nenhuma das duplas

conseguiu realizar a conversão do registro de tabela para o registro gráfico, o que

prejudicou na visualização das mudanças ocorridas entre os gráficos das funções

construídos.

As duplas sentiram dificuldades no momento de preencher a tabela, o que

prejudicou todo o trabalho a ser desenvolvido. Ao comparar com a atividade 3

semelhante a esta, pode-se observar que as duplas cometem os mesmos erros.


A P NF NAO

B SIM NAO NAO

C SIM NF NF

D SIM NÃO NF

E P NAO NAO

F P NÃO NAO

G P NÃO NAO

H P NF NF

Tabela 10 - Desempenho relativo a Atividade 6, questão J, do instrumento de pesquisa

74

4.6 Análises a priori das atividades realizadas na sala de

informática

A escolha da tecnologia aplicada ao ensino das funções seno e cosseno,

deve-se às dificuldades encontradas pelos alunos no momento de construir seus

gráficos, o que pode ter dificultado a compreensão dos conceitos envolvidos.

Os conhecimentos sobre a utilização do software Graphmatic permitem que o

aluno possa interagir de forma dinâmica com o meio material, no momento de

representar a função apresentada no registro algébrico para registro gráfico e

representar a função apresentada no registro gráfico para o registro algébrico.

Através de conhecimentos prévios, esperamos que a dupla após a

construção gráfica da função utilizando o software Graphmatic, faça conjecturas a

respeito dos coeficientes a, b e c, passando para a fase de formulação obtida

através da análise e registro dos resultados de suas atividades.

As fases de ação, formulação e validação, estão presentes no momento em

que os alunos realizam a leitura e a interpretação do enunciado, faz a construção

gráfica e através de análise e discussão da atividade com o parceiro da dupla,

validando ou não suas estratégias de resolução utilizadas, registrando suas

observações na folha de resposta. A fase de Institucionalização ocorrerá no final

das atividades, quando o professor revelar a intenção didática através de atividades

realizadas em sala de aula e na sala de informática, solucionando dúvidas

referentes aos conceitos envolvidos na função seno e cosseno, finalizando dessa

maneira a aprendizagem desse conteúdo, conforme a Teoria das Situações

Didáticas de Brousseau (1986)

Nesta atividade, a dupla mobilizará conhecimentos do software gráfico

Graphmatic e conhecimentos prévios de plano cartesiano, conjuntos numéricos,

coordenadas cartesianas, função seno e função cosseno, representações gráficas,

coeficiente, domínio, imagem, período e amplitude do gráfico sejam utilizados pelo

aluno como ferramentas para resolução das atividades.

As duplas foram orientadas a construírem seus gráficos de forma dinâmica,

utilizando recursos do software, podendo alterar a ordem da construção gráfica para

atividades que envolvam mais de uma função, com o propósito de facilitar sua

75

visualização, e proporcionar melhores condições de observação e compreensão de

conceitos envolvidos nas atividades propostas.

Além disso, devem ser consideradas as variáveis didáticas pertinentes a esta

questão, que seriam:

a) Tipos de função

f(x) = senx

f(x)= cosx

b) Conjunto dos números utilizados para valores dos coeficientes envolvidos na

atividade:

Números Inteiros

Números Racionais

Nas atividades, são apresentadas várias funções, utilizando valores distintos

de coeficientes para que seja visualizada a construção gráfica, e analisados os

conceitos envolvidos nas funções em decorrência das variações de coeficientes.

De acordo com esta análise, os procedimentos seguintes seriam os esperados,

quando um determinado sujeito resolvesse corretamente a questão:

O aluno conhece e utiliza de forma dinâmica os recursos que o software

Graphmatic oferece;

O aluno constrói os gráficos utilizando o software;

O aluno observa e identifica as propriedades envolvidas no gráfico

construído;

O aluno generaliza padrões e responde as perguntas elaboradas na

atividade,

O aluno faz a conversão de registro algébrico para o registro gráfico e vice

versa para responder o enunciado das questões.

76

A primeira questão do instrumento utilizando o software Graphmatic assumiu a

forma exibida no próximo quadro

ATIVIDADE 1 – Sala de Informática

1) Usando o software, indique o domínio, a imagem, o período e a amplitude das funções da tabela

abaixo:

DOMINIO IMAGEM PERÍODO AMPLITUDE

y = sen x

y = sen 4x

y = -4 sen 4x

y = sen x/5

y = 5 sen 5x

Quadro 07 – Atividade 1 do instrumento de pesquisa utilizando o software Graphmatic


informática

Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos utilizados para

esta análise, seriam iguais aos expostos a seguir.

Gráfico 11 – Resolução gráfica da função y=sen x

77

Gráfico 12 – Resolução gráfica da função y=sen 4x

Gráfico 13 – Resolução gráfica da função y=-4sen 4x

78

Gráfico 14 – Resolução gráfica da função y=sen x\5

Gráfico 15 – Resolução gráfica da função y=5sen 5x

A apresentação da atividade está composta na conversão do registro

algébrico para o registro de tabela, tendo como propósito analisar o conhecimento

79

do aluno referente à conceitos relacionados à funções seno, através da visualização

de gráficos construídos pelo software Graphmatic.

Os alunos deverão construir os gráficos, analisar e registrar suas

observações na folha de respostas.


interpretar os conceitos envolvidos nos gráficos das funções.


de informática

Todas as duplas registraram o domínio e a imagem corretamente, apenas

não colocaram a notação correta da imagem, as duplas D, G e H acertaram toda a

atividade. Na atividade que envolvia o conceito de amplitude somente a dupla c não

conseguiu identificar uma das questões, na atividade que envolvia o período

da função, nas funções y = sen x/5 e y = 5sen 5x os alunos sentiram mais

dificuldades em analisar o conceito de período envolvido na atividade, errando suas

respostas. Nesta atividade os alunos devem manusear o recurso de ampliação e

diminuição das representações gráficas das funções para conseguir visualizar e

identificar o período acredita-se que isso tornou a análise mais complicada, pois

exigia mais das duplas com relação ao manuseio das ferramentas do programa,

abaixo estão relacionadas com x as respostas erradas dos alunos.

DUPLA DOMINIO IMAGEM PERIODO AMPLITUDE

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

A X X X

B X X

C X X

D

E X X

F X X

G

H

Tabela 11 - Desempenho relativo a atividade 1 realizada com o auxilio do software

Graphmatic

80


(2) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:

a) y = sen x b) y = 3 sen x c) y = 4 sen x d) y = 2 sen x

Observando todos os gráficos desenhados, responda:

A) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando multiplicamos toda a função por um

valor constante A diferente de zero (y = Asenx) __________________________________________

B) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = A senx ___________________



informática



Gráfico 16 – Resolução gráfica das funções y = sen x, y = 2 sen x, y = 3 sen x, y = 4 sen x,

A atividade utiliza números inteiros e explora o conceito de amplitude da

função seno através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas através

software Graphmatic.


registrar suas respostas, generalizando o conceito de imagem da função seno.

81

4.6.4 Análise a posteriori da Atividade 2, realizada na sala

de informática

Na resolução do item A, os alunos não tiveram dúvidas com exceção da

dupla B que não visualizou e identificou corretamente as mudanças que ocorrem na

representação gráfica, demonstrando desconhecer os conceitos das funções

trabalhadas.

Figura 44 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic

Na resolução do item B, os alunos sentiram mais dúvidas, pois a atividade

exigia dos alunos a generalização de padrões para a resposta sobre o valor da

imagem.

As duplas D, F e H responderam corretamente, demonstrando ter

conhecimento sobre os conceitos das funções trabalhadas, conseguindo generalizar

em suas respostas, as duplas B, E e G atribuíram valores para as respostas

referentes a imagem e o período conforme a funções que trabalharam as duplas A e

C responderam parcialmente a questão. Percebe se que os alunos sentem

dificuldades em generalizar a resposta da questão.

Figura 45 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla G, utilizando o software Graphmatic

Figura 46 – Protocolo da atividade 2 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic

82


3) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:

a)y = cos x b) y = 1,5 cos x c) y = 3 cos x d) y = 5 cos


A) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=cosx quando multiplicamos toda a função por um

valor constante A diferente de zero ( y = Acos ) _______________________________________

B) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = A cosx ___________________



informática



Gráfico 17 – Resolução gráfica das funções y= cos x, y = 1,5 cos x, y = 3 cos x, y = 5 cos x

A atividade utiliza números inteiros em três funções apresentadas e uma com

número decimal na representação algébrica e explora o conceito de amplitude da

função cosseno através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas,

através do software gráfico.

83


generalizar os conceitos de imagem da função seno para registrar suas respostas

na folha.


de informática

Na resolução do item A, os alunos não tiveram duvidas em responder, a

única exceção foi da dupla C que não respondeu corretamente. A dupla pode não

ter compreendido a questão, pois no exercício anterior, semelhante a este, fez

corretamente.

Figura 47 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla C, utilizando o software Graphmatic

Na resolução do item B, os alunos tiveram mais dúvidas, pois a atividade

exigia dos alunos a generalização para responder sobre o valor da imagem.

As duplas D, F e H responderam corretamente, conseguindo generalizar em

suas respostas a identificação do conceito envolvido, as duplas A, B, C, E e G

responderam parcialmente a questão, errando na respostas da imagem, atribuindo

valores para suas respostas não conseguindo generalizá-las.

Com relação ao período das funções, as duplas E e F registraram

corretamente suas respostas e as duplas A, B, C, D, G, e H não identificaram

corretamente os períodos das funções.

Figura 48 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla F, utilizando o software Graphmatic

84

Figura 49 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla G, utilizando o software Graphmatic

Figura 50 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla E, utilizando o software Graphmatic

Figura 51 – Protocolo da Atividade 3 realizado pela dupla H, utilizando o software Graphmatic

Percebe se que os alunos não compreendem a função escrita na forma

algébrica, ou seja, não conseguem através da representação algébrica, identificar

seus conceitos e generalizar-los.

DUPLAS DOMINIO IMAGEM PERIODO

A SIM NÃO NÃO

B SIM NÃO NÃO

C SIM NÃO NAO

D SIM SIM NAO

E SIM NAO SIM

F SIM SIM SIM

G SIM NÃO NAO

H SIM SIM NÃO

Tabela 12 – Desempenho relativo a Atividade 3, realizada com o auxilio do software

Graphmatic

85



a) y = cos x b) y = cos2x c) y = cos 3x d) y = cos x/2 e) y = cos x /3


a) Qual o domínio, a imagem e o período de uma função do tipo y = cos Ax ___________________

4A) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:

a) y = sen x b) y = sen 2x c) y = sen 5x e) y = sen x /2

Observando todos os gráficos desenhados, responda

a) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando y=senAx. Explique a diferença

______________________________________________________________

Quadro 10 – Atividade 4 do instrumento de pesquisa, utilizando o software Graphmatic

4.6.7 Análise a priori da atividade 4, realizada na sala de

informática

Em função do enunciado acima, a apresentação dos gráficos utilizados para

análise seriam iguais aos expostos a seguir.

Gráfico 18 – Resolução gráfica das funções y = sen x /2, y = sen x, y = sen 2x, y = sen 5x

86

Gráfico 19 - Resolução gráfica das funções y = cos x /3, y =cos x/2, y = cosx, y =cos2x, y =cos3x

A atividade utiliza escrita fracionária na representação algébrica e explora o

conceito de período das funções seno e cosseno através da visualização de

gráficos produzido pelos alunos através do software gráfico.


generalizar o conceito de período da função seno para registrar suas respostas na

folha.


de informática

Na resposta da questão 4, sobre o domínio, a imagem e o período de uma

função do tipo y = cos Ax, a dupla E respondeu parcialmente a questão, errando no

registro do período e na imagem das funções, as duplas A, B e G erraram no

período da função, pois registraram um valor, as duplas D, F e H erraram, pois

atribuíram valores para a imagem e para o período, não conseguiram generalizar a

resposta sobre o valor do período das funções e ou não entenderam a questão e a

dupla C respondeu parcialmente a questão, registrando que o período poderia

variar dependendo do coeficiente da função. Percebe se que a dupla compreende o

87

significado do coeficiente A, mas sentem dificuldades no momento de generalizar

em suas respostas.


Figura 53 – Protocolo da Atividade 4 realizado pela dupla D, utilizando o software Graphmatic


Na resposta da pergunta sobre a alteração provocada pelo coeficiente a, da

questão 4A, as duplas A, D, E, G e H responderam corretamente a questão,

respondendo que a mudança ocorre somente no período da função, as duplas B, C

e F não identificaram corretamente as mudanças ocorridas nas representações

gráficas das funções, respondendo que as alterações ocorriam tanto no período

como na amplitude, demonstrando não entender esses conceitos.

Esta atividade exigia dos alunos a generalização do conceito de período da

função. Percebe se que os alunos sentem dificuldades em reconhecer os conceitos

envolvidos na atividade e generalizá-los no momento de registrar suas respostas.

88

DUPLA DOMINIO IMAGEM PERIODO

A SIM SIM NAO

B SIM SIM NAO

C SIM SIM P

D SIM SIM P

E SIM P NAO

F SIM SIM NAO

G SIM SIM NAO

H SIM SIM SIM

Tabela 13 – Desempenho relativo a Atividade 4, realizada com o software Graphmatic


5)) Desenhe os gráficos das seguintes funções em um único sistema de eixos:

a) y = -1 + sen 5x b) y = sen 5x c) y = 1+ sen 5x


a) Qual é a alteração produzida no gráfico de y=senx quando y= A+senx. Explique a diferença

______________________________________________________________

Quadro 11 – Atividade 5 do instrumento de pesquisa, utilizando o software Graphmatic


informática

Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos seriam iguais

aos expostos a seguir.

89

Gráfico 20 – Resolução gráfica das funções y = -1 + sen 5x, y = sen 5x, y = 1+ sen 5x

A atividade explora conceitos de deslocamento vertical da função seno

através da visualização de gráficos produzidos pelas duplas, utilizando o software

gráfico, no qual deverão registrar suas análises na folha de respostas.

As possíveis dificuldades nesta atividade poderão estar na compreensão do

deslocamento vertical ocorrido entre as funções.


de informática

Na resposta da pergunta relacionada a alteração produzida entre os gráficos

de y = senx e y = A+senx, as duplas erraram nas respostas, visualizam e

compreendem que houve alterações na posição dos gráficos, mas possuem

dificuldades para explicar as mudanças ocorridas, demonstrando desconhecer o

conceito de deslocamento vertical.


90




a) y = 5 sen 2x b) y = sen x


a) Qual é a alteração produzida no gráfico?____________________________________________



informática

Em função do enunciado acima a apresentação dos gráficos seriam iguais

aos expostos a seguir.

Gráfico 21 – Resolução gráfica das funções y = 5sen 2x, y = sen x

91

A atividade explora conceitos da função cosseno através da visualização de

gráficos produzido pelo software gráfico.

As duplas construirão seus gráficos e após a análise deverão registrar suas

respostas na folha da atividade e suas possíveis dificuldades poderá estar no

momento de visualizar as mudanças entre os gráficos.


de informática

Na resposta da pergunta I sobre a alteração produzida no gráfico, todas as

duplas identificaram e responderam corretamente a questão.


informática

A sétima questão do instrumento utilizando o software Graphmatic assumiu a

forma exibida no próximo quadro, dividida em três partes. Essa atividade foi

desenvolvida para analisar o conhecimento sobre os conceitos envolvidos nas

funções seno e cosseno através da análise do registro gráfico das funções, pois

segundo Duval (1986) passar de um registro de representação a outro não é

somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os

aspectos diferentes de um mesmo objeto e a articulação desses diferentes registros

é condição para a compreensão em matemática.

92

Identifique a função através do gráfico dado:

__________________

____________________

______________________


93

A atividade explora conceitos de amplitude e período da função seno, através

da visualização dos gráficos. De forma dinâmica e mobilizando conhecimentos

relacionados aos coeficientes da função, as duplas deverão resolver a atividade e

suas possíveis dificuldades poderão estar no momento da conversão para o registro

algébrico.

4.6.14 Análise a posteriori da Atividade 7, realizada na sala

de informática

Nesta atividade a dupla A embora tenha compreendido a posição do

coeficiente que altera o período não representou corretamente a função referente

ao gráfico e não fez as demais, a dupla B visualizando o terceiro gráfico, errou na

resposta, mas identificou o tipo de função que compreendia o gráfico, a dupla F

errou a atividade e as demais duplas conseguiram realizar a atividade.

Figura 57 – Protocolo da Atividade 7 realizado pela dupla A, utilizando o software Graphmatic

94

Figura 58 – Protocolo da Atividade 7 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic

Nesta atividade os alunos demonstraram ter conhecimento do coeficiente que

altera o período e a amplitude dos gráficos das funções, ao analisar a tabela abaixo

pode se perceber que as duplas tiveram um bom desempenho, conseguindo

realizar a conversão do registro gráfico para o registro algébrico.

DUPLA 1ª FUNÇÃO 2ª FUNÇÃO 3ª FUNÇÃO

A P NF NF

B SIM SIM NÃO

C SIM SIM SIM

D SIM SIM SIM

E SIM SIM SIM

F SIM SIM NAO

G SIM SIM SIM

H SIM P SIM

Tabela 14 - Desempenho relativo à Atividade 7 do instrumento de pesquisa que utilizou o

software Graphmatic.

95


Alterando os valores do coeficiente a nas funções dadas na tabela, o que acontece com o gráfico?

Valores “grandes” "Valores pequenos”

y= a senx ou y = a cosx

y = sen ax ou y = cos ax

y = a + sen x ou y = a+ cos x



informática

A apresentação da atividade está composta no registro de partida da língua

natural e algébrico, através de uma tabela a ser preenchida pelas duplas, sendo

explorados conceitos da função seno e cosseno, através da visualização de gráficos

produzidos pelo software.

As duplas atribuirão valores aleatórios nas funções para resolver a atividade,

e suas possíveis dificuldades poderão estar no momento de registrar as mudanças

ocorridas para os dois valores.


de informática

O termo “valores grandes” foi usado para que os alunos atribuíssem valores

maiores ou iguais a dois, e no termo ”valores pequenos” para valores menores que

dois no coeficiente a, de acordo com a função utilizada para construção dos gráficos

a serem investigados.

Na atividade que pedia para identificar a mudança dos gráficos alterando o

coeficiente a das funções y= a senx ou y = a cosx, todos registraram corretamente

suas analises na folha de respostas.

Na segunda parte desta tabela, que pedia para identificar as mudanças

ocorridas na representação quando se altera o coeficiente a da função y= sen Ax ou

y = cos Ax, a dupla F respondeu parcialmente correta, alegando que mudaria o

96

período e a amplitude, as demais duplas conseguiram responder corretamente

registrando suas análises na folha de respostas.

Figura 59– Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla B, utilizando o software Graphmatic

Na terceira parte desta tabela, que pedia para identificar a mudança dos

gráficos quando se altera o coeficiente a da função y = a + sen x ou y = a+ cos x.

As duplas A e G responderam parcialmente, alegando que só houve

mudanças em suas imagens sem mencionar o deslocamento vertical, a dupla C e H

responderam corretamente, utilizando a língua materna para registrar suas

respostas, a dupla D analisou o gráfico e não a relação entre eles, afirmando que

não houve mudança entre um gráfico e outro, mas não explicou o que aconteceu de

fato, as demais duplas B, E e F perceberam as alterações em suas posições, mas

não souberam explicar de forma correta, alegando que os gráficos mudavam suas

amplitudes.

Figura 60 – Protocolo da Atividade 8 realizado pela dupla D, utilizando o software Graphmatic

97



Conforme o desempenho demonstrado na tabela abaixo, as duplas sentiram

mais dificuldades em responder de forma correta as atividades que utilizavam o

conceito de deslocamento vertical.

98

DUPLA

y= a senx

ou y = a cosx

y = sen ax

ou y = cos ax

y = a + sen x

ou y = a+ cos x

A SIM SIM P

B SIM SIM NAO

C SIM SIM SIM

D SIM SIM P

E SIM SIM NAO

F SIM NAO NAO

G SIM SIM P

H SIM SIM SIM

Tabela 15 - Desempenho relativo a Atividade 8 do instrumento de pesquisa, realizada com

software Graphmatic


Identifique as funções dos gráficos abaixo:

Quadro 15 – Atividade 9 do instrumento de pesquisa que utilizou o software Graphmatic

99


informática

A atividade explora os conceitos da função seno e cosseno através da

visualização dos gráficos. As duplas deverão utilizar o software gráfico de maneira

dinâmica e com os conhecimentos sobre os coeficientes de alteração dos gráficos,

realizarão a atividade.

A apresentação da atividade está composta no registro gráfico e as possíveis

dificuldades desta atividade poderão estar no momento da conversão para o

registro algébrico.

Na primeira função o seu registro algébrico deverá ser y=2+sen x, a segunda

y= cos x, a terceira y=-cos x e quarta função y =-2-senx

4.6.18 Análise a posteriori da atividade 9, realizada na sala

de informática

Na primeira representação gráfica desta atividade, a dupla D registrou a

função parcialmente correta, deixando de colocar o sinal positivo entre o coeficiente

e a função, talvez por falta de atenção, a dupla F identificou parcialmente a função

correspondente ao gráfico, errando no coeficiente que desloca a função, acredita se

que a dupla não conseguiu visualizar corretamente a função impressa, as demais

duplas realizaram a atividade corretamente.

Na segunda representação gráfica a dupla F respondeu parcialmente a

questão, cometendo o mesmo erro da primeira representação, a dupla C não

identificou corretamente a função, as demais duplas realizaram a atividade

corretamente.

Na terceira representação gráfica da função, a dupla C não conseguiu

identificar a função correspondente ao gráfico e as duplas A e F conseguiram

resolver parcialmente a questão. A dupla A registrou somente o tipo de função que

correspondia a representação gráfica as demais duplas conseguiram realizar a

atividade, a dupla F identificou o tipo de função corretamente, mas colocou valores

100

decimais de maneira incorreta para o coeficiente da função, cometendo o mesmo

erro das atividades anteriores.

Na quarta representação gráfica da função, as duplas B, C e D não

conseguiram identificar a função correspondente ao gráfico, as duplas E, G e H

identificaram as funções corretamente, as duplas A e F identificaram parcialmente

as funções. A dupla A identificou somente o tipo de função e a dupla F cometeu o

mesmo erro que as funções anteriores, atribuindo valores decimais para o

coeficiente da função.

Figura 63 – Protocolo da Atividade 9 realizado pela dupla F, utilizando o software Graphmatic


101


As duplas não tiveram atividades que envolvia a inversão dos gráficos

conforme a terceira e a quarta representação. As duplas na terceira representação

conseguiram em sua maioria representá-la, na quarta representação houve mais

erros.

DUPLA

1ª

FUNÇÃO

2ª

FUNÇÃO

3ª

FUNÇÃO

4ª

FUNÇÃO

A SIM SIM P P

B SIM SIM SIM NAO

C SIM NÃO NAO NAO

D P SIM SIM NAO

E SIM SIM SIM SIM

F P P P P

G SIM SIM SIM SIM

H SIM SIM SIM SIM

Tabela 16 - Desempenho relativo à Atividade 9, realizada com o software Graphmatic

102

CAPÍTULO 5

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Foram realizadas atividades utilizando lápis e papel e com o uso do software

Graphmatic, as atividades envolviam visualização e registro de alterações

provocadas pelo coeficiente nos gráficos da função seno e cosseno, havendo ainda

uma atividade que explorava a generalização do conceito de período.

Utilizando o lápis e o papel, as duplas realizaram oito exercícios inclusos nas

atividades (atividade 1,3,4,5,6), que envolviam alterações nas amplitudes dos

gráficos das funções e tiveram o seguinte desempenho, conforme tabela 17.

DUPLA AMPLITUDE

A 1

B 0

C 4

D 5

E 3 corretos e 2 parciais

F 2

G 1

H 0

Tabela 17 – Quantidade de acertos das atividades realizados, sobre o conceito de Amplitude, sem o

uso do software

Com o uso do software realizaram cinco exercícios que envolviam

visualização e identificação de alteração entre as amplitudes dos gráficos inclusos

nas atividades (2,3,6 e 8) e uma atividade (atividade 1) contendo cinco exercícios

para registro da amplitude das funções e tiveram o seguinte desempenho, conforme

tabela 18.

103

Tabela 18 – Quantidade de acertos das atividades, sobre o conceito de Amplitude, com o uso do

software Graphmatic

Nas atividades que envolveram a visualização e registro de alterações

provocadas nas amplitudes dos gráficos das funções com o uso do software, pode

se notar que todas as duplas tiveram melhor desempenho se comparado com a

atividade realizada com lápis e papel. O uso do software contribuiu na

aprendizagem do conceito estudado, fazendo com que os alunos conseguissem

realizar a atividade.

Com relação ao conceito de período, utilizando lápis e papel, as duplas

realizaram seis exercícios inseridos nas atividades (2,3,5 e 6) e tiveram o seguinte

desempenho, conforme tabela 19.

DUPLA VISUALIZAÇÃO

A 0

B 0

C 2

D 2

E 4

F 0

G 1

H 0

Tabela 19 – Quantidade de acertos das atividades realizadas sem o uso do software Graphmatic

DUPLA VISUALIZAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO REGISTRO

A 5 5

B 4 5

C 4 4

D 5 5

E 5 5

F 5 5

G 5 5

H 5 5

104

Com o uso do software, três atividades (4A, 6 e 8) envolviam a visualização

de gráficos que alteravam seus períodos, três atividades (1, 2, 3) envolviam registro

do período do gráfico, sendo que a atividade 1 possui cinco exercícios, totalizando

sete e uma atividade que utilizava a generalização do conceito de período,

(atividade 4). As duplas tiveram os seguintes desempenhos:

DUPLA VISUALIZAÇÃO REGISTRO GENERALIZAÇÃO

A 3 2 0

B 2 3 0

C 2 5 PARCIAL

D 3 6 0

E 3 4 PARCIAL

F 1 5 0

G 3 5 0

H 3 6 0

Tabela 20 – Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do software Graphmatic

Comparando as atividades que envolveram a visualização sobre alterações

provocadas no período dos gráficos, pode se notar que o desempenho das duplas

foi superior com o uso do software. Nas atividades relacionadas ao registro das

alterações, a dupla A e B não tiveram um bom desempenho na generalização desse

mesmo conceito, somente as duplas C e E resolveram parcialmente. As duplas

sentiram dificuldades e mesmo utilizando o software não conseguiram responde-las

corretamente.

Referente ao conceito de deslocamento vertical, em atividades que utilizaram

lápis e o papel para visualizar as alterações gráficas, as duplas realizaram duas

atividades (atividade 3 e 6) e com o uso do software realizaram dois exercícios

inclusos na atividade 8. Comparando as atividades, percebe-se que com o uso do

lápis e papel somente uma dupla conseguiu responder parcialmente a atividade e

com o uso do software duas duplas conseguiram responder corretamente e três

duplas responderam parcialmente a questão. O número de acertos com o uso do

software ainda é pequeno, mas se comparar com os resultados pode-se perceber

que houve um aumento no número de acertos.

105

No momento de realizar a conversão do registro gráfico para o registro

algébrico, as duplas realizaram sete exercícios divididos em: atividade 7 ( três

exercícios) e atividade 9 ( quatro exercícios). Cinco exercícios exploravam conceitos

de período e amplitude e dois exercícios exploravam também o conceito de

deslocamento vertical. Lembrando que nos dois grupos há um exercício que ocorre

a inversão do gráfico, atividade que houve maior numero de erros pois realizaram

esta atividade somente nesse momento.

A seguir, o desempenho das duplas.

Tabela 21 – Quantidade de acertos nas atividades realizadas com o uso do software Graphmatic

Analisando os resultados pode se concluir que as duplas demonstraram ter

conhecimentos sobre os coeficientes de alterações dos gráficos referentes ao

período, amplitude e deslocamento vertical dos gráficos das funções.

Nas atividades realizadas com lápis e papel, pode-se observar que as duplas

cometeram erros aritméticos no momento de realizar os cálculos para o

preenchimento da tabela e em alguns momentos efetuaram cálculos substituindo o

valor do ângulo x na função estudada, característica que parece indicar uma

dificuldade de superar a visão relativa a uma abordagem de funções em geral

baseada na construção de gráficos muito parecidos como exemplo de sala de aula

– os alunos podem ter relacionado o preenchimento da tabela com o de outras

funções que utilizam esse método, o que caracteriza um obstáculo epistemológico

(Almouloud, 2004)

Na construção gráfica utilizando papel, as duplas encontraram dificuldades

em representar o gráfico corretamente, tiveram dificuldade em utilizar uma escala

DUPLA AMPLITUDE E PERÍODO TODOS OS CONCEITOS

A 1correto, 2 parciais e 2 não fez 1 correto e 1 parcial

B 4 1

C 3 1

D 5 1

E 5 2

F 2 corretos e 2 parciais 2 parciais

G 5 2

H 4 corretos e 1 parcial 2

106

correta nos eixos cartesianos, conseguindo somente com a utilização do papel

quadriculado. Possuem dificuldades no momento de representar os ângulos

pertencentes ao eixo do x, quando há variação do período da função e não realizam

de forma correta a correspondência dos pares ordenados. Esses erros realizados

durante a execução das atividades acabaram prejudicando a análise.

O uso do computador neste trabalho despertou o interesse e a motivação no

momento de realizar e explorar as atividades, proporcionando aos alunos uma

oportunidade de aumentar de maneira dinâmica seus conhecimentos referentes aos

conceitos de amplitude, período e deslocamento vertical da função seno e cosseno.

Durante a realização das atividades, o grupo mostrou empenho e sentiu-se

empolgado para resolver os exercícios, que segundo os alunos as aulas tornaram

se mais interessantes e proporcionou maior facilidade de compreender os conceitos

envolvidos nas funções, conforme questionário no anexo.

O uso do software Graphmatic propiciou ao aluno condições de simular

várias construções gráficas, ajudando-o a entender e suprir algumas dificuldades

nos conceitos abordados, que durante as atividades realizadas com lápis e papel

não foram possíveis.

Constatamos que o conceito de deslocamento vertical foi pouco abordado

durante as aulas em sala de aula, pois os alunos visualizavam e identificavam as

mudanças ocorridas, mas tinham dificuldades em explicá-las. Em atividades

realizadas na sala de informática com atividades que envolviam a mudança de

registro gráfico para registro algébrico, os alunos demonstraram ter conhecimento

sobre o coeficiente responsável pelo deslocamento vertical e que algumas dessas

dificuldades foram supridas.

A teoria dos registros de representação de Duval esta totalmente ligada aos

resultados positivos das atividades, na qual observamos as conseqüências que os

coeficientes causam em suas representações gráficas.

A teoria das situações de Guy Brousseau foi um instrumento muito utilizado

na aplicação e análise das atividades, pois a sequência didática envolveu os

processos de ação, formulação e validações durante a realização das atividades e

a institucionalização por parte do professor no final da pesquisa.

Com os resultados obtidos na análise das atividades pode se concluir que o

uso do computador aliado ao software gráfico contribui para a evolução da

107

aprendizagem e proporcionou um aumento cognitivo de conceitos relacionados a

função seno e cosseno, através de um processo dinâmico, que permitiu a

articulação entre as representações algébricas e gráficas.

.

108

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba:

UFPR, 2007.

ARTIGUE, M. Engenharia Didática. In. Didactica das Matemáticas. Org.Brun,

Jean. Trad. Maria José Figueiredo, Delachaux et Niestlé, 1996. p. 193-217.

AUGUSTO, C. R. Aprendizagem de função Afim: uma investigação de ensino

com auxilio do software Graphmatic. Dissertação (Mestrado em Ensino da

Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2008.

BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval, ”Matemática”, 1. ed. São Paulo:Editora

Moderna, 2004.Coleção 2ª série Ensino Médio.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e

Educação Matemática, 3.ed., Belo Horizonte: Autentica, 2007.

BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Orientações curriculares para o ensino

médio. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC;

SEB, 2006.

BRASIL. Secretaria de Educação Media e Tecnológica. Parâmetros curriculares

nacionais: ensino médio. Ciências da Natureza, matemática e suas

tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, 1999.

CARVALHO, R. C. A formação de professores de Matemática para uso das

tecnologias de informação e comunicação: uma abordagem baseada no

ensino de funções polinomiais de primeiro e segundo graus. Dissertação de

Mestrado. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2010.

109

COSTA, Nielce Meneguelo Lobo. Funções Seno e Cosseno: uma sequência de

ensino a partir dos contextos do mundo experimental e do computador.

Dissertação de mestrado, PUC/SP, São Paulo, 1997.

FROTA, Maria C. R; BORGES, Oto N. Perfis de Entendimento sobre o Uso de

Tecnologias na Educação Matemática. In: Encontro da Associação Nacional de

Pós-Graduação e Pesquisa em Educação, 27ª, Caxambu. Rio de Janeiro:

ANPED, 2004.

GIOVANNI e BONJORNO, “Matemática Completa”, Volume 2, 2ª Ed. São Paulo:

Editora FTD,2005.

GOOS, M. et al. Perspectives on technology mediate learning in secondary school

mathematics classrooms. Mathematical Behavior, n. 22, p.73-89, 2003.

KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação,

Campinas, SP: Papirus, 2007.

KENSKI, V. M. Tecnologias e ensino presencial e a distancia, Campinas, SP:

Papirus, 2007.

LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e proposições. 11. ed.

São Paulo: Cortez, 2001.

MACHADO, S.D.A. Educação Matemática: Uma (nova) Introdução. In

MACHADO, S. D.A. et al, 3. ed. revista, São Paulo: EDUC, 2008.

MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em matemática: Registro de representação

semiótica. In MACHADO, S. D.A. et al. 4. ed. revista, Campinas,SP: Papirus, 2003

(Papirus Educação).

MAIA, D. Função Quadrática: um estudo didático de uma abordagem

computacional. Dissertação ( Mestrado em Ensino da Matemática) – Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

110

MARTINS,V.L.O.F. Atribuindo significado ao seno e cosseno utilizando o

software Cabri Géométre Dissertação ( Mestrado em Ensino da Matemática) –

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2003.

PERRENOUD, P. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens – entre

duas lógicas. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.

OLIVEIRA, G. P. Estratégias didáticas em educação matemática: as tecnologias de

informação e comunicação como mediadoras. Anais do IV Simpósio Internacional

de Pesquisa em Educação Matemática – IV Sipem. Brasilia: SBEM, 2009a. 1 CD-

ROM.

OLIVEIRA, G. P. Transposição didática: aportes teóricos e novas práticas. In:

WITTER, Geraldina P; FUJIWARA, Ricardo (Orgs). Ensino de Ciências e

Matemática: análise de problemas. São Paulo: Ateliê Editorial, 2009b.

OLIVEIRA, N. Conceito de função: Uma abordagem do processo ensino

aprendizagem. 137f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) – Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 1997.

PELHO, E.B.B. Introdução ao conceito de função: a importância da

compreensão das variáveis. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) –

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2003.

SANTOS, S.A. Ambiente informatizado: para o aprofundamento da função

quadrática por alunos da segunda serie do Ensino Médio. Dissertação

(Mestrado em Ensino da Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, São Paulo, 2002.

SANTOS, E. P. Função Afim y = ax + b: A articulação entre os registros

gráficos e algébricos com o auxilio de um software. Dissertação (Mestrado em

Ensino da Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo,

2009.

111

SILVA, Sílvio Alves. Trigonometria no triângulo retângulo: construindo uma

aprendizagem significativa. Dissertação de Mestrado, PUC/SP, 2005.

SÃO PAULO. Secretaria de Educação, Caderno do professor: matemática,

ensino médio- 2ª série. V. 1, São Paulo: SEE, 2009.

__________. Secretaria de Educação, Proposta Curricular do Estado de São

Paulo: Matemática, Coordenação geral, Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009.

__________. Secretaria de Educação, Saresp 2007: Relatório Pedagógico :

Matemática , Coordenação geral, Maria Inês Fini , São Paulo: SEE, 2008b.

112

ANEXO I

Questionário respondido pelos alunos participantes da pesquisa.

1) Você já havia feito alguma atividade de matemática utilizando esse software ou outro parecido?

( ) Sim ( ) Não

2) O software te ajudou a compreender melhor os gráficos das funções feitas em sala de aula?

( ) Sim ( ) Não

3) Antes de utilizar o software o seu conhecimento relativo às funções era o mesmo?

( ) Sim ( ) Não

4) O que mudou no seu conhecimento sobre gráficos das funções dadas, após a utilização do

software?_________________________________________________________________________

5) Você acredita que a utilização do software em aulas pode melhorar a aprendizagem do aluno?

( )Sim ( ) Não

6) Foi difícil manusear o software para responder as questões dadas?

( ) Sim ( ) Não

7) Em sua opinião, quais foram as vantagens de utilizar softwares em aulas de matemática?

_____________________________________________________________________________

Quadro 33 – Questionário de pesquisa sobre o uso do software Graphmatic

1)Você já havia feito alguma atividade de matemática utilizando esse software ou outro

parecido?

Na resposta desta pergunta 100% dos alunos, ou seja, os 16 alunos que

participaram da pesquisa nunca utilizaram um software ou um programa

educacional no processo de ensino aprendizagem.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sim Não

Gráfico 22 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à primeira pergunta do

questionário

113

2) O software te ajudou a compreender melhor os gráficos das funções feitas em sala de

aula?

Nos gráficos realizados pelo software Graphmatic, os 16 alunos que

participaram da pesquisa, afirmaram que tiveram melhor compreensão.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

SIM Não

Gráfico 23 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à segunda pergunta

do questionário

3) Antes de utilizar o software o seu conhecimento relativo às funções era o mesmo?

Os 16 alunos que participaram da pesquisa, afirmaram que com o uso do

software, houve alteração no conhecimento relativo à função.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sim Não

Gráfico 24 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à terceira pergunta do

questionário

114

4) O que mudou no seu conhecimento sobre gráficos das funções dadas, após a utilização do

software?

Somente uma dupla não respondeu a pergunta que tratava das mudanças

ocorridas no conhecimento após a utilização do software, os demais afirmaram que

houve mudanças no conhecimento e que com o seu uso a aprendizagem é

facilitada, conforme veremos abaixo.

DUPLA A

“Eu consegui entender o que é período, imagem e amplitude, que eu não tinha entendido”

DUPLA B

“Ele é mais fácil de entender, pois ele poupa muito tempo e assim se entende melhor o gráfico em si”

DUPLA C

“ A coisa esta melhor para nos alunos”

DUPLA D

“ Pude compreender o que é amplitude, período e etc.”

DUPLA E

“Não respondeu”

DUPLA F

“Ficou mais fácil de resolver os gráficos”

DUPLA G

“Eu comecei a entender melhor os gráficos”

DUPLA H

“Mudou, que antes não compreendia, era como se antes eu só soubesse na teoria e agora na

pratica”

Quadro 34 – Respostas referentes a pergunta 4, sobre o uso do software Graphmatic

115

5) Você acredita que a utilização do software em aulas pode melhorar a aprendizagem do

aluno?

As oito duplas, ou seja, os 16 alunos da pesquisa acreditam que a utilização do

software em aulas pode melhorar a aprendizagem do aluno.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sim Não

Gráfico 25 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à quinta pergunta do

questionário

6) Foi difícil manusear o software para responder as questões dadas?

Quatro alunos, ou seja, duas duplas sentiram dificuldades de manusear o software,

enquanto que 12 alunos, ou seja, seis duplas não sentiram dificuldades.

0

1

2

3

4

5

6

Sim Não

Gráfico 26 – Representação gráfica das respostas dos alunos referente à sexta pergunta do

questionário

116

7) Em sua opinião, quais foram as vantagens de utilizar softwares em aulas de matemática?

As 16 duplas afirmaram que houve vantagens em ter utilizado os gráficos,

tornando as aulas mais interessante, facilitando dessa maneira a compreensão.

DUPLA A

“As vantagens são que o gráfico já esta pronta e só precisa atribuir os valores”

DUPLA B

“ Aprende mais e em menor tempo”

DUPLA C

“ Para a melhoria da matéria ”

DUPLA D

“ Foi uma aula prática, aonde os alunos aprendem mais”

DUPLA E

“ Ficou mais fácil de entender a matéria “

DUPLA F

“As vantagens foram que é só jogar a conta que aparece o gráfico”

DUPLA G

“É mais interessante”

DUPLA H

“Nós compreendemos melhor”

Quadro 35 – Respostas referentes a pergunta 7, sobre o uso do software Graphmatic

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