PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS …Primeiramente, a Deus por ter-se mostrado...
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Luiz Gonzaga Alves da Cunha
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE
DE SUAS DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM
EM AMBIENTES EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS
Belo Horizonte
2014
Luiz Gonzaga Alves da Cunha
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE
DE SUAS DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM
EM AMBIENTES EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS
Dissertação apresentada ao programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para a obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2014
FICHA CATALOGRÁFICA A SER
ELABORADA PELO BIBLIOTECÁRIO
Luiz Gonzaga Alves da Cunha
ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE DE SUAS
DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTES
EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
_______________________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares
(Orientador e Presidente da Banca) Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas
COMISSÃO AVALIADORA:
_________________________________________________________
Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos Universidade Cruzeiro de Sul - UNICSUL
_________________________________________________________
Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas
Belo Horizonte, 15 de dezembro de 2014.
Dedico este trabalho a Deus, que durante todo esse tempo
me guardou e, nas horas mais difíceis, manteve minhas
lagrimas enxutas. Amo-te, meu Deus Pai, muito obrigado por
me dar forças para seguir em frente.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, a Deus por ter-se mostrado presente em todos os momentos,
efetuando os milagres quando eu mais precisava.
A Nossa Senhora, Mãe de Deus, por ter-me acompanhado nas inúmeras viagens
realizadas no intuito de tornar esse sonho realidade.
A meus pais, pelos ensinamentos e carinhos dispensados enquanto estiveram
presentes no meio de nós.
A minha esposa Deisymar, sem a qual não teria sequer começado este trabalho,
pelo apoio incomensurável e por acreditar mesmo quando eu não acreditava.
Aos meus filhos Gabriela e Miguel, pela paciência apresentada perante minha
ausência e nos momentos de grandes tensões.
Aos professores do programa, em particular à professora Maria Clara Resende Frota,
pela inspiração dada com suas aulas e que, por motivos alheios à sua vontade, não pôde
orientar esse pesquisador.
Ao professor orientador Dr. João Bosco Laudares, por acreditar nas minhas ideias,
pelo suporte e auxílio a esta pesquisa e pela figura humana que é, sabendo entender as
minhas limitações e imprevistos durante o Mestrado.
Aos meus alunos, que contribuíram muito nos momentos que não puderam contar
com minha presença em sala de aula e compreenderam a necessidade das inúmeras
viagens.
.....Não é o conhecimento e sim o ato de aprendizagem, não a
posse e sim o ato de chegar lá, que concedem o maior gozo.
(Carl Friedrich Gauss)
RESUMO
Esta Dissertação resultou de uma Pesquisa realizada num Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática. O Objeto de Aprendizagem foi construído a partir de uma
metodologia que privilegiou três grandes pilares: sequência didática, informática
educativa e objeto de aprendizagem. Os sujeitos desta pesquisa foram estudantes
de Engenharia que cursavam a disciplina de Cálculo. O Produto derivado da
Pesquisa se constituiu de um Objeto de Aprendizagem - OA, com APLETS a partir
do software GEOGEBRA, construído com atividades para o estudo do
comportamento de funções por meio de derivadas. Foi explorada a capacidade de
visualização pela interpretação gráfica, com ênfase na utilização da interpretação
geométrica do valor da derivada para reconhecimento de crescimento e
decrescimento, pontos máximo e mínimo, ponto de inflexão e concavidade de uma
função. Foi realizado um estudo sobre a abordagem deste conteúdo em livros de
Cálculo comumente adotados no Brasil. A análise dos dados foi direcionada para a
reação dos alunos durante o processo diante às construções dos conceitos que
estavam construindo e concluir acerca das contribuições que o O.A. construído pode
proporcionar ao ensino de Cálculo.
Palavras-chave: Sequência Didática. Informática Educacional. Comportamento de
funções com derivadas.
ABSTRACT
This Dissertation resulted from a research performed in a Master's Degree in
Teaching Science and Mathematics. The Learning Object was constructed from a
methodology based on three pillars: Didactic Sequence, Educational Computing and
Learning Object. The subjects were students from an engineering course in the
discipline of Calculus. The derived Product of the research consisted of a Learning
Object - LO, with APPLETS from the GeoGebra software, built with activities to study
the behavior of functions through the derivatives. It was explored the viewing
capability through graphical interpretation, emphasizing the use of the geometric
interpretation of the derivative value for recognition of increase and decrease,
maximum and minimum point, inflection point and concavity of a function. There was
a study about this content in Calculus generally adopted in Brazil. Data analysis was
focused on the reaction of the students during the process before the construction of
the concepts that were building and conclude about the contributions of the O.A. built
can provide the teaching Calculus.
Keywords: Didactic Sequence. Educational Computing. Behavior of functions with
derivatives.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – Sistema de referência 37
FIGURA 2– Representação geométrica de uma função 37
FIGURA 3 – Inclinação da reta tangente em um intervalo onde a função é
crescente, decrescente ou constante 38
FIGURA 4 – Horizontalidade da reta tangente em um ponto máximo ou mínimo 48
FIGURA 5 – Concavidade da curva segundo a inclinação (ou taxa de variação)
da reta tangente 39
FIGURA 6 – Pontos de inflexão (onde a derivada de 2a ordem é nula) 40
FIGURA 7 – Visão parcial do menu – Sequência 1 53
FIGURA 8 – Gráfico da Atividade 1 53
FIGURA 9 – Questões da Atividade 1 54
FIGURA 10 – Gráfico da Atividade 2 55
FIGURA 11 – Questões da Atividade 2 56
FIGURA 12 – Conclusão da Sequência 1 (Atividades 1 e 2) 56
FIGURA 13 – Visão parcial do menu – Sequência 2 57
FIGURA 14 – Gráfico da Atividade 3 58
FIGURA 15 – Gráfico da Atividade 3 (com recursos ativos) 58
FIGURA 16 – Questões da 1a observação (Atividade 3) 59
FIGURA 17 – Questões da 2a observação (Atividade 3) 60
FIGURA 18 – Questões da 3a observação (Atividade 3) 61
FIGURA 19 – Questões extras da 3a observação (Atividade 3) 62
FIGURA 20 – Gráfico da Atividade 4 62
FIGURA 21 – Gráfico da Atividade 4 (com recursos ativos) 63
FIGURA 22 – Questões da 1a observação (Atividade 4) 64
39
FIGURA 23 – Questões da 2a observação (Atividade 4) 65
FIGURA 24 – Questões extras da 2a observação (Atividade 4) 65
FIGURA 25 – Conclusão da Sequência 2 (Atividades 3 e 4) 66
FIGURA 26 – Visão parcial do menu – Sequência 3 67
FIGURA 27 – Gráfico do teste 1 67
FIGURA 28 – Gráfico do teste 2 68
FIGURA 29 – Gráfico do teste 3 69
FIGURA 30 – Gráfico do teste 4 69
FIGURA 31 – Visão parcial do menu – Sequência 4 71
FIGURA 32 – Gráfico da Atividade 5 71
FIGURA 33 – Gráfico da Atividade 6 72
FIGURA 34 – Conclusão da Sequência 4 (Atividades 5 e 6) 73
FIGURA 35 – Visão parcial do menu – Sequência 5 74
FIGURA 36 – Gráfico da Atividade 7 74
FIGURA 37 – Gráfico da Atividade 8 75
FIGURA 38 – Conclusão da Sequência 5 (Atividades 7 e 8) 76
FIGURA 39 – Visão parcial do menu – Sequência 6 77
FIGURA 40 – Gráfico da Atividade 9 78
FIGURA 41 – Gráfico da Atividade 10 78
FIGURA 42 – Conclusão da Sequência 6 (Atividades 9 e 10) 79
FIGURA 43 – Visão parcial do menu – Sequência 7 80
FIGURA 44 – Gráfico do teste 5 80
FIGURA 45 – Questões do teste 5 81
FIGURA 46 – Gráfico do teste 6 81
FIGURA 47 – Questão do teste 6 82
FIGURA 48 – Visão parcial do menu – Sequência 83
FIGURA 49 – Gráfico do teste 7 83
FIGURA 50 – Gráfico do teste 8 84
FIGURA 51 – Gráfico do teste 9 84
FIGURA 52 – Laboratório de informática da UNIPAC 86
FIGURA 53 – Menu do Objeto de Aprendizagem (1a versão) 87
FIGURA 54 – Tela principal do Objeto de Aprendizagem (Versão atual) 87
FIGURA 55 – Visualização de gráficos na 1a versão e na versão atual 88
FIGURA 56 – Visão simultânea da Atividade 1 e seu gráfico 88
FIGURA 57 – Realização das atividades pelos alunos 89
FIGURA 58 – O professor nos papeis de observador e mediador 89
FIGURA 59 – Os alunos registram suas observações 90
FIGURA 60 – Grupos de alunos socializando resultados e conclusões 90
FIGURA 61 – Registro da conclusão – dupla 3 93
FIGURA 62 – Registro da conclusão – dupla 7 94
FIGURA 63 – Registro da conclusão – dupla 6 95
FIGURA 64 – Registro da conclusão – dupla 2 96
FIGURA 65 – Registro da conclusão – dupla 3 97
FIGURA 66 – Registro da conclusão – dupla 13 98
FIGURA 67 – Registro da conclusão – dupla 12 99
FIGURA 68 – Registro da conclusão – dupla 1 101
FIGURA 69 – Registro da conclusão – dupla 9 101
FIGURA 70 – Registro da conclusão – dupla 8 103
FIGURA 71 – Registro da conclusão – dupla 6 103
FIGURA 72 – Registro da conclusão – dupla 11 105
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 – Livros didáticos avaliados 47
QUADRO 2 – Temas analisados 48
QUADRO 3 – Abordagens analisadas (por tema) 48
QUADRO 4 – Avaliação dos livros segundo a abordagem de cada tema 49
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 1 93
GRÁFICO 2 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 2 96
GRÁFICO 3 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 4 98
GRÁFICO 4 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 5 102
GRÁFICO 5 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 6 104
LISTA DE SIGLAS
CBR – Calculator Based Ranger
CD – Compact Disk
CES – Câmara de Educação Superior
CNE – Conselho Nacional de Educação
DCN’s – Diretrizes Curriculares Nacionais
GRUPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de
Matemática
MEC – Ministério da Educação e Cultura
OA – Objetos de Aprendizagem
PCN´s – Parâmetros Curriculares Nacionais
PINEM – Práticas Investigativas em Ensino de Matemática
PUC/MINAS – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
PROLICEN – Programa de Licenciatura
UFV – Universidade Federal de Viçosa
UNESP – Universidade do Estado de São Paulo
UNIPAC – Faculdade Presidente Antônio Carlos de Ipatinga
TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 18
1.1 Questão 20
1.2 Objetivo geral 20
1.3 Objetivos Específicos 20
1.4 Estrutura da Dissertação 21
2 A UTILIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA, DA INFORMÁTICA EDUCATIVA E DOS OBJETOS DE APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVAS DE MUDANÇAS PARA O ENSINO DE CÁLCULO
22
2.1 O Ensino de Cálculo 22
2.1.1 A Contribuição do Cálculo na formação do Engenheiro 26
2.2 Sequência Didática 28
2.3 Informática Educativa 31
2.3.1 Informática Educativa e o Ensino de Matemática 34
2.3.2 Uma Abordagem Conceitual de Função, seu Comportamento
Gráfico e seu Ensino por meio da Informática Educacional 35
2.3.3 Informática Educativa e o Ensino de Cálculo 42
2.4 Objetos de Aprendizagem 44
3 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS PARA ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES
47
4 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA 51
4.1 Primeira Sequência: Atividades 1 e 2 52
4.2 Segunda Sequência: Atividades 3 e 4 57
4.3 Terceira Sequência: Testes 1 a 4 66
4.4 Quarta Sequência: Atividades 5 e 6 70
4.5 Quinta Sequência: Atividades 7 e 8 73
4.6 Sexta Sequência: Atividades 9 e 10 76
4.7 Sétima Sequência: Testes 5 e 6 79
4.8 Oitava Sequência: Testes 7 a 9 82
5 APLICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES UTILIZANDO O OBJETO DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTE INFORMATIZADO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
85
5.1 aplicação das sequências de atividades 85
5.2 Procedimento de análise dos resultados 91
5.2.1 Análise dos dados 92
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 106
REFERÊNCIAS 111
APÊNDICE 115
ANEXO 149
18
1 INTRODUÇÃO
A vida estudantil deste pesquisador ocorreu nas décadas de 70 e 80, em
escolas públicas e privadas. No sistema de ensino dessa época, predominava a
metodologia tradicional cujas aulas tinham características expositivas. Com isso os
estudantes, inconscientemente, assumiam uma postura passiva diante o professor e
o processo de “construção” de seu conhecimento não acontecia.
No início da década de 90, cursando Licenciatura em Matemática na
Universidade Federal de Viçosa (UFV), participou do Projeto denominado
PROLICEN (Programa de Licenciatura), elaborado e executado pelo Departamento
de Educação da UFV e financiado pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC). Por
meio desse Projeto, teve a oportunidade de conhecer a realidade do Ensino de
Matemática nas escolas públicas da cidade de Viçosa/MG e as práticas educativas
utilizadas pelos professores dessa disciplina, e constatou que as aulas expositivas
ainda eram exclusivas dentro da sala de aula.
Incomodado com essa realidade, este pesquisador iniciou estudos na
intenção de conhecer novas formas de ensinar Matemática como alternativa às
aulas exclusivamente expositivas recorrentes, até então. Buscava-se tornar o
estudante mais ativo em sala de aula, fazendo-o construtor do próprio
conhecimento.
No final década de 90, ao ingressar no curso de Especialização em Educação
Matemática (Unesp/Rio Claro), seus estudos se intensificaram e, por meio deles
conheceu novas tendências dessa campo de pesquisa e novas metodologias de
ensino.
Em 2012, como mestrando no Programa de Pós-graduação em Ensino de
Ciências e Matemática da PUC/Minas, participou dos grupos de pesquisas PINEM1 e
GRUPIMEM2, em que surgiram propostas de trabalhos acadêmicos que auxiliassem
os professores de Matemática a diversificarem suas práticas docentes.
Este trabalho acadêmico que ora se apresenta está no interior do projeto
Estratégias de Ensino e Aprendizagem de Matemática e Estatística na Educação
Superior: Repensando Ambientes de Aprendizagem patrocinado pela FAPEMIG por
meio do Edital 01/2012 de Demanda Universal e cujo número do processo é CHE–
1 Práticas Investigativas em Ensino de Matemática
2 Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática
19
APQ–00992–12 e é resultado de uma autocrítica realizada por este pesquisador
acerca de suas metodologias em sala de aula. Por meio dessa autocrítica,
constatou-se a necessidade de diversificar a forma de ministrar suas aulas com o
intuito de promover uma maior interesse por parte dos estudantes. Assim, a criação
de uma metodologia diferenciada para abordar o estudo do comportamento de
funções por meio de suas derivadas tornou-se o foco desta pesquisa.
Atento a esse foco e visando agregar valor às aulas, criou-se uma
metodologia a fim de permitir que o estudante, por meio de suas ações, visualize,
experimente, interprete e conjecture acerca daquilo que está sendo estudado. Nesse
sentido, esta pesquisa foi fundamentada em três pilares: a sequência didática, a
informática educacional e objetos de aprendizagem. A intenção foi estimular a ação
do aluno em resposta à passividade presente em uma aula exclusivamente
expositiva e evidenciar a construção da aprendizagem.
Ao se pensar em uma prática educativa que trata das relações interativas em
sala de aula, se tem a análise do papel do professor e do aluno nesse ambiente,
assim como a distribuição do tempo e da organização dos conteúdos. Nesse
sentido, Zabala (1998) apresenta a sequência didática como um conjunto de
atividades que, organizados de tal forma, dão sentido àquilo que está sendo
ensinado e não tem um fim em si mesma, promovendo, assim, a interação entre os
objetos estudados dando significados a cada um deles.
Na perspectiva de estimular a ação do aluno durante o processo de
aprendizagem, a utilização de Objetos de Aprendizagem respaldada pela Informática
Educacional pode impulsionar o rendimento e a aprendizagem do conteúdo
matemático. Kenski (2011) defende a ideia de que a tecnologia utilizada com
criatividade pode alterar a rotina existente dentro de sala de aula, aumentando o
interesse e a colaboração entre os alunos, tornando-os, assim, em cidadãos
participativos. Essa nova realidade em sala de aula proporciona a criação de
equipes de trabalho (professor-aluno) que se tornam cúmplices na construção e
aprofundamento do conhecimento.
A estratégia a ser utilizada nesta pesquisa se resume em trabalhar com uma
sequência didática com o auxílio de ferramentas computacionais, em particular com
um objeto de aprendizagem baseado em applets (pequenos programas na
linguagem JAVA) que, por sua vez, serão construídos por meio de um software livre
20
de geometria dinâmica, o GEOGEBRA. A proposta é estimular o aluno a aprender, a
elevar sua autoestima e a superar sua defasagem.
Neste sentido, no primeiro semestre de 2014, vinte e oito alunos do segundo
período de Engenharia Civil foram divididos em duplas e apresentados à Sequência
Didática e ao Objeto de Aprendizagem presentes nesta Pesquisa com o intuito de
responder a seguinte questão.
1.1 Questão
Quais as contribuições que um Objeto de Aprendizagem pode proporcionar
ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de torná-lo uma alternativa
à aula exclusivamente expositiva?
1.2 Objetivo Geral
Criar um Objeto de Aprendizagem capaz de propor alternativas metodológicas
ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de reduzir a defasagem em
sua compreensão.
1.3 Objetivos Específicos
Com o intuito de atingir o objetivo geral desta pesquisa, definiram-se os
objetivos específicos listados a seguir:
a) identificar nas Diretrizes Curriculares do curso de Engenharia a
contribuição da Matemática/Cálculo na formação desse profissional;
b) identificar em livros de Cálculo as abordagens metodológicas sobre o
estudo do comportamento de funções;
c) criar um Objeto de Aprendizagem com atividades interativas norteadas por
uma sequência didática com base na Informática Educativa;
d) verificar as contribuições que o Objeto de Aprendizagem pode proporcionar
ao ensino de Cálculo por meio do relacionamento e interação dos estudantes com o
tema estudado.
21
1.4 Estrutura da Dissertação
A estrutura desta dissertação é constituída de 6 capítulos, incluindo a
introdução no capítulo 1 e as considerações finais no capítulo 6.
No capítulo 2, encontra-se a fundamentação teórica que norteou esta
pesquisa. Aqui se apresenta a sequência didática, a informática educacional e os
objetos de aprendizagem como ferramentas metodológicas alternativas às aulas
expositivas no ensino de Matemática e de Cálculo.
No capitulo 3, discorre-se acerca da metodologia utilizada nesta pesquisa.
Destaca-se, aqui, a análise realizada nos livros didáticos de cálculo sobre suas
abordagens ao “tema estudo do comportamento de funções por meio de derivadas”,
com o intuito de selecionar os livros didáticos que atenderam à proposta desta
pesquisa e que inspiraram as atividades elaboradas.
No capítulo 4, foi apresentada a sequência didática de atividades elaboradas
e o objeto de aprendizagem criado para implementá-las.
No capítulo 5 buscou-se, primeiramente, apresentar os sujeitos participantes
da pesquisa e o ambiente em que esta foi realizada e, em seguida, as análise dos
resultados foram relatados, onde buscou-se compreender como ocorreu as
observações realizadas.
Finalmente, no capítulo 6, apresentaram-se as considerações finais e as
reflexões sobre as contribuições da metodologia elaborada para o processo de
ensino e aprendizagem sobre o estudo do comportamento de funções por meio de
derivadas.
Como Produto final desta Pesquisa, foi elaborado um Objeto de
Aprendizagem compostas por dez atividades e dez testes distribuídos em oito
sequências. Este produto educacional contém um CD com o software que será
utilizado como apoio à execução das atividades e um Caderno de Atividades com
todas as atividades e testes propostos.
O Apêndice desta Dissertação divide-se em duas partes:
Apêndice A: encontra-se o Caderno de Atividades com as sequências
aplicadas aos alunos.
Apêndice B: encontra-se um CD contendo o Produto Educacional
completo elaborado a partir do Caderno de Atividades e o software
educacional CompFunção.
22
2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA, INFORMÁTICA EDUCATIVA E OBJETOS DE
APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVAS PARA O ESTUDO DO
COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES NA DISCIPLINA DE CÁLCULO
No processo de ensinar e aprender, as relações entre professor e aluno,
embora muitas vezes complexas, são peças fundamentais para que a aprendizagem
ocorra efetivamente. Essas relações envolvem interesses, motivações,
comportamentos pessoais de cada sujeito, mas também se caracteriza pela seleção
de conteúdos, organização, sistematização didática, a fim de facilitar a
aprendizagem dos alunos.
Cabe aos professores estimular a criatividade e prever diferentes caminhos
para a aprendizagem de conceitos e resultados importantes da Matemática. O
grande desafio é organizar situações didáticas que possam contribuir na
transformação do saber cotidiano para o saber escolar.
No intuito de promover essa transformação, busca-se nesta pesquisa, criar
um elo entre a sequência didática, a informática educacional e os objetos de
aprendizagem a fim de permitir a exploração e interação de diversos temas do
Cálculo Diferencial e Integral em busca de aprendizagem efetiva.
2.1 O Ensino de Cálculo
No Brasil, a partir da década de 90, com a elaboração dos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN´s), o sistema conteudista passa a ser questionado e
um novo pensamento surge, classificando as competências por áreas de
conhecimento. A proposta era obter um ensino em que o conteúdo não seja visto
como fim em si mesmo, mas, ao invés disso, a permitir desenvolver capacidades de
produzir e usufruir dos bens culturais, sociais e econômicos. Com isso, a Matemática
passa a ser tratada como uma disciplina com potencial interdisciplinar.
Nesse sentido, torna-se importante conhecer e tomar propriedade do objeto
de estudo e de seu significado, de forma que o professor e o aluno emitam opiniões
a respeito dele. Assim, é fundamental fazer a distinção entre definição e conceito,
pois com uma definição, ao ser formalizado com uma linguagem específica ou
simbólica, pode não se chegar ao entendimento de um conceito.
23
Conceituar antes de formalizar uma definição propicia uma aprendizagem
com compreensão. Ativar a cognição do aprendiz faz que o conhecimento seja retido
através da assimilação. Laudares (2013, p.8) afirma que “a partir da compreensão
conceitual, o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de generalidades e
abstração, e então formular a definição.”
Para conceituar, o professor apresenta situações matemáticas e não matemáticas da vida real, das ciências e da tecnologia, propondo o uso de analogias e metáforas, sempre associadas à resolução e análise de problemas, fomentando a atitude heurística do estudante. (LAUDARES, 2013, p.5)
Em suma, definição expressa um conceito, a partir de uma linguagem própria
e simbólica de uma ciência. (LAUDARES, 2013)
Nas Diretrizes Curriculares dos cursos de Engenharia, o Cálculo é colocado
“como formador de inteligência e um instrumento para o engenheiro, fomentando a
ideia da sua importância no cotidiano, onde a tecnologia da comunicação e
informação tem sido amplamente utilizada” (BRASIL, 2002). Nos livros de Cálculo,
as escritas dos autores confirmam a sua importância e deixam clara sua eficiência
quando se aplicam seus métodos e procedimentos nos mais variados campos do
saber.
Nos últimos anos, tem-se encontrado diversas pesquisas sobre temas
relacionados à Educação Matemática e sobre o processo de ensino e aprendizagem
da Matemática. No Ensino Superior, devido ao baixo rendimento dos estudantes, as
atenções estão voltadas para as disciplinas básicas dos cursos da área das ciências
exatas.
Inserido na área de estudo da Matemática, o Cálculo Diferencial e Integral é
foco em várias pesquisas, algumas já consolidadas enquanto outras ainda em
desenvolvimento. Constata-se que essas pesquisas abordam os mais variados
temas, dentre eles, pode-se destacar o estudo de diferentes práticas educacionais
na perspectiva de solucionar o problema da aprendizagem.
De acordo com essas pesquisas, um componente que muito influencia o
ensino do Cálculo é representado pelas dificuldades inerentes aos conceitos
estudados nessa disciplina. O entendimento desses conceitos, suas aplicações em
outros universos profissionais e os frequentes fracassos em seu aprendizado
motivaram, na década de 80, um movimento que veio a se chamar Reforma do
24
Cálculo (Conferência de Tulane), que discutiu as possíveis mudanças na forma de
ensinar essa disciplina.
Basicamente, a Reforma do Cálculo se caracterizava pelo uso de tecnologia
tanto para o aprendizado de conceitos e teoremas como para a resolução de
problemas. Stewart (2013) afirma que as discussões deram ênfase à compreensão
de conceitos e buscou mudar a maneira de ensinar o raciocínio conceitual, dando
origem ao que foi chamada de “Regra dos Três”, ou seja, todos os tópicos e
problemas devem ter abordagem numérica, geométrica e analítica. Posteriormente,
a verbalização veio a integrar os três elementos anteriores e passou a se chamar
“Regra dos Quatro”.
As mudanças no ensino de Cálculo sugeridas por esse movimento se
baseiam em focalizar o ensino de Cálculo nas ideias fundamentais ao invés de
enfatizar apenas os algoritmos de resolução, enfatizar a aplicação do Cálculo nas
mais diversas áreas do conhecimento e incorporar a tecnologia no currículo de
Cálculo.
Atualmente, o ensino do Cálculo vem privilegiando a simples transmissão de
conhecimentos, impedindo, assim, a compreensão dos conceitos. Essa pedagogia
tradicional baseia-se na exposição oral de conteúdos numa sequência
predeterminada, enfatizando a necessidade de exercícios repetitivos para garantir a
memorização dos conteúdos,
[...] um ensino tradicional, pensado em termos de conteúdos disciplinares, espelhou, ao longo dos anos, uma concepção de aprendizagem como “acumular conteúdos”. Ao se pensar o ensino e o currículo em termos de competências e habilidades, corre-se talvez o risco de, novamente adotar uma concepção restrita do que é aprendizagem, onde “acumular conteúdos” é apenas substituído por “acumular habilidades”. (FROTA 2002, p.11).
Porém, sugerir que o processo de ensino e aprendizagem de Cálculo deva
ser modificado conforme a proposta da Reforma do Cálculo não implica apenas a
modernização com a utilização de quaisquer recursos tecnológicos, mesmo porque,
estudantes com dificuldades em Matemática não suprirão suas necessidades com a
simples utilização de computadores, mas estes podem proporcionar melhores
compreensões dos conceitos estudados. De acordo Kenski (2011), atividades que
utilizam o apoio da informática educacional promovem ao estudante a oportunidade
de explorar, visualizar e representar o conceito matemático.
25
Disciplina básica e obrigatória na maioria dos cursos da área de exatas, o
Cálculo, dentre outras características, se destaca pelo estudo do movimento e da
variação. Tem o objetivo de organizar o pensamento do estudante e capacitá-lo a
empregá-la como regras e procedimentos em situações reais do dia a dia.
Considerando essa natureza dinâmica, o Cálculo, se for ministrado de forma
tradicional, não terá essa característica explorada, já que esse sistema de ensino
prioriza o algebrismo buscando solucionar os problemas por meio de fórmulas e
algoritmos de resolução. Daí a importância da Informática Educativa como apoio e
alternativa às metodologias existente para o ensino de Cálculo.
Stewart (2013) destaca a descoberta como a chave do ensino e estimula o
aluno a descobrir o Cálculo, mostrando sua utilidade e desenvolvendo
competências, sem deixar de lado a beleza dessa Ciência. Além disso, reforça a
importância da compreensão de conceitos, fazendo que elementos da Reforma
sejam contemplados sem esquecer o contexto da grade curricular tradicional.
Na preocupação de promover um ensino com compreensão, Stewart (2013),
ao longo de sua obra “Cálculo”, explora situações-problema que exemplificam os
conceitos básicos, além de utilizar a mídia e a tecnologia como apoio ao professor.
O autor, em seu diálogo com o estudante, enfatiza a importância da leitura e compreensão de cada seção do texto, antes de iniciar as resoluções dos exercícios propostos. Ressalta a importância de examinar as definições para entender o significado dos termos e também cria um ícone que adverte a possibilidade de erros, a partir de sua observação a um grande número de estudantes, num determinado erro. (VAZ, 2010, p.51)
Thomas (2009), em sua obra “Cálculo”, busca atender ao currículo universal
padrão, utilizando uma linguagem mais clara possível e tornando seu conteúdo mais
lógico. Sem se desviar do rigor matemático, trabalha com o formal e o informal,
explicitando suas diferenças, o que dá certa liberdade ao professor. A utilização da
mídia e da tecnologia é discreta, deixando a cargo do professor essa utilização.
Além disso, Thomas (2009) apresenta uma ênfase na modelagem e nas
aplicações do Cálculo. Para tanto, busca dados reais, e procura dar maior equilíbrio
aos métodos gráficos, numérico e analítico e apresenta discussões que, segundo o
autor, encorajam os estudantes a pensar a partir dos três campos propostos. Os
exercícios encontram-se agrupados segundo os conteúdos, aplicações ou uso de
tecnologias específicas e apresentam ícones de identificação.
26
Com o objetivo de aumentar a compreensão estudantil Anton, Bivens e Davis
(2007) criam problemas novos que estimulam a compreensão dos conceitos e
deixam mais claros os exemplos, acrescentando passos a estes. A utilização das
mídias e de tecnologias está presente ao longo do texto, porém podem ser usadas
conforme a necessidade. Os autores, buscam um equilíbrio no que denominam
“correto”, entre o rigor e a clareza e afirmam que, quando esses colidem, optam pela
clareza e defendem a importância de o estudante entender a diferença entre uma
demonstração precisa e um argumento informal. Optou-se, a seguir, para melhor
compreensão do leitor, estabelecer uma comparação, e sempre que possível, um
diálogo entre os autores, a partir dos estudos, em separado por autor, dos conceitos
pretendidos de Limite, Derivada e Integral.
Sabe-se que obter informações é o primeiro passo para o processo de
aprendizagem, mas é necessário relacionar, integrar, contextualizar e aprofundar os
níveis de descoberta. Dessa forma, é importante incorporar ao ensino de Cálculo a
ideia que Moran traz sobre o aprender.
Aprendemos quando vivenciamos, experimentamos, sentimos. (...). Aprendemos quando descobrimos novas dimensões de significação.(...). Aprendemos pela concentração em temas ou objetivos definidos (...) atentos ao que acontece ao nosso lado. Aprendemos quando perguntamos, questionamos. Aprendemos quando interagimos com os outros (...). Aprendemos pelo interesse, pela necessidade. Aprendemos mais facilmente quando entendemos o objetivo, a utilidade de algo. (MORAN, 2000, p. 23)
2.1.1 A Contribuição do Cálculo na formação do Engenheiro
As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas regulamentadoras
que orientam o planejamento dos sistemas de ensino. Inicialmente as DCNs eram
voltadas para a Educação Básica, e cada uma das suas modalidades (Ensinos
Fundamental e Médio) apresenta suas próprias diretrizes. A lei 9.1313 de 1995
outorgou à Câmara de Educação Superior do Conselho Nacional de Educação e do
Desporto a competência de deliberar acerca das diretrizes curriculares propostas
pelo Ministério da Educação e do Desporto, voltadas para os cursos superiores.
As DCNs dos cursos superiores objetivam a flexibilidade curricular e a
desburocratização dos cursos.
3 http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9131.htm
27
O Parecer CNE/CES 776/974 estabelece orientações para as DCNs de cursos
superiores.
(...) incentivar uma sólida formação geral, necessária para que o futuro graduado possa vir a superar os desafios de renovadas condições de exercícios profissionais e de produção do conhecimento, permitindo variados tipos de formação e habilitações diferenciadas em um mesmo programa. Estimular práticas de estudos independentes, visando uma progressiva autonomia profissional e intelectual do aluno. Encorajar o reconhecimento de conhecimentos, habilidades e competências adquiridas fora do ambiente escolar (...). (BRASIL, 2001)
Dessa forma, as DCNs garantem a aprendizagem igualitária assim como um
currículo mínimo, levando em consideração os diversos contextos em que os alunos
estão inseridos.
Em particular, os cursos de Engenharia apresentam um perfil onde se prevê o
uso da ciência e da tecnologia, fazendo que os profissionais dessa área sejam bem
qualificados. As DCNs das Engenharias destacam que a qualificação profissional
mais adequada envolve, dentre outras coisas, saber lidar com as informações,
trabalhar em equipe e ter interpretação dinâmica da realidade.
O novo engenheiro deve ser capaz de propor soluções que sejam não apenas tecnicamente corretas, ele deve ter a ambição de considerar os problemas em sua totalidade, em sua inserção numa cadeia de causas e efeitos de múltiplas dimensões. (BRASIL, 2001)
À procura de qualificar profissionais com essas características, as DCNs
propõem mudanças no sistema de ensino que até então privilegiava o acúmulo de
conteúdos na formação do profissional. Atualmente, espera-se que os cursos de
graduação possuam
(...) estruturas flexíveis, permitindo que o futuro profissional a ser formado tenha opções de áreas de conhecimento e atuação, articulação permanente com o campo de atuação do profissional, base filosófica com enfoque na competência, abordagem pedagógica centrada no aluno (...). (BRASIL, 2001).
Destaca-se aqui o perfil desejado dos egressos do curso de Engenharia,
segundo as DCNs.
4 http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf_legislacao/superior/legisla_superior_parecer77697.pdf
28
O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderá uma sólida formação técnico-científica e profissional geral que os capacite a absorver novas tecnologias, estimulando a sua atuação crítica na identificação e resolução de problemas, considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas da sociedade. (BRASIL 2001)
Existem, nos cursos superiores, disciplinas que são rotuladas devido à sua
dificuldade ou por exigirem abordagens bem diferentes daquelas a que os alunos
estão acostumados. Nos cursos de Engenharia, uma das disciplinas que mais
acumula rótulos é o Cálculo Diferencial e Integral. Por ser uma disciplina do núcleo
básico, é o primeiro contato do aluno com a Matemática, e muitos desses alunos a
encaram de forma diferente daquela que viram na formação básica. Assim, essa
disciplina representa um desafio para os estudantes.
O Cálculo Diferencial e Integral, considerado parte de um todo denominado
Matemática, segue vertentes básicas que o credencia a fazer parte das grades dos
cursos de graduação da área tecnológica, ou seja, tem o potencial de promover o
desenvolvimento do raciocínio lógico, da abstração, da generalização, da intuição,
da capacidade de fazer conjecturas, de resolver problemas e aplicar os
conhecimentos em outras áreas.
O domínio dos conceitos matemáticos, das demonstrações, das definições é
importante para a construção do conhecimento, e isso permite ao estudante a
validação de intuições na construção de técnicas aplicadas em diversas situações. O
conhecimento matemático tem um papel significativo na formação do individuo. É
com a ajuda dele que o estudante desenvolve sua capacidade de raciocínio, de
comunicação e o espirito crítico e criativo.
Quando se analisam os livros didáticos de Cálculo Diferencial e Integral e seu
ensino, nota-se que as habilidades e competências necessárias ao profissional da
Engenharia descritas nos DCNs podem ser adquiridas quando tal disciplina é
tradada de forma adequada.
2.2 Sequência Didática
O aprimoramento de qualquer atividade humana passa pelo conhecimento e
controle das variáveis que nela agem. Assim, conhecer as variáveis permite ao
professor planejar o processo educativo e realizar sua avaliação. Dessa forma, a
29
percepção da realidade da aula está ligada ao planejamento, à aplicação e à
avaliação. Para analisar a prática educativa, Zabala (1998) elege como unidade de
análise básica a atividade ou tarefa, pois ela possui, em seu conjunto, todas as
variáveis que incidem nos processos de ensino/aprendizagem.
Segundo Zabala (1998, p. 18), atividade ou tarefa pode ser um debate, uma
leitura, uma pesquisa bibliográfica, tomar notas, uma ação motivadora, uma
observação, uma aplicação, um exercício, um estudo e etc. Independentemente de
quais atividades serão adotadas, ressalta-se que, da forma como são planejadas,
determinam características peculiares a uma prática educativa, ou seja, quando se
planeja uma aula tradicional ou outra de perfil interativo, ambas com atividades, a
forma como elas estão articuladas e/ou ordenadas determina características
específicas em cada uma dessas aulas. Assim, o conceito de Sequência Didática,
tem como primeiro aspecto característico a importância da ordenação das práticas
pedagógicas.
Nesse Sentido, Zabala (1998) esclarece que a ordenação articulada das
atividades é o elemento diferenciador das práticas em sala de aula e que o primeiro
aspecto característico seria o tipo de ordem em que se propõem as atividades. A
sequência considera a importância das intenções educacionais na definição dos
conteúdos de aprendizagem e o papel das atividades propostas.
Assim, ZABALA (1998, p.18) define a sequência didática como “um conjunto
de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos
objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos
professores como pelos alunos”, portanto a intencionalidade para a aprendizagem
estará clara para o professor desde a concepção da atividade e compreendida pelo
aluno no decorrer do processo.
Para o sucesso da sequência didática, sua estruturação conceitual, o
envolvimento do professor, as necessidades da sala de aula e os relacionamentos
que se estabelecem nesse ambiente são relevantes. Portanto trata-se de uma
elaboração complexa.
Ao elaborar uma sequência de atividades, é necessário ter em mente os
objetivos a serem alcançados. Coll, citado por Zabala (1998, p.30), propõe uma
classificação dos diversos conteúdos (dados, habilidades, atitudes, conceitos e etc.)
que podem ser considerados objetivos de qualquer prática educacional e são
agrupados em conteúdos conceituais (fatos, conceitos e princípios), procedimentais
30
(procedimentos, técnicas e métodos) e atitudinais (valores, atitudes e normas),
classificação que corresponde, respectivamente, às perguntas: “O que se deve
saber?”, “O que se deve saber fazer?” e “Como se deve ser?”.
Zabala (1998) afirma que existem diversos tipos de sequência, e afirmar que
uma é melhor ou pior do que a outra é de difícil tarefa. O importante é conhecer as
possibilidades e as limitações de cada uma, a fim de adaptá-las às necessidades
educacionais e ao contexto.
Ao iniciar a sequência didática, o levantamento prévio dos conhecimentos dos
alunos é importante para auxiliar no planejamento das aulas e determinação das
atividades. Gradativamente, aumenta-se a complexidade das atividades, focando o
aprofundamento do conteúdo trabalhado. Ressalta-se, também, a necessidade de
discussões acerca dos resultados alcançados com o propósito de construir regras
básicas para uma melhor compreensão.
Para que as etapas do processo de aprendizado sejam completas, é preciso,
baseado em ZABALA (1998), que a sequência didática seja organizada de forma
que contemple os seguintes passos:
definir o momento em que o professor apresenta a situação-problema
aos alunos;
definir o momento de diálogo entre professor e aluno, buscando
generalizações das soluções;
definir o momento em que os alunos poderão colocar em prática o que
foi discutido anteriormente e o momento de o professor intervir à
procura de conclusões;
avaliar, corrigir e propor discussões para levantar pontos em que o
aprendizado não foi satisfatório.
A definição colocada por Zabala (1998) vem ao encontro da proposta desta
pesquisa devido ao fato de o pesquisador entender que atividades bem ordenadas e
articuladas entre si permitem a construção das conexões propostas entre os temas
31
matemáticos, proporcionando, assim, a interligação entre os conteúdos conceituais,
procedimentais e atitudinais e a aprendizagem com compreensão.
2.3 Informática Educativa
Atualmente a informação tem sido destaque em razão das mudanças que
estão ocorrendo em caráter social, econômico, político e tecnológico. Essas
mudanças se refletem nas culturas e costumes da sociedade, assim como na
educação. Isso se deve, em grande parte, pela revolução tecnológica e, em
especial, à informática.
A sociedade tem-se tornado mais dinâmica ao se relacionar com a
informação, gerando grandes desafios e, nesse contexto, o meio educacional tem
um papel primordial na preparação dos indivíduos para que estes não sejam
colocados à margem dessa sociedade.
Esse novo relacionamento com a informação dá uma nova dimensão ao que
chamamos de conhecimento. Segundo Costa e Oliveira (2004, p.25), “conhecimento
é toda alteração provocada no estado cognitivo, isto é, no seu estoque mental de
saber acumulado, proveniente de uma interação positiva com uma estrutura de
informação.”. Então o conhecimento e a informação estão numa mesma dimensão,
porém o conhecimento passa a ter o perfil de uma informação com valor agregado,
segundo Vieira (apud Costa e Oliveira 2004, p.25).
Uma vez que o sujeito cognitivo é formado em ambientes que proporcionam
novas relações com os objetos do conhecimento, as Escolas, ao assumirem as
novas tecnologias, tem instrumento de contribuição às práticas educativas.
Ao introduzir computadores nas Escolas como ferramenta de auxílio aos
professores em suas práticas, é necessário incorporá-los à cultura da Escola e no
dia a dia dos profissionais que os utilizarão. Para que isso seja possível, o
rompimento com as ideias tradicionais de ensino conduzem, com a utilização dos
computadores, às novas posturas dos professores e alunos. Um cenário de
curiosidade e questionador é criado em sala de aula de forma que, alunos e
professores, repensem suas maneiras de lidar com o objeto do conhecimento. Se as
atividades em sala de aula são criativas, os computadores introduzidos no meio
educacional são uma ferramenta metodológica muito útil para o processo de ensino
e aprendizagem e não apenas um adereço.
32
A utilização da tecnologia no ensino e aprendizagem da Matemática, segundo
Fiorentini e Lorenzato (2006, p.45), se intensificou, na década de 70, quando iniciou
o interesse de pesquisadores em Educação Matemática. Já a partir dos anos 90, a
terminologia TICs (Tecnologias de Informação e Comunicação) começa a ser
utilizada para generalizar os recursos tecnológicos e comunicacionais existentes.
Dentro dessa nova tendência, o professor de Matemática, ao manter sua
passividade em relação às inovações didáticas, dificulta a construção do significado
e o objeto trabalhado passa a ser um aglomerado de informações a ser memorizado.
Dessa forma, o aluno não é capaz de fazer conexões entre a linguagem utilizada
pelos livros e professores com os conhecimentos pré-existentes em sua estrutura
cognitiva.
O processo ensino-aprendizagem conduzido de maneira usual se apoia em
livros texto. Esses livros são estruturados de modo que os seus tópicos estão
encadeados numa sequência lógica, e cada tópico tem a sua coerência interna.
Esse material se diz potencialmente significativo quando o aprendiz for capaz de
relacioná-lo com conhecimentos existentes em sua estrutura cognitiva.
O uso das TICs no ensino de Matemática tem sido recomendado pelos
especialistas pelo fato de elas favorecerem atividades em que os alunos possam
trabalhar com diferentes representações, tais como tabela, gráficos e expressões
algébricas de forma rápida e articulada. Isso é especialmente recomendado para a
disciplina de Cálculo.
O acesso fácil a novas tecnologias dentro de um contexto educacional
impulsiona a formação dos indivíduos inseridos nele. Mas reitera-se que, por si só, a
tecnologia, em particular o computador, não agirá nessa transformação se não
houver interação entre o sujeito da aprendizagem e a informação, isto é, com o
objeto do conhecimento.
A construção do conhecimento depende da ação do sujeito sobre a informação disponível, de modo a atribuir-lhe significado. Essa ação constitui, portanto, o processo de apropriação da informação pelo sujeito, o que se dá numa relação dialética, estabelecida entre sujeito e objeto do conhecimento. (Costa e Oliveira, 2004, p.20)
O fato de o sujeito estar inserido numa sociedade de informação não lhe
assegura o conhecimento e muito menos a aprendizagem. O ambiente educacional
tem a responsabilidade de mediar o processo de transformação, favorecendo o
33
desenvolvimento das habilidades cognitivas. Segundo Costa e Oliveira (2004, p.20),
“a ação mediadora de indivíduos é que potencializará a formação dos significados
necessários à aquisição do conhecimento.”.
Dentro do processo de construção de conhecimento, o desenvolvimento
cognitivo do sujeito se dá por meio de uma relação sujeito-informação e, desta
forma, nos leva a refletir a respeito da utilização da tecnologia como ferramenta
auxiliar na formação do indivíduo.
Kenski (2007, p.103) defende a ideia de que a tecnologia utilizada com
criatividade pode alterar a rotina existente dentro de sala de aula, transformando-a
em interesse e colaboração, tornando os alunos em cidadãos participativos. Essa
nova realidade em sala de aula proporciona a criação de equipes de trabalho
(professor-aluno) tornando-se cúmplices na construção e aprofundamento do
conhecimento.
Assim, procura-se, segundo Borba e Penteado (2012), substituir velhas
práticas com o auxílio das novas tecnologias. Esses autores afirmam ainda que a
informática inserida na educação possui características específicas que estimulam a
substituição dos pensamentos lineares por pensamentos descontínuos, tais como
links, homepage e menus de softwares educacionais de geometria e funções.
As novas tecnologias podem trazer mudanças positivas para o processo de
ensino e aprendizagem. Elas transformam a realidade tradicional do ensino e
dinamizam o ambiente. Mas, para que essas mudanças surjam efeitos, é necessário
incorporá-las em um perfil pedagógico.
Pesquisas apontam que as TICs, no cenário educacional, desafiam o
professor a rever, ampliar seus conhecimentos e se preparar para enfrentar novas
situações. A introdução dessa tecnologia na prática docente promove demandas que
vão além da rotina de sala de aula.
Para atuar nessa nova realidade, o professor busca alternativas que o
auxiliem no processo de construção dos conhecimentos dos alunos, fazendo que
estes conquistem, cada vez mais, espaços no processo de negociação na sala de
aula.
As tecnologias são instrumentos para alternativa pedagógica que nunca
substituirá o professor. Elas abrem um leque de possibilidades de atuação para o
docente. O professor que optar por ser assistido pela tecnologia (computador) não
34
trabalha isolado, pois interações entre professor, aluno e tecnologia irão gerar
descobertas e aprendizados.
Assim, a literatura recomenda que, para que a utilização das TICs pelo
professor seja bem sucedida, é necessário ter a oportunidade de se preparar de
forma diferenciada e refletir sobre os problemas das práticas docentes.
2.3.1 Informática Educativa e o Ensino de Matemática
No processo de ensino e aprendizagem da Matemática, a utilização das
tecnologias como metodologia alternativa de ensino não terminará com suas
características, como a oralidade e a escrita. Pode-se observar que novas
características surgirão, serão transformadas ou reorganizadas. Nesse sentido,
Borba e Penteado reforçam que a informática,
(...) é uma extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseadas na simulação, na experimentação e em “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea. (Borba e Penteado, 2012, p.48)
No ensino da Matemática, a utilização das tecnologias é considerada como
uma prática alternativa que visa dar novos rumos às relações entre professor e
aluno. Seu uso vem aumentando sensivelmente e é de suma importância a reflexão
acerca da forma como estão sendo utilizadas.
Dentre as características que se pode apresentar na utilização da tecnologia
em sala de aula, e mais precisamente do computador, destaca-se a importância da
visualização e do pensamento visual no ensino e aprendizagem de Matemática.
Dentre as várias representações, a linguagem visual no estudo de cálculo revela-se de extrema importância, pois historicamente muitos dos conceitos foram desenvolvidos e chegaram à forma como são ensinados hoje, apoiados nos métodos intuitivos e visuais. (Frota e Couy, 2009, p.45)
A relevância do processo visual na aprendizagem de Cálculo também é citada
por Tall quando afirma que
35
negar a visualização é negar as raízes de muitas de nossas mais profundas ideias matemáticas. Nas fases iniciais do desenvolvimento da teoria de funções, limites, continuidade e etc., a visualização provou ser uma fonte fundamental de ideias. Negar essas ideias a estudantes é impedi-los o acesso às raízes históricas do assunto. (TAll, 1991, p.1)
Diversas formas de pensamentos visuais aparecem em grande escala quando
se utilizam os computadores em sala de aula. Mesmo que o aluno seja levado a uma
interpretação equivocada daquilo que se observou, a ação visual tem seu valor pelo
simples fato de ter proporcionado o espirito investigativo.
Outra característica que se deve levar em consideração quando se utilizam
tecnologias como práticas alternativas de ensino é a oportunidade de praticar a
simulação quantas vezes forem necessários devido ao dinamismo que tais recursos
proporcionam. Tal procedimento seria inviável se aplicados com a utilização de lápis
e papel apenas. Nesse sentido,
a simulação por computador permite que uma pessoa explore modelos mais complexos e em maior número do que se estivesse reduzido aos recursos de sua imagística mental e de sua memória de curto prazo, mesmo se reforçadas por este auxiliar por demais estático que é o papel.(Levy, 1993 p.77)
Assim, a visualização e a simulação são características a ser levadas em
consideração quando se decide introduzir tecnologias em sala de aula como auxílio
das práticas pedagógicas. Nas aulas de Matemática, sua utilização pode
proporcionar ambientes favoráveis ao aprendizado.
2.3.2. Uma Abordagem Conceitual de Função e seu Comportamento Gráfico e
seu Ensino por meio da Informática Educacional
A conceituação de uma função passa pela ideia de dois conjuntos cujos
elementos interagem entre si, cada um com seu par. Caraça (2005) salienta a
importância de expressar uma “lei” que promova essa interação.
À procura de uma regularidade nessa interação, utiliza-se uma tabela que
demonstre a variação dos elementos. A regularidade esperada não fica evidente na
simples leitura da tabela, porém dá uma ideia do comportamento da relação entre as
grandezas envolvidas. A lei apenas determina a correspondência existente.
36
Denominando de “lei quantitativa”, Caraça (2005) vê sua importância no auxílio do
entendimento e da explicação da realidade.
A noção de variável surge em consequência da necessidade de sair da
particularidade dos elementos da tabela e ir em direção à regularidade universal
entre quaisquer elementos dos conjuntos envolvidos. Como a variável é o
representante de cada elemento de um conjunto, surge assim a noção de domínio.
Dessa forma, Caraça se sente em condições de definir o instrumento
matemático que evidencia a correspondência entre os conjuntos.
Seja t a variável do conjunto dos tempos e e a variável do conjuntos dos espaços; a lei consiste na existência duma correspondência entre t e e, correspondência de que sabemos que é unívoca no sentido t → e. Diremos que a variável e é função da variável t e escrevemos simbolicamente e = f(t); à variável t, antecedente da correspondência, chamaremos variável independente; à variável e chamaremos variável dependente. (CARAÇA, 2005, p.121)
A partir do exposto, Caraça (2005, p.121), formaliza a definição de função:
Definição: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x), se entre as duas variáveis existe um correspondência unívoca no sentido x → y. A x chama-se variável independente, a y variável dependente.
Analiticamente, uma função tem um tratamento puramente matemático,
desprende-se dos valores da tabela e pode-se utilizar qualquer valor presente em
seu domínio para encontrar o número correspondente segundo a lei da função.
Surge, assim, segundo Caraça (2005), uma cadeia: lei quantitativa – função –
definição analítica. Salienta-se que uma função não é uma expressão analítica e,
sim, representada por ela.
Para representar graficamente uma função, é necessário criar um sistema de
referência. Tal sistema, como se pode ver na Figura 1, pode ser caracterizado da
seguinte forma:
Sejam no plano (fig. 31) duas rectas concorrentes que, por comodidade, se tornam perpendiculares entre si, e orientadas como a figura indica – uma vez orientado o eixo Ox como na fig. 30, toma-se para sentido positivo do outro eixo aquele sentido tal que o semi-eixo positivo Ox se pode levar à coincidência como semi-eixo positivo Oy por uma rotação de 90º feita no sentido directo ou positivo (contrário ao sentido do movimento dos ponteiros dum relógio). (CARAÇA, 2005, p.124)
37
Figura 1 – Sistema de referência
Fonte: CARAÇA, 2005 p.124
Uma vez criado o sistema de referência, a representação geométrica de uma
função pode ser construída. Por meio de sua expressão analítica, pode-se obter o
valor da variável dependente y, utilizando a variável independente x, formando,
assim, o ponto cujas coordenadas são x e y. Repetindo tal procedimento para a
quantidade de valores de x (do domínio) que se deseja, obtêm-se seus pares
correspondentes. Dessa forma têm-se os pontos necessários para a representação
geométrica da função tal como representado na Figura 2.
Figura 2 – Representação geométrica de uma função
Fonte: CARAÇA, 2005 p.125
Assim, com a unificação das representações analítica e geométrica, o
conceito de função fica completo e, dessa forma, pode-se partir para um estudo
mais significativo das relações existentes entre as variáveis dependentes e
independentes.
38
Essas relações geram uma série de comportamentos notáveis nos gráficos
das funções, que podem ser explorados de forma mais expressiva quando a
representação geométrica é utilizada. A exploração visual de uma função por meio
de seus gráficos é a proposta desse trabalho.
As análises dos comportamentos das funções, no que diz respeito ao seu
crescimento e decrescimento, pontos críticos e concavidades podem ser realizadas
por meio de suas representações geométricas ou por meio de suas derivadas de
primeira e segunda ordens. Segundo Courant,
se percorremos a curva y = f(x) na direção de valores crescente de x, então uma derivada positiva, f´(x)>0 em um ponto, significa curva crescente (valores crescentes de y); uma derivada negativa, f´(x)<0 significa curva decrescente. (COURANT, 2000, p.504)
De forma geral, a inclinação da reta tangente é determinante para concluir se
uma função é crescente, se é decrescente como está indicado na Figura 3. A
caracterização da direção de uma reta é definida por Courant (2000, p.501) como a
tangente trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo x.
Figura 3 – Inclinação da reta tangente em um intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante
Fonte: ANTON, 2007 p.268
Courant (2000) também apresenta um conceito para pontos máximos e
mínimos. Ele apresenta um ponto máximo como um cume mais alto do que os
pontos vizinhos e um ponto mínimo como um fundo de um vale mais baixo do que
os pontos vizinhos. Outra forma para caracterizar um ponto máximo ou mínimo seria
a horizontalidade da reta tangente à curva nesses pontos, como mostra na Figura 4.
39
Figura 4 – Horizontalidade da reta tangente em um ponto máximo ou mínimo
Fonte: STEWART, 2013 p.250
A análise das concavidades da curva em um ponto também é contemplada
por Courant (2000) quando salienta que a taxa de variação da derivada de primeira
ordem é determinada pelo estudo da derivada de segunda ordem. Ele afirma que
uma derivada de segunda ordem positiva determina uma taxa de variação da
derivada de primeira ordem positiva e, consequentemente, a concavidade da curva
será para cima. Por outro lado, uma derivada de segunda ordem negativa determina
uma taxa de variação da derivada de primeira ordem negativa e, consequentemente,
a concavidade da curva será para baixo. Tal afirmação está ilustrada na Figura 5.
Figura 5 – Concavidade da curva segundo a inclinação (ou taxa de variação) da reta tangente
Fonte: ANTON, 2007 p.270
É interessante verificar também que, conforme a Figura 5, em uma curva com
concavidade voltada para cima, as tangentes estão posicionadas abaixo desta curva
e em uma curva com concavidade voltada para baixo, as tangentes estão
posicionadas acima desta curva.
E, finalmente, os pontos de inflexão, segundo Courant (2000) podem ser
encontrados por meio da análise dos valores que anulam a derivada de segunda
ordem, conforme Figura 6.
40
Figura 6 – Pontos de inflexão (onde a derivada de 2a ordem é nula)
Fonte: ANTON, 2007 p.271
O Objeto de Aprendizagem criado nesta pesquisa é composto de atividades
interativas que buscam enriquecer a abordagem conceitual de Caraça e Courrant,
apresentada nos parágrafos anteriores. Com o apoio da informática educacional e
por meio dos applets construídos no GEOGEBRA (software livre de geometria
dinâmica), o dinamismo é incorporado aos gráficos, proporcionando, assim, a
visualização, a manipulação e a investigação acerca da relação existente entre as
funções e suas derivadas.
Uma vez que a sequência didática é baseada nas propostas dos livros
didáticos de Cálculo, e para que as atividades estejam em consonância com a
proposta desta pesquisa, faz-se necessária uma análise desses livros com o intuito
de identificar aqueles que possuem uma abordagem mais interativa sobre o estudo
do comportamento de funções por meio de suas derivadas.
Quando se pesquisa no campo da Educação Matemática, nota-se a
importância que se dá ao ensino de Funções. Pesquisas na área de Cálculo têm
apontado o conceito de Função como um obstáculo para a compreensão de pré-
requisitos importantes dessa disciplina. Além disso, a construção e o
reconhecimento dos gráficos de diversas funções também causam preocupações.
Para ilustrar, algumas situações em sala de aula apontam para as
dificuldades de resolver problemas de otimização quando os estudantes não
conseguem identificar as variáveis envolvidas o que, consequentemente, causa a
dificuldade de se obter a função necessária para a resolução.
Borba e Penteado (2012) afirmam que os livros didáticos dão destaque à
expressão analítica da função e quase nada aos aspectos gráficos e tabulares.
Enfatizam a importância de abordar tal tema, privilegiando várias representações
41
para uma mesma função, ou seja, a expressão algébrica, o gráfico e a tabela. Borba
e Confrey (1996) denominam essa abordagem de epistemologia das representações
múltiplas. E a inserção da tecnologia se faz necessária para tornar possível a
utilização dessa abordagem.
Assim, conhecer sobre funções passa a significar saber coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas. (BORBA E PENTEADO, 2012 p.32)
Os computadores e os softwares educativos possibilitam a construção de
gráficos de funções e, naturalmente, trazem a visualização para o centro do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, enfatizando o objetivo principal
dessa metodologia, ou seja, a experimentação. Essas tecnologias permitem que o
aluno experimente, simule e observe quantas vezes forem necessárias e, assim,
pode-se gerar conjecturas e debates.
Salienta-se aqui o papel de facilitador que o professor assume nesse
contexto, mediando as atividades por meio de questionamentos, deixando o aluno
como protagonista no processo. Por outro lado, o aluno assume o papel ativo
deixando de ser passivo em sala de aula. Assim, o professor como facilitador
promove oportunidades de o aluno vivenciar a Matemática no contexto tecnológico.
Podem-se citar pesquisas que destacam o potencial das tecnologias práticas
auxiliares para o ensino e aprendizagem de Funções. Borba e Penteado (2012)
discutem a respeito do uso de Tecnologias no estudo de Funções, utilizando um
detector sônico de movimento (Calculator Based Ranger - CBR) que, conectado à
calculadora gráfica, mede a distância entre esse sensor e um alvo. Os dados são
emitidos à calculadora que, por sua vez, plota um gráfico cartesiano (distância por
tempo).
Por meio dessa experiência, tem-se o potencial da utilização da calculadora
gráfica no estudo de Funções. Por outro lado, os autores apontam pontos
negativos devido às calculadoras gráficas possuírem resolução inferior à de um
computador. A facilidade de transporte e o espaço físico ocupado estão a seu
favor.
Borba e Penteado (2012) descrevem a utilização do CBR numa experiência
com funções numa abordagem geométrica e, em seguida, em sua forma tabular e
algébrica. Percebeu-se a potencialidade desse recurso na construção do
42
conhecimento do aluno. A Tecnologia oportunizou o entendimento, por parte dos
alunos, do gráfico de uma função como “fragmentos”. Segundo os autores, esse
tipo de entendimento é de crucial importância para o ensino de funções e possibilita
ao aluno representá-la de forma tabular e algébrica.
Em um segundo momento, os autores destacam a geração de um ambiente
questionador em sala de aula. Uma experiência realizada no curso de Biologia
mostra que o uso de softwares e calculadoras gráficas como ferramentas
metodológicas gera discussões sobre os coeficientes da função quadrática, por
meio de manipulações, simulando um laboratório.
As novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de Biologia ou de Física. (BORBA E PENTEADO, 2012, p. 37):
Em uma nova experiência, a exploração das relações entre os coeficientes
de uma função e seu gráfico, Borba e Penteado (2012) afirmam que as
conjecturas feitas pelos alunos nas atividades podem influenciar na melhoria da
aprendizagem. Dessa forma, a utilização de recursos tecnológicos no estudo de
funções possibilita o desencadeamento de questionamentos e situações a partir de
um problema.
Em relação ao Cálculo Diferencial e Integral, muitas contribuições das
tecnologias podem promover uma aprendizagem com compreensão já que, nessa
disciplina, as simulações e verificações de resultados auxiliariam na modelagem e
resolução de problemas.
2.3.3 Informática Educativa e o Ensino de Cálculo
Os alunos que ingressam na universidade nos cursos de exatas têm seu
primeiro encontro com a Matemática Superior na disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral. O Cálculo pode ser considerado como
(...) um ramo da Matemática que tem como principal objetivo o estudo do movimento e da variação. (...), o Cálculo pretende cumprir dois objetivos principais: um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações concretas. (LACHINI, 2001 p.147)
43
Pelo fato de os alunos apresentarem dificuldades nessa disciplina, a
comunidade acadêmica produz pesquisa no anseio de minimizar esse problema e,
consequentemente, combater o grande número de reprovações. Pesquisadores da
Educação Matemática investigam os fatores que determinam o fracasso
apresentado no processo de ensino e aprendizagem de Cálculo.
Um dos fatores apontados como causadores desse fracasso é a ação
tradicionalista dos docentes por meio de aulas exclusivamente expositivas. Para que
a informação se transforme em conhecimento, é necessário passar por um processo
de reestruturação que possibilite sua compreensão. Dessa forma, caminhos são
procurados a fim de promover a interação entre o sujeito e a informação, levando,
assim, a uma metodologia que conduza a essa reestruturação. A prática em sala de
aula com a informática indica novos pilares nos quais a nova postura docente possa
apoiar
Dentre esses caminhos, surge a proposta da utilização do computador e de
softwares gráficos como metodologia alternativa para a prática de ensino do Cálculo.
Como discutido anteriormente, tal ferramenta possibilita a visualização e o trabalho
com diversas representações (algébricas, gráficas e tabulares) além de proporcionar
ao aluno a simulação e a ação de investigar e experimentar.
Pesquisas mostram que o uso da tecnologia no ensino de Cálculo amplia as
possibilidades de trabalhar atividades por diferentes representações, tais como
tabela, gráficos, expressões algébricas de forma rápida e articulada.
Os softwares tais como o GeoGebra e o Winplot dentre outros, permitem a
visualização e a construção de gráficos de funções e cálculos de integrais definidas
com apoio visual sendo assim, eficientes para o ensino de funções, gráficos, limites,
derivadas, integrais, áreas e volumes.
Numa pesquisa realizada por Marin (2009), sobre o uso de tecnologias nas
aulas de Cálculo, o autor realizou entrevistas com treze professores, pretendendo
entender a utilização dessa ferramenta nas aulas de Cálculo.
A princípio, observou-se que o uso propicia a realização de tarefas que o lápis
e papel não permitiriam. Segundo Marin (2009), alguns conteúdos são mais
trabalhados com o uso de tecnologias, tais como os que envolvem gráficos e a
representação geométrica, ou seja, Funções, Coeficiente Angular, Reta Tangente,
Limites, Máximo e Mínimo de Funções, o início de Derivadas e Integrais.
44
Dessa forma, compreende-se o ganho dos docentes que exploram as
potencialidades das tecnologias para destacar um resultado ou convencer os alunos
a respeito de aspectos que seriam trabalhosos numa demonstração realizada de
forma tradicional.
2.4 Objetos de Aprendizagem
O conceito de material pedagógico tradicional, rígido e estático tem cedido
espaço para os materiais digitais e interativos. Essa nova tendência credencia o
objeto de aprendizagem com tais características a ser o modelo ideal de material
educacional na sociedade da informação em que vivemos.
O termo Objetos de Aprendizagem (OA) surgiu no início do século XXI e
passou a ser utilizado para se referir a recursos digitais. Atualmente, os objetos de
aprendizagem são considerados recursos importantes no processo de ensino e
aprendizagem por ter a potencialidade de simulação e animação. Destaca-se,
também, sua versatilidade, devido à possibilidade de sua utilização em diversos
ambientes de aprendizagem. Além disso, possui a capacidade de renovar as
práticas docentes por meio da interação com os objetos de estudo, permitindo que
professores e alunos explorem conceitos específicos em Matemática e em outras
áreas do conhecimento. Apesar de ser uma proposta recente, podem-se encontrar
várias pesquisas sobre esse tema, porém não há um consenso sobre sua definição.
Segundo Sá e Machado (2003, p.3), “uma definição para objetos de
aprendizagem pode ser recursos digitais, que podem ser usados, reutilizados e
combinados com outros objetos para formar um ambiente de aprendizado rico e
flexível”.
Já Gonzalez (2009) define Objetos de Aprendizagem “como recursos
envolvidos em atividades instrucionais, que carregam funções com objetivos de
ensino bem determinados, adaptáveis às necessidades, às habilidades, aos
interesses e ao estilo cognitivo de cada aprendiz.”
Para Wiley (2002), objetos de aprendizagem são elementos de um novo tipo
de instrução baseados em computadores. São fundamentados na programação
orientada a objeto (POO) no campo da ciência da computação e visa valorizar a
elaboração de pequenos componentes instrucionais que podem ser reutilizados em
vários contextos educacionais.
45
Para Tavares (2007, p. 124), um OA é um “recurso (ou ferramenta cognitiva)
auto consistente do processo ensino e aprendizagem, isto é, não depende de outros
objetos para fazer sentido.”. Essa definição dá um grau de generalidade no conceito
de O.A., pois, segundo ela, pode-se considerar um O.A., revistas, livros,
computadores dentre outros. Wiley (2009), restringe essa definição ao afirmar que
um OA é qualquer recurso digital a ser reutilizado para dar suporte ao ensino.
Outros autores concordam que objetos de aprendizagem devam ser
executados no computador ou acessados pela Internet, ser pequenos e objetivos, de
forma que possam ser aplicados, discutidos e concluídos no tempo de uma ou duas
aulas e ter um objetivo único de aprendizagem para propiciar ao aluno a
oportunidade de alcançá-lo. A interação é outra característica importante dos objetos
de aprendizagem. Os alunos devem estar em ampla comunicação com o sistema.
Essa interação pode ocorrer por meio de resolução de problemas, análises gráficas
e simulações.
Portanto, alguns dos conceitos apresentados submetem os OA’s ao uso das
tecnologias, sendo identificados por Sá e Machado (2003) como “recursos on-line ou
objetos de aprendizagem que podem ser criados em qualquer mídia ou formato:
applet java; animação flash; vídeo ou áudio clip; foto; apresentação PowerPoint;
website.”. Essa afirmação vem confirmar que um OA pode ser de fácil acesso, como
vídeo, música, ser visualizado a partir de apresentação do PowerPoint, ou envolver
programas mais elaborados, como o java ou flash, que exigem um entendimento das
linguagens de programação.
Os OA’s, ao serem utilizados, auxiliam os professores e alunos para o uso da
tecnologia (restringindo-se aos aspectos técnicos de manipulação, sem interferir na
complexidade do conteúdo), de criar situações desafiadoras para os alunos e
permitir reflexões sobre conceitos fundamentais em matemática. Assim, o professor
fará o papel de mediador, não correndo o risco de ser anulado dentro desse
processo.
Quando se decide utilizar um objeto de aprendizagem em sala de aula, o
professor o incorpora ao planejamento da aula, conhecendo a fundo o objeto
utilizado a fim de promover bom acompanhamento de seus alunos e prever
situações e perguntas que possam surgir. É, também, essencial a presença do
professor da disciplina abordada pelo OA, pois outro professor ou estagiário do
46
laboratório de informática nem sempre tem a formação adequada para orientar os
alunos quanto ao conteúdo abordado.
Diante as várias definições, este pesquisador, baseado em Wiley, considera
que um O.A. é um recurso digital e o define como uma sequência de atividades com
perfil pedagógico que visa levar à aprendizagem com suporte da informática.
Ressalta-se que a utilização de um OA não garante uma aprendizagem com
compreensão se o aluno não for levado à reflexão do conceito matemático abordado
e, além disso, busca apresentar vantagens em relação ao uso de materiais
manipulativos tradicionais, tais como lápis, papel e quadro-negro. Apesar do visual
interessante que um OA pode proporcionar isso não garante o aprendizado ou a
motivação dos alunos.
As escolhas desses recursos demandam critérios e análises para validar se o
objetivo serão o ensino e a aprendizagem ou somente diversão com visual coloridos
e estimulantes para os alunos. O poder contagiante do uso de tecnologias na
educação influencia professores e alunos, contudo sua utilização requer estratégias
convenientes, visando sempre atingir um objetivo pedagógico e não apenas
transformar o computador em um aparelho de entretenimento.
47
3 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS PARA ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA
DE ATIVIDADES.
Na intenção de seguir um caminho de aprendizado por meio da construção de
conceitos, o Objeto de Aprendizagem criado possui uma sequência de atividades
que proporciona aos estudantes a oportunidade de adquirir as habilidades e as
competências necessárias para sua formação. Para definir a metodologia a ser
utilizada para esse fim, realizou-se uma análise acerca das abordagens
apresentadas sobre o estudo de comportamento de funções por meio das derivadas
nos livros de Cálculo frequentemente adotados. Esta análise fundamentou a
proposta metodológica das atividades elaboradas e contribuiu para sua
caracterização.
Pelo fato do livro didático, no processo de ensino e aprendizagem em
Matemática, abrir perspectivas para aplicações dentro da própria Matemática assim
como em outras áreas de conhecimento, a seleção destes precisa ser precedida de
uma análise que justifique sua escolha.
Tendo em vista o objetivo geral e os objetivos específicos desta Pesquisa, a
análise realizada em livros didáticos referentes à disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral objetivou primeiramente conhecer a forma como o tema “estudo do
comportamento de funções por meio de suas derivadas” é apresentado pelos
autores e, em um segundo momento, verificar quais desses livros possuem uma
abordagem que vai ao encontro da proposta desta Pesquisa. Os livros selecionados
para a análise estão discriminados no Quadro 1.
Quadro 1 – Livros didáticos avaliados
Código Título Autores Editora Edição Ano
L1 Cálculo (v.1)
Howard Anton
Irl Bivens
Stephen Davis
Bookman
8ª 2007
L2 Cálculo (v.1)
George Thomas Ross
L. Finney Maurice D.
Weir Frank R.
Giordano
Addison
Wesley 11ª 2009
L3 Cálculo (v.1) James Stewart Cengage
Learning 7ª 2013
Fonte: Elaborada pelo autor
48
Os livros selecionados estão presentes no Plano de Ensino5 da disciplina de
Cálculo na qual os sujeitos desta pesquisa estão matriculados. Para cada um dos
livros citados, foi analisado o tratamento dado para os seguintes temas:
Quadro 2 – Temas analisados
Código Temas
T1 Definição de Derivada de uma função
T2 Análise do crescimento e decrescimento da função por meio da derivada
T3 Análise dos pontos críticos da função em um intervalo por meio da derivada
T4 Análise da concavidade da curva por meio da derivada
Fonte: Elaborada pelo autor
Para cada um dos tópicos acima, foi analisada a abordagem dada conforme
Quadro 3.
Quadro 3 – Abordagens analisadas (por tema)
Código Abordagem
A1 Existência de motivação para o estudo do tópico
A2 Apresentação de pré-requisitos antes de abordar o tópico
A3 O autor apresenta os tópicos de forma algébrica
A4 O autor apresenta os tópicos de forma geométrica
A5 Há número de exemplos satisfatório
A6 Os exercícios são graduados em níveis de dificuldade
A7 Há exercícios que contemplam aplicações em diversas áreas
A8 Há exercícios que estimulam a utilização da tecnologia
Fonte: Elaborada pelo autor
A Quadro 4 abaixo foi preenchida de acordo com as análises realizadas nos
livros-texto citados no Quadro 1 à luz dos tópicos e abordagens definidos nos
Quadros 2 e 3, respectivamente.
5 Disponível em anexo.
49
Quadro 4 – Avaliação dos livros segundo a abordagem de cada tema
Fonte: Elaborada pelo autor
Ao analisar o resultado apresentado no Quadro 4, algumas características se
evidenciaram e estão descritas a seguir:
de forma geral, os livros utilizam mais a representação algébrica do
que a representação geométrica;
os livros estão utilizando uma abordagem temática mais próxima das
novas tendências apontadas pelas pesquisas sobre metodologias
diferenciadas para o ensino de Cálculo;
os livros analisados estimulam a utilização da tecnologia na resolução
de seus exercícios. Esta constatação confirma a atual adequação dos
livros ao apelo de mudanças no ensino de Cálculo;
apesar de os exercícios de alguns livros serem ricos em aplicações,
estes não enfatizam as necessidades do estudo de cada tema.
De acordo com os dados do Quadro 4, as características de cada livro
analisado ficam bem identificadas. Salienta-se que esta avaliação usou como critério
o potencial que cada um deles possui, do ponto de vista metodológico, de contribuir
com a prática educativa elaborada nesta Pesquisa.
50
Conforme os critérios adotados, os livros L2 e L3 utilizam uma abordagem
mais interativa, estimulando de forma satisfatória o uso da tecnologia na resolução
de exercícios. A formatação dos exercícios propostos possui a graduação de
dificuldade crescente e utiliza a representação geométrica como apoio. O livro L1,
apesar de pouco incentivar a utilização da tecnologia em sua abordagem, utiliza a
representação geométrica de forma interessante.
Portanto, a sequência didática de atividades elaboradas nesta pesquisa, por
utilizar a informática como ferramenta para proporcionar a interação entre estudante
e a representação geométrica das funções, terá como referência os livros didáticos
de Howard Anton (L1), George Thomas (L2) e de James Stewart (L3).
Essas atividades buscam possibilitar ao estudante o desenvolvimento do
pensamento crítico acerca do estudo do comportamento de funções, utilizando
applets construídos a partir do GeoGebra, um software livre de geometria dinâmica.
Applets são pequenos aplicativos, como um programa utilitário ou uma planilha
eletrônica com funções limitadas. O conceito ficou mais difundido com o surgimento
da Internet através dos Applets Java que permitem executar programas
implementados através da linguagem Java, remotamente, nos navegadores da
Internet.
O planejamento das atividades foi fundamentado no referencial teórico
pesquisado, destacando as possíveis interações que poderiam ser estabelecidas
entre sujeitos, pesquisador e foco de estudo. As estratégias de solução para cada
atividade foram analisadas de forma a verificar a viabilidade de sucesso na
execução das atividades, bem como, verificar as contribuições que essas trariam
aos sujeitos da pesquisa e que conjecturas poderiam ser levantadas e,
posteriormente, validadas.
51
4 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
As sequências didáticas possibilitam ao estudante a construção do
conhecimento efetivo enquanto realiza indagações, refutações e comparações,
integrando observações e descobertas.
Assim, as sequências de atividades propostas buscam articular teoria e
prática, propiciando a construção de significados, por meio de atividades de
exploração e visualização, baseadas em gráficos dinâmicos. O desenvolvimento das
atividades demanda a utilização de um software educativo por meio do qual serão
realizadas observações e de um Caderno de Atividades.
Apresenta-se neste capítulo a sequência didática referente ao estudo do
comportamento de funções por meio de derivadas. Para a elaboração dessa
sequência didática, foram levados em consideração os resultados das análises de
livros didáticos utilizados na disciplina de Cálculo.
Por meio dessa referência, pensou-se em atividades que estimulassem a
interação entre o sujeito e o objeto, de forma a propiciar a construção do
conhecimento e culminassem numa aprendizagem com compreensão.
A sequência didática planejada para esta Pesquisa é composta de atividades
encadeadas com o objetivo de proporcionar ao aluno, ao analisar a derivada, a
possibilidade de dominar todo o estudo do comportamento de uma função.
Serão descritas a seguir as atividades elaboradas acerca do tema proposto e
terão como apoio o Objeto de Aprendizagem baseados em applets construídos a
partir do software livre de geometria dinâmica, o GeoGebra. Este O.A. procurou
abranger elementos que favorecessem a construção e posterior aquisição de
conceitos. Sua organização permitiu que cada sujeito envolvido pudesse
compreender a relação entre o comportamento da função e sua derivada.
Tais atividades serão constituídas das seguintes sequências de atividades:
Sequência 1: Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em
um intervalo.
Sequência 2: A relação entre o crescimento e o decrescimento de uma
função e sua derivada.
Sequência 3: Testando conhecimentos adquiridos nas atividades 1 e 2.
52
Sequência 4: Análise dos pontos máximos e mínimos da função.
Sequência 5: Análise dos pontos de inflexão.
Sequência 6: Análise da concavidade da curva.
Sequência 7: Testando conhecimentos adquiridos nas atividades 4 a 6.
Sequência 8: Testando conhecimentos: Testes finais.
As atividades elaboradas visam ao estimulo à investigação e, em conjunto
com o software GeoGebra, busca-se explorar o pensamento visual. A opção em
utilizar o software GeoGebra como apoio nessas atividades teve intenção de dar
dinamismo ao objeto de estudo. A facilidade de sua aquisição e sua interface
amigável facilitam-lhe a manipulação. Com a viabilização de seus applets, a ação do
estudante fica ainda mais simples pelo fato de o aluno não ter necessidade de
dominar todos os comandos do GeoGebra.
A seguir, serão discriminados conteúdos, objetivos e metodologia utilizada na
elaboração das sequências. No Apêndice, estarão descritas essas sequências na
íntegra.
4.1. Primeira Sequência: Atividades 1 e 2
Título: Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em um
intervalo.
Conteúdo: Conceituação de função crescente e decrescente em um
intervalo.
Objetivos:
o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções (manipulando
comandos nos applets), o comportamento da imagem da função
enquanto se variam os valores de “x” em seu domínio.
o Promover discussões e conjecturas acerca da ideia de funções
crescentes e decrescentes em um intervalo.
o Promover a compreensão do conceito de função crescente e
decrescente.
53
o Propor ao aluno a formulação de um conceito para função crescente e
decrescente em um intervalo.
Procedimentos:
Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção, a
primeira sequência para ter acesso às atividades 1 e 2.
Figura 7 – Visão parcial do menu – Sequência 1
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
As atividades 1 e 2 estão divididas em duas fases:
i. Exploração (dos gráficos, utilizando o software CompFunção);
ii. Registro (das observações, utilizando o Caderno de Atividades).
Atividade 1
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 1, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 1”.
Figura 8 – Gráfico da Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
54
Com o gráfico da atividade 1 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-2,-1[, ]2,3[;
b) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto
varia seu valor dentro dos intervalos;
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto
(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesses
intervalos;
d) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-1,2[;
e) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto
varia seu valor dentro do intervalo;
f) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto
(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesse
intervalo.
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 9.
Figura 9 – Questões da Atividade 1
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
,
.
.
.
,
,
55
Atividade 2
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 2, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 2”.
Figura 10 – Gráfico da Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 2 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-1.5,3[;
b) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto
varia seu valor dentro dos intervalos;
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto
(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesses
intervalos;
d) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]3,3.5[;
e) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto
varia seu valor dentro do intervalo;
f) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto
(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesse
intervalo.
56
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá as questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 11.
Figura 11 – Questões da Atividade 2
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
Conclusão da Sequência 1
Nesta fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as
observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, uma
função crescente e decrescente em um intervalo, conforme figura 12.
Figura 12 – Conclusão da Sequência 1 (Atividades 1 e 2)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
,
,
.
.
57
4.2. Segunda Sequência: Atividades 3 e 4
Título: A relação entre o crescimento e o decrescimento de uma função e sua
derivada.
Conteúdo: Variação do sinal da derivada conforme crescimento e
decrescimento de uma função. Analisar o crescimento e o decrescimento de
uma função por meio do sinal da derivada.
Objetivos:
o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções, o sinal da
derivada de uma função enquanto o comportamento dessa função é
crescente e decrescente.
o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da relação
existente entre o sinal da derivada de uma função e o comportamento
crescente e decrescente dessa função.
o Promover a compreensão acerca da influência da derivada de uma
função em seu comportamento crescente e decrescente.
o Proporcionar ao aluno a visualização da derivada como taxa de
variação e declividade da reta tangente.
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a
primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 3 e 4.
Figura 13 – Visão Parcial do MENU – Sequência 2
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
58
As atividades 3 e 4 estão divididas em duas fases:
i. Exploração (utilizando o software CompFunção);
ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).
Atividade 3
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 3, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 3”.
Figura 14 – Gráfico da Atividade 3
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Esse gráfico apresenta alguns recursos que irão auxiliar os alunos em suas
observações. Tais recursos poderão ser utilizados a qualquer momento. São eles:
i. Exibir abscissa do ponto;
ii. Exibir ordenada do ponto;
iii. Exibir gráfico da derivada;
iv. Exibir valor da derivada;
v. Exibir reta tangente;
vi. Exibir declividade da reta tangente.
Figura 15 – Gráfico da Atividade 3 (com recursos ativos)
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
59
Essa atividade foi subdividida em três observações:
1ª Observação
Exploração
Com o gráfico da atividade 3 disponível, o aluno é levado a realizar a primeira
observação. Assim ele procederá da seguinte forma:
a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-2,-1[;
b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a
abscissa do ponto varia nesse intervalo;
c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o
com o valor da derivada;
d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da
derivada e com o coeficiente angular dessa reta;
e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da
curva e o sinal positivo da derivada.
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 16.
Figura 16 – Questões da 1a observação (Atividade 3)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
60
2ª Observação
Exploração
Neste momento, o aluno é levado a realizar a segunda observação,
procedendo da seguinte forma:
a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]2,3[;
b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a
abscissa do ponto varia nesse intervalo;
c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o
com o valor da derivada;.
d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da
derivada e com o coeficiente angular dessa reta;
e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da
curva e o sinal positivo da derivada.
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 17.
Figura 17 – Questões da 2ª observação (Atividade 3)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
61
3ª Observação
Exploração
Nesse momento, o aluno é levado a realizar a terceira observação,
procedendo da seguinte forma:
a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-1,2[;
b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a
abscissa do ponto varia nesse intervalo;
c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento comparando-o
com o valor da derivada;
d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da
derivada e com o coeficiente angular dessa reta;
e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da
curva e o sinal positivo da derivada.
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 18.
Figura 18 – Questões da 3ª observação (Atividade 3)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
62
Questões Extras
Questões extras têm o intuito de validar as conjecturas registradas nas
questões anteriores, conforme figura 19.
Figura 19 – Questões extras da 3ª observação (Atividade 3)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
Atividade 4
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 4, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 4”.
Figura 20 – Gráfico da Atividade 4
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Esse gráfico apresenta alguns recursos que irão auxiliar os alunos em suas
observações. Tais recursos poderão ser utilizados a qualquer momento. São eles:
63
i. Exibir abscissa do ponto;
ii. Exibir ordenada do ponto;
iii. Exibir gráfico da derivada;
iv. Exibir valor da derivada;
v. Exibir reta tangente;
vi. Exibir declividade da reta tangente.
Figura 21 – Gráfico da Atividade 4 (com recursos ativos)
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Essa atividade foi subdividida em duas observações.
1ª Observação
Exploração
Com o gráfico da atividade 4 disponível, o aluno é levado a realizar a primeira
observação. Assim ele procederá da seguinte forma:
a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-1.5,3[;
b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a
abscissa do ponto varia nesse intervalo.;
c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento comparando-o
com o valor da derivada;
d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da
derivada e com o coeficiente angular dessa reta;
e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da
curva e o sinal positivo da derivada.
64
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 22.
Figura 22 – Questões da 1ª observação (Atividade 4)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
2ª Observação
Exploração
Nesse momento, o aluno é levado a realizar a segunda observação,
procedendo da seguinte forma:
a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]3,3.5[;
b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a
abscissa do ponto varia nesse intervalo;
c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o
com o valor da derivada;
d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da
derivada e com o coeficiente angular dessa reta;
e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da
curva e o sinal positivo da derivada.
65
Registro
Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas
realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,
conforme a figura 23.
Figura 23 – Questões da 2ª observação (Atividade 4)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
Questões Extras
Questões extras têm o intuito de validar as conjecturas registradas nas
questões anteriores, conforme figura 24.
Figura 24 – Questões extras da 2ª observação (Atividade 4)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
66
Conclusão da Sequência 2
Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as
observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, como a
derivada pode nos auxiliar na determinação de uma função crescente e decrescente
em um intervalo, conforme figura 25.
Figura 25 – Conclusão da Sequência 2 (Atividades 3 e 4)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
4.3. Terceira Sequência: Testes 1 a 4
Título: Testando conhecimentos adquiridos nas sequências 1 e 2
(Atividades 1 a 4).
Conteúdo: Conceituação de função crescente e decrescente em um
intervalo; Variação do sinal da derivada conforme crescimento e
decrescimento de uma função.
Objetivos:
o Promover ao aluno a oportunidade de avaliar se suas
conjecturas e conclusões, acerca das sequências 1 e 2, estão
corretas;
o Por meio de análise do comportamento da função, identificar o
gráfico de sua derivada.
67
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a
terceira sequência para ter acesso aos teste 1 a 4.
Figura 26 – Visão parcial do menu – Sequência 3
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
Teste 1
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 1, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 1 (Gráfico)”.
Figura 27 – Gráfico do teste 1
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 1, o aluno é levado a movimentar o
ponto da função f(x) para observar seu comportamento.
68
O próximo passo é selecionar uma das funções (g(x), h(x). i(x)) e observar se
alguma delas tem características para ser a derivada de f(x).
Após descobrir qual das funções é a derivada de f(x), faz-se necessário
marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está
correta.
Teste 2
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 2, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 2 (Gráfico)”.
Figura 28 – Gráfico do teste 2
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 2, o aluno é levado a movimentar o
ponto da função g(x) para observar seu comportamento.
O próximo passo é selecionar uma das funções (f(x), h(x). i(x)) e observar se
alguma delas tem características para ser a derivada de g(x).
Após descobrir qual das funções é a derivada de g(x), faz-se necessário
marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está
correta.
Teste 3
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 3, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 3 (Gráfico)”.
69
Figura 29 – Gráfico do teste 3
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 3, o aluno é levado a movimentar o
ponto da função h(x) para observar seu comportamento.
O próximo passo é selecionar uma das funções (f(x), g(x). i(x)) e observar se
alguma delas tem características para ser a derivada de h(x).
Após descobrir qual das funções é a derivada de h(x), faz-se necessário
marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está
correta.
Teste 4
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 4, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 4 (Gráfico)”.
Figura 30 – Gráfico do teste 4
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
70
Esse teste traz uma aplicação da derivada na Física. Têm-se os gráficos das
funções posição, velocidade e aceleração. Por meio dos controles disponibilizados,
faz-se necessário movimentar os gráficos para que seja possível observar seus
comportamentos.
Uma vez feitas as observações, os alunos são levados a descobrir qual das
funções é a função primitiva e quais são as derivadas de primeira e segunda ordens.
O próximo passo é selecionar as alternativas que correspondem às
descobertas realizadas.
4.4. Quarta Sequência: Atividades 5 e 6
Título: Análise dos pontos máximos e mínimo da função.
Conteúdo: Localização dos pontos de máximos e mínimos no gráfico,
por meio de derivadas.
Objetivos:
o Estimular o aluno a investigar em gráficos de funções a relação
entre derivada de uma função e os pontos críticos (de máximo e
mínimo);
o Promover discussões e criação de conjecturas acerca da
localização dos pontos de máximos e mínimos por meio de
derivadas da função;
o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na
localização dos pontos críticos de máximo e mínimo.
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a
primeira sequência de atividades, para ter acesso às atividades 5 e 6.
71
Figura 31 – Visão parcial do menu – Sequência 4
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
As atividades 5 e 6 estão divididas em duas fases:
i. Exploração (utilizando o software CompFunção);
ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).
Atividade 5
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 5, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 5”.
Figura 32 – Gráfico da Atividade 5
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 5 disponível, o aluno é levado a:
72
a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de
pontos críticos no gráfico;
b) estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações
gráficas do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada
nas proximidades dos pontos críticos;
d) classificar, segundo os comportamentos da função e da derivada, se o
ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo.
Atividade 6
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 6, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 6”.
Figura 33 – Gráfico da Atividade 6
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 6 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de
pontos críticos no gráfico;
b) estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações
gráficas do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada
nas proximidades dos pontos críticos;
73
d) classificar, segundo os comportamentos da função e da derivada, se o
ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo.
Registro
Conclusão as Sequência 4
Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as
observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando
um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 32.
Figura 34 – Conclusão da Sequência 4 (Atividades 5 e 6)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
4.5. Quinta Sequência: Atividades 7 e 8
Título: Análise do ponto de Inflexão.
Conteúdo: Localização dos pontos de inflexão por meio de derivadas.
Objetivos:
o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções
(manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada
de uma função e os pontos de inflexão;
o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da
localização dos pontos de inflexão, por meio de derivadas da
função;
74
o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na
localização dos pontos críticos de inflexão.
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a
primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 7 e 8.
Figura 35 – Visão parcial do menu – Sequência 5
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
Aa atividades 7 e 8 estão dividida em duas fases:
i. Exploração (utilizando o software CompFunção);
ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).
Atividade 7
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 7, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 7”.
Figura 36 – Gráfico da Atividade 7
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
75
Com o gráfico da atividade 7 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento do
ponto de inflexão;
b) estimar as coordenadas desse ponto já que as limitações gráficas do
GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada
nas proximidades do ponto de inflexão;
d) discutir, segundo os comportamentos da função e da derivada, como a
derivada pode auxiliar na localização do ponto de inflexão.
Atividade 8
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 8, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 8”.
Figura 37 – Gráfico da Atividade 8
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 8 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento
dos pontos de inflexão;
b) estimar as coordenadas desses pontos já que as limitações gráficas do
GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;
76
c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada
nas proximidades dos pontos de inflexão;
d) discutir, segundo os comportamentos da função e da derivada, como a
derivada pode auxiliar na localização dos pontos de inflexão.
Registro
Conclusão da Sequência 5
Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as
observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando
um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 38.
Figura 38 – Conclusão da Sequência 5 (Atividades 7 e 8)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
4.6. Sexta Sequência: Atividades 9 e 10
Título: Análise da Concavidade da Curva.
Conteúdo: Identificação do sentido da concavidade da curva de uma
função por meio de derivadas.
Objetivos:
o Estimular o aluno a investigar em gráficos de funções
(manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada
e o sentido da concavidade da curva de uma função;
77
o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da
concavidade de uma curva, por meio de derivadas da função;
o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na
determinação do sentido da concavidade de uma curva, por
meio da derivada de uma função.
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a
primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 9 e 10.
Figura 39 – Visão parcial do menu – Sequência 6
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
Aa atividades 9 e 10 estão dividida em duas fases:
i. Exploração (utilizando o software CompFunção);
ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).
Atividade 9
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 9, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 9”.
78
Figura 40 – Gráfico da Atividade 9
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 9 disponível, o aluno é levado a:
a) movimentar o ponto da função próximo ao ponto de inflexão e
observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada;
b) analisar a variação da segunda derivada em função do comportamento
da primeira derivada antes e depois do ponto de inflexão;
c) fazer conjecturas acerca da utilização da segunda derivada para
determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo.
Atividade 10
Exploração
Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 10, faz-se necessário
selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 10”.
Figura 41 – Gráfico da Atividade 10
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Com o gráfico da atividade 10 disponível, o aluno é levado a:
79
a) movimentar o ponto da função próximo ao ponto de inflexão e
observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada;
b) analisar a variação da segunda derivada em função do comportamento
da primeira derivada antes e depois do ponto de inflexão;
c) fazer conjecturas acerca da utilização da segunda derivada para
determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo.
Registro
Conclusão da Sequência 6
Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as
observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando
um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 42.
Figura 42 – Conclusão da Sequência 6 (Atividades 9 e 10)
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
4.7. Sétima Sequência: Testes 5 e 6
Título: Testando conhecimentos adquiridos nas sequências 4 a 6.
Conteúdo: Localização dos pontos de máximos e mínimos no gráfico,
por meio de derivadas; Localização dos pontos de inflexão por meio de
derivadas; Identificação do sentido da concavidade da curva de uma
função, por meio de derivadas.
80
Objetivos:
o Promover ao aluno a oportunidade de avaliar se suas
conjecturas e conclusões, acerca das sequências 4 a 6, estão
corretas.
o Por meio de análise do comportamento da função, identificar os
pontos críticos (máximo, mínimo e inflexão) e determinar as
concavidades da curva.
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a
terceira sequência para ter acesso aos teste 5 e 6.
Figura 43 – Visão parcial do menu – Sequência 7
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
Teste 5
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 5, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 5 (Gráfico)”.
Figura 44 – Gráfico do teste 5
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
81
Nesse gráfico, podem-se ver dois pontos (A e B) pertencentes a uma função
f(x). Para movimentá-los, faz-se necessário exibir os gráficos da primeira e da
segunda derivada e, ao movimentar seus pontos, os pontos A e B se movimentarão
simultaneamente.
Movimentando os pontos, o aluno é levado a direcionar suas observações em
busca de respostas para as questões apresentadas na figura 45.
Figura 45 – Questões do teste 5
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
Teste 6
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 6, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 6 (Gráfico)”.
Figura 46 – Gráfico do teste 6
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
82
Nesse gráfico, podem-se ver dois pontos (A e B) pertencentes às derivadas
de primeira e segunda ordem de uma função f(x). Faz-se necessário movimentar o
ponto da função para que os pontos A e B se movimentem e descobrir a qual
derivada cada ponto pertence.
Movimentando os pontos, o aluno é levado a direcionar suas observações em
busca de respostas para as questões apresentadas na figura 47.
Figura 47 – Questões do teste 6
Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)
4.8. Oitava Sequência: Testes 7 a 9
Título: Testando conhecimentos: Testes finais.
Conteúdo: Função crescente e decrescente, pontos críticos (máximo,
mínimo e inflexão) e concavidade da curva. Análise da derivada de
uma função. Aplicações.
Objetivos:
o Promover ao aluno a oportunidade de aplicar suas conjecturas e
conclusões nas atividades deste objeto de aprendizagem;
o Por meio de análise da derivada de uma função, identificar o
comportamento crescente e decrescente da função, localizar
pontos críticos e determinar a concavidade de uma curva.
83
Procedimento:
Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a
terceira sequência para ter acesso aos teste 7 a 10.
Figura 48 – Visão parcial do menu – Sequência 8
Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)
Nos testes 7 a 9, existem quatro funções ocultas no plano cartesiano as quais
podem ser visualizadas a qualquer momento. Para isso, basta que o aluno selecione
uma das quatro opções disponíveis: Função 1,Função 2, Função 3 ou Função 4.
Uma dessas funções é a função f(x), cujas derivadas estão plotadas no plano
cartesiano. Nesse teste, os alunos são levados a visualizar cada um dos gráficos e,
ao analisá-los, devem indicar se o gráfico é ou não de f(x).
Teste 7
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 7, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 7 (Gráfico)”.
Figura 49 – Gráfico do teste 7
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
84
Teste 8
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 8, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 8 (Gráfico)”.
Figura 50 – Gráfico do teste 8
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
Teste 9
Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 9, faz-se necessário selecionar
e clicar em “Teste 9 (Gráfico)”.
Figura 51 – Gráfico do Teste 9
Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)
85
5 APLICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES, UTILIZANDO O OBJETO
DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTE INFORMATIZADO, E ANÁLISE DOS
RESULTADOS
Nesta Pesquisa, o monitoramento da aplicação das atividades, foi realizada
por meio de vários instrumentos, como questionários, registro das atividades
desenvolvidas e resolvidas pelos alunos com o auxílio da informática e observação
direta pelo pesquisador. Dessa forma, o trabalho realizado proporcionou uma coleta
de dados detalhados, contribuindo, assim, com o aprofundamento das análises e
com conclusões mais confiáveis.
5.1 Aplicação das sequências de atividades
As sequências de atividades foram aplicadas durante o mês de fevereiro de
2014. Foram realizados três encontros de duas horas-aulas cada um, totalizando
seis horas-aulas, e divididos da seguinte forma:
1o encontro (11 de fevereiro)
o aplicação da sequência 1 (atividades 1 e 2).
o aplicação da sequência 2 (atividades 3 e 4).
o aplicação da sequência 3 (testes 1 a 4).
2o encontro (14 de fevereiro)
o aplicação da sequência 4 (atividades 5 e 6).
o aplicação da sequência 5 (atividades 7 e 8).
o aplicação da sequência 6 (atividades 9 e 10).
3o encontro (18 de fevereiro)
o aplicação da sequência 7 (testes 5 e 6).
o aplicação da sequência 8 (testes 7 a 10).
Deve-se ressaltar que o Objeto de Aprendizagem e o Caderno de Atividades
foram apresentados em uma aula reservada para esse fim. Tal apresentação
ocorreu em sala de aula habitual, onde o professor utilizou o notebook e um projetor
86
para mostrar como se utilizava o software e como o Caderno de Atividades deveria
ser utilizado.
As atividades foram aplicadas em uma turma de 34 (trinta e quatro) alunos do
segundo período do curso de Engenharia Civil de uma Faculdade no interior de
Minas Gerais. Porém, não foi possível obter a totalidade dos alunos em todos os
encontros e, por esse motivo, foram levados em consideração apenas os resultados
dos alunos com 100% (cem por cento) de frequência, ou seja, 28 (vinte e oito)
alunos.
Para a realização da Pesquisa, os alunos foram deslocados para um dos
laboratórios de informática da Faculdade e distribuídos em duplas, com o intuito de
promover discussões. Cada dupla utilizou um computador com o Objeto de
Aprendizagem à disposição, conforme Figura 52.
Figura 52 – Laboratório de informática da Faculdade
Fonte: Arquivo do autor
Salienta-se que o Objeto de Aprendizagem utilizado nos três encontros,
sofreu aprimoramentos em sua interface com o intuito de tornar seu design mais
atraente e melhorar sua funcionalidade, porém o conteúdo manteve-se inalterado.
A Figura 53 apresenta o MENU da primeira versão do Objeto de
Aprendizagem. Essa versão foi criada com o Power Point e Applets do GeoGebra.
87
Figura 53 – MENU do Objeto de Aprendizagem (1ª versão)
Fonte: Elaborado pelo autor
A Figura 54 apresenta a tela principal da versão atual do Objeto de
Aprendizagem. Essa versão foi construída em linguagem html e Applets do
GeoGebra.
Figura 54 – Tela principal do Objeto de Aprendizagem (Versão atual)
Fonte: Elaborado pelo autor
A Figura 55 mostra a exibição de gráficos no Objeto de Aprendizagem antigo
(à esquerda) e no atual (à direita).
88
Figura 55 – Visualização de gráficos na 1a versão e na versão atual
Fonte: Elaborado pelo autor
Na primeira versão, os gráficos e as atividades eram vistas de forma
separada, o que dificultava a execução das tarefas. Já na versão atual, o aluno
consegue visualizar os gráficos e as atividades simultaneamente, conforme Figura
56.
Figura 56 – Visão simultanea da Atividade 1 e seu gráfico
Fonte: Elaborado pelo autor
Após todos estarem acomodados em seus lugares, os estudantes iniciaram a
execução das atividades. A seguir, ilustramos na Figura 57 alguns momentos de
89
execução e discussão das atividades. Tem-se a discussão entre dois alunos de uma
mesma dupla durante suas observações e a troca de informações entre alunos de
duplas distintas.
Figura 57 – Realização das atividades pelos alunos
Fonte: Elaborado pelo autor
Fonte: Arquivo do autor
Acompanhamos todo o processo da realização das atividades com dois
objetivos. O primeiro de mediador do processo de ensino e aprendizagem e o
segundo como observador, fazendo a coleta de comentários, observações e
situações que ocorreram durante os encontros, conforme Figura 58.
Figura 58 – O professor nos papeis de observador e mediador
Fonte: Arquivo do autor
Foi solicitado aos estudantes que fizessem anotações de suas observações,
conforme Figura 59. Dessa forma, realizou-se a coleta de dados para posterior
análise da prática adotada.
90
Figura 59 – Os alunos registram suas observações
Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Fonte: Arquivo do autor
Ao final de cada encontro, eram recolhidos os Cadernos de Atividades,
mesmo que o estudante não tivesse acabado de realizar todas as tarefas. Nos
encontros seguintes, os Cadernos eram devolvidos para a conclusão das atividades
anteriores e começo de novas atividades, dando sequência ao processo de
construção do conhecimento.
Destaca-se que, ao longo de cada encontro, grupos de alunos interagiam
para socialização das conclusões e compartilhamento de resultados como registrado
nas fotos apresentadas na Figura 60.
Figura 60 – Grupos de alunos socializando resultados e conclusões
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
Fonte: Arquivo do autor
A análise detalhada do desenvolvimento das atividades, dos registros das
observações e das respostas dos testes realizados pelos estudantes está
apresentada a seguir.
91
5.2 Procedimento de análise dos resultados
Serão apresentadas aqui, observações realizadas durante o desenvolvimento
das atividades, por meio de comentários feitos pelos estudantes, respostas
registradas por eles no Caderno de Atividades e análises realizadas a partir da sua
atuação.
São apresentados também, protocolos com registros dos estudantes,
permitindo assim, uma análise das relações entre as informações obtidas e a
metodologia utilizada segundo o referencial utilizado nesta Pesquisa. Os dados
foram coletados diretamente pelo pesquisador junto aos sujeitos, de forma descritiva
e por observação direta e processual. Foram levados em consideração os
comentários, os registros e as atuações dos estudantes durante o desenvolvimento
das atividades.
Conforme relatado anteriormente, 28 (vinte e oito) alunos, em um total de 34
(trinta e quatro), participaram de todos os encontros. Portanto, apenas as atividades
destes foram selecionadas para compor a amostra analisada.
As sequências de atividades aplicadas foram divididas em duas categorias
segundo suas características, a saber:
Sequências de OBSERVAÇÃO: (Sequências 1, 2, 4, 5 e 6)
São as sequências em que, a partir dos objetivos de fazer
descobertas e conjecturas, os estudantes utilizaram o objeto de
aprendizagem para explorar e investigar os comportamentos das
funções e de suas derivadas.
Sequências de APLICAÇÃO: (Sequências 3,7 e 8)
São as sequências no formato de testes em que o aluno também
utilizam o objeto de aprendizagem para explorar os gráficos, porém o
objetivo desta vez, é responder às questões acerca das explorações
realizadas nas sequências anteriores e verificar o nível de
compreensão que cada aluno obteve.
Ressalta-se que o objetivo é analisar a prática adotada como alternativa às
aulas exclusivamente expositivas. Dessa forma, as sequências de aplicação, apesar
92
de exigir interação para sua realização, têm caráter avaliativo e assim, não serão
considerados na análise apresentada a seguir. Os erros apresentados nestas
sequências não são o foco desta Pesquisa e sim as e habilidades adquiridas nas
interação com as representações geométricas e as visualizações demonstradas
pelos estudantes ao longo do desenvolvimento das atividades propostas nas
sequências de observação.
Diante a atuação dos estudantes durante a utilização do O.A. e
consequentemente da aplicação das atividades, critérios de analisados foram
determinados conforme discriminação a seguir:
Interpretação dos Enunciados.
Análise Gráfica.
Conhecimento de Pré-requisitos.
Redação.
Operação do O.A.
Diante desses critérios, na próxima seção, encontra-se um levantamento das
dificuldades apresentadas pelos alunos após as observações realizadas durante o
processo e nos registros dos mesmos.
5.2.1 Análise dos Dados
Sequência 1 – Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em um
Intervalo.
Sequência realizada no primeiro encontro. É constituída por duas atividades
similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das
duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.
Após análise dos registros, constatou-se a presença de dificuldades relatada
conforme o Gráfico 1.
93
Gráfico 1 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 1
TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
Fonte: Dados da pesquisa
No total de 28 (vinte e oito) alunos, 24 (vinte e quatro) não externaram de
forma clara suas observações. Percebe-se, também, que 5 (cinco) duplas
apresentaram problemas conceituais e, provavelmente, isso interferiu na escrita.
Propondo ao estudante uma caracterização de uma função crescente e
decrescente em seu domínio, esperava-se que, para o caso de uma função
crescente, seus registros contemplassem o comportamento crescente da imagem da
função enquanto a abscissa também apresentava comportamento crescente. Já no
caso de uma função decrescente, contemplassem o comportamento decrescente da
imagem da função enquanto a abscissa apresentava comportamento crescente.
A Figura 61 apresenta o registro da dupla 3 que, por apresentar problemas
conceituais, utilizou termos matemáticos fora do contexto da atividade, interferindo,
assim, em sua redação.
Figura 61 – Registro da conclusão – dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
Há situações em que, por meio das observações, os alunos visualizaram os
comportamentos da abscissa e da ordenada de forma correta e construíram,
4 duplas
3 duplas
5 duplas
12 duplas
0 duplas
INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO
?
105
94
intuitivamente, a definição de uma função crescente e decrescente. Porém seus
registros, da forma como foram redigidos, não deixam claro se realmente houve a
assimilação dessas definições.
Um exemplo disso pode ser observado no registro da dupla 7, conforme
Figura 62 do fato relatado acima.
Figura 62 – Registro da conclusão – dupla 7
Fonte: Dados da pesquisa
O professor, ao perceber tal registro da dupla 7, interviu promovendo o
seguinte diálogo:
Neste momento os alunos da dupla 7 ficaram olhando para a tela do
computador e, pensativos, movimentaram o ponto para a direita e para a esquerda,
na expectativa de descobrir o que estava faltando.
A dupla 6 que estava ao lado, prestando atenção no diálogo, fez a seguinte
colocação.
Professor: O comportamento crescente e decrescente dos valores de y
é o suficiente para caracterizar uma função crescente e decrescente?
Alunos: Parece que sim, professor!
Professor: Então escolha um intervalo qualquer e movimente o ponto da
função sobre a curva para a direita e para a esquerda e verifique o que
está acontecendo com os valores de y.
Alunos: Os valores de y aumentam e diminuem.
Professor: Neste intervalo, de acordo com o comportamento de y que
vocês acabaram de analisar, a função é crescente ou decrescente?
106
95
Os alunos, tanto da dupla 6 como os da dupla 7, ficaram pensativos e focados
na análise gráfica.
Alguns minutos depois a presença do professor foi novamente solicitada pelo
grupo 6 que apresentaram a conclusão apresentada na figura 63.
Figura 63 – Registro da conclusão – Dupla 6
Fonte: Dados da pesquisa
Pode-se observar que conforme o registro acima, o conceito de função
crescente e decrescente em um intervalo foi construído de forma satisfatória.
Segundo os relatos dos alunos das duplas 6 e 7, a conclusão acima foi fruto da
discussão entre eles.
Dentre os registros analisados, encontram-se situações em que o estudante
consegue se expressar de forma mais clara. Um exemplo disso esta apresentado na
figura 64.
Alunos: Tem uma orientação no caderno que diz para movimentar o
ponto na função da esquerda para a direita. Isso tem alguma coisa a ver?
Professor: O que você acha? O que acontece quando o movimento do
ponto é feito dessa maneira?
Alunos: Depende?
Professor: Como assim depende?
Alunos: Dependendo do local onde movimentamos o ponto o valor de y
diminui ou aumenta?
Professor: Perfeito! Não tem mais nada a ser observado? O que falta
relatar para que a caracterização fique completa?
96
Figura 64 – Registro da conclusão – Dupla 2
Fonte: Dados da pesquisa
Os alunos da dupla 2 relataram que a movimentação dos gráficos facilitaram
a compreensão de seus comportamentos. Pode-se observar que esses alunos
apresentavam alguns conhecimentos prévios e assim registraram de forma clara os
conceitos construídos acerca de funções crescente e decrescente em um intervalo
do domínio.
Sequência 2 – Relação entre o crescimento de decrescimento de uma função e sua
derivada
Também realizada no primeiro encontro, é constituída por duas atividades
similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado, tal como a sequência 1.
Após a execução das duas atividades, os alunos deveriam registrar suas
observações e suas conclusões. Após análise dos registros, constataram-se
ocorrências de dificuldades conforme o Gráfico 2.
Gráfico 2 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 2
Fonte: Dados da pesquisa
0 duplas
3 duplas
2 duplas
7 duplas
0 duplas
INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO
97
As análises dessa sequência confirmam o problema na escrita dos
estudantes, apesar de um número menor de ocorrências. Segundo os dados, 7
(sete) duplas não redigiram de forma satisfatória suas observações.
A proposta dessa atividade era fazer que os estudantes percebessem, por
meio de interações com os gráficos, a relação existente entre o sinal da derivada e o
comportamento crescente ou decrescente de uma curva em um ponto.
Esperava-se que, para o caso de uma função crescente, os registros
contemplassem a associação do sinal positivo da derivada de uma função com o
comportamento crescente da curva em um ponto e, por outro lado, do sinal negativo
da derivada de uma função com o comportamento decrescente da curva em um
ponto.
A Figura 65 apresenta o registro da dupla 3 que, por se perder em sua
análise gráfica, utilizou todos os elementos visualizados como justificativa para sua
conclusão. Em decorrência disso, a redação ficou confusa e sem sentido por terem
utilizados termos matemáticos fora do contexto.. Nesse caso, uma análise gráfica
mal feita afetou a redação e a construção dos conceitos.
Figura 65 – Registro da conclusão – Dupla 3
Fonte: Dados da pesquisa
De maneira geral, excetuando os erros de redação e a ausência de
formalidade nas respostas, esta atividade não apresentou muitos problemas acerca
da compreensão do tema proposto. Os estudantes, em sua maioria responderam de
forma satisfatória, conforme o registro da dupla 13, apresentado na Figura 66.
98
Figura 66 – Registro da conclusão – Dupla 13
Fonte: Dados da pesquisa
Sequência 4 – Análise dos pontos máximos e mínimos da função
Realizada no segundo encontro, da mesma forma que as atividades
anteriores, também é constituída por duas atividades similares diferenciadas entre si
pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das duas atividades, os alunos
deveriam registrar suas observações e suas conclusões.
Após análise dos registros, constataram-se ocorrências de dificuldades,
conforme o Gráfico 3.
Gráfico 3 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 4
Fonte: Dados da pesquisa
2 duplas 3 duplas
4 duplas
7 duplas
0 duplas
INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO
99
As análises dessa sequência confirmam o problema da escrita dos estudantes
e mantiveram o número de ocorrências da última sequência.
A proposta dessa atividade era fazer que os estudantes percebessem, por
meio de interações com os gráficos, a relação entre os pontos críticos e o valor nulo
da derivada e, além disso, classificar esse ponto em máximo ou mínimo utilizando a
variação do sinal da derivada (teste da primeira derivada). Esperava-se que os
alunos registrassem essas descobertas.
Nessas atividades, os alunos percebiam pela análise gráfica que, ao passar
pelos pontos críticos, a derivada alterava seu sinal. Porém alguns alunos tiveram a
dificuldade de perceber que, nos pontos críticos, a derivada assumia o valor 0 (zero).
Assim, não conseguiam encontrar os pontos críticos por meio da derivada.
Esse relato pode ser ilustrado pelo registro feito pela dupla 12, conforme a
Figura 67.
Figura 67 – Registro da conclusão – Dupla 12
Fonte: Dados da pesquisa
100
O professor, ao perceber que a análise está em um rumo certo mas que os
alunos estavam com dificuldade de concluir acerca do valor nulo da derivada,
interviu proporcionando o seguinte diálogo:
Após essa intervenção e com alguns debates entre eles, alguns alunos
conseguiram expressar em seus registros como a derivada contribui para localizar
os pontos críticos e, mais precisamente, os pontos de máximo e mínimo, conforme
figura 68.
Professor: Leiam com atenção o registro feito por vocês com atenção e
verifiquem se não conseguem tirar alguma conclusão a mais.
Alunos: Como assim professor?
Professor: Vejam bem! Analise primeiro o ponto mínimo. O que vocês
perceberam?
Alunos: A função desce e depois sobe.
Professor: Tem alguma forma diferente de expressar isso? Pense na
primeira atividade.
Alunos (Após alguns segundos): A função é decrescente e depois é
crescente.
Professor: Ok! Agora pensem no ponto máximo.
Alunos: A função sobe e depois desce, a função cresce e depois
descresse.
Professor: Ok! O que ocorre quando a função é crescente? Pensem nas
atividades realizadas até agora.
Alunos (Após alguns momentos de silêncio): A imagem cresce? A
derivada cresce? A derivada é positiva.
Professor: Ok! O que ocorre quando a função é decrescente?
Alunos: A derivada é negativa.
Professor: Ok! Agora pensem o que está ocorrendo com a derivada no
ponto máximo e no ponto mínimo e tirem alguma conclusão.
Alunos (após algumas discussões): Professor! No ponto máximo e no
ponto mínimo a derivada muda de sinal.
Professor: Tudo bem! E ai? Agora é com vocês.
101
Figura 68 – Registro da conclusão – Dupla 1
Fonte: Dados da pesquisa
A ausência de formalidade e as deficiências conceituais comprometem a
redação dos registros, prejudicam a compreensão do conteúdo e afetam o
desempenho da prática adotada. Veja o exemplo apresentado na Figura 69.
Figura 69 – Registro da conclusão – Dupla 9
Fonte: Dados da pesquisa
102
Considerando que a difilculdade na redação dos registros é crônico, a análise
gráfica passou a ser o centro das atenções nessa atividade. Este pesquisador
observou grandes dificuldades, por parte dos estudantes, para extrair informações
dos gráficos simplesmente por não saberem o que estavam procurando e, assim,
demoraram um pouco mais para concluírem essa sequência.
Sequência 5 – Análise do ponto de inflexão
Realizada no segundo encontro, também é constituída por duas atividades
similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das
duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.
As análises dessa sequência confirmam o problema da escrita dos estudantes
e também mantiveram o número de ocorrências da última sequência.
Gráfico 4 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 5
Fonte: Dados da pesquisa
Depois de realizados 4(quatro) sequências de atividades, os problemas
conceituais foram sanados por meio de discussões entre duplas ou por intervenção
deste pesquisador. As dificuldades encontradas nessa atividade ocorreram devido
ao surgimento da segunda derivada, com dificuldades nas análises gráficas.
8 duplas
10 duplas
2 duplas
7 duplas
0 duplas
INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO
103
A proposta era localizar o ponto de inflexão por meio do estudo de sinais da
segunda derivada, porém todo o trabalho realizado com a primeira derivada
anteriormente entrou em conflito com os novos conceitos que deveriam ser
introduzidos nas observações. Os estudantes passaram a ter dificuldade em
trabalhar com os gráficos da primeira e da segunda derivada simultaneamente e,
assim, as análises gráficas e as interpretações prejudicadas durante o processo. O
aluno precisava observar, nessa atividade, a relação existente entre o ponto de
inflexão e o valor nulo da segunda derivada.
Pode-se notar que os alunos demonstraram habilidades em trabalhar com
três gráficos simultaneamente e assim, confundiam a função de cada um. Tal
observação esta apresentada na figura 70.
Figura 70 – Registro da conclusão – Dupla 8
Neste momento, professor percebeu a necessidade de uma intervenção e
diante da turma, ajudou os alunos a distinguir cada gráfico presente na atividade (da
função da primeira derivada e da segunda derivada) e suas funções dentro da
atividade. Após a intervenção do professor, o andamento das atividades foi
normalizado e os estudantes não tiveram dificuldades em sua conclusão.
O registro apresentado a seguir, mostra a conclusão da dupla 6, após a
intervenção do professor, conforme a Figura 71.
Figura 71 – Registro da conclusão – Dupla 6
Fonte: Dados da pesquisa
104
Sequência 6 – Análise da concavidade da curva
Realizada no segundo encontro, também é constituída por duas atividades
similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das
duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.
Após análise dos registros, constataram-se ocorrências de erros, conforme o
Gráfico 5.
Gráfico 5 Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 6
Fonte: Dados da pesquisa
A realização da sequência 5 (cinco) e a familiarização com o O.A.
contribuíram para o bom andamento das atividades da sexta sequência. O
comportamento das duas derivadas já não apresentava tantos problemas aos
estudantes. Por essa razão, pode-se verificar um decrescimento no número de
ocorrência das dificuldades..
A proposta das atividades era identificar o sentido da concavidade da curva
num determinado intervalo por meio do sinal da segunda derivada. Esperava-se que
os alunos reconhecessem uma curva côncava para baixo por meio da segunda
derivada negativa e côncava para cima por meio da segunda derivada positiva. Essa
tarefa foi realizada sem muitos problemas, porém nenhum aluno associou o
comportamento da primeira derivada como responsável pela alteração do sinal da
segunda derivada.
Segue o registro da dupla 11 como ilustração do relato anterior (Figura 72).
2 duplas
3 duplas
2 duplas
4 duplas
0 duplas
INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO
105
Figura 72 – Registro da conclusão – Dupla 11
Fonte: Dados da pesquisa
Segundo relato das duplas que apresentaram alguma dificuldade de análise
gráfica, interpretação e conceitual nesta atividade resolveram seus problemas por
meio de discussão com outros grupos.
Salientamos que nenhum aluno apresentou problema no manuseio do objeto
de aprendizagem. Por esse motivo as dificuldades de operação não tiveram
representatividade nos gráficos.
106
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta Pesquisa, buscou-se um diálogo entre pesquisadores da Educação
Matemática acerca de práticas educativas no Ensino de Cálculo por meio da
utilização de tecnologias, na perspectiva de responder a questão que impulsionou o
presente estudo: “Criar um Objeto de Aprendizagem capaz de propor alternativas
metodológicas ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de reduzir a
defasagem em sua compreensão”.
A concepção deste Objeto de Aprendizagem, que se encontra anexado nesta
dissertação por meio de um Produto, foi embasada no referencial pesquisado e
buscou articular a sequência didática de Zabala (1998) e a informática educativa
tratada por Borba e Penteado (2012) e Kenski (2007).
A metodologia de elaboração das atividades pautou-se na representação
geométrica. Foram utilizadas sequências didáticas para a estruturação das
atividades, dividindo-as em duas fases: de exploração (utilizando o Objeto de
Aprendizagem) e registro (utilizando o Caderno de Atividades).
As sequências didáticas desta pesquisa foram organizadas em unidades
didáticas que, segundo Zabala (1998), trata-se de uma série de atividades
ordenadas e articuladas que, da forma como estão estruturadas, relacionam entre si
e proporcionam um valor didático. Dessa forma, as intenções educacionais foram
levadas em consideração durante a elaboração das atividades, e o papel de cada
uma delas foi bem definido.
Quanto à informática educativa, muito se tem discutido acerca de sua
contribuição no processo de ensino e aprendizagem. Segundo Borba e Penteado
(2012), a inserção da informática estimula a substituição dos pensamentos lineares
por pensamentos descontínuos, tais como links, homepage e menu de softwares
educacionais, sendo este último, a proposta do Produto Educacional elaborado por
meio desta Pesquisa.
Kenski (2011) defende a ideia de que a tecnologia, quando utilizada com
criatividade, pode alterar a rotina dentro de sala de aula, transformando os alunos
em agentes interessados e colaborativos. Tais fatos puderam ser comprovados por
este pesquisador em seu trabalho de campo.
107
Após a realização da pesquisa de campo, é possível explicitar respostas à
questão desta pesquisa e descrever argumentos que comprovam o cumprimento
dos objetivos.
Inicialmente, esta pesquisa voltou-se à criação de um Objeto de
Aprendizagem que visava a uma metodologia alternativa ao ensino de Cálculo.
Assim, com o intuito de alcançar esse objetivo e obter uma aprendizagem eficaz
acerca do estudo do comportamento de funções por meio de derivadas, objetivos
específicos foram traçados e cumpridos, de acordo com as justificativas a seguir.
1o Objetivo Específico: Identificar nas Diretrizes Curriculares do curso de
Engenharia a contribuição da Matemática/Cálculo na formação desse profissional.
Identificou-se nos estudos realizados nas Diretrizes Curriculares Nacionais
que o novo Engenheiro precisa ser capaz de propor soluções não só tecnicamente
corretas, mas também considerar os problemas em sua totalidade. Esse profissional,
em sua formação técnico-científica, será estimulado a atuar criticamente por meio de
identificação e resolução de problemas.
Na intenção de promover tais características aos egressos dessa área de
formação, os cursos de Engenharia apresentam disciplinas para esse fim. Incluídas
dentre essas disciplinas, o Cálculo Diferencial e Integral é potencialmente capaz de
desenvolver raciocínio lógico, abstração, generalização, intuição, capacidade de
fazer conjecturas, resolver problemas e aplicar conhecimentos adquiridos em outras
áreas do conhecimento.
Constatou-se que o domínio dos conceitos matemáticos é importante para a
construção do conhecimento, permitindo a validação de intuições na construção de
técnicas aplicadas em diversas situações e, além disso, com o seu auxílio,
desenvolve-se a capacidade de raciocínio, de comunicação e do espírito crítico e
criativo.
2o Objetivo Específico: Identificar em livros de Cálculo as abordagens
metodológicas sobre o estudo do comportamento de funções.
O estudo das abordagens utilizadas pelos livros didáticos acerca do tema
“estudo do comportamento de funções” se fez necessário para nortear a elaboração
das sequências de atividades e, consequentemente, do Objeto de Aprendizagem.
108
Após análise de seis livros, verificou-se primeiramente que as obras mais
recentes apresentavam um número maior de atividades cujas resoluções
estimulavam a utilização de tecnologia. Tal constatação indica que os autores estão
se preocupando em adequar suas obras às novas tendências apresentadas em
pesquisas acerca de práticas educativas diferenciadas. Constatou-se, também, nas
análises realizadas que, nas recentes obras, as abordagens geométricas dos temas
eram exploradas de forma satisfatória, fato que contribuía com as propostas desta
Pesquisa.
Nesse sentido, Borba e Penteado (2012) evidenciam que as novas mídias,
como os computadores com softwares gráficos, propiciam experimentações e
simulações que auxiliam na modelagem e resolução de problemas. Assim, segundo
Frota (2001), existe um consenso de que a Matemática precisa libertar-se das
amarras de um passo a passo que conduz à aprendizagem de procedimentos e não
incentiva o conhecimento relacional.
Dessa forma, em concordância com os pesquisadores acima citados e por
meio dos resultados das análises realizadas, Stewart (2013), Thomas (2009) e
Anton (2007) foram as referências utilizadas para a construção das atividades que
compõem o Objeto de Aprendizagem. A perspectiva era levar os estudantes, por
meio de experimentações e simulações (BORBA E PENTEADO, 2012), a relacionar
conhecimentos (FROTA, 2001) e a fazer analogias e associações para construir
conceitos (LAUDARES, 2013).
3o Objetivo Específico: Criar um Objeto de Aprendizagem com atividades
interativas norteadas por uma sequência didática com base na Informática
Educativa.
Segundo Borba (2012), a informática não requer exclusividade nos processos
didáticos, mas alternância entre as aulas expositivas e atividades com as mídias.
Dessa forma, à procura de diversificar as metodologias aplicadas no ensino de
Cálculo, o Objeto de Aprendizagem criado nesta Pesquisa diversificou as
sequências didáticas, promovendo, durante uma mesma atividade, o processo de
observação/investigação por meio de gráficos dinâmicos e de registro da forma
tradicional, ou seja, a escrita em Caderno de Atividades. As observações utilizavam
109
applets construídos com o GeoGebra, e os registros eram realizados no Caderno de
Atividades.
O Objeto de Aprendizagem cumpriu o seu papel uma vez que permitiu ampla
comunicação com o sistema, proporcionou interação entre estudantes e problemas,
além de estimulá-los a fazer experimentações e simulações. O uso da informática
educativa por meio de um software dinâmico permitiu a exploração e formalização
de conceitos a partir de movimentação de pontos, variação de abscissas e de
ordenadas, dos valores e sinais das derivadas e dos comportamentos dos gráficos
das funções.
4o Objetivo Específico: analisar as contribuições que o Objeto de Aprendizagem
pode proporcionar ao ensino de Cálculo por meio do relacionamento e interação dos
estudantes com o tema estudado.
Em nossa pesquisa, buscou-se um diálogo entre pesquisadores de
Tecnologias Informacionais e Comunicacionais na Educação Matemática e
pesquisadores da Educação Matemática no Ensino Superior, tentando refletir sobre
a utilização de TIC’s no ensino de Cálculo, na perspectiva de responder a nossa
questão de investigação que impulsionou o presente estudo:
Quais as contribuições que um Objeto de Aprendizagem pode
proporcionar ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de
torná-lo uma alternativa à aula exclusivamente expositiva?
Após a aplicação das atividades por meio de um Objeto de aprendizagem,
acredita-se ser possível descrever e explicitar um conjunto de respostas para essa
questão, agrupadas em categorias de análise, o que será feito neste momento, a fim
de concluir esta Pesquisa.
No início do primeiro semestre letivo de 2014, os sujeitos dessa Pesquisa
demonstrou não possuir nenhum tipo de experiência com utilização de TIC’s no
estudo de Matemática. Ainda assim, possuíam uma expectativa positiva sobre a
possibilidade de utilizá-las no ensino de Cálculo.
110
Após a realização de cada atividade, os alunos posicionaram e expressaram
acerca das contribuições das atividades exploratórias realizadas no laboratório para
a aprendizagem do conteúdo abordado. A partir dos posicionamentos dos alunos e
baseados nas observações deste pesquisador, as principais contribuições da
utilização de TIC’s para um redirecionamento do ensino sobre comportamento de
funções por meio de derivadas na disciplina de Cálculo foram:
o A possibilidade de visualização de algumas propriedades que,
tradicionalmente, são manipuladas apenas algebricamente.
o A abertura para conjecturas a partir de gráficos que geram
questionamentos interessantes para a sala de aula.
o O ambiente dinâmico propiciado pelo software que contrasta com
os modelos geralmente estáticos apresentados nos livros didáticos.
o A abordagem intuitiva de alguns conceitos que tradicionalmente são
explorados inicialmente de uma maneira mais formal.
o A mudança de postura dos alunos, que passaram a demonstrar uma
atitude mais ativa e questionadora, tanto na realização das atividades
no laboratório quanto na participação em sala de aula.
Destaca-se que, durante a aplicação do Objeto de Aprendizagem, mudanças
consideráveis foram percebidas nos alunos no que se refere à sua autonomia e
postura crítica e, à medida que a familiarização com o software aumentava, tais
características se tornaram mais evidentes.
Essa mudança de postura se refletiu no ambiente em sala de aula, onde
questionamentos e reflexões se tornaram mais frequentes e, dessa forma, a
passividade observada no início do processo, deu lugar à uma postura mais ativa
perante o desenvolvimento do conteúdo.
Por meio da utilização de um Objeto de Aprendizagem em ambientes
informatizados, esta pesquisa contribuiu de forma significativa para a flexibilização
das práticas docentes.
A ação do mediador é fundamental para que os estudantes sejam levados a
conjecturar em contínua reflexão, para se tornarem mais ativos na construção do
próprio conhecimento.
111
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ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Tradução: Ernani F. da F.
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115
Apêndice
116
Apêndice A
“Caderno de Atividades”
Instrumento aplicado nas aulas de Cálculo com o apoio
da informática educativa
117
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DE IPATINGA
ENGENHARIA CIVIL 2º PERÍODO
CADERNO DE ATIVIDADES
Estudo do Comportamento de Funções por meio de Derivadas
Dupla nº: _______
Componentes:
Aluno 1:
Aluno 2:
Ipatinga
Fevereiro de 2014
118
Sequência 1
Definindo o crescimento e o decrescimento
de uma função em um intervalo
“ATIVIDADE 1”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe
a variação do valor da função enquanto o valor de x também varia.
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -2 e -1.
Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.
Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 2 e 3.
Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.
O que se pode afirmar a respeito do comportamento da ordenada do ponto enquanto sua abscissa varia nos intervalos abertos ]-2,-1[ e ]2,3[.
Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1 e 2.
Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.
O que se pode afirmar a respeito do comportamento da ordenada do ponto enquanto sua abscissa varia no intervalo aberto ]-1,2[.
119
Responda:
1ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]-2,-1[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,
( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.
2ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]2,3[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,
( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.
3ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]-1,2[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,
( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.
120
“ATIVIDADE 2”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe
a variação do valor da função enquanto o valor de x também varia.
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1,5 e 3.
Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.
Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 3 e 3,5.
Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.
Responda:
1ª Questão
Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da
abscissa aumenta no intervalo aberto ]-1,5 ; 3[, o valor da ordenada do ponto
(ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,
( ) é constante
( ) é decrescente.
( ) é também crescente.
2ª Questão
Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da
abscissa aumenta no intervalo aberto ]3 ; 3,5[, o valor da ordenada do ponto
(ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,
( ) é constante
( ) é decrescente.
( ) é também crescente.
121
Tirando conclusões:
Após a realização de observações acerca do crescimento e decrescimento dos
valores de uma função, escreva as características de uma função CRESCENTE
em um intervalo de seu domínio? __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Após a realização de observações acerca do crescimento e decrescimento dos
valores de uma função, escreva as características de uma função DECRESCENTE
em um intervalo de seu domínio? __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Como você conceituaria uma função CRESCENTE em um intervalo de seu
domínio? E uma função DECRESCENTE? __________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
122
Sequência 2
A Relação entre o Crescimento e o Decrescimento de uma Função e sua Derivada
“ATIVIDADE 3”
1ª observação:
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe a variação do sinal da derivada.
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -2 e -1.
Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-2,1[ observe os valores exatos da derivada.
Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-2,-1[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.
Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-2,-1[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.
Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.
Responda:
1ª Questão
De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-2,-1[ ser POSITIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
123
2ª Questão
De acordo com as observações realizadas nas atividades nº 1 e nº 2 da sequência anterior, qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]-2,-1[?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
2ª observação:
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 2 e 3.
Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]2,3[ observe os valores exatos da derivada.
Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]2,3[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.
Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]2,3[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.
Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.
Responda:
3ª Questão
De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]2,3[ ser POSITIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
124
4ª Questão
De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]2,3[ ser POSITIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
3ª observação:
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1 e 2.
Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-1,2[ observe os valores exatos da derivada.
Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-1,2[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.
Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-1,2[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.
Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.
Responda:
5ª Questão
De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-1,2[ ser NEGATIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
125
6ª Questão
De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]-1,2[?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
Questões Extras
7ª Questão
Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-2,-1[, observa-se que:
( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa. 8ª Questão
Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-1,2[, observa-se que:
( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa. 9ª Questão
Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]2,3[, observa-se que:
( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.
126
“ATIVIDADE 4”:
1ª observação:
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe a variação do sinal da derivada.
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre - 1,5 e 3.
Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-1,5 ; 3[ observe os valores exatos da derivada.
Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-1,5 ; 3[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.
Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-1,5 ; 3[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.
Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.
Responda
1ª Questão
De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-1,5 ; 3[ ser NEGATIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
127
2ª Questão
De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal NEGATIVO da derivada no intervalo ]-1.5 ; 3[?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
2ª observação:
Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 3 e 3,5.
Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]3 ; 3,5[ observe os valores exatos da derivada.
Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]3 ; 3,5[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.
Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]3 ;3,5[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.
Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.
Responda:
3ª Questão
De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]3 ; 3,5[ ser POSITIVA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
128
4ª Questão
De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal POSITIVO da derivada no intervalo ]3 ; 3,5[?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
________________________________________________________________
Questões Extras
5ª Questão
Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-1.5 , 3[, observa-se que:
( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.
6ª Questão
Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]3, 3.5[, observa-se que:
( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.
129
Tirando conclusões:
Após ter observado os comportamentos das funções e de suas derivadas, responda as perguntas a seguir:
O que você observou acerca do comportamento da imagem da função enquanto a derivada no ponto possuía sinal positivo? _______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
O que você observou acerca do comportamento da imagem da função enquanto a derivada no ponto possuía sinal negativo? _______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
De acordo com as análises realizadas até aqui, escreva com suas palavras, o que a derivada pode nos dizer a respeito do comportamento de uma função?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
______________________________________________________________
Então,
se f´(x) > 0 em um intervalo aberto, então a função é ____________
(crescente; decrescente) neste intervalo.
se f´(x) > 0 em um intervalo aberto, então a função é ____________
(crescente; decrescente) neste intervalo.
130
Sequência 3
Testando os Conhecimentos Adquiridos nas Sequências 1 e 2
“Teste 1”
Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função
denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu
comportamento crescente e decrescente.
Clique em exibir o gráfico da função g(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e
arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a
derivada da função f(x).
Após análise, clique na opção correta.
131
“Teste 2”
Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função
denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu
comportamento crescente e decrescente.
Clique em exibir o gráfico da função f(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e
arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a
derivada da função f(x).
Após análise, clique na opção correta.
132
“Teste 3”
Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função
denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu
comportamento crescente e decrescente.
Clique em exibir o gráfico da função f(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e
arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a
derivada da função f(x).
Após análise, clique na opção correta.
133
Teste 4”
Observem na área de gráfico e navegação os gráficos de três funções. o Função Velocidade o Função Horária o Função Aceleração
Algumas dessas funções podem ser derivadas das outras.
Analise o comportamento dessas funções e descubra qual delas é derivada das demais. Movimente os botões de controle para movimentar os gráficos como auxílio para sua análise.
Após análise, clique na(s) opção(ões) correta(s).
134
Sequência 4
Análise dos Pontos Máximos e Mínimos
“ATIVIDADE 5”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x).
Observe o aparecimento das palavras PONTO CRÍTICO. Estime as
coordenadas destes pontos.
O que ocorre com a função nestes pontos? E com a derivada?
Como podemos localizar um PONTO CRÍTICO com a ajuda da derivada?
Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÁXIMO com a
ajuda da derivada?
Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÍNIMO com a
ajuda da derivada?
135
“ATIVIDADE 6”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x).
Observe o aparecimento das palavras PONTO CRÍTICO. Estime as
coordenadas deste(s) ponto(s).
O que ocorre com a função neste(s) ponto(s)? E com a derivada?
Como podemos localizar um PONTO CRÍTICO com a ajuda da derivada?
Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÍNIMO com a
ajuda da derivada?
Discuta o motivo de não ocorrer um ponto máximo.
136
Tirando conclusões:
De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 1ª derivada de uma
função pode nos ajudar a encontrar um PONTO MINÍMO na curva?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 1ª derivada de uma
função pode nos ajudar a encontrar um PONTO MÁXIMO na curva?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
137
Sequência 5
Análise do Ponto de Inflexão
“ATIVIDADE 7”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x).
Observe o aparecimento das palavras PONTO DE INFLEXÃO. Estime as
coordenadas deste(s) ponto(s).
Analise o comportamento da 1ª derivada próximo ao PONTO DE
INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.
Analise o comportamento da 2ª derivada próximo ao PONTO DE
INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.
De acordo com as análises acima, qual derivada você julga ser capaz de
nos ajudar a localizar o PONTO DE INFLEXÃO? De que forma essa
derivada pode nos auxiliar?
138
“ATIVIDADE 8”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x).
Observe o aparecimento das palavras PONTO DE INFLEXÃO. Estime as
coordenadas deste(s) ponto(s).
Analise o comportamento da 1ª derivada próximo ao PONTO DE
INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.
Analise o comportamento da 2ª derivada próximo ao PONTO DE
INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.
De acordo com as análises acima, qual derivada você julga ser capaz de
nos ajudar a localizar o PONTO DE INFLEXÃO? De que forma essa
derivada pode nos auxiliar?
139
Tirando conclusões:
De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma
função pode nos ajudar a encontrar um PONTO DE INFLEXÃO na curva?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
O que você pode dizer sobre o comportamento da 1ª derivada próximo ao
ponto de inflexão?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
140
Sequência 6
Análise da Concavidade da Curva
“ATIVIDADE 9”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x) próximo ao PONTO DE INFLEXÃO e observe
os comportamentos das derivadas de 1ª e 2ª ordens.
Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar
o ponto da função na curva ANTES do ponto de inflexão?
Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar
o ponto da função na curva DEPOIS do ponto de inflexão?
Quais observações se podem fazer acerca da 2ª derivada diante dos
comportamentos da 1ª derivada acima?
De acordo com as observações realizadas, como se pode utilizar a
derivada para determinar se uma curva é côncava para cima ou para
baixo?
141
“ATIVIDADE 10”
Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no
sentido crescente do eixo x) próximo ao PONTO DE INFLEXÃO e observe
os comportamentos das derivadas de 1ª e 2ª ordens.
Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar
o ponto da função na curva ANTES do ponto de inflexão?
Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar
o ponto da função na curva DEPOIS do ponto de inflexão?
Quais observações se podem fazer acerca da 2ª derivada diante dos
comportamentos da 1ª derivada?
De acordo com as observações realizadas, como se pode utilizar a
derivada para determinar se uma curva é côncava para cima ou para
baixo?
142
Tirando conclusões:
De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma
função pode nos ajudar a concluir que a curva é CÔNCAVA PARA BAIXO?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma
função pode nos ajudar a concluir que a curva é CÔNCAVA PARA CIMA?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
143
Sequência 7
Testando os Conhecimentos Adquiridos nas Sequências 4 a 6
Teste 5”
Observe na área de gráfico e navegação a presença de dois pontos
(A e B) pertencentes a uma função f(x).
o Para movimentar o PONTO A, faz-se necessário exibir o gráfico da
1ª derivada e movimentar o seu ponto.
o Para movimentar o PONTO B, faz-se necessário exibir o gráfico da
2ª derivada e movimentar o seu ponto.
Clique em exibir o gráfico da 1ª DERIVADA e movimente o seu ponto.
Observe que o ponto A percorre a trajetória do gráfico da função f(x).
Clique em exibir o gráfico da 2ª DERIVADA e movimente o seu ponto.
Observe que o ponto A percorre a trajetória do gráfico da função f(x).
144
Responda:
1ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) mínimos de f(x).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) máximos de f(x).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão de f(x).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4ª Questão
Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para cima.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
5ª Questão
Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para baixo.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
145
“Teste 6”
Observe na área de gráfico e navegação a presença de dois pontos (A e
B). Um deles pertence à 1ª derivada e o outro à 2ª derivada.
Para descobrir a qual derivada pertence cada ponto, você deverá
movimentar o ponto da função e observar a movimentação dos pontos
em questão.
146
Responda:
1ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) da 1ª derivada quando o ponto P for ponto
mínimo e ponto máximo da função. Qual o valor da 1ª derivada neste(s)
ponto(s)?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
2ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) da 2ª derivada quando o ponto P for ponto
de inflexão de f(x). Qual o valor da 2ª derivada neste(s) ponto(s).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
3ª Questão
Dê as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão de f(x) e dos pontos máximo e
mínimo.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
4ª Questão
Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para cima e
côncava para baixo.
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
147
Sequência 8
Testes Finais
“Teste 7”
Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 1ª e 2ª
derivadas de uma função f(x).
Estão ocultos, quatro gráficos que podem se tornar visíveis clicando nos
boxes correspondente às funções 1 a 4.
Sabendo um desses gráficos é a função f(x), analise cada um deles
juntamente com as derivadas presentes no plano cartesiano e indique
qual deles é realmente a função f(x).
“Teste 8”
Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 1ª e 2ª
derivadas de uma função f(x).
Estão ocultos, quatro gráficos que podem se tornar visíveis clicando nos
boxes correspondente às funções 1 a 4.
Sabendo um desses gráficos é a função f(x), analise cada um deles
juntamente com as derivadas presentes no plano cartesiano e indique
qual deles é realmente a função f(x).
“Teste 9”
Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 2ª
derivada de uma função f(x).
Clique nos boxes correspondentes aos intervalos 1 a 5 para exibi-los no
gráfico.
148
Apêndice B
Produto Educacional
Caderno de Atividades e
Objeto de Aprendizagem
(Ambos disponibilizados em CD)
149
Anexo
150
Plano de Ensino de Cálculo II
CÁLCULO II
Descrição: Plano de Ensino de ENGENHARIA CIVIL Ano: 2014
Carga horária semanal: 4 Carga horária total: 80
Carga horária em aulas
expositivas: 66
Carga horária em atividades
práticas supervisionadas: 14
EMENTA
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável: Números reais; funções; limites e continuidade; derivadas e suas aplicações.
OBJETIVOS
1. Interpretar e solucionar problemas envolvendo limites e derivadas. 2. Preparar o aluno para que adquira as seguintes competências: 2.1. Desenvolver a capacidade de raciocínio; 2.2. Resolver problemas, bem como seu espírito crítico; 2.3. Desenvolver sua criatividade. 3. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano. 4. Desenvolver atitudes positivas em relação ao cálculo, como autonomia, confiança em relação às suas capacidades matemática, perseverança na resolução de problemas, gosto pelo trabalho cooperativo. 5. Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção do real, usando modelagem matemática, aplicando métodos matemáticos em situações reais.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES RELACIONADAS
1) aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia; 2) identificar, formular e resolver problemas de engenharia; 3) desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas; 4) atuar em equipes multidisciplinares; 5) compreender e aplicar a ética e responsabilidade profissionais.
151
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Conjunto dos números reais e desigualdades. Retas, circunferências e coordenadas. Função, classificação das funções e gráficos. Limites e suas propriedades. Função contínua. Limites de função composta. Limites infinitos e limites quando x tende ao infinito. Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero. Derivadas das funções elementares. Derivadas fundamentais. Técnicas de derivação. Problemas de Máximo e mínimo. Pontos de inflexão.
ESTRATÉGIA DE ENSINO
Aulas expositivas e comentadas sobre as temas a serem abordados.
RECURSOS DIDÁTICOS
Apostilas com conteúdos ministrados e lista de exercícios, quadro, projetores e softwares computacionais.
ATIVIDADES EXTRACLASSE ORIENTADAS
Prática através de resolução de exercícios. Exercícios Avaliativos.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
1ª AVALIAÇÃO ( 30 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (10 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos) 2ª AVALIAÇÃO ( 30 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (10 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos)
152
3ª AVALIAÇÃO ( 40 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (20 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos)
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
STEWART, James. Cálculo. 7.ed. São Paulo: Thomson Learning, 2013. ANTON, Howard. Cálculo. v.1. 8.ed. Porto Alegre-RS: Bookman, 2007. THOMAS, George B. Thomas Jr. Cálculo. 11.ed. São Paulo-SP: Addison Wesley, 2009.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
AYRES JUNIOR, Frank; MENDELSON, Elliott. Cálculo diferencial e integral. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 704p. BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 2004. BOULOS, Paulo. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books, 2004. 101p. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005. 263p. SIMMONS. George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.