EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS

1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo.

a) 8x2x)x(P 2 −+=

b) xx2x)x(G 23 +−=

c) 2x3x)x(F 2 +−=

2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma

)x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente.

a) 1x4x2x)x(P 23 +−+= e 1x)x(D −=

b) 4x3x)x(P 24 −−= e 2x)x(D +=

c) 2x3xx)x(P 23 −+−= e 3x2x)x(D 2 +−=

d) 2xx)x(P 34 −+= e 5xx)x(D 2 +−=

3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo.

a) ( x + 1 )2

b) ( a + 5 )2

c) ( a2 + 1 )2

d) ( 3y + 2 )2

e) 2

4y

2x

+

f) ( 2a + 10 )2

g) ( x2 + y2 ) 2

h) ( 2xy + 5 )2

i) ( 2 – s )2

j) (2m – n )2

k) 2

3y

2x

−

l) (a2 – b2 )2

m) 2

21

a

−

n) ( )223 ab3a −

o) (2+m) (2-m)

p)

−

+2d

3c

2d

3c

q) ( 1 – 3v) (1 + 3v)

r) ( 1 + a )3

s) 3

3s

2x

+

t) ( 2c + 3d)3

u) (2 – x)3

v) (a2 – 2)3

w) 3

s21

−

x) (3m – 2n )3

y) (2m –b) (2m + b)

z) 3

43a

+

4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo.

a) 222232 zx3zyx5zx2zx +−−

b) 2222222 yt3zy5xyt12xyz20tx12zx20 −+−+−

c) ( ) ( ) ( )22 cz5)cz5(yx2yx ++++−+

d) 43

x1263

x9 2 ++

e) ( ) ( ) 2222 36191219 xxxx ++−+

f) nn xx 236 +

g) 2222

36316

ybabxyxa

+−

5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias.

a) xy

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

22 22.

+

+−

+−+

+−

−−+

b) 2

22

44

22

22

2

4.

42

x

yx

yx

yx

yx

xyx

xyx

x −

−+

++

++

−

c) 2222

22

xa

bx

ba

xa

+÷

−

d)

bb

aba1

1

113

+−

+

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS

1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2

2) a) 1x3x)x(Q 2 −+= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 01x3x1x1x4x2x 223 +−+−=+−+

b) 2xx2x)x(Q 23 −+−= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 02xx2x2x4x3x 2324 +−+−+=−−

c) 1x)x(Q += ; 5x2)x(R −= portanto, ( )( ) 5x21x3x2x2x3xx 223 −+++−=−+−

d) 3x2x)x(Q 2 −+= ; 13x13)x(R +−= portanto,

( )( ) 13133252 2234 +−−++−=−+ xxxxxxx

3)

a) x2 + 2x + 1

b) a2 + 10a + 25

c) a4 + 2 a2 + 1

d) 9y2 + 12y + 4

e) 16y

4xy

4x 22

++

f) 4 a2 +40a + 100

g) x4 + 2x2y2 + y4

h) 4x2y2 + 20xy +

25

i) 4 – 4s + s2

j) 4m2 – 4mn + n2

k) 2 2

4 3 9x xy y− +

l) a4 – 2a2b2 + b4

m) 2 14

a a− +

n) 6 4 2 2 46 9a a b a b− +

o) 4-m2

p) 2 2

9 4c d−

q) 1 – 9v2

r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3

s) 3 2 2 3

8 4 6 27x x s xs s+ + +

t) 8c3 + 36c2d + 54cd2 + 27d3

u) 8 – 12x + 6x2 – x3

v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8

w) 2 31 3 38 4 2

s s s− + −

x) 27m3-54m2n+36mn2-8n3

y) 4m2 – b2

z) 3 21 416 64

27 3a a a+ + +

4)

a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z)

b) 2 2(2 ) (5 3 )x y z t+ −

c) 2( 5 )x y z c+ − −

d)

+

+41

x31

x9

e) 4(3 1)x −

f) 2 (6 1)n nx x +

g) 2

by64ax

−

5)a)

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

( ) ( )2 2 2( ) 2 2 2( )( )( ). . .

( ) ( ) 2 2( )( )

4 2( ). 4

2( )

x y x y x y x yx y x y x xy y x xy y x yx y x y x y x y

x y x y xy xy xyx y x y x xy y x xy yx y x y x y x y

xy x yxyx y

+ − + − −−+ + + + − + − +− + + −= = =

+ − + + − + + + − ++− + + −

+=

+

b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2)

2 2 2 2 2

2 2 4 4 22 4( ).

4

x x x x y x yx y x y x y x y x

−+ + + =− + + −

=2 2 2 2 2 2 2

2 2 2( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( )( ).

( )( )( ) 4

x x y x y x x y x y x x y x y x y x y x y

x y x y x y x

+ + + − + + + − + + −

+ − +=

=4 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 2 2

2 2 22 2 4 1( ).

4

x x y x y xy x x y x y xy x x y x y

x y x

+ + + + + − − + − +

+=

=4 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 24 4 1 4 ( ) 1( ). . 1

4 4

x x y x x y

x y x x y x

+ += =+ +

c) 2 2 2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 2 2 2 3.

a x bx a x a x a xbxa b a x a b a b x

− − + −÷ = =

+

d)

3

3 23 3

2 3 2 2 2 2

1 1 11 ( 1)( 1) 1

.1 1 1 ( 1)1

ba b b b b b bab ab

b b ab b b ab b b abbb b

+++ + − + +

= = = =− + − + − +− +