Polinomios, produtos notáveis e fatoração

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POLINMIOS, PRODUTOS NOTVEIS

E

FRAES ALGBRICAS


POLINMIOS, PRODUTOS NOTVEIS E FRAES ALGBRICAS

O Mdulo composto por uma coletnea de exerccios que tem como objetivo ajud-lo a relembrar itens como:

- Colocar em evidncia; - Produtos Notveis; - Mnimo Mltiplo Comum, onde os denominadores so variveis e no nmeros.

I. POLINMIOS

1) DEFINIO: Polinmios so qualquer adio algbrica de monmios.

MONMIOS: toda expresso algbrica inteira representada por um nmero ou apenas por uma varivel, ou por uma multiplicao de nmeros e variveis.

Exemplos: a) m5 b) 2p c) xy2 d) my

Geralmente o monmio formado por uma parte numrica chamada de coeficiente numrico e por uma parte literal formada por uma varivel ou por uma multiplicao de variveis.

Exemplo: {

22 mx2mx2 =

Os monmios que formam os polinmios so chamados de termos dos polinmios.

Obs. 1: O monmio ay4 um polinmio de um termo s.

Obs. 2: y4x2 ++++ um polinmio de 2 termos: x2 e y4 .

Obs. 3: 4abx2 ++++ um polinmio de 3 termos: x2 , ab e 4.

2) OPERAES COM POLINMIOS

2.1. Adio Algbrica de Polinmios

Para somarmos 2 ou mais polinmios, somamos apenas os termos semelhantes.

Exemplo:

Coeficiente Numrico

Parte Literal


a) Obter o permetro do tringulo abaixo:

Como permetro a soma dos lados, teremos: ( ) ( ) ( ) =++++ 3x4x3x1x 22

termos semelhantes =++++ 3x4x3x1x 22

termos semelhantes

{ =++++ 31x4xx3x22

43421321

4x3x4 2 + o resultado um polinmio.

b) ( ) ( ) ( ) =+++ xy2xyx34xy4x 22

xy2xyx34xy4x 22 +

=+ xy2xyx34xy4x 22

=+ 32144 344 2143421 24xyxyxy4x3x22

6xy4x2 2

E X E R C C I O S 1) Reduza os termos semelhantes: a) = 2222 46104 aaaa b) =+

532aaa

2) Escreva os polinmios na forma fatorada: a) =+ 234 654 xxx b) =+ 3322 1248 baabba c) =+ 43223 315 xbaxba d) =+++ acabcb 55 e) =+++++ cnbnancmbmam f) =++ 22 2 yxyx g) =++ 962 aa h) =+ 36122 mm i) = 22 164 yx j) =122nm k) ( ) ( ) ( )=++++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235 l) =

++

+

++ cbabaccab

61

61

81

21

31

45

m) ( ) ( ) ( )=+++ 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx

2x 1+x

343 2 + xx

Primeiro eliminaremos os parnteses tomando cuidado quando houver sinal negativo

fora dos parnteses.


2.2. Multiplicao Algbrica de Polinmios

A multiplicao de um polinmio por outro polinmio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.

Exemplo:

a) ( ) ( )xxy2x 2 + xy2xy2xxxx 22 +=

yx2yx2xx 223 += e fica assim.

b) ( ) ( )b2a3ba2 + b2ba3bb2a2a3a2 +=

bb2ab3ba22aa32 += 22 2346 bababa

ssemelhantetermos

+=44 344 21

22 b2aba6 =

c) ( ) ( ) =+ 2p3p1p2 2

=++

=++

=++

2p3p4pp6p2

2p3pp4p6p2

21p31p12p2p3p2pp2

223

223

22

32143421

876

2p7p7p2 23 +

d) ( ) ( ) = yy3xy4xxy 22

Conserve a base e some os expoentes.


=+

=+

222222

2222

yx4yyxx34xyyyxx3

yyx4yx3yx4yxyyx3xy

2224223 yx4yx12xyyx3 + no h termos semelhantes

Obs.: No item fatorao de polinmios veremos outras formas de apresentar esta resposta.

2.3. Diviso Algbrica de Polinmio

Diviso de um polinmio por um monmio

A diviso de um polinmio por um monmio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinmio pelo monmio.

Exemplo: a) ( ) =+ 3234 x5x15x20x10

3

2

3

3

3

4

3

234

x5x15

x5x20

x5x10

x5x15x20x10

+=+

=

x

34x2

x

1314x2

x314x2x3x4x2

x5

15x

520

x5

10

1

1

101

323334

+=

+=

+=

+=

+=

ou

3

2

3

3

3

4

3

234

x5x15

x5x02

x5x10

x5x15x20x10

+=+

x

34x2

xx

x314x

xx2x

x3x

x4x

x2

2

2

3

3

3

2

3

3

3

4

+=

+

=

+=

/

/

/

/

/

/


b) ( ) = 224334 yx7yx7yx28

22

43

22

34

22

4334

yx7yx7

yx7yx82

yx7yx7yx28

=

=

22

212

24232324

xyyx4

yx1yx4

yx1yx4

=

=

=

ou

22

43

22

34

22

4334

yx7yx7

yx7yx82

yx7yx7yx28

=

22

22

22

222

22

122

xyyx4

xy1yx4

yx.1yyxx1

yxyyxx4

=

==

////

////

= //

//

//

//2

Obs.: Na parte de fatorao de polinmios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.

EXERCCIOS 3) Calcule:

a) =+ )4)(3(5 xxx b) =+ ))(2(3 babaab c) =+ )1)(1)(1( 2 aaa d) ( )( ) =2

24

72135

a

aa

e) ( ) =

xyxyyx )( 33

f) ( )( ) = 2357

6722442

yyyy

g) ( )( ) =+ abc abccabbca 5 502510222

h) =

+

ab

abbaba

274

52

21 2222

i) =+2

3a2

j) a

1a5 2 +

4) Escreva os seguintes polinmios na forma mais reduzida:

a) ( )( ) =+ 222 2axxaax b) ( )( ) ( ) =++ yxayxayx 2

c) ( )( ) ( )( ) =+ cbcbabacba d) ( )( )( ) ( )( ) =+++ 22 2323 yxyxyxyxyx

Como 22yx7 mnimo mltiplo da frao, podemos separar em duas fraes.


e) ( ) ( )( ) ( )[ ]=+++ 2222 xaaxxaxa f) ( )= 132.3 2 xxx g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22

h) =

21

41

.

52

xx

i) =

+

23

43

.4 aa

II. PRODUTOS NOTVEIS

No clculo algbrico alguns produtos so muito utilizados, e so de grande importncia para simplificaes realizadas em expresses algbricas. Devido a importncia, estes produtos so chamados de produtos notveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:

1) ( ) ( ) 22 yxyxyx =+ 2) ( ) 222 yxy2xyx += 3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx +=

Todos estes produtos so desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicao em relao adio e subtrao. Se lembrarmos deste detalhe no precisaremos mais decor-los, observemos:

a) (((( )))) (((( )))) ====++++ yxyx =//+ 22 yxyyxx 22 yx

b) (((( )))) ====++++ 2yx ( ) ( ) =+++=++ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++++++++

c) (((( )))) ==== 2yx ( ) ( ) =+= 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++++

d) (((( )))) ====++++ 3yx ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=++ 222 2 yxyxyxyxyx

=+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx ++++++++++++

Como utilizaremos os produtos notveis?

Exemplos para simplificaes:

a) ( )( ) ( ) ( )yx3

yxyxyx3

yxy3x3

notvel produto22

=

+

+

+

b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+

Obs.: (((( ))))24x ++++ jamais ser igual a 16x 2 ++++ , basta lembrarmos que: (((( )))) (((( )))) (((( )))) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++++++++====++++++++++++====++++++++====++++


Observemos que b o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidncia

com o menor expoente.

c) ( )32a jamais ser 8a 3 , pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+== 4a4a2a2a2a2a 223

{ { 8a12a6a8a8a2a4a4a23223

+=++

EXERCCIOS 5) Desenvolva os produtos notveis:

a) ( )2ba + b) ( )232 +a c) ( )243 yx + d) ( )2ba e) ( )232 a f) ( )243 yx g) ( ) )( baba +

h) ( )( )3232 + aa i) ( )( )yxyx 3434 + j) 2

21

y

k) ( )22hd l) ( )( )3535 + m) ( )( )1212 +

6) Sabendo que a b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 b2.

III. ALGUNS CASOS DE FATORAO DE POLINMIOS

A fatorao de polinmios ser muito usada para simplificao de expresses algbricas e para obter o mnimo mltiplo comum (m.m.c.) de fraes algbricas.

1. Fatorao pela colocao de algum fator em evidncia

Exemplos:

a) 2bab

Ento ( )babbab 2 =

Ao efetuarmos o produto ( )abb , voltaremos para a expresso inicial 2bab .

b) by4ay2 +

2y o fator comum; 2 o mnimo (menor) divisor comum de 2 e 4; Portanto 2y deve ser colocado em evidncia.

ababbab ==

bbbbb

22

==


Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+

c) xb8bx16bx4 223

( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 =

d) ( )3225322 my2ymymym2 =

Obs.: As variveis que aparecem em todos os termos do polinmio aparecero no fator comum sempre com o menor expoente.

EXERCCIO 7) Simplifique as expresses:

a) ( ) =+

+

baba 2

b) ( )( ) =++++

xcbaxcba

c) ( ) =+

+

baba

5533

d) =+

+

151555

baab

e) =++

+22 2 baba

ba

f) =+

11

2a

a

g) =++

969

2

2

xx

x

h) =

2

2

2639

bababa

Fator comum 2bx (as variveis b e x com seus menores expoentes) 2 o mnimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. Portanto, 2bx deve ser colocado em evidncia.

ay2ay2y2ay2 ==

b2y2

by4y2by4 ==

23

3 x2bx2

bx4bx2bx4 ==

x8bx2bx16bx2bx16

22

=

=

b4bx2

xb8bx2xb82

2=

=

2ymym2 2222 =

322

532253 my

ymymymym ==


IV. FRAES ALGBRICAS

As fraes que apresentam varivel no denominador so chamadas de fraes algbricas.

Exemplos: tm2

,

yt4

,

x

22

As operaes de adio, subtrao, multiplicao e potenciao de fraes algbricas so exatamente iguais s operaes realizadas com fraes no algbricas. A seguir trazemos alguns exemplos:

1. Adio e Subtrao

Tanto na adio como na subtrao de fraes, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.

Exemplos:

a) y4

1x2

3+

=+y4

1x2

3xy4

xy6 +

b) 222

x8y

xy32

yx

+

M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y =

24222

222

22

yx24xyx24

yx24y

yx24yyx24

=

==

x162x8

x8xy3

yx24xy3yx24 2

22222

=

==

22

m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 o m.m.c. de 2 e 4. xy todas as variveis que aparecem nos denominadores comporo o m.m.c. com seus maiores expoentes.

y63y2

y2x2xy4

x2xy4

=

==

x1x

xy4

xy4y4xy4

=

==

24 o m.m.c. entre 1, 3 e 8;

22yx so as variveis com seus maiores expoentes.


=+ 22

2

x8y

xy32

yx

22

324

yx24y3x16yx24 +

VOC SABE A DIFERENA ENTRE MMC e MDC ?

Qual a diferena entre m.d.c. e m.m.c.? m.d.c. mnimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em

todos os termos) para colocar em evidncia. Ex.: a) 2, 4, 6 m.d.c. 2, pois 2 o menor nmero que divide 2, 4 e 6. b) 10, 15, 20 m.d.c. 5, pois 5 o menor nmero que divide 10, 15 e 20.

m.m.c. mnimo mltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos fraes.

Qual o mmc de 2,4 e 6 ? Observe: mltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) mltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) mltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)

O nmero 12 o menor dos mltiplos de 2, 4 e 6 por isso chamado de mnimo mltiplo comum.(mmc). No entanto no necessrio recorrer a este modo para determinar o mmc de vrios nmeros. Pode-se usar a regra prtica de a decomposio simultnea em fatores primos..

Ex.: a) 2, 4, 6 m.m.c. 12.

b) 10, 15, 20 m.m.c. 60.

Nos exemplos c e d a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrev-los na forma fatorada.

c) x39

x

xx33

2

Fatorando os denominadores:

605.3.2.25322

1,1,15,5,55,15,5

10,15,520,15,10

=

123.2.2322

1,1,13,1,13,2,16,4,2

=


( )( )x33x39

x3xxx3 2

=

=

M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x e ( )x33 ser: ( )x3x3

Assim ( ) ( ) == x33x

x3x3

x39x

xx33

2 ( )x3x3x9 2

Mas ainda podemos melhorar o resultado:

( )( )( )

( ) x3x3

x3x3x3x3

x3x3x9 notvel produto2 +

=

+

d) ya

1yaya

yaa

22 ++

+

Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: ( )( ) notvel produto yayaya 22 +=

Assim teremos:

( )( ) =++++=+++

+ ya

1ya

1ya

a

ya1

yayaya

yaa

( )( )( ) ( )( )yaya

y2a2ayayaya

yayayaa 2

+

++=

+

+++

2. Multiplicao e diviso de fraes algbricas

A multiplicao e diviso de fraes algbricas exatamente igual a de fraes numricas, ou seja no necessrio obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplos:

m.m.c dos denominadores ser ( )( )yaya +

Denominadores fatorados

m.m.c.

produto de todos os termos que aparecem nos denominadores

( ) ( ) ( )( )2

xxx que temose

xx33x3x3

x33x3x3

=

=

=

( ) ( ) ( )( )933 que temose

3x3xx3x3

x3xx3x3

=

=

=


a) xy34

xy3y4

y1

3y2

x

222 ==

b) yx

12yx

12yx

3x

4

3yx

x

4

32122 =

==+

EXERCCIOS 8. Calcule:

a) =+ya

ya

ya 23

b) =+

++

+

+

yxx

yxx

yxx 123

c) =+ba

ba

ba

23

32

d) =+x

a

x

a

x

a

43

22

3

e) =xx 4

322

f) =

++

223

a

a

a

g) =

+

+

11

2213

x

x

x

x

h) =

++ baba

11

i) =+

+

+

122 2

ba

aabab

j) 4

1242

222

2

+

++

x

x

xx

x

k) ba

bba

bba

a

++

+

22

22

l) ab

baa

bab

ba 22 ++

+

+

m) =+

+

22

412

2 22

xx

x

x

x

n) =

++

+

14

11

11

2yy

yy

yy

o) =+

+x

xx

33

2

p) =y

x 53

2

q) =+y

bax

ba

r) =+

+ 22

33

a

a

a

a

s) =

52

35

a

aa

t) =x

yya

a

x32 22

83

u) =

+

nm

babanm

)(2

v) =

nm

nm 36

22

w) =

+

+

+

463

1 22

x

x

x

xx

x) =+

1212

a

x

x

a

y) =

x

a

a

23

z) =

x

xa

xyxa 22


9. Calcule:

a) =

+

x

x

x

x

325

25

2

b) =

++

a

xx

a

x

9124

94

2

2

2

c) ( ) =

baa

aba

2

2

2

2

2

d) =

4

222 yx

yx

e) =

2

75

ba

f) =

33

m

a

g) =

2

2

32ba

h) =

1

3

2

45

yx

i) =

3

252ba

j) =

02

c

ab

k) =

22

43

c

ba

l) =

2

baa

m) =

2

432x

x

n) =

+

2

baba


RE S P O S T A S D O S E X E R C C I O S

1 Questo: a) 2a 16 b)

3019a

2 Questo: a) ( )6 5x -4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 23)(a + j) 1) 1).(mn- (mn + b) ( )22b3a 1 -2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 26)-(m k) 2222 3xy-y5xyx + c) ( )322 bx 5a xb3a + f) 2y)(x + i) 4y) 4y).(2x-(2x + l) ( )

2412c 8b-3a +

m) 1,1- 0,9x -0,1x2

3 Questo: a)

60x- 5x 5x 2 3 + d) 3 - 5a 2 g) 10c-5b2a + j) a

1a5 +

b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 y x- + h) ( )140

40b 28a-35ab +

c) 12a-a 24 + f) 12y 4y 7y- 35 ++ i) 23

a +

4 Questo: a) 242 2ax-x -a c) 22 c -ab- bc a + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++ b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h)

5x

-

10x2

i) 6a 3a 2 +

5 Questo: a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2 b) 912a4a 2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a 2 k) 22 4h4hd-d + c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2 m) 1

6 Questo:

100

7 Questo: a) ba + c)

53

e) ( )ba

1+

g) 3x3-x

+

b) d d) 3a

f) ( )1a

1+

h) 2b3a


8 Questo: a)

y4a

h) ( )22 b-a

2a

o) ( )x3

9+

v) 2

nm +

b) ( )yx

x

+

i) ( )1ba

b+

p) 3y

10x

w) ( )2-x

3x

c) 6ba

j) 4-x

4-2xx2

2 +

q)

xyb-a 22

x) 2a-2

d) 12x7a

k) ( )( )b-a

ba +

r) 65aa

6a2

2

++

y) 3ax

e) ( )24x3x-8

l) b

2a

s)

32a

z) ( )y

xa +

f) ( )2aa

aa

+ 652

m) ( )2-x

4

t) 2

3xy 2

g) 21

n) ( )( )1y

2-2y+

u) ( )n-m2

nm +

9 Questo: a)

1023x

d) yx +

2

g) 4

6

b4a

k) 2

24

169

c

ba

b) )32(

32+

xa

x

e) 2

2

4925

ba

h) 2

3

54

x

y

l) 22

2

2 babaa

+

c) ( )2ab

a

f) 3

3

27am

i) 125b6/8 a3 m) 2

2

416249

x

xx +

j) 1 n) 22

22

22

babababa

++

+


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Polinomios, produtos notáveis e fatoração

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