polinómios de grau 3 e superior
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Estudo combinado gráfico e algébrico de polinómios de grau 3
e superior
J. Carvalho e Silva Joaquim Pinto
Vladimiro Machado (Projecto Aleph)
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Matemática A Na resolução de problemas deve ser dada
ênfase especial à Modelação Matemática (por exemplo, usando dados concretos recolhidos por calculadoras gráficas ou computadores acoplados a sensores adequados). Deve ser dada ênfase especial à resolução de pro-blemas usando métodos numéricos e gráficos, nomeadamente quando forem usadas ine-quações. A resolução numérica ou gráfica deve ser sempre confrontada com conhecimentos teóricos.
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Matemática A
Deve ser usada a resolução analítica sempre que a natureza do problema o aconselhar, por exemplo quando for conveniente decompor um polinómio em factores. O estudo analítico dos polinómios deve ser suscitado pela resolução de problemas e aí integrado. A resolução analítica de problemas deve ser sempre acompa-nhada da verificação numérica ou gráfica.
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Problema de modelação O crescimento do carvalho vermelho é apro-
ximado pela função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 onde C é a altura da árvore (em pés) e t é a sua
idade em anos (2≤t≤34). Use uma apli-cação gráfica para traçar o gráfico da função e estimar a idade da árvore quando está a crescer mais rapidamente. Este ponto é o chamado ponto de diminuição dos retornos porque o aumento do crescimento será menor em cada ano que se segue.
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adequado?
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adequado? O crescimento do carvalho vermelho é
aproximado pela função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 onde C é a altura da árvore (em pés) e t é a
sua idade em anos (2≤t≤34).
Domínio: intervalo [2,34] Eixo dos yy: usando tabela
de valores
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Escolha da janela
[2,34]x[-1,30] serve neste caso Note-se que [-1,30] nem é contradomínio
nem conjunto de chegada A janela tem de ser escolhida caso a caso
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ponto de diminuição dos retornos
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Generalização
Qual será o comportamento da função C(t)=−0.003t^3 +0.137t^2 +0.458t−0.839 em toda a recta real e não apenas no
intervalo [2,34]? Como proceder?
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Sobre polinómios
Corolário do Teorema Fundamental da Álgebra: O número máximo de zeros reais de uma função polinomial de grau n é exactamente igual a n .
Teorema de Cauchy: todas as raízes reais de um polinómio mónico (em que o coeficiente do termo de grau mais elevado é igual a 1) estão contidas no intervalo [−M −1, M +1] onde M é o maior dos valores absolutos dos coeficientes do polinómio.
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Caso geral
Transformar num polinómio mónico
Zeros estão todos no intervalo [-280,280]
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Primeiro gráfico
Basta a janela [-100,100]x[-100,100]
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Segundo gráfico
Encontramos três zeros
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O caso das raízes inteiras
Critério de divisibilidade: Se um polinómio tem coeficientes inteiros, para que seja divisível por x − a é necessário que o termo independente seja um múltiplo de a
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Exemplo
Estudar zeros de f (x)=10x^3 −15x^2 −16x+12 zeros inteiros: 1, 2, 3, 4, 6, 12, -1, -2, -3, -4, -6, -12 Experimentar para todos f(1)=0?, f(2)=0?
… Uma alternativa: traçar o gráfico num
intervalo contendo [-12,12]
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Exemplo
Possíveis zeros: apenas -1, 1 e 2
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Exemplo
f(2)=0 f(x)=(x−2)(10x^2 + 5x − 6)
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Conclusão
Deve haver uma maior integração entre o estudo algébrico e o estudo gráfico (tal como determina o programa oficial.
Teoremas como o de Cauchy de localização das raízes de um polinómio e o da obtenção de todas as raízes inteiras de polinómios de coeficientes inteiros são indispensáveis num estudo elementar mas minimamente eficaz.