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Topografia –Poligonais C. Antunes - FCUL

Poligonais TopogrPoligonais Topográáficasficas

As Poligonais Topográficas apoiadas (ou amarradas) são figuras geométricas (polígonos abertos ou fechados) de apoio ao posicionamento topográfico, formadas por um número finito de lados, interligando dois ou mais pontos previamente coordenados – pontos de apoio, nos quais é conhecida uma orientação – rumos de orientação.

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ClassificaClassificaçção de Poligonais ão de Poligonais

A) Poligonais(geométrica)

Livres (ou suspensa)

Apoiadas (amarradas)

Abertas

Fechadas

Múltiplas

B) Poligonais(matemática)

Abertas (não apoiadas)

Fechadas

Múltiplas

Em anel

Amarradas

2/14

2


Poligonal AbertaPoligonal Aberta

P3

RoPo

P1

P2 P4

P5

P6

P7

P8

D1D2 D3 D4

D5D6

α2

α3

α4

α6

α5α7

α1

Rn

D1 D2 D3D4

D5D6

Altimetria

Amarrada em dois pontos distintos, com orientação para fora da poligonal, normalmente obtida a partir de outros pontos coordenados.

Planimetrian=7 pontos estacionados

n-2=5 pontos novos

n=7 ângulos azimutais

n-1=6 distâncias

n-1=6 desníveis

N=3*n-2=19 observações

I=3*(n-2)=15 incógnitas

Redundância: r = (N-I) = 4

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Poligonal Fechada c/ O. ExternaPoligonal Fechada c/ O. Externa

Amarrada apenas num ponto de apoio, com uma orientação para fora da poligonal (abre e fecha no mesmo ponto).

Planimetria

n=8 pontos estacionados

n-2=6 pontos novos


n-1=7 distâncias

n-1=7 desníveis

N=3*n-2=22 observações



α1

α2

α5

α6α7

α8

α4

α3

P1 ≡P8

P2P3

P4

P6

P5

P7

R0

D1

D2D3

D4

D5

D6

D7

4/14

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Poligonal Fechada c/ O. InternaPoligonal Fechada c/ O. Interna

Amarrada apenas num ponto de apoio, com uma orientação para dentroda poligonal (abre e fecha no mesmo ponto).

α7

Planimetriaα1

α2

α5

α6

α4

α3

P1

P2P3

P4

P6

P5

P7

R0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

n=7 pontos estacionados

n-1=6 pontos novos


n=7 distâncias

n=7 desníveis

1 Rumo

N=3*n+1=22 observações



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Coordenadas e Rumos ObservadosCoordenadas e Rumos Observados

Π−+=Π−+= ∑∑==

nRRRn

ii

n

iin

10

10

' )( αα

∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

+=∆+=

+=∆+=

1

11

1

11

'

1

11

1

11

'

cosn

iii

n

iin

n

iii

n

iin

RDPPPP

senRDMMMM

∑∑−

=

−

=

∆−∆+=∆+=

1

11

1

11

'

2)(n

i

ati

frin

iin

hhHhHH

Transporte de Rumos

Transporte de Coordenadas

Transporte de Cotas

c/ distâncias reduzidas ao plano cartogr áfico

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4


Erros de fechoErros de fecho

üO transporte de rumos e de coordenadas acumula os erros de observação. A diferença desses valores transportados com os valores de chegada no ponto de apoio resulta no erro de fecho

üO número de equações de condição do sistema é igual à redundância r = 4.

üOs erros de fecho formam as quatro equações de condi ção do sistema:

n

n

iinnR RRRR −Π−+=−= ∑

=10

' )(αε

n

n

iiinnP

n

n

iiinnM

PRDPPP

MsenRDMMM

−+=−=

−+=−=

∑

∑−

=

−

=

1

11

'

1

11

'

cosε

ε

n

n

i

ati

fri

nnH Hhh

HHH ∑−

=

−

∆−∆+=−=

1

11

'

2)(

ε

Fecho linear 22PMl εεε +=

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TolerânciasTolerâncias dos erros de fechodos erros de fecho

As tolerâncias devem ser estabelecidas com base no intervalo de confiança dos erros de fecho, o qual é deduzidos a partir da respectivas variâncias.

• Tolerância do erro de Fecho Angular.

n

n

iiR RnR −Π−+= ∑

=10 αε 2

1

2220

niR R

n

iR σσσσ αε ++=⇒ ∑

=

Sendo igual a precisão dos dois rumos de orientação e os ângulos medidos com a mesma precisão

222 αε σσσ nRR+=⇒

Para poligonais fechadas, Ro = Rn αε σσ n R

=⇒

αα εα σ=ε≤ε *6.2T

Tolerância clássica: 'nf ≤α

8/14

5




• Tolerância do erro de Fecho Linear.ll

*6.2Tl εσ=ε≤ε

2

2

2

2

PMll

P

l

Mεεε σ

εε

σεε

σ

+

=

2P

1n

1i

2R

2i1i

2D

2

i

i1i2P

2

2M

1n

1i

2R

2i1i

2D

2

i

i1i2M

2

nii1P

nii1M

)MM(D

PP

)PP(D

MM

σ+

σ−+σ

−+σ=σ

σ+

σ−+σ

−+σ=σ

∑

∑

−

=+

+ε

−

=+

+ε

Tolerância clássica: 05.0)(005.0)( +≤ kmLmf l

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• Tolerância do erro de Fecho Altimétrico.HH

*6.2TH εσ=ε≤ε

1.0103.0)( +−< nmfnTolerância clássica:

2H

1n

1i

2hIA

2Z

2

ii2D

2

i2H ni1H

22senZD

22

Zcosσ+

σ+σ

∆+σ

∆

+σ=σ ∑−

=ε

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CompensaCompensaçção pelo Mão pelo Méétodo Cltodo Cláássicossico

nαε

=

n'ii

αε−α=α

A compensação da poligonal pelo método clássico faz-se através da distribuição dos erros de fecho pelas observações, usando o princípio de proporcionalidade, adequado ao tipo de erros cometidos ao longo da poligonal.

• Distribuição do erro de fecho angular:

n ângulos medidos => correcção para cada ângulo

ou αε−=ni

RR 'ii

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∑=

kk

ii

DD

LD

• Distribuição dos erros de fecho linear:

Distribuição proporcional à distância

P

1i

1kk

'iiP

i'ii

M

1i

1kk

'iiM

i'ii

L

DPP

LD

PP

L

DMM

LD

MM

ε−=⇒ε−∆=∆

ε−=⇒ε−∆=∆

∑

∑

−

=

−

=

H

1i

1kk

'iiH

i'ii L

DHH

LDHH ε−=⇒ε−∆=∆

∑−

=

12/14

7



∑ ∆∆

kk

i

• Distribuição dos erros de fecho linear:

Distribuição proporcional à variação de coordenadas

Pn

kk

1i

1kk

'iiPn

kk

i'ii

Mn

kk

1i

1kk

'iiMn

kk

i'ii

P

PPP

P

PPP

M

MMM

M

MMM

ε∆

∆−=⇒ε

∆

∆−∆=∆

ε∆

∆−=⇒ε

∆

∆−∆=∆

∑

∑

∑

∑

∑

∑−

=

−

=

Hn

kk

1i

1kk

'iiHn

kk

i'ii

H

HHH

H

HHH ε

∆

∆−=⇒ε

∆

∆−∆=∆

∑

∑

∑

−

=

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Algoritmo de CAlgoritmo de Cáálculolculo

14/14

1º calcular o erro εα

- se εα < εT(α) então

2º distribuir εα por αi ou Ri

3º calcular os erros εM, εP , εl

- se εl < εT(M,P) então

4º distribuir εM e εP por ∆ Mi e ∆ Pi

Planimetria

1º calcular o erro εH- se εH < εT(H) então

2º distribuir εH por ∆Hi

Altimetria

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