PLATAO COMENTA 12-07-11 MATEMATICA · assumindo-se log2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s)...

PROVA 3 - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS

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MATEMÁTICA

GABARITO 1 UEM/CVU

Vestibular de Inverno/2011 – Prova 3 Matemática

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MATEMÁTICA

Questão 01

Sobre uma sequência infinita de números reais 1 2 3, , , , , ,na a a a é correto afirmar que,

01) se tal sequência é uma progressão geométrica de razão 1/2, a mesma converge para zero.

02) se tal sequência é uma progressão geométrica de

razão 3/4, a soma de seus termos converge para 143a

.

04) se tal sequência é uma progressão geométrica não-constante, satisfazendo, para todo natural n,

2 14( )n n na a a , sua razão é necessariamente 2. 08) se tal sequência é uma progressão aritmética, e dois

termos em posições distintas coincidem, isto é, existem naturais i j tais que i ja a , então, sua

razão é 0. 16) se tal sequência é uma progressão aritmética, e a

soma de seus 2011 primeiros termos é 2011, então, 1006 1a .

Questão 02

Supondo que o nível de uma substância tóxica hipotética no sangue de uma pessoa em g/mL, imediatamente após atingir um pico, começa a decrescer segundo a função

( ) 100.(0,8)tf t , em que t representa o tempo, em horas, assumindo-se log 2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01) O tempo gasto para que a concentração da substância

seja de 10 g/mL será de 10 horas. 02) A concentração dessa substância no sangue, no pico,

é de 100 g/mL. 04) A função g , que expressa a concentração da

substância no sangue, em minutos após atingido o

pico, é 100.(0,8)( ) 60

tg t .

08) Após 4 horas de atingir o pico, a quantidade da substância cai pela metade.

16) Após 2 horas de atingir o pico, a concentração da substância no sangue é de 640 g/mL.

Rascunho

Resposta: 29 – Nível Médio

01) CORRETA. Se a1 ≠ 0 e -1 < q <1 então se n → ∞ → an → 0 02) INCORRETA: a1, a2, a3....an

04) CORRETA: Sendo an+2 = 4 (an+1 - an) para n=1 temos

a3= 4(a2- a1) para n=2 temos a4= 4(a3- a2), veja o exemplo.

(5,10,20,40...) Então:

a3 = 4(10 - 5) = 4.5 = 20 a4 = 4(20 - 10) = 4.10 = 40

08) CORRETA. a1, a2,.... an a1= a2 coincidem Razão a2– a1 Então a2– a2 = 0

16) CORRETA:

GABARITO 1 UEM/CVU


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MATEMÁTICA

Questão 01

Sobre uma sequência infinita de números reais 1 2 3, , , , , ,na a a a é correto afirmar que,

01) se tal sequência é uma progressão geométrica de razão 1/2, a mesma converge para zero.

02) se tal sequência é uma progressão geométrica de

razão 3/4, a soma de seus termos converge para 143a

.

04) se tal sequência é uma progressão geométrica não-constante, satisfazendo, para todo natural n,

2 14( )n n na a a , sua razão é necessariamente 2. 08) se tal sequência é uma progressão aritmética, e dois

termos em posições distintas coincidem, isto é, existem naturais i j tais que i ja a , então, sua

razão é 0. 16) se tal sequência é uma progressão aritmética, e a

soma de seus 2011 primeiros termos é 2011, então, 1006 1a .

Questão 02

Supondo que o nível de uma substância tóxica hipotética no sangue de uma pessoa em g/mL, imediatamente após atingir um pico, começa a decrescer segundo a função

( ) 100.(0,8)tf t , em que t representa o tempo, em horas, assumindo-se log 2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01) O tempo gasto para que a concentração da substância

seja de 10 g/mL será de 10 horas. 02) A concentração dessa substância no sangue, no pico,

é de 100 g/mL. 04) A função g , que expressa a concentração da

substância no sangue, em minutos após atingido o

pico, é 100.(0,8)( ) 60

tg t .

08) Após 4 horas de atingir o pico, a quantidade da substância cai pela metade.

16) Após 2 horas de atingir o pico, a concentração da substância no sangue é de 640 g/mL.

Rascunho

Resposta: 03 – Nível Fácil

01) CORRETA.

f(t) = 100.(0,8)t

10 = 100(0,8)t


log10-1 = t [log8 – log10] log10-1 = t [log23 - 1] –1 = t . [3log2 – 1] –1 = t . [3 . 0,3 – 1] ⇒ t = 10.

02) CORRETA.

f(t)=100.(0,8)t

considerando 100 mg/ml.

100=100(0,8)t

(0,8)t=1 ⇒ t = 10.

então:

f(0)=100.(0,8)0

f(0)=100mg/ml

04) INCORRETA.

A função correta seria g(t) = 100.(0,8)t.60

08) INCORRETA.

f(4) = 100.(0,8)4

f(4) = 100.0,4096 f(4) = 40,96

16) INCORRETA:

f(z)=100.(0,8)2

f(z)=100.0,64 f(z)=64

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Questão 03

Sejam f e g duas funções cujos domínio e contradomínio são o conjunto dos números reais, é correto afirmar que, 01) sempre que g é injetora, :g f é injetora. 02) se f é decrescente e g também é decrescente, então,

f g também é decrescente.04) se f é crescente, g é decrescente e ( ) 0g x para todo

x real, então, /f g é crescente. 08) se f é decrescente e g decrescente, então, f g é

decrescente. 16) se os gráficos de f e de g não interceptam o eixo das

abscissas, então, o gráfico de f g também não intercepta o eixo das abscissas.

Questão 04

Considere um triângulo equilátero ABC cuja base AB está apoiada sobre uma reta r e mede L cm. A partir do ponto B, constrói-se um novo triângulo equilátero BB’C’ cujabase BB’ também está apoiada na reta r e mede a metade de AB. Esse processo é novamente repetido a partir do ponto B’ e assim por diante, gerando uma sequência infinita de triângulos. Com base nessas informações, assinale o que for correto.01) A sequência numérica, formada pelas medidas das

áreas dos triângulos em ordem decrescente, é uma

progressão geométrica de razão 12 .

02) A soma das áreas dos triângulos mede 2 33

L 2cm .

04) Para qualquer que seja 0L , a sequência numérica formada pelas áreas dos triângulos sempre conterá pelo menos um número inteiro.

08) A sequência numérica, formada pelas medidas das alturas dos triângulos em ordem decrescente, é uma progressão aritmética de razão 2.

16) A soma das medidas das alturas é 3L cm.

Rascunho

Resposta: 28 – Nível Difícil

01) INCORRETA. Veja o exemplo:

Verifique que “g” é injetora e “gof” não é.

02) INCORRETA. x ↑ → g ↓ → fog ↑

04) CORRETA. Veja o exemplo:

08) CORRETA.

Veja o exemplo:

16) CORRETA:

Veja o exemplo:

Concluímos que

(f . g) apresenta raízes não reais.


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Questão 03

Sejam f e g duas funções cujos domínio e contradomínio são o conjunto dos números reais, é correto afirmar que, 01) sempre que g é injetora, :g f é injetora. 02) se f é decrescente e g também é decrescente, então,

f g também é decrescente.04) se f é crescente, g é decrescente e ( ) 0g x para todo

x real, então, /f g é crescente. 08) se f é decrescente e g decrescente, então, f g é

decrescente. 16) se os gráficos de f e de g não interceptam o eixo das

abscissas, então, o gráfico de f g também não intercepta o eixo das abscissas.

Questão 04

Considere um triângulo equilátero ABC cuja base AB está apoiada sobre uma reta r e mede L cm. A partir do ponto B, constrói-se um novo triângulo equilátero BB’C’ cujabase BB’ também está apoiada na reta r e mede a metade de AB. Esse processo é novamente repetido a partir do ponto B’ e assim por diante, gerando uma sequência infinita de triângulos. Com base nessas informações, assinale o que for correto.01) A sequência numérica, formada pelas medidas das

áreas dos triângulos em ordem decrescente, é uma

progressão geométrica de razão 12 .

02) A soma das áreas dos triângulos mede 2 33

L 2cm .

04) Para qualquer que seja 0L , a sequência numérica formada pelas áreas dos triângulos sempre conterá pelo menos um número inteiro.

08) A sequência numérica, formada pelas medidas das alturas dos triângulos em ordem decrescente, é uma progressão aritmética de razão 2.

16) A soma das medidas das alturas é 3L cm.

Rascunho

Resposta: 18 - Nível Médio

01) INCORRETA.

02) CORRETA.

cm2

04) INCORRETA. Pela soma das áreas , para qualquer L real a área é irracional.

08) INCORRETA. A sequência numérica formada pelas alturas é uma PG de razão .

16) CORRETA.

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Questão 05

Dados números inteiros p e q de forma que a fração pq

seja irredutível, e considerando um sistema de coordenadas cartesianas xOy, o círculo de centro no

ponto 21,

2pq q

e raio 21

2q é chamado de círculo de

Ford e é representado por C[p,q]. Com base no exposto, assinale o que for correto.

01) A área de C[p,q] é 41

16q.

02) Nenhum círculo de Ford tangencia o eixo das abscissas.

04) A equação cartesiana da circunferência que delimita

C[1,2] pode ser escrita como 2 2 14 4y

x y x .

08) Se dois círculos de Ford, com centros nos pontos M eN, com M N , são tangentes no ponto T, então, os pontos M, N e T são colineares.

16) Os círculos C[1,2] e C[1,3] são tangentes entre si.

Questão 06

Sobre as funções definidas por 1/( ) 2 xf x e 21( ) 2g x x cujos domínios são ambos o intervalo ]0,1]

da reta real, é correto afirmar que 01) ambas são funções injetoras. 02) ambas funções são decrescentes no intervalo em

questão.04) a imagem da função g corresponde ao intervalo

]0,1/2].

08) O vértice do gráfico de g é o ponto 1 1,2 8.

16) ( )(1/ 2) 1/10.g f

Questão 07

Considerando 25!N , assinale o que for correto.01) Existem 10 números primos distintos que são

divisores de N.02) A soma de todos os inteiros positivos que são

potências de 7 e divisores de N é igual a 400. 04) 435 é divisor de N.

08) 2525N .16) N é divisor de 30!.

Rascunho


01) INCORRETA.


02) INCORRETA. Como a ordenada do centro é igual ao raio,

então todos os cálculos vão tangenciar o eixo das abscissas.

04) CORRETA.

Se p = 1 e q = 2, então teremos:

08) CORRETA.

16) CORRETA.

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4

Questão 05



ponto 21,

2pq q

e raio 21




16q.




x y x .



Questão 06




]0,1/2].


16) ( )(1/ 2) 1/10.g f

Questão 07




08) 2525N .16) N é divisor de 30!.

Rascunho


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01) CORRETA.

São injetoras x1≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

02) INCORRETA. Ambas são crescentes no intervalo.

04) CORRETA. Analisando o gráfico acima realmente a

imagem está entre

08) INCORRETA. O vértice de

16) INCORRETA:

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4

Questão 05



ponto 21,

2pq q

e raio 21




16q.




x y x .



Questão 06




]0,1/2].


16) ( )(1/ 2) 1/10.g f

Questão 07




08) 2525N .16) N é divisor de 30!.

Rascunho


01) INCORRETA. Os divisores N = 25! são:

D(N) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ... 25!} Os divisores primos de N são:

{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23}

Então temos: 9 divisores primos.

02) CORRETA.

25!=25x24x23x22x21x...x14x13x12x...x7x6x5x4x3x2x1

Então verificamos que: 1=70

7=71

49=72 (7x14=7x7x2) 343=73 (7x14x21=7x7x2x7x3) Concluímos que: a soma de todos inteiros

positivos que são potências de 7 e divisores de N é:

Soma= 1+7+49+343

04) INCORRETA: Decompondo o número 435 temos:

O número primo 29 não é divisor de N.

08) INCORRETA: 2525 = 25x25x25x25x....2525

25! = 25x24x23x22x....3x2x1

Então:

16) CORRETA:

30! = 30x29x28x27x26x25x....3x2x1 25! = 25x24x23x22x21x20x.....3x2x1


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Questão 08

Uma pequena empresa possui em sua linha de produção 4 funcionários que, em conjunto, produzem 800 peças a cada 5 dias (uma semana útil). Sabendo que quaisquer dois funcionários produzem, todos os dias, o mesmo número de peças, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01) A produção semanal de cada funcionário é de 200

peças.02) Para conseguir atender a uma encomenda de 1600

peças, em um prazo de 2 dias, será necessário contratar mais 12 funcionários.

04) Em 4 semanas de trabalho, 2 funcionários produzem 2000 peças.

08) Se cada funcionário ganha um bônus salarial de 10 centavos de real por peça produzida, em um mês em que trabalhou 22 dias, o bônus é de 88 reais.

16) Se a jornada de trabalho é de 8 horas, é necessário que cada um trabalhe mais 90 minutos por dia, a fim de produzir 1000 peças em uma semana útil.

Questão 09

João foi submetido a uma prova constituída por 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas em cada questão, dentre as quais apenas uma é correta. Das dez questões, João respondeu corretamente às quatro primeiras. Nas questões de 05 a 08, ficou em dúvida entre a alternativa correta e uma falsa; na questão 09, ficou em dúvida entre três alternativas, sendo que uma delas era a correta; e na questão restante não conseguiu eliminar nenhuma alternativa. Nas questões em que ficou em dúvida, assinalou uma das alternativas entre as quais ficou em dúvida. Considerando que ele escolheu de maneira equiprovável essas alternativas, é corretoafirmar que 01) João pode responder à prova de 120 maneiras

diferentes.02) a probabilidade de João errar todas as questões em

que ficou em dúvida entre duas alternativas é de 1/16. 04) a probabilidade de João errar apenas uma dentre as

duas últimas questões é de 7/15. 08) a probabilidade de João acertar apenas as questões

pares, a partir da quarta questão, é maior do que a probabilidade de acertar apenas as questões ímpares, a partir da quinta questão (inclusive).

16) a probabilidade de João errar todas as questões, a partir da quinta (inclusive), é oito vezes a probabilidade de gabaritar a prova.

Rascunho


01) CORRETA.

02) INCORRETA.

04) INCORRETA:

08) CORRETA.

16) INCORRETA:

Os quatro funcionários deverão trabalhar 10 horas a mais, logo:

10h x 60 = 600min Então, cada funcionário deverá trabalhar a

mais:

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Questão 08







Questão 09







Rascunho


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GABARITO 1 UEM/CVU


5

Questão 08







Questão 09







Rascunho


01) CORRETA.

Existe 510 maneiras de João responder a prova, logo a proposição é correta pois João pode responder de 120 maneiras.

02) INCORRETA.

São as questões de 5 à 10.

04) INCORRETA.

08) INCORRETA.

16) CORRETA. Probabilidade de gabaritar todas as questões

é (P1)

Possibilidade de errar todas as questões é

(P2):

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Questão 10

O pregão da bolsa de valores de São Paulo se inicia às 10 h e é encerrado às 17 h. Supondo que em um dia de pregão o índice IBOVESPA (em pontos) obedeceu à função 2( ) 200 800 68000I t t t , em que trepresenta horas decorridas a partir da abertura do pregão, é correto afirmar que 01) o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%. 02) a diferença entre o valor máximo do índice no dia e o

valor inicial foi maior do que 1% sobre o índice inicial.

04) às 14 h o índice IBOVESPA ficou igual ao índice da abertura do pregão.

08) ao meio-dia o índice atingiu seu valor máximo. 16) o valor mínimo do índice ao longo do pregão foi de

65000 pontos.

Questão 11

O GPS (global position by sattelite) é um sistema computadorizado de posicionamento no solo, cada vez mais utilizado nos veículos, por meio do qual nos são enviadas informações via satélite, que nos localizam e permitem localizar os destinos desejados em uma pequena tela gráfica. Em um determinado modelo de GPS, uma das opções de tela é a localização através de um sistema de coordenadas cartesianas, com medidas em centímetros, em que a origem (0,0)O representa algum ponto importante escolhido pelo usuário. A partir dessas informações, considerando que um motorista que esteja viajando a uma velocidade constante de 100 km/h se encontra no ponto ( 3,4)P e deseja atingir a origem O e que, nesse momento, o GPS indica que esse motorista atingirá o destino em cinco horas e usando

3 , assinale o que for correto.

01) A equação da reta OP é 34y x .

02) A distância entre o lugar em que se encontra o motorista e o seu destino é de 500 km.

04) Se após 3 horas de viagem, o motorista parar por 30 minutos para descansar e quiser manter o tempo de viagem inalterado, ele deve continuar sua viagem a, aproximadamente, 133 km/h.

08) A equação da circunferência em que o segmento OP

é um diâmetro é dada por 2 23 25( 2) ( )2 4x y .

16) Se a partir de P o motorista dirigisse exatamente sobre a circunferência em que o segmento OP é um diâmetro, ele percorreria 750 km.

Rascunho


01) INCORRETA.

I(t) = - 200t2 + 800t + 68000

a) 10h → t = 0 I(0) = 68000 (Início) b) 17h → t = 7 I(7) = - 200 . 72 + 800 . 7 + 68000 I(7) = 63800 (Fechamento)

Então: 68000 – 100% 4200 – x

x @ 6%

02) CORRETA.

04) CORRETA.

I(4) = - 200 . 42 + 800 . 4 + 68000

I(4) = 68000


08) CORRETA.

I(2) = 68800 é máximo como apresentamos no item 02.

16) INCORRETA.

O valor mínimo será no fechamento do pregão, ou seja:

I(7) = 63800

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Questão 10

O pregão da bolsa de valores de São Paulo se inicia às 10 h e é encerrado às 17 h. Supondo que em um dia de pregão o índice IBOVESPA (em pontos) obedeceu à função 2( ) 200 800 68000I t t t , em que trepresenta horas decorridas a partir da abertura do pregão, é correto afirmar que 01) o pregão se encerrou com queda entre 3% e 4%. 02) a diferença entre o valor máximo do índice no dia e o

valor inicial foi maior do que 1% sobre o índice inicial.

04) às 14 h o índice IBOVESPA ficou igual ao índice da abertura do pregão.

08) ao meio-dia o índice atingiu seu valor máximo. 16) o valor mínimo do índice ao longo do pregão foi de

65000 pontos.

Questão 11

O GPS (global position by sattelite) é um sistema computadorizado de posicionamento no solo, cada vez mais utilizado nos veículos, por meio do qual nos são enviadas informações via satélite, que nos localizam e permitem localizar os destinos desejados em uma pequena tela gráfica. Em um determinado modelo de GPS, uma das opções de tela é a localização através de um sistema de coordenadas cartesianas, com medidas em centímetros, em que a origem (0,0)O representa algum ponto importante escolhido pelo usuário. A partir dessas informações, considerando que um motorista que esteja viajando a uma velocidade constante de 100 km/h se encontra no ponto ( 3,4)P e deseja atingir a origem O e que, nesse momento, o GPS indica que esse motorista atingirá o destino em cinco horas e usando

3 , assinale o que for correto.

01) A equação da reta OP é 34y x .

02) A distância entre o lugar em que se encontra o motorista e o seu destino é de 500 km.

04) Se após 3 horas de viagem, o motorista parar por 30 minutos para descansar e quiser manter o tempo de viagem inalterado, ele deve continuar sua viagem a, aproximadamente, 133 km/h.

08) A equação da circunferência em que o segmento OP

é um diâmetro é dada por 2 23 25( 2) ( )2 4x y .

16) Se a partir de P o motorista dirigisse exatamente sobre a circunferência em que o segmento OP é um diâmetro, ele percorreria 750 km.

Rascunho


01) INCORRETA.

Se P(-3, 4) então:

02) CORRETA. = v . t = 100 x 5h

= 500Km

04) CORRETA.

200 = v . 1,5

V = 133,33Km/h

08) INCORRETA.

16) CORRETA.

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Questão 12

Uma caixa com tampa possui a forma de um cilindro circular reto, com altura de 10 cm e a base com diâmetro medindo o triplo da altura. Essa caixa será preenchida com esferas idênticas que possuem o maior volume possível e de modo que uma das esferas tangencie o centro do disco que forma o fundo da caixa. Com base nessas informações, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01) O volume da caixa é de 32250 cm .

02) O volume de cada esfera é de 3500 cm .304) A caixa conterá 13 esferas. 08) O volume livre restante na caixa, após a colocação

das esferas, é de 33250 cm .316) Seja C a esfera no centro da caixa e 1C uma esfera

tangente a C, o volume da região interna da caixa determinada por dois planos, ambos tangentes a

1 ,C que contenham o eixo do cilindro (caixa) é de 3750 cm .

Questão 13

Considerando H e os seguintes subconjuntos do plano complexo: { | , e 0}H z a ib a b b , ou seja, H é o semiplano superior, e

2 2{ | , e 1}w x iy x y x y , ou seja, é o conjunto dos pontos interiores do disco unitário de equação 2 2 1x y e que, para medir a distância de w até a origem (0,0)O , usa-se a fórmula

21( , ) log 1

wd w Ow

, é correto afirmar que,

01) se 35w , então, sua distância até a origem

mede 4.

02) se 1z i H , então, z iz i

.

04) se 12w , então, não existe z H tal que

z iwz i

.

08) para toda constante 0k , tem-se que 2 12 1

k

kw .

16) para toda constante 0k , existe w , com w real,tal que ( , )d w O k .

Rascunho


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GABARITO 1 UEM/CVU


7

Questão 12






Questão 13



21( , ) log 1

wd w Ow



mede 4.


.


z iwz i

.


k

kw .


Rascunho


01) CORRETA. Vcilindro = pr2h = p.152.10 = p.225.10 = 2250p

02) CORRETA.

04) INCORRETA. Olhando de cima para baixo o cilindro, temos

a seguinte figura.

08) CORRETA. Vcilindro – 7 . volume da esfera

16) INCORRETA. O plano vai dividir em 6 partes o volume do cilindro

GABARITO 1 UEM/CVU


7

Questão 12






Questão 13



21( , ) log 1

wd w Ow



mede 4.


.


z iwz i

.


k

kw .


Rascunho


w = x + yi ⇒ pontos interiores a circunferência x2 + y2 = 1

Distância de w ∈ D até (0, 0)


01) INCORRETA.

02) CORRETA.

04) INCORRETA.

08) CORRETA.

16) INCORRETA.

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Questão 14

Representando por o conjunto dos números reais, o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números naturais sem o zero e considerando como conjunto universo, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).01) 0 ( ) ( ).

02) 0,333... [( ) ( )] .C

04) 2 ( ) ( ).

08) ( )C contém todos os números primos.

16) 0 ( ) ( ) .C C

Questão 15

Em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, em que ABCD seja o quadrilátero determinado pelos vértices e pelos pontos de interseções das parábolas 22 2y x e

2 1y x ; seja 1 2 3 4{ , , , }S r r r r o conjunto das retas distintas determinadas pelos pontos consecutivos de ABCD , é correto afirmar que 01) ABCD é um retângulo. 02) S contém retas paralelas. 04) a área de ABCD mede 3 u.a.. 08) a área da região plana determinada pela interseção

das parábolas é maior que 3 u.a. e é menor que 6 u.a.. 16) o eixo das abscissas divide o quadrilátero ABCD em

duas regiões de áreas iguais.

Questão 16

Considerando a função f definida por ( ) cos(2 ) cos(4 )f x x x e seja S o conjunto das raízes

de f, ( ) 0 ,S x f x é correto afirmar que 01) o valor máximo de f é 2, e existem infinitos pontos do

domínio de f que atingem esse valor máximo. 02) S é um conjunto infinito. 04) existem cinco raízes de f no intervalo [0, ] .08) existem raízes de f da forma (2 1)x k , com

k .16) existem raízes de f da forma 2x k , com k .

Rascunho


01) CORRETA.

02) INCORRETA.

04) CORRETA.

08) INCORRETA.

16) CORRETA.


Página 11

GABARITO 1 UEM/CVU


8

Questão 14


02) 0,333... [( ) ( )] .C

04) 2 ( ) ( ).


16) 0 ( ) ( ) .C C

Questão 15





Questão 16





Rascunho

Resposta: 12 - Nível Médio

De acordo com o enunciado teremos o seguinte:

a) Determianr os pontos de interseções das parábolas.

Então:

Dois vértices são os pontos (1; 0) e (-1; 0)

b) Determinar os vértices das parábolas

O vértice dessa parábola é V1(0; 2)

O vértice dessa parábola é V2(0; -1)

Veja o gráfico abaixo

01) INCORRETA. O quadrilátero ABCD é um trapezóide (não tem lados paralelos).

02) INCORRETA. Todos os pares de retas são concorrentes.

04) CORRETA.

08) CORRETA. Analisando o gráfico

a) Cálculo da área do quadrilátero ABCD.

SABCD = 3 u.a


b) Cálculo da área do quadrilátero BPDQ.

Então a região (S) determinada pela interseção das parábolas é:

16) INCORRETA.

O eixo das abscissas (eixo x) divide o quadrilátero ABCD em dois triângulos cujas áreas são:

GABARITO 1 UEM/CVU


8

Questão 14


02) 0,333... [( ) ( )] .C

04) 2 ( ) ( ).


16) 0 ( ) ( ) .C C

Questão 15





Questão 16





Rascunho


01) CORRETA. f(x) = cos 2x + cos 4x, fatorando temos: f(x) = 2 . cos 3x . cos x.

Para cos(x) ou cos(3x) máximo, igual a 1 temos f(x) = 2 e existe infinitos valores de “x” do domínio de f que verifica f(x) = 2.

02) CORRETA.

04) INCORRETA.

08) INCORRETA. Não existe raízes da forma

16) INCORRETA. Não existe raízes da forma

GABARITO 1 UEM/CVU


9

Questão 17

Fernando e Guilherme se correspondem por e-mailcifrando as mensagens conforme exposto a seguir. Eles associaram as palavras mais comuns a matrizes-linha com 2 colunas, cujas duas entradas são números inteiros com a mesma paridade, isto é, ou ambas são ímpares ou ambas são pares (um número negativo é ímpar, se o seu módulo é ímpar; uma regra análoga vale para número negativo par). Cada entrada ija satisfaz 10 10ija .

Todas as matrizes desse tipo são utilizadas e, para matrizes distintas, são associadas palavras distintas. Então, eles multiplicam a matriz 11 12[ ]a a assim obtida

pela matriz 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2

, obtendo-se uma nova matriz-

linha com 2 colunas, que corresponde à palavra cifrada. Eles enviam um ao outro a mensagem, trocando as palavras cifráveis pelas matrizes assim obtidas. Com essas informações, é correto afirmar que 01) a palavra correspondente à matriz 4 2 , quando

cifrada, é representada pela matriz 3 1 . 02) é possível decifrar as mensagens cifradas recebidas,

multiplicando-se à direita cada matriz recebida pela

matriz1 11 1

.

04) a matriz 5 5 nunca é enviada em uma mensagem cifrada dessa forma.

08) a única matriz-linha que não se altera após ser cifrada é a matriz 0 0 .

16) o número total de palavras cifráveis é de 361.

Questão 18

Sobre o polinômio 4 3 2( ) 3P x x bx cx dx ,assinale o que for correto.01) ( )P x é divisível por 2( )Q x x bx c , se

2b c .02) Se ( )P x possui somente raízes racionais e todos os

seus coeficientes são números inteiros, então, ( )P x possui somente raízes inteiras.

04) Se i e 3i são raízes desse polinômio, então, 0b .08) A soma dos inversos das raízes, levando-se em conta

suas multiplicidades, é / 3d .16) Se ( )P x possui somente raízes inteiras, então, alguma

raiz possui multiplicidade maior do que 1.

Rascunho


Página 13

GABARITO 1 UEM/CVU


9

Questão 17



pela matriz 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2





matriz1 11 1

.




Questão 18







Rascunho

Resposta: 03 – Nível MédioM = [a11 a12]

a11 e a12 é par ou a11 e a12 é impar sendo

-10 < aij < 10

01) CORRETA.

02) CORRETA.

04) CORRETA.

Na multiplicação

08) CORRETA.

16) INCORRETA.

• Com duas entradas par temos 81 palavras.• Com duas entradas impar temos 100

palavras.

Total 181 palavras.

GABARITO 1 UEM/CVU


9

Questão 17



pela matriz 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2





matriz1 11 1

.




Questão 18







Rascunho


P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + 3

01) INCORRETA.

Para b = c = – 2 Q(x) = x2 – 2x – 2 Q(x) = x4 – 2x3 – 2x2 + dx + 3

Não podemos afirmar esta condição pois depende do coeficiente “d”.

02) CORRETA. Pois o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 1.

04) CORRETA:

08) CORRETA.

Sendo x1 ,x2 ,x3 ,x4 as raízes temos:


Página 14

16) CORRETO.

Sabemos que x1.x2.x3.x4 = 3, podemos concluir que no produto é possível haver fatores iguais.

GABARITO 1 UEM/CVU


10

Questão 19

Nosso sistema de numeração é chamado de decimal, pois a representação posicional do número indica uma soma de potências de dez. Assim, o número cinquenta e dois é representado por 1 052 5.10 2.10 . Com respeito às bases três e quatro, o mesmo número é representado, respectivamente, por 3 2 1 01221 1.3 2.3 2.3 1.3 e

2 1 0310 3.4 1.4 0.4 . Em uma base b entre 2 e 10, são utilizados b dígitos 0,1,2,..., 1b . A esse respeito, assinale o que for correto.01) Sessenta e um é representado por 123 na base 7. 02) A igualdade 31 12 13 é verdadeira, se a base

empregada para escrever todos os números for a base 4.

04) 121 é a representação de um número quadrado perfeito em qualquer base maior do que 2.

08) 1011 é a representação do número quinze na base 2. 16) 31 é a representação de um número par na base 5.

Questão 20

O principal monumento da cidade de Maringá é a sua catedral, cuja altura é de 124 m, já incluída a cruz, que é de 10 m. A catedral possui o formato de um cone com, aproximadamente, 50 m de diâmetro externo e 40 m de diâmetro interno. Além disso, a geratriz do cone externo que delimita a catedral mede, aproximadamente, 116,7 m. Levando-se em conta esses dados e supondo a catedral formada por uma “casca” delimitada por dois cones de bases concêntricas e geratrizes paralelas e usando 3 ,é correto afirmar que 01) a altura livre da catedral (distância entre a base e o

ponto mais alto do teto) é superior a 80 m. 02) a superfície lateral do cone externo que delimita a

catedral é superior a 9600 m2.04) em aglomerações estima-se o número de pessoas

presentes, considerando que cada metro quadrado comporte 6 pessoas. Sendo assim, se o térreo da catedral, completamente vazio, pudesse ser livremente tomado por pessoas em uma aglomeração, poderia comportar mais de 8000 pessoas.

08) a coroa circular, na base da catedral, delimitada pelos cones externo e interno, possui área inferior a 600 m2.

16) se o cone externo que delimita a catedral fosse planificado teríamos um setor circular de ângulo superior a 45 graus.

Rascunho


01) INCORRETA. (123)7 = 1.72 + 2.71 + 3.70 = 49 + 14 + 3 = 6602) CORRETA. 31 - 12 = 13 (31)4 = 3.41 + 1.40 = 13 (12)4 = 1.41 + 2.40 = 6 (13)4 = 1.41 + 3.40 = 7 13 - 6 = 7

04) CORRETA.

(121)2 = 1.22 + 2.21 + 1.20 = 9

08) INCORRETA.

(1011)2 = (1.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

16) CORRETA. (31)5 = 3.51 + 1.50 = 16

GABARITO 1 UEM/CVU


10

Questão 19

Nosso sistema de numeração é chamado de decimal, pois a representação posicional do número indica uma soma de potências de dez. Assim, o número cinquenta e dois é representado por 1 052 5.10 2.10 . Com respeito às bases três e quatro, o mesmo número é representado, respectivamente, por 3 2 1 01221 1.3 2.3 2.3 1.3 e

2 1 0310 3.4 1.4 0.4 . Em uma base b entre 2 e 10, são utilizados b dígitos 0,1,2,..., 1b . A esse respeito, assinale o que for correto.01) Sessenta e um é representado por 123 na base 7. 02) A igualdade 31 12 13 é verdadeira, se a base

empregada para escrever todos os números for a base 4.

04) 121 é a representação de um número quadrado perfeito em qualquer base maior do que 2.

08) 1011 é a representação do número quinze na base 2. 16) 31 é a representação de um número par na base 5.

Questão 20

O principal monumento da cidade de Maringá é a sua catedral, cuja altura é de 124 m, já incluída a cruz, que é de 10 m. A catedral possui o formato de um cone com, aproximadamente, 50 m de diâmetro externo e 40 m de diâmetro interno. Além disso, a geratriz do cone externo que delimita a catedral mede, aproximadamente, 116,7 m. Levando-se em conta esses dados e supondo a catedral formada por uma “casca” delimitada por dois cones de bases concêntricas e geratrizes paralelas e usando 3 ,é correto afirmar que 01) a altura livre da catedral (distância entre a base e o

ponto mais alto do teto) é superior a 80 m. 02) a superfície lateral do cone externo que delimita a

catedral é superior a 9600 m2.04) em aglomerações estima-se o número de pessoas

presentes, considerando que cada metro quadrado comporte 6 pessoas. Sendo assim, se o térreo da catedral, completamente vazio, pudesse ser livremente tomado por pessoas em uma aglomeração, poderia comportar mais de 8000 pessoas.

08) a coroa circular, na base da catedral, delimitada pelos cones externo e interno, possui área inferior a 600 m2.

16) se o cone externo que delimita a catedral fosse planificado teríamos um setor circular de ângulo superior a 45 graus.

Rascunho

Resposta: 17 - Nível Fácil

De acordo com o enunciado temos a seguinte figura.


Página 15

01) CORRETA.

OF = Altura livre da catedral. Os triângulos BOF e COG são semelhantes então

teremos:

02) INCORRETA.

04) INCORRETA. A base do cone é um círculo, então teremos:

08) INCORRETA.

16) CORRETA. Planificando o cone externo, teremos um setor circular abaixo:

Então, teremos:


Página 16

COMENTÁRIO SOBRE O CONTEÚDO DE MATEMÁTICA

É fundamental que os candidatos que pretendem estudar nos cursos que dependem da matemática do ensino médio tenham bom domínio da mesma. Para tanto, é preciso muito cuidado na elaboração de uma prova para selecionar os melhores candidatos destes cursos. Devemos levar em consideração a relação entre o número de questões e o nível de dificuldade das mesmas com o tempo disponível.

Tratando-se de uma prova somatória, onde cada proposição exige um raciocínio único e diferenciado, a prova de matemática da UEM contém na verdade 100 questões para resolvê-las em apenas 4 horas. É barra pesada, não???

É importante frisar ainda que, aproximadamente 30% da prova, foram questões cujos enunciados eram apresentados numa linguagem confusa e não adequada para avaliar um aluno concludente do ensino médio.

Mais uma vez os elaboradores da prova de matemática exageraram na quantidade de cálculos exigidos nas resoluções das questões, sem falar dos dados numéricos com valores elevados para serem desenvolvidos numa prova sem uso de uma calculadora.

Esperamos que para os próximos vestibulares, a CVU da UEM apresente uma prova mais compatível com o nível dos candidatos.


Página 17GABARITO 1 UEM/CVU


11

MATEMÁTICA – Formulário Tr

igon

omet

riasen(x y) = sen(x)cos(y) sen(y)cos(x)

cos(x y) = cos(x)cos(y) sen(x)sen(y)

tg(x y) = )y(tg)x(tg1)y(tg)x(tg

A

B Ca

bc

A

B C

Lei dos senos:

)C(senc

)B(senb

)A(sena

Lei dos cossenos:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos(Â)

Anál

ise

Com

bina

tória !nPn

)!rn(!nA r,n

!r)!rn(!nC r,n

nn n

n,0

(a b) C a bi ii

i

Geo

met

riaPl

ana

e Es

paci

al

Comprimento da circunferência: C 2 R

Área do losango: d DA = 2

Área do trapézio: (b + B)hA = 2Área do círculo: A = R2

Área lateral do cilindro: A = 2 Rh

Área do setor circular: 2RA 2

Área lateral do cone: A RG

Área da superfície esférica: A = 4 R2

Área total do tetraedro regular: A= 23 a

Volume do paralelepípedo: V=B.h

Volume do cubo: V = a3

Volume do prisma: V = B h

Volume da pirâmide: 3

hBV

Volume do cilindro: V = R2h

Volume do cone: 3

hRV2

Volume da esfera: 3R34V

Prog

ress

ões

Progressão Aritmética (P. A.):

r)1n(aa 1n

2n)aa(

S n1n

Progressão Geométrica (P. G.): 1n

1n qaa

1q,q1qaa

Sn

11n

1|q|,q1

aS 1

Geo

met

ria A

nalít

ica

Ponto Médio do segmento de extremidades A( x1, y1) e B (x2, y2):

M 1 2 1 2x x y y

,2 2Área do triângulo de vértices

1 1P(x , )y , 2 2Q(x , )y e 3 3R(x , )y :

|,D|21A onde

1yx1yx1yx

D

33

22

11

Distância de um ponto 0 0P(x , )y à reta r: ax + by + c = 0 :

2200

r,Pba

cbyaxd

Conversãode

unidades1 m3 = 1000 l

PLATAO COMENTA 12-07-11 MATEMATICA · assumindo-se log2 0,3 , assinale a(s) alternativa(s)...

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