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Plano Inclinado Com Atrito

1. (Fgv 2013) A figura representa dois alpinistas A e B, em que B, tendo atingido o cume da montanha, puxa A por uma corda, ajudando-o a terminar a escalada. O alpinista A pesa 1 000 N e está em equilíbrio na encosta da montanha, com tendência de deslizar num ponto de inclinação de 60° com a horizontal (sen 60° = 0,87 e cos 60° = 0,50); há atrito de coeficiente 0,1 entre os pés de A e a rocha. No ponto P, o alpinista fixa uma roldana que tem a função exclusiva de desviar a direção da corda.

A componente horizontal da força que B exerce sobre o solo horizontal na situação descrita, tem intensidade, em N, a) 380. b) 430. c) 500. d) 820. e) 920. 2. (Uerj 2013) Um bloco de madeira encontra-se em equilíbrio sobre um plano inclinado de 45º

em relação ao solo. A intensidade da força que o bloco exerce perpendicularmente ao plano inclinado é igual a 2,0 N. Entre o bloco e o plano inclinado, a intensidade da força de atrito, em newtons, é igual a: a) 0,7 b) 1,0 c) 1,4 d) 2,0


3. (G1 - ifpe 2012) Um bloco com massa 8 kg desce uma rampa de 5,0 m de comprimento e 3

m de altura, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a rampa é 0,4 e a aceleração da gravidade é 10 m/s

2. O trabalho realizado sobre o bloco pela força

resultante, em joules, é:

a) 112 b) 120 c) 256 d) 480 e) 510 4. (G1 - cftmg 2012) Na figura, estão indicadas as forças atuantes em uma caixa de peso P =

60 N que sobe uma rampa áspera com velocidade constante sob a ação de uma força F = 60 N.

Nessas circunstâncias, o coeficiente de atrito cinético entre a rampa e esse bloco vale a) 0,1. b) 0,2. c) 0,3. d) 0,5.


5. (Ufpb 2012) Um vagão gôndola, mostrado na figura a seguir, transportando minério de ferro,

deve descer uma rampa inclinada para entrar em uma mina a certa profundidade do solo.

Para controlar a velocidade de descida do vagão, um cabo de aço é amarrado a esse vagão e a uma máquina que está na parte superior da rampa. Esse cabo aplica, no vagão, uma força paralela à rampa e orientada para a máquina. Essa situação pode ser descrita em um diagrama vetorial em que as forças aplicadas possuem as seguintes notações: • T é a força feita pelo cabo de aço na gôndola; • fa é a força de atrito na gôndola; • P é a força peso da gôndola; • N é a força normal na gôndola. Adote os conceitos da Mecânica Newtoniana e as seguintes convenções:

O valor da aceleração da gravidade: 2g 10 m/s ;

A resistência do ar pode ser desconsiderada. Nesse contexto, a situação descrita está corretamente reproduzida no diagrama vetorial:

a)

b)

c)

d)

e)


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Os materiais granulares são conjuntos com grande número de partículas macroscópicas e têm papel fundamental em indústrias como a de mineração e construção na agricultura. As interações entre os grãos são tipicamente repulsivas e inelásticas, decorrendo a dissipação de energia principalmente das forças de atrito. Em muitas ocasiões, os sistemas granulares não se comportam como gases, líquidos ou sólidos. Eles podem ser considerados apropriadamente como outro estado da matéria. Por exemplo, uma pilha de grãos estável se comporta como um sólido. Se a altura dessa pilha aumentar acima de certo valor, os grãos começam a fluir. No entanto, o fluxo não será como em um líquido, porque tal fluxo somente se dará em uma camada na superfície da pilha, enquanto os grãos, no seu interior, ficarão em repouso.

Revista Brasileira do Ensino de Física, v. 30, n.º 1, 2008 (com adaptações).

6. (Unb 2011) Admitindo que uma pilha de sal, na forma de cone circular reto, tenha raio da base de 10,0 m e coeficiente de atrito estático entre as partículas igual a 0,3, calcule, em metros, a altura máxima que o cone de sal pode assumir sem que ocorra deslizamento. Para a marcação no caderno de respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após realizar todos os cálculos solicitados. 7. (Pucrj 2010) Um bloco escorrega a partir do repouso por um plano inclinado que faz um ângulo de 45º com a horizontal. Sabendo que durante a queda a aceleração do bloco é de 5,0 m/s

2 e considerando g= 10m/s

2, podemos dizer que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco

e o plano é a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 8. (Mackenzie 2009) Certo corpo começa a deslizar, em linha reta, por um plano inclinado, a

partir do repouso na posição x0= 0. Sabendo-se que após 1,00 s de movimento, ele passa pela

posição x1 = 1,00 m e que, com mais 3,00 s, ele chega à posição x2, o coeficiente de atrito

cinético entre as superfícies em contato (ìc) e a posição x2 são, respectivamente, iguais a:

Dados:

sen α = 0,6

cos α = 0,8

g = 10m/s2

a) 0,25 e 16,00 m b) 0,50 e 8,00 m c) 0,25 e 8,00 m d) 0,50 e 16,00 m e) 0,20 e 16,00 m


9. (Pucrj 2009)

Um bloco de massa m é colocado sobre um plano inclinado cujo coeficiente de atrito estático ì

=1 como mostra a figura. Qual é o maior valor possível para o ângulo á de inclinação do plano

de modo que o bloco permaneça em repouso?

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) 75°

e) 90°

10. (Uerj 2009) Uma pequena caixa é lançada sobre um plano inclinado e, depois de um

intervalo de tempo, desliza com velocidade constante.

Observe a figura, na qual o segmento orientado indica a direção e o sentido do movimento da

caixa.

Entre as representações a seguir, a que melhor indica as forças que atuam sobre a caixa é:


11. (Ufrj 2009) Um pequeno bloco de massa m = 3,0 kg desliza sobre a superfície inclinada de

uma rampa que faz com a horizontal um ângulo de 30°, como indica a figura.

Verifica-se que o bloco desce a rampa com movimento retilíneo ao longo da direção de maior

declive (30° com a horizontal) com uma aceleração de módulo igual a g/3, em que g é o módulo

da aceleração da gravidade.

Considerando g = 10m/s2, calcule o módulo da força de atrito que a superfície exerce sobre o

bloco.

12. (Uerj 2008) Um bloco de massa igual a 1,0 kg repousa em equilíbrio sobre um plano

inclinado. Esse plano tem comprimento igual a 50 cm e alcança uma altura máxima em relação

ao solo igual a 30 cm. Calcule o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano inclinado.

13. (Ufrrj 2007) Um bloco de massa 5 kg está parado sobre um plano inclinado de um ângulo

de 30° com a horizontal, preso a uma mola, de constante elástica k = 100 N/m, como mostra a

figura. O atrito entre o bloco e o plano pode ser desprezado.

a) Represente as forças que atuam na caixa e escreva quem exerce cada uma das forças.

b) Calcule a deformação da mola nessa situação.


14. (Pucsp 2007) Um caixote de madeira de 4,0 kg é empurrado por uma força constante F e

sobe com velocidade constante de 6,0 m/s um plano inclinado de um ângulo á, conforme

representado na figura.

A direção da força F é paralela ao plano inclinado e o coeficiente de atrito cinético entre as

superfícies em contato é igual a 0,5. Com base nisso, analise as seguintes afirmações:

I) O módulo de F é igual a 24 N.

II) F é a força resultante do movimento na direção paralela ao plano inclinado.

III) As forças contrárias ao movimento de subida do caixote totalizam 40 N.

IV) O módulo da força de atrito que atua no caixote é igual a 16 N.

a) I e II b) I e III c) II e III d) II e IV e) III e IV 15. (Ufpel 2005)

Um caminhão-tanque, após sair do posto, segue, com velocidade constante, por uma rua plana

que, num dado trecho, é plana e inclinada. O módulo da aceleração da gravidade, no local, é

g=10m/s2, e a massa do caminhão, 22t, sem considerar a do combustível.

É correto afirmar que o coeficiente de atrito dinâmico entre o caminhão e a rua é

a) µ = cot α. b) µ = csc α. c) µ = sen α. d) µ = tan α. e) µ = cos α.


Gabarito: Resposta da questão 1: [D] As figuras mostram as forças agindo no alpinista A na direção da tendência de escorregamento (x) e direção perpendicular à superfície de apoio (y). No alpinista B, as forças são verticais e horizontais.

Como os dois estão em repouso, e considerando que o alpinista B esteja na iminência de escorregar, temos:

A A

A

B A A B

B

B B

B

at x

A y

at x at at A A

at

B B

at A A at

at

T F PA

N P F P - F F P sen 60 N

T FB

N P

F P sen 60 P cos60° F 1.000 0,87 0,1 1.000 0,5 870 50

F 820 N.

Resposta da questão 2:

[D]

Dado: N 2 N; 45 .θ

A figura ilustra a situação.

O bloco está sujeito a duas forças: O peso P e a força aplicada pelo plano F . Como ele

está em equilíbrio, a resultante dessas forças é nula, ou seja, elas têm mesma intensidade e sentidos opostos. Assim, da figura:

F Fat attg 45 1 F 2 N.atN 2



[A]

A força resultante no bloco é:

R x at

xx

R

x

F P F

Psen P Psen m g sen

P

F m g sen N m g 3/5 m g cos 8 10 3/5 0,4 8 10 4/5

48 25,6 22,4N

F d 22,4 5 112J

θ θ θ

θ μ μ θ

τ

Resposta da questão 4: [D] Dados: F = 60 N; P = 60 N; α = 37°; sen 37° = 0,6 e cos 37° = 0,8.

Como os ângulos α e θ têm cada lado de um perpendicular a cada lado do outro, eles são

congruentes: .α θ

A figura abaixo traz as componentes do peso.

Como o movimento é retilíneo e uniforme, as forças (ou componentes) equilibram-se nos dois eixos, x e y.

y

a x

Eixo y: N P N Pcos Pcos P sen F

Eixo x : F P F N P sen F

P cos sen F 60 cos sen 60 cos sen 1

1 sen 1 0,6 0,4

cos 0,8 0,8

0,5.

θμ θ θ

μ θ

μ θ θ μ θ θ μ θ θ

θμ

θ

μ



[A] Essas forças têm as seguintes características:

T : direção paralela à rampa e no sentido do vagão para a máquina, conforme afirma o enunciado;

fa : força de atrito, paralela à rampa e em sentido oposto ao do movimento;

P : força peso, vertical e para baixo;

N : força normal, sempre perpendicular à superfície de apoio. Assim, a representação correta dessas forças está na opção [A]. OBS: os atritos internos de rolamento entre eixos e rodas são mais intensos que os atritos

entre as rodas e os trilhos, por isso, não consideramos normal o atrito como duas componentes de uma mesma força. Resposta da questão 6: Dados: R = 10 m; = 0,3; g = 10 m/s

2.

Vamos obter o talude (ângulo de inclinação máxima) dessa pilha.

Consideremos um grânulo de sal de peso P que esteja em equilíbrio na superfície externa do cone, na eminência de escorregar [a componente de atrito tem intensidade máxima e é igual ao produto do coeficiente de atrito ( ) pela intensidade da componente normal (N)].

Para esse grânulo:

y

at x

N P Pcos sen P cos Psen

cosF P Psen N Psen

tg 0,3.

Mas:

h

tg h R tg 10 0,3 h 3 m.R



[C] Pt = P sen 45° = m g sen 45°;

N = Pn = P cos 45° = m g cos 45°

Dados: g = 10 m/s2; a = 5 m/s

2; = 45°.

Aplicando o princípio fundamental da dinâmica:

Pt – Fat = m a m g sen45 m g cos45 m a 102

2 – 10

2

2 = 5

= 5 2 15 2 5 1,4 1

1,45 2 5 2

= 0,29

0,3. Resposta da questão 8:

[D]

Resolução

A força de atrito que atua sobre o corpo é F(atrito) = .m.g.cos = 8.m

A força resultante na direção do movimento é: m.g.sen - 8.m = m.a 6m - 8.m = m.a

Simplificado 6 - 8. = a

Do ponto de vista cinemático o movimento obedece S = S0 + v0.t + a.

21

2onde S0 = 0 e v0 = 0

S = a.t2/2

Para t = 1 s S = 1 m 1 = a.

21

2 a = 2 m/s

2

Então: 6 - 8. = a 6 - 8. = 2 8. = 6 – 2 8. = 4 = 0,5

Para t = 1 + 3 = 4 s S = x2 x2 = 2.

24

2= 16 m



[B]

Resolução

No caso limite:

Fatrito = P.sen

.m.g.cos = m.g.sen

.cos = sen

= sen/cos

= tg tg = 1 = 45


[D]

Resolução As forças são: A força peso (vertical para baixo); a reação normal ao plano inclinado (perpendicular ao plano) e a força de atrito (paralela ao plano e no sentido oposto ao movimento).


Na direção do movimento (ao longo do plano inclinado) se a superfície do plano é lisa temos

que F = m.a P.sen = m.a m.g.sen = m.a a = g.sen30 = g/2.

Contudo o corpo desce com aceleração g/3 que é menor que g/2. Isto deve ocorrer pela ação

de uma força resistente ao movimento, como atrito. Então:

F = m.a P.sen - Fresistência = m.g/3 m.g/2 – F = m.g/3 F = m.g/2 – m.g/3 = 30/2 –

30/3 = 15 – 10 = 5 N


O plano inclinado possui uma secção transversal que é um triângulo retângulo de hipotenusa

50 cm e cateto 30 cm. O outro cateto, por Pitágoras, deve ser de 40 cm.

P(x) - F(atrito) = 0

mgsenα - μ.mgcosα = 0

senα - μcosα = 0

μ = senα/cosα

μ = tgα = 30/40 = 3/4 = 0,75



a) As forças que atuam sobre a caixa são o Peso, P, exercido pela gravidade, a força N,

exercida pelo plano, e a força eF , exercida pela mola.

b) Se a caixa está em repouso, temos:

x eF 0 F 0 P sen30 F 0.

Como eF kx (onde x é a deformação na mola), temos:

kx mg sen30 , ou seja, x 5 10 0,5 / 100 0,25m.

Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [D]

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