Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e

Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA – POLINÔMIOS

1 Identificação

Unidade Escolar: Instituto Federal Catarinense – Campus Sombrio

Município: Sombrio / SC

Disciplina: Matemática

Ano: 3º ano do ensino médio

Nível: Ensino Médio

Turma: 3º ano A

Professora(s): Vanessa da Silva Pires

Cronologia:

Data: 10/11/2014

Turno: Matutino

2 Tema: Polinômios

2.1 Sub-tema:

Polinômio com uma variável;

Fração polinomial;

Divisão de polinômios por binômios do 1° grau;

3 Justificativa

De maneira geral muitas das profissões utilizam polinômios em seu dia-a-dia.

Naturalmente no campo da Matemática os polinômios aparecem com maior frequência,

porém eles estão presentes na meteorologia até a construção. Os polinômios são usados

também para descrever curvas de diversos tipos. Um exemplo desta aplicação são as

montanhas-russas, onde suas curvas podem ser facilmente descritas por polinômios ou

combinações de equações polinomiais.

Outro campo em que as equações polinomiais são utilizadas é a economia para

fazer análise de custo, receitas, lucros. Também são usados para modelar diferentes

situações, como no mercado de ações, a fim de prever como os preços podem variar ao

longo do tempo, ou como o aumento e queda dos preços de determinado bem irá afetar

sua venda. Os polinômios, ainda, podem ser usados na física para descrever a trajetória

de um projétil. Dentro da Matemática os polinômios podem representar modelos

aplicados para a geometria, no calculo de perímetro, superfícies e volume.

4 Objetivos específicos

Reconhecer polinômios

Identificar o grau de um polinômio e polinômios idênticos

Operar com polinômios

Determinar a raiz de um polinômio

Aplicar os Teoremas do Resto, Briot Rufini e D’alembert

5 Conteúdos envolvidos (conteúdos pré-requisitos para o

desenvolvimento da aula)

Operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), monômio,

binômio, trinômio e polinômio.

6 Estratégias

6.1 Recursos: Quadro, material disponível em sala de aula, atividade impressa.

6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, atividades em sala de aula com

materiais de ensino.

7 Procedimentos

7.1 Problematização:

Situação 01:

Se você somar 1 ao produto de quatro inteiros consecutivos, o resultado sempre

será um quadrado perfeito.

Situação 02:

Na resolução de problemas, é comum ocorrerem situações em que a leitura e a

compreensão do enunciado nos levam a formular expressões e equações que nos ajudam

a resolver o problema. Imagine por exemplo que, em determinados problemas, os

enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões:

a) A primeira figura é uma região retangular de dimensões x e (x+5). Determine as

expressões do perímetro e da área dessa figura.

b) A segunda figura representa um cubo com arestas de medida x. Determine as

expressões da área e do volume dessa figura.

c) A terceira figura representa um paralelepípedo, com arestas de medidas, (x+4) e x.

Determine as expressões da área total e do volume dessa figura.

d) Qual a expressão que representa a soma de todas as superfícies das figuras.

e) Qual a diferença entre a medida da superfície do paralelepípedo e da medida da

superfície do cubo.

7.2 Historicização:

Os polinômios, a priori, formam um plano conceitual importante na álgebra,

entretanto possuem também uma relevante importância na geometria, quando se deseja

calcular expressões que envolvem valores desconhecidos.

O cálculo de equações polinomiais e algumas equações algébricas era um dos

grandes desafios da chamada álgebra clássica. Os primeiros registros e conclusões sobre

as relações existentes nas equações de primeiro e segundo graus foram apresentados por

Al-Khowarizmi. Foi ele quem apresentou em suas obras o significado da palavra

álgebra, que é “trocar os membros” no termo de uma equação.

A definição de polinômio abrange diversas áreas, pois se pode ter polinômios

com apenas um termo na expressão algébrica, como por exemplo: 2x, y, 4z, 2, 5, etc.

Mas pode-se obter polinômios com uma infinidade de termos. Por exemplo:

P(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0

Como se pode notar, polinômios são compostos pelas várias expressões

algébricas, desde aquelas que envolvem apenas números, até as que apresentam diversas

letras, potências, coeficientes, entre outros elementos dos polinômios.

Os polinômios se encontram em um âmbito da matemática denominado álgebra,

contudo a álgebra correlaciona o uso de letras, representativas de um número qualquer,

com operações aritméticas. Portanto, pode-se assim, efetuar as operações aritméticas

nos polinômios, que são: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e

radiciação.0

7.3 Operacionalização da aula

Polinômios

Polinômio com uma variável

Polinômio na variável x é toda expressão P(x) que pode ser apresentada sob

forma: 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′

Em que {𝑎0′, 𝑎1,, 𝑎2, … , 𝑎𝑛} ⊂ ℂ, {𝑛, 𝑛 − 1, 𝑛 − 2,… ,1,0} ⊂ ℕ e a variável x

pode assumir qualquer valor complexo.

Para indicar que P(x) representa a expressão

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′

Escrevemos:

P(x) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0′

Cada uma das parcelas 𝑎𝑛𝑥𝑛, 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1, 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2, …+ 𝑎1𝑥, 𝑎0′, é um

termo ou monômio do polinômio, sendo 𝑎0 o termo independente da

variável x.

Os números 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎1 𝑒 𝑎0 são os coeficientes do polinômio.

Se todos forem iguais a zero, o polinômio é chamado de identicamente

nulo. Indica-se que um polinômio P(x) é identicamente nulo por P(x)=0.

O grau de um polinômio não identicamente nulo é o maior expoente da

variável dentre os termos de coeficientes não nulos. Indicamos o grau de

um polinômio P pelo símbolo gr(P).

Não se define grau de um polinômio identicamente nulo, pois todos os

seus coeficientes são nulos.

O coeficiente não nulo da variável de maior expoente é o coeficiente

dominante do polinômio, ou seja, o coeficiente dominante é o do termo

que determina o grau do polinômio.

Atribuindo um valor complexo 𝛽 a variável x, obtemos a expressão

𝑎𝑛𝛽𝑛 + 𝑎𝑛−1𝛽

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝛽𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝛽 + 𝑎0′

Cujo resultado é chamado de valor numérico do polinômio para x=𝛽.

Indica-se esse valor numérico por P(𝛽).

Chamamos raiz do polinômio P(x) todo número complexo 𝛽 tal que

P(𝛽)=0. A raiz também é chamada de zero do polinômio.

Exemplos:

a) a expressão 6𝑥4 + 2𝑥³ + 𝑥² − 7𝑥 + 9 é um polinômio de grau 4 em que:

6, 2, 1, -7 são seus coeficientes;

x é sua variável;

6𝑥4, 2𝑥³, 𝑥², 7𝑥 𝑒 9 são seus termos ou seus monômios;

9 é seu termo independente;

6 é seu coeficiente dominante

b) a expressão 7𝑡5 + 6𝑖𝑡³ − 10𝑡, que pode ser representada sob a forma

7𝑡5+0𝑡4 + 6𝑖𝑡³ + 0𝑡² − 10𝑡 + 0 é um polinômio de grau 5 em que:

7, 0, 6i, 0, -10 e 0 são seus coeficientes;

t é sua variável;

7𝑡5,0𝑡4, 6𝑖𝑡³, 0𝑡², −10𝑡 𝑒 0 são seus termos ou seus monômios;

0 é seu termo independente;

7 é seu coeficiente dominante.

c) O número 3 é um polinômio de grau zero, pois pode ser representado na

forma 3𝑥0. Todo número complexo não nulo é um polinômio de grau zero. Todo

número complexo é chamado de polinômio constante, inclusive o número zero, do qual

não se define grau.

d) As expressões 5𝑥−3 + 6𝑥² + 4𝑥−1 + 7 e 3𝑡1

2 + 4𝑡³ + 5𝑡 − 2 não são

polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um termo não nulo cujo expoente da

variável não é numero natural.

e) O número 2 é a raiz do polinômio P(x)= 𝑥³ − 5𝑥² + 3𝑥 + 6, pois:

P(2)= 2³ − 5.2² + 3.2 + 6 = 0

Identidade de polinômios

Considere os polinômios 𝑃(𝑥) = 2𝑥² + 4𝑥 + 3 𝑒 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, em que

𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são constantes complexas. Dizemos que P(x) e Q(x) são polinômios

idênticos se, e somente se, P(𝛽)=Q(𝛽) para qualquer 𝛽 ∈ ℂ.

Assim, para determinar as constantes 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, podemos atribuir a x três valores

distintos quaisquer e formar um sistema de três equações e três incógnitas. Por exemplo:

{

𝑃(0) = 𝑄(0)

𝑃(1) = 𝑄(1)

𝑃(−1) = 𝑄(−1)

⇔ {2.0² + 4.0 + 3 = 𝑎. 0² + 𝑏. 0 + 𝑐2.1² + 4.1 + 3 = 𝑎. 1² + 𝑏. 1 + 𝑐

2. (−1)2 + 4. (−1) + 3 = 𝑎. (−1)2 + 𝑏. (−1) + 𝑐

Ou seja, {𝑐 = 3

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 1

∴ 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 𝑒 𝑐 = 3

Assim, concluímos que os polinômios P(x) e Q(x) são idênticos se, e somente se,

os coeficientes de termos de mesmo grau são iguais. De modo geral, podemos definir

que:

Indicamos que dois polinômios P(x) e Q(x) são idênticos por P(x)≡ Q(x); caso

não sejam idênticos, indicamos por P(x)≢ Q(x).

Operações com polinômios

Adição de polinômios

A soma dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) + Q(x), é o

polinômio obtido ao se adicionarem os coeficientes de P(x) com os coeficientes de Q(x)

que tem, respectivamente, o mesmo expoente na variável (caso não conste um termo

com determinado expoente na variável, considera-se que seu coeficiente é zero). Valem

para a adição as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro (que é o

polinômio identicamente nulo) e elemento oposto (o oposto de um polinômio P(x) é o

polinômio simbolizado por –P(x), que é obtido trocando-se os sinais de todos os

monômios de P(x)).

Exemplo:

Para calcular a soma dos polinômios P(x)≡ 12𝑥4 + 6𝑥² + 2𝑥 + 7

e Q(x)≡ 4𝑥³ + 9𝑥² − 𝑥 − 8, que devem ser entendidos como

Os polinômios 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0e

𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑏𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑏𝑥 + 𝑏0 na variável x, são idênticos

se, e somente se, os coeficientes 𝑎𝑗𝑒 𝑏𝑗 obedecerem a condição:

𝑎𝑗 = 𝑏𝑗 para todo número natural j e 0≤ 𝑗 ≤ 𝑛

P(x)≡ 12𝑥4 + 0𝑥³ + 6𝑥² + 2𝑥 + 7 e Q(x)≡ 0𝑥4 + 4𝑥³ + 9𝑥² − 𝑥 − 8, adicionamos

os coeficientes dos termos de P(x) com os coeficientes dos termos de Q(x) que tem,

respectivamente, o mesmo expoente na variável, isto é:

P(x) + Q(x)≡ (12+0)𝑥4+(0+4)𝑥³+(6+9)𝑥²+(2-1)𝑥+7-8, ou seja,

P(x) + Q(x)≡ 12𝑥4+ 4𝑥³+ 15𝑥²+𝑥 -1

Subtração de polinômios

A diferença entre os polinômios P(x) e Q(x), nessa ordem, que se indica por

P(x) – Q(x), é definida como a soma de P(x) com o oposto de Q(x), isto é:

P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)]

Exemplo:

Sejam P(x)≡ 𝑥5 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 3 e Q(x)≡ 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ − 2, que devem

ser entendidos como P(x)≡ 𝑥5 + 0𝑥4 + 8𝑥³ + 7𝑥² + 0𝑥 + 3 e

Q(x) ≡ 4𝑥5 + 6𝑥4 − 2𝑥³ + 0𝑥² − 2. Para obter P(x) – Q(x), subtraímos os coeficientes

dos termos que tem o mesmo expoente na variável, isto é:

P(x) – Q(x)≡ (1 − 4)𝑥5 + (0 − 6)𝑥4 + (8 − (−2))𝑥3 + (7 − 0)𝑥2 + 0𝑥 + 3 − (−2),

ou seja, P(x) – Q(x)≡ −3𝑥5 − 6𝑥4 + 10𝑥³ + 7𝑥² + 5.

Multiplicação de polinômios

O produto dos polinômios P(x) e Q(x), que se indica por P(x) ⋅ Q(x), é o

polinômio obtido pela soma dos produtos de cada monômio de P por todos os

monômios de Q.

Valem para a multiplicação as propriedades associativa, comutativa e elemento

neutro, além das distributivas em relação à adição e à subtração.

Exemplos:

a) Sendo P(x)≡ 5𝑥² − 3𝑥 + 2, temos: 3P(x)≡ 3(5𝑥² − 3𝑥 + 2) ≡ 15𝑥² − 9𝑥 + 6

b) Sendo H(x)≡ 5𝑥³ + 2𝑥 e G(x)≡ 2𝑥² + 4𝑥 − 1, temos:

H(x)⋅G(x)≡ (5𝑥3 + 2𝑥) ∙ (2𝑥2 + 4𝑥 − 1) ≡ 10𝑥5 + 20𝑥4 − 5𝑥³ + 4𝑥³ + 8𝑥² − 2𝑥 ⇒

⇒H(x)∙G(x)≡ 10𝑥5 + 20𝑥4 − 𝑥³ + 8𝑥² − 2𝑥

Divisão de polinômios

Dividir o polinômio E(x) pelo polinômio não nulo D(x) significa obter os

polinômios Q(x) e R(x) tais que:

Q(x) ∙ D(x) + R(x)≡ E(x) e gr(R) < gr(D) ou R(x)≡ 0

Os polinômios E(x), D(x), Q(x) e R(x) são chamados, respectivamente, de

dividendo, divisor, quociente e resto da divisão.

Demonstra-se que existe um único quociente Q(x) e um único resto R(x) na

divisão de E(x) por D(x).

Quando R(x)≡ 0, dizemos que a divisão de E(x) por D(x) é exata, ou, ainda que

E(x) é divisível por D(x).

Exemplos:

a) Na identidade

(3𝑥 + 5⏟ 𝑄(𝑥)

) (𝑥4 + 2𝑥)⏟ 𝐷(𝑥)

+ 10𝑥³⏟𝑅(𝑥)

≡ 3𝑥5 + 5𝑥4 + 10𝑥³ + 6𝑥² + 10𝑥⏟ 𝐸(𝑥)

Temos gr(R)<gr(D). Portanto, devido à unicidade do quociente e do resto,

concluímos que Q(x) e R(x) são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de

E(x) por D(x).

b) Na identidade

(𝑥 + 3)⏟ 𝑄(𝑥)

(𝑥 − 3)⏟ 𝐷(𝑥)

+ 0⏟𝑅(𝑥)

≡ 𝑥² − 9⏟ 𝐸(𝑥)

Temos R(x)≡ 0. Por isso, dizemos que Q(x) é o quociente exato da divisão de

E(x) por D(x). Dizemos, também, que E(x) é divisível por D(x).

Método da chave para a divisão de polinômios

Toda propriedade da estrutura algébrica dos polinômios tem sua correspondente

na estrutura algébrica dos números inteiros; por isso, é possível compreender muitos

procedimentos realizados com polinômios a partir de uma analogia com números

inteiros. Por exemplo, para dividir 40 por 10, podemos efetuar:

O método da chave, utilizado na divisão de números pode ser estendido para a

divisão de polinômios. Por exemplo, para dividir o polinômio

E(x)≡ 3𝑥5 + 16𝑥³ + 𝑥² − 10𝑥 + 9 pelo polinômio D(x)= 𝑥² + 6:

I. Dispomos E(x) e D(x) sob a forma:

3𝑥5 + 0𝑥4 + 16𝑥³ + 𝑥² − 10𝑥 + 9 ÷ 𝑥² + 6

II. Dividimos o monômio de mais alto grau de E(x) pelo monômio de mais alto

grau de D(x).

III. Subtraímos do dividendo o produto do divisor D(x) pelo quociente encontrado

em (II), obtendo assim o primeiro resto parcial.

IV. Dividimos o monômio de mais alto grau do primeiro resto parcial pelo monômio

de mais alto grau de D(x).

V. Subtraímos do primeiro resto parcial o produto do divisor D(x) pelo quociente

encontrado em (IV), obtendo assim o segundo resto parcial.

E assim sucessivamente, até obter o resto final R(x), que deve obedecer a uma

das condições: gr(R)<gr(D) ou R(x)≡ 0

Observe:

Concluímos, então, que o quociente Q(x) e o resto R(x) são dados por:

𝑄(𝑥) = 3𝑥³ − 2𝑥 + 1 e 𝑅(𝑥) = 2𝑥 + 3

Fração Polinomial

Chama-se fração polinomial toda expressão do tipo 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) em que P(x) e Q(x) são

polinômios, com Q(x)≠ 0.

Exemplos:

a) 5𝑥4+2𝑥−1

𝑥+3

b) 5

𝑥²−1

Teorema do resto

Sendo a uma constante complexa qualquer, o resto da divisão de um polinômio

P(x) por 𝑥 − 𝑎 é igual a P(a).

Dem:

Sejam, respectivamente, Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de P(x) por

𝑥 − 𝑎 , ou seja:

𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) ∗ (𝑥 − 𝑎) + 𝑅(𝑥) (I)

Como 𝑔𝑟(𝑅) = 0 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) ≡ 0, podemos indicar R(x) por uma constante R.

Assim, a sentença (I) pode ser representada sob a forma:

𝑃(𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) ∗ (𝑥 − 𝑎) + 𝑅

Calculando P(a), obtemos:

𝑃(𝑎) = 𝑄(𝑎) ∗ (𝑎 − 𝑎) + 𝑅 → 𝑃(𝑎) = 𝑅

Logo, o resto R da divisão é igual a P(a).

Exemplos:

a) O resto R da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 4𝑥3 + 𝑥2 − 3 pelo binômio 𝑥 − 2 é

igual a P(2), isto é 𝑅 = 𝑃(2) = 4 ∗ 23 + 22 − 3 = 33

b) Para se obter o resto R da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 𝑥5 + 5𝑥3 − 𝑥 + 6 pelo

binômio 𝑥 + 1 , observamos que este binômio pode ser representado na forma

𝑥 − (−1) e, portanto, pelo teorema do resto, temos:

𝑅 = 𝑃(−1) = (−1)5 + 5 ∗ (−1)3 − (−1) + 6 = 1

Teorema de D’Alembert

Jean le Rond D’Alembert, matemático, filósofo e físico francês, considerado o

cientista mais influente da França em sua época. D’Alembert participou ativamente do

movimento que abriu caminho para a Revolução Francesa.

Vários teoremas levam o nome desse importante matemática francês; no estudo

dos polinômios, é de D’Alembert o teorema:

Sendo a uma constante complexa qualquer, um polinômio P(x) é divisível por

𝑥 − 𝑎 se, e somente se, a é raiz de P(x).

Dem:

Por definição de raiz de um polinômio, temos que a é a raiz de P(x) se, e

somente se, P(a) = 0. Mas, pelo teorema do resto, P(a) é o resto R da divisão de P(x)

por 𝑥 − 𝑎. Concluímos, assim, que:

a é raiz de 𝑃(𝑥) ↔ 𝑅 = 0

Ou seja, afirmar que o numero é raiz de P(x) equivale a afirmar que P(x) é

divisível por 𝑥 − 𝑎.

Exemplo:

O polinômio 𝑃(𝑥) ≡ 𝑥5 − 3𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 é divisível por 𝑥 − 2 , pois

𝑃(2) = 0 . Observe:

𝑃(2) = 25 − 3 ∗ 23 + 3 ∗ 22 − 4 ∗ 2 − 12 = 0

Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Para efetuar a divisão de um polinômio E(x) por um binômio da forma 𝑥 − 𝑎 ,

em que a é uma constante qualquer, podemos aplicar o método da chave. Porem, com o

objetivo de facilitar essa operação, apresentamos um dispositivo prático conhecido

como dispositivo prático de Briot-Ruffini, em homenagem aos matemáticos que a

criaram, Charles August Briot (1817-1882) e Paolo Ruffini (1765-1822).

Vamos descrever esse dispositivo a partir da divisão do polinômio:

𝐸(𝑥) ≡ 𝑒4𝑥4 + 𝑒3𝑥

3 + 𝑒2𝑥2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 por 𝑥 − 𝑎

O quociente Q(x) dessa divisão deve ser um polinômio do 3º grau e o resto R(x)

deve ser polinômio constante, ou seja:

𝑄(𝑥) ≡ 𝑞3𝑥3 + 𝑞2𝑥

2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞0 e 𝑅(𝑥) ≡ 𝑅

Devemos ter:

𝐸(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝑎) ∗ 𝑄(𝑥)+𝑅 → 𝑒4𝑥4 + 𝑒3𝑥

3 + 𝑒2𝑥2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡

≡ (𝑥 − 𝑎)(𝑞3𝑥3 + 𝑞2𝑥

2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞0) + 𝑅 →

→ 𝑒4𝑥4 + 𝑒3𝑥

3 + 𝑒2𝑥2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡

≡ 𝑞3𝑥4 + 𝑞2𝑥

3 + 𝑞1𝑥2 + 𝑞0𝑥 − (𝑎𝑞3𝑥

3 + 𝑎𝑞2𝑥2 + 𝑎𝑞1𝑥 + 𝑎𝑞0) + 𝑅

∴ 𝑒4𝑥4 + 𝑒3𝑥

3 + 𝑒2𝑥2 + 𝑒1𝑥 + 𝑒0 ≡

≡ 𝑞3𝑥4 + (𝑞2 − 𝑎𝑞3)𝑥

3 + (𝑞1 − 𝑎𝑞2)𝑥2 + (𝑞0 + 𝑎𝑞1)𝑥 − 𝑎𝑞0 + 𝑅

Logo obtemos:

{

𝑞3 = 𝑒4𝑞2 − 𝑎𝑞3 = 𝑒3 → 𝑞2 = 𝑒3+𝑎𝑞3𝑞1 − 𝑎𝑞2 = 𝑒2 → 𝑞1 = 𝑒2+𝑎𝑞2𝑞0 − 𝑎𝑞1 = 𝑒1 → 𝑞0 = 𝑒1+𝑎𝑞1−𝑎𝑞0 + 𝑅 = 𝑒0 → 𝑅 = 𝑒0+𝑎𝑞0

}

Os valores 𝑞3, 𝑞2, 𝑞1, 𝑞0 𝑒 𝑅 podem ser calculados rapidamente, executando-se

os passos descritos pelo esquema a seguir, conhecido como dispositivo prático de Briot-

Ruffini:

Assim, temos:

𝑄(𝑥) ≡ 𝑒4𝑥3 + (𝑎𝑞3 + 𝑒3)𝑥

2 + (𝑎𝑞2+𝑒2)𝑥1 + 𝑎𝑞1 + 𝑒1 𝑒 𝑅 ≡ 𝑎𝑞0 + 𝑒0

Pode-se generalizar esse método para qualquer polinômio E(x) com grau maior

ou igual a 1.

8 Critérios

8.1 Critérios de avaliação

Domínio dos conceitos abordados;

Participação e interesse dos alunos durante à aula e na resolução e correções dos

exercícios.

8.2 Instrumentos de avaliação

Prova individual e escrita.

9 Bibliografia

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 3. 2ª Ed. São

Paulo: Ática, 2013.

GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa. 3ª série do ensino médio. 2ª ed. São

Paulo: Editora FTD S.A, 2005.

PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA-Paiva. Volume 3. 1ª ed. São Paulo: Editora

Moderna, 2009.

Sites:

http://www.ehow.com.br/polinomios-diaadia-sobre_7902/ 25/08/2014 Polinômios

no dia-a-dia