UEM – Universidade Estadual de MaringáCTC – Centro de Tecnologia

DEP – Departamento de Engenharia de Produção

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Plano de Aula 17

Título da aula

Método Big M

Recursos Didáticos

Exposição por meio de quadro e pincel.

Objetivos

Entender o método Big M

Desenvolvimento

Até este momento, todos os exercícios propostos para resolução pelo método

simplex tabular envolviam apenas restrições do tipo “menor igual”, nas quais as

variáveis de folga deveriam ser introduzidas para complementar a folga da

restrição.

O método do Big M nos permite considerar restrições formadas por qualquer

desigualdade ou igualdade. Para tanto deve-se conhecer o conceito de

variáveis de excesso e artificial.

Enquanto a variável de folga ocupava um espaço para consumir toda a

restrição, a variável de excesso age de forma análoga, mas retirando o

excesso dos limites das restrições de “maior igual”. Para que isso seja possível,

esta variável de excesso deve assumir um valor negativo.

O problema agora é que uma variável com o coeficiente negativo não pode se

tornar variável básica. Para resolver esta questão, deve-se inserir, além da

variável de excesso, uma variável artificial, a qual na verdade não existe, e só

deve estar ali para ocupar a base no lugar da variável de excesso.

Restrições do tipo “igual” não possuem nem variável de excesso nem variável

de folga, sendo necessário introduzir apenas a variável artificial para os

cálculos com o simplex.

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Como as variáveis artificiais não existem, é importante que o valor dela, no final

das iterações, seja igual a zero. Para que isso seja garantido, a variável

artificial é colocada na função objetivo com um valor muito grande (M) e

negativo.

Vamos analisar o funcionamento deste método com um exemplo:

Max Z = 3X1 – X2

s.a.:

2X1 + X2 >= 5

3X1 + X2 <= 7

Não negatividade

Adicionando as variáveis de folga, de excesso e artificial, temos:

Max Z = 3X1 – X2 – MX4

S.a.:

2X1 + X2 – X3 + X4 = 5

3X1 + X2 + X5 = 7

Não negatividade

Com isso é possível montar o quadro (com a função objetiva transformada)

Linha Base X1 X2 X3 X4 X5 LD

L1 Z -3 1 0 M 0 0

L2 X4 2 1 -1 1 0 5

L3 X5 3 1 0 0 1 7

Neste caso, é importante se alertar ao fato de que X4 ainda não é uma variável

básica, pois sua coluna ainda tem mais do que um valor estritamente positivo

(não é uma coluna identidade). Para que isso ocorra, L1 recebe L1 – ML2.

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Linha Base X1 X2 X3 X4 X5 LD

L1 Z -3 – 2M 1 - M M 0 0 -5M

L2 X4 2 1 -1 1 0 5

L3 X5 3 1 0 0 1 7

Como M é um valor muito grande, a variável que entra na base é X1, pois é o

menor negativo (ou a maior taxa de crescimento na FO). Como 7/3 é menor do

que 5/2, X5 é a variável que sai da base.

Linha Base X1 X2 X3 X4 X5 LD

L1 Z -3 – 2M 1 - M M 0 0 -5M

L2 X4 2 1 -1 1 0 5

L3 X5 3 1 0 0 1 7

Assim, L3 L3/3, L1 L1 + (3+2M).L3 e L2 L2 – 2L3, obtendo:

Linha Base X1 X2 X3 X4 X5 LD

L1 Z 0 2 – M/3 M 0 1 + 2M/3 7-M/3

L2 X4 0 1/3 -1 1 -2/3 1/3

L3 X1 1 1/3 0 0 1/3 7/3

Assim, L2 L2 / 1/3, L1 L1 – (2-m/3)L2, e L3 L3 – L2/3, obtendo:

Linha Base X1 X2 X3 X4 X5 LD

L1 Z 0 0 6 M – 6 5 5

L2 X2 0 1 -3 3 -2 1

L3 X1 1 0 1 -1 1 2

Como não existem mais coeficientes negativos na Linha 1, então, pela regra da

parada, esta é a solução ótima, com Z=5, X1=2 e X2 = 1.

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Lousa _______

Método Big M

Variáveis de Excesso

Variáveis Artificiais Resolução do Exercício

Feedback_____ ______

Bibliografia

ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para

Análise de Dados. 3 ed. Editora LTC: Rio de Janeiro, RJ, 2004

COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças,

logística, produção. Editora LTC, 2007.

LISBOA, E. F. A. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro, 2002.