Planejamento e Otimização de Experimentos · 2013-11-28 · Planejamento e Otimização de...
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Planejamento e Otimização de Experimentos
Metodologia de Superfície de Resposta
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
Modelos
Resposta modelada de modo adequado
por uma função linear das variáveis
independentes
modelo de 1ª ordem
Se há uma curvatura no sistema:
polinômio de grau maior
modelo de 2ª ordem
Modelos
os modelos dos parâmetros podem ser
estimados de modo mais efetivo se
planejamentos experimentais adequados
são utilizados
planejamentos de superfície de resposta
Planejamento de superfície de
resposta
natureza sequencial
condições de operação
caminho
condição ótima
Natureza sequencial da RSM
Procedimento sequencial
O objetivo é conduzir, de
modo rápido e eficiente,
ao caminho em ascensão
em direção à vizinhança
do ótimo
Modelo de 1a ordem
Modelo de 2a ordem
Subir o morro
Exemplo
Como encontrar as condições ótimas para
o tempo, t, e a temperatura, T, que
resultam em um maior rendimento para
um processo?
Condições iniciais:
t = 75 min
T = 130 oC
s = 1,5
Planejamento de 1ª ordem
t = 70 e 80 min
T = 127,5 e 132,5 oC
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
experimento t /min
1 70
2 80
3 70
4 80
5 75
6 75
7 75
T /oC
127,5
127,5
132,5
132,5
130
130
130
y /g
54,3
60,3
64,6
68,0
60,3
64,3
62,3
ordem: 5,4,2,6,1,7,3
variáveis codificadas, x1 e x2
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
Modelo
Ajuste dos mínimos quadrados
Inclusão do erro a partir de
como 𝑏12 < 𝜎 ⇒ 𝑏12 ≈ 0. Ou seja, o modelo planar supõe que os efeitos
das variáveis são aditivos
𝒃𝟏𝟐(𝝈)
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
Os efeitos calculados nessa regressão
correspondem ao dobro dos valores dos
coeficientes
t = 4,7
T = 9,0
t x T = -1,3
Verificação da curvatura
Estimativa da curvatura da superfície, Ec
média dos pontos
do fatorial 22
média dos
pontos centrais experimento t /min
1 70
2 80
3 70
4 80
5 75
6 75
7 75
T /oC
127,5
127,5
132,5
132,5
130
130
130
y /g
54,3
60,3
64,6
68,0
60,3
64,3
62,3
𝐸𝑐 = 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑝𝑐
𝑦 𝑝𝑐 = 62,30
Verificação da curvatura
Com = 1,5
Logo,
não há motivo para questionar
a adequação do modelo planar
𝑉 𝐸𝑐 = 𝑉 𝑦 𝑓 − 𝑦 𝑝𝑐 = 𝑉 𝑦 𝑓 + 𝑉 𝑦 𝑝𝑐 =𝜎
𝑁𝑓
2
+𝜎
𝑁𝑝𝑐
2
=1,5
4
2
+1,5
3
2
𝑉 𝐸𝑐 = 1,31 → 𝑠𝑐 = 1,15
Estimativa do erro experimental
considerando as replicatas no ponto central
sc = 2,0 com uc = 2
= 1,5 (série histórica)
Equação ajustada do modelo
Superfície de resposta
Octave
Gráficos 3D
> x1=-1:0.1:1;
> x2=x1;
> [X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
> y=62.01+2.35.*X1+4.5.*X2;
Impressão
> help print
> print –color –djpg linear_mesh.jpg > print –deps linear_mesh.eps
> title(“Modelo Linear”)
> xlabel(“x1”)
> ylabel(“x2”)
> zlabel(“y”)
Caminho em ascensão
Nas unidades do planejamento
Ou seja, 1,91 unidades de x2 para cada 1,0 unidade de x1
x1 x2 t T experimento yobs
0 0 75 130 5,6,7 62,3
1 1,91 80 134,8 8 73,3
2 3,83 85 139,6
3 5,74 90 144,4 10 86,8
4 7,66 95 149,1
5 9,57 100 153,9 9 58,2
centro
caminho
em ascensão
Caminhar na superfície
Antes de caminhar na superfície de
um modelo de 1ª ordem deve-se
obter uma estimativa do erro
verificar as interações
verificar a curvatura
2º planejamento
Melhor condição: experimento 10
Logo, planejamento fatorial 22 próximo ao
experimento 10, com dois pontos centrais
t = 90 min
T = 145 oC
Variáveis codificadas
2º planejamento
x1 x2 t T experimento yobs
-1 -1 80 140 11 78,8
1 -1 100 140 12 84,5
-1 1 80 150 13 91,2
1 1 100 150 14 77,4
0 0 90 145 15 89,7
0 0 90 145 16 86,8
22
pontos
centrais
Modelo de 1ª ordem
o intervalo de confiança
não inclui o zero b12 0
modelo aditivo não se aplica t x T = -9,76 >> = 1,5
Análise da curvatura
Ec 0
Logo, o modelo de 1ª ordem é inadequado para representar
a função resposta local
Estimativa do erro
Pontos centrais: sc = 2,05 com u2 = 1
Estimativa conjunta dos dois planejamentos
estimativa inicial com base
na série histórica era de 1,5
Modelo de 2ª ordem
06 Parâmetros: b0, b1, b2, b11, b22 e b12
05 Níveis: --, -+, +-, ++, 00
Como o número de parâmetros é maior que o número de
níveis, é necessário ampliar o planejamento
Planejamento Estrela
Planejamento estrela
O modelo inicial é melhorado com um
planejamento estrela
04 pontos axiais
02 pontos centrais
11 12
13 14
15,16
17 18
19
20
21,22
Planejamento estrela
x1 x2 t T experimento yobs
-2 0 76 145 17 83,3
2 0 104 145 18 81,2
0 -2 90 138 19 81,2
0 2 90 152 20 79,5
0 0 90 145 21 87,0
0 0 90 145 22 86,0
Construindo a matriz de planejamento com os experimentos 11 a 22,
a equação resultante para o modelo ajustado é
Estimativa do erro
erro dos coeficientes
b0 = 0,75
b1, b2, b11, b22 e b12 = 0,53
Pontos centrais: sc = 0,5 com uc = 1
Estimativa conjunta
s = 1,78 com u =4
Modelo
Como b2 = 0,36 0,53 , significa que b2 pode
ser aproximado ao ruído. Desse modo, a
equação resultante é
contour
78,8
81,2
83,3
91,2
84,5
87,4
79,5
77,4
81,2
1º planejamento:
T e t y
2º planejamento:
T e t y
x1
x2
Análise de superfície de resposta
de 2ª ordem
Quando o experimento está próximo do
ótimo e é descrito por uma função de 2ª
ordem
Como localizar os pontos estacionários?
Localização dos pontos
estacionários
Ponto estacionário
Seja ∅ 𝑋 uma função diferenciável e contínua
para 𝑋 ∈ 𝐷, uma região em Rn
Definição
Um ponto 𝑋0 ∈ 𝐷 é um ponto estacionário para
∅ 𝑋 se 𝛻∅ 𝑋0 = 0.
Isso é, se
𝜕∅
𝜕𝑥𝑘𝑋0 =
𝜕∅
𝜕𝑥𝑘𝑥0,1, 𝑥0,2, … , 𝑥0,𝑛 = 0, 𝑘 = 1,2,… , 𝑛
Localização dos pontos
estacionários
coordenadas do ponto estacionário
Ponto estacionário
resposta máxima
resposta mínima
ponto de cela
superfície de resposta
Localização dos pontos
estacionários
Modelo
y = 87,375 − 1,38𝑥1 − 5,14𝑥12 − 2𝑥2
2 − 2𝑥1𝑥2
Gradientes 𝜕𝑦
𝜕𝑥1= −1,38 − 10,28𝑥1 − 2𝑥2 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥2= −4𝑥2 − 2𝑥1 = 0
raízes
𝑥1 = 0,074 𝑥2 = −0,149 𝑦 = 87,478
Localização dos pontos
estacionários
> x1=-1:.05:1;
> x2=x1;
> [X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
> y=87.375-1.38.*X1-5.14.*X1.*X1-2.*X2.*X2-2.*X1.*X2;
> surf(X1,X2,y)
> contour(X1,X2,y)
> hold on
> X1=-1.38/18.56*2
> X2=1.38/18.56
> plot(X1,X2)
Multiple Response Optimization
Desirability Objective Function
It is one of the most widely used methods in
industry for the optimization of multiple
response processes
For each response 𝑦𝑖 𝑥 , a desirability function
𝑑𝑖 𝑦𝑖 assigns numbers between 0 and 1 to the
possible values of 𝑦𝑖 𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 0 represents a completely undesirable value of
𝑦𝑖
𝑑𝑖 𝑦𝑖 = 1 represents a completely desirable or ideal
response value
Multiple Response Optimization
The individual desirabilities are then combined
using the geometric mean, which gives the
overall desirability
𝐷 = 𝑑𝑖 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
1𝑛
with n denoting the number of responses
It determines the best combination of responses
Multiple Response Optimization
The desirability approach consists of the
following steps
Conduct experiments and fit response models for all n
responses
Define individual desirability functions for each
response
Maximize the overall desirability D with respect to the
controllable factors
Planejamentos experimentais para
ajustar superfícies de respostas
Modelos de 1ª ordem ortogonais
Simplex (simplex design) p/ k variáveis
𝒚 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝒊𝒙𝒊 + 𝒆
𝒌
𝒊=𝟏
k = 3 k = 2
Modelos de 2ª ordem
planejamentos com pontos centrais
(PPC), ou central composite design
Fatorial 2k (ou fracionário de resolução V)
nf experimentos
2k experimentos axiais ou estrela
nc pontos centrais
k = 3 k = 2
Modelos de 2ª ordem
rotabilidade: modelo deve girar
𝑽 𝒚 𝐗 é a mesma em todos os pontos, X, que
estão à uma mesma distância do centro do
planejamento
𝜶 = 𝒏𝒇𝟒 , onde nf é o número de pontos
usados na porção fatorial do planejamento
Modelos de 2ª ordem
Planejamento Box-Behnken
esfera de raio 2
não contém pontos nos vértices
pode ser vantajoso em termos de custo e em
regiões proibitivas
Modelos de 2ª ordem
Planejamento Box-
Behnken é o mais
usado para
planejamentos
fatoriais em três
níveis, sendo possível
para mais do que três
variáveis
independentes.
• 12 pontos nos centros das arestas
• 3 pontos centrais
Modelos de 2ª ordem
Ensaios X1 X2 X3
-1 -1 0
1 -1 0
-1 1 0
1 1 0
-1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1
1 0 1
0 -1 -1
0 -1 1
0 1 -1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0