Itaú corretora encontro com analistas de buy-side sobre como modelar do setor - 27 de abril de 2006
Planejamento e Otimização de Experimentos - quimica.ufg.br · [email protected] . Visão...
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Planejamento e Otimização de Experimentos
Métodos de Superfície de Resposta
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
www.quimica.ufg.br/docentes/anselmo
Modelos
se a resposta é modelada de modo
adequado por uma função linear das
variáveis independentes:
modelo de 1ª ordem
se há uma curvatura no sistema:
polinômio de grau maior
modelo de 2ª ordem
Modelos
os modelos dos parâmetros podem ser
estimados de modo mais efetivo se
planejamentos experimentais adequados
são utilizados
planejamentos de superfície de resposta
Planejamento de superfície de
resposta
natureza sequencial
condições de operação
caminho
condição ótima
Natureza sequencial da RSM
Procedimento sequencial
O objectivo é conduzir, de
modo rápido e eficiente, ao
caminho em ascensão em
direção à vizinhança do
ótimo
Modelo de 1a ordem =>
modelo de 2a ordem
Subir o morro
Exemplo
Como encontrar as condições ótimas
para o tempo, t, e a temperatura, T, que
resultam em um maior rendimento para
um processo?
Condições iniciais:
t = 75 min
T = 130 oC
s = 1,5
Planejamento de 1ª ordem
t = 70 e 80 min
T = 127,5 e 132,5 oC
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
experimento t /min
1 70
2 80
3 70
4 80
5 75
6 75
7 75
T /oC
127,5
127,5
132,5
132,5
130
130
130
y /g
54,3
60,3
64,6
68,0
60,3
64,3
62,3
ordem: 5,4,2,6,1,7,3
variáveis codificadas, x1 e x2
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
Modelo:
Ajuste dos mínimos quadrados: octave
incluindo o erro a partir de s octave
como b12 < s b12 0. Ou seja, o modelo planar supõe que os efeitos
das variáveis são aditivos
b12(s)
Planejamento fatorial 22 com
três pontos centrais
Os efeitos calculados nessa regressão
correspondem ao dobro dos valores dos
coeficientes
t = 4,7
T = 9,0
t x T = -1,3
Verificação da curvatura
Estimativa da curvatura da superfície, Ec
média dos pontos
do fatorial 22
média dos
pontos centrais experimento t /min
1 70
2 80
3 70
4 80
5 75
6 75
7 75
T /oC
127,5
127,5
132,5
132,5
130
130
130
y /g
54,3
60,3
64,6
68,0
60,3
64,3
62,3
Estimativa do erro experimental
considerando as replicatas no ponto central
sc = 2,0 com uc = 2
s = 1,5 (série histórica)
Equação ajustada do modelo
Superfície de resposta
Octave
Gráficos 3D
> x1=-1:0.1:1;
> x2=x1;
> [xx1,xx2]=meshgrid(x1,x2);
> y=62.01+2.35.*xx1+4.5.*xx2
Impressão
> help print
> print –color –djpg linear_mesh.jpg > print –deps linear_mesh.eps
> title(“Modelo Linear”)
> xlabel(“x1”)
> ylabel(“x2”)
> zlabel(“y”)
Caminho em ascensão
Nas unidades do planejamento
Ou seja, 1,91 unidades de x2 para cada uma unidade de x1
x1 x2 t T experimento yobs
0 0 75 130 5,6,7 62,3
1 1,91 80 134,8 8 73,3
2 3,83 85 139,6
3 5,74 90 144,4 10 86,8
4 7,66 95 149,1
5 9,57 100 153,9 9 58,2
centro
caminho
em ascensão
Caminhar na superfície
Antes de caminhar na superfície de
um modelo de 1ª ordem deve-se
obter uma estimativa do erro
verificar as interações
verificar a curvatura
2º planejamento
Melhor condição: experimento 10
Logo, planejamento fatorial 22 próximo ao
experimento 10, com dois pontos centrais
t = 90 min
T = 145 oC
Variáveis codificadas
2º planejamento
x1 x2 t T experimento yobs
-1 -1 80 140 11 78,8
1 -1 100 140 12 84,5
-1 1 80 150 13 91,2
1 1 100 150 14 77,4
0 0 90 145 15 89,7
0 0 90 145 16 86,8
22
pontos
centrais
Modelo de 1ª ordem
octave
não inclui o zero b12 0
modelo aditivo não se aplica t x T = -9,76 >> s = 1,5
Análise da curvatura
Ec 0
Logo, o modelo de 1ª ordem é inadequado para representar
a função resposta local
Estimativa do erro
Pontos centrais: sc = 2,05 com u2 = 1
Estimativa conjunta dos dois planejamentos
estimativa inicial com base
na série histórica era de 1,5
Modelo de 2ª ordem
06 Parâmetros: b0, b1, b2, b11, b22 e b12
05 Níveis: --, -+, +-, ++, 00
Como o número de parâmetros é maior que o número
de níveis, é necessário ampliar o planejamento
Planejamento Estrela
Planejamento estrela
O modelo inicial é melhorado com um
planejamento estrela
04 pontos axiais
02 pontos centrais
11 12
13 14
15,16
17 18
19
20
21,22
Planejamento estrela
x1 x2 t T experimento yobs
-2 0 76 145 17 83,3
2 0 104 145 18 81,2
0 -2 90 138 19 81,2
0 2 90 152 20 79,5
0 0 90 145 21 87,0
0 0 90 145 22 86,0
Construindo a matriz de planejamento com os experimentos 11 a 22,
a equação resultante para o modelo ajustado é
octave
Estimativa do erro
erro dos coeficientes
octave
b0 = 0,75
b1, b2, b11, b22 e b12 = 0,53
Pontos centrais: sc = 0,5 com uc = 1
Estimativa conjunta
s = 1,78 com u =4
Modelo
Como b2 = 0,36 0,53 , significa que b2 pode
ser aproximado ao ruído. Desse modo, a
equação resultante é
contour
78,8
81,2
83,3
91,2
84,5
87,4
79,5
77,4
81,2
1º planejamento:
T e t y
2º planejamento:
T e t y
x1
x2
Análise de superfície de resposta
de 2ª ordem
Quando o experimento está próximo do ótimo e
é descrito por uma função de 2ª ordem
Como localizar os pontos estacionários?
Localização dos pontos
estacionários
coordenadas do ponto estacionário
Ponto estacionário
resposta máxima
resposta mínima
ponto de cela
superfície de resposta
Planejamentos experimentais
para ajustar superfícies de
respostas
Modelos de 1ª ordem ortogonais
Simplex (simplex design) p/ k variáveis
𝒚 = 𝒃𝟎 + 𝒃𝒊𝒙𝒊 + 𝒆
𝒌
𝒊=𝟏
k = 3 k = 2
Modelos de 2ª ordem
planejamentos com pontos centrais
(PPC), ou central composite design
Fatorial 2k (ou fracionário de resolução V)
nf experimentos
2k experimentos axiais ou estrela
nc pontos centrais
k = 3 k = 2
Modelos de 2ª ordem
rotabilidade: modelo deve girar
𝑽 𝒚 𝐗 é a mesma em todos os pontos, X, que
estão à uma mesma distância do centro do
planejamento
𝜶 = 𝒏𝒇𝟒 , onde nf é o número de pontos
usados na porção fatorial do planejamento
Modelos de 2ª ordem
Planejamento Box-Behnken
esfera de raio 2
não contém pontos nos vértices
pode ser vantajoso em termos de custo e em
regiões proibitivas
Modelos de 2ª ordem
É o mais usado para
planejamentos
fatoriais em três
níveis, sendo possível
para mais do que três
variáveis
independentes.
• 12 pontos nos centros das arestas
• 3 pontos centrais
Modelos de 2ª ordem
Ensaios X1 X2 X3
-1 -1 0
1 -1 0
-1 1 0
1 1 0
-1 0 -1
1 0 -1
-1 0 1
1 0 1
0 -1 -1
0 -1 -1
0 1 1
0 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0