PLACAS DE BASE CÁLCULO DE TENSÕES ATRAVÉS DE … · Nas estruturas metálicas, as placas de base...

________________________________ * Contribuição tecnocientífica ao Construmetal 2016 – Congresso Latino-americano da

Construção Metálica – 20 a 22 de setembro de 2016, São Paulo, SP, Brasil.

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Tema: Placas de base

PLACAS DE BASE – CÁLCULO DE TENSÕES ATRAVÉS DE MÉTODO NUMÉRICO*

Humberto Salum Faria¹ Francisco Augusto Pereira Leite²

Celso Vaz Santiago³

Resumo O objetivo deste trabalho é apresentar um método numérico computacional para cálculo de tensões em placas de base engastada e seus respectivos chumbadores. Este método é amplo e possibilita a análise de placas com qualquer tipo de geometria e qualquer disposição de chumbadores. Os resultados são bem precisos ao se comparar com os métodos clássicos já conhecidos. A verificação local da placa, nervura e chumbadores não fazem parte deste trabalho. Palavras-chave: Placas de base, Chumbadores.

BASE PLATES - STRESS CALCULATION THROUGH NUMERICAL METHOD

Abstract The objective of this work is to present a computational numerical method for calculation of stresses in rigid base plates and their anchors bolts. This method is wide and allows the analysis of plates with any geometry and any provision of anchor bolts. The results are very accurate when compared with the classical methods already known. The local analysis of the plate, stiffness and anchor bolts are not part of this work. Keywords: Base plate, anchor bolth. ¹ Engenheiro civil/graduado pela Escola de Engenharia Mauá em 1998 e pós graduado em Gestão de

projetos de sistemas estruturais pela USP-PECE em 2003, Engenheiro de Estruturas na HSF Engenharia Civil & Consultoria, São Bernardo do Campo, SP, Brasil.

² Engenheiro civil/graduado pela Escola de Engenharia Mauá em 1989 e pós graduado em Gestão de

projetos de sistemas estruturais pela USP-PECE em 2002, Mestre em Engenharia de Estruturas pela Escola Politécnica da USP em 2006, Engenheiro de Estruturas na MW Brasil, São Paulo, SP, Brasil.

³ Engenheiro civil/graduado pela Escola de Engenharia Mauá em 1984, Consultor de Engenharia Civil na

Projectus Consultoria Ltda, São Paulo, SP, Brasil.



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1 INTRODUÇÃO Nas estruturas metálicas, as placas de base são elementos usados para transferir os esforços de um pilar em aço para a estrutura de concreto. As placas de base podem ser do tipo engastada, articulada ou semirrígida, sendo as duas primeiras mais usadas. A placa de base engastada é o foco deste trabalho.

Fig.1

Os elementos apresentados acima compõe uma placa de base clássica, sendo os chumbadores responsáveis por transmitir os esforços de tração. Já a compressão, é transmitida da placa para o concreto através do graute, que é um concreto sem retração. Em geral, as normas atuais não dão uma tratativa detalhada para estudar o comportamento de uma placa de base engastada, sendo necessário recorrer à bibliografia específica. 2 METODOLOGIA Aqui será apresentado o critério e os procedimentos de dois métodos: o primeiro é o método clássico, apresentado por Blodgett [1]; e o segundo é o método numérico que necessita de auxílio computacional e é o objeto de estudo deste trabalho. Ambos os métodos mantém a hipótese da resistência dos materiais clássica onde parte-se do princípio que as seções permanecem planas após a deformação, além de considerarem os materiais elásticos lineares. A deformação dos componentes não é considerada nestes métodos, e isso deve ser tratado através da colocação de nervuras, deixando a placa de base mais próxima do grau de engastamento teórico. 2.1 Método Clássico – Blodgett O método clássico referido é abordado no livro “Design of Welded Structures”, de Omer W. Blodgett[1], uma das literaturas mais consagradas da Construção Metálica. A placa tem dimensões DxB, e o vetor momento fletor M é perpendicular à dimensão D. A formulação é desenvolvida trocando o momento fletor M pela excentricidade e=M/Nc.



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Para as placas de base de pequena excentricidade (e<=D/6), não há descolamento da placa em relação ao concreto, isto é, não há tração nos chumbadores e a placa é totalmente comprimida. Para esta situação, se aplica a fórmula clássica da Resistência dos Materiais para o cálculo da máxima tensão de compressão no Concreto:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑁𝑐

𝐴+

𝑀

𝑊 (1)

Fig.2

Onde A é a área da placa, e W o módulo de resistência. No caso de placas de base de grande excentricidade (e>D/6), há descolamento da placa em relação ao concreto e há tração nos chumbadores. Para este caso, o critério apresentado por Blodgett [1] consiste em um desenvolvimento matemático que leva em conta as equações de equilíbrio clássicas; a compatibilidade de deformação dos chumbadores tracionados; e o concreto comprimido. Este desenvolvimento é apresentado a seguir:

Fig.3

A partir do equilíbrio das forças verticais (V=0) e momento (M=0), temos:

𝑃𝑐 + 𝑃𝑡 =𝜎𝑐.𝑌.𝐵

2 (2)



4

𝜎𝑐 =2.(𝑃𝑐+𝑃𝑡)

𝑌.𝐵 (3)

𝑃𝑐 = −𝑃𝑡. ⌈𝐷

2−

𝑌

3+𝑓

𝐷

2−

𝑌

3−𝑒

⌉ (4)

𝑃𝑡 = −𝑃𝑐. ⌈𝐷

2−

𝑌

3−𝑒

𝐷

2−

𝑌

3+𝑓

⌉ (5)

Pc = força normal aplicada na placa a partir da coluna Pt = força normal de tração nos chumbadores Ec = módulo de elasticidade do concreto Es = módulo de elasticidade do aço n = Es/Ec

c = deformação específica do concreto na extremidade da placa

c = deformação específica do aço dos chumbadores As = área total dos chumbadores tracionados

s = tensão nos chumbadores

c = tensão máxima no concreto Como a deformação específica é proporcional à distância da linha neutra :

𝜀𝑐

𝑌=

𝜀𝑠𝐷

2−𝑌+𝑓

(6)

E aplicando a lei de Hooke em (5): 𝜎𝑐

𝐸𝑐.

𝐸𝑠

𝜎𝑠=

𝑌𝐷

2−𝑌+𝑓

(7)

Substituindo s e Es/Ec:

𝜎𝑐 =𝑃𝑡.𝑌

𝐴𝑠.𝑛.(𝐷

2−𝑌+𝑓)

(8)

Trabalhando as equações acima apresentadas, chegamos a uma equação de terceiro grau para encontrar a posição da linha neutra Y:

𝑌3 + 𝐾1. 𝑌2 + 𝐾2. 𝑌 + 𝐾3 = 0 (9)

Onde:

𝐾1 = 3. (𝑒 −𝐷

2) (10)

𝐾2 =6.𝑛.𝐴𝑠

𝐵. (𝑓 + 𝑒) (11)

𝐾3 = −𝐾2. (𝐷

2+ 𝑓) (12)

Ao resolver numericamente a equação (9), encontra-se a variável Y, que pode ser substituída em (5) para calcular a força Pt nos chumbadores, e substituindo Y e Pt em (3) calcula-se a tensão máxima de compressão no concreto.



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O item 3.1 mostra um exemplo numérico deste método. 2.2 Método Numérico O método apresentado no item 2.1 é bem coerente, preciso e confiável, porém, é limitado às seguintes situações: - seções retangulares - momento fletor aplicado em apenas um dos eixos - somente uma linha de chumbadores tracionados com a mesma tensão No dia a dia de projeto, é possível encontrar necessidades de uso de placas de base com diversas geometrias e disposição de chumbadores, assim como ter situações em que os momentos fletores são aplicados nas duas direções ortogonais com valores diferentes, com ou sem força normal. Para abordar tais situações, o método numérico aqui apresentado permite calcular as tensões em placas de base de qualquer geometria e qualquer disposição de chumbadores a partir do esforço normal N e momentos fletores ortogonais Mx e My, porém, para possibilitar seu uso, é necessário a utilização de recursos computacionais programáveis. Como já explicado, as premissas desse método são exatamente as mesmas do método clássico, contudo, por se tratar de um método numérico, para cálculo das tensões no concreto, a seção da placa será dividida em partes numeradas de 1 a nc, e os chumbadores também serão numerados de 1 a ns. A definição de nc dependerá da precisão requerida. A figura abaixo representa a seção genérica, os eixos ortogonais X e Y, e os esforços solicitantes Nc, Mx e My aplicados na placa. Como convenção de sinais, será adotado que a normal Nc é positiva para compressão, e os momentos fletores seguirão a regra da mão direita. A deformação específica em qualquer ponto de coordenada (x,y) será calculada pela equação de um plano de acordo com a expressão :

𝜀 = −𝛼. 𝑥 + 𝛽. 𝑦 + 𝜀0 (13)

Conhecendo as variáveis , e 0, podemos calcular a deformação específica em qualquer ponto, e através da lei de Hooke obter as tensões nos chumbadores e no concreto.

O procedimento para encontrar as variáveis , e 0 são apresentadas a seguir.

A partir de um valor inicial estimado para cada variável , e 0 podemos calcular as deformações e tensões em qualquer ponto de coordenada (x,y) da placa. Para cada uma das nc partes do concreto de área An, adota-se que a deformação específica

seja constante, e a força de compressão Fc e os momentos desta parte são dados por:

𝐹𝑐 = −𝐴𝑛. 𝜎𝑐 = −𝐴𝑛. 𝜀. 𝐸𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀 < 0 (14) 𝐹𝑐 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀 ≥ 0 (15)

Fig.4



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𝑀𝑥𝑐 = 𝐹𝑐. 𝑦 (16) 𝑀𝑦𝑐 = 𝐹𝑐. 𝑥 (17)

Faz-se o mesmo procedimento para cada um dos ns chumbadores, sendo que para cada

chumbador de coordenada (x,y) conhecida, calcula-se a deformação específica de acordo com (13). A força Fs em função da área As de cada chumbador e os momentos em relação aos eixos X e Y são dadas por:

𝐹𝑠 = 𝐴𝑠. 𝜎𝑠 = 𝐴𝑠. 𝜀. 𝐸𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀 > 0 (18) 𝐹𝑠 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜀 ≤ 0 (19)

𝑀𝑥𝑠 = 𝐹𝑠. 𝑦 (20) 𝑀𝑦𝑠 = 𝐹𝑠. 𝑥 (21)

A partir dos valores calculados pelas equações (14) a (21) para cada parte, pode-se calcular os esforços resultantes Nc’, Mx’ e My’ da seção completa para cada matriz de deformações

regidas pelas variáveis , e 0 de acordo com as somatórias : 𝑁𝑐′ = ∑ 𝐹𝑐 − ∑ 𝐹𝑠 (22)

𝑀𝑥′ = ∑ 𝑀𝑥𝑐 − ∑ 𝑀𝑥𝑠 (23)

𝑀𝑦′ = ∑ 𝑀𝑦𝑐 − ∑ 𝑀𝑦𝑠 (24)

O próximo passo será encontrar as variáveis , e 0 de modo que tenhamos os esforços resultantes Nc’, Mx’ e My’ iguais ou bem próximos aos esforços solicitantes Nc, Mx e My respectivamente. Para isso, estabelece-se três variáveis de controle e dá sequência aos passos:

𝐶1 = 𝑁𝑐 − 𝑁𝑐′ (25)

𝐶2 = 𝑀𝑥 − 𝑀𝑥′ (26)

𝐶3 = 𝑀𝑦 − 𝑀𝑦′ (27)

Passo1 : ajustar 0 até que C1 fique próximo de zero

Passo2 : ajustar até que C2 fique próximo de zero

Passo3 : ajustar até que C3 fique próximo de zero Repete-se os passos de 1 a 3 até que as três variáveis de controle C1, C2 e C3 sejam iguais ou bem próximos à zero. Após avaliar este método, fica evidente a necessidade de uma ferramenta computacional com recursos de programação, e isso será exemplificado no item 3. 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Como já comentado, a aplicação do método numérico descrito em 2.2 necessita ser feita com o uso de uma ferramenta computacional programável. As planilhas em excel implementadas com macro em visual basic abaixo exemplificam a aplicação.



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Aqui também será mostrada a aplicação do método clássico descrito em 2.1, que nos permitirá comparar resultados entre ambos. 3.1 Exemplo de Aplicação do Método Clássico Dada a placa abaixo com 4 chumbadores de 1”, é aplicada uma força normal de compressão de 15tf, e um momento fletor de 800tf.cm no plano da alma do perfil.

Fig.5 Primeiramente calcula-se a excentricidade e=800/15=53,33cm>>>D/6. Pc=15tf; D=50cm; B=40cm; f=20cm e e=53,33cm Es=2050tf/cm2; Ec=263tf/cm2; n=Es/Ec=7,795 e As=10,13cm2 Substituindo nas equações 10 a 12:

𝐾1 = 3. (53,33 −50

2) = 84,99

𝐾2 =6.7,795.10,13

40. (20 + 53,33) = 868,557

𝐾3 = −868,557. (50

2+ 20) = −39085,082

𝑌3 + 𝐾1. 𝑌2 + 𝐾2. 𝑌 + 𝐾3 = 0 Resolvendo a equação de terceiro grau, encontramos Y=15,85cm

𝑃𝑡 = −15. ⌈50

2−

15,85

3−53,33

50

2−

15,85

3+20

⌉ = 13,02𝑡𝑓 ;

𝜎𝑐 =2.(15+13,02)

15,85.40= 0,088𝑡𝑓/𝑐𝑚2

3.2 Elaborando uma planilha para aplicação do Método Numérico Para elaborar esta planilha, as variáveis citadas em 2.2 serão colocadas em células, onde os dados de entrada serão de cor azul e as células com fórmulas em preto. Vamos elaborar uma placa retangular dividida em 10.000 partes(100x100):



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Fig.6

A figura acima mostra a parte principal da planilha; as variáveis , e 0 estão colocadas com valores iniciais;, os esforços solicitantes de entrada Nc, Mx e My e as dimensões D e B estão em azul.

Ao lado direito estão as 10.000 células onde o valor de é calculado em função da coordenada

x,y dentro da placa e das variáveis , e 0. Para cada uma das partes da placa, as forças de compressão Fc e seus momentos são calculados em outras 30.000 células com seus somatórios:

Fig.7 Em outra parte da planilha estão os demais dados de entrada, como os módulos de elasticidade Es e Ea, e também os chumbadores:



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Fig.8 Poderão ser colocados quantos chumbadores forem necessários, e inclusive, de diferentes diâmetros. Estes, são colocados um a um, preenchendo a tabela acima com a área de cada um e suas coordenadas.

Para cada chumbador é calculado o valor de de acordo com a equação (13), e também suas tensões, forças e momentos de acordo com as equações (18) a (21). Agora é possível calcular esforços resultantes Nc’, Mx’ e My’ da seção completa para cada

matriz de deformações regidas pelas variáveis , e 0, usando as equações (22) a (24):



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Fig.9

Fig.10



11

As variáveis de controle C1, C2 e C3 das equações (25) a (27) também são colocadas na

planilha, e para fazer o ajuste das variáveis , e 0 conforme descrito em 2.2 usaremos uma macro escrita em visual basic: “Sub Calcular() Dim A, B, C, d As Double A = Range("BW31").Value B = Range("CQ31").Value C = Range("DK31").Value d = 0 While Abs(A) >= 0.001 Or Abs(B) >= 0.001 Or Abs(C) >= 0.001 Range("BW31").GoalSeek Goal:=0, ChangingCell:=Range("AH72") Range("CQ31").GoalSeek Goal:=0, ChangingCell:=Range("AH62") Range("DK31").GoalSeek Goal:=0, ChangingCell:=Range("AH52") A = Range("BW31").Value B = Range("CQ31").Value C = Range("DK31").Value d = d + 1 Range("AH31").Value = d Wend End Sub” As variáveis C1, C2 e C3 estão nas células BW31, CQ31 e DK31 respectivamente, e as variáveis

, e 0 estão nas células AH52, AH62 e AH72 respectivamente. Após simular a macro acima, teremos as forças e tensões em cada chumbador, além das tensões no concreto. 3.3 Testando a planilha com os dados do item 3.1 Colocando os mesmos dados do item 3.1 na planilha descrita em 3.2 e simulando a macro, temos os resultados abaixo:



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Fig.11

Ao comparar os resultados com 3.1, vemos que a diferença não chega a 3%.



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3.4 Cálculo de uma placa retangular genérica Neste exemplo há uma placa de base de seção retangular genérica, onde se tem 8 chumbadores de 1” dispostos conforme a figura abaixo:

Fig.12 Os esforços solicitantes são : Nc=10tf; Mx=800tf.cm e My=300tf.cm. Neste caso, não é possível calcular as tensões pelo método clássico. Ao colocar esses dados na planilha e simular a macro, obtém-se os resultados abaixo:

A parte da placa mais escura da figura abaixo é a área comprimida da placa onde <0.



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Fig.13



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3.5 Cálculo de uma placa circular com abertura interna Placas de base de seção circular com abertura interna são muito usadas na construção e na indústria, como por exemplo, postes tubulares para telecomunicações e torres de processos químicos. Para aplicar o método numérico neste caso, usa-se a mesma planilha desenvolvida em 3.2 com algumas pequenas adaptações. A placa a ser simulada está na figura abaixo:

Fig.14

Os esforços solicitantes são : Nc=30tf; Mx=2000tf.cm e My=1400tf.cm

A adaptação será feita nas células onde o valor de é calculado de modo a considerar somente as partes entre o diâmetro interno d e externo D, da seguinte forma:

𝑆𝑒 𝑑

2≤ √𝑥2 + 𝑦2 ≤

𝐷

2; 𝜀 = −𝛼. 𝑥 + 𝛽. 𝑦 + 𝜀0 (28)

𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜; 𝜀 = 0 . A figura 15 na sequência mostra a simulação com a planilha adaptada.



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Fig.15



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4 CONCLUSÃO Além de nos proporcionar resultados precisos e coerentes conforme visto no item três, e também, por se basear em premissas bem aceitas e testadas no mundo cientifico, podemos concluir que o método numérico pode nos trazer resultados confiáveis. Foi mostrado aqui que a principal vantagem deste método é ter a possibilidade de fazer uma análise precisa de diversos tipos diferentes de placa de base. A crítica que esse método pode receber é que seu processo exige uma grande quantidade de cálculo, necessitando de ferramentas computacionais. Vale a pena comentar que o princípio da resistência dos materiais clássica (onde parte-se da premissa que as seções permanecem planas após a deformação), também é usado para cálculo de flexão obliqua em pilares de concreto armado. Espera-se que a partir deste trabalho outros colegas possam desenvolver estudos e ferramentas, e que apliquem esses conhecimentos no dia a dia de projeto. Agradecimentos Agradeço aqui aos meus colegas de trabalho e amigos Francisco Augusto Pereira Leite² e Celso Vaz Santiago³ pelo incentivo, pela ajuda e principalmente pelo apoio técnico no desenvolvimento deste trabalho. REFERÊNCIAS 1 Omer W. Blodgett. Design of Welded Structures. Cleveland, Ohio: The James F. Lincoln Arc Welding Foundation; 1966. 2 American Institute of Steel Construction - AISC - 13ª edição, 2005. 3 ABNT-NBR.8800 –Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios - edição de 2008. 4 Salmon, C.G.; Johnson, J.E.; Malhas, F.A. (2009). Steel structures: Design and behavior. 5ª Edição, Pearson Prentice Hall. 5 AISC Steel Design Guide 1: Base Plate and Anchor Rod Design.

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