Pilar Estruturais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARMADO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru/SP Agosto/2015

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Descrição de pilares e dimensionamento

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARMADO Prof. Dr.PAULO SRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru/SP Agosto/2015 APRESENTAO Estaapostilatemoobjetivodeservircomonotasdeaulanadisciplina2323EstruturasdeConcretoII,docursodeEngenhariaCivildaFaculdadedeEngenharia,da Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP. OtextoapresentapartedasprescriescontidasnaNBR6118/2014(Projetodeestruturasde concreto Procedimento verso corrigida) para o dimensionamento de pilares de Concreto Armado. O dimensionamentodospilaresfeitocombasenosmtodosdopilarpadrocomcurvaturaerigidez aproximadas.Outrosmtodosconstantesdanormanosoapresentados,esoestudadosospilaresde seo retangular e somente os de ns fixos (contraventados), com ndice de esbeltez at 90. Aapresentaododimensionamentodospilaresfeitaemfunodaclassificaoqueos individualizaempilaresintermedirios,deextremidadeedecanto.Vriosexemplosnumricosesto apresentados para cada um deles. Oitem2(CobrimentodaArmadura)noespecficodospilares,porm,foiinseridonotexto porque muito importante no projeto, e contm alteraes em relao verso anterior da norma (2003). Noitem4(ConceitosIniciais)soapresentadasalgumasinformaesbsicasiniciaiseosconceitos relativosaochamadoPilarPadro,cujomodeloutilizadopelaNBR6118paraadeterminao aproximadadomomentofletordesegundaordem.Porltimosoapresentadosexemplosnumricosde dimensionamento de pilares de um edifcio baixo e com planta de frma simples.O autor agradece aos estudantes que colaboraram no estudo dos pilares,Antonio Carlos de Souza Jr.,CaioGorlaNogueira,JooPauloPilaDAloia,RodrigoFernandoMartinseaotcnicodersondos Santos Martins, pela confeco de desenhos. Crticas e sugestes so bem-vindas. SUMRIO 1INTRODUO ........................................................................................................................... 1 2AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE ......................................................................................... 1 3QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO ............................................................... 1 4ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA .............................................................. 2 5CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................. 4 5.1Solicitaes Normais ........................................................................................................... 4 5.2Flambagem .......................................................................................................................... 4 5.3No-linearidade Fsica e Geomtrica .................................................................................. 5 5.4Equao da Curvatura de Elementos Fletidos ..................................................................... 6 5.5Compresso Axial ............................................................................................................... 8 5.6Pilar-Padro ......................................................................................................................... 9 6NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS ............................................... 11 6.1Estruturas de Ns Fixos e Mveis ..................................................................................... 12 6.2Elementos Isolados ............................................................................................................ 14 7EXCENTRICIDADES .............................................................................................................. 14 7.1Excentricidade de 1a Ordem .............................................................................................. 14 7.2Excentricidade Acidental................................................................................................... 14 7.3Excentricidade de 2a Ordem .............................................................................................. 15 7.4Excentricidade Devida Fluncia ..................................................................................... 16 8NDICE DE ESBELTEZ ........................................................................................................... 17 9DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM ................................................ 19 9.1Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada ....................................................... 19 9.2Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez k Aproximada ....................................................... 21 10SITUAES BSICAS DE PROJETO ............................................................................... 22 10.1Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 22 10.2Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 23 10.3Pilar de Canto ................................................................................................................ 24 11DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR ...................... 25 12SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO ................................................................... 26 12.1Pilar Intermedirio ......................................................................................................... 27 12.2Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 27 12.3Pilar de Canto ................................................................................................................ 28 13CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS ........... 29 13.1Flexo Composta Normal .............................................................................................. 29 13.2Flexo Composta Oblqua ............................................................................................. 30 14RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO31 15CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS ............................................................... 32 15.1Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 32 15.2Exemplos Numricos..................................................................................................... 33 15.2.1Exemplo 1 .................................................................................................................. 33 15.2.2Exemplo 2 .................................................................................................................. 37 16CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE .............................................................. 40 16.1Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 40 16.2Exemplos Numricos..................................................................................................... 41 16.2.1Exemplo 1 .................................................................................................................. 41 16.2.2Exemplo 2 .................................................................................................................. 46 16.2.3Exemplo 3 .................................................................................................................. 51 16.2.4Exemplo 4 .................................................................................................................. 54 17CLCULO DOS PILARES DE CANTO ............................................................................. 58 17.1Roteiro de Clculo ......................................................................................................... 58 17.2Exemplos Numricos..................................................................................................... 58 17.2.1Exemplo 1 .................................................................................................................. 59 17.2.2Exemplo 2 .................................................................................................................. 62 17.2.3Exemplo 3 .................................................................................................................. 66 18DISPOSIES CONSTRUTIVAS ...................................................................................... 70 18.1Armadura Longitudinal de Pilares ................................................................................. 71 18.1.1Dimetro Mnimo ...................................................................................................... 71 18.1.2Distribuio Transversal ............................................................................................ 71 18.1.3Armadura Mnima e Mxima..................................................................................... 71 18.1.4Detalhamento da Armadura ....................................................................................... 72 18.1.5Proteo contra Flambagem ....................................................................................... 72 18.2Armadura Transversal de Pilares ................................................................................... 73 18.3Pilares-Parede ................................................................................................................ 74 19ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR REA DE INFLUNCIA ..... 74 20PR-DIMENSIONAMENTO DA SEO TRANSVERSAL DO PILAR ......................... 75 21DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAO DE BAIXA ALTURA . 76 21.1Pilar Intermedirio P8.................................................................................................... 78 21.2Pilar de Extremidade P5 ................................................................................................ 83 21.3Pilar de Extremidade P6 ................................................................................................ 89 21.4Pilar de Canto P1 ........................................................................................................... 93 UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 1 1INTRODUO Pilaresso Elementoslineares deeixoreto, usualmentedispostosna vertical, em queasforas normais de compresso so preponderantes. (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2). Pilares-paredesoElementosdesuperfcieplanaoucascacilndrica,usualmentedispostosna verticalesubmetidospreponderantementecompresso.Podemsercompostosporumaoumais superfciesassociadas.Paraquesetenhaumpilar-parede,emalgumadessassuperfciesamenor dimensodevesermenorque1/5damaior,ambasconsideradasnaseotransversaldoelemento estrutural. (item 14.4.2.4). O dimensionamento dos pilares feito em funo dos esforos externos solicitantes de clculo, que compreendem as foras normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as foras cortantes (Vdx e Vdy) no caso de ao horizontal. ANBR6118,naversode2003,fezmodificaesemalgumasdasmetodologiasdeclculodas estruturasdeConcretoArmado,comotambmemalgunsparmetrosaplicadosnodimensionamentoe verificaodasestruturas.Especialatenodadaquestodadurabilidadedaspeasdeconcreto. Particularmentenocasodospilares,anormaintroduziuvriasmodificaes,comonovalorda excentricidadeacidental,ummaiorcobrimentodeconcreto,umanovametodologiaparaoclculoda esbeltez limite relativa considerao ou no dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a considerao de um momento fletor mnimo, que pode substituir o momento fletor devido excentricidade acidental.Aversode2014mantmessasprescries,eintroduziuqueaverificaodomomentofletor mnimopodeserfeitacomparandoumaenvoltriaresistente,queenglobeaenvoltriamnimacom2 ordem. Noitem17.2.5(Processoaproximadoparaodimensionamentoflexocompostaoblqua)a NBR6118apresentaummtodosimplificadoparaoprojetodepilaressobflexocompostanormale oblqua, que no ser apresentado neste texto. Os trs itens seguintes (2,3 e 4) foram inseridos no texto porque so muito importantes no projeto de estruturas de concreto, especialmente o cobrimento da armadura pelo concreto. 2AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE Segundo a NBR 6118 (item 6.4.1), A agressividade do meio ambiente est relacionada s aes fsicasequmicasqueatuamsobreasestruturasdeconcreto,independentementedasaesmecnicas, dasvariaesvolumtricasdeorigemtrmica,daretraohidrulicaeoutrasprevistasno dimensionamento das estruturas.Nosprojetosdasestruturascorrentes,aagressividadeambientaldeveserclassificadadeacordo com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condies de exposio da estrutura ou de suas partes (item 6.4.2). Conhecendo o ambiente em que a estrutura ser construda, o projetista estrutural pode considerar uma condio de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 1. 3QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO ConformeaNBR6118(item7.4),a...durabilidadedasestruturasaltamentedependentedas caractersticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaioscomprobatrios dedesempenhodadurabilidadeda estruturafrenteaotipoeclassede agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parmetros mnimos a serem atendidos. Na falta destes e devido existncia de uma forte correspondncia entre a relao gua/cimento e a resistncia compressodoconcretoesuadurabilidade,permite-sequesejamadotadososrequisitosmnimos expressos na Tabela 2. OconcretoutilizadodevecumprircomosrequisitoscontidosnaNBR12655ediversasoutras normas(item7.4.3).ParaparmetrosrelativosaoConcretoProtendidoconsultaraTabela7.1daNBR 6118. 1ASSOCIAOBRASILEIRADENORMASTCNICAS.ProjetodeestruturasdeconcretoProcedimento,NBR6118. ABNT, 2014, 238p. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 2 Tabela 1 Classes de agressividade ambiental CAA. (Tabela 6.1 da NBR 6118). Classe de agressividade Ambiental Agressividade Classificao geral do tipo de ambiente para efeito de Projeto Risco de deteriorao da estrutura IFraca Rural Insignificante Submersa IIModeradaUrbana1, 2 Pequeno IIIForte Marinha1 Grande Industrial1, 2 IVMuito forte Industrial1, 3 Elevado Respingos de mar NOTAS: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima)paraambientesinternossecos(salas,dormitrios,banheiros,cozinhasereasdeserviode apartamentosresidenciaiseconjuntoscomerciaisouambientescomconcretorevestidocom argamassa e pintura). 2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regies declimaseco,comumidademdiarelativadoarmenorouiguala65%,partesdaestrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regies onde raramente chove. 3)Ambientesquimicamenteagressivos,tanquesindustriais,galvanoplastia,branqueamentoem indstrias de celulose e papel, armazns de fertilizantes, indstrias qumicas. Tabela 2 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e qualidade do Concreto Armado. (Tabela 7.1 da NBR 6118). Concreto Classe de agressividade ambiental (CAA) IIIIIIIV Relao gua/cimentoem massa 0,65 0,60 0,55 0,45 Classe de concreto (NBR 8953) C20 C25 C30 C40 4ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA Define-secobrimentodearmaduraaespessuradacamadadeconcretoresponsvelpelaproteo daarmaduranumelemento.Essacamadainicia-seapartirdafacemaisexternadabarradeaoese estende at a superfcie externa do elemento em contato com o meio ambiente. Em vigas e pilares comum a espessura do cobrimento iniciar na face externa dos estribos da armadura transversal, como mostrado na Figura 1. nomnomEstriboCC Figura 1 Espessura do cobrimento da armadura pelo concreto. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 3 ANBR6118(item7.4.7.1)defineocobrimentomnimodaarmaduracomoomenorvalorque deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado. Para garantir o cobrimento mnimo (cmn), o projeto e a execuo devem considerar o cobrimento nominal(cnom),queocobrimentomnimoacrescidodatolernciadeexecuo(Ac).Asdimensesdas armaduras e os espaadores devem respeitar os cobrimentos nominais. c c cmn nomA + = Eq. 1 Nas obras correntes o valor de Ac deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido para5mmquandohouverumcontroleadequadodequalidadeelimitesrgidosdetolernciada variabilidadedasmedidasduranteaexecuodasestruturasdeconcreto,informadonosdesenhosde projeto.A Tabela 3 (NBR 6118, item 7.4.7.2) apresenta valores de cobrimento nominal com tolerncia de execuo (Ac) de 10 mm, em funo da classe de agressividade ambiental. Tabela 3 Correspondncia entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominalpara Ac = 10 mm (Tabela 7.2 da NBR 6118). Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental (CAA) IIIIIIIV2 Cobrimento nominal (mm) Concreto Armado4 Laje1 20253545 Viga/Pilar25304050 Elementos estruturais em contato com o solo3 304050 Notas: 1) Para a face superior de lajes e vigas que sero revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentosfinaissecostipocarpeteemadeira,comargamassaderevestimentoeacabamento,como pisos de elevado desempenho, pisos cermicos, pisos asflticos e outros tantos, as exigncias desta tabela podem ser substitudas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal > 15 mm. 2) Nas superfcies expostas a ambientes agressivos, como reservatrios, estaes de tratamento de gua e esgoto,condutosdeesgoto,canaletasdeefluenteseoutrasobrasemambientesqumicaeintensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 3)Notrechodospilaresemcontatocomosolojuntoaoselementosdefundao,aarmaduradeveter cobrimento nominal > 45 mm. 4)ParaparmetrosrelativosaoConcretoProtendidoconsultaraTabela7.2daNBR6118.Nocasode elementosestruturaispr-fabricados,osvaloresrelativosaocobrimentodasarmaduras(Tabela7.2) devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062.2 (item 7.4.7.7). Paraconcretosdeclassederesistnciasuperioraomnimoexigido,oscobrimentosdefinidosna Tabela 3 podem ser reduzidos em at 5 mm. ANBR6118(itens7.4.7.5e7.4.7.6)aindaestabelecequeocobrimentonominaldeuma determinada barra deve sempre ser: n ccn feixe nombarra nom| = | = | >| >Eq. 2 Adimensomximacaractersticadoagregadogrado(dmx)utilizadonoconcretonopode superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja: nom mxc 2 , 1 d s Eq. 3 2ASSOCIAOBRASILEIRADENORMASTCNICAS.Projetoeexecuodeestruturasdeconcretopr-moldado.NBR 9062, ABNT, 2001, 36p. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 4 5CONCEITOS INICIAIS 5.1Solicitaes Normais Ospilarespodemestarsubmetidosaforasnormaisemomentosfletores,gerandoosseguintes casos de solicitao: a) Compresso Simples Acompressosimplestambmchamadacompressocentradaoucompressouniforme.A aplicao da fora normal Nd no centro geomtrico (CG) daseo transversal do pilar, cujas tenses na seo transversal so uniformes (Figura 2). CGN NNd dd Figura 2 Solicitao de compresso simples ou uniforme. b) Flexo Composta Na flexo composta ocorre a atuao conjunta de fora normal e momento fletor sobreo pilar. H dois casos: - Flexo Composta Normal (ou Reta): existe a fora normal e um momento fletor em uma direo, tal que Mdx = e1x . Nd (Figura 3a); -FlexoCompostaOblqua:existeaforanormaledoismomentosfletores,relativossduas direes principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . NdeM1d,y = e1y . Nd (Figura 3b). ex xyyNNdde1x1xee1y a) normal;b) oblqua. Figura 3 Tipos de flexo composta. 5.2Flambagem Flambagempodeserdefinidacomoodeslocamentolateralnadireodemaioresbeltez,com fora menor do que a de ruptura do material ou como a instabilidade de peas esbeltas comprimidas. A UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 5 runaporefeitodeflambagemrepentinaeviolenta,mesmoquenoocorramacrscimosbruscosnas aes aplicadas. Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente superiorescargacrtica(Ncrt),oquesignificaqueaflambagemnocorrespondeaumestado-limite ltimo. No entanto, para uma barra comprimida de Concreto Armado, a flambagem caracteriza um estado-limite ltimo. 5.3No-linearidade Fsica e Geomtrica Nodimensionamentodealgunselementosestruturais,especialmenteospilares,importante considerar duas linearidades que ocorrem, uma relativa ao material concreto e outra relativa geometria do pilar. a) no-linearidade fsica Quando o material no obedece Lei de Hooke, como materiais com diagramas o x c mostrados na Figura 4b e Figura 4c. A Figura 4a e a Figura 4d mostram materiais onde h linearidade fsica. Oconcretosimplesapresentacomportamentoelastoplsticoemensaiosdecompressosimples, com um trecho inicial linear at aproximadamente 0,3fc . o = Ec (HOOKE)o c a) elstico linear o CARGAcDESCARGARUPTURA b) elstico no-linear CARGAo RUPTURADESCARGAc(CONCRETO) c) elastoplstico o c d) elastoplstico ideal Figura 4 Diagramas o x c de alguns materiais. b) no-linearidade geomtrica Ocorrequandoasdeformaesprovocamesforosadicionaisqueprecisamserconsideradosno clculo, gerando os chamados esforos de segunda ordem, como o momento fletor M = F . a (Figura 5). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 6 F a) posio inicial yFrayx b) posio final Figura 5 No-linearidade geomtrica originando esforos de segunda ordem. 5.4Equao da Curvatura de Elementos Fletidos Odeslocamentolocalde2aordemaquelequeocorreemumlance3dopilar,comoos deslocamentos horizontais da barra indicada na Figura 5b. A NBR 6118 comumente usa os termos efeitos locaisde2aordem,onde,entreoutros,oprincipalefeitoomomentofletordesegundaordem(M2), gerado a partir do deslocamento lateral da barra, igual a F . a no caso da barra da Figura 5b. A determinao dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por mtodos aproximados,entreelesodopilar-padrocomcurvaturaaproximada,comopreconizadonaNBR6118 (item15.8.3.3.2).Comointuitodesubsidiaroentendimentodopilar-padro,apresentadoadiante,eda expressoparaclculodomomentofletorde2aordem,apresenta-seagoraaequaodacurvaturade elementos fletidos.4 Considerando aLei deHooke(o=E .c), aequao dacurvaturadepeasfletidas, como aquela mostrada na Figura 6, tem a seguinte deduo: dxdx A= c E dxdx o=AEq. 4 AplicandoyIM= ona Eq. 4 fica: yI EMdxdx=AdxI EMydx=A O comprimento dx pode ser escrito:dx = r d| dxI EMydxrdxd =A= = |Eq. 5 3 Lance a parte (comprimento) de um pilar relativa ao trecho entre dois pavimentos de uma edificao. 4 A equao da curvatura geralmente estudada na disciplina Resistncia dos Materiais. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 7 Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equao da curvatura: I EMr1dxd= =| Eq. 6 xvy > 0ddxdx + dxc1c2r Figura 6 Curvatura de uma pea fletida. Do clculo diferencial tem-se a expresso exata da curvatura (linha elstica): 2 / 3222dxdy1dxy dr1(((

|.|

\|+=Eq. 7 Para pequenos deslocamentos (pequena inclinao) tem-se 2dxdy|.|

\| 140. (NBR 6118, 15.8.3.2). 5 O Mtodo Geral no geralmente estudado em profundidade em curso de graduao. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 10 Opilar-padroumabarraengastadanabaseelivrenotopo,comumacurvaturaconhecida (Figura9).importantesalientarqueomtododopilar-padroaplicvelsomenteapilaresdeseo transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do pilar. A verificao da segurana feita arbitrando-se deformaes cc e cs tais que no ocorra o estado limite ltimo de rupturaou alongamento plstico excessivo na seo maissolicitada da pea.(FUSCO, 1981). xyNde2 Figura 9 Pilar-padro. Como simplificao a linha elstica pode ser tomada pela funo senoidal definida na Eq. 16, onde a considerada igual a e2 (deformao de 2a ordem), conforme mostrado na Figura 9: e2xsen e yt = A primeira e a segunda derivada da equao fornecem: x cos edxdye e2 t t = yxsen edxy d2e2e22e22 t=t||.|

\| t= Considerando a Eq. 8 (22dxy dr1~ ), da segunda derivada surge o valor para y em funo da curvatura 1/r: r1ydxy d2e222=t= r1y22et= Tomando y como o mximo deslocamento e2 tem-se: r1e22e2t= Com t2 ~ 10 e sendo 1/r relativo seo crtica (base), o deslocamento no topo da barra : base2e2r110e |.|

\|= Eq. 17 UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 11 Odeslocamentomximoe2chamadoexcentricidadede2aordemeserconsideradono dimensionamentodospilares,comoseveradiante.Devidoexcentricidadelocale2surgeomomento fletor de segunda ordem: M2d = Nd . e2 =base2edr110N |.|

\| Eq. 18 Tomando a Eq. 11, o ao CA-50, s = 1,15 e c = 3,5 = 0,0035, pode-se determinar o valor da curvatura 1/r na base (seo crtica) do pilar-padro: d r1c sc + c= =d00557 , 0d0035 , 0 00207 , 0d0035 , 02100015 , 1 / 50d0035 , 0Efsyd=+=+=+ A NBR 6118 (item 15.8.3.3.2) toma uma expresso aproximada para a curvatura na base, como: ( ) h005 , 05 , 0 h005 , 0r1s+ v=Eq. 19 com v (ni) sendo um valor adimensional relativo fora normal (Nd): cd cdf AN= vEq. 20 onde:h = altura da seo na direo considerada; Ac = rea da seo transversal; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c). AplicandoaEq.19naEq.18tem-seomximomomentofletordesegundaordemlocal,aser aplicado no dimensionamento de pilares pelo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada: ( )((

+ v=5 , 0 h005 , 010N M2ed d 2Eq. 21 6NOES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS Osedifciosdevemserprojetadosdemodoaapresentaremanecessriaestabilidadesaes verticaisehorizontais,ouseja,devemapresentarachamadaestabilidadeglobal.Ospilaressoos elementosdestinadosestabilidadevertical,porm,necessrioprojetaroutroselementosmaisrgidos que, alm de tambm transmitirem as aes verticais, devero garantir a estabilidade horizontal do edifcio ao do vento e de sismos (quando existirem). Ao mesmo tempo, so esses elementos mais rgidos que garantiro a indeslocabilidade dos ns dos pilares menos rgidos. Comessaspremissasclassificam-seoselementosverticaisdosedifciosemelementosde contraventamento e elementos (pilares) contraventados.Define-seosistemadecontraventamentocomooconjuntodeelementosqueproporcionaroa estabilidadehorizontaldoedifcioeaindeslocabilidadeouquase-indeslocabilidadedospilares contraventados, que so aqueles que no fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118 (item 15.4.3)dizque,Porconveninciadeanlise,possvelidentificar,dentrodaestrutura,subestruturas que,devidosuagranderigidezaaeshorizontais,resistemmaiorpartedosesforosdecorrentes dessasaes.Essassubestruturassochamadassubestruturasdecontraventamento.Oselementosque no participam da subestrutura de contraventamento so chamados elementos contraventados.Oselementosdecontraventamentosoconstitudosporpilaresdegrandesdimenses(pilares-parede ou simplesmente paredes estruturais), por trelias ou prticos de grande rigidez, ncleos de rigidez, etc., como mostrados na Figura 10.UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 12 As lajes dos diversos pavimentos do edifcio tambm podem participar da estabilidade horizontal, aoatuaremcomoelementosderigidezinfinitanoprprioplano(oquesechamadiafragmargido), fazendo a ligao entre elementos de contraventamento formados por prticos, por exemplo. Segundo SSSEKIND (1984, p. 175), Toda estrutura, independentemente do nmero de andares edasdimensesemplanta,deveterseusistemadecontraventamentoestudadoeadequadamente dimensionado. Pilares ou Elementos de ContraventamentosPilares Contraventados Figura 10 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). 6.1Estruturas de Ns Fixos e Mveis No item 15.4.2 a NBR 6118 define o que so, para efeito de clculo, estruturas de ns fixos e de ns mveis. A Figura 12 e a Figura 13 ilustram os tipos. a) Estruturas de ns fixos Soaquelasquandoosdeslocamentoshorizontaisdosnssopequenose,pordecorrncia,os efeitosglobaisde2aordemsodesprezveis(inferioresa10%dosrespectivosesforosde1aordem), Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem. Noitem15.4.1aNBR6118apresentadefiniesdeefeitosglobais,locaiselocalizadosde2a ordem: Sob a ao das cargas verticais e horizontais, os ns da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforos de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos so chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas barrasdaestrutura,como umlancedepilar,osrespectivos eixosnosemantmretilneos,surgindoa efeitos locais de 2a ordem que, em princpio, afetam principalmente os esforos solicitantes ao longo delas. Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma regio que apresenta no retilinidade maiordoqueadoeixodopilarcomoumtodo.Nessasregiessurgemefeitosde2aordemmaiores, chamados de efeitos de 2a ordem localizados (ver Figura 15.3). O efeito de 2a ordem localizado, alm de aumentar nessa regio a flexo longitudinal, aumenta tambm a flexo transversal, havendo a necessidade de aumentar a armadura transversal nessas regies. (ver Figura 11). Figura 11 Efeitos de 2a ordem localizados (NBR 6118). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 13 b) Estruturas de ns mveis Soaquelasondeosdeslocamentoshorizontaisnosopequenose,emdecorrncia,osefeitos globaisde2aordemsoimportantes(superioresa10%dosrespectivosesforosde1aordem).Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforos de 2a ordem globais como os locais e localizados.As subestruturas de contraventamento podem ser de ns fixos ou de ns mveis, de acordo com as definies acima (Figura 12). Paraverificarseaestruturaestsujeitaounoaesforosglobaisde2aordem,ouseja,sea estrutura pode ser considerada como de ns fixos, lana-se mo do clculo do parmetro de instabilidade o (NBR6118,item15.5.2)oudocoeficientez(item15.5.3).Essescoeficientesseroestudadosna disciplina Estruturas de Concreto IV. ParamaisinformaessobreaestabilidadeglobaldosedifciosdevemserconsultadosFUSCO (2000) e SSSEKIND (1984). Pilares ContraventadosElementos de Contraventamentons mveis ns fixos Figura 12 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). a) Estrutura deslocvelb) Estrutura indeslocvel Figura 13 Estruturas de ns fixos e mveis (FUSCO, 1981). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 14 6.2Elementos Isolados A NBR 6118 (item 15.4.4) define que so considerados elementos isolados os seguintes: a) elementos estruturais isostticos; b) elementos contraventados; c) elementos que fazem parte de estruturas de contraventamento de ns fixos; d)elementosdassubestruturasdecontraventamentodensmveis,desdeque,aosesforosnas extremidades,obtidosemumaanlisede1aordem,sejamacrescentadososdeterminadosporanlise global de 2a ordem. Nesta apostila so apresentados somente os chamados elementos (pilares) contraventados. 7EXCENTRICIDADES Nesteitemsoapresentadasoutrasexcentricidadesalmdaexcentricidadede2aordem,que podemocorrernodimensionamentodospilares:excentricidadede1aordem,excentricidadeacidentale excentricidade devida fluncia. 7.1Excentricidade de 1a Ordem Aexcentricidadede1aordem(e1)devidapossibilidadedeocorrnciademomentosfletores externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto terico de aplicaodaforanormalnoestarlocalizadonocentrodegravidadedaseotransversal,ouseja, existncia da excentricidade inicial a, como indicada na Figura 14. Considerando a fora normal Nd e o momento fletor Md (independente de Nd), a Figura 14 mostra os casos possveis de excentricidade de 1a ordem. N supostacentrada e M = 0N suposta aplicada distncia a do CG,M = 0N supostacentradaN suposta aplicada distncia a do CG1e= aMe= 1e= a +1M1e= 0aaM Myy y yx x x xNNNNNN Figura 14 Casos possveis de excentricidade de 1a ordem. 7.2Excentricidade Acidental No caso do dimensionamento ou verificao de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito dodesaprumooudafaltaderetilinidadedoeixodopilar[...]Admite-seque,noscasosusuaisde estruturasreticuladas,aconsideraoapenasdafaltaderetilinidadeaolongodolancedepilarseja suficiente. (NBR 6118, 11.3.3.4.2). A imperfeio geomtrica pode ser avaliada pelo ngulo u1 : H 10011 = uEq. 22 com:H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 15; u1mn = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeies locais; mx 1u = 1/200 UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 15 uuHpilar de contraventamentopilar contraventadoHi/2eaueau111 1ielemento de travamento a) Elementos de travamentob) Falta de retilinidadec) Desaprumo do pilar (tracionado ou comprimido) no pilar Figura 15 Imperfeies geomtricas locais. A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ngulo u1 : 2He1 au =Eq. 23 7.3Excentricidade de 2a Ordem A anlise global de2aordem fornece apenasosesforosnasextremidades dasbarras,devendo serrealizada uma anlise dosefeitoslocaisde 2aordem ao longo dos eixosdasbarras comprimidas, de acordocomoprescritoem15.8.Oselementosisolados,parafinsdeverificaolocal,devemser formadospelasbarrascomprimidasretiradasdaestrutura,comcomprimentoe,deacordocomo estabelecidoem15.6,pormaplicando-sessuasextremidadesosesforosobtidosatravsdaanlise global de 2a ordem. (NBR 6118, item 15.7.4). Conforme a NBR 6118 (15.8.2), Os esforos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezadosquandoondicedeesbeltezformenorqueovalor-limite1[...]. Ovalorde1dependede diversos fatores, mas os preponderantes so:- a excentricidade relativa de 1a ordem e1 /h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1a ordem de maior valor absoluto; - a vinculao dos extremos da coluna isolada; - a forma do diagrama de momentos de 1a ordem. O valor-limite 1 : b11he5 , 12 25o+= Eq. 24 com:35 1 90, onde:e1 = excentricidade de 1a ordem (no inclui a excentricidade acidental ea); h / e1= excentricidade relativa de 1a ordem. Noitem15.8.1daNBR6118encontra-sequeopilardeveserdotipoisolado,edeseoe armadura constantes ao longo do eixo longitudinal, submetidos flexo-compresso. Os pilares devem ter ndice de esbeltez menor ou igual a 200 ( 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com fora normal menor que 0,10fcd Ac , o ndice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com ndice UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 16 deesbeltezsuperiora140,naanlisedosefeitoslocaisde2aordem,devem-semultiplicarosesforos solicitantes finais de clculo por um coeficiente adicional n1 = 1 + [0,01( 140)/1,4]. O valor de ob deve ser obtido conforme estabelecido a seguir (NBR 6118, 15.8.2): a) para pilares biapoiados sem cargas transversais: 4 , 0MM4 , 0 6 , 0ABb> + = oEq. 25 sendo:0,4 ob 1,0 MA e MB so os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar, obtidos na anlise de 1a ordem no caso de estruturas de ns fixos e os momentos totais (1a ordem + 2a ordem global) no caso de estruturas de ns mveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo, em caso contrrio. b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: 1b = o c) para pilares em balano: 85 , 0MM2 , 0 8 , 0ACb> + = oEq. 26 sendo:0,85 ob 1,0, MA= momento de 1a ordem no engaste; MC= momento de 1a ordem no meio do pilar em balano. d) para pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momento mnimo estabelecido em 11.3.3.4.3: 1b = o Ofatorobconstado ACI318 (1995) com anotao Cm(item 10.12.3.1). Porm, aocontrrio da NBR 6118, que tambm considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e oMC-90(1990)doCEB,calculamaesbeltezlimiteemfunodarazoentreosmomentosfletoresou entre as excentricidades nas extremidades do pilar. 7.4Excentricidade Devida Fluncia Aconsideraodaflunciadeveobrigatoriamenteserrealizadaempilarescomndicede esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir: (NBR 6118, 15.8.4) |||.|

\|||.|

\|+ =1 718 , 2 eNMesg esgN NNasgsgcc Eq. 27 2ec cieI E 10N=Eq. 28 onde:ea = excentricidade devida a imperfeies locais; UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 17 Msg e Nsg = esforos solicitantes devidos combinao quase permanente; = coeficiente de fluncia; Eci = mdulo de elasticidade tangente; Ic = momento de inrcia; e = comprimento de flambagem. 8NDICE DE ESBELTEZ O ndice de esbeltez a razo entre o comprimento de flambagem e o raio de girao, nas direes a serem consideradas (NBR 6118, 15.8.2): i e= Eq. 29 com o raio de girao sendo: AIi =Para seo retangular o ndice de esbeltez : h3,46e= Eq. 30 onde:e = comprimento de flambagem; i=raiodegiraodaseogeomtricadapea(seotransversaldeconcreto,nose considerando a presena de armadura); I= momento de inrcia; A = rea da seo; h= dimenso do pilar na direo considerada. Ocomprimentodeflambagemdeumabarraisoladadependedasvinculaesnabaseenotopo, conforme os esquemas mostrados na Figura 16. EngasteA. SimplesA. SimplesA. SimplesEngasteEngasteE. ElsticoE. ElsticoE. MvelLivreF FFFe= 0,7 Le= 0,5 Le0,5 L < < Le= 2 L = L eFBA ABABABBAL Figura 16 Comprimento de flambagem. Em edifcios, a linha deformada dos pilares contraventados apresenta-se como mostrada na Figura 17a. Uma simplificao pode ser feita como indicada na Figura 17b. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 18 12FUNDAO1 TETO2 TETOn TETOn2 TETO1 TETOFUNDAOnn TETO()~ en ~ 2 e ~ 23 1 e21 a) situao real;b) situao simplificada. Figura 17 Situao real e simplificada de pilares contraventados de edifcios (SSSEKIND, 1984). Nasestruturasdensfixos,oclculopodeserrealizadoconsiderandocadaelemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforos obtidos pela anlise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1a ordem. (NBR 6118, 15.6). Assim, o comprimento equivalente (e), de flambagem, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: +shoe Eq. 31 com:o=distnciaentreasfacesinternasdoselementosestruturais,supostoshorizontais,que vinculam o pilar (Figura 18); h = altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; = distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar est vinculado. hh+ Figura 18 Valores de o e . Paracasosdedeterminaodocomprimentodeflambagemmaiscomplexosrecomenda-sea leitura de SSSEKIND (1984, v.2). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 19 Em funo do ndice de esbeltez, os pilares podem ser classificados como: a) Pilar curto se s 35; b) Pilar mdio se 35 < s 90; c) Pilar medianamente esbelto se 90 < s 140; d) Pilar esbelto se 140 < s 200. Eq. 32 Ospilarescurtosemdiosrepresentamagrandemaioriadospilaresdasedificaes.Ospilares medianamente esbeltos e esbeltos so bem menos frequentes. 9DETERMINAO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o clculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo Mtodo Geral ou por mtodos aproximados. O Mtodo Geral obrigatrio para elementos com > 140. Anormaapresentadiferentesmtodosaproximados,sendoeles:mtododopilar-padrocom curvaturaaproximada(item15.8.3.3.2),mtododopilar-padrocomrigidezkaproximada(15.8.3.3.3), mtododopilar-padroacopladoadiagramasM,N,1/r(15.8.3.3.4)emtododopilar-padropara pilares de seo retangular submetidos flexo composta oblqua (15.8.3.3.5). Sero agora apresentados osmtodosdopilar-padrocomcurvaturaaproximadaecomrigidezaproximada,quesosimplesde serem aplicados no dimensionamento. O pilar-padro foi apresentado no item 5.6. 9.1Mtodo do Pilar-Padro com Curvatura Aproximada Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com90,comseoconstanteearmadurasimtricaeconstanteaolongodeseueixo.Ano linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformao da barra seja senoidal.A nolinearidadefsicaconsideradaatravsdeumaexpressoaproximadadacurvaturana seo crtica.AequaosenoidalparaalinhaelsticafoidefinidanaEq.16,quedefineosvaloresparaa deformaode2aordem(e2)aolongodaalturadopilar.Anolinearidadefsicacomacurvatura aproximada foi apresentada na Eq. 11 e na Eq. 19.O momento fletor total mximo no pilar deve ser calculado com a expresso: A , d 12ed A , d 1 b tot , dMr110N M M > + o = Eq. 33 onde:ob = parmetro definido no item 7.3; Nd = fora normal solicitante de clculo; e = comprimento de flambagem. 1/r = curvatura na seo crtica, avaliada pela expresso aproximada (Eq. 19): h005 , 0) 5 , 0 ( h005 , 0r1s+ v= A fora normal adimensional (v) foi definida na Eq. 20: cd cdf . AN= v Embora o item 15.8.3.3.2 da verso de 2014 da NBR 6118, diferentemente da verso de 2003, no apresente diretamente, deve-se considerar que: M1d,A > M1d,mn Md,tot > M1d,mn UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 20 com:M1d,A = valor de clculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 7.3; M1d,mn = momento fletor mnimo como definido a seguir; Ac = rea da seo transversal do pilar; fcd = resistncia de clculo compresso do concreto (fcd = fck /c); h = dimenso da seo transversal na direo considerada. Na verso de 2003, a NBR 6118 introduziu um parmetro novo no clculo dos pilares: o momento fletormnimo,oqualconstanocdigoACI318(1995)comoequao10-15e:aesbeltezlevadaem consideraoaumentando-seosmomentosfletoresnosextremosdopilar.Seosmomentosatuantesno pilar so muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mnima, dada pelo momento mnimo. Naversode2014 daNBR 6118 (11.3.3.4.3), comonaverso de2003,consta queoefeito das imperfeieslocaisnospilaresepilares-paredepodesersubstitudo,emestruturasreticuladas,pela considerao do momento mnimo de 1a ordem dado a seguir (item 11.3.3.4.3): ) h 03 , 0 015 , 0 ( N Md mn , d 1+ =Eq. 34 com h sendo a altura total da seo transversal na direo considerada, em metro (m). A NBR 6118 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mnimo pode-se desconsiderar aexcentricidadeacidentalouoefeitodasimperfeieslocais,equeaomomentomnimodevemser acrescidos os momentos de 2a ordem. A rigor, o momento fletor total mximo deve ser calculado para cada direo principal do pilar. Ele levaemcontaque,numaseointermediriaondeocorreaexcentricidademximade2aordem,o momento fletor mximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator ob. Isto semelhante ao que se encontra no item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferena de que novos parmetros foram estabelecidos para ob . Se o momento fletor de 1a ordem for nulo ou menor que o mnimo, ento o momento fletor mnimo, constante na altura do pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem. Aindanoitem11.3.3.4.3daNBR6118:Parapilaresdeseoretangular,pode-sedefiniruma envoltria mnima de 1 ordem, tomada a favor da segurana, conforme mostrado na Figura 19. 1MMMM2yy , mn , d 1y , mn , d 12xx , mn , d 1x , mn , d 1=||.|

\|+||.|

\|Eq. 35 M1d,mn,xx = Nd (0,015 + 0,03h) M1d,mn,yy = Nd (0,015 + 0,03b) sendo:M1d,mn,xx e M1d,mn,yy = componentes em flexo composta normal; M1d,mn,x e M1d,mn,y = componentes em flexo composta oblqua. Figura 19 Envoltria mnima de 1 ordem (NBR 6118). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 21 Nestecaso,averificaodomomentomnimopodeserconsideradaatendidaquando,no dimensionamentoadotado,obtm-seumaenvoltriaresistentequeenglobeaenvoltriamnimade1 ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem em alguma das direes do pilar,averificaodomomentomnimodeveconsideraraindaaenvoltriamnimacom2ordem, conforme 15.3.2. Noitem15.3.2anormareapresentaodiagramadaFigura19,mascomaenvoltriamnima acrescida dos efeitos da 2a ordem, emostrando tambm a envoltria resistente (Figura 20). Para pilares de seo retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2 ordem, a verificao do momento mnimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtm-se uma envoltria resistente que englobe a envoltria mnima com 2 ordem, cujos momentos totais so calculados a partir dos momentos mnimos de 1 ordem e de acordo com item 15.8.3. A considerao desta envoltria mnimapodeserrealizadaatravsdeduasanlisesflexocompostanormal,calculadasdeforma isolada e com momentos fletores mnimos de 1 ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direes principais. Figura 20 Envoltria mnima com 2 ordem (NBR 6118). 9.2Mtodo do Pilar-Padro com Rigidez k Aproximada Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o mtodo pode ser empregado apenas no clculo de pilares com 90, com seo retangular constante e armadura simtrica e constante ao longo de seu eixo. A no linearidadegeomtricadeveserconsideradadeformaaproximada,supondo-sequeadeformaoda barra seja senoidal. A no linearidade fsica deve ser considerada atravs de uma expresso aproximada da rigidez. Omomentototalmximonopilardevesercalculadoapartirdamajoraodomomentode1a ordem pela expresso: A , d 12A , d 1 bt ot , SdM/ 1201MM >v ko=Eq. 36 sendo o valor da rigidez adimensional dado aproximadamente pela expresso: v||.|

\|+ = kdt ot , RdaproxN . hM5 1 32Eq. 37 Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificao, onde a armadura conhecida, MRd,tot o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = NRd . Asvariveish,v,M1d,Aeobsoasmesmasdefinidasanteriormente.Avarivelrepresentao ndice de esbeltez e v o coeficiente adimensional relativo fora normal (Eq. 20). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 22 Substituindo a Eq. 37 na Eq. 36 obtm-se uma equao do 2o grau til para calcular diretamente o valor de MSd,tot , sem a necessidade de se fazer iteraes: 0 c M b M atot , Sd2tot , Sd= + + Eq. 38 o =o ==A , d 1 b2dA , d 1 b2e dd2M h N cM h 5320NN h bh 5 a Eq. 39 a 2ac 4 b bM2t ot , Sd + =Eq. 40 O clculo do momento fletor total pode ser feito aplicando as trs equaes acima (Eq. 38, Eq. 39 e Eq. 40), ou tambm com a equao do segundo grau (com Md,tot ao invs de MSd): 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + Eq. 41 10SITUAES BSICAS DE PROJETO Para efeito de projeto, os pilares dos edifcios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares intermedirios, pilares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos bsicos corresponde uma situao de projeto diferente. 10.1Pilar Intermedirio Nos pilares intermedirios (Figura 21) considera-se a compresso centrada na situao de projeto, poiscomoaslajesevigassocontnuassobreopilar,pode-seadmitirqueosmomentosfletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezveis. No existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar, como descritos no item 7.3. yxNd Figura 21 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares intermedirios. PLANTA SITUAO DE PROJETO UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 23 10.2Pilar de Extremidade Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas das edificaes, sendotambmchamadospilareslateraisoudeborda.Otermopilardeextremidadeadvmdofatodo pilar ser extremo para uma viga, aquela que no tem continuidade sobre o pilar, como mostrado na Figura 22.Nasituaodeprojetoocorreaflexocompostanormal,decorrentedanocontinuidadedaviga. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem em uma direo do pilar, como descritos no item 7.3. Opilardeextremidadenoocorrenecessariamentenabordadaedificao,ouseja,podeocorrer na zona interior de uma edificao, desde que uma viga no apresente continuidade no pilar. Nas sees de topo e base ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem, na direo principal x ou y do pilar: dAA , 1NMe = e dBB , 1NMe =Eq. 42 dNxye1 Figura 22 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de extremidade. Os momentos fletores MA e MB so devidos aos carregamentos verticais sobre as vigas, eobtidos calculando-seospilaresemconjuntocomasvigas,formandoprticosplanos,ou,deumamaneiramais simplesequepodeserfeitamanualmente,comaaplicaodasequaesjapresentadasemBASTOS (2015).6 Conforme a Figura 23, os momentos fletores, nos lances inferior e superior do pilar, so: viga sup infinfeng infr r rrM M+ += Eq. 43 viga sup infsupeng supr r rrM M+ +=Eq. 44 6 BASTOS, P.S.S. Vigas de Concreto Armado. Disciplina 2123 Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, jun/2015, 56p. http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm PLANTA SITUAO DE PROJETO UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 24 com: Meng = momento fletor de engastamento perfeito na ligao entre a viga e o pilar; r = I/ = ndice de rigidez relativa; I = momento de inrcia da seo transversal do pilar na direo considerada; =voefetivodotramoadjacentedavigaaopilarextremo,oucomprimentodeflambagemdo pilar. Nadeterminaodosmomentosfletoresde1aordemqueocorremnospilaresdeedifciosde pavimentosdeve-seconsiderarasuperposiodosefeitosdasvigasdosdiferentesnveis(Figura23). Considerando-seporexemploolance(tramo)dopilarcompreendidoentreospavimentosiei+1,os momentos fletores na base e no topo do lance so: 1 i inf, i sup, baseM 5 , 0 M M++ = i sup, 1 i inf, t opoM 5 , 0 M M + =+ Eq. 45 Se os pavimentos i e i + 1 forem pavimentos tipo, ou seja, idnticos, os momentos fletores na base e no topo sero iguais e: Msup,i = Minf,i+1 Mbase = Mtopo = 1,5 Msup,i = 1,5 Minf,i+1 Eq. 46 + 12 MMinftramo extremosup,i-1+ 12 M sup,i-1Minf,invel (i - 1)inf,ivigainfMM12 MsupsupMpilar de extremidade+ 12 M+ 12 MMsup,iMinf,i+1inf,i+1nvel isup,invel (i + 1) Figura 23 Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes da ligao com a viga no contnua sobre o pilar (FUSCO, 1981). Osexemplosnumricosapresentadosnoitem21mostramoclculodosmomentosfletores solicitantes por meio da Eq. 43 a Eq. 46. 10.3Pilar de Canto De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifcios, vindo da o nome, como mostrado na Figura 24. Na situao de projeto ocorre a flexo composta oblqua, decorrente da no continuidade das vigas apoiadas no pilar. Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem, nas suas duas direes do pilar, ou seja, e1x e e1y . Esses momentos podem ser calculados da mesma forma como apresentado nos pilares de extremidade. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 25 Nde1,xyxe1,y Figura 24 Arranjo estrutural e situao de projeto dos pilares de canto. 11DETERMINAO DA SEO SOB O MXIMO MOMENTO FLETOR Sendoconstanteaforanormal(Nd)aolongodaalturadopilar,nodimensionamentodeveser analisadaqualseodopilar,aolongodesuaaltura,estarsubmetidaaomaiormomentofletortotal, segundoasdireesprincipaisdopilar.Normalmentebastaverificarasseesdeextremidade(topoe base)eumaseo intermediriaC,queaquelacorrespondenteaomximomomento fletor de2aordem (M2d). A Figura 25 mostra alguns casos diferentes de atuao dos momentos fletores de 1a ordem (M1d,A e M1d,B),emostratambmosmomentosfletoresmnimoede2aordem.Nocasodemomentofletorde1a ordem varivel ao longo da altura (lance) do pilar, o valor maior deve ser nomeado M1d,A , e considerado positivo. O valor menor, na outra extremidade, ser nomeado M1d,B , e considerado negativo se tracionar a fibraopostadeM1d,A.Omomento fletor de1aordem existentedeveser comparadoao momento fletor mnimo (M1d,mn), e adotado o maior. -++++C(M>1d,AM)1d,B+M1d,mn1d,AMOU0M1d,A1d,BM1d,AM1d,BM1d,AM= M1d,BM2,mxBA ABbasetopo1d,CM seo intermediria+OU OU OU Figura 25 Momentos fletores de 1a ordem com o de 2a ordem nas sees do lance do pilar. PLANTA SITUAO DE PROJETO UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 26 Nadeterminaodomximomomentofletortotal,dabaseaotopodopilar,emcadadireo,e considerando as sees de extremidade e a seo intermediria C, tem-se: a) Sees de extremidade (topo ou base) >mn , d 1A , d 1t ot , dMMM Eq. 47 b) Seo intermediria (C) ++>d 2 mn , d 1d 2 C , d 1t ot , dM MM MM Eq. 48 Com o momento de 1a ordem M1d,C avaliado como: +>A , d 1B , d 1 A , d 1C , d 1M 4 , 0M 4 , 0 M 6 , 0M Eq. 49 A Eq. 49 tem os coeficientes 0,6 e 0,4 relativos varivel ob , definida no item 7.3. 12SITUAES DE PROJETO E DE CLCULO O clculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da fora normal e do momento fletor total solicitante no pilar, sem se explicitar as excentricidades da fora Nd . Por outro lado, clculo tambm pode ser feito explicitando as excentricidades, que so funo dos momentos fletores. No dimensionamento dos pilares, conforme a antiga NB 1/78, o clculo era feito considerando-se as excentricidades. J a NBR 6118 de 2003 introduziu o momento fletor mnimo e a equao do momento fletortotal(Md,tot),direcionandodecertaformaoclculoviamomentosfletoresenoviaas excentricidades.Claroqueoclculocorreto,emfunodosmomentosfletoresoudasexcentricidades, conduz aos mesmos resultados. Nos itens seguintes procura-se ilustrar os dois modos de clculo, deixando-se ao estudante a escolha do modo a aplicar. Nositensseguintesestomostradasasexcentricidadesquedevemserconsideradasno dimensionamentodospilares,emfunodotipodepilar(intermedirio,deextremidadeoudecanto)e para mx s 90. As excentricidades a serem consideradas so as seguintes: a) Excentricidade de 1a ordem dA , d 1A , 1NMe =dB , d 1B , 1NMe =Eq. 50 b) Excentricidade mnima e1,mn = 1,5 + 0,03 h , com h em cmEq. 51 c) Excentricidade de 2a ordem ( ) h 5 , 00005 , 0e2e2+ v=Eq. 52 com v definido na Eq. 20. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 27 d) Excentricidade de 1a ordem na seo intermediria C +>A , 1B , 1 A , 1C , 1e 4 , 0e 4 , 0 e 6 , 0e Eq. 53 12.1Pilar Intermedirio AFigura26mostraasituaodeprojeto(S.P.)eassituaesdeclculo(s.c.)dospilares intermedirios com mx s 90. Na 1a s.c. esto indicadas as excentricidades que ocorrem na direo x, e na 2a s.c. as excentricidades na direo y. Como no se considera a existncia de momentos fletores de 1a ordem, a situao de projeto de Compresso Simples (ou Uniforme). Se o pilar tiver s 1 nas duas direes, tem-se que e2x = 0 e e2y = 0, easexcentricidadesde2aordemmostradasnaFigura26noexistiro.Nestecasobastaconsiderara excentricidademnimaemcadadireo.Poroutrolado,se>1emumaouambasasdirees,a excentricidadede2aordemdevesersomadaexcentricidademnima.Aexcentricidademnima corresponde ao momento fletor mnimo, apresentado no item9.1 (Eq. 34).

1 s.c. S.P.Nde2 s.c.1y,mnNdexyNd1x,mnxee2yeye2x Figura 26 Situao de projeto e situaes de clculo de pilares intermedirios com mx s 90. Paracadasituaodeclculodeveserdeterminadaumaarmaduralongitudinal, considerando-se, porm, o mesmo arranjo (posicionamento) das barras da armadura na seo transversal. Isso importante porque a armadura final deve atenders situaes de clculo existentes.A armadura final a maior entre as calculadas. 12.2Pilar de Extremidade No pilar de extremidade ocorre a Flexo Composta Normal na situao de projeto, com existncia deexcentricidadede1aordememumadireodopilar.Asseesdeextremidade(topoebase)devem sempre ser analisadas (Figura 27). A seo intermediria C deve ser analisada somente na direo em que ocorrer excentricidade de 2a ordem (Figura 28). Nabaseetopodopilar,devidoaosapoios(vnculos),noocorredeslocamentohorizontal,de modoqueaexcentricidadede2aordemzero.Nasseesaolongodaalturadopilarocorrem excentricidades de 2a ordem, mas se s 1 , as excentricidades so pequenas e podem ser desprezadas. Por outro lado, se ocorrer > 1, a mxima excentricidade de 2a ordem (e2x ou e2yna seo intermediria C) deve ser considerada, e a excentricidade de 1a ordem deve ser alterada de e1x,A para e1x,C (ou de e1y,A para e1y,C) na situao de projeto (Figura 28). Domesmomodocomonopilarintermedirio,paracadasituaodeclculodevesercalculada umaarmadura,considerando-seomesmoarranjo(posicionamento)dasbarrasnaseotransversal,ea armadura final ser a maior entre as calculadas. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 28 1x,Axy2 s.c.Nde1y,mne>e{1x,mn1x,AedNdNS.P.1 s.c. Figura 27 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade (topo e base) dos pilares de extremidade. e2x1y,mneeydN2 s.c.e2y1x,Cex>1x,mn1x,C{eeeS.P. 1 s.c.NdNd Figura 28 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediriados pilares de extremidade. 12.3Pilar de Canto Nopilardecantoasolicitaodeprojetoaflexocompostaoblqua,comaexistnciade excentricidadede1aordemnasduasdireesprincipaisdopilar.NaseodeextremidadeA,como mostrado na Figura 29, apenas uma situao de clculo suficiente, comparando-se as excentricidades de 1a ordem com as excentricidades mnimas em cada direo. NaseointermediriaCasexcentricidadesde1aordemalteram-sedee1,Aparae1,C,como apresentadonaFigura30.Existindoasexcentricidadesde2aordem,elasdevemseracrescentadass excentricidades de 1a ordem, segundo a direo em que existir. A armadura final do pilar ser a maior calculada entre as situaes de clculo, considerando-se as barras distribudas de modo idntico no clculo das armaduras. 1x,A1y,Aeee>>1y,A1y,mne{1x,A1x,mne{edNS.P.1 s.c.Ndyx Figura 29 Situao de projeto e de clculo para as sees de extremidade dos pilares de canto. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 29 2 s.c.S.P. 1 s.c.dNdNdNe2yey>> >e{e1y,mn1y,C>e{e1x,mn1x,Ce1x,Ce1y,Cexyx2xe1x,C1x,mne{e1y,C1y,mne{e Figura 30 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria dos pilares de canto. 13CLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXLIO DE BACOS Nodimensionamentodospilaresfeitomanualmente,osbacossoimprescindveis,porque permitem a rpida determinao da taxa de armadura, sem necessidade de aplicar as equaes tericas da FlexoCompostaNormalouOblqua.Almdisso,osbacosproporcionamafcilescolhadediferentes arranjos de armadura na seo transversal.Nesta apostila sero aplicados os bacos de VENTURINI (1987)7 para a Flexo Composta Normal edePINHEIRO(1994)8paraaFlexoCompostaOblqua.Essesbacosdevemseraplicadosapenasno dimensionamentodepilarescomconcretosdoGrupoIderesistncia(fck50MPa),porqueforam desenvolvidos com alguns parmetros numricos que no se aplicam aos concretos do Grupo II . Para cada caso de solicitao, bacos diferentes podem ser utilizados, no entanto, o baco deve ser escolhido de modo a resultar na menor armadura, e assim a mais econmica. 13.1Flexo Composta Normal AFigura31mostraanotaoaplicadanautilizaodosbacosdeVENTURINI(1987)paraa Flexo Composta Normal (ou Reta). A distncia d paralela excentricidade (e), entre a face da seo e o centro da barra do canto. Demodo geral tem-se d = c + |t +|/2, com c = cobrimento de concreto,|t = dimetro do estribo e | = dimetro da barra longitudinal. Nddh/2h/2deb Figura 31 Notao para a Flexo Composta Normal (VENTURINI, 1987). 7VENTURINI,W.S.Dimensionamentodepeasretangularesdeconcretoarmadosolicitadasflexoreta.So Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de So Carlos USP, 1987. Disponvel em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 8PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E.Concreto Armado: bacos para flexo oblqua. So Carlos, DepartamentodeEngenhariadeEstruturas,EscoladeEngenhariadeSoCarlosUSP,1994.Disponvelem: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 30 AsequaesparaaconstruodosbacosforamapresentadasnapublicaodeVENTURINI (1987). A determinao da armadura longitudinal iniciada pelo clculo dos esforos adimensionais v (ni) e (mi). O valor adimensional v foi definido na Eq. 20: cd cdf . AN= v O valor de , em funo do momento fletor ou da excentricidade, : cd ct ot , df A hM= , ou Eq. 54 hev = Eq. 55 com:Nd = fora normal de clculo; Ac = rea da seo transversal do pilar; fcd = resistncia de clculo do concreto compresso (fck/c); Md,tot = momento fletor total de clculo; h = dimenso do pilar na direo considerada; e = excentricidade na direo considerada. Escolhidaumadisposioconstrutivaparaaarmaduranopilar,determina-seobacoaser utilizado, em funo do tipo de ao e do valor da relao d/h. No baco, com o par v e , obtm-se a taxa mecnica e. A armadura calculada pela expresso: ydcd csff AAe=Eq. 56 13.2Flexo Composta Oblqua A Figura 32 mostra a notao aplicada na utilizao dos bacos de PINHEIRO et al. (1994) para a ClexoCompostaOblqua.Asdistnciasdxedytmomesmosignificadoded,porm,cadaumaem uma direo do pilar. MhxMdyddxyhdNxyd Figura 32 Flexo Composta Oblqua (PINHEIRO, 1994). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 31 Adeterminaodaarmadurainiciadapeloclculodosesforosadimensionaisve,com segundo as duas direes principais do pilar: cd cdf . AN= v xxcd c xx , t ot , dxhef A hMv = = Eq. 57 yycd c yy , t ot , dyhef A hMv = = Eq. 58 Escolhidaumadisposioconstrutivaparaaarmaduranopilar,determina-seobacoaser utilizado, em funo do tipo de ao e dos valores das relaes dx/hx e dy/hy . No baco, com o trio (v, x , y), obtm-se a taxa mecnica e. A armadura calculada com a Eq. 56: ydcd csff AAe= 14RELAO ENTRE A DIMENSO MNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAO Ospilarescomseotransversalretangularsodiferenciadosdospilares-paredeemfunoda relao entre os lados, conforme a regra (Figura 33): h s 5 b pilar h > 5 b pilar-parede Eq. 59 bh Figura 33 Classificao dos pilares e pilares-parede de seo retangular. ANBR6118(item13.2.3)impequeAseotransversaldepilaresepilares-paredemacios, qualquerquesejaasuaforma,nopodeapresentardimensomenorque19cm.Emcasosespeciais, permite-seaconsideraodedimensesentre19cme14cm,desdequesemultipliquemosesforos solicitantesdeclculoaseremconsideradosnodimensionamentoporumcoeficienteadicionaln,de acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na Seo 11. Em qualquer caso, no se permite pilar com seo transversaldereainferiora360cm2.,oquerepresentaaseomnimade14x25,7cm.ATabela4 apresentaocoeficienteadicional.importantesalientarqueotextoindicaquetodososesforos solicitantes atuantes no pilar devem ser majorados por n , ou seja, a fora normal e os momentos fletores que existirem. Tabela 4 Coeficiente adicional n para pilares e pilares-parede (Tabela 13.1 da NBR 6118). b>191817161514 n 1,001,051,101,151,201,25 Nota:Ocoeficientendevemajorarosesforossolicitantesfinaisde clculo quando de seu dimensionamento. n = 1,95 0,05 b b = menor dimenso da seo transversal (cm). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 32 15CLCULO DOS PILARES INTERMEDIRIOS Apresenta-seoroteirodeclculodoschamadospilaresintermedirios,comaaplicaodo Mtododopilar-padrocomcurvaturaaproximadaedoMtododopilar-padrocomrigidezk aproximada. Em seguida so apresentados dois exemplos numricos de aplicao. 15.1Roteiro de Clculo Nopilarintermedirio,devidocontinuidadedasvigaselajessobreopilar,tem-sequeos momentos fletores de 1a ordem so nulos em ambas as direes do pilar (MA = MB = 0), portanto, e1 = 0. a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo pode ser determinada como: Nd = n . f . NkEq. 60 onde:Nk = fora normal caracterstica do pilar; n = coeficiente de majorao da fora normal (Tabela 4); f = coeficiente de ponderao das aes no ELU (definido na Tabela 11.1 da NBR 6118). b) ndice de esbeltez (Eq. 29 e Eq. 30) i e= , AIi = para seo retangular: h3,46e= c) Momento fletor mnimo (Eq. 34) M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada. d) Esbeltez limite (Eq. 24) b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 e1 = 0 para pilar intermedirio. s 1no considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada; > 1considera-se o efeito local de 2 ordem na direo considerada. e) Momento de 2a ordem e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 33: > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M . M, e M1d,A > M1d,mn e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 41: 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 33 15.2Exemplos Numricos Osexemplosnumricosaseguirsodepilaresintermedirios,biapoiadosnabaseenotopo,de nsfixos(contraventados)esemforastransversaisatuantes.Osclculosserofeitosemfunodos momentos fletores solicitantes e, a ttulo de exemplo, sero feitos tambm em funo das excentricidades, segundo as sees de extremidade e intermediria, como mostrado no item 11. Osseguintesdadossocomunsemtodososexemplos:concretoC20;aoCA-50;d = 4,0 cm;coeficientes de ponderao: c = f =1,4es = 1,15. 15.2.1Exemplo 1 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 34, sendo conhecidos: Nk = 785,7 kN;seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) comprimento equivalente (de flambagem): ex = ey = 280 cm = 280 cmeyey = 280 cm dNxyh= 50 cmxh = 20 cmy Figura 34 Posio do pilar em relao s vigas, vnculos na base e no topo nas direes x e y, dimenses da seo transversal e situao de projeto. RESOLUO Embora a armadura longitudinal resultar do clculo segundo a direo de menor rigidez do pilar (dir. y), a ttulo de exemplo ser demonstrado tambm o clculo segundo a direo x. a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo (Eq. 60): Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1.100 kN comndeterminadonaTabela4,emfunodalarguradaseotransversaldopilar.Tratando-sedeum pilar intermedirio, no existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direes do pilar. b) ndice de esbeltez (Eq. 30) Ondicedeesbeltezdevesercalculadoparaasdireesxey,conformeoseixosmostradosna Figura 34. A fim de padronizar e simplificar a notao, aqui considera-se a direo, e no o eixo do pilar, o que pode ser diferente de consideraes adotadas em outras disciplinas. 4 , 1950280 46 , 3h46 , 3xexx== = 4 , 4820280 46 , 3h46 , 3yeyy== = UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 34 c) Momento fletor mnimo O momento fletor mnimo, em cada direo, calculado com a Eq. 34: M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h) , com h em cm. Dir. x:M1d,mn,x = ( ) 50 . 03 , 0 5 , 1 1100 + = 3.300 kN.cm ; e1x,mn ==110033003,00 cm Dir. y:M1d,mn,y = ( ) 20 . 03 , 0 5 , 1 1100 + = 2.310 kN.cm ; e1y,mn ==110023102,10 cm Esbeltez limite (Eq. 24) b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 Nos pilares intermedirios no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem, da e1 = 0 e ob = 1,0 (ver item 7.3). Assim: 1,x = 1,y= 25 > 35 1,x = 1,y = 35 Desse modo: x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x; y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y. Empilaresretangularescorrentes,geralmentehanecessidadedeconsiderara excentricidadede 2a ordem na direo da largura do pilar. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez k aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada (Eq. 33) > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M M , e M1d,A > M1d,mn Fora normal adimensional (Eq. 20): 77 , 04 , 10 , 210001100f . ANcd cd= = = vCurvatura na direo y sujeita aos momentos fletores de 2a ordem (Eq. 19): ( ) ( )1 - 4 1 - 4cm 10 . 5 , 220005 , 0cm 10 . 9685 , 15 , 0 77 , 0 20005 , 050 , 0 h005 , 0r1 = s =+=+ v= ok! A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y (Eq. 17): 54 , 1 10 . 9685 , 110280r110e42 2ey 2= = = cm Comob=1,0efazendoM1d,A=M1d,mnemcadadireo,tem-seosmomentosfletores totaisem cada direo principal do pilar: Dir. x:Md,tot,x =M1d,mn,x = 3.300 kN.cm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 35 Dir. y:008 . 4 10 . 9685 , 1102801100 2310 . 0 , 1 M42y , t ot , d= + = kN.cmMd,tot,y = 4.008 kN.cm > M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok! O clculo de dimensionamento da armadura longitudinal do pilar pode seguir aps determinados os momentosfletorestotais,comomostradosnaFigura35.Noentanto,attulodeexemplo,somostradas tambm as excentricidades (Figura 36), calculadas em funo dos momentos fletores. O valor admensional pode ser calculado em funo do momento fletor ou da excentricidade, como feito na sequncia. Dir. x Dir. y1d,mn,xM3.300 2.310M1d,mn,y1.698+2d,mx,yM Figura 35 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y. Nde 1x,mnyxNdS.P.e= 3,64y1y,mne = 2,102ye= 1,54Nd1 s.c.a2 s.c.a3,00 Figura 36 Situao de projeto e situaes de clculo do pilar intermedirio. A anlise dos momentos fletores totais e das excentricidades permite observar que a direo crtica do pilar a direo y, dado que o maior momento fletor total (Md,tot,y de 4.008 kN.cm) relativo menor dimenso do pilar (largura hy = 20 cm). A 2 s.c., com a maior excentricidade total, na direo da largura do pilar, tambm mostra o fato, comprovado pelo clculo da armadura longitudinal. A armadura pode ser calculadaapenasparaadireocrticay,porm,comoobjetivodeilustraroscuidadosquedevemser tomados, a armadura calculada para as duas direes principais do pilar. Com v = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987)9 para Flexo Reta, faz-se o clculo de (Eq. 54 ou Eq. 55) e d/h, segundo as direes x e y: Dir. x: 9 Os bacos podem ser encontrados em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 36 = cdcxx , t ot , df . A . hM =05 , 04 , 10 , 21000 . 503300=ou05 , 05000 , 377 , 0hexx= = v = xxh' d = 500 , 4 = 0,08 ~ 0,10 com o baco A-25: = 0,05 OutrosbacosdiferentesdoA-25podemserutilizados,noentanto,estebacointeressante porquenofixaonmero debarrasaseremdispostasnaseo transversal, fixaapenasas facesdo pilar que devem alojar as barras. Neste caso, o baco A-25 proporciona que as barras sejam distribudas no lado maior do pilar. ObservequeobacoA-25temaarmaduraposicionadanadireoparalelaexcentricidadee (ver figura no baco) da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal paralela excentricidade e1x,mn da 1a s.c., coincidente com o lado maior do pilar. Dir. y: = cdcyy , t ot , df . A . hM= =4 , 10 , 21000 . 204008 0,14 ou14 , 02064 , 377 , 0heyy= = v = yyh' d = 200 , 4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,38 ParaasolicitaonadireoyobacoA-4compatvelcomobacoA-25dadireox,pois proporciona o mesmo arranjo de barras do baco A-25 na seo transversal, ou seja, as barras distribudas ao longo do lado maior do pilar. Isso mostrado na figura do baco A-4, onde a armadura posicionada na direo perpendicular excentricidade da fora normal Nd , portanto, na direo horizontal perpendicular excentricidade total da 2a s.c., e coincidente com o lado maior do pilar. A maior armadura resulta do maior valor de e, de 0,38 da 2a s.c., como esperado: As = ydcd cff A e = 49 , 1215 , 1504 , 10 , 21000 . 38 , 0=cm2 e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada Aplicando a Eq. 41 numericamente para a direo y, com M1d,A = M1d,mn, tem-se: 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + 0 2310 . 1100 . 20 . 0 , 1 . 3840 M ) 2310 . 0 , 1 . 19200 1100 . 20 . 4 , 48 1100 . 20 . 3840 ( M 19200tot , d2 2tot , d= +0 10 . 951488 , 1 M 11408320 M 1920011tot , d2tot , d= 0 10164000 M 2 , 594 Mt ot , Sd2t ot , d= A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot = 3.500 kN.cm > M1d,mn,y = 2.310 kN.cm ok! Com v = 0,77 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 37 = cdcyy , t ot , df . A . hM=4 , 10 , 21000 . 203500 = 0,12yyh' d = 200 , 4 = 0,20 com o baco A-4: = 0,30 As = ydcd cff A e = 86 , 915 , 1504 , 10 , 21000 . 30 , 0=cm2 15.2.2Exemplo 2 Estesegundoexemplo(Figura37)igualaoprimeiro,comexceodamaiorforanormalde compresso. So conhecidos: Nk = 1.071 kN seo transversal 20 x 50 (Ac = 1.000 cm2) comprimento de flambagem: ex = ey = 280 cm coeficientes de ponderao: c = f = 1,4 ; s = 1,15 dNxyh= 50 cmxh = 20 cmy Figura 37 Dimenses da seo transversal e posio da fora normal. RESOLUO a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1.500 kN, com n da Tabela 4. b) ndice de esbeltez 4 , 1950280 46 , 3h46 , 3xexx== = 4 , 4820280 46 , 3h46 , 3yeyy== = c) Momento fletor mnimo O momento fletor mnimo em cada direo : M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. Dir. x:M1d,mn,x = ( ) 50 . 03 , 0 5 , 1 1500 + = 4.500 kN.cm;e1x,mn ==1500500 4 3,00 cm Dir. y:M1d,mn,y = ( ) 20 . 03 , 0 5 , 1 1500 + = 3.150 kN.cm;e1y,mn ==150050 312,10 cm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 38 d) Esbeltez limite b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 Tem-se que ob = 1,0 e e1 = 0, portanto, do mesmo modo como no exemplo anterior: 1,x = 1,y= 25 > 35 1,x = 1,y = 35 Desse modo: x = 19,4 < 1,x no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x; y = 48,4 > 1,y so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez k aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M M, e M1d,A > M1d,mn Fora normal adimensional:05 , 14 , 10 , 210001500f . ANcd cd= = = v Curvatura na direo y sujeita a momentos fletores de 2a ordem: ( ) ( )1 - 4 1 - 4cm 10 . 5 , 220 , 0005 , 0cm 10 . 6129 , 15 , 0 05 , 1 20005 , 050 , 0 h005 , 0r1 = s =+=+ v= ok! A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y : = =r110e2ey 226 , 1 10 . 6129 , 11028042= cm Fazendo M1d,A > M1d,mn em cada direo, tem-se os momentos totais mximos: Dir. x:Md,tot,x = M1d,mn,x = 4.500 kN.cm Dir. y:047 . 5 10 . 6129 , 1102801500 3150 . 0 , 1 M42y , t ot , d= + = kN.cm Md,tot,y = 5.047 kN.cm > M1d,mn,y = 3.150 kN.cm ok! Osmomentosfletoresatuantesnopilar,nasdireesxey,estoindicadosnaFigura38.A situao de projeto e as situaes de clculo esto mostradas na Figura 39. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 39 1.8971d,mn,yM3.150 4.500M1d,mn,xDir. y Dir. xM2d,mx,y+e = 3,001x,mn 1y,mne = 2,10 Figura 38 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y. S.P. 1 s.c.a2 s.c.aNde yxNde= 3,36e = 2,10e= 1,26Nd3,00 1x,mn1y,mn2yy Figura 39 Situao de projeto e situaes de clculo. Com v = 1,05 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987)10 para Flexo Reta: Dir. x: = cdcxx , t ot , df . A . hM =06 , 04 , 10 , 21000 . 504500= ou06 , 05000 , 305 , 1hexx= = v = xxh' d = 500 , 4 = 0,08 ~ 0,10 baco A-25: = 0,38 Dir. y: = cdcyy , t ot , df . A . hM= =4 , 10 , 21000 . 205047 0,18 ou18 , 02036 , 305 , 1heyy= = v = yyh' d = 200 , 4 = 0,20 baco A-4: = 0,78 10 Os bacos podem ser encontrados em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 40 A comparao entre os bacos A-4 e A-25 apresentada no exemplo anterior vale tambm para este exemplo. A maior armadura resulta do maior valor encontrado para a taxa de armadura e: As = ydcd cff A e = 63 , 2515 , 1504 , 10 , 21000 . 78 , 0=cm2 e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada Aplicando a Eq. 41 numericamente para a direo y tem-se: 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + +tot , d2 2tot , dM ) 3150 . 0 , 1 . 19200 1500 . 20 . 4 , 48 1500 . 20 . 3840 ( M 192000 3150 . 1500 . 20 . 0 , 1 . 3840 = 0 10 . 6288 , 3 M 15556800 M 1920011t ot , d2t ot , d= 0 18900000 M 25 , 810 Mt ot , d2t ot , d= A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot = 4.771 kN.cm > M1d,mn = 3.150 kN.cm ok! Com v = 1,05 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: = cdcyy , t ot , df . A . hM=4 , 10 , 21000 . 204771 = 0,17 yyh' d = 200 , 4 = 0,20baco A-4 ( = 0,76) As = ydcd cff A e = 97 , 2415 , 1504 , 10 , 21000 . 76 , 0=cm2 Comparando-se com o Exemplo 1 nota-se um aumento considervel da armadura, em torno de 100 %, para um aumento de apenas 36 % para a fora normal do exemplo 2. Embora apenas dois exemplos numricos tenham sido apresentados, pelos valores obtidos pode-se observarqueomtododarigidezaproximadaresultaarmadurasinferioresaomtododacurvatura aproximada. Para a fora normal maior a diferena de armadura diminuiu de 21,1 % para 2,6 %. 16CLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE Apresenta-se a seguir um roteiro de clculo dos chamados pilares de extremidade, com a aplicao doMtododopilar-padrocomcurvaturaaproximadaedoMtododopilar-padrocomrigidezk aproximada. Em seguida so apresentados quatro exemplos numricos de aplicao. 16.1Roteiro de Clculo a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo pode ser determinada como Nd = n . f . Nk UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 41 onde:Nk = fora normal caracterstica do pilar; n = coeficiente de majorao da fora normal (Tabela 4); f = coeficiente de ponderao das aes no ELU (definido na Tabela 11.1 da NBR 6118). b) ndice de esbeltez (Eq. 29 e Eq. 30) i e= ; AIi = para seo retangular: h3,46e= c) Momento fletor mnimo (Eq. 34) M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h = dimenso do pilar, em cm, na direo considerada. d) Esbeltez limite (Eq. 24) b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 e1 = 0 na direo da viga no contnua sobre o pilar de extremidade; h = dimenso do pilar na mesma direo de e1; s1-no se considera o efeito local de 2 ordem na direo considerada; >1-se considera o efeito local de 2 ordem na direo considerada. e) Momento de 2a ordem e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 33: > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M . M, e M1d,A > M1d,mn e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada Determina-se Md,tot com a Eq. 41: 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + 16.2Exemplos Numricos Osexemplosnumricosaseguir so depilares deextremidade, biapoiadosno topo enabase, de ns fixos (contraventados) e sem foras transversais atuantes. Os seguintes dados so comuns em todos os exemplos: concreto C20 ; ao CA-50 ;d = 4,0 cm, coeficientes de ponderao: c = f = 1,4 e s = 1,15. 16.2.1Exemplo 1 EsteexemplosemelhantequeleencontradoemFUSCO(1981,p.297),comadiferenada alteraodoconcreto,deC15paraC20,edalarguradopilar,de25cmpara20cm(Figura40).So conhecidos: UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 42 Nk = 1.110 kN M1d,A,x = M1d,B,x = 2.170 kN.cm seo 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2) ex = ey = 280 cm h = 70 cme1xxh= 20 cmyNdyx - 2170 kN.cm-+2170 kN.cmM1d,B,x1d,A,xM Figura 40 Arranjo estrutural do pilar na planta de frma, dimenses da seo transversal e momentos fletores de primeira ordem atuantes na direo x. RESOLUO a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo :Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1110 = 1.554 kN, com n = 1,0 da Tabela 4. Almdaforanormaldecompressoocorremtambmmomentosfletoresnosextremosdopilar (M1d,A,x = M1d,B,x = 2.170 kN.cm), que solicitam o pilar na direo x, em funo de existir uma viga no contnua sobre o pilar na direo x (Figura 41). Este momento fletor tambm deve ser majorado por n , 1,0 neste caso. A excentricidade inicial de 1 ordem : 40 , 115542170ex 1= = cm - 2170 kN.cm- 2170 kN.cm2170 kN.cm2170 kN.cm- 1,40 cm1,40 cm- 1,40 cm1,40 cm280280+-++ +-- - Figura 41 Momentos fletores de clculo de 1a ordem e excentricidades no topoe na base do pilar, na direo x. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 43 b) ndice de esbeltez 4 , 4820280 46 , 3h46 , 3xexx== = 8 , 1370280 46 , 3h46 , 3yeyy== = c) Momento fletor mnimo M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mnimo, em cada direo : Dir. x:M1d,mn,x =1554 (1,5 + 0,03 . 20) = 3.263,4 kN.cm;e1x,mn ==15544 , 3263 2,10 cm Dir. y:M1d,mn,y =1554 (1,5 + 0,03 . 70) = 5.594,4 kN.cm;e1y,mn ==15544 , 55943,60 cm d) Esbeltez limite b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 Dir. x: A excentricidade de 1a ordem e1 na direo x 1,40 cm. Os momentos fletores de 1a ordem nadireoxso M1d,A,x=M1d,B,x=2.170 kN.cm,menores queo momento fletor mnimo nestadireo (M1d,mn,x = 3.263,4 kN.cm), o que leva a ob = 1,0. Assim: 9 , 250 , 1 201,4012,5 25x , 1=+= > 35 1,x = 35 Dir. y: Na direo y no ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem, portanto, e1y = 0 e ob = 1,0. Assim: 0 , 250 , 1 70012,5 25y , 1=+= > 35 1,y = 35 Desse modo: x = 48,4 > 1,x so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x; y = 13,8 < 1,y no so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem Omomentofletorde2aordemseravaliadopelosmtodosdopilar-padrocomcurvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez k aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M . M, e M1d,A > M1d,mn UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 44 Fora normal adimensional:78 , 04 , 10 , 214001554f . ANcd cd= = = v Curvatura na direo x sujeita a momentos fletores de 2a ordem: ( ) ( )1 - 4 1 - 4cm 10 . 5 , 220005 , 0cm 10 . 953 , 15 , 0 78 , 0 20005 , 050 , 0 h005 , 0r1 = s =+=+ v= ok! A excentricidade mxima de 2a ordem na direo x : r110e2ex 2= 53 , 1 10 . 953 , 11028042= = cm Fazendo M1d,A > M1d,mn em cada direo, tem-se o momento fletor total mximo: Dir. x: Md,tot,x =1,0 . 3263,4 +=4210 . 953 , 11028015545.642,8 > M1d,mn,x = 3.263,4 kN.cm ok! Md,tot,x =5.642,8 kN.cm

Dir. y: Md,tot,y = M1d,mn,y = 5.594,4 kN.cm Os momentos fletores atuantes no pilar esto indicados na Figura 42. As situaes de projeto e de clculo, para as sees de extremidade e intermediria, esto mostradas na Figura 43 e na Figura 44. Como as sees de extremidade de topo e base do pilar esto submetidas a momento fletor de 1a ordem de igual valor,aseo de extremidade mostradanaFigura43 representativade ambas as extremidades do pilar. Nocasodemomentosfletoresnabaseetopodiferentes,deve-seconsideraraseodeextremidade submetida ao maior momento fletor (M1d,A). Nas sees de topo e base no ocorre deformao de 2a ordem (e2 = 0), que deve ser considerada na seo intermediria C. +2d,mx,xMDir. x Dir. y1d,mn,xM3.263,4 5.594,4M1d,mn,y2.379,4OUM1d,A,x2.170 Figura 42 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y. UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 45 2 s.c.ae = 3,60 1y,mnNdS.P.dNy1 s.c.a2,10 e Nx1x,mnde 1x1,40 Figura 43 Situaes de projeto e de clculo das sees de extremidade. A excentricidade inicial na seo intermediria C calculada com a Eq. 53, que corresponde Eq. 49,emfunodaexcentricidadeinicial(e1x),nasextremidadessubmetidasaosmomentosfletoresde1a ordem (M1d,A e M1d,B): +>A 1B 1 A 1C 1e 4 , 0e 4 , 0 e 6 , 0e = == + = +>cm 56 , 0 40 , 1 . 4 , 0 e 4 , 0cm 28 , 0 ) 40 , 1 ( . 4 , 0 40 , 1 . 6 , 0 e 4 , 0 e 6 , 0eA , x 1B , x 1 A , x 1C , x 1 e1x,C = 0,56 cm dNyx0,56dN2xe 1,533,63xe 1y,mnde = 3,60 N2 s.c.ae e S.P.1x,C2,10 1x,mna1 s.c. Figura 44 Situao de projeto e situaes de clculo para a seo intermediria C. A direo de menor rigidez do pilar, aquela que crtica, a correspondente menor dimenso, ou seja,dalargura no caso de pilar de seo transversal retangular (direo x). Dastrs situaes de clculo observa-sequea1s.c.daseointermediria,quetemamaiorexcentricidade,enadireocrticado pilar,aqueresultarnamaiorarmaduralongitudinal.Emsituaesqueexistirdvida,aarmadurade cada situao de clculo deve ser determinada, sendo a armadura final a maior entre as calculadas. A ttulo de exemplo, o clculo ser feito para as duas situaes de clculo da seo intermediria. Com v = 0,78 e utilizando-se os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: Dir. x: = cdcxx , t ot , df . A . hM =14 , 04 , 10 , 21400 . 208 , 5642= ou 14 , 02063 , 378 , 0hexx= = v = xxh' d = 200 , 4 = 0,20 baco A-4: = 0,40 Dir. y: UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 46 = cdcyy , t ot , df . A . hM= =4 , 10 , 21400 . 704 , 5594 0,04 ou04 , 07060 , 378 , 0heyy= = v = yyh' d = 700 , 4 = 0,06 ~ 0,05 baco A-24: = 0,08 A armadura final, como esperado, resultante da 1a s.c., com a maior taxa de armadura: As = ydcd cff A e = 40 , 1815 , 1504 , 10 , 21400 . 40 , 0=cm2 No detalhamento da armadura longitudinal do pilar deve-se tomar cuidado de posicionar as barras de ao de acordo com o arranjo de barras do baco escolhido, A-4 neste caso. e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada O momento fletor total na direo x : 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + +tot , d2 2tot , dM ) 4 , 3263 . 0 , 1 . 19200 1554 . 20 . 4 , 48 1554 . 20 . 3840 ( M 192000 4 , 3263 . 1554 . 20 . 0 , 1 . 3840 = 0 80 3894776524 M 16116845 M 19200tot , d2tot , d= 0 20285294 M 4 , 839 Mt ot , d2t ot , d= A raiz positiva da equao de 2o grau :Md,tot,x = 4.943,1 kN.cm > M1d,mn,x = 3.263,4 kN.cm ok! Com v = 0,78 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: = cdcxx , t ot , df . A . hM=4 , 10 , 21400 . 201 , 4943 = 0,12xxh' d = 200 , 4 = 0,20 baco A-4 ( = 0,33) As = ydcd cff A e = 18 , 1515 , 1504 , 10 , 21400 . 33 , 0=cm2 16.2.2Exemplo 2 Este exemplo tambm semelhante quele encontrado em FUSCO (1981, p. 311), com a diferena daalteraodoconcreto,deC15paraC20,edalarguradopilar,de25cmpara20cm(Figura45).So conhecidos: UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 47 N k = 1.110 kN M1d,A,x = M1d,B,x = 3.260 kN.cm seo transversal 20 x 70 (Ac = 1.400 cm2) comprimento equivalente ou de flambagem: ex = ey = 460 cm coeficientes de ponderao: c = f = 1,4 ; s = 1,15 h = 20 cmxh= 70 cmyNd xye1,x - 3260 kN.cm3.260 kN.cm1d,A,xM+-1d,B,xM Figura 45 Dimenses da seo transversal, arranjo estrutural do pilar na planta de frma e momentos fletores de primeira ordem na direo x. RESOLUO a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo :Nd = n . f . Nk = 1,0 . 1,4 . 1110 = 1.554 kN, com n da Tabela 4. Alm da fora normal de compresso ocorrem tambm momentos fletores nas extremidades (topo e base) do pilar (M1d,A,x = M1d,B,x = 3.260 kN.cm), que solicitam o pilar na direo x, em funo de existir uma viga no contnua sobre o pilar na direo x (Figura 46). Este momento fletor, ou seja, todas as aes aplicadas no pilar, devem ser majoradas por n , igual a 1,0 neste caso. b) ndice de esbeltez 7 , 2270460 46 , 3h46 , 3xexx== = 6 , 7920460 46 , 3h46 , 3yeyy== = c) Momento fletor mnimo M1d,mn = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. O momento fletor mnimo, em cada direo, : Dir. x:M1d,mn,x =1554 (1,5 + 0,03 . 70) = 5.594,4 kN.cm;e1x,mn ==1554594,4 53,60 cm Dir. y:M1d,mn,y =1554 (1,5 + 0,03 . 20) = 3.263,4 kN.cm;e1y,mn ==15544 , 32632,10 cm UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 48 4604603260 kN.cm+- 3260 kN.cm-- 3260 kN.cm3260 kN.cm+-2,10 cm- 2,10 cm- 2,10 cm-+-+2,10 cm Figura 46 Momentos fletores de clculo de 1a ordem e excentricidades no topo e na base do pilar, na direo x. d) Esbeltez limite b11 he12,5 25o+= , com 35 1 90 Dir.x:Aexcentricidadede1aordemnadireox(e1x)2,10cm.Osmomentosfletoresde1a ordemnadireox (M1d,A,x=M1d,B,x=3.260 kN.cm) so menores queo momento fletor mnimo nesta direo (M1d,mn,x = 5.594,4 kN.cm), o que leva a ob = 1,0. Assim: 4 , 250 , 1 702,1012,5 25x , 1=+= > 35 1,x = 35 Dir. y: Na direo y no ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem, portanto e1y = 0 e ob = 1,0. Assim: 0 , 250 , 1 20012,5 25y , 1=+= > 35 1,y = 35 Desse modo: x = 22,7 < 1,xno so considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo x; y = 79,6 > 1,yso considerados os efeitos locais de 2 ordem na direo y. e) Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem ser avaliado pelos mtodos do pilar-padro com curvatura aproximada e do pilar-padro com rigidez k aproximada. e1) Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada > + o =mn , d 1A , d 12ed A , d 1 b t ot , dMMr110N M . M, e M1d,A > M1d,mn UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 49 A fora normal adimensional e a curvatura (na direo y, sujeita a momentos fletores de 2a ordem) so os mesmos do exemplo anterior: v = 0,78 e 1/r = 1,953 . 10-4 cm-1. A excentricidade mxima de 2a ordem na direo y : = =r110e2ey 213 , 4 10 . 953 , 11046042= cm Fazendo M1d,A > M1d,mn em cada direo, tem-se o momento fletor total mximo: Dir. x: Md,tot,x = 3.260,0 kN.cm > M1d,mn,x = 5.594,4 kN.cmMd,tot,x = 5.594,4 kN.cm Dir. y: Md,tot,y =1,0 . 3263,4 +=4210 . 953 , 11046015549.685,4 > M1d,mn,y = 3.263,4 kN.cm ok! Md,tot,y =9.685,4 kN.cm Os momentos fletores atuantes no pilar esto indicados na Figura 47. As situaes de projeto e de clculo esto mostradas na Figura 48 (sees de extremidade) e Figura 49 (seo intermediria C). 3.2601d,A,xMOU6.4221d,mn,yM3.263,4 5.594,4M1d,mn,xDir. y Dir. xM2d,mx,y+ Figura 47 Momentos fletores atuantes no pilar, nas direes x e y. S.P.dNy1 s.c.3,60 e Nxde 1x1x,mna2,10 e = 2,102 s.c.a1y,mndN Figura 48 Situao de projeto e situaes de clculo nas sees de extremidade (topo e base do pilar). UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 50 A excentricidade inicial na seo intermediria C calculada com a Eq. 53, que corresponde Eq. 49,emfunodaexcentricidadeinicial(e1x),nasextremidadessubmetidasaosmomentosfletoresde1a ordem (M1d,A e M1d,B): +>A 1B 1 A 1C 1e 4 , 0e 4 , 0 e 6 , 0e = == + = +>cm 84 , 0 10 , 2 . 4 , 0 e 4 , 0cm 60 , 0 ) 10 , 2 ( . 4 , 0 10 , 2 . 6 , 0 e 4 , 0 e 6 , 0eA , x 1B , x 1 A , x 1C , x 1 e1x,C = 0,84 cm Nde e= 6,23e = 2,10e= 4,13Nd3,60 1 s.c.a2 s.c.a1y,mn1x,mny2yS.P.dNyxe 1x,C0,84 Figura 49 Situaes de projeto e de clculo da seo intermediria. Na anlise das situaes de clculo fica claro que a 2a s.c. da seo intermediria C que resultar na maior armadura longitudinal do pilar, porque tem o maior valor de excentricidade, na direo de menor rigidez do pilar. A ttulo de exemplo so verificadas as duas situaes da seo intermediria. Com v = 0,78 e utilizando-se os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: Dir. x: = cdcxx , t ot , df . A . hM =04 , 04 , 10 , 21400 . 704 , 5594= ou04 , 07060 , 378 , 0hexx= = v = xxh' d = 700 , 4 = 0,06 ~ 0,05 baco A-24: = 0,08 Dir. y: = cdcyy , t ot , df . A . hM= =4 , 10 , 21400 . 204 , 9685 0,24ou24 , 02023 , 678 , 0heyy= = v = yyh' d = 200 , 4 = 0,20 baco A-4: = 0,79 As = ydcd cff A e = 34 , 3615 , 1504 , 10 , 21400 . 79 , 0=cm2 e2) Mtodo do pilar-padro com rigidez k aproximada O momento fletor total na direo y, sujeita a momentos de 2a ordem, : 0 M N h 3840 M ) M 19200 N h N h 3840 ( M 19200A , d 1 d b tot , d A , d 1 b d2d2tot , d= o o + +tot , d2 2tot , dM ) 4 , 3263 . 0 , 1 . 19200 1554 . 20 . 6 , 79 1554 . 20 . 3840 ( M 192000 4 , 3263 . 1554 . 20 . 0 , 1 . 3840 = UNESP, Bauru/SP Pilares de Concreto Armado 51 0 80 3894776524 M 140237933 M 19200tot , d2tot , d= 0 20285294 M 1 , 7304 Mt ot , d2t ot , d= A raiz positiva da equao de 2o grau : Md,tot = 9.450,6 kN.cm > M1d,mn,y = 3.263,4 kN.cm ok! Com v = 0,78 e utilizando os bacos de VENTURINI (1987) para Flexo Reta: = cdcyy , t ot , df . A . hM=4 , 10 , 21400 . 206 , 9450 = 0,24 yyh' d = 200 , 4 = 0,20 baco A-4( = 0,79) As = ydcd cff A e = 34 , 3615 , 1504 , 10 , 21400 . 79 , 0=cm2 16.2.3Exemplo 3 So conhecidos (Figura 50): Nk = 500 kN M1d,A,y = M1d,B,y = 7.000 kN.cm (e1y,A = e1y,B = 10,0 cm) seo 20 x 40 (Ac = 800 cm2) ex = ey = 280 cm c = f = 1,4 ; s = 1,15

eh = 40 cmh= 20 cmyx,y1dNxy+7000 kN.cm 1d,A,yM7.000 kN.cm1d,B,yM7.000 kN.cm+ Figura 50 Dimenses da seo transversal e momentos fletores de 1a ordem na direo y. RESOLUO a) Esforos solicitantes A fora normal de clculo : Nd = n . f . Nk