1.1. Um fazendeiro tem 500 hectares de terra e deseja determinar a rea de plantio alocada para as seguintes trs culturas: trigo, milho e soja. Man-days (mo-de-obra), custo de preparao e o lucro por hectare de cada cultura esto resumidos na tabela abaixo. Cultura Man-days Custo de preparao $ Lucro $

Trigo 6 100 60

Milho 8 150 100

Soja 10 120 80

Sabe-se que o nmero mximo de man-days disponveis so 5000 e que o fazendeiro tem $60 000 para preparao. Modelando o Problema de Programao Linear: Variveis de Deciso: Xi = quantidade de hectares alocados para o plantio da cultura i, com i=1,2,3, onde 1 = trigo, 2 = milho, 3 = soja. Funo Objetivo: O fazendeiro deseja alocar uma quantidade de hectares para o plantio de cada cultura de maneira a maximizar o seu lucro. Logo o objetivo do fazendeiro maximizar o lucro. Restries: O fazendeiro tem recursos limitados, ele tem sua disposio 500 hectares de terra, $60 000 para a preparao do plantio e possui 5000 man-days disponveis. Essas so as restries de recursos do P.L. Logo, o P.L. associado a este problema : P.L : Max Z = 60X1+100X2+80X3 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 5000 (man-days) 100X1+150X2+120X3 60.000 (preparao) X1 + X2 + X3 500 (terra) X1, X2, X3 0 Agora, olhando do ponto de vista de uma pessoa que queira comprar a fazenda, o objetivo dela seria minimizar o valor pago pelos recursos do fazendeiro. Ento temos que o problema Dual ser: D: Min = 50001+600002+5003 S.a 61 + 1002 + 3 60 ( I ) 81 + 1502 + 3 100 ( II ) 101 + 1202 + 3 80 ( III ) 1, 2, 3 0 Em que i = valor pago por cada unidade do recurso i, i = 1,2,3, onde 1 = man-days, 2 = dinheiro para a preparao e 3 = hectares de terra. A interpretao da restrio ( I ) seria que o valor pago pelos recursos usados na plantao de trigo tem que ser pelo menos o lucro que o fazendeiro obtm com a plantao dessa cultura, seno a venda no seria vantajoso para o mesmo. A interpretao para as restries ( II ) e ( III ) a mesma s que para as culturas de milho e soja, respectivamente.

1.2. Colocando o P.L na forma padro: Max Z = 60X1+100X2+80X3 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 +X4+0X5+0X6 5000 (man-days) 100X1+150X2+120X3+0X4+X5+0X6 60.000 (preparao) X1 + X2 + X3+0X4+0X5+X6 500 (terra) X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 O tabl inicial : X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 60 100 80 0 0 0

X4 6 8 10 1 0 0 5000

X5 100 150 120 0 1 0 60000

X6 1 1 1 0 0 1 500

O tabl timo : X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS

Z 6,667 0 0 0 0,667 0 40000

X4 0,667 0 3,6 1 -0,053 0 1800

X5 0,667 1 0,8 0 0,0067 0 400

X6 0,333 0 0,2 0 -0,007 1 100

Anlise de sensibilidade para o parmetro b. Escolhe-se b3=500, somando se temos b3=500+. Temos de determinar o valor de pra o qual a soluo continua na otimalidade. XB = (X4, X2, X6) XN = (X1, X5, X3) = (0, 0, 0) b Para garantir a otimalidade devemos ter Logo, > Assim, para qualquer a soluo permanece tima, ou seja, se diminuirmos a quantidade de hectares de terra para a plantao de soja, a soluo continua tima. S para efeito de constatao, fazendo , temos b3= 420 Anlise de sensibilidade para o parmetro c. Pegando uma varivel no-bsica no tabl timo, encontrar um valor de e verificar at que ponto a soluo permanece tima. Comeando por > . Logo devemos ter > . Como varivel no-bsica, a soluo permanece tima para qualquer . Supondo , o que no altera a soluo tima, o valor de continua 40 000. Analisando o parmetro C para variveis bsicas, alteram-se todos os custos relativos e o valor de Z. XB = (X2, X4, X6) CB = (C2, C4, C6) = (100,0,0) Tomando C2 = 100 e fazendo , ento o novo valor de > > . Para satisfazer as trs desigualdades e garantir a otimalidade pegamos , min. O novo valor de e o valor de passa a ser . A soluo continua tima e aumenta. Mudando um coeficiente de uma varivel no-bsica, por exemplo Portanto, se a quantidade de man-days for aumentada de 6 para 9 na cultivao do trigo, a soluo ainda continuaria tima.