Perdas de Tensão_Rev01

Perdas de Tenso em Armaduras de Pr-esforo 1

1. PERDAS DE TENSO EM ARMADURAS DE PR-

ESFORO

Uma das razes que tornaram num fracasso as primeiras

tentativas de utelizao do princpio do pr-esforo, foi o

desconhecimento e/ou inadequado tratamento do fenmeno de

perdas de tenso nas armaduras pr-esforadas.

A percepo dos mecanismos de perda de tenso e,

consequentemente, a sua quantificao razovel obriga,

necessariamente, ao conhecimento adequado dos efeitos de

pr-esforo.

O actual estgio de conhecimento dos efeitos de pr-esforo,

permite separar as perdas de tenso em dois grupos distintos:

a) Perdas Instantneas/Iniciais

So as que ocorrem pouco tempo aps os processos de

construo e aplicao do pr-esforo e que se devem

essencialmente a:


a1) Atrito entre as armaduras e as bainhas que as envolvem

(ps-tenso);

a2) Re-entrada dos dispositivos de amarao (ps-tenso);

a3) Deformao instantnea do beto.

b) Perdas Diferidas

So as que ocorrem lentamente durante a vida til da estrutura

e que se fundamentam nos fenmenos dependentes do tempo:

b1) Retrao do beto;

b2) Fluncia do beto;

b3) Relaxao das armaduras de pr-esforo.

Assim, pode notar-se que as tenses instaladas nas armaduras

de pr-esforo variam ao longo do eixo longitudinal da

estrutura e ao longo do tempo, ou seja, o valr do pr-esforo

uma funo da distncia x entre a extremidade de aplicao

do pr-esforo e a seco em estudo e do tempo: ( )txfP ,= .

Na anlise de estruturas pr-esforadas, destacam-se trs

valres de pr-esforo distintos:


a) Pr-esforo na origem ( )xP '0 a maxima fora exercida no cabo pelo dispositivo de aplicao

de pr-esforo e que corresponde a uma tenso mxima nas

armaduras ( )xP '0 que limitada aos seguintes valores (Art. 36

REBAP): ( )

kp

pukP f

fx

1,085,075,0

'0

b) Pr-esforo inicial ( )xP0 a fora actaunte no cabo de pr-esforo depois de

decorrerem as perdas iniciais totais e que corresponde a uma

tenso nas armaduras ( )xP0

c) Pr-esforo final ( )xP ou Simplesmente ( )xP a fora actuante no cabo de pr-esforo depois de

decorrerem a totalidade das perdas iniciais e diferidas e que

corresponde a uma tenso nas armaduras ( )xP ou ( )xP .


2. QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO

2.1 PERDAS DE TENSO INSTANNEAS / INICIAIS

a) ATRITO ENTRE A ARMADURA E A BAINHA

Ao puxarmos o cabo de pr-esforo mobilizam-se

deslocamentos relativos entre o cabo e a bainha (ou o beto

que envolve o cabo).

Destes deslocamentos e do contacto sob presso entre o cabo

e a bainha resultam tenses tangenciais que se designam

foras de atrito.

( )xq.

( )xq

Figura - 1: Foras de Atrito nos Sistemas de Pr-esforo

'oP ( ) ( )xfoo ePxP *'=

A aco da fora de atrito sobre o cabo de pr-esforo gera a

variao do valor de pr-esforo. Neste caso a variao do valor

de pr-esforo designa-se perda de pr-esforo devido ao atrito

ao longo das armaduras.


As perdas devido ao atrito ao longo das armaduras, geralmente

ocorrem apenas em elementos de beto ps-tensionados. O

equilibrio entre o sistema de foras apresentado resulta da

relao ( ) ( )xfePxP = .'00 . A perda de pr-esforo devido ao atrito ser ento:

( ) ( ) ( )( )xfxffr ePePPxP == 1. ''' 000,0 , Portanto, as perdas de tenso totais devido ao atrito ao longo

das armaduras so definidas pela relao seguinte:

( ) ( )[ ]{ }kxxfr ePxP += 1'0,0 Nos casos em que ( )[ ] 2,0


- Cabos em feixe, em bainhas metlicas 30,0= ;

- Cordes isolados, em bainhas metlicas 25,0= .

LEONHARDT

- Sistemas Freyssinet e VSL 30,025,0 a= ;

- Sistemas Leonhardt 15,0= .

ACI

- Cabos ou cordes em bainhas flexveis 25,015,0 a= .

CEB-FIP

- Cabos ou cordes em bainhas metlicas

30,020,0 a= depedendo do esticamento do cabo.

DYWIDAG Bonded Multistrand Tendons

- Sistemas DYWIDAG 20,018,0 a= ;

O valor do coeficiente de atrito tambm influenciado pela

oxidao do cabo ou bainha, ondulao pronunciada da bainha

e penetrao da calda de cimento para o interior da bainha.

REDUO DAS PERDAS POR ATRITO

As perdas por atrito podem ser reduzidas a partir de:

Revestimento das bainhas com chumbo;


Pintura das bainhas com tinta anti-corrosiva;

Passagem de cabos de pr-esforo por leo;

Aplicao de pr-esforo pelas duas extremidades;

Manuteno das bainhas com as extremidades tapadas, em

local seco e arejado, e ao abrigo do sol e da chuva.

a2) ( )x o ngulo de desvio da seco em estudo em relao seco de aplicao de pr-esforo (soma das

variaes de ngulo de ponto de inflexo a ponto de inflexo).

x

1 23

L

x

( ) 2== Lx

( ) 321 ++== Lx

L L

Figura - 2: ngulo de Desvio da Tangncia

a3) ( )k o Desvio Angular Parasita As ondulaes parasitas (devido as imperfeies no

posicionamento dos cabos) acrescem o atrito entre o cabo e a

bainha.


Os efeitos de perda de tenso devido s ondulaes parasitas

so representados por um ngulo equivalente designado desvio

angular parasita ( )k . O desvio angular parasita depende de diversos factores

construtivos:

Rigidez das bainhas;

Distncia entre os pontos de suspenso da bainha;

Cuidados observados durante a betonagem.

x

Traado desejado

Traado real

Figura - 3: Desvio Angular Parasita

Os factores que influenciam o parmetro k , tambm influenciam o parmetro .

O valor de k tambm deve ser definido experimentalmente. Porm, existem alguns valores aferidos pela esperincia prtica.

REBAP: 01,0=k


CEB-FIP: 003,0002,0 ak = .

Dimetro da bainha [mm] 30 40 50 60

k 0,015 0,01 0,008 0,006

b) DEFORMAO ELSTICA E INSTANNEA DO BETO -

CONTRAO DA ESTRUTURA

A aplicao do pr-esforo num elemento estrutural pressupe

a transferncia de uma forca de compresso para o elemento

em causa. A fora de compresso (que origina tenses de

compresso) induzida ao elemento origina uma deformao de

compresso.

Figura - 4: Deformao do Beto

L L

L

Pelo facto do cabo de pr-esforo (esticado) estar apoiado no

mesmo elemento, no cabo tambm verifica-se a mesma


deformao de compresso ( )L2 , o que origina a reduo do grau de esticamento do cabo, ou seja, a reduo da tenso no

cabo de pr-esforo.

Esta reduo de tenso designa-se perda de tenso devido a

deformao do beto.

Elementos pr-tensionados

( ) ( )xEE

x cjc

PePo

,

,= ,

Onde:

PE o modulo de elasticidade da armadura de pr-esforo;

jcE , o modulo de elasticidade do beto no dia j ; j o dia de aplicao do pr-esforo;

( )xc a tenso de compresso no beto ( ) , na seco x , calculada ao nvel do centro de gravidade da armadura de pr-

esforo, resultante do pr-esforo e das outras aces

permanentes.


Elementos ps-tensionados

Nos elementos ps-tensionados com dois ou mais cabos, o pr-

esforo aplicado sucessivamente em cada um dos cabos,

fazendo com que na aplicao do pr-esforo no cabo 3, a

respectiva deformao origine perda de tenso nos cabos 2 e 1.

( ) ( )xEE

n

nx c

jc

PePo

,

,

121

= , onde:

n o nmero de cabos de pr-esforo.

c) ESCORREGAMENTO DOS CORDES NOS DISPOSITIVOS

DE AMARRAO

A reduo do esticamento do cabo de pr-esforo tambm

acontece devido ao escorregamento dos cordes ou fios nos

dispositivos de amarrao (cunhas) ou das cunhas nas placas

de ancoragem quando a fora instalada no macaco

transmitida para o orgo de ancoragem (atrvs das cunhas).

Neste caso a variao de tenso no cabo de pr-esforo

designada perda de pr-esforo nos dispositivos de amarrao.

A amplitude de escorregamento varia depedendo,

fundamentalmente, do tipo de sistema de pr-esforo aplicado.


Os documentos tcnicos de cada sistema de pr-esforo

definem a amplitude de escorregamento dos cabos previsveis.

SISTEMA FREYSSINET

Tipo de cabo Valor de pr-esforo

[toneladas]

Penetrao das

cunhas s [mm]

mm512 27 4

mm712 52 7

mm812 68 8

"216 75 12

"2112 150 12

QUANTIFICAO DE PERDAS NOS DISPOSITIVOS DE

AMARRAO

O movimento de reentrada dos cabos origina tenses e foras

de atrito da mesma natureza, porm de sinal contrario que as

tenses de foras de atrito associadas as perdas por atrito.


Figura - 5: Perdas por Reentrada das Cunhas

2

a

0P3

( )LxP =0

x

L

'0P

a: o comprimento ao longo do qual a perda se faz sentir.

A rea 23..'0 P equivale a PEs. .

( ) ( )xapx PPo = ...2'0

; ( )

+= k

x

xp ; pEs

aP

P

.

.

'0

=


2.2 PERDAS DE TENSO DIFERIDAS

RETRACO E FLUNCIA DO BETO E RELAXAO DAS

ARMADURAS DE PR-ESFORO

Com o decorrer do tempo, devido quer aos efeitos naturais da

envolvente estrutural (humidade, isolao, ventilao, ...), a

qualidade do beto (tipo de cimento, granulometria dos inertes,

quantidade de gua, ...), como aos estados permanentes de

tenso no beto e nas armaduras de pr-esforo, verifica-se o

encurtamento do beto (por retraco), acrscimo da

deformabilidade do beto (por fluncia) e o decrscimo da

tenso nas armaduras de pr-esforo sob alongamento

constante (por relaxao).

Estes comportamentos tambm originam a reduo do

esticamento do cabo de pr-esforo e, consequentimente, a

ocorrncia de perdas de tenso de pr-esforo.

As perdas dai resultantes denominam-se perdas deferidas

resultantes da retraco e fluncia do beto, e da relaxao das

armaduras.


A) RETRACO DO BETO

a contraco do beto ao longo do tempo devido a variao

de humidade (encurtamento do beto)

O encurtamento do beto depende de:

Envolvente estrutural (clima);

Tipo de cimento que constitui a pea estrutural;

Dosagem de cimento no beto;

Dosagem e granulometria dos outros materiais (arreia e

agregado grosso);

Quantidade e distribuio de armaduras ordinrias;

Interaco entre os diferentes constituentes.

Devido, fundamentalmente, complexidade das leis de

variao da humidade e dos mecanismos de interao entre os

materiais constituintes do beto, a quantificao da amplitude

das deformaes por retraco do beto so efectuadas com

base em leis empricas experimentadas e aferidas ao longo do

tempo.


QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO DEVIDO A

RECTRACO

( ) ( )0, ,. ttEx cspSpt = , onde: pE o mdulo de elasticidade das armaduras de pr-esforo;

cs o encurtamento do beto devido a retraco, ao nvel do

centro de gravidade das armaduras de pr-esforo.

Para a quantificao do encurtamento do beto devido

retraco, so usados preceitos estabelecidos no REBAP (Anexo

- I).

Considera-se u

Ah ce2

= ; onde:

eh a espessura equivalente da seco transversal;

cA a rea da seco transversal;

u a parte do permetro da seco em contacto com o

ambiente;


Figura - 6: Quantificao da Retrao do Beto

1cs...=HR

1t

...=eh

cs

idade, t (dias)

b) FLUNCIA DO BETO

Depedendo das condies tcnicas e higromtricas na

envolvente estrutural (parmetros da temperatura e da

humidade) ocorrem diferentes modificaes na estrutura

interna do beto, determinados por processos fsicos e qumicos

complexos.

Um dos efeitos mais preponderantes destas modificaes

internas a deformao crescente do beto sob tenso

constante (fluncia) associada diminuio da elasticidade do

beto.


As leis que definem a evoluo da fluncia tambm se revelam

muito complexas, sendo, por isso, analisadas a partir de leis

empricas aferidas pela experincia ao longo do tempo.

QUANTIFICAO DAS PERDAS DE TENSO DEVIDO A

FLUNCIA

( ) ( ) ( ) pocc

toccpt EtttE

xx .,

,

, = , onde:

( )xtoc, a tenso no beto ao nvel da armadura de pr-esforo, devido ao pr-esforo e s aces com carcter de

permanncia;

cE o mdulo de elasticidade do beto;

( )oc tt, o coefeciente de fluncia para a idade t ; pE o mdulo de elasticidade da armadura de pr-esforo;

Para a quantificao do encurtamento do beto devido

fluncia, so usados preceitos estabelecidos no REBAP (Anexo -

I).


Figura - 7: Quantificao da Fluncia do Beto

2,2 %75=HR

28

mhe 23,0=

c

idade de carregamentoto (dias)

c) RELAXAO DAS ARMADURAS DE PR-ESFORO

a diminuio da tenso na armadura de pr-esforo no

tempo, sob deformao constante.

O ao de pr-esforo, como outros materiais elsticos, quando

sujeito a uma deformao constante ao longo do tempo,

experimenta rearranjos na estrutura cristalina (mutaes na

estrutura molecular) que origina o decrscimo do estado de

tenso respectivo.

Porm, sabe-se que o rearranjo cristalino depende da

amplitude da tenso sujeita ao ao, sendo tanto menor quanto

menor for a tenso instalada.


QUANTIFICAO DE PERDAS DE TENSO POR RELAXAO DA

ARMADURA

Para a quantificao simplificada da perda por relaxao parte-

se do princnpio que uma tenso inicial de pukf5,0 no origina perdas por relaxao.

Para um nivel de tenso pukpo f7,0= adoptam-se os seguintes valores experimentais:

Ao de relaxao normal: porp .15,0, = ;

Ao de baixa relaxao: porp .06,0, = ;

Ao de muito baixa relaxao: porp .03,0, = .


Figura - 8: Ao de Relaxao Normal

po15,0

pukf7,0

pr

pukf5,0

po06,0

pukf7,0

pr

pukf5,0

Figura - 9: Ao de Baixa Relaxao

po03,0

pukf7,0

pr

pukf5,0

Figura - 10: Ao de Muito baixa Relaxao


Estes valores so obtidos experimentalmente para um tempo

horast 1000= .

Depedendo do nvel de tenso permanente instalado no cabo

de pr-esforo e do tipo de ao pode-se interpolar nos grficos

das figuras 8, 9 e 10.

INTERAO ENTRE AS PERDAS DIFERIDAS POR RETRAO E

FLUNCIA DO BETO E A RELAXAO DAS ARMADURAS

Pelo facto de as perdas por retraco, fluncia e relaxao

ocorrem ao longo do tempo, cada uma delas afecta a outra,

obrigando a que a sua considerao e anlise seja efectuada

conjuntamente.

Ao ocorrer o encurtamento por retraco (perda de tenso

devido retrao) verifica-se a reduo da amplitude do pr-

esforo e, consequentimente, como as perdas devido a fluncia

dependem da amplitude das tenses de compresso

mobilizadas, elas ficam afectadas pela ocorrncia daquela

perda.

O mesmo se pode dizer para as perdas por relaxao: as

perdas devido a retrao e fluncia do beto originam a


reduo do esticamento da cabo e, consequentimente, a

reduo do alongamento que se pressuponha constante para a

ocorrncia da relaxao. Portanto, estas perdas tambm

estaro afectadas.

INTERACO ENTRE AS PERDAS

A analogia apresentada pode ser efectuada sob diferentes

pontos de vista. Contudo, sempre levando concluso da

legitimidade da sua considerao, anlise e quantificao

conjunta, como por exemplo se refere no artigo 42 do REBAP.

Este pensamento aconselha que, para ter em conta as perdas

por retraco, fluncia e relaxao no clculo das perdas por

relaxao se considere uma tenso inicial dada por:

( ) ( ) ( )xxx rcsptgpo +++ = ,.3,0 , Onde:

( )xgpo+ a tenso na armadura de pr-esforo devido ao pr-esforo inicial e s aces permanentes;

( )xrcspt ++ , o valor total das perdas diferidas, adoptado por aproximao como sendo igual a (10 15)% da tenso inicial.


EXPRESSO DO REBAP PARA A QUANTIFICAO CONJUNTA

DAS PERDAS DIFERIDAS

( ) = ++ xrcspt , ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( )( )

( )

+

++=

2,11

,,

,

,,,,

oc

po

poc

rttppocgcocpocs

tt

x

x

xxxttEtto

onde:

( ) ( )xx pocgc ,, ; so as tenses no beto na seco x, calculadas ao nvel do centro de gravidade das armaduras de

pr-esforo, devidas s aces permanentes (com a excluso

do pr-esforo) e ao pr-esforo inicial (sinal negativo para a

compresso);

( )xpo a tenso nas armaduras de pr-esforo, na seco x, devida ao pr-esforo inicial;

( )xrttp o ,, a perda de tenso nas armaduras de pr-esforo na seco x, devida relaxao entre ot e t , calculada para

uma tenso inicial dada por:

( ) ( ) ( )xxx rcsptgpop +++ = ,, .3,0 .

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