PERDA DE CARGA EM MEIOS POROSOS

Cleiton Schmidt1, Guilherme Z. Brambilla1, Lucas Janisch1, Talys G.

Reimers1, Murilo C. Costelli2 1 Alunos do ACEA/UNOCHAPECÓ 2 Professor ACEA /UNOCHAPECÓ

Universidade Comunitária da Região de Chapecó

Resumo

Meios porosos possuem uma diversa aplicação industrial, por exemplo, colunas de destilação ou

extração, processos cromatográficos, adsorção, absorção, torres de recheio para resfriamento ou

umidificação, secagem dentre outros, tornando os processos em geral mais homogêneos. Entretanto,

para a melhor utilização deste processo, é necessário avaliar os custos operacionais, bem como o

tempo de processo. Todos estes processos dependem da permeabilidade do sistema, logo, este artigo

procura determinar experimentalmente o valor da constante de permeabilidade K e da constante C,

comparando os valores com as correlações teóricas (Ergun e Carman-Koseny). O procedimento foi

realizado em uma coluna de leito compactado, variando-se as vazões de água e verificando a perda

de carga na mesma. Os valores obtidos para K em baixas vazões experimental e teórico foram,

respectivamente, 6,43149x10-9 e 1,11459x10-8, possuindo um erro de 42,30%. Para altas vazões

5,15546x10-9 e 1,72716x10-8 respectivamente, possuindo um erro de 70,15%. Os valores da

constante C experimental e teórico foram 0,1438 e 0,5393 respectivamente e o desvio de 73,82%. O

fator de fanning foi obtido e apresentou desvios entre 89,26% e 183,89%. Determinou-se também

os desvios entre os valores de ΔP/L experimentais e obtidos pela Equação de Ergun, obtendo-se

erros elevados, variando de 68,34% até 285,60%. Tais erros são justificados por erros operacionais,

como observação da altura manométrica, ar presente na coluna e também manipulação correta no

controle da vazão.

1. Introdução

Define-se meio poroso aquele que

apresenta um meio sólido que contém poros.

Poros estes que apresentam “furos”, ou seja,

espaços de vazio de diversas formas. Estes

meios porosos podem ser utilizados em

diversos processos industriais, dentre os quais

pode-se destacar a secagem, mistura, adsorção

e filtração. Estes meios porosos podem ser

leitos, rochas, partículas catalíticas (micro-

poros), além de agregados fibrosos (LISBOA,

2000).

A perda de pressão no escoamento

através do leito poroso está relacionada aos

mecanismos físicos de ocorrência do

escoamento, uma vez que os fluidos são

forçados a fluir através de leitos estacionários

de sólidos particulados ou porosos numa

grande diversidade de situações práticas que

incluem a impregnação dos solos pela

umidade, a adsorção, a troca iônica entre

outros (FOUST, 1982).

Nas velocidades de escoamento

baixas, através de passagens muito pequenas,

as perdas de energia cinética são pequenas em

comparação com as perdas pelo arraste. Já,

nas velocidades de escoamento elevadas, as

perdas de energia cinética podem superar

completamente as perdas por arraste (FOUST,

1982).

Segundo Gomide (2005), uma

aplicação de meios porosos é em processos de

resfriamento de líquidos (torres de

resfriamento), onde a perda de carga

geralmente apresenta valores reduzidos,

devido ao recheiro ser bem aberto,

acarretando em uma porosidade elevada de

90%, onde são usados recheios de madeira

empilhada.

A perda de carga que ocorre nos

escoamentos sob pressão tem duas causas

distintas: a primeira é a parede dos dutos

retilíneos, que leva a uma perda de pressão

distruibuída ao longo do comprimento do

tubo, fazendo com que haja uma gradativa

2

queda na pressão total. A segunda causa de

perda de carga é constituída pelos acessórios

de canalização, ou seja, peças necessárias para

montagem da tubulação, as quais provocam

variações bruscas da velocidade,

intensificando assim a perda de energia nos

pontos de sua localização (ROMA, 2003).

Conforme a lei de Darcy, a velocidade

na superfície do fluido sobre um meio poroso

é diretamente proporcional a perda de carga

através do meio, de acordo com a equação 1:

(1)

Onde q é relação entre a vazão (Q) pela área

(A).

Na equação 1, L é a espessura da

camada de leito e k é a permeabilidade

hidráulica que depende das características

estruturais do meio poroso.

A correlação de Carman-Kozeny,

equação 2, é uma equação que relaciona a

permeabilidade (k) do leito com a porosidade

(ε) do meio e o tamanho das partículas (dp),

utilizada em escoamento laminar.

(2)

Onde o β é um parâmetro estabelecido com

valor de 5 por uma esfericidade acima de 0,7

em um escoamento lento.

Segundo Foust et al (1982), a maior

característica que mais influência na queda de

pressão no escoamento é a porosidade do

leito. A presença de partículas finas e grossas

leva a leitos de porosidade mais baixa que a

dos leitos com partículas uniformes, e quanto

mais baixa é a esfericidade da partícula, mais

aberto é o leito, ou seja, maior é a porosidade

do sistema.

A porosidade ɛ é definida como a

razão entre o volume do leito que não esta

ocupado com o material sólido e o volume

total do leito, conforme equação 3:

(3)

A porosidade do sólido maciço é zero.

Após a sua fragmentação, o leito passa a ter

uma porosidade que depende da

granulometria e da forma das partículas

formadas.

Para vazões elevadas a dependência da

variação de pressão (ΔP) com a vazão (Q)

admite uma forma quadrática, que pode ser

expressa pela Equação 5:

(4)

A determinação da perda de carga por

unidade de comprimento pode ser realizada

pela equação de Ergun, a qual pode ser usada

para qualquer regime de escoamento, tanto

laminar quanto turbulento, conforme mostra a

equação 5:

(5)

A primeira parcela da equação de

Ergun corresponde às perdas por atrito

superficial do fluido com as partículas sólidas.

A segunda corresponde ás perdas cinéticas

provocadas pelas mudanças de direção,

expansões e contrações pelo interior do leito

(GOMIDE, 2005).

É possível também expressar um fator

de atrito existente no processo de escoamento,

sendo este definido como o fator de atrito para

baixas vazões.

(6)

Sendo f definido por:

(7)

Para altas vazões:

(8)

3

Simbologia

¹ Adimensional

Então:

(9)

O presente trabalho teve como

objetivo determinar o coeficiente de

permeabilidade e a constante de um meio

poroso, além da determinação das equações

para perda de carga em relação a sua

velocidade de escoamento (alto/baixo).

2. Procedimento Experimental

Antes de dar início a prática,

determinou-se a porosidade do meio e o

diâmetro médio das partículas. Para medir a

porosidade, utilizou-se uma proveta contendo

10 mL de partículas. Adicionou-se água

nestas partículas, de modo que o nível não

ultrapassasse a superfície das mesmas.

Determinou-se o volume de água gasto (sendo

este denominado “volume de vazios”) e,

através da Equação 3, determinou-se a

porosidade do meio, que ficou 0,4125.

Com o intuito de determinar o

diâmetro médio das partículas, colocou-se em

uma proveta 15 mL de água, adicionando-se

63 partículas retiradas de forma aleatória do

leito. Verificou-se o volume deslocado por

estas partículas e (1,5mL), utilizando-se a

equação do volume para uma esfera [Vp =

(πDp³)/6], determinou-se o diâmetro médio

das partículas, sendo o valor encontrado

0,3569 cm.

Para iniciar o procedimento prático,

inicialmente, verificou-se se a válvula estava

fechada e, então ligou-se a bomba. A vazão

era aumentada de 0,5 em 0,5 L/min, sendo

que para cada vazão anotava-se a perda de

carga correspondente, no manômetro de tubo

em U. Durante o aumento da vazão

acompanhou-se várias pedrinhas dentro da

coluna para garantir que o leito não

fluidizasse. Fez-se o caminho inverso para a

verificação de possível histerese.

Figura 1. Aparato Experimental

1: Bomba Centrifuga;

2: Rotâmetro;

3: Manômetro de tubo em U;

4: Leito compactado.

ρ Densidade (Kg/m3) ΔP Perda de carga (Pa)

q Vazão (m/s) dp Diâmetro médio da partícula (m)

A Área (m2) G Aceleração da gravidade (m/s2)

ε Porosidade 1 Μ Viscosidade (N.s/m²)

Re Número de Reynolds 1 M Massa de partículas leito (kg)

C Constante experimental Q Vazão (L/mim)

f Fator Fanning Vp Volume da partícula (cm3)

k Permeabilidade hidráulica (m2) ᴓ Esfericidade das partículas1

β Constante para cálculo1 L Comprimento do leito (m)

4

3. Resultado e Discussão

Com o objetivo de determinar a

permeabilidade do meio poroso (K), plotou-se

o gráfico de ΔP/L vs q , tanto para o aumento

quanto para a diminuição da vazão, conforme

Figura 2.

Figura 2. ΔP/L vs q

Realizando-se a análise da Figura 2,

foi possível determinar a faixa de vazões

baixas que compreende as vazões de 0,5 até 3

L/min (faixa linear), enquanto que a faixa de

vazões mais elevadas compreende as vazões

de 3,5 até 4,5 L/min (faixa quadrática).

Através do gráfico foi possível

observar também que o fenômeno de histerese

se manifesta para vazões mais elevadas, pois,

neste momento, as partículas estão um pouco

mais espaçadas (devido ao aumento da vazão

e queda do gradiente de pressão). Logo, com a

vazão decrescente, as partículas retornam à

sua posição inicial, mas de forma diferente do

que em vazões crescentes, devido,

principalmente à ação da gravidade,

interferindo na maior “estabilidade” das

partículas.

Através das informações das vazões,

foi possível plotar o gráfico de ΔP/L vs q,

separando-se as faixas de vazões baixas e

elevadas, conforme Figura 3 e Figura 4,

respectivamente.

Figura 3. ΔP/L vs q para baixas vazões

O gráfico obtido acima para baixas

vazões ilustra a proporcionalidade da perda de

carga pelo aumento da vazão, conforme cita a

literatura.

Figura 4. ΔP/L vs q para altas vazões

A partir da Figura 3 foi possível

encontrar o valor da permeabilidade

experimental (Kexp), utilizando-se o

coeficiente angular da equação da reta para

este gráfico, com auxílio da Equação 1 e

Kteórico, com a Equação 2. Esses valores são:

Kexp= 6,43149x10-9 e Kteórico =1,11459x10-8.

Na Figura 4, pode-se observar o

comportamento quadrático da curva. A partir

desse gráfico foi possível encontrar os valores

de Kexp, através do coeficiente angular e da

Equação 4, e o Kteórico a partir da equação de

Ergun (equação 5). Os valores encontrados

foram Kexp=5,15546x10-9 e Kteórico=

1,72716x10-8.

Determinou-se também o valor da

constante (C) fazendo-se uso da regressão

linear quadrática e da Equação 4.

Segue abaixo Tabela 1, com os valores

de K e C para cada situação.

5

Tabela 1. Valores de permeabilidade do meio (K) e da

constante (C).

Método K C

Ex

p. Expressão Quadrática 5,15546E-09 0,1438

Expressão Linear 6,43149E-09

Teó

rico

Carman-Koseny 1,11459E-08

Ergun 1,72716E-08 0,5393

A constante de permeabilidade

(experimental) do meio ficou na ordem de 10-

9, enquanto que a teórico ficou na ordem de

10-8, a constante C experimental ficou 0,1438,

enquanto que a teórica 0,5393.

Ainda, é possível comparar a diferença

entre os métodos, conforme segue Tabela 2.

Tabela 2. Desvios

DESVIO (%)

Linear

/Carman-

Koseny

Quadrática/Ergun Quadrática/Linear

K 42,30 70,15 24,75 C 73,82

Analisando-se os desvios, verificou-se

que o menor foi de 24,75%. Quando

comparados os valores teórico e experimental,

verificou-se que o desvio do valor de K para a

equação quadrática é maior (70,15%), quando

comparado ao desvio da equação linear

(42,30%), ou seja, a equação linear fornece

uma aproximação melhor para a constante de

permeabilidade do meio poroso. Ainda, o erro

da constante C ficou em 73,82% quando

comparados os valores teórico e experimental.

Calculou-se também, para as

diferentes vazões, o fator de atrito (f), que é

função de Re. Foi determinado

experimentalmente através da Equação 7,

sendo o “f” teórico para baixas vazões

determinado pela equação 6 e para altas

vazões determinado pela Equação 8. O

gráfico a seguir (Figura 5) ilustra a relação de

f vs Re.

Figura 5. f vs Re

Analisando-se a Figura 5, observou-se

que o fator de atrito diminui com o aumento

de Re (aumento da vazão). Isto se explica

principalmente, pois, com o aumento da

vazão, o leito aumenta de porosidade,

aumentando os espaços vazios e

consequentemente, diminuindo a resistência

ao escoamento da água.

Ainda, pode-se perceber que o fator de

atrito teórico foi menor que o experimental

para todos os valores de Reynolds, pois as

variações de porosidade são desconsideradas

na determinação teórica. O perfil obtido

experimentalmente é semelhante ao teórico.

Determinou-se também o desvio do

fator de atrito (f) teórico em relação ao

experimental, conforme exposto na Tabela 3:

Tabela 3. Desvio do fator de atrito (f) teórico em

relação ao experimental

f exp. f teórico Erro (%)

54,6599 19,2538 183,89

18,2200 9,6269 89,26

13,3035 6,4179 107,29

10,4765 4,8135 117,65

9,1620 3,8508 137,93

8,1556 3,2090 154,15

6,6718 2,7505 142,56

6,1980 2,4067 157,53

5,2700 2,1393 146,34

Como pode ser observado, os erros

variaram de 89,26% a 183,89%. Esses valores

6

são elevados, sendo posteriormente

comentados.

Por fim, determinou-se também os

desvios entre os valores de ΔP/L

experimentais e obtidos pela equação de

Ergun (5), conforme Tabela 4.

Tabela 4. Erro ΔP/L experimental em relação ao

determinado pela Equação de Ergun

ΔP/L q Δ P/L

Ergun

%Erro

507,1279 0,0020 131,5153 285,60

676,1706 0,0040 295,5032 128,82

1110,8517 0,0060 491,9637 125,80

1555,1923 0,0080 720,8967 115,73

2125,1076 0,0100 982,3024 116,34

2724,0015 0,0119 1276,1806 113,45

3033,1081 0,0139 1602,5314 89,27

3680,2999 0,0159 1961,3548 87,64

3960,4278 0,0179 2352,6508 68,34

É possível observar que o erro para

todas as variações de vazões se manteve

elevado, isso se deve, assim como os demais

desvios determinados em todos os resultados,

por erros durante execução do experimento,

como por exemplo, leitura da altura

manométrica, ar dentro da coluna e também

controle da vazão. Ainda, para fins de

cálculos, utilizou-se um diâmetro médio de

partícula, obtido conforme descrito na

metodologia, sendo que esta consideração

também repercute em aumento do desvio em

relação ao teórico.

4. Conclusão

Os meios porosos são dotados de

espaços vazios, que tem por objetivo melhorar

processos industriais, tais como, secagem,

mistura, granulação, filtração, destilação,

extração e adsorção. Desta forma buscou-se

determinar experimentalmente o coeficiente

de permeabilidade (K) e a constante (C).

Tais resultados foram obtidos

experimentalmente e teoricamente (Ergun e

Carman-Koseny), sendo os valores

encontrados Kexp= 6,43149x10-9 e Kteórico

=1,11459x10-8 para baixas vazões, com

desvio de 42,30% e para altas vazões foram

Kexp=5,15546x10-9 e Kteórico =1,72716x10-8,

com desvio de 70,15%.

Os valores da constante C tanto

experimental quanto teórico, foram 0,1438 e

0,5393 respectivamente e o desvio foi de

73,82%, usando-se a equação de Ergun. Pode-

se concluir que a equação linear oferece uma

aproximação melhor para a constante de

permeabilidade.

O fator de fanning foi calculado,

apresentando-se desvios que variam entre

89,26% e 183,89%. Observou-se que os

valores encontrados experimentalmente são

maiores que os valores obtidos teoricamente.

Isso se explica, pois, o aumento da vazão

implica em aumento da porosidade, logo, pela

teoria, essa variação da porosidade não é

considerada.

Já para a variação de pressão os

desvios permaneceram entre 68,34% e

285,6% e podem ser justificados por erros de

leitura manométrica, erros no controle da

vazão, ar na coluna e ainda o uso de um

diâmetro médio da partícula.

5. Referências

FOUST, Alan S.; WENZEL, Leonard A.;

CLUMP, Curtis W.; MAUS, Louis;

ANDERSEN, L. Bryce. Princípios das

Operações Unitárias. 2ª ed. Rio de Janeiro –

RJ: Guanabara Dois, 1982.

GOMIDE, Reynaldo. Operações

unitárias. São Paulo: Ed. do Autor, 2005.

LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Uma

abordagem multi-escala para o cálculo da

permeabilidade longitudinal de meios

porosos fibrosos randômicos. Tese de

Doutorado, COPPE – Rio de Janeiro, 2000.

ROMA, W.L. Nelson. Fenômenos de

Transporte para engenharia. São Carlos :

RiMa, 2003.

7

ANEXOS

Memória de Cálculo:

Dados de bancada (Tabela 1)

Vazão Crescente Vazão Decrescente

Q (L/mim) Altura manométrica (m) Q (L/mim) Altura manométrica (m)

0,5 0,053 4,5 0,410

1 0,070 4 0,355

1,5 0,115 3,5 0,305

2 0,161 3 0,273

2,5 0,220 2,5 0,216

3 0,282 2 0,163

3,5 0,314 1,5 0,124

4 0,381 1 0,093

4,5 0,410 0,5 0,060

Cálculo da Porosidade do Leito

A porosidade do leito pode ser mensurada através da razão entre o volume de vazios e o

volume total.

Cálculo do Diâmetro da Partícula

8

Cálculo da queda de pressão

Dados tabelados a T = 21°C:

𝜌água = 998 Kg/m³ (Tabela 2 do anexo)

𝜌fluido = 1588,8 Kg/m³ (do experimento de perda de carga em acessórios hidráulicos).

g = 9,81 m/s²

L= 0,6 m

Cálculo da Razão entre a queda de pressão e a altura do leito poroso

Cálculo da área transversal do leito poroso

Cálculo da velocidade

Para baixas vazões:

9

Para altas vazões:

Cálculo de K pela equação de Carman-Kozeny

O valor do parâmetro β é 5 para meios com esfericidade acima de 0,7:

µ=0,001 N.s/ m2

y=155485x

Cálculo das constantes K e C pela Equação Quadrática de Ergun

10

Substituindo-se K no primeiro termo da equação de Ergun tem-se:

Cálculo das constantes de K e C experimentais

Da equação da reta:

K= 193969

C= 2x106

11

Cexp = 0,1438

Cálculo do P/L pela Eq. Ergun

Cálculo do número de Reynolds

Para baixas vazões (utilizou-se a vazão de 0,5 L/min):

Para altas vazões (utilizou-se a vazão de 3,5 L/min):

12

Cálculo do fator de atrito Experimental

Para baixas vazões (utilizou-se a vazão de 0,5 L/min):

Para altas vazões (utilizou-se a vazão de 3,5 L/min):

Cálculo do fator de atrito teórico para baixas vazões

13

Cálculo do fator de atrito teórico para altas vazões

f = 2,7505

Cálculo dos erros

Erro obtido para o K linear:

Erro % = 42,3

Erro obtido para o K quadrática:

Erro % = 70,15

Erro obtido para a constante C:

14

Erro obtido para o Fanning a baixas vazões:

Erro % = 183,89

Erro obtido para o Fanning a altas vazões:

Erro obtido para ΔP/L:

Erro % = 285,6

15