UFF – Universidade Federal Fluminense

Escola de Engenharia

TEQ – Departamento de Engenharia Química

Laboratório de Engenharia Química I

Prof.: Maria Luisa Rodriguez Peçanha

PERDA DE CARGA EM UMA SERPENTINA

Por: Alan Jordão Ferreira

Camila Fontoura Paulo

Gabriel Alexandre Vasconcelos

Mariana Menezes

Niterói – RJ

10 de dezembro de 2012

1. Sinopse

1.1. Finalidades e objetivos

A finalidade desta prática é analisar o comportamento do escoamento de um fluido em uma serpentina e comparar equações para a determinação do fator de atrito. Como as serpentinas apresentam um escoamento muito turbulento e uma grande área de troca térmica para um pequeno volume, elas são amplamente utilizadas em trocadores de calor na indústria química e nos serviços de refrigeração e aquecimento de ar. Dito isso, esse estudo se mostra de grande utilidade para a compreensão dos fenômenos físicos envolvidos neste sistema.

1.2. Descrição da experiência

Utiliza-se uma serpentina de cobre com diâmetro interno de ¼” e comprimento de 7,73m. A rugosidade do material está entre 0,00015 e 0,00025 cm. A serpentina é composta por 10 espiras com diâmetro de 22,5cm e distância de 2 cm entre elas.

A experiência consiste em variar a pressão de 16 a 1psi, em intervalos de 1psi, através do controle da vazão. A água efluente da serpentina é recolhida em um bécher, enquanto o tempo de realização desta atividade é cronometrado. A massa de água presente no bécher é medida e através da divisão pelo tempo a vazão mássica é determinada. O procedimento foi realizado três vezes para cada pressão.

1.3. Equações envolvidas nos cálculos

Esta prática teve como objetivo calcular a perda de carga em uma serpentina. Para tal, ultilizou-se 2 métodos para calcular o fator de atrito.

O primeiro método usado utilizou os valores medidos experimentalmente para calcular os fatores de atrito para vários Reynolds (Re) a partir da Equação de Souza-Cunha-Marques e descobrir o comprimento equivalente da serpentina a partir do gráfico da Equação de Darcy para perda de carga e posteriormente retirando o comprimento equivalente dos acidentes.

O segundo método utilizou a Equação de Srinivasan, mais prático para serpentinas, pois a perda de carga é calculada de maneira semelhante ao método anterior, mas usa-se o comprimento real da serpentina ao invés do comprimento equivalente

Equação de Darcy-Wiesbach:

h f=

f∗LD

∗v2

2 g

Equação de Souza-Cunha-Marques:

1

√ f=−2 log10 ¿¿

Equação de Darcy para perda de carga:

ΔP=8 f d∗( ρ∗Leq

gc∗π2∗d i5 )∗Q2

Equação de Srinivasan:

f Ds=4∗[0,0073∗( Di

DS)12+0,076∗ℜ

−14 ]

1.4. Qualidade dos resultados crus

Os resultados experimentais se apresentaram dentro da faixa de erro percentual aceitável (menor que 5%). Através da variância sabe-se que os valores são homogêneos. Pode-se afirmar que os dados estão consistentes e não é necessário eliminar nenhuma das medições.

1.5. Comparação dos resultados

O estudo do escoamento em serpentinas resultou em dados experimentais consistentes, porém os resultados da perda de carga calculada pela equação escolhida se mostraram divergentes em relação à equação de Srinivasan.

1.6. Conclusão

A experiência é simples e clara porém, algumas medidas seriam úteis para minimizar erros de medição, como o emprego de um método de controle de vazão mais eficiente.

1.7. Recomendações

Verificar se o manômetro apresenta oscilação de pressão; O bécher deve estar molhado ao tarar a balança; A massa de água recolhida em cada amostra deve ser semelhante; O cronômetro deve ser manuseado com atenção. Manutenção e limpeza mais frequente dos elementos de tubulação .

2. Introdução

2.1. Finalidades e objetivos

A finalidade desta prática é analisar o comportamento do escoamento de um fluido em uma serpentina e comparar modelos para a determinação do fator de atrito.

A serpentina é um duto composto por espiras, em geral, com material de aço ou cobre e diâmetro pequeno, com ou sem hélices. Elas são instaladas em um recipiente conhecido como carcaça, cheio do fluido utilizado para troca de calor. Devido à característica do escoamento turbulento e da grande área de tubulação em um volume pequeno, as serpentinas são amplamente utilizadas para a realização de trocas térmicas,seja para resfriamento ou aquecimento do fluido de processo. O maior uso de trocadores de calor com serpentina são instalações de ar condicionado de prédios e veículos. Também são utilizadas serpentinas para aquecedores e resfriadores industriais.

O escoamento no interior de uma serpentina adiciona à análise clássica de escoamento em tubos retos o efeito da força centrífuga, que deve ser vencida pelas forças de inércia do fluido. Devido a esse efeito, o escoamento se torna turbulento com um número Reynolds abaixo do valor necessário para tal no escoamento em tubos retos.

O fator de atrito do experimento foi calculado pelas equações de Souza-Cunha-Marques para escoamento em tubos retos com acidentes e pela Equação de Srinivasan para serpentinas em função do diâmetro da mesma. Com os resultados, os modelos de fator de atrito podem ser comparados e validados experimentalmente.

3. Resumo Teórico

3.1. Introdução Teórica

O estudo de escoamentos de fluidos newtonianos é regido pela equação clássica de Navier Stokes, que descreve os campos de velocidade e pressão no volume de controle. Essa equação é derivada das equações da continuidade, da conservação de energia e de momento. Pela Equação de Navier Stokes, sabe-se que mudanças no momento e aceleração de um fluido escoando são devidos as mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas no fluido.

Deve-se notar que para escoamento com líquidos pode-se tomar o mesmo como incompressível, o que admite facilidades na realização dos cálculos ao assumir a massa específica como constante.

O fluxo dos fluidos pode se dar em dois regimes: laminar e turbulento. O regime laminar em tubos é caracterizado por um fluxo em camadas de círculos concêntricos coaxiais, sem se misturar. Já no regime turbulento as partículas se misturam de forma não linear, isto é, de forma caótica com turbulência e redemoinhos.

O tipo de escoamento é avaliado pelo Número de Reynolds, um número adimensional que correlaciona as forças de inércia com as forças viscosas através dos parâmetros velocidade, massa específica, longitude característca do fluxo e viscosidade. A partir de uma faixa de Número de Reynolds, específica para cada tipo de escoamento, o fluxo passa de laminar para turbulento. No caso da água escoando em um tubo caracteriza-se um fluido com escoamento laminar com Re < 2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.

O fluxo turbulento tem como característica uma troca de calor muito mais efetiva que o fluxo laminar. Isso se deve ao fato de que, no regime laminar, a troca térmica é realizada unicamente por difusão, já no regime turbulento o troca é realizada pela mistura turbulenta caótica, aumentando significativamente o transporte de energia.

O fator de atrito é um parâmetro adimensional do atrito utilizado para calcular a perda de carga em tubulações. Em regimes laminares, esse fator depende exclusivamente do número de Reynolds. Já em regimes turbulentos o fator depende do Número de Reynolds e da rugosidade relativa da tubulação. Para regimes com alta turbulência, o fator de atrito passa a não depender do Número de Reynolds e é uma função apenas da rugosidade relativa da tubulação. Existem diversos modelos para o cálculo do fator de atrito e as equações de Souza-Cunha-Marques e Srinivasan serão comparadas com os resultados experimentais para validá-las.

Para o escoamento em serpentinas, há a Equação de Srinivasan, na qual é obtido um fator de atrito em função do diâmetro interno da tubulação, do diâmetro das espiras da serpentina e do Número de Reynolds. O valor obtido permite que seja utilizado o comprimento real da serpentina no cálculo da perda de carga na tubulação, ou seja, não é necessário considerar os acidentes para obter um comprimento equivalente.

3.2. Dedução de todas as equações

O princípio da conservação de energia possui um caso particular onde se considera a hipótese do líquido ser perfeito, não sendo considerado dessa forma a perda de energia decorrente do atrito e do tipo de escoamento.

O teorema de Bernoulli pode ser considerado como um caso particular do princípio de conservação de energia, e será representado pela seguinte equação.

P v

gZ

P v

gZ1 1

2

12 2

2

22 2

constante

onde o termo (P1 - P2)/ é a variação da energia de pressão que atua no fluido, (V’2 - V’1)/2g é a variação da energia cinética e Z2 - Z1 é a variação de energia potencial.

Na dedução do teorema de Bernoulli faz a suposição de que fluido é perfeito, e, portanto, não se leva em consideração a perda de energia devido ao atrito, à viscosidade ou ao turbilhonamento.

Ajustando-se a equação para que a mesma possa ser usada para líquidos reais, faz-se necessário a inclusão da perda de energia hf :

ZP v

gZ

P v

gh f1

1 12

22 2

2

2 2

(1)

onde hf, conhecido como perda de carga, representa a energia perdida pelo líquido, por

unidade de força para se deslocar entre dois pontos distintos.

A perda de carga em um trecho de tubulação pode ser desmembrada em duas: a perda de carga normal, correspondente aos trechos retilíneos de tubulação, e as perdas localizadas, aquela que ocorre em acidentes como válvulas, joelhos, tês, redução, expansões, etc. Para a prática realizada calcularemos um tipo específico de perda de carga normal, aquela que está relacionada ao escoamento turbulento.

Diferentemente do que ocorre no regime laminar, onde a tensão de atrito,

ζ=μ(−dvdy )

,

é gerada pelo movimento das moléculas de uma região de maior velocidade

para uma de menor velocidade ou vice-versa, através de uma superfície intermediária, no

regime turbulento, essa tensão é causada pela variação do gradiente de velocidade, ( dvdy )

, não mais das moléculas do fluido, mais sim das partículas que se movimentam em todas as direções e sentidos.

Devemos, agora, escrever a equação da tensão de atrito em função de um novo fator,

que no regime laminar é igual a zero. Portanto, ζ=μ(−dv

dy )+μ t( dvdy ), onde μt =

viscosidade turbulenta.

Na realidade, no regime turbulento, o escoamento do fluido através de um tubo,

apresenta três regiões distintas:

A primeira, em contato direto com as paredes do tubo, é conhecida como subcamada laminar e se caracteriza por só apresentar variações da velocidade do fluido na direção normal às paredes do mesmo.

Na região em torno do centro do tubo, encontra-se a região três, ou aquela em que só precisa-se considerar o efeito da viscosidade turbulenta para o cálculo da tensão de atrito.

Entre as duas existe uma região de transição (região 2), onde tanto os efeitos do atrito viscoso como os da viscosidade turbulenta são sentidos.

Devido a toda essa complexidade de conformação é que o regime turbulento deve ter sempre um tratamento teórico-experimental para o cálculo da perda de carga.

Entretanto, a da perda de carga em tubos é função do coeficiente de atrito nas condições operacionais e das propriedades do fluido.

Há na literatura várias equações empíricas disponíveis para o cálculo deste coeficiente, levando-se em conta o regime de escoamento e o número de Reynolds.

Para todos os regimes, pode-se utilizar a equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga, mudando apenas o cálculo para o fator de atrito.

É possível chegar à equação de Darcy-Weisbach, primeiramente covertendo a força de atrito numa pressão de atrito fictícia (ΔP), que pode ser feito dividindo-se a força de atrito pela seção transversal de área aonde a pressão seria exercida (como uma pressão de oposição ao escoamento). Logo temos:

ΔP= FatAs

(2)

sendo Fat a força de atrito e As a área da seção transversal ao escoamento no tubo.

A fórmula da força de atrito é dada por:

Fat= f∗ρ∗Pm∗L∗v2

8(3)

onde ρ é a massa específica, v é a velocidade média, Pm é o perímetro molhado, L é o comprimento do tubo e f é o fator de atrito.

Então substituindo a equação (3) em (2), temos:

ΔP= f∗ρ∗Pm∗L∗v2

8∗As(4)

A pressão de atrito fictícia é convertida em termos de uma grandeza energética expressa como uma altura equivalente, ou seja, carga, da mesma forma que a pressão exercida sobre o fluido era convertida, i.e., divide-se a pressão de atrito fictícia pelo peso específico, a saber:

h f=ΔPγ

= f∗ρ∗Pm∗L∗v2

8∗As∗γ(5)

Mas sabe-se que:

As=π*d^2/4 (6)

Pm=pi*d (7)

γ=ρ*g (8)

Substituindo (6), (7) e (8) em (5) e fazendo as simplificações, tem-se a Equação de Darcy-Wiesbach, dada por:

h f=f∗L∗v2

D∗2∗g(9)

Partindo da equação (4), utilizando as equações (6), (7) e (10), onde:

v= 4Q

π∗D2 (10)

chega-se a forma da equação utilizada para perda de carga deste relatório, tendo:

ΔP=8∗f∗ρ∗L∗Q2

g∗π2∗D5 (11)

A partir do conhecimento dessa equação, deve-se analisar o tipo de escoamento para escolher a equação adequada ao cálculo do fator de atrito

Analisando-se o escoamento laminar, o fator de atrito depende apenas do número de Reynolds, o que pode ser demonstrado combinando-se as equações de Darcy-Weisbach (9) e de Hagen-Poiseulle (12):

(12)

Igualando-se as equações acima, temos o seguinte:

(13)

Sabendo-se que:

temos a expressão modificada para:

Já para o escoamento em regime plenamente turbulento temos várias equações propostas, tal como a de Souza-Cunha-Marques, que utilizaremos neste trabalho para estudo comparativo:

1

√ f=−2 log10 ¿¿ (14)

No experimento, pôde-se observar que havia escoamento em regime de transição e turbulento.

Sabemos que para o sistema estudado, temos que:

Simplificando e igualando o termo P na equação (1), temos:

ΔP=f D Leq ⟨v2⟩ ρ

2 digc

=f D Leq ρ2 d i gc (4 Q

π d i2 )2

ΔP= 8 f D

ρ Leq

gc π2 d i

2Q2

Pode-se determinar o comprimento equivalente total a partir do coeficiente angular

da reta obtida do gráfico de P x Fd.Q2.

O comprimento equivalente da serpentina é determinado subtraindo-se o comprimento equivalente dos acidentes do comprimento equivalente total, e por isso temos que calcular os valores de K para todos os acidentes presentes no percurso, pela equação mostrada a seguir :

Pode-se igualar o fator fD ao fator fT, pois apesar do primeiro ser função da vazão, k

independe da mesma.

Para esses cálculos todas as tubulações devem ser expressas em relação a um mesmo diâmetro:

Tubulação 1: (15)

Tubulação 2: (16)

Dividindo (15) por (16) para fazer a equivalência e sabendo que Fd1Fd2:

(17)

A literatura nos fornece uma equação simplificada específica para cálculo de perda de carga em serpentinas proposta por Srinivasan (equação 18):

f Ds=4∗[0,0073∗( Di

DS)12+0,076∗ℜ

−14 ] (18)

Esta equação nos permite calcular a perda de carga da serpentina utilizando seu comprimento real.

4. Parte Experimental

4.1. Materiais e equipamentos

4.1.1. Partes do Equipamento

Serpentina de cobre com comprimento de 7,73 m, diâmetro interno de 0,635 cm

(¼”) e diâmetro externo 0,86 cm (56”), com os seguintes acidentes:

o 2 contrações de ½” a ¼”

o 1tê com saída lateral ½”

o 1 expansão de ¼” a ½”

o 18 cm de tubo liso

Mangueira

Manômetro

Água

4.1.2. Acessórios

Cronômetro

Becher de plástico de 1L

1 Termômetro, com precisão é de 0,1ºC

Balança digital, com erro de 0,005g

4.2. Descrição da instalação

Figura 1: Fluxograma da instalação

O esquema da Figura 1 mostra o funcionamento da instalação. Esta consiste em uma serpentina conectada a uma torneira, com um manômetro a jusante da junção. O fluido descartado por uma mangueira e coletadoem um bécher. A serpentina encontra-se em um recipiente de alumínio cheio de água.Existe, ainda, um termômetro para medição da temperatura da água.

4.3. Procedimento experimental

O objetivo do procedimento é medir a vazão da água em diferentes pressões a montante do sistema. A abertura da torneira controla a vazão, logo a pressão do sistema, desta forma as medições são realizadas em uma faixa de 16 psi a 1psi, com

variações de 1 psi. Para cada pressão ajustada no manômetro com atuação na torneira, o seguinte procedimento foi utilizado:

Aguardou-se que a pressão se estabilizasse no valor desejado; Tarou-se a balança com o bécher molhado; De posse do cronômetro, mediu-se o tempo para a água descartada na

mangueira encher o bécher, tomando-se o cuidado de não perder material. É importante notar que o procedimento de encher o bécher e cronometrar deve ser feito pelo mesmo aluno, de forma a minimizar os erros;

Foi realizada a pesagem da água; Com o peso do material e o tempo, a vazão de saída é calculada.

Foram feitas três medições de vazão para cada pressão e, assim, com o valor do tempo, foi calculada vazão mássica de cada medição. A partir desses valores foram encontradas as vazões mássicas médias, correspondentes a cada pressão, através da fórmula abaixo.

Gi= Mi/ti

Onde:Gi: vazão mássica para cada valor de pressão;Mi: massa de água;ti: tempo gasto para encher o bécher com água.

A pressão no manômetro foi monitorada durante toda a experiência de modo a evitar erros devidos a instabilidades na pressão. Um critério para erro de operação utilizado foi que o valor das três vazões mássicas, para cada pressão, não deveriam apresentar um erro percentual maior que 5%.

A temperatura indicada no termômetro foi registrada. Com as vazões mássicas obtidas, as vazões volumétricas foram calculadas utilizando a densidade da água na temperatura medida no termômetro.

5. Apresentação e Discussão dos Resultados

5.1. Apresentação e discussão dos resultados

Conforme explicado, dados de vazão mássica foram obtidos a partir da avaliação da massa de água acumulada no recipiente e do tempo gasto para esse acúmulo. Paralelamente os dados de pressão foram coletados do manômetro. A Equação 1: Equação da vazão mássica a seguir reflete os dados obtidos bem como o cálculo da vazão mássica de acordo com a Equação 1:

Gi=M i

t i

Equação 1: Equação da vazão mássica

Tabela 1: Dados esperimentais e cálculos de vazão mássica.

ΔP (psi) M1 (g) t1 (s) G1 (g/s) M2 (g) t2 (s) G2(g/s) M3 (g) t3 (s) G3(g/s) Gm(g/s)

16 660,64 9,82 67,28 660,62 10,34 63,89 831,7013,0

9 63,54 64,90

15 786,95 12,88 61,10 734,72 12,07 60,87 686,8311,0

9 61,93 61,30

14 598,16 10,04 59,58 749,28 12,41 60,38 701,2911,8

1 59,38 59,78

13 718,39 12,73 56,43 719,92 12,57 57,27 808,4314,1

7 57,05 56,92

12 788,69 14,43 54,66 709,63 13,03 54,46 666,8712,1

7 54,80 54,64

11 724,60 13,96 51,90 793,11 15,03 52,77 620,6011,8

3 52,46 52,38

10 679,24 13,61 49,91 711,96 14,42 49,37 716,1514,3

8 49,80 49,69

9 584,08 12,55 46,54 607,40 12,99 46,76 649,5113,9

3 46,63 46,64

8 624,35 14,13 44,19 519,52 11,83 43,92 609,1813,9

2 43,76 43,96

7 561,88 13,91 40,39 701,34 17,33 40,47 480,7311,8

9 40,43 40,43

6 589,24 16,12 36,55 566,55 15,43 36,72 820,6622,2

3 36,92 36,73

5 581,84 17,47 33,30 542,10 16,17 33,52 627,3518,9

5 33,11 33,31

4 713,39 24,93 28,62 604,69 21,26 28,44 596,6820,7

7 28,73 28,60

3 586,05 25,87 22,65 724,30 31,83 22,75 664,5329,5

2 22,51 22,64

2 504,20 31,13 16,20 668,75 41,54 16,10 808,1150,0

4 16,15 16,15

1 333,56 76,66 4,35 334,86 77,34 4,33 391,5090,4

6 4,33 4,34

5.2. Discussão da qualidade dos resultados

A Tabela 2 exibe os valores calculados do erro percentual para cada um dos valores de vazão obtidos em relação a média de cada pressão a partir da Equação 2.

Erro relativo (% )=100∗|Gi−Gm|

Gm

Equação 2: Equação do erro relativo

Todos os dados apresentados mostram um erro relativo menos que 5% em relação à média. Dessa forma, pode-se concluir que os dados são consistentes entre si se mostrando, nessa primeira análise, dados confiáveis.

Tabela 2: Cálculo do erro relativo por vazão calculada em relação a média

ΔP (psi) G1 (g/s) Erro relativo G1 (%) G2(g/s) Erro relativo G2 (%) G3(g/s) Erro relativo G3 (%) Gm .(g/s)16 67,28 3,66 63,89 1,56 63,54 2,10 64,9015 61,10 0,33 60,87 0,70 61,93 1,03 61,3014 59,58 0,34 60,38 1,00 59,38 0,67 59,7813 56,43 0,85 57,27 0,62 57,05 0,23 56,9212 54,66 0,03 54,46 0,32 54,80 0,29 54,6411 51,90 0,91 52,77 0,75 52,46 0,16 52,3810 49,91 0,43 49,37 0,65 49,80 0,22 49,699 46,54 0,22 46,76 0,25 46,63 0,03 46,648 44,19 0,51 43,92 0,10 43,76 0,45 43,967 40,39 0,09 40,47 0,09 40,43 0,00 40,436 36,55 0,48 36,72 0,03 36,92 0,51 36,735 33,30 0,03 33,52 0,63 33,11 0,61 33,314 28,62 0,07 28,44 0,53 28,73 0,46 28,603 22,65 0,07 22,75 0,49 22,51 0,56 22,642 16,20 0,30 16,10 0,31 16,15 0,01 16,151 4,35 0,34 4,33 0,15 4,33 0,19 4,34

5.3. Tratamento estatístico

Uma análise mais profunda dos dados obtidos foi efetuada a partir de um tratamento estatístico. A Tabela 3 exibe valores calculados para desvio médio, desvio padrão, variância e coeficiente padrão.

Tabela 3: Tratamento estatístico

ΔP (psi) Gm (g/s) Desvio médio Desvio padrão Variância Coeficiente de variação

16 64,90 1,59 2,0667 4,2713 0,031815 61,30 0,42 0,5586 0,3120 0,009114 59,78 0,40 0,5276 0,2783 0,008813 56,92 0,32 0,4355 0,1897 0,007712 54,64 0,12 0,1682 0,0283 0,003111 52,38 0,32 0,4402 0,1938 0,008410 49,69 0,21 0,2830 0,0801 0,00579 46,64 0,08 0,1102 0,0121 0,00248 43,96 0,16 0,2144 0,0460 0,00497 40,43 0,03 0,0379 0,0014 0,00096 36,73 0,13 0,1820 0,0331 0,00505 33,31 0,14 0,2074 0,0430 0,00624 28,60 0,10 0,1438 0,0207 0,00503 22,64 0,08 0,1202 0,0144 0,00532 16,15 0,03 0,0488 0,0024 0,00301 4,34 0,01 0,0129 0,0002 0,0030

O primeiro valor (16 psi) apresenta valores ligeiramente altos para os parâmetros calculados. Porém, ainda sim, o coeficiente de variação é baixo, e o valor não necessita ser descartado. Os outros pontos, novamente, se mostraram bastante confiáveis e, portanto, serão todos utilizados nos cálculos futuros desenvolvidos nesse trabalho.

5.4. Verificação do modelo usado

O intuito desse trabalho é, de fato, a comparação entre o modelo de cálculo da perda em serpentina, pela equação de Srinivasan contra o método de cálculo pelo comprimento equivalente. Para isso, é necessária a obtenção do comprimento equivalente da serpentina excluindo-se os outros acidentes presentes no sistema.

A equação de Darcy-Weisbach descreve uma relação parabólica entre perda de carga e a vazão. O termo de fator de atrito de Darcy, f, é dependente do número de Reynolds e por consequência também da vazão. É necessária a linearização da curva a uma reta, para se determinar, pelo coeficiente angular da mesma, o produto dos outros parâmetros e desta forma poder obter-se o valor do comprimento equivalente do sistema. Assim, devido a dependência do fator de atrito e a vazão, é conveniente acoplar os termos de vazão quadrática e coeficiente de atrito para construir o gráfico.

∆ P=

f∗LDi

∗V

2gc

Equação 3: Equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga.

∆ P=C∗f∗Q2

Equação 4:Adaptação da equação de Darcy-Weisbach

C=8∗ρ∗LeqS

gc∗π2∗Di5

Equação 5: Definição da constante C

Para a confecção do gráfico, é necessário, portanto, o cálculo do fator de atrito. Conforme discutido, existem várias equações para a obtenção desse parâmetro. Nesse trabalho utilizaremos a equação de Sousa-Cunha-Marques(1999),Equação 6, uma variação da equação

de Colebrook-White, Equação 7, que elimina a dependência implícita do termo, facilitando o cálculo. Segundo (Camargo, 2001) essa equação apresenta erros pequenos, e para confirmar

isso a compararemos com a equação de Chen-Schachan, Equação 8, que se mostra como a mais aplicada para o cálculo desse fator ao lado da de Colebrook-White.

1√ f

=−2 log10 [ ε3,7∗Di

−5,16ℜ ∗log10( ε3,7∗Di

+ 5,09ℜ0,87 )]

Equação 6: Equação de Sousa-Cunha-Marques para o cálculo do fator de atrito de Darcy

Fonte: (Camargo, 2001)

1

√ f=−2 log10 [ ε

3,7∗Di

+ 2,51ℜ√ f ]

Equação 7:Equação de Colebrook-White para o cálculo do fator de atrito de Darcy

Fonte: (Camargo, 2001)

f=[−2∗log10 [ εD i∗3,7065

−[ 5,0452ℜ ∗log10(( εDi )

1,1098

2,8257+(7,149ℜ )

0,8981)]]]−2

Equação 8: Equação de Chen-Schachan para o cálculo do fator de atrito de Darcy

A dependência desses valores em relação ao número de Re, leva ao cálculo desse adimensional. Para tal, a Equação 9 foi utilizada considerando as propriedades da água a pressão atmosférica e temperatura de 25,8 0C. A velocidade foi calculada a partir da vazão

volumétrica obtida a partir da vazão mássica, de acordo com a Equação 10 e com a Equação 11, respectivamente.

ℜ=D i∗v∗ρ

μ

Equação 9: Número de Reynolds

Q=Gρ

Equação 10: Cálculo da vazão volumétrica

v= Q

π∗D i2

4

Equação 11: Cálculo da velocidade.

Tabela 4: Propriedades da água

μ (Cp) = 0,87ρ(g/cm3) = 0,997

Além desses, foram também necessários dados da tubulação tanto para o cálculo de Reynolds quanto para o do fator de atrito. A rugosidade absoluta do material, ε, era estimada dentro de uma faixa, e foi estimada como a média entre os valores máximos e mínimos.

Tabela 5: Dados da tubulação

ε max (cm) = 0,00025ε min (cm) = 0,00015

ε med (cm) = 0,0002Di (in) = 0,25

Di (cm) = 0,635

Assim, foi possível o cálculo de Re para cada vazão, seguido pelo cálculo do fator de atrito pela equação de Sousa-Cunha-Marques, e pela equação de Chen-Schachan para que fosse feita a comparação.

A Tabela 6 exibe os resultados para as grandezas recém calculadas.

Tabela 6:Cálculo de Reynolds e fatores de atrito

ΔP (psi) Gméd. (g/s) Q(cm³/s) v(cm/s) Re fSCM fC

16 64,90226658 65,11062 205,596 14889,6 0,02847 0,02847

6

15 61,30085214 61,49764 194,18714063,4

4 0,02886 0,02886

14 59,7786125 59,97052 189,36513714,2

1 0,02903 0,02904

13 56,91931025 57,10204 180,30813058,2

4 0,02938 0,02938

12 54,63791172 54,81331 173,08112534,8

5 0,02967 0,02967

11 52,37610364 52,54425 165,91612015,9

5 0,02998 0,02998

10 49,69410734 49,85364 157,4211400,6

6 0,03037 0,03037

9 46,64199647 46,79173 147,75110700,4

5 0,03085 0,03085

8 43,96 44,10112 139,25510085,1

6 0,03132 0,03131

7 40,4317073 40,5615 128,0799275,70

7 0,03199 0,03198

6 36,72918752 36,8471 116,358426,28

8 0,03279 0,03277

5 33,30851363 33,41544 105,5147641,52

8 0,03363 0,033614 28,59543744 28,68724 90,584 6560,27 0,03502 0,03500

3 22,63827725 22,71095 71,7135193,59

8 0,03733 0,03729

2 16,14827209 16,20011 51,15413704,68

3 0,04108 0,04102

1 4,336251217 4,350172 13,7363994,808

3 0,06231 0,06206

A comparação entre os valores de fatores de atrito comprova a confiabilidade da equação de Souza-Cunha-Marques e nos permite utiliza-la para a continuidade dos cálculos. Dessa forma, foram calculados os produtos entre o quadrado da vazão volumétrica e o fator de atrito para que pudesse ser construído o gráfico mencionado anteriormente. A Tabela 7 exibe os dados que originaram o gráfico.

Tabela 7: Valores calculados para construção do gráfico

ΔP (psi) f*Q²(cm6/s2)16 120,6915 109,1414 104,4213 95,7912 89,1511 82,7710 75,489 67,558 60,91

7 52,636 44,525 37,554 28,823 19,252 10,781 1,18

0 20 40 60 80 100 120 1400

2

4

6

8

10

12

14

16

18

f(x) = 0.134344824452236 xR² = 0.999025048820687

Linearização do gráfico de Perda de carga por vazão.

fxQ²(cm6/s²)

Perd

a de

carg

a (p

si)

Pela proximidade do coeficiente de correlação linear com 1, pode-se confirmar a qualidade dos dados experimentais obtidos.

De acordo com a equação de reta obtida, e sabendo que a constante da Equação 4 é igual ao coeficiente angular do gráfico temos que:

C=0,1343 psi*s²*cm-6

Fazendo as conversões de unidade convenientes, podemos calcular o comprimento equivalente do sistema, LeqS ,pela Equação 5:

Com o valor de gc=9,8067 kg.m/(kgf.s²).

Obtemos LeqS=1183,11 cm.

Uma vez obtido o comprimento equivalente de todo o sistema, deve-se subtrair o comprimento equivalente de cada acidente conhecido. Para o cálculo de cada acidente foi tomada como base as equações de K, coeficiente de resistência ao escoamento, existentes em(Crane, 1982). Para os cálculos de reduções e expansões foi adotado um ângulo de 900.

Tendo os dados de K é possível a obtenção do comprimento equivalente dos acidentes pela Equação 13. É necessário, porém, o cálculo de f. Sabendo-se que as equações para K foram desenvolvidas em regime totalmente turbulento, utilizou-se mais uma vez a equação de Souza-Cunha-Marques para Re excessivamente grandes.

∆ P=K∗V2 gc

Equação 12: Equação de Darcy-Weisbach para a perda de carga em acidentes.

Fonte: (Crane, 1982)

K=f∗LeqA

Di

Equação 13: Definição da constante K dos acidentes.

Fonte: (Crane, 1982)

Reduções:

Tomando-se por referência o menor diâmetro da transformação:

K=0,5∗(sin( θ2 ))2

∗(1−β )2

Equação 14: Equação docoeficiente de resistência ao escoamentoem reduções.

Fonte: (Crane, 1982)

Onde β=D1/D2, sendo D1 o diâmetro menor e θ o ângulo de restrição no acidente.

Redução 1/2"X1/4"D1 (in) 0,25 K= 0,315336156D2 (in) 0,5 ε/D= 0,000315β 0,5 f= 0,015θ(rad) 1,57 D(cm)= 0,635Leq= 13,35 cm

Expansão:

Tomando-se por referência o menor diâmetro da transformação:

K= (1−β2 )2

Equação 15:Equação do coeficiente de resistência ao escoamento em expansões.

Fonte: (Crane, 1982)

Onde β=D1/D2, sendo D1 o diâmetro menor.

Expansão 1/4"X1/2"D1 (in) 0,25 k= 0,5625D2 (in) 0,5 ε/Di= 0,000315β 0,5 f= 0,015θ(rad) 1,57 Di= 0,635Leq= 23,81 cm

Tê com saída lateral (T run):

K=20∗f

Equação 16:Equação do coeficiente de resistência ao escoamento em Tês com saída lateral.

Fonte: (Crane, 1982)

Tê com saída lateral de ½”

f= 0,015k= 0,3D(cm)= 1,27Leq (cm)= 25,4

Porém, deve-se converter o comprimento equivalente para o diâmetro da tubulação, uma vez que o acidente é de ½” e a tubulação é de ¼”.

Usando a , para β=0,5, temos:

Leq2=Leq1∗β5

Equação 17: Equação para variação de comprimento equivalente em função da alteração de Diâmetro

Leq2=0,7973 cm.

Somando a perda por todos os acidentes temos, 2 reduções de ½” para ¼”, uma expansão de ¼” para ½”, um Tê lateral de ½” e um trecho reto de 18 cm, totalizando:

LeqA.=79,8 cm.

Subtraindo esse valor do total do sistema, temos:

Leqserpentina=LeqS-LeqA

Leqs=1103 cm.

A equação de Srinivasan, Equação 18,permite um cálculo mais prático da perda de carga na serpentina. Para que essa equação seja válida a perda de carga por esse método deve ser igual à calculada pelo método anterior quando consideramos apenas o comprimento equivalente da repentina.

f Srinivasan=4∗[0,0073∗( Di

D S)12+0,076∗ℜ

−14 ]

Equação 18:Equação de Srinivasan para cálculo do coeficiente de atrito

Para o uso dessa equação é necessário o conhecimento de algumas propriedades da serpentina. A Tabela 8 exibe os dados necessários ao cálculo e informações adicionais da serpentina.

Tabela 8: Dados da serpentina

Características da serpentinaDiâmetro interno Di (in) = 0,25Diâmetro externo De (in) = 0,3125Comprimento LS (m)= 7,73Número de espiras N = 10Diâmetro da serpentina DS (cm) = 22,5Distância entre as espiras n (cm) = 2

Rugosidade absolutaε max (cm) = 0,00025ε min (cm) = 0,00015ε med (cm) = 0,00020

Tendo em vista que os únicos fatores não semelhantes nas duas equações são o fator de atrito e o comprimento equivalente, é possível uma simplificação da igualdade entre as equações da perda de carga resultando em:

fSCMx Lleqs= fSrinivasanx Lrealserpentina

Efetuaremos, portanto, a comparação desses dois produtos para avaliar a proximidade entre a teoria e o resultado obtido experimentalmente. Tais resultados são apresentados na Tabela 9.

Tabela 9:Comparação entre os fatores de atrito.

ΔP (psi) Re fSCM fSrinivasan fSCM.Leqs fSrinivasan *Ls16 14889,7 0,0285 0,0306 31,4102 23,652415 14063,4 0,0289 0,0310 31,8406 23,958214 13714,2 0,0290 0,0312 32,0332 24,094313 13058,2 0,0294 0,0315 32,4144 24,362012 12534,8 0,0297 0,0318 32,7383 24,588011 12016,0 0,0300 0,0321 33,0787 24,823910 11400,7 0,0304 0,0325 33,5099 25,12089 10700,5 0,0309 0,0330 34,0422 25,48418 10085,2 0,0313 0,0334 34,5520 25,82877 9275,7 0,0320 0,0341 35,2930 26,32436 8426,3 0,0328 0,0348 36,1751 26,90625 7641,5 0,0336 0,0356 37,1089 27,51304 6560,3 0,0350 0,0369 38,6422 28,49023 5193,6 0,0373 0,0389 41,1839 30,06052 3704,7 0,0411 0,0420 45,3250 32,50001 994,8 0,0623 0,0572 68,7546 44,2218

Sem qualquer análise mais profunda é possível ver a discrepância entre os valores obtidos. Na próxima seção, compararemos os resultados de forma mais objetiva.

5.5. Comparação dos resultados

Uma vez que todo o experimento se baseia em um fenômeno físico, efetuaremos a comparação de resultados em relação a perda de carga calculada por cada um dos métodos. É importante ressaltar que, uma vez que o cálculo da perda de carga é proveniente apenas de divisões e produtos, o erro relativo é propagado de forma semelhante sem que haja qualquer alteração em seu valor. A Tabela 10 mostra os valores obtidos para a perda de carga e o erro relativo obtido.

Tabela 10:Comparação da perda de carga calculada com o fator de atrito de Souza-Cunha-Marques e a calculada por Srinivasan

ΔP (psi) ΔP-SCM (psi) ΔP-Srinivasan(psi) Erro relativo (%)16 15,11 11,38 24,7015 13,66 10,28 24,7614 13,07 9,83 24,7813 11,99 9,01 24,8412 11,16 8,38 24,9011 10,36 7,78 24,9510 9,45 7,08 25,039 8,46 6,33 25,14

8 7,63 5,70 25,257 6,59 4,91 25,416 5,57 4,15 25,625 4,70 3,49 25,864 3,61 2,66 26,273 2,41 1,76 27,012 1,35 0,97 28,301 0,15 0,09 35,68

É possível, ainda, construir-se um gráfico das perdas de carga em função da vazão volumétrica.

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.00.002.004.006.008.00

10.0012.0014.0016.00

Comparação das perdas de carga

ΔP-Srinivasan(psi)ΔP-Sousa-Cunha-Marques(psi)

Vazão volumétrica (cm³/s)

Perd

a de

carg

a na

serp

entin

a (p

si)

Tanto pela avaliação dos erros relativos quanto pelo gráfico, fica facilmente evidenciado a disparidade entre os valores obtidos. Erros na grandeza obtida poderiam facilmente questionar a validade da equação ou indicar que a pratica tenha sido executada de forma errônea.

Porém, ao se avaliar as possíveis fontes de erro, fica claro que as condições experimentais se distanciam bastante da idealidade, gerando distorções graves ao resultado.

Dentre os maiores problemas, podemos citar:

Ausência de um sistema preciso para controle e calculo da vazão; Possível ausência de exatidão do instrumento de medida de pressão, não

calibrado antes da prática; Perdas de cargas adicionais, relacionadas às condições experimentais, como

tempo de utilização do sistema e possíveis incrustações;

Uma vez que os dados experimentais se mostram bastantes consistentes entre si, a última fonte de erro se apresenta como mais grave, e como mais provável justificativa dos erros obtidos. Além disso, o fato das perdas de carga obtidas pelo método de Souza-Cunha-Marques se mostrarem maiores em todos os pontos denota que alguma fonte de perda de carga, seja

por acidentes, por redução da área de escoamento ou por qualquer outra fonte não foi computada e, dessa forma, não foi descontada para obter-se a perda apenas na serpentina.

6. Conclusões

As serpentinas geram uma alta perda de carga devido à sua pequena área de escoamento. Os dados obtidos no estudo do escoamento em serpentinas realizado nesta prática foram avaliados como favoráveis através da análise estatística.

Os resultados calculados pela equação de Sousa-Cunha-Marques, escolhida para o cálculo da perda de carga, se mostraram significativamente maiores quando comparados aos obtidos pela equação de Srinivasan, específicas para serpentinas. O possível motivo para a ocorrência do erro é a existência de alguma fonte de perda de carga desconhecida.

7. Recomendações

Algumas medidas podem ser adotadas a fim de minimizar erros nos dados experimentais.

Para que a massa de água seja medida corretamente, no momento de tarar a balança o bécher deve estar molhado. Assim como se deve manter um padrão na coleta da amostra.

A pressão fixada no manômetro deve ser constantemente monitorada devido à oscilação frequente na vazão de água, já que a torneira está localizada em uma linha com diversas saídas.

Os erros na medição do tempo podem ser minimizados através do manuseio correto do cronômetro, evitando atrasos no início e no término da marcação.

Os elementos de tubulação utilizados, serpentina e acidentes, devem sofrer manutenções e limpezas mais regulares a fim de minimizar o acúmulo de perda de carga não contabilizável.

8. Apêndice

8.1. Notação empregada

Gi: vazão mássica para cada valor de pressão;

Gm: vazão mássica média;Mi: massa de água;ti: tempo gasto para encher o bécher com água;∆P: perda de carga;hf: perda de carga;f: fator de atrito de Darcy;L: comprimento;D: diâmetro da tubulação;V: velocidade de escoamento do fluido;g: aceleração da gravidade;C: coeficiente angular da reta;Q: vazão volumétrica;Re: número de Reynolds;k: rugosidade do cobre;ε: rugosidade do material;µ: viscosidade da água;ρ: massa específica da água;Di: diâmetro interno;fSCM: fator de atrito calculado pela equação de Sousa-Cunha-Marques;fC: fator de atrito calculado pela equação de Chen- Schachan;LeqS: comprimento equivalente do sistema;K: coeficiente de resistência ao escoamento;

8.2. Bibliografia consultada

Crane CO. Flow of Fluids Through Valves, Fittings and Pipe. Edição: Metricedition– SIUnits, 1982.

CAMARGO, L. A. Equações Explícitas Para o Fator de Atrito de Darcy-Weisbach. Jun/2011. Disponível em: http://www.hidrotec.xpg.com.br/EquExpli.htm. Acesso em: 05 de dezembro de 2012.