UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS

BACHARELADO INTERDISCIPLINAR EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA

PÊNDULO DE TORÇÃO

Jeferson Almeida Dias, Rikelli Zanette, Thiago Gonçalves Carvalho, Vinícius de Oliveira Dias

Resumo: O estudo realizou medições dos períodos e ângulos da oscilação de um pêndulo de

torção, onde o disco é solto após uma torção a um ângulo pequeno, 20º, e um grande, 110º. O

mesmo experimento foi realizado com o disco imerso em água,medindo o tempo total de dez

oscilações para os mesmos ângulos de lançamento,verificando os ângulos a cada período.

O que possui atrito relevante vai perdendo energia e isso é perceptível observando-se o

pêndulo, que a cada período percorrido, vai diminuindo seu ângulo, tanto para o ângulo inicial

pequeno(<90º), quanto para o grande (>90º). No entanto, o período permanece o mesmo, com ou

sem atrito.

Estas deduções puderam ser feitas, através dos cálculos realizados usando as equações

citadas no modelo. Obtendo assim, os valores de ω0 (frequência angular) e K (coeficiente de

torção) para o sistema sem água, tal que com o ângulo de 20°, é respectivamente, (6,7 ± 0,7). 10-1

rad.s-1 e (3,6 ± 0,01).10-4 N m rad--1 e para o ângulo de 110°, respectivamente, (7,0 ± 2). 10-1 rad.s-1

e (4,0 ± 0,1).10-3 N m rad -1.

Para o sistema com água, obtemos para o ângulo de 20°, respectivamente, (1,8 ± 0,3).10-2,

(6,0 ± 1).10-1 rad.s-1, (6,0 ± 1).10-1 rad.s-1, (3,3 ± 0,1).10-3 N m rad--4, e para o ângulo de 110°, (1,5

± 0,4).10-2, (6,5 ± 0,7).10-1 rad.s-1, (6,5 ± 0,7).10-1 rad.s-1 e (3,4 ± 0,1).10-3 N m rad -1,

Palavras-chave: pêndulo de torção, coeficiente de amortecimento, propagação de erros.

1-INTRODUÇÃO

O pêndulo de torção consiste em um disco que gira sobre um transferidor fixo. Seu

movimento harmônico é giratório, varrendo o ângulo de lançamento e girando o eixo com as massas

opostas , e depois retorna a posição inicial[01].

No presente estudo foi observado o período entre um ângulo menor que 90º e outro maior

que 90º, analisando primeiramente esse movimento sem atrito, e em seguida, com atrito.

Assim foram realizadas sucessivas medidas do período com a presença e com a ausência do

atrito, e através da modelagem matemática poderemos calcular seu coeficiente de atrito e estimar os

erros envolvidos.

2-MODELO

2.1-MODELAGEM DO SISTEMA SEM ÁGUA

Devido ao torque ( N m) realizado pelo fio, é passível apresentar que :

=−K [03] Eq 01

Onde K (N m/rad) é o coeficiente de torção e (rad) é o ângulo de deslocamento. O sinal

negativo é porque o torque é desenvolvido em sentido contrário ao movimento.

Considerando o momento de inércia I (kg.m²), é possível escrever a equação como:

= I d 2d t 2 Eq 02

Substituindo a expressão 01 em 02, e tomando KI

=2 onde (rad/s) é a

frequência angular têm-se:

−K =I d 2 d t 2 d 2

d t2 KI

=0 d 2 d t2 2 =0

Tal que a relação de :

t =máx cos t Eq 03

Onde max (rad) é o maior deslocamento alcançado.

2.2-MODELAGEM DO SISTEMA COM ÁGUA

Considerando 2 = cI tem-se que:

d 2 tdt 2 2

d dt

2 =0

Sendo que c é o coeficiente de arrasto e coeficiente de atrito.

Toma-se a equação:

t =máx e− t cos t Eq 04

O tempo pode ser representado pela expressão t=nT , com T o período e n o número de

oscilações. Dessa forma substitui-se na expressão 04 e chamando nT = n :

nT =máx e− nT n=máx e− nT

Aplicando a função logarítmica:

ln n=ln máx e− nT ln n=− T nln máx

Reconhecendo suas propriedades lineares, ln n= y , −T n=ax e ln máx=b com

finalidade de utilizar-se do método dos mínimos quadrados.

Em questão das expressões para cálculo das frequências amortecida e normal,utiliza-se:

0=122 e 1=

2T [01] Eq 05 (a,b)

Enquanto o 0 teórico pode ser descrita por:

0= KI

Eq 06

E pode ser representado como:

=−aT Eq 07

2.3-MODELAGEM DE ERROS

Afim de estimar os erros das medidas, toma-se as equações abaixo deduzidas através das

expressões = instrumental2 estatístico

2 e = ∂ f∂ i

2

i2 :

n= transf2 estat

2 Eq 08

Onde transf é o erro da imagem do transferidor e estat o Desvio Padrão.

transf = min

360 Eq 09

Sendo min a menor medida possível de ser aferida pela imagem do transferidor em graus

ln n=1

méd n Eq 10

Onde méd é a média dos ângulos medidos no experimento.

T= crono2 estat

2 Eq 11

Tal que crono é o erro do cronômetro e estat o desvio padrão .

k=40 I w0 20 I

2 Eq 12

Em que é a frequência angular, I o momento de inércia e I o erro do mesmo.

I =mR2 R2 R4

4m

2 Eq 13

Onde m é a massa e m2 o erro dessa.

0=−2

T 2 T Eq 14

Sendo T o período e T seu erro.

1= 02

022 w1

2 2

022 2 Eq 15

Tal que 0 é a frequência normal.

2.4-EXPRESSÕES ESTATÍSTICAS

2.4.1-FREQUÊNCIA

A frequência simples é definida por:

f =ni [02] Eq 16

A frequência média pode ser descrita como:

f = fN [02] Eq 17

Onde f representa a frequência e N o número de classes.

2.4.2-VARIÂNCIA

Seja f a frequência , f a frequência média e N o número de classes. Sendo assim, a variância

pode ser definida:

v=

∑i=1

n

f i−f

N Eq 18

2.4.3-MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

Para n diferente de zero:

x=∑i=1

n

xi

n[02] Eq 19

Representa a média aritmética simples.

2.4.4-DESVIO PADRÃO AMOSTRAL

Em dados amostrais onde as medições estão sujeitas à erros, deduz-se a partir da média que

o desvio padrão:

s= 1n−1∑i=1

n

xi−x 2[02] Eq 20

3-METODOLOGIA

No experimento realizado nos dias 24 e 26 de Novembro de 2010, foi utilizado um sistema

de pêndulo de torção composto por um disco de massa (617 ±6)g, suspenso por um fio inextensível,

de massa desprezível e comprimento (1,23±0,05)cm, montado sobre um transferidor fixo de 360º.

Soltou-se o disco após uma torção à um ângulo pequeno, 20º, e à um ângulo grande, 110º. E

então mediu-se o período de cada uma das cinco oscilações, sem atrito, de cada um dos ângulos. Em

seguida, o experimento foi repetido, com o disco imerso em água, aferindo-se o tempo total de dez

oscilações do disco em água com os mesmos ângulos, pequeno e grande, observando para cada

oscilação o ângulo no transferidor.

Os resultados obtidos seguem na Tabela 1.

4-ANÁLISE DE DADOS

Seguem as tabelas com os dados obtidos:

Tabela1: Média tempo de cada período no sistema sem água

Sistema sem água

Nº de medidas1 9,32 9,972 9,31 9,953 9,42 9,374 9,34 9,385 9,38 9,41

média 9,34 9,410,11 0,33

Θ=(20,0 ± 0,5)° Θ=(110,0 ± 0,5)°Média de tempo de cada Período (±0,01) s

σ T

Tabela2: Média de ângulos e tempo de cada período no sistema com água

Após calcular os valores de X²min, obtivemos os valores seguintes, para os coeficientes linear(a) e angular(b) segundo o sistema com disco imerso em água:

• para < 90º: a= (-1,8 ± 0,2).10-1 s

b= (-8,6 ± 0,8).10-1 rad.

• para > 90º: a= (-1,50 ± 0,02).10-1 s b= (8,00 ± 0,05).10-1 rad.

Abaixo, o gráfico obtido à partir dos cálculos realizados, segundo o sistema com água.

Figura 3 : Gráfico do nº de ângulos em função dos valores de ln

Sistema com disco imerso em água

Anguloθ0 20,0 110θ1 17,4 104,2θ2 16,0 86,8θ3 12,0 75,4θ4 9,6 65θ5 8,4 55,2θ6 6,4 46,2θ7 4,6 39,6θ8 3,2 33,4θ9 1,8 28,6

θ10 1,0 23,4Média tempo de cada período

t(s)

Θ=(20,0 ± 0,5)° Θ=(110 ± 0,5)°Média θ máx.(°)± 0,5°

9,8 ± 0,2 9,7 ± 0,1

0 2 4 6 8 10 12

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

ln do ângulo(θ) X nº de medidas do ângulo (n)

θ inicial = 20º

Coluna C

Linear (Coluna C)

n

ln θ

Figura 4 : Gráfico do nº de ângulos em função dos valores de ln

No sistema sem água

-Para ângulo de 20°: 1=2T

1=2.3,1416

9,341=6,7±0,7.10−1 rad . s−1

K=02. I K=0,72 . 0,002 K=3,63±0,01.10−4 N.m.rad−1

-Para ângulo de 110°: 1=2T

1=2.3,1416

9,411=7,0±2 .10−1 rad . s−1

K=02 . I K=0,672 . 0,002 K=4,0±0,1.10−4 N.m.rad−1

No sistema com água:

-Para ângulo de 20°: =−aT =

−−0,189,78 =1,8±0,3 .10−2

1=2T

1=2.3,1416

9,781=6,0±1.10−1 rad . s−1

0=122 0=0,620,0182 0=6,0±110−1 rad . s−1

K=02. I K=0,642.0 ,018 K=3,3±0,1.10−4 N .m. rad−1

-Para ângulo de 110°: =−aT =

−−0,159,7 =1,5±0,4. 10−2

0 2 4 6 8 10 12

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

ln do ângulo(θ) X nº de medidas do ângulo (n)

θ inicial = 110º

Coluna C

Linear (Coluna C)

n

lnθ

1=2T

1=2.3,1416

9,71=6,5±0,7.10−1 rad . s−1

0=122 0=0,652 0,0152 0=6,5±0,710−1 rad . s−1

K=02 . I K=0,652 .0,015 K=3,4±0,1.10−4 N .m. rad−1

5-CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após visualizar o experimento e coletar os dados, foi perceptível que o pêndulo, quando em

contato com o atrito, perde energia diminuindo seu ângulo. Ainda assim, o período permanece o

mesmo, para ambos sistemas.

Dessa forma a frequência angular (ω) para o sistema com atrito desprezível é muito próximo

ao sistema com atrito para ângulos iniciais pequenos ou grandes. Isso ocorre pois a quantidade de

água acrescentada no sistema, onde o disco fica imerso, é pequena, gerando um atrito menor e

empuxo insuficiente para alterar de forma considerável, a frequência angular.

Isso pode ser verificado através dos resultados obtidos, tal que para o ângulo de 20°, no

sistema sem água , ω0 (frequência angular) e K (coeficiente de torção) são respectivamente, (6,7 ±

0,7). 10-1 rad.s-1 e (3,63 ± 0,01).10-4 N m rad--1 , para o ângulo de 110°, respectivamente, (7 ± 2). 10-1

rad.s-1 e (4,0 ± 0,1).10-4 N m rad--1; para o sistema com água, obtemos γ (coeficiente de atrito), ω0

(frequência angular), ω1 (frequência angular) e K (coeficiente de torção), para o ângulo de 20°,

respectivamente, (1,8 ± 0,3).10-2, (6 ± 1).10-1 rad.s-1, (6 ± 1).10-1 rad.s-1, (3,3 ± 0,1).10-3 N m rad--4,

para o ângulo de 110°, respectivamente, (1,5 ± 0,4).10-2,(6,5 ± 0,7).10-1 rad.s-1,(6,5 ± 0,7).10-1 rad.s-1

e (3,4 ± 0,1).10-3 N m rad-1visto que a diferença entre eles oscila dentro de suas margens de erro.

6-REFERÊNCIAS

1- HALLIDAY, RESNICK,WALKER. Fundamentos de física:volume1-Mecânica,8ª edição. São

Paulo, editora LCT, 2008

2-DIAS, J.A; DIAS, V.O; CARVALHO, T G;ZANETTE, R. Relatório Pêndulo Simples.

Universidade Federal de Alfenas, 2010.

3-Valdiviesso, Gustavo do A . Práticas de laboratório: conceitos teóricos. Aula dias 26 de

novembro de 2010.