Paulo Henrique Araújo Bezerra ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE ...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Paulo Henrique Araújo Bezerra

ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE DELGADAS AXISSIMÉTRICAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM

UTILIZAÇÃO DE ELEMENTO RETILÍNEO

Natal

2013


ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE DELGADAS AXISSIMÉTRICAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM


Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Orientadora: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega Co-orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach

Natal 2013

UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte

Bezerra, Paulo Henrique Araújo. Análise de estruturas de superfície delgadas axissimétricas via método dos elementos finitos com utilização de elemento retilíneo. / Paulo Henrique Araújo Bezerra. – Natal, RN, 2013. 88 f.: il.

Orientadora: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega. Co-orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil.

1. Construção civil - Dissertação. 2. Estruturas axissimétricas-

Dissertação. 3. Método dos elementos finitos - Dissertação. 4. Elemento retilíneo – Dissertação. I. Nóbrega, Selma Hissae Shimura da. II. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. III. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. IV. Título.

RN/UF/BCZM CDU 69.01

ii

PAULO HENRIQUE ARAÚJO BEZERRA

ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE DELGADAS

AXISSIMÉTRICAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM


Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação, em Engenharia Civil, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________________________ Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega – Orientadora

______________________________________________________________ Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach – Co-orientadora

______________________________________________________________ Prof. Dr. Ângelo Vieira Mendonça – Examinador Externo (UFPB)

____________________________________________________________ Prof. Dr. José Antônio Marques Carrer – Examinador Externo (UFPR)

Natal, 13 de junho de 2013.

iii

ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE DELGADAS

AXISSIMÉTRICAS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS COM



Orientadora: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega

Co-orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach

RESUMO

O presente trabalho aborda a análise linear de estruturas de superfície

axissimétricas através do desenvolvimento e implementação de um código

computacional baseado no Método dos Elementos Finitos. Inicialmente, as

estruturas são estudadas de maneira isolada e, em seguida, compatibilizadas de

modo a formar estruturas acopladas, como reservatórios e vasos de pressão.

Exemplos de aplicação, com diferentes tipos de solicitação e condições de

vinculação, são apresentados e os resultados obtidos pelo código desenvolvido são

comparados a valores analíticos.

Palavras-chave: Estruturas axissimétricas, Método dos Elementos Finitos, Elemento

retilíneo

iv

ANALYSIS OF THIN BIDIMENSIONAL AXISYMMETRIC

STRUCTURES VIA FINITE ELEMENT METHOD USING STRAIGHT

ELEMENT


Adviser: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega

Co-adviser: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach

ABSTRACT

The present work deals with the linear analysis of bi-dimensional axisymmetric

structures, through development and implementation of a Finite Element Method

code. The structures are initially studied alone and afterwards compatibilized into

coupled structures, that is, assemblages, including tanks and pressure vessels.

Examples are analysed and, in order to prove accuracy, the results were compared

with those furnished by the analytical solutions.

Key-words: Axisymmetric structures, Finite Element Method, Straight element

v

Dedico este trabalho à minha família, em especial ao meu avô Lucena (in

memoriam), pela confiança e contribuição à minha educação e a meu avô Raimundo

e meu padrinho Manoel, que também não puderam compartilhar dessa alegria.

vi

AGRADECIMENTOS

Ao nosso criador, e mantenedor da vida, por tudo que recebi ao longo dessa

caminhada.

À minha mãe, origem, meio e fim de todas as minhas conquistas, exemplo de

coragem, amor e força.

Ao meu pai e a meu irmão, pelo apoio e torcida.

À minha tia Dadaça, por todo o apoio, carinho e incentivo ao estudo ao longo

de toda a minha vida estudantil.

Às minhas avós, por todo amor e carinho em todos os momentos da minha

vida.

Às minhas tias Marlene, Goretti, Marília, Margarete e Miriam pelo amor, força

e contribuições; e a meus tios Ovídio e Clóvis pelo apoio e exemplo de esforço,

mostrando a importância e o potencial do estudo.

Aos meus grandes amigos, de uma vida inteira, Thalysson, Renato, Camila,

Glícia, Clóvis Jr e Raíssa; e aos mais recentes, porém também muito importantes,

Alberto, Jairo, Estéfane, Érica, Gilmar, Zodínio, João e Bruno por toda a ajuda,

companheirismo e apoio em diversos momentos importantes.

Aos mais que amigos, que ultimamente deram muita força durante a redação

da dissertação, me ajudando a vencer todos os obstáculos, Arthur e Hallyjus.

Ao meu amigo, colega e companheiro de muitas aventuras, Paulo Victor, por

todo o apoio, conselhos, dicas, motivação, dentre outras coisas importantes, ao

longo de todas as minhas conquistas desde o ingresso na universidade.

Aos meus mestres, sábios educadores e contribuintes à minha formação

básica e técnica, sendo exemplo de esforço e dedicação à educação. Ao longo da

do período escolar, os professores Honório, José Válter, Lúcia e Cláudio; na vida

acadêmica, dentre tantos exemplos a serem seguidos, os professores Luiz

vii

Alessandro, Maria das Vitórias, Cynthia e o professor e amigo Roberto José, grande

despertador do meu interesse pela área de estruturas e exemplo de dedicação à

educação, em todos os seus aspectos. Também agradeço à professora Jaquelígia,

por todo apoio e dedicação durante o período em que foi minha orientadora e ao

professor Olavo e à professora Ada, excelentes profissionais, destacando-se

também na coordenação do programa, os quais muito contribuíram para meu

desempenho no PEC.

À professora Selma, que desde a graduação muito tem contribuído com

minha vida acadêmica, através do BRAFITEC e disciplina ministrada em estruturas,

pela disponibilidade e orientações ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

À professora, coordenadora, colega, amiga e orientadora Fernanda Mittelbach

(um grande exemplo de dedicação e amor à educação) - única docente da qual

nunca fui aluno em sala de aula, mas que, sem dúvida alguma, figura entre os

mestres que mais contribuíram para minha formação acadêmica - por todo o

aprendizado, apoio, orientações e experiências compartilhadas ao longo do meu

período como aluno de mestrado e professor substituto.

Aos meus antigos superiores, hoje amigos, com quem tive a honra de

trabalhar e aprender bastante durante o período de estágio e pesquisa; em

empresas, Guilherme Fábio, Antônio Medeiros e Daniel Rabelo; na secretaria, Flávio

Eduardo, José Maria e Antônio Tibúrcio.

Aos meus colegas de trabalho, servidores da UFRN, em especial à mestre

Rafaella, pela notável atenção desde minha entrada no PEC, e ao senhor Wilson

Martins, exemplo de profissional, que sempre me atendeu prontamente desde meu

período como aluno de graduação.

A Dona Francisca e a Seu João, por terem me acolhido como filho, dando

toda a assistência possível, no local onde morei durante o período do mestrado.

viii

SUMÁRIO

Lista de figuras.............................................................................................................xi

Lista de tabelas..........................................................................................................xiv

Lista de equações......................................................................................................xvi

Lista de siglas e abreviaturas.....................................................................................xx

Lista de símbolos.......................................................................................................xxi

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................... 1

1.1 Considerações Iniciais ........................................................................................ 1

1.2 Objetivos ............................................................................................................. 3

1.2.1 Objetivos gerais ................................................................................................ 3

1.2.2 Objetivos específicos ........................................................................................ 3

1.3 Organização da dissertação ................................................................................ 3

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................... 4

2.1 Introdução ........................................................................................................... 4

2.2 Hipóteses Básicas ............................................................................................... 4

2.3 Formulação Analítica para Cascas Axissimétricas .............................................. 5

2.3.1 Teoria de Membrana versus Teoria de Flexão ................................................. 6

2.3.2 Teoria de Membrana para Cascas Axissimétricas ........................................... 6

2.3.3 Teoria de Flexão para Cascas Axissimétricas ................................................ 13

2.4 Cascas Cilíndricas Axissimétricas ..................................................................... 20

2.4.1 Equações Governantes para Deslocamentos ................................................ 20

2.4.2 Solicitações de Bordo em Cascas Cilíndricas Circulares ............................... 23

2.5 Solicitações de Bordo em Domos Axissimétricos.............................................. 25

2.6 Formulação para Placas Axissimétricas ............................................................ 27

2.6.1 Expressões para placa apoiada com carga momento de bordo ..................... 29

2.6.2 Expressões para placa apoiada com carregamento lateral uniformemente

distribuído .................................................................................................. 30

ix

2.6.3 Expressões para placa apoiada com carregamento lateral uniformemente

distribuído .................................................................................................. 30

2.7 Solicitação térmica em estruturas de superfície ................................................ 31

2.8 Análise de estruturas formadas por acoplamentos de peças estruturais .......... 32

2.9 Princípio dos Trabalhos Virtuais ........................................................................ 32

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 35

Formulação Numérica do Problema .......................................................................... 35

3.1 Introdução ......................................................................................................... 35

3.2 Deslocamentos e funções de interpolação ........................................................ 37

3.3 Relações deformação-deslocamento ................................................................ 38

3.4 Relação Tensão-deformação ............................................................................ 39

3.5 Trabalho Virtual Interno ..................................................................................... 40

3.6 Trabalho Virtual Externo .................................................................................... 41

3.7 Aplicação do PTV .............................................................................................. 43

3.8 Parâmetros globais e sistema de equações ...................................................... 44

CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 46

4.1 Introdução ......................................................................................................... 46

4.2 Código computacional ....................................................................................... 46

4.2.1 Placas Circulares e Cascas Esféricas ............................................................ 46

4.2.2 Tipos de discretização .................................................................................... 48

4.2.3 Integração numérica ....................................................................................... 49

4.2.4 Representação do erro ................................................................................... 51

4.3 Exemplos de validação ..................................................................................... 52

4.3.1 Peças isoladas e análise da discretização ..................................................... 53

4.3.1.1 Exemplo 1 – Casca Cilíndrica apoiada na base, submetida à pressão

hidrostática e a uma força prescrita por unidade de comprimento ao longo

do perímetro superior.................................................................................53

x

4.3.1.2 Exemplo 2 – Casca esférica apoiada na base sob atuação de seu peso

próprio........................................................................................................57

4.3.1.3 Exemplo 3 – Placa circular apoiada submetida a carregamento lateral

uniforme, variação uniforme de temperatura e momento nos bordos........62

4.3.1.4 Exemplo 4 – Casca cônica apoiada na base sob atuação de seu peso

próprio........................................................................................................65

4.3.2 Peças acopladas ............................................................................................ 70

4.3.2.1 Exemplo 5 - Reservatório aberto, apoiado na base e composto por casca

cilíndrica com placa circular na base, submetido ao peso próprio de seus

elementos e à pressão hidrostática............................................................70

4.3.2.2 Exemplo 6 – Estrutura formada por acoplamento entre casca cilíndrica

apoiada na base e casca esférica na parte superior, submetida ao peso

próprio dos elementos e a uma variação uniforme de temperatura...........75

4.3.2.3 Exemplo 7 – Vaso de pressão apoiado, composto por casca cônica e

placa circular na base, submetido a uma pressão interna.........................79

CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 84

CAPÍTULO 6 ............................................................................................................. 86

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 Casca axissimétrica e seus parâmetros característicos ............................. 5

Figura 2.2 Elemento infinitesimal de casca axissimétrica ........................................... 7

Figura 2.3 Geometria, carregamentos de domínio e esforços em casca cônica ......... 9

Figura 2.4 Elemento infinitesimal e deslocamentos após deformação em regime de

membrana ................................................................................................................. 11

Figura 2.5 Raios e eixos de um elemento infinitesimal de casca .............................. 13

Figura 2.6 Resultantes de tensão em elemento infinitesimal de casca ..................... 15

Figura 2.7 Resultantes de tensão não-nulas (provenientes de carregamento que

origina flexão) em um elemento de casca axissimétrica ........................................... 16

Figura 2.8 Elemento infinitesimal e deslocamentos após deformação em regime de

flexão ......................................................................................................................... 19

Figura 2.9 Casca cilíndrica axissimétrica .................................................................. 21

Figura 2.10 Casca cilíndrica circular submetida a solicitações no bordo esquerdo ... 24

Figura 2.11 Solicitações de bordo em domo esférico ................................................ 26

Figura 2.12 (a) Coordenadas cartesianas e polares de um elemento de placa (b)

Esforços solicitantes em um elemento de placa axissimétrica .................................. 28

Figura 2.13 Placa submetida a um momento por unidade de comprimento ao longo

do bordo .................................................................................................................... 29

Figura 2.14 Placa circular simplesmente apoiada submetida a carregamento lateral

uniformemente distribuído ......................................................................................... 30

Figura 2.15 Placa circular simplesmente apoiada submetida a carregamento lateral

uniformemente distribuído ......................................................................................... 30

Figura 3.1 Elemento finito retilíneo ............................................................................ 35

Figura 3.2 (a) Representação contínua da casca (b) Representação da casca como

um agrupamento de troncos de cone ........................................................................ 36

xii

Figura 3.3 (a) Deslocamentos nodais globais e campo de deslocamentos locais do

elemento (b) Forças nodais prescritas e carregamentos de domínio prescritos ....... 42

Figura 3.4 Matriz de rigidez global da casca ............................................................. 44

Figura 3.5 Montagem do vetor global de cargas nodais ............................................ 44

Figura 3.6 Sistema de equações lineares ................................................................. 45

Figura 4.1 Placa axissimétrica maciça ...................................................................... 47

Figura 4.2 Exemplos de discretização (a) casca cônica (b) casca esférica .............. 49

Figura 4.3 Representação e dados do exemplo 4.3.1.1 ............................................ 53

Figura 4.4 Deslocamento w na casca cilíndrica ........................................................ 56

Figura 4.5 Diagrama de Mx da casca cilíndrica......................................................... 56

Figura 4.6 Representação e dados do exemplo 4.3.1.2 ............................................ 57

Figura 4.7 Deslocamento w da casca esférica ......................................................... 60

Figura 4.8 Diagrama de Mx da casca esférica ......................................................... 61

Figura 4.9 Diagrama de Nx da casca esférica........................................................... 61

Figura 4.10 Representação e dados do exemplo 4.3.1.3 .......................................... 62

Figura 4.11 Deslocamento u na placa ....................................................................... 64

Figura 4.12 Diagrama de Mr da placa ....................................................................... 64

Figura 4.13 Diagrama de Nr da placa ....................................................................... 65


Figura 4.15 Diagrama de Ms da casca cônica ......................................................... 68

Figura 4.16 Diagrama de Ns da casca cônica ........................................................... 68

Figura 4.17 Deslocamento w na casca cônica .......................................................... 69


Figura 4.19 Diagrama de Mx da casca cilíndrica ....................................................... 73

Figura 4.20 Diagrama de Nx da casca cilíndrica ....................................................... 73


xiii

Figura 4.22 Situação deformada do reservatório ...................................................... 74


Figura 4.24 Diagrama de Nφ da casca esférica ........................................................ 77

Figura 4.25 Diagrama de Mx da casca cilíndrica ....................................................... 78

Figura 4.26 Diagrama de Nx da casca cilíndrica ....................................................... 78

Figura 4.27 Situação deformada do acoplamento ..................................................... 79


Figura 4.29 Diagrama de Ms da casca cônica .......................................................... 82


Figura 4.31 Diagrama de Mr da placa circular........................................................... 83

Figura 4.32 Situação deformada do vaso de pressão ............................................... 83

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Erro (%) da Matriz de Rigidez para 2 pontos de Gauss .......................... 50

Tabela 4.2 Erro (%) da Matriz de Rigidez para 4 pontos de Gauss .......................... 51

Tabela 4.3 Discretizações utilizadas no exemplo 4.3.1.1 .......................................... 54

Tabela 4.4 Valores máximos de w ............................................................................ 54

Tabela 4.5 Valores máximos de Mx .......................................................................... 54

Tabela 4.6 Discretizações utilizadas no exemplo 4.3.1.2 .......................................... 57

Tabela 4.7 Valores máximos de w ............................................................................ 58

Tabela 4.8 Valores máximos de Mφ .......................................................................... 58

Tabela 4.9 Valores máximos de Nφ ........................................................................... 58

Tabela 4.10 Discretizações utilizadas no exemplo 4.3.1.3 ........................................ 62

Tabela 4.11 Valores máximos de u ........................................................................... 63

Tabela 4.12 Valores máximos de Mr ......................................................................... 63

Tabela 4.13 Valores máximos de Nr ......................................................................... 63


Tabela 4.15 Valores máximos de w .......................................................................... 66

Tabela 4.16 Valores máximos de Ms ........................................................................ 66

Tabela 4.17 Valores máximos de Ns ......................................................................... 67




Tabela 4.21 Valores máximos de Momento .............................................................. 71

Tabela 4.22 Valores máximos de Resultante de Tensões ........................................ 72



xv









xvi

LISTA DE EQUAÇÕES

Equação (2.1) .............................................................................................................. 8

Equação (2.2) .............................................................................................................. 8

Equação (2.3) .............................................................................................................. 8

Equação (2.4) .............................................................................................................. 8

Equação (2.5) .............................................................................................................. 9

Equação (2.6) .............................................................................................................. 9

Equação (2.7) ............................................................................................................ 10

Equação (2.8) ............................................................................................................ 10

Equação (2.9) ............................................................................................................ 10

Equação (2.10) .......................................................................................................... 11

Equação (2.11) .......................................................................................................... 12

Equação (2.12) .......................................................................................................... 12

Equação (2.13) .......................................................................................................... 12

Equação (2.14) .......................................................................................................... 12

Equação (2.15) .......................................................................................................... 12

Equação (2.16) .......................................................................................................... 12

Equação (2.17) .......................................................................................................... 14

Equação (2.18) .......................................................................................................... 14

Equação (2.19) .......................................................................................................... 14

Equação (2.20) .......................................................................................................... 15

Equação (2.21) .......................................................................................................... 15

Equação (2.22) .......................................................................................................... 17

Equação (2.23) .......................................................................................................... 17

xvii

Equação (2.24) .......................................................................................................... 17

Equação (2.25) .......................................................................................................... 18

Equação (2.26) .......................................................................................................... 18

Equação (2.27) .......................................................................................................... 18

Equação (2.28) .......................................................................................................... 19

Equação (2.29) .......................................................................................................... 20

Equação (2.30) .......................................................................................................... 20

Equação (2.31) .......................................................................................................... 21

Equação (2.32) .......................................................................................................... 22

Equação (2.33) .......................................................................................................... 22

Equação (2.34) .......................................................................................................... 22

Equação (2.35) .......................................................................................................... 22

Equação (2.36) .......................................................................................................... 22

Equação (2.37) .......................................................................................................... 22

Equação (2.38) .......................................................................................................... 23

Equação (2.39) .......................................................................................................... 23

Equação (2.40) .......................................................................................................... 23

Equação (2.41) .......................................................................................................... 24

Equação (2.42) .......................................................................................................... 24

Equação (2.43) .......................................................................................................... 25

Equação (2.44) .......................................................................................................... 25

Equação (2.45) .......................................................................................................... 25

Equação (2.46) .......................................................................................................... 27

Equação (2.47) .......................................................................................................... 27

Equação (2.48) .......................................................................................................... 28

Equação (2.49) .......................................................................................................... 29

xviii

Equação (2.50) .......................................................................................................... 29

Equação (2.51) .......................................................................................................... 30

Equação (2.52) .......................................................................................................... 30

Equação (2.53) .......................................................................................................... 31

Equação (2.54) .......................................................................................................... 31

Equação (2.55) .......................................................................................................... 31

Equação (2.56) .......................................................................................................... 33

Equação (2.57) .......................................................................................................... 33

Equação (2.58) .......................................................................................................... 33

Equação (2.59) .......................................................................................................... 34

Equação (3.1) ............................................................................................................ 37

Equação (3.2) ............................................................................................................ 37

Equação (3.3) ............................................................................................................ 37

Equação (3.4) ............................................................................................................ 37

Equação (3.5) ............................................................................................................ 38

Equação (3.6) ............................................................................................................ 38

Equação (3.7) ............................................................................................................ 38

Equação (3.8) ............................................................................................................ 38

Equação (3.9) ............................................................................................................ 38

Equação (3.10) .......................................................................................................... 38

Equação (3.11) .......................................................................................................... 39

Equação (3.12) .......................................................................................................... 39

Equação (3.13) .......................................................................................................... 39

Equação (3.14) .......................................................................................................... 39

Equação (3.15) .......................................................................................................... 39

Equação (3.16) .......................................................................................................... 40

xix

Equação (3.17) .......................................................................................................... 40

Equação (3.18) .......................................................................................................... 40

Equação (3.19) .......................................................................................................... 40

Equação (3.20) .......................................................................................................... 40

Equação (3.21) .......................................................................................................... 40

Equação (3.22) .......................................................................................................... 41

Equação (3.23) .......................................................................................................... 41

Equação (3.24) .......................................................................................................... 41

Equação (3.25) .......................................................................................................... 42

Equação (3.26) .......................................................................................................... 42

Equação (3.27) .......................................................................................................... 43

Equação (3.28) .......................................................................................................... 43

Equação (3.29) .......................................................................................................... 43

Equação (3.30) .......................................................................................................... 43

Equação (3.31) .......................................................................................................... 43

Equação (3.32) .......................................................................................................... 43

Equação (3.33) .......................................................................................................... 43

Equação (3.34) .......................................................................................................... 45

Equação (3.35) .......................................................................................................... 45

Equação ( 4.1) ........................................................................................................... 51

Equação ( 4.2) ........................................................................................................... 52

Equação ( 4.3) ........................................................................................................... 52

xx

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

MDF - Método das Diferenças Finitas

MDFE - Método das Diferenças Finitas Energéticas

MEC - Método dos Elementos de Contorno

MEF - Método dos Elementos Finitos

MEFG - Método dos Elementos Finitos Generalizados

PTV - Princípio dos Trabalhos Virtuais

xxi

LISTA DE SÍMBOLOS

Fundamentação analítica

E - módulo de Elasticidade Longitudinal G - módulo de Elasticidade Transversal

D - migidez Flexional

ν – moeficiente de Poisson

t – espessura

s – distância medida ao longo da geratriz em casca cônica

x, y, z – comprimentos, coordenadas retangulares

r - raio

r, θ – coordenadas polares

r�, r� – raios de curvatura da superfície média nos planos xz e yz

α – ângulo, coeficiente de dilatação térmica

β – ângulo, parâmetro geométrico de casca cilíndrica

ϕ – ângulo

�, �, �- deslocamentos nas direções x, y e z; deslocamentos axial, tangencial e

radial na superfície das cascas δu - variação da componente de deslocamento u segundo x

δv - variação da componente de deslocamento v segundo y

δw- variação da componente de deslocamento w segundo z

p – intensidade de carga transversal distribuída por unidade de área, pressão

M – carga momento externa por unidade de comprimento

xxii

Q – carga força externa transversal por unidade de comprimento

N – carga força externa normal por unidade de comprimento

T – temperatura

N�, N�- esforços normais por unidade de comprimento nas direções x e y

N�� - esforço cortante por unidade de comprimento no plano xy, paralelo ao eixo y

N�, N – esforços normais radial e tangencial por unidade de comprimento

N!- esforço normal por unidade de comprimento no plano do paralelo

N! - esforço cortante por unidade de comprimento no plano axial e paralelo ao eixo

y de casca cilíndrica N"- esforço normal por unidade de comprimento no plano do paralelo de casca

cônica Q�, Q�- esforços cortantes por unidade de comprimento nos eixos x e y

N�, N – esforços cortantes radial e tangencial por unidade de comprimento

M�, M�- momentos fletores por unidade de comprimento nos eixos x e y

M�� – momento torsor por unidade de comprimento no eixo x

M�, M – momentos fletores radial e tangencial por unidade de comprimento

M� momento torsor por unidade de comprimento no paralelo

M"- momento fletor meridional por unidade de comprimento no paralelo de casca

cônica Q�, Q�- esforços cortantes por unidade de comprimento nos eixos x e y

Q�, Q – esforços cortantes radial e tangencial por unidade de comprimento

Q - esforço cortante por unidade de comprimento no plano perpendicular ao plano

axial de casca cilíndrica Q! - esforço cortante meridional por unidade de comprimento no plano do paralelo

xxiii

σ$, σ% , σ&- componentes de tensão normal nas direções x, y e z

σ�, σ - componentes de tensão normal radial e tangencial

σ! – componente de tensão normal meridional no plano do paralelo

τ$% , τ%$- componentes de tensão cisalhante no plano xy, paralelas às direções x e y

τ$&, τ&$- componentes de tensão cisalhante no plano xz, paralelas às direções x e z

τ%&, τ&%- componentes de tensão cisalhante no plano yz, paralelas às direções y e z

τ� - componentes de tensão cisalhante no plano radial e paralela ao plano

tangencial γ$% , γ%&, γ$&, γ)*- Deformações Angulares nos planos xy, yz, xz e rθ

χ - Mudança de curvatura em cascas

ε$, ε% , ε&- Deformações Específicas nas direções x, y e z

ε) , ε* , ε-- Deformações Específicas radial, tangencial, e do meridiano

ρ�, ρ�, ρ/- componentes nas direções x, y e z das forças de superfície que atuam na

região Sf do contorno onde são prescritas forças B�, B�, B/- componente das forças de volume nas direções x, y e z

δW2 - trabalho virtual das forças internas

δW3 - trabalho virtual das forças externas

Formulação numérica

r(s) – raio ao longo do elemento finito

r6, r7- raios inicial e final do elemento finito

L – comprimento do elemento finito

xxiv

v3 – volume do elemento finito

9: – vetor de deslocamentos globais

923– vetor de deslocamentos locais do nó i

; - matriz de rotação

u2, w2, β2 - deslocabilidades do nó i nas direções globais

u , w - campos de deslocamentos de elemento finito no sistema local

u(s) , w(s) – funções de interpolação linear de classe C= e cúbica de classe C6,

para representação do campo de deslocamentos locais N2>(s) - interpolação linear

N2?(s), N2@(s) - interpolação Hermitiana de ordens 0 e 1

A – matriz de interpolação de deslocamentos locais

A – matriz de interpolação de deslocamentos globais

B – vetor de relação deformação-deslocamento

C – matriz de deformação

D – matriz de elasticidade

E – vetor das resultantes de tensão

E∗ – vetor de tensões antes da integração ao longo a espessura

ΔH – função linear de gradiente de temperatura ao longo da espessura

EI – vetor de solicitações térmicas

JH3 - vetor de ações nodais equivalentes devidas à atuação de um gradiente de

temperatura ao longo da espessura nas direções globais

NK", QK", M" – carregamentos nodais

xxv

J�3 - vetores de forças nodais nas direções locais multiplicadas pelo raio nas

direções locais J�3 - vetores de forças nodais multiplicadas pelo raio nas direções globais

L - vetor de cargas distribuídas aplicadas no domínio do elemento

p", pH - taxas de carregamento paralela e transversal à direção do elemento finito

J3M3 - vetor de forças nodais equivalente multiplicadas pelo raio

J�3 - vetor de forças nodais em coordenadas globais multiplicadas pelo raio

N: - matriz de rigidez do elemento finito em coordenadas globais

N: - matriz de rigidez do elemento finito em coordenadas globais

NO - matriz de rigidez global da estrutura

JO – vetor de cargas global da estrutura

P – vetor de deslocamentos globais da estrutura

JI: - vetor de ações nodais equivalentes devidas à atuação de um gradiente de

temperatura ao longo da espessura nas direções locais

J:Q: - vetor de forças nodais equivalentes nas direções locais

JR: - vetor de forças nodais nas direções locais

Análise de Resultados

E�3S – erro relativo

E�3S(%) – erro relativo em porcentagem

EUV" – erro absoluto

1

CAPÍTULO 1

Introdução

1.1 Considerações Iniciais

As estruturas de superfície delgadas possuem uma variedade de aplicações

no âmbito das engenharias. Como exemplos de utilização de estruturas cascas,

podem ser citados os domos, os cascos de navio e os balões dirigíveis; enquanto as

lajes, os muros de contenção e os discos de turbina são aplicações de placas. Além

disso, as estruturas bi-dimensionais também podem figurar associadas entre si,

como em vasos de pressão, silos e reservatórios.

Em face de sua relevância, as estruturas de superfície têm sido um tema

amplamente estudado. Na literatura clássica, em trabalhos relevantes como os de

Ugural (1981), Timoshenko (1959), Belluzzi (1980) e Flügge (1967), elas são

tratadas com uma abordagem, sobretudo, analítica.

No entanto, o fato de que soluções analíticas podem resultar bastante

complexas (ou até mesmo de impossível determinação) e, por outro lado, o advento

do uso de computação, nos processos de resolução, motivaram a busca por

soluções numéricas para os problemas envolvendo cascas e placas. Dessa forma,

podem-se citar como exemplos de ferramentas numéricas utilizadas na geração de

modelos computacionais, o Método das Diferenças Finitas (MDF), o Método dos

Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Finitos (MEF), sendo este

último, talvez, o mais difundido entre eles.

Em se tratando da utilização de MEF em problemas de cascas delgadas,

conforme citam Bhatia e Sekhon (1999), muitos elementos triangulares planos,

retangulares, cilíndricos e de dupla curvatura estão disponíveis na literatura

publicada. No que diz respeito, especificamente, às cascas delgadas axissimétricas,

Soriano (2003) relata que Grafton e Strome (1963) apresentaram, pioneiramente, a

2

discretização de cascas axissimétricas em troncos de cone (correspondentes a

elementos finitos retilíneos segundo um meridiano da casca) e que Jones e Strome

modificaram a referida concepção considerando elementos curvilíneos segundo o

meridiano.

Ainda de acordo com Bhatia e Sekhon (1999), Percy et al., Klein, Jones e

Strome e Hansteen estenderam a abordagem para cargas assimétricas e Ross

(1984) desenvolveu um elemento de casca cilíndrica e um elemento de casca

axissimétrico de curvatura de meridiano constante.

As placas axissimétricas, as únicas que fazem parte do escopo desta

dissertação, são abordadas em trabalhos como Ross (1974), que aborda elementos

finitos axissimétricos para placas e cascas cilíndricas, Vullo (2010), que propõem um

novo método analítico para avaliação de tensões e deformações elásticas em placas

axissimétricas sólidas ou anulares e Suarez et al. (2012), que investiga o

desempenho da aproximação de uma família de funções de forma polinomiais

racionais compostas, as quais são enriquecidas por um conjunto de monômios de

ordem p para obtenção de aproximações de ordem superior. No presente trabalho, a

análise numérica das placas será desenvolvida a partir da mesma formulação

apresentada em Zienkiewicz (2000) para elemento retilíneo de cascas

axissimétricas.

Outros aspectos da utilização do MEF em problemas de estruturas

axissimétricas também vêm sendo amplamente estudados. Como exemplos, podem

ser citados os trabalhos de Sekhon e Bhatia (2000), que tratam da geração de matriz

de rigidez exata de elementos esféricos de casca; Barros (2002) que aborda a

utilização de métodos sem malha e de Métodos dos Elementos Finitos

Generalizados; Nirschl (2005) que combina o Método dos Elementos Finitos com

técnicas não-convencionais de enriquecimento da aproximação; Mangini (2006) que

utiliza o Método dos Elementos Finitos Generalizados para análise de estruturas em

casca de revolução e Vieira (2007) que faz uma comparação entre MEF e Método

das Diferenças Finitas Energéticas (MDFE) na análise de cascas cilíndricas

axissimétricas.

3

1.2 Objetivos

1.2.1 Objetivos gerais

A presente dissertação tem por objetivo geral apresentar o potencial da

utilização de uma formulação numérica com elemento finito retilíneo na análise de

estruturas de superfície axissimétricas, sendo estas compostas por peças isolados

ou por membros compatibilizados entre si.

1.2.2 Objetivos específicos

O trabalho apresenta como objetivos específicos:

1) Elaborar e implementar um código computacional para análise de

estruturas de superfície delgadas axissimétricas utilizando-se uma formulação

numérica baseada no MEF, a qual considera um elemento retilíneo inclinado.

2) Através do código desenvolvido, analisar e quantificar os efeitos das aões

externas nas peças estruturais, em termos de deslocamentos e esforços internos,

levando em conta suas condições de vinculação, comparando os resultados obtidos

com soluções analíticas, visando à sua validação.

1.3 Organização da dissertação

O texto da presente dissertação está organizado em 6 capítulos. No Capítulo

2, apresenta-se a fundamentação analítica do problema, obtida da literatura, a qual

servirá de base tanto para obtenção dos resultados analíticos utilizados na

dissertação quanto para formulação numérica do capítulo subsequente.

Em seguida, no Capítulo 3, desenvolve-se a formulação numérica que será

utilizada na elaboração do código computacional e, no Capítulo 4, são apresentados

e analisados os resultados obtidos através do referido código.

Por fim, no Capítulo 5, abordam-se as conclusões e propostas de

continuidade para a pesquisa e, no Capítulo 6, são listadas as referências utilizadas.

4

CAPÍTULO 2

Fundamentação Analítica

2.1 Introdução

Neste capítulo, será apresentada a fundamentação analítica que servirá de

base para o desenvolvimento da formulação numérica e a obtenção dos resultados

analíticos utilizados na validação dos resultados numéricos fornecidos pelo código

computacional desenvolvido.

Inicialmente, são descritas as hipóteses básicas adotadas. Em seguida, são

apresentadas as formulações para cascas e placas axissimétricas e aborda-se

compatibilidade entre os elementos isolados quando de seu acoplamento. O capítulo

se encerra com uma abordagem sobre o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), que

servirá de base para a formulação numérica apresentada no capítulo subseqüente.

2.2 Hipóteses Básicas

No presente trabalho serão analisadas cascas e placas axissimétricas

delgadas e de espessura constante e as seguintes hipóteses básicas serão

adotadas:

1 - Admite-se que as placas e cascas são delgadas, apresentam linearidade

geométrica e são constituídas por material homogêneo, isótropo e com linearidade

física (obedece à lei de Hooke generalizada).

2 - Linhas retas, normais à superfície média antes da deformação,

permanecem retas, normais à superfície média e inalteradas em seu comprimento

após a deformação. (hipóteses de Kirchhoff da Teoria de Placas e de Kirchhoff-Love

da Teoria de Cascas).

5

3 - A componente de tensão normal (geralmente designada por σz) na direção

perpendicular à superfície média é pequena em relação às demais componentes de

tensões normais e pode ser desprezada.

2.3 Formulação Analítica para Cascas Axissimétricas

A Figura 2.1 ilustra um exemplo geral de casca axissimétrica e seus

parâmetros característicos: eixo de revolução, meridiano, paralelo, raios e

respectivos ângulos. A seguir, serão abordados os tipos de esforços predominantes

em face das solicitações (de membrana ou de flexão) e, posteriormente,

apresentadas as equações diferenciais a partir das quais se obtém as expressões

de cálculo de resultante de tensões, deslocamentos e deformações em problemas

de estruturas axissimétricas.

θr0

dθ

A

B

C

D

r2

r1 φ

dφ

Paralelo

Meridiano

Eixo de revolução

Figura 2.1 Casca axissimétrica e seus parâmetros ca racterísticos

6

2.3.1 Teoria de Membrana versus Teoria de Flexão

A análise de estruturas em casca geralmente envolve duas teorias distintas,

comumente aplicadas, a Teoria de Membrana e a Teoria de Flexão. A primeira

normalmente se aplica a uma grande extensão do domínio da casca. Uma

membrana é incapaz de absorver esforços do tipo momento de flexão e força

cortante, transmitindo apenas esforços de tração ou compressão na direção da

superfície média.

A Teoria de Flexão (ou Teoria Geral) inclui os efeitos da flexão e, dessa

forma, permite o tratamento de descontinuidades na distribuição de tensões, as

quais ocorrem em uma região limitada, no entorno de uma carga ou de uma

descontinuidade estrutural. Esta teoria geralmente compreende a solução de

membrana corrigida nas áreas onde os efeitos de descontinuidade são

pronunciados. Entretanto, é importante explicar que não se obtém um melhoramento

da solução de membrana, mas a possibilidade de analisar as tensões e

deformações devido às solicitações de bordo ou cargas concentradas, o que não

poderia ser feito pela aplicação da referida teoria isolada.

Deve-se salientar ainda que os esforços de membrana são independentes da

flexão e também que são totalmente determinados pelas condições de equilíbrio

estático.

2.3.2 Teoria de Membrana para Cascas Axissimétricas

2.3.2.1 Esforços de Membrana

Em cascas axissimétricas submetidas a carregamentos distribuídos no

domínio, considera-se a não ocorrência de esforços cisalhantes e, portanto, há

somente dois tipos de esforços (por unidade de comprimento) como incógnitas a se

determinar, N e N!. As equações para cálculo desses esforços são obtidas a partir

de duas condições de equilíbrio.

A Figura 2.2 mostra diferentes vistas de um elemento infinitesimal isolado a

partir de uma casca axissimétrica, como a da Figura 2.1. Pela condição de simetria,

os esforços de membrana e o carregamento não variam com a coordenada θ. Os

7

carregamentos distribuídos no domínio são representados pelas componentes p� e p/, nas direções y e z, respectivamente.

No equilíbrio de forças na direção z devem ser consideradas as componentes

provenientes tanto do carregamento de domínio quanto do carregamento de

contorno nesta direção.

x

pyB

D

A

C

r2

θ

dθ

Nφ dNφdφ

dφ+

Nφ

r1

y

r1

dφ φ

z

pz

Nθ

Nθ

φ0

r2

φdφ

r1Nφ dφdθ

Figura 2.2 Elemento infinitesimal de casca axissimé trica

8

Dessa forma, obtém-se:

N!r= + N r6 sen ϕ + p/r=r6 = 0 (2.1)

Esta expressão pode ser reapresentada como:

N!r6 + N r7 = −p/ (2.2)

O equilíbrio de forças na direção y fornece:

ddϕ ^N!r=_ − N r6 cos ϕ = −p�r=r6 (2.3)

Utilizando-se (2.2) em (2.3) e fazendo-se as devidas manipulações, obtém-se,

finalmente:

N! = − 1r7 sen7(ϕ) cd r6r7^p/ cos ϕ + p� sin ϕ_ sen ϕ dϕ + cf (2.4)

Onde a constante c = r=senϕgN!h, representa os efeitos das cargas que

podem ser aplicadas na casca. Dessa forma, se a casca for aberta no topo, c

associa-se à solicitação de bordo prescrita N!i, e se for fechada, r= = 0 e,

portanto, c = 0.

Assim, através de (2.2) e (2.4) é possível se determinar N! e N cujos

valores, quando divididos pela espessura, resultam nas tensões normais σ! e σ . A

seguir, são desenvolvidas aplicações destas expressões em cascas axissimétricas

de formas usuais.

2.3.2.2 Resultante de Tensões na casca esférica

Para cascas esféricas, pode-se utilizar o conceito de raio médio, dado por a = r6 = r7. Dessa forma, através de (2.2) e (2.4), obtém-se para as resultantes de

tensões:

9

N! + N = −p/a

N! = − 1a sin7(ϕ) cd a7^p/ cos ϕ + p� sin ϕ_ sen ϕ dϕ + cf (2.5)

A partir destas equações, substituindo-se os valores dos carregamentos de

domínio e das cargas prescritas, obtém-se as expressões de cálculo de N! e N ao

longo da casca esférica.

2.3.2.3 Resultante de tensões na casca cônica

Neste tipo de geometria, o ângulo ϕ é constante (sendo r6 = ∞) e não pode

ser usado como coordenada do meridiano. Utiliza-se, portanto, a coordenada s (

geralmente medida a partir do vértice) para referenciar os pontos da superfície

média ao longo da linha geratriz (Figura 2.3).

Assim, obtém-se para o comprimento de um elemento meridional:

ds = r6dϕ ⇒ ddϕ = r6 dds (2.6)

pz

py

s

N s

N s

r2

rb

φ

φ

ds

ds

s

Figura 2.3 Geometria, carregamentos de domínio e es forços em casca cônica

10

Tem-se ainda:

rV = L cos ϕ r7 = s cot ϕ

N! = N"

(2.7)

Essas relações, sendo introduzidas nas equações (2.2) e (2.3), após

integração resultam em:

N = − p/rVsin ϕ

N" = − 1s d^p� + p/ cot ϕ_sds

(2.8)

onde rV é o raio médio da base e as componentes p� e p/ se referem às direções s

e radial, respectivamente.

2.3.2.4 Resultante de tensões na casca cilíndrica c ircular

Para se obter as expressões de cálculo das resultantes de tensões da casca

cilíndrica circular, pode-se fazer ϕ = π 2⁄ , p/ = p� e raio médio a = rV (constante)

nas equações para casca cônica, donde se obtém:

N" = N� = − d p�dx + c6

N = −p�a

(2.9)

onde c6 se é determinada através de condições de contorno.

2.3.2.5 Deformações e Deslocamentos em Regime de Me mbrana

Considere-se o segmento pq, de comprimento r6dϕ na direção do

meridiano, representativo de um elemento infinitesimal em uma casca não

restringida (Figura 2.4).

11

Os deslocamentos na direção da tangente ao meridiano e na direção normal à

superfície média serão denominados, respectivamente, � e �. Após a deformação, pq é deslocado para a posição prqr. Na análise aqui desenvolvida, será

empregada a hipótese de pequenas mudanças de configuração, de modo que

termos infinitesimais de ordem superior serão desprezados.

r0

A

r1

φ

v

dwdφ

dφ+w

B'

BA'

w

r1

dvdφ

dφ+v

dφ

Figura 2.4 Elemento infinitesimal e deslocamentos a pós deformação em regime de membrana

A deformação total sofrida por um elemento infinitesimal de comprimento r6dϕ pode ser entendida como um aumento de (d� dϕ⁄ )dϕ (devido aos

deslocamentos tangenciais) e uma diminuição de �dϕ (originada pelo deslocamento

radial �) neste.

A componente de deformação específica meridional ε!, que corresponde à

deformação total por unidade de comprimento do elemento pq é, portanto, dada

por:

ε! = 1r6d�dϕ − �r6 (2.10)

12

Da mesma maneira, pode-se tratar a deformação de um elemento de círculo

(que corresponde a um paralelo). É possível mostrar que o aumento no raio r= da

circunferência, produzido pelos deslocamentos � e � vale �cosϕ − �sinϕ.

Uma vez que a circunferência do paralelo se expande proporcionalmente ao

seu raio, obtém-se, para a deformação específica circunferencial:

ε = (�cosϕ − �senϕ) (2.11)

sendo r= = r7 sin ϕ, a expressão (2.11) pode ser reescrita como:

ε = 1r7 (�cotϕ − �) (2.12)

Manipulando-se algebricamente (2.10) e (2.12), chega-se à seguinte equação:

d�dϕ − �cotϕ = r6ε! − r7ε (2.13)

As componentes de deformação específica estão relacionadas às tensões de

membrana pela Lei de Hooke, de modo que:

ε! = 1E (σ! − νσ ) (2.14)

onde E é o módulo de elasticidade longitudinal do material da casca.

Introduzindo-se (2.14) em (2.13), obtém-se:

d�dϕ − �cotϕ = 1E sσ!(r6 + νr7) − σ (r7 + νr6)t = u(ϕ) (2.15)

Observa-se que os deslocamentos de uma casca axissimétrica podem ser

determinados integrando-se (2.15), quando as tensões de membrana são

conhecidas. A referida equação tem como solução:

� = vd u(ϕ)senϕ dϕ + c∗w senϕ (2.16)

13

A constante de integração c∗ é determinada a partir de uma condição de

contorno. Uma vez determinada a expressão de �, a equação para cálculo de � é

obtida a partir de (2.10) ou (2.12).

2.3.3 Teoria de Flexão para Cascas Axissimétricas

Através da Teoria de Membrana nem sempre é possível se obter soluções

compatíveis com as condições reais de deformação. A referida teoria também

apresenta limitações quanto à determinação do estado de tensões nos contornos da

casca. Esses problemas são resolvidos através da aplicação da Teoria de Flexão, a

qual considera a atuação simultânea de esforços de membrana, esforços cortantes e

momentos de flexão na casca.

2.3.3.1 Equações Constitutivas

Considerem-se os eixos e raios ilustrados na Figura 2.6.

rxry

C

D

A

B

O

dsydsx

t z

z

xy

Figura 2.5 Raios e eixos de um elemento infinitesim al de casca

14

As relações tensão-deformação (para σ/ = 0) são dadas pela Lei de Hooke

generalizada:

σ� = E1 − ν7 (ε� + νε�)

σ� = E1 − ν7 (ε� + νε�)

τ�� = γ��G

(2.17)

onde τ�� é a tensão cisalhante (paralela à direção de y) no plano xy, γ�� é a

deformação angular no plano xy e os parâmetros G e ν são, respectivamente, o

módulo de elasticidade transversal e o coeficiente de Poisson do material da

estrutura.

Sendo ε�i a deformação unitária da superfície média na direção x, χ� e χ� as

mudanças de curvatura da superfície média em relação aos raios r� e r�,

respectivamente, e χ�� a distorção da superfície média, tem-se, segundo Ugural

(1981):

ε� = ε�i − zχ�

ε� = ε�i − zχ�

γ�� = γ��i − 2zχ��

(2.18)

Substituindo-se (2.18) em (2.17), obtém-se:

σ� = E1 − ν7 sε�= + νε�= − z(χ� + νχ�)t σ� = E1 − ν7 sε�= + νε�= − z(χ� + νχ�)t

τ�� = ^γ��i − 2zχ��_G

(2.19)

15

Finalmente, obtém-se as seguintes equações constitutivas, de modo a

relacionar as resultantes de tensão (ilustradas na Figura 2.6) e deformações:

N� = Et1 − ν7 sε�= + νε�=t N� = Et1 − ν7 sε�= + νε�=)t

N�� = N�� = γ��iEt2(1 − ν)

M� = −D(χ� + νχ�)

M� = −D(χ� + νχ�)

M�� = M�� = −D(1 − ν)χ��

(2.20)

onde t é a espessura e D a rigidez flexional da casca, definida por:

D = Etx12(1 − ν7) (2.21)

My Ny

Myx

NyxNxyMxNx

Mxy

Qx Qy

Figura 2.6 Resultantes de tensão em elemento infini tesimal de casca

16

2.3.3.2 Equações de Equilíbrio

Considere-se uma casca axissimétrica de forma geral. As resultantes de

tensões atuando em um ponto da referida casca são apresentadas na Figura 2.7.

Pelas condições de assimetria, somente as resultantes Q!, M , M!, N e N! não se anulam, e os esforços normais N e os momentos fletores M são

independentes de θ (Ugural, 1981).

A

y

C

φ

θdθ

r1

zpp

y

zx

r2

M θ

M θ

BNθ

dφ

1rDM dMφ +

dφφ dφ

Nφ

θN

Q φ

Mφ

+ dQφQdφ

φ dφ

φN dNdφ

φ dφ+

Figura 2.7 Resultantes de tensão não-nulas (proveni entes de carregamento que origina flexão) em um elemento de casca axissimétrica

O desenvolvimento das equações de equilíbrio se procede da mesma maneira

da Teoria de Membrana. A partir do equilíbrio de forças nas direções y e z e do

equilíbrio dos momentos em torno do eixo x, obtém-se as seguintes equações:

17

ddϕ ^N!r=_ − N r6cosϕ − Q!r= + p�r6r= = 0

N!r= + N r6senϕ + ddϕ ^Q!r=_ + p/r6r= = 0

ddϕ ^M!r=_ − Q!r=r6 − M!r6cosϕ = 0

(2.22)

As equações de equilíbrio para cascas axissimétricas de forma usual são

apresentadas a seguir:

a) casca cônica

Para este tipo de casca, anteriormente ilustrada na Figura 2.3, tem-se o

ângulo ϕ constante (sendo r6 = ∞). Assim:

r7 = s cot ϕ

r6dϕ = ds

N! = N" M! = M" (2.23)

Empregando-se estas relações, obtém-se para (2.22):

dds (N"s) − N = −p�s

N + dds (Q"s)cotϕ = −p/scotϕ

dds (M"s) − Q"s − M! = 0

(2.24)

b) casca esférica

Designando-se por a o raio da superfície média, tem-se, para este tipo de

casca, r6 = r7 = a e r= = s. senϕ. Dessa maneira, as equações (2.22) assumem a

seguinte forma:

18

ddϕ ^N!senϕ_ − N cosϕ − Q!senϕ = p�a. senϕ

N!senϕ + N senϕ + ddϕ ^Q!senϕ_ = −p/a. senϕ

ddϕ ^M!r=_ − Q!r=r6 − M!r6cosϕ = 0

(2.25)

c) casca cilíndrica

Fazendo-se s = x = r7tanϕ, ϕ = π 2⁄ e r7 = a em (2.22), obtém-se:

dN�dx + p� = 0

dQ�dx + N a + p� = 0

dM�dx − Q� = 0

(2.26)

2.3.3.3 Equações Governantes para Deslocamentos

No item anterior, observa-se, nas três equações de equilíbrio, a presença de

cinco incógnitas de resultantes de tensão, Q!, M , M!, N e N!. De acordo com

Ugural (1981), para se reduzir o número de incógnitas a três, são utilizadas relações

envolvendo N , N!, M , M! e as componentes de deslocamento � e �, as quais

serão apresentadas a seguir.

As deformações de membrana e os deslocamentos de um ponto da superfície

média estão relacionados pelas equações (2.10) e (2.12), reapresentadas abaixo:

ε! = 1r6d�dϕ − �r6

ε = 1r7 (�cotϕ − �)

(2.27)

19

Através da análise da(2.10) Figura 2.8, obtém-se para as variações de

curvatura:

χ! = 1r6ddϕ ( �r6 + d�r6dϕ)

χ = ( �r6 + d�r6dϕ) cotϕr7

(2.28)

0

φ

A'

vA

v

r1r1

r1

v

r1

0

1

A

r

φ

B

B'

A'

w

dφr1w

r dφdw1

dφdφdw

Figura 2.8 Elemento infinitesimal e deslocamentos a pós deformação em regime de flexão

As equações em (2.22) e (2.29), juntas, conduzem a três expressões com três

incógnitas, �, � e Q!. Por outro lado, usando-se a primeira entre as três equações

resultantes, o esforço cortante Q! pode ser eliminado nas duas últimas. Desse

modo, as expressões em (2.22) ficam reduzidas a duas equações com duas

incógnitas: � e �.

Considerando-se o que foi exposto e levando-se em conta as equações

constitutivas, obtidas em (2.25), chega-se às chamadas Equações Governantes para

Deslocamentos, apresentadas a seguir, as quais são empregadas para tratar o

problema de flexão em cascas:

20

N! = Et1 − ν7 c 1r6 zd�dϕ − w{ + νr7 (�cotϕ − �)f N = Et1 − ν7 c 1r7 (�cotϕ − �) + νr6 zd�dϕ − w{f

M! = −D c 1r6ddϕ z �r6 + d�r6dϕ{ + νr7 ( �r6 + d�r6dϕ)cotϕf

M = −D cz �r6 + d�r6dϕ{ cotϕr7 + νr6ddϕ z �r6 + d�r6dϕ{f

(2.29)

2.4 Cascas Cilíndricas Axissimétricas

2.4.1 Equações Governantes para Deslocamentos

Uma importante aplicação das equações apresentadas no item anterior é feita

no estudo de cascas cilíndricas axissimétricas, que são usualmente empregadas em

reservatórios, silos e contêineres.

Devido à axissimetria do problema, em um elemento de casca cilíndrica de

raio a, atuam somente as resultantes de tensão, Q�, M� e N�, conforme a Figura

2.9. Além disso, as resultantes M e N são independentes de θ. O deslocamento

circunferencial � também resulta nulo e considera-se apenas � e �.

Levando-se em conta estas simplificações, restam apenas três dentre as seis

equações de equilíbrio a serem satisfeitas. Considerando a atuação de um

carregamento como ilustrado na Figura 2.9, o equilíbrio de forças nas direções x e z

e dos momentos em torno do eixo | fornece:

dN�dx + p� = 0

dQ�dx + 1a N + p� = 0

dM�dx − Q� = 0

(2.30)

21

t

a

θ

dθ

dx

BD

ACz,w

y,v

x, u

dθ

A

B

D

Cx, u

dx

NxQ xMx

Mθ

Nθ

θN Mθ

xN dNdx

x dx+

Mx dMx

dxdx+

a

Q x dQ x

dxdx+

pr

px

Figura 2.9 Casca cilíndrica axissimétrica

Da primeira entre as equações de (2.30)(2.29), obtém-se a mesma equação

para N� apresentada em (2.9). Para a determinação de Q� e M�, é necessário

examinar os deslocamentos da superfície média. Com � = 0, as relações

deformação-deslocamento se escrevem:

ε� = d�dx

ε = �a

(2.31)

22

Aplicando-se (2.31) em (2.20):

N� = Et1 − ν7 zd�dx − ν �a { (2.32)

Donde se obtém:

d�dx = 1 − ν7Et N� + ν �a (2.33)

Assim, a partir da Lei de Hooke e das equações em (2.30):

N = − Et1 − ν7 z�a − ν d�dx{ (2.34)

Para os momentos fletores, tem-se:

M� = −D d7�dx7

M = νM�

(2.35)

onde D é a rigidez flexional da casca, definida em (2.21). Utilizando-se as

expressões em (2.30), (2.33), (2.34) e (2.35), obtém-se para uma casca de

espessura t constante:

D d}�dx} + Eta7 � − ν N�a − p� = 0 (2.36)

Em bibliografias como Ugural (1981), Timoshenko (1970) e Billington (1990),

utiliza-se uma apresentação mais conveniente desta expressão, dada por:

d}�dx} + 4β}� − νN�aD = p�D (2.37)

na qual β é um parâmetro geométrico de dimensão L�6, tal que:

23

β} = Et4a7D = 3(1 − ν7)a7t7 (2.38)

As equações (2.33) e (2.37) representam as equações governantes para

deslocamentos de uma casca cilíndrica circular axissimétrica. Quando não houver

carga axial aplicada, N� = 0 e estas equações são simplificadas, resultando em:

d�dx = ν �a

d}�dx} + 4β}� = p�D

(2.39)

A primeira das equações em (2.39), após integração, fornece diretamente o

valor do deslocamento �. A segunda é uma equação diferencial ordinária com

coeficientes constantes, cuja solução é dada por:

� = �� + �� == ��@�(�6cosβx + �7senβx) + ++ ��@�(�xcosβx + �}senβx) + u�(�)

(2.40)

onde �� e �� = u�(�) são, respectivamente, as soluções homogênea e particular

de � e �6, �7, �x e �}, constantes de integração que dependem das condições de

contorno do problema.

2.4.2 Solicitações de Bordo em Cascas Cilíndricas C irculares

As cascas cilíndricas circulares podem ser classificadas, quanto ao seu

comprimento, como longas ou curtas. Segundo Ugural (1981), recebem a

denominação de longas aquelas que apresentam comprimento longitudinal � >(�/�). Neste tipo de casca cilíndrica, o único a ser considerado neste trabalho, as

solicitações em cada bordo são tratadas separadamente, devido à característica

localizada dos efeitos de flexão.

24

Para determinação da expressão de �, será considerado, como exemplo,

uma casca cilíndrica circular longa submetida à ação de um momento de bordo por

unidade de comprimento M6 e de uma força por unidade de comprimento Q6,

ambos aplicados ao longo do bordo x = 0, conforme a Figura 2.10. Neste caso,

como não há pressão p� distribuída sobre a superfície da casca e N� = 0, tem-se

que a solução particular é nula. Uma vez que as forças aplicadas em x = 0

produzem uma flexão local, a qual é amortecida à medida que a distância x (a partir

do bordo carregado) aumenta, conclui-se que o primeiro termo da solução

homogênea em (2.40) deve desaparecer e, portanto, �6 = �7 = 0, obtendo-se:

� = ��@�(�xcosβx + �}senβx) (2.41)

aM

M

Q

Q

zx

Figura 2.10 Casca cilíndrica circular submetida a s olicitações no bordo esquerdo

As duas constantes �x e �} são determinadas pelas condições de contorno

mecânicas no bordo carregado, as quais junto com as equações (2.30) e (2.35)

fornecem:

�M�|��= = −D d7�dx7 = M6

�Q�|��= = �M�� = −D dx�dxx = Q6

(2.42)

25

Donde:

�6 = − 12βxD = (Q6 + βM6)

�7 = M62β7D

(2.43)

Substituindo (2.43) em (2.41), obtém-se para a expressão de �:

� = − ��@�2βxD �βM6(senβx − cosβx) − Q6cosβx� (2.44)

Daí resulta:

M� = ��@�β �βM6(cosβx + senβx) + Q6(senβx)� Q� = ��@��2βM6(senβx) + Q6(cosβx − senβx)� (2.45)

2.5 Solicitações de Bordo em Domos Axissimétricos

De acordo com Billington (1990), na análise de perturbações de bordo em

cascas, os valores de deslocamento � e � e também da rotação do meridiano (que

será aqui designada por ∆-) mais importantes a serem determinados são os dos

próprios bordos. Para o caso de apoio tangencial ao contorno da casca, � = 0 e

apenas � e ∆- devem ser calculados.

Tendo-se em vista a compatibilização dos domos com outras peças, em vez

de � e �, serão levados em conta o deslocamento horizontal ∆� e a rotação do

meridiano ∆�do bordo.

Ainda segundo Billington (1990), as duas equações que resultam da união de

(2.22) e (2.27) podem ser resolvidas analiticamente; entretanto, tais soluções tem

valor limitado e, na maioria dos casos, a aproximação de Geckeler permite o uso da

solução da casca cilíndrica (tratada no item 2.4.2 desta dissertação).

26

a

s

φψ

α

H H

(a)

a

s

φψ

α

Mα Mα

(b) Figura 2.11 Solicitações de bordo em domo esférico

As referidas expressões para a casca cilíndrica podem ser usadas em domos

na determinação de resultantes de tensão, momentos resultantes e deslocamentos

de bordo, desde que se leve em conta a inclinação � (Figura 2.11) do referido bordo.

Considerando-se uma solicitação de bordo H, do tipo força uniformemente

distribuída ao longo do perímetro, como ilustrado na Figura 2.11, tem-se a força

cortante Q6 = H(senα) para utilização das expressões em (2.44) e (2.45). O

27

deslocamento ∆� é obtido a partir do deslocamento radial do bordo �, sendo ∆�= �(senα). A partir dessas considerações e com base na Figura 2.11, tem-se:

N! = ��@"(cosβs − senβs)H(senα)cot(α − ψ)

N = 2��@"(cosβs)βaH(senα)

M! = ��@"senβsβ H(senα)

∆�= 2β a7Et H(sen7α) ∆�= 2β7 a7Et H(senα)

(2.46)

Do mesmo modo, para uma carga momento M� uniformemente distribuída no

bordo (Figura 2.11), tem-se:

N! = −2��@"(senβs)βM�cot(α − ψ)

N = 2��@"(cosβs − senβs)β7aM�

M! = ��@�(cosβs + senβs)M�

∆�= 2β7a7(senα)Et M�

∆�= 4βxaxEt M�

(2.47)

2.6 Formulação para Placas Axissimétricas

As placas axissimétricas tratadas neste trabalho constituirão, essencialmente,

as bases de reservatórios e vasos de pressão, estando submetidas a solicitações

simples de flexão (carregamentos uniformemente distribuídos e momentos ao longo

dos bordos) ou de variação de temperatura.

28

r

dr

θ

y

x

dθ

(a)

y

x

M r

Q rQ θ

M r θM θ r

θM

p

(b)

Figura 2.12 (a) Coordenadas cartesianas e polares d e um elemento de placa (b) Esforços solicitantes em um elemento de placa axissimétrica

Inicialmente, devem ser consideradas as seguintes relações entre

coordenadas cartesianas e polares, conforme Figura 2-12 (a):

x = rcosθ

y = rsenθ

r7 = x7 + y7

tanθ = y/x

(2.48)

29

De acordo com Ugural (1981), sendo q = q(r) e � = �(r), tem-se a

seguinte equação diferencial para o deslocamento transversal �:

1� �� c1� �� z� �� {f� = q(�)D (2.49)

Em relação aos esforços, devido às condições de axissimetria, apenas M), M e Q� não se anulam no elemento infinitesimal de placa, sendo dados por:

M) = −D ��7��7 + � �� ¡

M = −D � �7��7 + 1� �� ¡

Q) = −D ddr ��7��7 + 1� �� ¡

(2.50)

As equações apresentadas em (2.49) e (2.50) são resolvidas mediante

aplicação de condições de contorno geométricas e mecânicas. Tais expressões são

válidas para placas com ou sem furo; entretanto, no âmbito do presente trabalho,

serão abordadas somente estas últimas.

Serão apresentados, a seguir, casos usuais de carregamento para placas

circulares maciças e suas respectivas expressões para o cálculo do deslocamento

transversal � e do momento fletor M� (parâmetros analisados nesta dissertação).

2.6.1 Expressões para placa apoiada com carga momen to de bordo

Considere-se a placa representada na Figura 2.13 a seguir:

r

za a

M o M o

Figura 2.13 Placa submetida a um momento por unidad e de comprimento ao longo do bordo

30

Para a situação acima ilustrada, tem-se:

� = M=(a7 − �7)2D(1 + ν)

M� = M=

(2.51)

2.6.2 Expressões para placa apoiada com carregament o lateral

uniformemente distribuído

Seja a placa representada na Figura 2.14 a seguir:

r

za a

qo

Figura 2.14 Placa circular simplesmente apoiada sub metida a carregamento lateral


Levando-se em conta a situação acima ilustrada, tem-se:

� = q=2D v�}32 − (3 + )¢7�716(1 + ) + (5 + )¢}32(1 + )w M� = q=16 (3 + )(¢7 − �7) (2.52)

2.6.3 Expressões para placa engastada com carregame nto lateral


Considere-se a placa representada na Figura 2.15 a seguir:

a a

q

r

z

o

Figura 2.15 Placa circular engastada submetida a ca rregamento lateral uniformemente

distribuído

31

Para a situação anteriormente ilustrada, tem-se:

� = q=64D (¢7 − �7)7

M� = q=16 �¢7(1 + ) − �7(3 + )� (2.53)

2.7 Solicitação térmica em estruturas de superfície

Para a análise dos efeitos da solicitação térmica em cascas e placas é

necessário desenvolver uma nova formulação da relação tensão-deformação. Dessa

maneira, sendo o problema linear, realiza-se a superposição das deformações

causadas pelas tensões, devidas a carregamentos externos e à solicitação térmica.

Em materiais homogêneos e isotrópicos, uma variação uniforme de

temperatura ΔT = T − T= (sendo T e T= as temperaturas inicial e final,

respectivamente) produz uma deformação específica longitudinal em todas as

direções, chamada deformação térmica, dada pela seguinte expressão:

εH = �Δt (2.54)

As parcelas de tensão originadas pela solicitação térmica são denominadas

tensões térmicas. A relação tensão-deformação para cascas e placas, levando-se

em conta os efeitos da solicitação térmica é expressa, de um modo geral e

considerando-se coordenadas cartesianas, por:

σ� = E(1 − ν7) s¥� − ν¥� − �Δt(1 + )t σ� = E(1 − ν7) s¥� − ν¥� − �Δt(1 + )t (2.55)

A partir da utilização de (2.55) nas formulações apresentadas anteriormente

neste capítulo, é possível quantificar os efeitos da variação de temperatura em

termos de deslocamentos, esforços e tensões.

32

2.8 Análise de estruturas formadas por acoplamentos de peças estruturais

As respostas analíticas para estruturas formadas por peças compatibilizadas

são obtidas através da análise de cada elemento isolado, levando-se em conta tanto

as cargas externas ao sistema do reservatório (peso próprio, pressões internas,

variação de temperatura) quanto os efeitos da vinculação com outras peças, que

atuam como solicitações de bordo (forças e momentos uniformemente distribuídos

ao longo de seu contorno).

A seguir, descreve-se um método de análise usado em Billington (1990), que

será empregado na compatibilização de cascas em regime de membrana:

• inicialmente, considera-se que a solicitação externa é resistida inteiramente

pelas resultantes de tensões de membrana;

• as forças e deslocamentos no contorno das cascas obtidos a partir da teoria

de membrana geralmente não serão compatíveis com as condições de contorno

conhecidas;

• forças e deslocamentos (efeitos de bordo) devem ser aplicados aos contornos

da casca para eliminar as incompatibilidades provenientes da teoria (ou da

aproximação) de membrana.

• a intensidade dos carregamentos de bordo, necessários para eliminação das

referidas incompatibilidades, é determinada através da solução de equações de

compatibilidade ou de equilíbrio nos contornos da casca.

Observa-se que este método reproduz o Método da Flexibilidade,

normalmente usado para cálculo de pórticos, treliças e outras estruturas planas

estaticamente indeterminadas.

O mesmo procedimento será utilizado na compatibilização das placas

axissimétricas bem como das cascas submetidas a esforços de flexão.

2.9 Princípio dos Trabalhos Virtuais

A formulação numérica apresentada no capítulo subseqüente se fundamenta

no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) para o desenvolvimento das equações do

Método dos Elementos Finitos.

O PTV para corpos deformáveis enuncia que se um sistema estrutural em

equilíbrio for submetido a um campo de deslocamentos virtuais cinematicamente

33

admissível (ou seja, compatível com as vinculações do sistema e mantendo a

continuidade interna) o trabalho virtual das forças que sobre ele atuam (forças

externas) é igual ao trabalho virtual das forças internas, Mittelbach (2002). Dessa

forma:

δW2 = δW3 (2.56)

onde, δW2 representa o trabalho virtual das forças internas (ou trabalho virtual

interno) e δW3 o trabalho virtual das forças externas (ou trabalho virtual externo).

Para um sólido no espaço definido por coordenadas cartesianas x, y e z, tem-

se as seguintes expressões gerais para δW2 e δW3:

δW2 = d(σ�δε� + σ�δε� + σ/δε/ + τ��δγ�� + τ�/δγ�/ + +¦ + τ�/δγ�/) dV

(2.57)

δW3 = d^ρ�δu + ρ�δv + ρ/δw_dS +©ª+ d^B�δu + B�δv + B/δw_dV¦

(2.58)

sendo: ρ�, ρ�, ρ/– componentes das forças de superfície que atuam na região Sf do

contorno onde são prescritas forças B�, B�, B/ – componentes das forças de volume

σ�, σ�, σ/, τ��, τ�/, τ�/ – componentes de tensão

δu, δv, δw - variações das componentes de deslocamento (u, v, w) segundo

x, y, z

34

δε�, δε�, δε/, δγ��, δγ�/, δγ�/ – variações das componentes de deformação

As relações deformação-deslocamento fornecem:

δε� = δ z∂u∂x{

δε� = δ z∂v∂y{

δε/ = δ z∂w∂z {

δγ�� = δ z∂v∂x + ∂u∂y{

δγ�/ = δ z∂w∂x + ∂u∂z{

δγ�/ = δ z∂w∂y + ∂v∂z{

(2.59)

Quando da formulação numérica as equações (2.57), (2.58) e (2.59) serão

particularizadas, levando-se em conta os eixos de referência, as hipóteses

simplificadoras utilizadas e as solicitações consideradas no modelo.

35

CAPÍTULO 3

Formulação Numérica

3.1 Introdução

A formulação numérica foi desenvolvida através do Método dos Elementos

Finitos (MEF) com base no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Utilizou-se um

elemento finito retilíneo composto por dois nós e com inclinação ϕ em relação ao

eixo vertical da casca (Figura 3.1), representando a linha geratriz de um tronco de

cone de forma que a casca inteira pode ser descrita como um agrupamento de

troncos de cone, conforme ilustrado na Figura 3.2. Nesta, encontram-se ainda

indicadas as Resultantes de Tensão (esforços internos solicitantes por unidade de

comprimento) a serem consideradas no problema axissimétrico.

Assim, é possível chegar aos modelos de cascas cilíndricas, cônicas,

esféricas e placas circulares, fazendo-se as devidas considerações em cada caso.

Figura 3.1 Elemento finito retilíneo

36

MφNφ

θNMθ

rθ

r1

φ

r2

dφ

x

(a)

MφNφ

θNMθ

θr1

φ

r2

dφ

r

x (b)

Figura 3.2 (a) Representação contínua da casca (b) Representação da casca como um agrupamento de troncos de cone

37

3.2 Deslocamentos e funções de interpolação

As deslocabilidades do nó 1 nas direções globais (u6, w6, e β6), bem como o

campo de deslocamentos do elemento no sistema local (u e w) estão representados

na Figura 3.1. Considerando-se que o elemento finito é composto por 2 nós e que

cada um apresenta 3 graus de liberdade, tem-se ao todo 6 graus de liberdade.

Assim, o vetor de deslocamentos 9: nas direções globais é dado por:

9: = �963973� =¬®̄ u6w6β6u7w7β7 °±

² (3.1)

onde os índices 1 e 2 se referem aos nós inicial e final do elemento,

respectivamente.

A relação entre deslocamentos locais e globais é dada por

9: = ³963973´ = �;963;973� = µ; 00 ;¶ �963973� = ;:9: (3.2)

De forma explícita, para o nó i, tem-se:

923 = · u2w2(dw ds⁄ )2¸ = ¹ cos (ϕ) sen (ϕ) 0−sen(ϕ) cos (ϕ) 00 0 1º »u2w2β2 ¼ = ;923 (3.3)

sendo ; a matriz de rotação de um tensor no plano e ϕ o ângulo de inclinação do

elemento.

Os deslocamentos ao longo do elemento devem ser determinados mantendo-

se a continuidade das rotações e deslocamentos lineares. Utilizam-se as seguintes

funções de interpolação, sendo u(s) linear de classe C= e w(s) cúbica de classe C6, para representar o campo de deslocamentos:

u(s) = N6>(s)u6 + N7>(s)u7 (3.4)

38

w(s) = N6?(s)w6 + N7?(s)w7 + N6@(s)β6 + N7@(s)β7 (3.5)

onde: N6>(s) = 1 − s/L

N7>(s) = s L⁄

N6?(s) = 2sx Lx⁄ − 3s7 L7⁄ + 1

N7?(s) = − 2sx Lx⁄ + 3s7 L7⁄

N6@(s) = sx L7⁄ − 2s7 L⁄ + s

N7@(s) = sx L7⁄ − s7 L⁄

(3.6)

Escrevendo-se a interpolação como

A = µuw¶ = vN2> 0 00 N2? N2@w · u2w2(dw ds⁄ )2¸ = ½2923 = s½¾ ½¿t9: (3.7)

e levando-se em consideração (3.2), tem-se, em função das coordenadas globais:

A = µ uw¶ = ½;:9: = s½¾; ½¿;t9: = ½9: (3.8)

O raio, ao longo do elemento, pode ser calculado como: r(s) = r6 + s. sen (ϕ) (3.9)

Tem-se ainda:

L = À(r7 − r6)7 + (x7 − x6)7 (3.10)

3.3 Relações deformação-deslocamento

Utilizando-se a hipótese de Kirchoff-Love (que exclui deformações

transversais por cisalhamento) e considerando o ângulo ϕ constante (ou seja,

elemento retilíneo), as quatro componentes de deformação, descritas segundo os

deslocamentos locais, são:

39

Á = ·ε"ε χ"χ ¸ = ¬®̄

du ds⁄�w cos(ϕ) + u sen(ϕ)� r⁄−d7w ds7⁄−(dw ds⁄ ) sin (ϕ) r⁄ °±²

(3.11)

A partir de (3.11) e utilizando (3.7), define-se a matriz de deformação C, tal

que: Á = C93 = sC6; C7;t93 (3.12)

Sendo:

C2 =ÂÃÃÃÃÄ

dN2> ds ⁄ 0 0N2> sin(ϕ) r ⁄ N2? cos(ϕ) r⁄ N2@ cos(ϕ) r⁄0 −d7 N2? ds7⁄ −d7 N2@ ds7⁄ 0 −(dN2? ds⁄ ) sin(ϕ) r⁄ − ÅdN2@ ds⁄ Æ sin(ϕ) r⁄ ÇÈÈÈÈÉ (3.13)

3.4 Relação Tensão-deformação

As resultantes de tensão, ilustradas na Figura 3.2, se relacionam com as

deformações pela matriz de elasticidade D, de modo que:

E = ÊN"N M"M Ë = DÁ (3.14)

Para uma casca de material linear isotrópico, a matriz de elasticidade é dada

por:

D = Et1 − ν7 Ì1 νν 1 0 00 00 00 0 t7 12⁄ ν t7 12⁄ν t7 12⁄ t7 12⁄ Í (3.15)

sendo E e ν, respectivamente, o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente

de Poisson do material da casca e t a sua espessura.

40

3.5 Trabalho Virtual Interno

O trabalho virtual interno, para o modelo em questão, pode ser escrito como

δW2 = d E∗ δÁ dV3¦Î (3.16)

que, em sua forma matricial, se torna:

δW2 = d δÁ;E∗ dV3ÏÎ = d d δÁ;E∗dzdA3ÑÒÓÑÒÔÎ (3.17)

onde v3 é o volume do elemento e E∗ o vetor de tensões (antes da integração ao

longo da espessura), o qual, levando em conta os efeitos da variação de

temperatura, considerada uma função linear ao longo da espessura, é dado por:

E∗ = · σ"σ σ". zσ . z¸ = DÁ − EI∗ = DÁ − E ∝1 − Ö Ê ΔHΔH−ΔH. z−ΔH. zË (3.18)

onde:

ΔH = ΔH2 + ΔH32 + ×t (ΔH2 − ΔH3) (3.19)

Após integração ao longo da espessura, obtém-se:

d δÁ;(DÁ − EI) 2πr(s)dsØ= (3.20)

onde:

EI = E ∝1 − Ö¬®̄

ΔH2 + ΔH32 tΔH2 + ΔH32 t− (ΔH2 − ΔH3)12 t7− (ΔH2 − ΔH3)12 t7°

±²

(3.21)

41

Substituindo (3.2), (3.11), (3.12) e (3.13), obtém-se:

δW2 = 2π vd δ(93)ÙC;DC93r(s)ds − d δ(93)ÙC;EIr(s)dsØ=

Ø= w ⇒

δW2 = 2πδ(93)Ù vd C;DC93r(s)ds − JH3Ø= w

(3.22)

onde JH3 é o vetor de ações nodais equivalentes devidas à atuação de um gradiente

de temperatura ao longo da espessura, dado por:

JH3 = d C;EIr(s)dsØ= (3.23)

3.6 Trabalho Virtual Externo

O trabalho virtual externo, segundo (2.58) e levando-se em conta os sistemas

de coordenadas indicados na Figura 3.2, as hipóteses simplificadoras e as

solicitações consideradas no modelo, se escreve:

δW3 = d(p"δuÚ + pHδwK)2πr(s)dsØ=

+ 2π cr(s) zNK"δu + QK"δwK − M"δ dwKdx {f=Ø

(3.24)

(a)

42

(b)

Figura 3.3 (a) Deslocamentos nodais globais e campo de deslocamentos locais do elemento (b) Forças nodais prescritas e carregamentos de domínio prescritos

Deve-se observar que na expressão (3.24) todos os parâmetros se referem

ao sistema local. Matricialmente, obtém-se:

δW3 = 2π Ûd δAÙLr(s)dsØ= + δ^93_ÙJ�3Ü =

= 2πδ(93)Ù Ûd ;Ù½Lr(s)dsØ= + ;Ù;J�3Ü

(3.25)

sendo J�3 e J�3 os vetores de forças nodais multiplicadas pelo raio nas direções

locais e globais, respectivamente, e L o vetor de cargas distribuídas aplicadas no

domínio do elemento. Os dois últimos são dados por:

J�3 = �J63r6J73r7� =¬®̄N6r6Q6r6M6r6N7r7Q7r7M7r7°±

² = ³J�36J�37´

L = µp"pH¶

(3.26)

43

onde r6, r7, p" e pH são, respectivamente, os raios inicial e final e as taxas de

carregamento paralela e transversal à direção do elemento, esta última variando

linearmente ao longo do comprimento, sendo dada pela expressão: pH = pH7 − pH6L s + pH6 (3.27)

Após a integração e manipulações algébricas, chega-se à seguinte

expressão: δW3 = 2πδ(9:)ÙsJ3M3 + J�3t (3.28)

onde J3M3 e J�3 são, respectivamente, o vetor de forças nodais equivalente e o vetor

de forças nodais (multiplicadas pelo raio).

3.7 Aplicação do PTV

A aplicação do PTV, através da igualdade entre as expressões (3.22) do TVI

e (3.28) do TVE, fornece:

d C;DC93r(s)dsØ= = J3M3 + J�3 + JH3 (3.29)

Do primeiro membro da equação, obtém-se a matriz de rigidez do elemento N:, em coordenadas globais:

N: = d C;DCr(s)dsØ= (3.30)

Podendo também ser expressa por:

N: = ;ÙN:; (3.31)

onde N:é a matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais, dada por:

N: = d C;DC(s)r(s)dsØ= (3.32)

Assim, a equação (3.29) é reescrita como: N:93 = J3M3 + J�3 + JH3 (3.33)

44

3.8 Parâmetros globais e sistema de equações

Uma vez obtidos os parâmetros locais dos elementos, matrizes de rigidez e

vetores de ações nodais, parte-se para a obtenção dos parâmetros globais, através

da superposição das contribuições de cada elemento. Assim, a matriz de rigidez

global da estrutura, NO, é obtida conforme ilustrado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Matriz de rigidez global da casca

O mesmo procedimento é utilizado em relação ao vetor de cargas global, JO,

que leva em conta o vetor de forças prescritas na estrutura e os vetores de forças

equivalentes nodais de todos os elementos. A Figura 3.5 ilustra esse processo.

J�3 J3M3 + JH3 JO

Figura 3.5 Montagem do vetor global de cargas nodai s

45

Uma vez obtidos a matriz de rigidez global e o vetor de cargas global, chega-

se a um sistema de equações lineares (Erro! Fonte de referência não

encontrada. ) expresso por:

NOP = JO NOP = JO (3.34)

UUUU 1111UUUU 2222UUUU 3333

UUUU NNNN

NO P JO

Figura 3.6 Sistema de equações lineares

A sua resolução é feita através do Método de Gauss impondo-se,

previamente, as condições de contorno cinemáticas, as quais dependem do tipo de

vinculação externa da casca. As referidas condições são introduzidas através da

técnica dos zeros e uns, conforme utilizado em Mittelbach (2002).

Uma vez resolvido o sistema, ou seja, obtido o vetor P de deslocamentos da

estrutura, constrói-se, para cada elemento, o respectivo vetor de deslocamentos

nodais. Dessa maneira, podem-se calcular os esforços nos elementos através da

expressão:

JR: = N:9: − J:Q: − JI: (3.35)

onde todos os parâmetros se referem ao sistema local de coordenadas.

A partir da formulação apresentada neste capítulo, desenvolveu-se um código

computacional e os resultados obtidos, bem como a verificação de sua acurácia, são

apresentados no Capítulo 4, a seguir.

46

CAPÍTULO 4

Apresentação e Análise dos Resultados

4.1 Introdução

Neste capítulo, são abordados aspectos sobre o desenvolvimento e

funcionamento do código computacional, tais como a integração numérica e os tipos

de discretização utilizados nos problemas.

Em seguida, trata-se da validação de resultados, onde serão analisados

diferentes exemplos de estruturas axissimétricas, tendo-se soluções analíticas como

valores referência para análise do erro. Por fim, serão analisados exemplos de

peças acopladas.

4.2 Código computacional

A ferramenta computacional desenvolvida neste trabalho teve como base a

formulação numérica apresentada no Capítulo 3, implementada através da

linguagem de programação FORTRAN 95. A seguir, são explicados alguns aspectos

da rotina da ferramenta desenvolvida.

4.2.1 Placas Circulares e Cascas Esféricas

Na formulação do capítulo anterior, cada elemento finito apresenta uma

inclinação ϕ, constante ao longo de seu comprimento. Assim, considerando-se a

axissimetria e mantendo-se constante o ângulo ϕ de todos os elementos ao longo

da seção transversal da casca, obtém-se a geratriz de um tronco de cone. Se o

referido ângulo apresentar valor nulo ou igual a – π, a geratriz representará uma

casca cilíndrica. Do mesmo modo, se o ângulo ϕ for igual a π/2 ou a – π/2, a

geratriz descreve uma placa axissimétrica.

47

Uma abordagem analítica tratando da obtenção de modelos de placas e

cascas cilíndricas axissimétricas a partir de uma formulação geral para cascas

cônicas pode ser encontrada em Rodrigues (2009). No que diz respeito a métodos

numéricos, Bhatia e Sekhon (1999) mencionam que Ross desenvolveu um elemento

cilíndrico de casca e um elemento de casca axissimétrico com curvatura meridional

constante.

Sobre a discretização de cascas esféricas e outras superfícies axissimétricas

curvas, levou-se em conta, nesta dissertação, o que é explicado em Zienkiewicz e

Taylor (2000); Segundo eles, através da formulação para elemento retilíneo

abordada neste trabalho, a continuidade entre os elementos de casca é sempre

satisfeita e, portanto, para uma casca axissimétrica com meridiano poligonal sempre

haverá convergência.

Nos modelos de estruturas axissimétricas obtidos pela formulação utilizada

nesta dissertação, existe ainda uma limitação de outra natureza, relacionada à

continuidade geométrica das estruturas. Em decorrência dela, placas axissimétricas

geometricamente contínuas em seu centro, cúpulas esféricas sem abertura na parte

superior, entre outros exemplos de estruturas de superfície com geometria contínua

em seu eixo de revolução, apresentam uma restrição no cálculo dos esforços

internos.

Tomando-se como exemplo a placa axissimétrica da Figura 4.1, devido ao

problema de continuidade citado, não é possível calcular os esforços internos do nó

de coordenada r = 0.

Figura 4.1 Placa axissimétrica maciça

Isso ocorre porque os esforços internos apresentam dimensão de força (ou

momento) dividida por unidade de comprimento, sendo necessário, durante o

procedimento descrito no item 3.8, que se efetue uma divisão pelo raio referente à

r

za a

qo

48

posição do elemento. Assim, na implementação numérica, em r = 0, ocorre uma

divisão por zero, gerando uma indeterminação no resultado.

Tal incompatibilidade ocorre somente no cálculo dos esforços internos, e na

seção central da estrutura, de coordenada global z = 0. Desse modo e, sabendo-se

também que essa indeterminação não ocorre nas respostas analíticas de referência,

testou-se três soluções.

Inicialmente, foram feitos sucessivos refinamentos de malha nas proximidades

da seção central, os quais mostraram uma convergência dos valores em relação à

solução analítica à medida que se aumentava o número de elementos finitos. Apesar

de fornecer resultados satisfatórios, esta aproximação resulta em um aumento

substancial no número total de elementos da malha, sendo descartada sua

utilização.

A segunda solução tratava da simulação da continuidade por um furo central

muito pequeno, da ordem de 1,0x10-3 a 1,0x10-16. Entretanto, erros de

arredondamento foram verificados, sendo, dessa forma, abandonado este

procedimento. Dessa forma, partiu-se para a estimativa dos referidos esforços a

partir da extrapolação dos resultados, com base nos valores de esforços das seções

da vizinhança.

Todos estes procedimentos ainda levam em conta a continuidade do

carregamento, ou seja, a não existência de cargas concentradas aplicadas sobre o

nó central. De fato, não devem existir cargas concentradas, uma vez que, assim

como os esforços internos, os carregamentos de contorno estão relacionados ao

raio de sua posição; dessa forma, para um raio nulo a resultante é nula, não sendo

possível considerar, na rotina desenvolvida, cargas concentradas atuantes no nó

central.

4.2.2 Tipos de discretização

No algoritmo desenvolvido, cada peça pode apresentar 3 diferentes trechos

de discretização, conforme ilustra a Figura 4.2.

49

z

x

T2

T1

T3

(a)

zS2

S3

S1

x (b)

Figura 4.2 Exemplos de discretização (a) casca côni ca (b) casca esférica

Esta consideração permite um refino mais intenso nos bordos, onde as peças

se conectam a outros elementos ou aos apoios da estrutura, sendo esta a região

onde geralmente ocorre a concentração dos valores extremos (máximos ou

mínimos) de deflexões e esforços internos. Caso a discretização seja uniforme,

somente o trecho T1 (ou S1 para setores de esfera) será ativado. Podem ainda ser

ativados apenas dois trechos (por exemplo, T1 = 0, T2≠ 0 e T3≠ 0).

50

4.2.3 Integração numérica

De acordo com a formulação do Capítulo 3, observa-se que é necessário

realizar integração numérica durante o processo de resolução. A expressão (3.30), a

qual representa a matriz de rigidez de cada elemento, é um exemplo de função

polinomial que depende da variável raio, devendo, portanto, ser integrada. Para

tanto, optou-se por utilizar a Regra de Quadratura de Gauss como método de

integração numérica, sendo esta escolha decorrente de sua eficiência, adequação, e

simplicidade de implementação.

Segundo Rodrigues (2009), que analisou o erro na integração da matriz de

rigidez de um elemento finito, realizada através da Regra de Quadratura de Gauss, a

partir de 4 pontos o erro relativo já é bastante baixo, sendo este inferior a 1%.

Entretanto, o mesmo autor afirma ainda que, embora seja possível fazer deduções a

partir de seu estudo da matriz de rigidez, obtendo-se uma idéia da grandeza do

número de pontos de Gauss a utilizar na integração, estas informações não podem

ser rigorosamente generalizadas para diferentes tipos de problemas.

Assim sendo, decidiu-se realizar um teste baseado no procedimento por ele

adotado, utilizando-se uma casca cilíndrica discretizada por um único elemento

finito. Os resultados obtidos pela integração numérica, utilizando 2 e 4 pontos de

Gauss, foram comparados com os respectivos valores calculados pela expressão

exata da matriz de rigidez, apresentada em Vieira (2007). Os resultados obtidos

estão apresentados na Tabela 4.1 e na Tabela 4.2.

Tabela 4.1 Erro (%) da Matriz de Rigidez para 2 pon tos de Gauss

1 2 3 4 5 6

1 0.00E+00 0.00E+00 -3.28E-08 0.00E+00 -1.21E-14 -3.28E-08

2 0.00E+00 -7.19E+00 -1.49E+01 0.00E+00 2.08E+01 2.52E+01

3 -3.28E-08 -1.49E+01 2.78E+00 -3.28E-08 2.52E+01 3.52E+01

4 0.00E+00 0.00E+00 -3.28E-08 0.00E+00 -1.21E-14 -3.28E-08

5 -1.21E-14 2.08E+01 2.52E+01 -1.21E-14 -7.19E+00 -1.49E+01

6 -3.28E-08 2.52E+01 3.52E+01 -3.28E-08 -1.49E+01 2.78E+00

51

Tabela 4.2 Erro (%) da Matriz de Rigidez para 4 pon tos de Gauss

1 2 3 4 5 6

1 0.00E+00 0.00E+00 -4.17E-06 0.00E+00 0.00E+00 -4.17E-06

2 0.00E+00 2.11E-06 -2.95E-06 0.00E+00 -6.10E-06 -6.25E-06

3 -4.17E-06 -2.95E-06 -5.52E-06 -4.17E-06 -6.25E-06 -6.57E-06

4 0.00E+00 0.00E+00 -4.17E-06 0.00E+00 0.00E+00 -4.17E-06

5 0.00E+00 -6.10E-06 -6.25E-06 0.00E+00 2.11E-06 -2.95E-06

6 -4.17E-06 -6.25E-06 -6.57E-06 -4.17E-06 -2.95E-06 -5.52E-06

A partir destas tabelas, nas quais cada item representa o erro relativo para um

dos elementos da matriz de rigidez, observaram-se, para 2 pontos de Gauss, erros

de ordem muito baixa em alguns itens; até mesmo menores do que os provenientes

do emprego de 4 pontos, como é o caso do referente à linha 6, coluna 1. Entretanto,

outros itens da Tabela 4.1 apresentam erros de até 35 % e, além disso, nota-se uma

uniformidade nos resultados correspondentes a 4 pontos de Gauss, já que os erros

máximos não ultrapassam a ordem de 1x10-6.

Por esses motivos, optou-se por utilizar 4 pontos de Gauss na rotina de

integração do algoritmo desenvolvido. Uma vez que os resultados desta análise se

mostraram coerentes com as observações feitas por Rodrigues (2009) e que, além

disso, caracterizam uma boa precisão para os valores da matriz de rigidez,

descartou-se a possibilidade de utilização de um maior número de pontos de Gauss,

visando à diminuição do esforço computacional.

4.2.4 Representação do erro

O erro de uma solução numérica pode ser determinado de maneira exata

caso haja uma solução analítica disponível. Nesta dissertação, serão utilizadas

soluções analíticas como referência, sendo possível, portanto, determiná-lo de

maneira exata. Ele pode ser expresso de forma absoluta ou relativa, sendo esta

última definida como:

E�3S = ß Ea3�ß = |a3� − aà>á|a3� (4.1)

52

onde a3� e aà>á são, respectivamente, os valores exato e numérico da grandeza

considerada.

O erro absoluto representa o numerador da expressão (4.1), ou seja, EUV" = E = |a3� − aà>á|. Nos exemplos de cálculo do presente capítulo, optou-

se pela representação do erro de forma relativa, através de porcentagem, de modo

que:

E�3S(%) = ß Ea3�ß x100 = |a3� − aà>á|a3� x100 (4.2)

4.3 Exemplos de validação

Neste item, são apresentados os resultados obtidos, a partir do código

computacional desenvolvido, para exemplos de peças estruturais isoladas e

acopladas. No subitem 4.3.1, são tratados quatro tipos de peças isoladas,

semelhantes às usadas em 4.3.2, onde se estudam peças acopladas. Neste primeiro

subitem, analisa-se o desempenho de diferentes malhas na obtenção dos resultados

e, dessa forma, são determinadas as discretizações a serem utilizadas para cada

tipo de geometria em 4.3.2.

Em cada exemplo, montou-se uma tabela para apresentação do erro relativo

entre os resultados de cada discretização e os valores de referência. Nestas tabelas,

são analisados os deslocamentos � e �, nas direções globais, ou apenas o mais

relevante, dependendo do tipo de geometria, vinculação e solicitação da estrutura. O

mesmo ocorre em relação aos esforços de membrana N! e de flexão M!, os quais

assumem nomenclaturas diferentes, de acordo com o tipo de elemento estrutural.

O erro é apresentado de forma relativa, conforme explicado em 4.2.4, e

calculado da mesma maneira para deslocamentos e esforços. No caso de �, tem-

se:

E�3S.(%) = ��áá�.Ôà. − �áá�ãäå�áá�.Ôà. ¡ × 100 (4.3)

53

sendo �áá�.Ôà e �áá�.ãäå.os valores de � obtidos, respectivamente, a partir do

programa e pelas soluções analíticas de referência.

4.3.1 Peças isoladas e análise da discretização

Em cada exemplo, assim como em Mittelbach (2002) e Vieira (2007), inicia-se

a análise da peça a partir de uma discretização uniforme, sendo posteriormente

adotadas malhas não-uniformes, visando à melhoria dos resultados nas regiões de

ocorrência de perturbações de bordo.

4.3.1.1 Exemplo 1 – Casca Cilíndrica apoiada na bas e, submetida à

pressão hidrostática e a uma força prescrita por un idade de comprimento ao

longo do perímetro superior

O exemplo encontra-se representado na Figura 4.3, onde também são

indicados os dados geométricos, da solicitação e do material da casca.

L= 1,00m

a = 1,00 m

t = 5,00x10-3 m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

pz = 1,00x104 N/m2

F = 2,00x102 N/m

φ = 0o

Figura 4.3 Representação e dados do exemplo 4.3.1.1

As discretizações utilizadas, com base na distribuição ilustrada na Figura 4.2,

estão indicadas na Tabela 4.3 a seguir.

54

Tabela 4.3 Discretizações utilizadas no exemplo 4.3 .1.1

Discret. Tipo Comp. dos trechos (m)

Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

MEF I Uniforme T1 = 1 30 0,033

MEF II Não-uniforme

T1= 0,13 10 0,020

T2= 0,74 10 0,060

T3=0,13 10 0,020

Apresentam-se, a seguir, os resultados obtidos para o problema. Os valores

máximos (em módulo) de � e M� nos bordos da casca cilíndrica, para cada

discretização e para as fórmulas analíticas são apresentados nas Tabelas 4.4 e 4.5.

As curvas de � (ampliado 1x105 vezes) e M� ao longo da casca cilíndrica estão

representadas nas Figura 4.4 e Figura 4.5.

Tabela 4.4 Valores máximos de w

Modelo Bordo Superior Bordo Inferior

w máx. (m) orden. x (m) erro (%) w máx. (m) orden. x (m) erro (%)

Analítico 1,725E-05 0 - 1,067E-05 0,870 -

MEF I 1,721E-05 0 0,237 1,066E-05 0,867 0,090

MEF II 1,723E-05 0 0,042 1,065E-05 0,870 0,078

Tabela 4.5 Valores máximos de Mx

Modelo Bordo Superior Bordo Inferior

Mx máx. (Nm/m) orden. x (m)

erro (%) Mx máx. (Nm/m) orden. x

(m) erro (%)

Analítico -3,559E-00 0,044 - 4,911E+00 0,956 -

MEF I -3,400E-00 0,033 4,460 4,797E+00 0,967 3,910

MEF II -3,535E-00 0,040 0,667 4,934E+00 0,960 0,468

Para a peça deste exemplo, a presença de uma força prescrita no bordo

superior e de um apoio do segundo gênero em sua base originam deslocamentos e

55

esforços de flexão nestas regiões. Entretanto, o efeito da flexão é amortecido quanto

maior for a distância do ponto considerado em relação aos extremos da peça e, por

este motivo, em sua parte central ela trabalha sob regime de membrana. A seguir,

comentam-se os resultados obtidos para cada discretização.

Discretização MEF I

Os resultados obtidos com esta malha foram satisfatórios em relação à

determinação de �, já que, segundo a Tabela 4.4, o erro correspondente aos

valores máximos em ambos os bordos não chega a 1% e, na Figura 4.4, a curva que

a representa tem configuração muito semelhante à da resposta analítica.

Sobre os resultados de M�, o maior erro ocorre no bordo inferior, sendo da

ordem de 4% e na Figura 4.5 sua curva apresenta bom comportamento em relação

à da solução analítica.

Apesar de os resultados já serem considerados satisfatórios, buscou-se uma

melhoria na determinação de M�, através da utilização de uma discretização com

refino nas proximidades dos contornos da peça, região de ocorrência das

perturbações de bordo.

Discretização MEF II

Com o refino adotado nesta segunda discretização, os resultados obtidos

foram ainda melhores na determinação dos valores máximos de �, uma vez que o

erro em ambos os bordos foi inferior a 0,08%. Observa-se também, a partir da Figura

4.1, que a curva apresenta bom comportamento até mesmo na região central,

menos refinada.

Obteve-se uma melhora considerável em relação aos valores máximos do

momento fletor, sendo o erro menor que 0,7% em ambos os bordos. A Figura 4.2

evidencia os bons resultados obtidos, uma vez que as curvas correspondentes à

discretização MEF II e à solução analítica apresentam comportamento muito

semelhante nas proximidades dos bordos. Entretanto, na parte central da peça, as

referidas curvas apresentam configuração levemente distinta em alguns trechos,

devido ao menor refinamento de MEF II nesta região.

56

Figura 4.4 Deslocamento w na casca cilíndrica

Figura 4.5 Diagrama de Mx da casca cilíndrica

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00 3.00E+00

x(m

)

z + wx105 (m)

Desl. w em relação à Sup. Média

Sup. Média Analítico MEF I MEF II

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-5.00E+00 -3.00E+00 -1.00E+00 1.00E+00 3.00E+00 5.00E+00

x(m

)

Mx (Nm/m)

Diagrama de Mx

Proj. Vert. Analítico MEF I MEF II

57

4.3.1.2 Exemplo 2 – Casca esférica apoiada na base sob atuação de seu

peso próprio



a = 1,00 m

t = 5,00x10-3 m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

γmat = 7,85x104 N /m3

p = γmatx t = 3,925x102 N/m2

β = 90o

0o ≤ φ ≤ 90o

Figura 4.6 Representação e dados do exemplo 4.3.1.2



Tabela 4.6 Discretizações utilizadas no exemplo 4.3 .1.2

Discret. Tipo Ângulos dos trechos (graus)

Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

MEF I Uniforme S1 = 90,00 50 0,031

MEF II Não-uniforme S1= 80,00 30 0,047

S2= 10,00 20 0,009


máximos (em módulo) de �, M! e N! da semi-esfera, para cada discretização e

para as fórmulas analíticas são apresentados nas Tabelas 4.7, 4.8 e 4.9.

58

As curvas de � (ampliado 1x105 vezes), N! e M! ao longo da casca

esférica estão representadas nos Figuras 4.8 e 4.9.


Modelo Bordo Inferior

w máx. (m) orden. x (m) erro (%)

Analítico 4,499E-07 0,897 -

MEF I 4,428E-07 0,906 1,561

MEF II 4,550E-07 0,895 -1,135

Tabela 4.8 Valores máximos de M φφφφ


Mφ máx. (Nm/m) orden. x

(m) erro (%)

Analítico 2,545E-01 0,956 -

MEF I 2,562E-01 0,969 -0,691

MEF II 2,545E-01 0,956 -0,023

Tabela 4.9 Valores máximos de N φφφφ


Nφ máx. (N/m) orden. x

(m) erro (%)

Analítico -3,925E+02 1,000 -

MEF I -3,926E+02 1,000 -0,025

MEF II -3,925E+02 1,000 -0,000

Na peça em questão, devido à atuação do peso próprio, predominam esforços

de membrana que, assim como os momentos fletores e deslocamentos �,

apresentam maiores valores próximo aos apoios. Assim, considerou-se a análise de

máximos apenas no bordo inferior.

59

A seguir, comentam-se os resultados obtidos para cada discretização.


Os resultados obtidos para esta discretização já apresentam boa acurácia, de

modo geral. Em relação a �, o erro em relação ao valor máximo é menor que 2% e

em relação a M! e N!, os erros não ultrapassam 0,7% e 0,03%, respectivamente.

Em relação às Figuras 4.7 a 4.9, a curva que representa M! apresenta configuração

semelhante e valores muito próximos aos da solução de referência da base até o

valor máximo, depois do qual os as curvas se distanciam, apresentando, contudo, a

mesma configuração.

Já as curvas de � e de N!apresentam a mesma configuração e valores

muito próximos aos da solução de referência ao longo de todo o domínio da casca.

Discretizações MEF II e MEF III

Para MEF II, em relação ao ponto do deslocamento máximo, houve uma

suave diminuição do erro, o qual passou a ser da ordem de 0,02% para o momento

fletor e nulo em relação a N!. É interessante notar que, em relação aos esforços

internos, as ordenadas de ocorrência do valor máximo são coincidentes

(considerando 4 dígitos significativos) com as da solução analítica, o que

proporcionou uma melhoria brusca nos valores do momento. Para o deslocamento,

apesar de a ordenada ser muito próxima, seria necessário um maior refino para

melhoria do resultado.

Assim sendo, percebe-se que a acurácia está relacionada tanto ao refino da

malha na região de ocorrência do valor máximo quanto à distância de sua

coordenada na solução analítica àquela do nó mais próximo (no modelo

discretizado).

No que diz respeito às curvas, as de � e de N! permanecem com mesma

configuração da solução ao longo da semi-esfera e, por outro lado, o diagrama de M! apresenta ótima configuração no entorno do máximo, distanciando-se de forma

relevante em relação à resposta analítica após este valor. Isto ocorre devido à

mudança de refino entre os trechos da discretização e como nessa região a malha

60

de MEF II apresenta maior espaçamento do que a de MEF I, explica-se a razão de

esta última apresentar melhor comportamento neste trecho.

Segundo Zienkiewicz e Taylor (2000), sobre o problema da aproximação de

uma casca curva por um modelo poligonal, muitos exemplos indicam que ocorre

convergência. Quando o carregamento causa esforços predominantemente de

membrana, existem discrepâncias no valor do momento, que tendem a desaparecer

com o aumento do número de elementos finitos. Este refinamento é necessário para

eliminar a aproximação física envolvida na representação da casca por uma série de

troncos de cone.

Dessa forma, visando à comprovação do que acaba de ser explicado, utilizou-

se mais uma discretização, MEF III, a qual apresenta o mesmo refino em torno do

máximo, mas com maior número de elementos na região inicial (S1=80º). A resposta

obtida, como esperado, foi mais satisfatória, pois o aumento no número de

elementos no trecho mencionado ocasionou a melhoria da aproximação da esfera

por um polígono.

Figura 4.7 Deslocamento w da casca esférica

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00E+00 2.00E-01 4.00E-01 6.00E-01 8.00E-01 1.00E+00

x(m

)

z + wx105 (m)

Desl. w em relação à Sup. Média


61

Figura 4.8 Diagrama de Mx da casca esférica

Figura 4.9 Diagrama de Nx da casca esférica

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-3.00E-01 -2.00E-01 -1.00E-01 0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01

x(m

)

Mφφφφ (Nm/m)

Diagrama de M φφφφ (Nm/m)

Proj. Vertical Analítico MEF I MEF II MEF III

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-4.00E+02 -3.00E+02 -2.00E+02 -1.00E+02 0.00E+00

x(m)

Nφφφφ (N/m)

Diagrama de N φφφφ

Proj. Vertical Analítico MEF I MEF II

62

4.3.1.3 Exemplo 3 – Placa circular apoiada submetid a a carregamento

lateral uniforme, variação uniforme de temperatura e momento nos bordos


indicados os dados geométricos, da solicitação e do material da placa.

a = 1,00 m

t = 2,20x10-2m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

q = 2,00x104 N/m2

M = - 3,00x103 Nm/m

∆ti = ∆te = ∆T=25 oC

φ =90o

Figura 4.10 Representação e dados do exemplo 4.3.1. 3



Tabela 4.10 Discretizações utilizadas no exemplo 4. 3.1.3


Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

MEF I Uniforme T1 = 1,00 10 0,100


máximos (em módulo) de �, M� e N� da placa, para a discretização MEF I e para as

fórmulas analíticas são apresentados nas Tabelas 4.11, 4.12 e 4.13. Nas Figuras

4.11, 4.12 e 4.13 estão representadas suas respectivas curvas de variação ao longo

do raio da placa.

63

Tabela 4.11 Valores máximos de u

Modelo Região Central

u máx. (m) abscis. z (m) erro (%)

Analítico 8,288E-04 0 -

MEF I 8,288E-04 0 -1,448E-5

Tabela 4.12 Valores máximos de Mr

Modelo Região central

Mr máx. (Nm/m) abscis. z (m) erro (%)

Analítico 1,150E+03 0 -

MEF I 1,139E+03 0 -9,658E-3

Tabela 4.13 Valores máximos de Nr

Modelo Região central

Nr máx. (N/m) abscis. z (m) erro (%)

Analítico -1,765E+06 0 -

MEF I -1,765E+06 0 1,666E-4

Neste exemplo, a carga distribuída e o momento fletor geram deslocamentos

transversais e momentos fletores e a variação de temperatura ocasiona esforços de

membrana. Os esforços e deslocamentos de flexão apresentam seus valores com

módulo máximo na região central da placa e os esforços de membrana são

constantes ao longo de seu raio. Dessa forma, a análise dos máximos foi feita no

entorno do centro da placa. A única discretização utilizada, uniforme e composta por

apenas 10 elementos, apresentou resultados bastante satisfatórios. De acordo com

as Tabelas 4.11 a 4.13, o maior erro se deu na determinação de M�, sendo este

menor que 0,01%.

As curvas das Figuras 4.11 a 4.13 confirmam o bom desempenho da

discretização, pois como se pode observar, as curvas apresentam a mesma

configuração e valores muito próximos, sobrepondo-se quase integralmente na

escala em que estão representadas.

64

Figura 4.11 Deslocamento u na placa

Figura 4.12 Diagrama de Mr da placa

-1.00E+00

-8.00E-01

-6.00E-01

-4.00E-01

-2.00E-01

0.00E+00

2.00E-01

4.00E-01

6.00E-01

8.00E-01

1.00E+00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

x +

ux1

03(m

)

z (m)

Desl. u em relação à Sup. Média

Sup. Média Analítico MEF I

-3.00E+03

-2.50E+03

-2.00E+03

-1.50E+03

-1.00E+03

-5.00E+02

0.00E+00

5.00E+02

1.00E+03

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Mr (

Nm

/m)

z (m)

Diagrama de Mr

Proj. Horizontal Analítico MEF I

65

Figura 4.13 Diagrama de Nr da placa

4.3.1.4 Exemplo 4 – Casca cônica apoiada na base so b atuação de seu

peso próprio



L = 10,00 m

ro = 3,00m

rb = 9,00m

t = 5,00x10-3m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

p = γmatx t = 3,925x102 N/m2

φ ≈53,13o


-1.80E+06

-1.60E+06

-1.40E+06

-1.20E+06

-1.00E+06

-8.00E+05

-6.00E+05

-4.00E+05

-2.00E+05

0.00E+00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Nr

(N/m

)

z (m)

Diagrama de Nr


66





Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

MEF I Uniforme T1 = 10 30 0,333

MEF II Não-uniforme T1= 8,75 10 0,875

T2= 1,25 20 0,063


máximos (em módulo) de �, M" e N" da casca cônica, para a discretização e para

as fórmulas analíticas são apresentados nas Tabelas 4.15, 4.16 e 4.17. Nas Figuras

4.15, 4.16 e 4.17 estão representadas suas respectivas curvas de variação ao longo

da casca cônica.



w máx. (m) orden. x (m) erro (%)

Analítico -1,457E-05 7,680 -

MEF I -1,434E-05 7,733 1,550

MEF II -1,466E-05 7,650 -0,313

Tabela 4.16 Valores máximos de Ms


Ms máx. (Nm/m) orden. x (m) erro (%)

Analítico -7,830E-01 7,888 -

MEF I -3,813E-01 7,733 51,302

MEF II -7,924E-01 7,900 -0,193

67

Tabela 4.17 Valores máximos de Ns


Ns máx. (N/m) orden. x (m) erro (%)

Analítico -3,261E+03 8,000 -

MEF I -3,260E+03 8,000 0,029

MEF II -3,261E+03 8,000 -0,002

Na peça em análise, a atuação do peso próprio desencadeia um

comportamento de membrana ao longo do domínio, exceto na região de vinculação,

onde a restrição aos deslocamentos vertical e horizontal provoca também esforços e

deslocamentos de flexão. É, portanto, no entorno dos apoios onde os momentos

fletores apresentam seus maiores módulos, assim como o deslocamento �. Em

relação a N", seu módulo aumenta de forma diretamente proporcional ao da

ordenada x, atingindo o seu valor máximo nos apoios. A partir dessas

considerações, a análise da peça se concentrou no bordo inferior. A seguir,

comenta-se o desempenho de cada discretização.


De acordo com as Tabelas 4.15 a 4.17, os resultados de � e N" máximos são

satisfatórios, sendo os erros da ordem de 2% e 0,03%, respectivamente. Entretanto,

em relação ao valor máximo de M", o erro é considerável e, assim, a malha

uniforme não se mostrou adequada com a utilização de apenas 30 elementos finitos

neste exemplo. A grandeza deste erro está associada à ordenada de ocorrência do

valor máximo do momento fletor e também à sua variação brusca nesta região da

peça, conforme pode ser visto na Figura 4.15. Dessa forma, uma vez que o os

pontos da malha de MEF I mais próximos da ordenada de ocorrência do momento

máximo encontram-se a uma certa distância da ordenada analítica deste momento e

que a variação deste esforço é muito intensa entre esses dois pontos, o erro obtido

foi relevante.

Em relação às Figuras 4.16 e 4.17, observa-se o bom comportamento das

curvas de � e N" e também, a diferença entre os valores de M" na região de

ocorrência de flexão.

68

Figura 4.15 Diagrama de Ms da casca cônica

Figura 4.16 Diagrama de Ns da casca cônica

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

-8.00E-01 -4.00E-01 0.00E+00 4.00E-01 8.00E-01

x(m

)

Ms (Nm/m)

Diagrama de Ms

Proj. Vert. Analítico MEF I MEF II

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

-4.00E+03 -3.00E+03 -2.00E+03 -1.00E+03 0.00E+00

x(m)

Ns (N/m)

Diagrama de Ns

Proj. Vertical Analítico MEF I MEF II

69

Figura 4.17 Deslocamento w na casca cônica

Discretização MEF II

O erro na determinação de M" máximo motivou a aplicação de um

refinamento em sua região de ocorrência. Os resultados, como esperado, foram

melhores e, de acordo com as Tabelas 4.15 a 4.17, o maior erro nos resultados

obtidos foi da ordem de 3%. As curvas das Figuras 4.15 a 4.17 também apresentam

boa configuração, com destaque para a de M", cujo comportamento é muito

semelhante à da solução analítica na região de flexão, diferindo desta somente nas

proximidades do bordo superior, devido à ausência de refino nesta região.

Uma vez que os resultados para MEF II se apresentaram satisfatórios e que a

pequena diferença de configuração das curvas mencionada ocorreu somente para M",e em uma região onde os valores não apresentam ordem de grandeza relevante,

nenhuma outra malha foi utilizada.

4.3.1.5 Escolha da discretização

As discretizações utilizadas nos exemplos de peças acopladas serão,

conforme analisado nos exemplos anteriores, as mais adequadas para cada tipo de

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

0.00E+00 2.00E+00 4.00E+00 6.00E+00 8.00E+00 1.00E+01

x(m

)

z+w x105 (m)

Desl. w em relação à Sup. Média (m)


70

peça. Assim, com exceção da placa circular, onde se utilizou apenas uma malha,

para cada elemento estrutural serão utilizadas as discretizações MEF II.

4.3.2 Peças acopladas

Na análise das peças acopladas, buscou-se, em cada exemplo, avaliar a

acurácia das respostas do código computacional para a análise de uma estrutura

composta pelo agrupamento de diferentes peças. Foram montados um reservatório

com fluido interno, um acoplamento simulando um domo esférico apoiado em uma

parede cilíndrica e ainda um vaso de pressão composto pela junção de placa

circular, casca cônica e casca esférica.

4.3.2.1 Exemplo 5 - Reservatório aberto, apoiado na base e composto por

casca cilíndrica com placa circular na base, submet ido ao peso próprio de

seus elementos e à pressão hidrostática


indicados os dados geométricos, das solicitações e do material componente da

casca e da placa que formam o reservatório.

L = 1,00 m

a = 1,00 m

tcil. = 5,00x10-3m

tpl.= 2,00x10-2m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

γ= 1,00x104 N/m3

q = γ x L + γmat x tpl.= 1,39x104 N/m2

px = γmatx t = 1,039x104 N/m2


As discretizações utilizadas para cada peça estão indicadas na Tabela 4.14 a

seguir.

71


Peça Tipo Comp. dos trechos (m)

Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

Casca cil. Não-uniforme

T1= 0,13 10 0,020

T2= 0,74 10 0,060

T3=0,13 10 0,020

Placa Uniforme T1 = 1,00 10 0,100


máximos de deslocamentos e momentos para cada peça são apresentados nas

Tabelas 4.19 a 4.22. Nas Figuras 4.19 a 4.21 estão representadas as curvas de

variação dos esforços internos e na Figura 4.22 apresenta-se o aspecto geral da

estrutura deformada.


Modelo Casca cil. Placa

w máx. (m) erro (%) w máx. (m) erro (%)

Analítico -8,747E-05 - - -

MEF -8,740E-05 0,088 - -



u máx. (m) erro (%) u máx. (m) erro (%)

Analítico -2,24E-06 - 3,77E-03 -

MEF -2,23E-06 0,224 3,77E-03 0,013

Tabela 4.21 Valores máximos de Momento


Mx máx. (Nm/m) erro (%) Mr máx.

(Nm/m) erro (%)

Analítico -4,443E+02 - 1,96E+03 -

MEF -4,445E+02 -0,045 1,95E+03 0,229

72

Tabela 4.22 Valores máximos de Resultante de Tensõe s


Nx máx. (N/m) erro (%) Nr máx.

(N/m) erro (%)

Analítico -3,925E+02 - - -

MEF -3,925E+02 0,000 - -

No reservatório em análise, a atuação do peso próprio gera esforços de

membrana na casca cilíndrica e de flexão na placa, originando em ambos os

elementos deslocamentos �.

Além disso, o fluido interno ocasiona comportamento de membrana ao longo

do domínio da casca, de modo que haja flexão somente nas proximidades dos

apoios e, em relação à placa, ele a solicita na forma de um carregamento

transversal.

Uma terceira solicitação decorre do acoplamento entre as duas peças, ou

seja, do momento de compatibilidade na região da ligação entre elas. Desse modo,

a análise de máximos se concentrou no entorno dos apoios, onde ocorrem os

valores mais relevantes de esforços internos e deslocamentos.

De acordo com as Tabelas 4.23 a 4.25, nenhum dos erros superou 0,3%,

evidenciando o caráter satisfatório dos resultados. Nas Figuras 4.19 a 4.22, observa-

se o bom comportamento das curvas obtidas pelo MEF em relação às das soluções

analíticas.Uma vez que os resultados foram bastante satisfatórios, conclui-se que a

formulação pôde ser utilizada com êxito no cálculo do reservatório.

No que se refere aos deslocamentos, levando-se em conta os seus valores

em coordenadas globais para as duas peças, a Figura 4.22 ilustra a situação

deformada da estrutura.

73


Figura 4.20 Diagrama de Nx da casca cilíndrica

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-5.00E+02 -3.00E+02 -1.00E+02 1.00E+02 3.00E+02 5.00E+02

x(m

)

Mx (Nm/m)

Diagrama de Mx

Proj. Vertical Analítico MEF

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-400.00 -300.00 -200.00 -100.00 0.00

x (m)

Nx (Nm/m)

Diagrama de Nx


74


Figura 4.22 Situação deformada do reservatório

-3.00E+02

2.00E+02

7.00E+02

1.20E+03

1.70E+03

2.20E+03

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

Mr (

Nm

/m)

r (m)

Diagrama de Mr

Proj. Horizontal Analítico MEF

0.00E+00

3.50E-01

7.00E-01

1.05E+00

1.40E+00

0.00E+00 3.50E-01 7.00E-01 1.05E+00 1.40E+00

x +

ux1

02(m

)

z + w x102 (m)

Situação deformada da estrutura

Sup. Média Analítico MEF

75

4.3.2.2 Exemplo 6 – Estrutura formada por acoplamen to entre casca

cilíndrica apoiada na base e casca esférica na part e superior, submetida ao

peso próprio dos elementos e a uma variação uniform e de temperatura


indicados os dados geométricos, das solicitações e do material do acoplamento.

L = 1,00 m

a = 1,00 m

t = 5,00x10-3m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

γ= 1,00x104 N/m3

p = γmatx t = 1,039x104 N/m2

∆ti=∆te=∆T=25 oC



seguir.


Peça Tipo Comp. dos trechos (graus/m)

Numero de elementos

Comp. dos

elementos (m)

Casca esf. Não-uniforme S1= 80 30 0,047

S2= 10 20 0,009

Casca cil. Não-uniforme

T1= 0,13 10 0,020

T2= 0,74 10 0,060

T3=0,13 10 0,020



76





Modelo Casca esf. Casca cil.


Analítico 3,006E-04 - 3,204E-04 -

MEF 3,003E-04 0,110 3,201E-04 0,078


Modelo Casca esf. Casca cil.


Analítico -6,013E-04 - -3,021E-04 -

MEF -6,013E-04 0,002 -3,021E-04 -0,001


Modelo

Casca esf. Casca cil.

Mφ máx. (Nm/m)

erro (%) Mx máx. (Nm/m) erro (%)

Analítico - - 1,465E+02 -

MEF - - 1,465E+02 0,005


Modelo

Casca esf. Casca cil.

Nφ máx. (N/m)

erro (%) Nx máx. (N/m) erro (%)

Analítico -3,925E+02 - -7,850E+02 -

MEF -3,924E+02 0,025 -7,849E+02 0,013

Na semi-esfera, tanto a atuação do peso próprio quanto a variação uniforme

de temperatura originam esforços de membrana ao longo de seu domínio, sendo

irrelevante a ordem de grandeza dos momentos fletores. Em se tratando dos

deslocamentos, predomina a tendência proveniente da variação de temperatura. Os

77

valores máximos para esforços e deslocamentos ocorrem no bordo inferior deste

elemento, sendo, por este motivo, a região dele analisada.

Em relação à casca cilíndrica, a variação de temperatura também tende a

ocasionar esforços de membrana ao longo do domínio (esforço N ), ocorrendo

flexão apenas nas proximidades dos apoios. O peso próprio da peça e ainda o peso

total da semi-esfera ocasionam como esforço relevante apenas N�. No que se refere

aos esforços ocasionados na junção das duas peças, sua ordem de grandeza

resultou pequena para este tipo de solicitação, de modo que não apresentam grande

influência sobre esforços e deslocamentos.

De acordo com as Tabelas 4.24 a 4.27, nenhum dos erros superou 0,1%,

indicando acurácia satisfatória na determinação dos resultados. Nas Figuras 4.24 a

4.27, observa-se o bom comportamento das curvas obtidas pelo MEF em relação às

das soluções analíticas. Dessa forma, comprovaram-se, mais uma vez, a eficiência

da formulação numérica na análise de estruturas formadas por acoplamentos entre

peças axissimétricas.

Figura 4.24 Diagrama de N φ da casca esférica

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-500.00 -400.00 -300.00 -200.00 -100.00 0.00

x(m)

Nφ (N/m)

Diagrama de N φ


78


Figura 4.26 Diagrama de Nx da casca cilíndrica

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

-200.00 -100.00 0.00 100.00 200.00

x(m)

Mx (N/m)

Diagrama de Mx


1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

-800.00 -600.00 -400.00 -200.00 0.00

x(m)

Nx (N/m)

Diagrama de Nx


79

Figura 4.27 Situação deformada do acoplamento

4.3.2.3 Exemplo 7 – Vaso de pressão apoiado, compos to por casca

cônica e placa circular na base, submetido a uma pr essão interna


indicados os dados geométricos, das solicitações e do material do vaso de pressão.

L = 12,00 m

a = 9,00 m

tcon. = 5,00x10-3m

tpl. = 2,00x10-1m

E = 2,00x1011 N/m2

ν = 0,32

pz = 2,0x104 N/m2


-2.00E-01

0.00E+00

2.00E-01

4.00E-01

6.00E-01

8.00E-01

1.00E+00

1.20E+00

1.40E+00

1.60E+00

1.80E+00

2.00E+00

0.00E+00 5.50E-01 1.10E+00 1.65E+00 2.20E+00

x +

ux1

02(m

)

z + wx102 (m)

Situação deformada da estrutura

Sup. Média Analítico MEF

80


seguir.


Peça Tipo Comp. dos trechos (m)

Numero de elementos

Comp. dos elementos (m)

Casca con. Uniforme T1= 12,00 50 0,3

Placa circ. T1= 9,00 10 0,9







Modelo Casca côn. Placa circ.


Analítico 1,637E-03 - - -

MEF 1,641E-03 -0,199 - -




Analítico -1,637E-03 - 5,552E-02 -

MEF -1,281E-03 -1,162 5,552E-02 -0,001



Ms máx. (Nm/m) erro (%) Mr máx.

(Nm/m) erro (%)

Analítico -2,709 E+05 - 3,356E+05 -

MEF -2,840 E+05 -4,829 3,340E+05 0,477

81



Ns máx. (N/m) erro (%) Nr máx.

(N/m) erro (%)

Analítico 1,091 E+00 - - -

MEF 1,092 E+00 0,091 - -

Em face da solicitação, são originados esforços de membrana ao longo do

domínio da casca cônica, havendo momentos de flexão apenas no entorno do apoio.

Em relação aos deslocamentos, predomina, nesta peça, a influência proveniente da

pressão interna atuante. Os valores máximos para os referidos esforços e

deslocamentos ocorrem no bordo inferior.

Em relação à placa circular, diferentemente da casca cônica, a solicitação

interna atua como uma carga transversal e, consequentemente, causa esforços de

flexão e deslocamentos transversais em seu domínio.

Analisando-se as Tabelas 4.29 a 4.32, nota-se que nenhum dos erros

superou 5%, indicando acurácia na determinação dos resultados. A partir das

Figuras 4.29 a 4.33, observa-se o bom comportamento das curvas obtidas pelo MEF

em relação às das soluções analíticas. Dessa forma, comprova-se novamente o

caráter satisfatório do uso da formulação numérica na análise de estruturas

axissimétricas.

Em relação aos deslocamentos, a Figura 4.32 ilustra a situação deformada da

estrutura levando-se em conta os deslocamentos globais das três peças.

Uma observação deve ser feita em relação ao erro de - 4,829% referente ao

cálculo do momento fletor máximo na casca cônica (Tabela 4.31). O valor em

questão corresponde a um momento negativo e, como se percebe através da Figura

4.29, não corresponde ao módulo máximo atuante, entretanto, foi o que apresentou

o maior erro dentre os módulos máximos, razão pela qual foi utilizado.

Também como observação, deve-se comentar que, neste exemplo, em vez do

padrão MEF II para a casca cônica optou-se por uma discretização uniforme, com

maior número de elementos, e manteve-se satisfatória a acurácia dos resultados.

82

Figura 4.29 Diagrama de Ms da casca cônica


0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

-6.00E+02 -4.00E+02 -2.00E+02 0.00E+00 2.00E+02 4.00E+02 6.00E+02

x(m

)

Ms (Nm/m)

Diagrama de Ms (Nm/m)

Proj. Vert. Analítico MEF I

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0.00E+00 2.00E+04 4.00E+04 6.00E+04 8.00E+04 1.00E+05 1.20E+05

x(m

)

Ns (N/m)

Diagrama de Ns (N/m)

Proj. Vertical Analítico MEF I

83

Figura 4.31 Diagrama de Mr da placa circular

Figura 4.32 Situação deformada do vaso de pressão

0.00E+00

5.00E+04

1.00E+05

1.50E+05

2.00E+05

2.50E+05

3.00E+05

3.50E+05

-1.00 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00

Mr (

Nm

/m)

z (m)

Diagrama de Mr (Nm/m)


0.00E+00

3.00E+00

6.00E+00

9.00E+00

1.20E+01

1.50E+01

1.80E+01

0.00E+00 1.50E+00 3.00E+00 4.50E+00 6.00E+00 7.50E+00 9.00E+00

x +

ux10

2 (m

)

z + wx102 (m)

Situação Deformada da estrutura

Sup. Média Analítico MEF I

84

CAPÍTULO 5

Conclusões e Propostas de Continuidade da

Pesquisa

A partir das análises do Capítulo 4 e também de outros exemplos estudado,

mas não apresentados nesta dissetação, observou-se o desempenho satisfatório da

formulação numérica desenvolvida, no que diz respeito à sua aplicação a problemas

de estruturas axissimétricas constituídas por peças isoladas ou compatibilizadas. O

referido desempenho tornou-se evidenciado através da acurácia percebida na

comparação entre seus resultados e os valores analíticos de referência.

Nos problemas abordados no capítulo anterior, nota-se que nas cascas o

efeito da flexão ocorre no entorno dos apoios ou das proximidades do ponto de

contato entre peças acopladas, efeito este decorrente da perturbação de bordo,

sendo válida a teoria de membrana ao longo do restante do domínio destas

estruturas. Levando-se em conta este comportamento estrutural, fez-se necessária a

utilização de discretizações com maior refino nestas regiões particulares. Assim,

definiram-se geratrizes, representativas das estruturas axissimétricas, com malhas

não-uniformes a fim de não ser utilizado um grande número de divisões, o que

tenderia a aumentar o esforço computacional; para que se respeitasse a margem de

erro estabelecida no cálculo de esforços internos e deslocamentos.

De uma maneira geral, nos problemas que tratavam somente cascas

axissimétricas, foi necessário um maior número de elementos finitos e a utilização de

malhas não uniformes. Entretanto, nas placas axissimétricas, demonstrou-se

adequada a utilização de uma discretização uniforme e com uma menor quantidade

de elementos.

Neste trabalho, deu-se ênfase ao cálculo dos esforços internos, os quais

representam fundamental importância para o dimensionamento estrutural. Dessa

forma, foram analisados qualitativa e quantitativamente, sendo possível, inclusive,

observar os diferentes comportamentos da estrutura em face do tipo de solicitação e

85

vinculação a ela imposta, ou seja, as regiões de ocorrência de regime de membrana

e dos efeitos de flexão.

Dessa forma, é alcançado o objetivo principal desta dissertação, que se define

como a demonstração do potencial da utilização do MEF convencional na análise de

estruturas axissimétricas utilizando uma formulação baseada em um elemento finito

retilíneo.

Para a continuidade desta pesquisa, apresentam-se como propostas:

• Comparação entre o desempenho da formulação com elemento finito

retilíneo, abordada neste trabalho, e a formulação com elemento curvo, com ênfase

na análise estrutural de cascas esféricas e elípticas.

• Estudar a viabilidade de utilização da formulação apresentada, utilizando as

rotinas já implementadas, para elaboração de uma formulação numérica para o

dimensionamento de cascas e placas axissimétricas

• Implementação de rotinas para otimização da discretização, de maneira

automática, tendo como base respostas analíticas preliminares de modo a reduzir o

esforço computacional e a complexidade do processo de análise estrutural.

86

CAPÍTULO 6

Referências

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Paulo Henrique Araújo Bezerra ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE ...

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