Pasquali Dados Ed Ciencias 1-2-1997
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CUANDO LA NATURALEZA
JUEGA A LOS DADOSLA ENSENANZA DE LA LEY DEL DECAIMIENTO RADIACTIVO A TRAVES DE UNA EXPERIENCIA UJDICA
R ic ar do P as qu a/i
UNIVERSIDAD CAECE
Departamento de Biologfa
Cuadro 1
Lalroccion de 6tomos de un
rodionucleido que queda despues de
coda perfodo de sermdesinteqtocion
decrece exponencialmente con el
tiempo.
Existen nucleos atornicos donde una adecuada relacion entre las canti-
dades de protones y neutrones asegura su estabilidad. La mayor parte de los
nucleos atomicos conocidos, sin embargo, son inestables y a traves del Ieno-
meno de la radiactividad buscan estabilizarse mediante distintos tipos de meca-
nismos, como la fision espontanea 0 la ernision de radiaciones alfa (nucleos de
helio), beta negativa (electrones), beta positiva (positrones), gama, neutrones,
protones y hasta nucleos atornicos de carbona 12.
Ya los primeros estudiosos de la radiactividad notaron una curiosa ca-
racterfstica en el decaimiento radiactivo, que tambien habfa side observada en
la cinetica de las reacciones qufmicas de orden 1. Despues de un cierto tiempo,
al que se denomina perfodo de sernidesinteqracion (T), la cantidad de una es-
pecie radiactiva (radionucleido) se reduce a la mitad. AI transcurrir dos perfodos
de sernideslnteqraclon queda la cuarta parte de la cantidad inicial del
radionucleido; despues de tres perfodos, la octava parte; y asf sucesivamente. Si
No es el nurnero inicial de atornos de una especie radiactiva cuyo perfodo de semi-
desinteqracion es T, la cantidad de atomos N que quedan despues de un cierto
tiempo tsera (ver cuadro 1)
donde n es el nurnero de perfodos de sernidesinteqraclon que transcurrieron
durante el tiempo t. Como este valor es igual al cociente entre el tiempo y el
perfodo de semidesinteqracion, la ley del decaimiento radiactivo se puede ex-
presar tam bien de la siguiente forma
N= No2-tI T
Si se aplica logaritmos naturales a la ley del decaimiento radiactivo se
Ilega a que
In N= In No - tI T In 2
Como In e = 1, resulta que
In N= In No - tI T In 2 -Jn e
AI hallar antilogaritmos naturales, lIamando al factor In 21 T constante de
decaimiento radiactivo A, se lIega a otra forma de expresar la ley del decaimien-
to radiactivo, que aparece con mayor frecuencia en la bibliograffa.
l.ln2
N=Noe-r-
o bien
Esta forma de la ley del decaimiento radiactivo responde a 1 0 que en
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Cuadro 2
E / verda dero perfo do d e
s em id esinteq to cio n T d e u na m uesfra
rad iacfiva depende de /a canlidad de
atomos No que /0 c om po nen . C ua nd o
/a m ue slr a s e h ac e in fin ito me nte
grande, 1: y T coinciden.
estadfstica se denomina un proceso aleatorio (al azar) de Poisson. La funcion
de probabilidad de Poisson describe situaciones en las que el nurnero de eventos
a observar tiende a infinito (puede decaer un atorno en cualquier instante de
tiempo a partir de un instante inicial) y la probabilidad de un suceso(como el
decaimiento de un atorno en particular) tiende a cero. Si en un tiempo tocurren
en promedio jj sucesos (decaimientos), la probabilidad Pnde que ocurran n
sucesos en ese tiempo esta dada por
donde n! = n . (n-1). (n-2) ....3.2.1
Por 10tanto, y si se tiene en cuenta que el factorial de cero es igual a
uno, la probabilidad Po de que no se produzca ninguna desinteqraclon en el
tiempo t es
Po=e-ii
Pero el numero medio de decaimientos radiactivos es proporcional al
tiempo, siendo A la constants de proporcionalidad. Reemplazando en la ecua-
cion anterior
Po = e-A t
Como Ia cantidad de atornos presente en una muestra radiactiva es
extraordinariamente grande, se puede reemplazar la probabilidad de que no
decaiga ninqun nucleo por el cociente entre Ny No ' lleqandose de esta forma
a la misma ecuacion obtenida empfricamente, 10que demuestra que el dec ai-
miento radiactivo obedece a un proceso aleatoric del tipo Poisson.
NINo = e-At
Cuando los atomos no son tantos
En realidad, la ley del decaimiento radiactivo es valida para una muestra
formada por un numero infinitamente grande de atornos de radionucleido. Cuan-
do la cantidad de atornos es pequefia, el proceso de decaimiento esta mejor
descripto por el esquema de Bernoulli, por el cual la probabilidad de que decal-
gan n atornos (Pn ) en un cierto tiempo t, en una muestra formada por No ato-
mos iniciales, esta dada por la siguiente ecuacion
Si se tiene en cuenta que la probabilidad p que decaiga un atorno en
particular en el tiempo testa dada por el cociente entre At y No, y que la
constante de decaimiento es igual al cociente entre el logaritmo natural de 2 y
el perfodo de sernideslnteqracion T del radionucleido, se Ilega a que la probabi-
lidad de que en ese tiempo no decaiga ninqun atorno sera
P o = [ 1 - In2.tJNOT· No
Por 10tanto, el decaimiento radiactivo, cuando el nurnero de atornos de
radionucleido no se puede considerar infinitamente grande, obedece a la ecua-
cion siguiente
N = No [ 1 0 In 2· t J N oT·No
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o bien
N=No [1 - ~·ot r o
Si se tiene en cuenta que ellfmite de [ 1 + ; rpara
cuando .x tiende a infinito es e', se Ilega a que cuando la
cantidad inicial de atornos de radionucleido es infinitamen-
tegrande es valida la ley del decaimiento radiactivo
i,Que valor tendra el cociente entre Ny No en una
muestra finita cuando el tiempo de decaimiento es igual al
perfodo de semidesintegraci6n? A partir de la ecuaci6n ob-
ten ida para el esquema de Bernoulli, haciendo t = T, se
lIega a que dicho cociente es dependiente de la cantidad
de atornos iniciales del radionucleido.
3,85 ,--------'--.,-----------,
e'0
" uIII. . . .g' 3,8 .
-c" i i iG)
"'C" EG)
e nG)
"'Co"'C
,2. . . .G)
c ..
3,75
3,7
3,65 +----+--+---+---+---+----+---I--_+_~10 20 40 50 90 10000 70 80
Numero de dados iniciales (No)
EI "petiodo de semidesinteqtacion"
de 1 0 simulacion del decaimiento radiactivo con dodos (y con
atomos iambien] tiende a 3,801784 unidades arbitrariosde
tiempo cuando el ruimeto de dodos (0 atotnos] iniciales
tiende a infinito.
Este cociente tiende a 0,5 cuando No tiende a
infinite. Cuando el nurnero de atornos iniciales toma los valores 10, 100, 1.000
Y 10.000, el cociente toma los valores 0,48756, 0,49879, 0,49988 Y 0,49999
respectivamente.
Haciendo el cociente entre Ny No igual a 0,5 se obtiene el verdadero
perfodo de semidesintegraci6n 't de una muestra fin ita de atomos radiactivos,
que es funci6n del nurnero de atomos iniciales, No' Luego
J . . . = [1 - I n 2 · 't J N O
2 T·No
Los valores de 't se pueden hallar nurnericarnente fijando No. EI cuadro 2
da los valores del cociente entre 't y T para una cantidad de atornos iniciales
comprendida entre 10 Y 100.
Parte experimental
Se puede simular el decaimiento radiactivo tirando una cantidad No de
dados. Cada tirada equivale a una unidad de tiempo y los dados que caen con
un cierto nurnero hacia arriba, por ejemplo el1 , 0 una marca de pintura, equiva-len a atomos que sufrieron decaimiento radiactivo. Despues de cada tirada se
separan los dados que representan a atornos que decayeron y se anota el nume-
ro de dados restantes (N), que representan a los atornos que no decayeron.
Si se parte de una cantidad relativamente grande de dados, para un
tiempo (representado por las tiradas) igual al perfodo de semidesintegraci6n, el
cociente entre Ny N o no difiere mucho de 0,5, el valor correspondiente a una
rnuestra infinitamente grande. Asf, para 40 dados este cociente es igual a 0,497.
Por 1 0 tanto no se comete un error muy grande si se emplea la ley del decal-
miento radiactivo deducida para una muestra infinita de atom os radiactivos.
La probabilidad de que en la primera tirada no salga ninguna cara
marcada es 5/6, quedando te6ricamente 5/6 No dados para la pr6xima tirada.
Despues de la segunda tirada, el valor te6rico de dados que quedan es (5/6)2
No y despues de la tirada t quedan te6ricamente
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Si t = T, N = 0,5 No. Por 1 0 tanto el "periodo de sernidesinteqracion" de los
dados es
T = In1/2 = 3 801784In5/6 '
y la "constante dedecaimiento", /.., es igualln 6/5 = 0,18232.
En la experiencia con dados se puede verificar que los valores de N
experimentales son bastante proxirnos a los calculados con la ley del decai-
miento radiactivo. Grcificamente se puede determinar el valor de T para los da-
dos, que sera cercano a 3,80.
N = No e -0,18232t
ra 40"C
ra\j.. .
35-a"C i,a
30(I)
~C
III 25
' t \(I)
:Ja.III 20
.~,~,I)
"C
!::15a
"C(I) . ~J
10 " " "-
t J " " " " " -I)
• ••I'........J0-
5 T= 3,80 : iIII i0 < 1 1 iiCra
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Tiradas
M ed iante la tirada de dados se puede s im ula r un deca im iento rad iac tivo de un
hipo tetico ra dio nu cleid o c uyo petio do d e sem id es tnteq ta cio n es igu al a 3,80
u nid ad es a rbitra ria s d e tiem po . C ad a u nid ad a rbitra ria d e tiem po est6
representa da po r u na tira da d e d ad os .
Bibliograffa
Ricardo Pasquali, "La ley del decaimiento rad iact ivo" , Educaci6n en fa Qu(mica, Vol. I, n° I, Set.
1990 , p . 41 - 45 .
2 0
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Tapa :
"Los Medidores", una vision flamenca de los
maternaticos en el siglo XVI (museo de
Historia de la Ciencia, Oxford, Gran Bretafia).
Las medici ones y sus errores asociadas son
tema de uno de los articulos de este numero.
Vol. I - N ° 2 - 1997
Sumorio
Editorial
Carmen Peme- Aranega, EI cctoctet epistemol6gico
i n te r d is c ip l ina r io d e 1 0 d id oc tico d e lo s ciencia s
Anibal Gattone, E rr or es e n m ed ic io nes : u n ejem plo s en cillo
Ricardo Pasquali, Cuando 1 0 na turo lezo juega a los do dos
C Micheli - L. Foligno, M ec onism os d e rea cci6n
e n q ufm ic a otqonico en e/ p olim od a/
I nfo rm a cio ne s s ob re r eu nio ne s y congresos
Jorge I. Delgado, Sonia E. Blanco y Ferdinando H. Ferretti,
L a e cu ac i6 n c ii bic c:
O /im p fa do I nfo rm a ti ca A rg en tin o
Salvador Gil, N uevas T ecno logfas en /0 enseiia nza d e / 0 hstca.
Oportunidades y desalios
Ricardo Mira, T re s p ro ble ma s d e m ate mo tic o
Fernando Yanni - Hector Fasoli - LuisBudnik, La his tor ie to
co mo tecnica a uxilio r en / 0 enseiia nza d e 1 0 ciencio
Diego Hurtado de Mend?za - Miguel de Asuc,
M ode/os m ecanicos de E ter en e/ sig/o X IX
Re sei ia s b ib l iog ra fi c os
Claudia Marsico, P r eg u nt as p o r 1 0 tecnico
Hugo R.Tricarico, Forciencias
pag.
3/4
5/73
74/76
77/20
27/26
27
28/32
33
34/47
42/46
47/55
56/64
65/69
70/75
76/78
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