Parte 2 - Eliminação de ruídos e realce de arestas

Aplicações da Transformada de Fourier

Imagem DigitalConceitos, Processamento e Análise

Redução de ruídos• Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o

máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I.

),(),(),(ˆ jinjiIjiI

n

sSNR

n

sdBSNR

10log10

100n

s

20 dB significam

Dois tipos básicos de ruídos• Ruído Gaussiano branco : processo estocástico

de média zero, independente do tempo e dos espaço.

2

2

2

2

1)(

x

exG

0),( jin

),(~),( 00 jjiinjin é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo.

),( jin é uma variável aleatória com a distribuição:

Dois tipos básicos de ruídos• Ruído impulsivo: causado por erro de

transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta.

lxvvyv

lxjinsp )(

0),(

minmaxmin

1,0, yx são v.a. uniformemente distribuídas

vmin, vmax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.

Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)

Imagem com ruído impulsivo

223 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 223

171 120 120 120 18 120 50 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 116 120 120 120 120 120 120 120 120 171

138 120 120 120 120 120 50 120 97 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 187 120 120 242

172 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 179 120 120 120 120 167 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 235 120 76 175 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171

171 120 120 120 120 120 120 120 123 120 120 214 120 114

171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 143 171

171 120 120 120 232 120 120 198 120 120 120 120 120 171

203 171 171 171 171 171 171 171 171 205 171 171 171 203

Uso da mediana

Iij = mediana Ωij

Sinal com ruído := ( )f3 x 10 ( )cos 2 x 6 ( )sin 10 x .8 ( )cos 40 x

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Filtragem Gaussiana

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

w1+w2+w3 filtro w1+w2

4

2 11 iii

i

fffh

Filtro

• Um filtro é um operador que atenua ou realça uma determinada freqüência

• Fácil de visualizar no domínio da freqüência onde:

)()()( GFH

)()( tfF

)()( Hth h(t) é o f(t) filtrado

Tipos de Filtros

F G

=

=

=

H

Passa baixa

Passa alta

Passa banda

)()()( GFH

Imagem filtrada com um filtro passa baixa

Imagem filtrada com um filtro passa alta

Filtragem no domínio espacial

• Filtragem no domínio espacial é obtida pela convolution (e vice-versa).

)()()( GFH

)()( xfF

)()( Hxh

)()( xgG

duuxgufgfxh )()()(

ou:

Na realidade é ao contrário: a TF é uma ferramenta para filtragem.

Mascara ou Filtro

4

2 11 iii

i

fffh

1

0)(

n

kiiki fgh

10

14/1

04/2

14/1

10

lse

lse

lse

lse

lse

gl

ou:

Discretização da Gaussiana 1D

0.1

0.2

0.3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2

2

2

2

1)(

x

exG

1214

1 14641

16

1

161520156164

1

Discretização da Gaussiana 2D

2

22

2

2

1),(

yx

eyxG

121

242

121

16

1

14741

41626164

72641267

41626164

14741

273

1

Separabilidade do filtro gaussiano

207 247 38 131 38

62 90 129 234 231

211 175 44 1 26

236 58 75 128 112

210 141 125 168 58

121

242

121

16

1

130 117 129

125 90 88

129 93 92

1214

1

1214

1

185 113 84

93 145 207

151 66 18

107 84 111

154 140 130

130 117 129

125 90 88

129 93 92

Transformada normalizada de Fourier

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

r

h

s

hyswxriesrFwh

yxf

Transformada normalizada de Fourier: separação

)/(21

0

1

0

)/(2),(11

),( wxriw

x

h

y

hysi eeyxfhw

srF

1

0

1

0

)//(2),(1

),(w

x

h

y

hyswxrieyxfwh

srF

),( sxT

Transformada normalizada de Fourier: Matriz H

1

0

)/(21),(),(

h

y

hysieh

yxfsxT

),( syH

sy

h

ihysi e

he

hsyH

2)/(2 11

),(

)1(0)1)(1(1)1(0)1(

)1(11110

)1(00100

hhhhh

h

h

ffff

fff

fff

f

fHT

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

hh

h

ih

h

ih

h

i

h

h

i

h

i

h

i

h

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

h

H

fHT

1

0

2

),(1

),(w

x

rx

w

i

sxTew

srF

),( xrW

xr

w

i

ew

xrW

21),(

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

h

iw

h

iw

h

i

w

h

i

h

i

h

i

w

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF

Problemas com a Transformada de Fourier

)(2121

21),(),( bkakiekkFbxaxf

),(),( 2121 kkFxxf

),(1

),( 2121

kkFxxf

)cossin,sincos(

)cossin,sincos(

2121

2121

kkkkF

xxxxf

Como tornar a TF invariante a rotação e escala?

),(),( 2121 kkFxxf ),(),( 2121 kkFxxf iezkkF ),( 21

2

1 )ln(

y

yez i

)','(),( 2121 kkFyyf

Transformada de Mellin

0

1)()( dxxxfsM s

deefdxxxfsM ss )()()(0

1

ex dedx

eefdeeefiM i )()()( 2

wis 2

))(())(( axfMxfM

Transformada de Mellin

0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

))((),(

),(

)1()1(

21

21 dedeeeeef

zzM

zz

Transformada de Mellin

ddeeeefzzM zz 21),(),( 21

uiz 21 viz 22

ddeeeefvuM viui 22),(),(

Transformada de Mellin

1

0

1

0

22lnln ),(

1),(

w

x

h

y

sh

irw

iyx eeeef

whsrM

ddeeeefvuM viui 22),(),(

xwu

1

yhv

1

)1()1(21)1(20)1(2

)1(12112012

)1(02102002

1

ww

h

iw

h

iw

h

i

w

h

i

h

i

h

i

w

h

i

h

i

h

i

eee

eee

eee

w

H

WfHWTF

Transformada de Mellin

0 0

1121

21),(),( dxdyyxyxfzzM zz

dedxex dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

riz 21 siz 22

xln

dedyey

0 0

1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri

dedxex

0 0

1212),(),( dxdyeeeefsrM siri