Paral rectas
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GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano
Paralelismo entre Rectas
No espaço, duas rectas são paralelas se são complanares (estritamente paralelas) e não têm nenhum ponto em comum, ou se são rectas coincidentes.
O presente estudo debruça-se sobre todas as situações de paralelismo estrito entre rectas.
As rectas a e b são paralelas entre si no espaço.
As suas projecções horizontais a1 e b1 são paralelas entre si.
As suas projecções frontais a2 e b2 são paralelas entre si.
Em geral é assim.
Com as rectas de perfil, não basta verificar se as projecções frontais e horizontais são paralelas, é necessário confirmar, por exemplo, com rectas auxiliares. Em baixo, duas rectas de perfil que não são paralelas, apesar das suas projecções frontais e horizontais serem paralelas.
Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s são paralelas, pelo que são complanares.
Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.
Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s não são paralelas, mas são complanares com as rectas p e p’. Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.
A recta de perfil p está definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). A recta de perfil p’ está definida pelos pontos C (-3; 4; 3) e D (1; 4). Averigúa a posição relativa das duas rectas.
x
y ≡ z
p1 ≡ p2
A1
A2
B1
B2
p’1 ≡p’2
C1
C2
D1
D2
r2
s2
s1
r1
x
y ≡ z
p1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
r2
s2
s1
r1
Sobre a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem ser paralelas ou enviesadas.
Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão, também elas, complanares.
Recorreu-se a duas rectas auxiliares, as rectas r e s. A recta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p e p' não são complanares – logo, não são paralelas.
A mesma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4).
x
y ≡ z
N2
r2
s2
s1
r1
M1
M2
N1
A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p.
A1
A2
B1
B2
p1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2
Averigúa se as rectas de perfil p e p’ são ou não paralelas. Ambas as rectas estão contidas no plano de perfil π. A recta p está definida pelos pontos E (3; 1) e F (1; 2). A recta p’ está definida pelos pontos M (6; 2) e N (4; 3).
(e1)
Fr
Utilizou-se o rebatimento para o Plano Frontal de Projecção, obtendo-se a recta pr e p’r, que são paralelas, e por tanto as rectas p e p’ são também necessariamente paralelas.
x
p1 ≡ p2 ≡ p’1 ≡ p’2
E1
E2
F1
F2 ≡ M2
N1
M1
N2
≡ fπ ≡ hπ ≡ e2 ≡ fπr
≡ hπr
Er
Nr
Mr
pr
p’r