Parábola
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ParábolaTrabalho de Matemática
Asaph ViniciusCesar AugustoFelipe Barbato
Gabriel BalthazarGabriel Romão
Jhonatan TomazJorge M. AbdallaRicardo Soares
Definição Geométrica• Parábola é uma curva cônica;
• Formada com os pontos que pertencem simultaneamente a um cone e a um plano que o cortou.
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Regra• Suponha um eixo d vertical e dois pontos F e V, de acordo com a representação:
• A distância entre a reta vertical d e o ponto V deve ser a igual à distância entre os pontos V e F. Determinaremos uma sequência de pontos os quais deverão estar à mesma distância de F e d. Observe:
• A parábola é formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma distância do ponto F (foco) e da reta vertical d. 3
Estrutura
• FOCO: É o ponto fixo da parábola
• EIXO: É o eixo de simetria da parábola
• DIRETRIZ: É a reta que dá a condição a uma curva ser uma parábola
• VÉRTICE: É o ponto que a parábola tem em comum com o eixo
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Formulas• A equação de uma parábola depende da
posição da reta diretriz;
• Pode ser paralela ao eixo y ou ao eixo x;
• A equação também depende da localização do foco, que pode estar à direita, à esquerda, acima ou abaixo da reta diretriz.
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Foco à direita • y² = 2px
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Foco à direita• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e foco (x0 + p/2, y0) (Imagem
Anterior).
• A equação da reta diretriz é x = x0 - p/2 ou x - x0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d.
• Assim:
• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:
• Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola:
• (y - y0)² = 2p×(x - x0) ou y2 = 2px7
Foco à esquerda• y² = -2px
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Foco à esquerda• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0 - p/2, y0) (Imagem
anterior).
• A equação da reta diretriz é x = x0 + p/2 ou x - x0 - p/2 = 0.
• Tomando um ponto qualquer P = (x, y), pertencente a essa parábola, temos:
• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:
• Desenvolvendo essa expressão obtemos a equação da parábola:
• (y - y0)² = - 2p×(x - x0) ou y² = -2px 9
Foco acima • x²=2py
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Foco acima • O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e o foco é (x0, y0 + p/2) (Imagem anterior).
• A equação da reta diretriz é y = y0 - p/2 ou y - y0 + p/2 = 0. Sabemos que a distância de um ponto qualquer P = (x, y), que pertença a essa parábola, até o foco é igual a distância de P até a reta d.
• Assim:
• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:
• Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola:
• (x - x0)² = 2p×(y - y0) ou x²=2py
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Foco abaixo• x²= - 2py
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Foco abaixo• O vértice da parábola tem coordenadas (x0,y0) e seu foco é (x0, y0 - p/2) (Imagem
anterior).
• A equação da reta diretriz é y = y0 + p/2 ou y - y0 - p/2 = 0.
• Considerando um ponto qualquer P = (x, y) pertencente a essa parábola, temos:
• Elevando os dois lados da expressão ao quadrado temos:
• Simplificando essa expressão obtemos a equação da parábola:
• (x - x0)² = - 2p×(y - y0) ou x²= - 2py 13
Exercícios resolvidos• Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) =
2x²– 4x + 6.• Solução: Analisando a função f(x) = 2x² – 4x + 6, obtemos:• a = 2, b = – 4 e c = 6
• Segue que:
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• Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x² + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.
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Exercícios resolvidos
• Solução:• Temos que: • a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:
• Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.
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Exercícios resolvidos
• Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita. Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna
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Exercícios resolvidos
Exercícios resolvidos• Solução:Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe:
• Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II)
• Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V)
• Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)
• Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)
• Parábola: temos só x² ou só y², item (III)
• Resposta: I, IV, II, V e III 18
Aplicações práticas
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Faróis de carros • Ao ligar faróis de carro, os raios de luz, provenientes da lâmpada que se
encontra no foco da parábola, incidem num espelho parabólico e são refletidos paralelamente ao eixo de simetria
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Antenas parabólicas• Ela reflete o sinal vindo do espaço, que vem
em todas as direções, para o centro da antena
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Pontes Pênseis
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Lançamentos de projéteis
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Conclusão• A importância da parábola em diversos
segmentos;
• A variável aplicação;
• Não é apenas mais um calcula matemático chato.
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