Temas para o Ensino Médio

O Ensino Médio tem como finalidades, conforme a Lei de Diretrizes e Bases da

Educação Nacional (Lei número 9394/96) (BRASIL, 1996), não apenas a consolidação

e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental, no

intuito de garantir a continuidades dos estudos, mas também, a preparação para o

trabalho a para o exercício da cidadania, a formação ética, o desenvolvimento da

autonomia intelectual e a compreensão dos processos.

Ao final do Ensino Médio objetiva-se que os estudantes saibam utilizar os

conceitos estudados na disciplina de Matemática para: resolver problemas aplicados a

situações reais; modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; saber utilizar a

linguagem matemática para expressar-se, para a leitura do mundo e para compreender

as diversas situações onde é utilizada; compreender que a Matemática é uma Ciência

organizada via teoremas e demonstrações; perceber que a Matemática é um

conhecimento social e historicamente construído; perceber a importância da Matemática

no desenvolvimento científico e tecnológico.

A forma de trabalhar os conteúdos deve prever um planejamento de atividades

didáticas que encadeadas possibilitem o desenvolvimento do pensamento matemático,

valorizando o raciocínio matemático. Deve-se buscar o desenvolvimento das

habilidades de formular questões, estabelecer hipóteses, estabelecer um plano de

trabalho, tirar conclusões, apresentar contraexemplos, generalizar soluções, construir

regularidades, modelar, argumentar utilizando fundamentação lógico-dedutiva.

Os conteúdos básicos, do Ensino Médio estão organizados em quatro blocos:

Números e operações; Funções; Geometria; Análise de dados e probabilidade. Salienta-

se que tais temáticas não devem ser trabalhadas de forma estanque, mas, ao contrário,

deve-se buscar constantemente a articulação entre eles.

Segundo o MEC (2006) no trabalho com Números e operações deve-se

proporcionar aos alunos uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a

resolver problemas do quotidiano, tais como: operar com Números Inteiros e Decimais

finitos; operar com frações, em especial com porcentagens; fazer cálculo mental e saber

estimar ordem de grandezas de números; usar calculadora e números em notação

científica; resolver problemas de proporcionalidade direta e inversa; interpretar gráficos,

tabelas e dados numéricos veiculados nas diferentes mídias; ler faturas de contas de

consumo de água, luz e telefone; interpretar informação dada em artefatos (termômetro,

relógio, velocímetro) (MEC, 2006).

Também é preciso proporcionar aos alunos uma diversidade de problemas

geradores da necessidade de ampliação dos campos numéricos e suas operações, dos

Números Naturais aos números Reais. Os números Irracionais devem ser entendidos

como uma necessidade matemática que resolve a relação de medidas entre dois

segmentos incomensuráveis, sendo apropriado tomar o caso dos segmentos lado e

diagonal de um quadrado como ponto de partida. Alguns números irracionais devem ser

colocados em destaque: as raízes quadradas de Números Naturais que não são

quadrados perfeitos e o número π, por exemplo. É pertinente, nesse nível de

escolaridade, caracterizar os números Racionais/Irracionais por meio de suas expansões

decimais e localizar alguns desses números na reta numérica. As propriedades relativas

às operações com números Reais devem ser trabalhadas de modo que permitam ao

aluno a compreensão das estruturas dos algoritmos, prevenindo recorrentes erros na

resolução de problemas que envolvam manipulações algébricas. Por exemplo, resolver

desigualdade, compreendendo que se altera a desigualdade quando ambos os lados são

multiplicados por um mesmo número negativo, ou por que o quadrado de um número

nem sempre é maior que o próprio número, ou como resolver inequações que envolvam

quocientes.

Segundo MEC (2006) os números complexos devem ser apresentados como uma

histórica necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação, tomando-

se, para isso, uma equação bem simples. Por exemplo: x2+1=0.

O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das

relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do círculo e

raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento populacional; tempo e

amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras (MEC, 2006). Buscar situações

com variáveis contínuas e discretas, apresentando situações problemas da vida.

Exemplo de uma situação problema com uma função contínua.

Um motorista de táxi cobra R$ 7,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 2,70 por

quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida

relativa a um percurso de 18 quilômetros. 

A Função que define o valor cobrado por uma corrida de x quilômetros:

f (x)=2,70 x+7 ,50.

O valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilômetros. 

f (x)=2,70 x+7 , 50f (18 )=2.70 x18+7,5f (18)=48 , 60+7 ,50f (18)=56,10 O

preço a ser pago por uma corrida com percurso igual a 18 quilômetros corresponde a

R $ 56,10. 

Exemplo de problema com funções envolvendo uma variável discreta.

O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de

cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa

uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na

venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. 

Venda=função receitaR ( x )=25 x

Fabricação : funçãocustoC ( x )=6 x+4

Lucro=receita – custoL(x)=25 x – (6 x+4)L(x)=25 x – 6x – 4L(x)=19 x – 4

Lucro líquido será determinado pela função: L(x)=19 x – 4.Lucro na venda de 500

livros :L(500)= 19 . 500 – 4 ; L(500) = 9 496

Importante, neste momento do estudo das funções, que os estudantes tracem

gráficos, utilizando software. Por exemplo o Winplot, o Geogebra. O aluno deve

perceber os tipos de crescimento e decrescimento, bem como, representar as funções na

forma algébrica, geométrica e com linguagem natural.

Por exemplo, a função f : R⟶ R∨f ( x )=3 x+1, é uma função que associa a um

dado valor real o seu triplo, acrescido de uma unidade, que sua representação gráfica

pode ser expressa com um software, como no gráfico a seguir:

Recomenda-se, também, que os estudantes possam analisar o que acontece

quando se altera os parâmetros em uma função, identificando os movimentos realizados

pelo gráfico de uma função quando se altera os coeficientes.

As translação vertical f (x)+b

Veja exemplo a seguir mostra a translação vertical, para f (x)=x2 alterando o

parâmetro b de -2 a 2.

Translação horizontal f (x)=( x+b )2

Devem-se apresentar aos estudantes do Ensino Médio os diferentes modelos de

funções: linear, quadrático e exponencial.

f ( x )=x f ( x )=x2 f ( x )=√x

f ( x )=ln (x ) f ( x )=ex f ( x )=x3

As funções trigonométricas são importantes e por isso devem ser estudados no

Ensino Médio. Deve-se discutir o modelo periódico. Apresentar o círculo

trigonométrico, as relações no triângulo retângulo e as funções trigonométricas: seno,

cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Veja exemplo a seguir da função:

f ( x )=sen (x).

f ( x )=cos (x )

Outro exemplo de função trigonométrica, no winplot, é a função:

f (x)=tan(x )

É recomendável que o aluno seja apresentado a diferentes modelos, tomados em

diferentes áreas do conhecimento (queda livre de um corpo, movimento uniforme e

uniformemente acelerado, crescimento de uma colônia de bactérias, quantidade de

medicamento na corrente sanguínea, rendimentos financeiros, consumo doméstico de

energia elétrica, etc.). Sempre que possível, os gráficos das funções devem ser traçados

a partir de um entendimento global da relação de crescimento/decrescimento entre as

variáveis.

As funções trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões

trigonométricas então definidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. Os alunos

devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui

se entendendo que, quando se escreve f (x)=sen (x), usualmente a variável x

corresponde à medida de arco de círculo tomada em radianos.

O estudo das demais funções trigonométricas pode ser colocado em segundo

plano, caso seja uma decisão da escola. Importante salientar que o currículo escolar,

bem como o que deve ser trabalhado no Ensino Médio, é resultado das discussões que

ocorrem na comunidade escolar, em reuniões de toda a comunidade escolar, nas

reuniões de professores, nas reuniões por área de conhecimento. Entendendo que a

comunidade escolar é formada pelos professores, alunos, direção, pais e funcionários da

escola.

As funções polinomiais do tipo f ( x )=x n podem ter gráficos esboçados por meio

de uma análise qualitativa da posição do ponto (x , xn) em relação à reta y=x , para isso

comparando-se x e xn nos casos 0<x<1 ou x>1 e usando-se simetria em relação ao eixo

x ou em relação à origem para completar o gráfico. Funções polinomiais mais gerais de

grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que se apresentam nos traçados de

gráficos, quando não se conhecem os “zeros” da função. Importante trabalhar, com os

estudantes do Ensino Médio, casos em que a função polinomial se decompõe em um

produto de funções polinomiais de grau 1.

Dentre as aplicações da Matemática, tem-se o interessante tópico de Matemática

Financeira como um assunto a ser tratado quando do estudo da função exponencial –

juros e correção monetária fazem uso desse modelo. Nos problemas de aplicação em

geral, é preciso resolver uma equação exponencial, e isso pede o uso da função inversa

– a função logaritmo.

Observe um exemplo de um problema a seguir.

Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela

expressão: N (t )=1200× 20,4 t . Quanto tempo após o início do experimento a cultura

terá 19200 bactérias?

N (t )=1200× 20,4 t N (t )=192001200 ×20,4 t=1920020,4 t=192001200 20,4 t=16

20,4 t=24

0,4 t=4

t= 40,4 t=10 h A cultura terá 19200 bactériasapós 10h .

O trabalho de resolver equações exponenciais é pertinente quando associado a

algum problema de aplicação em outras áreas de conhecimento, como Química,

Biologia, Matemática Financeira, etc.

Apresenta-se um exemplo de Matemática Financeira com o uso de função

exponencial.

A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição

bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.

a) Qual será o saldo no final de 12 meses?

b) Qual será o montante final?

Fórmula dos juros bancários: M=C (1+i )t 

Onde: C = capital; M = montante final; i = taxa unitária; t = tempo de aplicação

a) Após 12 meses.

Resolução: M = ?; C = 1200; i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária); t = 12 meses

M=1200 (1+0,015 )12M=1200 (1,015 )12M=1200(1,195618)M=1.434,74

Após12meses eleterá um saldo de R $1.434,74 .b) Montante final

Resolução: M = ?; C = 1200; i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária); t = 6 anos = 72 meses

M=1200 (1+0,015 )72

M=1200 (1,015 )72M=1200(2,921158)M=3.505,39

Após 6anos ele terá um saldode R $ 3.505,39

As progressões aritmética e geométrica podem ser definidas como,

respectivamente, funções afim e exponencial, em que o domínio é o conjunto dos

Números Naturais. Não devem ser tratadas como um tópico independente, em que o

aluno não as reconhece como funções já estudadas. Importante apresentar sequências

para o estudante determinar o termo geral, achar termos dentro da sequência. Além

disso é importante apresentar problemas envolvendo progressões.

A seguir apresenta-se exemplo de uma situação para utilizar com os estudantes

do Ensino Médio.

Ao representar-se uma sequência numérica, devem-se colocar seus elementos

entre parênteses. Exemplos de sequências numéricas:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) é uma sequência de números pares positivos.

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...) é uma sequência de Números Naturais.

(10, 20, 30, 40, 50...) é uma sequência de números múltiplos de 10.

(10, 15, 20, 30) é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e

menores que 35.

Importante que os estudantes determinem os termos gerais de uma sequência, por

exemplo o termo geral da sequência dos números pares é 2 n e dos números ímpares é

2 n−1 ou2 n+1.

O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da

capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-

se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer

propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida.

Esse estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a

geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. O trabalho de representar

as diferentes figuras planas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, deve ser

aprofundado e sistematizado nesta etapa de escolarização.

Em relação às grandezas geométricas, as atividades propostas deverão

proporcionar a consolidação dos conceitos aprendidos nas etapas anteriores, como área,

perímetro e volumes. Nessa fase, o aluno já apresenta as condições necessárias para a

compreensão de certas demonstrações que resultem em algumas fórmulas, por exemplo,

a área do círculo. Quanto ao trabalho com comprimentos, áreas e volumes, considera-se

importante que o aluno consiga perceber os processos que levam ao estabelecimento das

fórmulas, evitando-se a sua simples apresentação.

O Princípio de Cavalieri deve ser tomado como ponto de partida para o estudo

de volumes de sólidos (cilindro, prisma, pirâmide, cone e esfera), permitindo ao aluno

compreender o significado das fórmulas.

Relembrando o Princípio de Cavalieri no exemplo a seguir.

Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que

criou um método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos, denominado princípio

de Cavalieri. Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma

altura tenha volumes iguais se as secções planas de alturas iguais possuírem a mesma

área. 

Considerando dois planos horizontais α e β paralelos, sendo que α seccionará

dois sólidos S1e S2 . O plano α determinará nos sólidos duas seções planas indicadas

por α ∩ S1 e α ∩ S2.

Se para qualquer plano horizontal α, ocorrer α ∩ S1 = α ∩ S2, isto é, possuírem a

mesma área, os volumes dos sólidos S1 e S2 serão iguais, constituindo o princípio de

Cavalieri. 

A geometria proposta por Cavalieri foi o primeiro passo rumo ao cálculo

infinitesimal, pois essa nova geometria ponderava que toda figura plana seria formada

por retângulos de largura infinitesimal, chamados por Galileu de indivisíveis. Dessa

forma, pode-se concluir que se duas figuras planas comprimidas entre retas paralelas

formam uma relação constante, as áreas das figuras também possuem a mesma relação. 

No trabalho com as áreas das superfícies de sólidos, é importante recuperar os

procedimentos para determinar a medida da área de alguns polígonos, facilitando a

compreensão das áreas das superfícies de prismas e pirâmides. As expressões que

permitem determinar a medida da área das superfícies do cilindro e do cone podem ser

estabelecidas facilmente a partir de suas planificações, veja exemplos no livro de

Estágio em Matemática II.

A geometria analítica tem origem em uma ideia muito simples, introduzida por

Descartes no século XVII, mas extremamente original: a criação de um sistema de

coordenadas que identifica um ponto P do plano com um par de números Reais (x , y ) .

Segundo o MEC (2006) partindo-se disso, podemos caracterizá-la como: a) o estudo das

propriedades geométricas de uma figura com base em uma equação (nesse caso, são as

figuras geométricas que estão sob o olhar da álgebra); b) o estudo dos pares ordenados

de números (x, y) que são soluções de uma equação, por meio trabalho com a geometria

analítica permite a articulação entre geometria e álgebra. Para que essa articulação seja

significativa para o aluno, o professor deve trabalhar as duas vias: o entendimento de

figuras geométricas, via equações, e o entendimento de equações, via figuras

geométricas. A simples apresentação de equações sem explicações fundadas em

raciocínios lógicos deve ser abandonada pelo professor (MEC, 2006).

Segundo o MEC (2006) memorizações excessivas devem ser evitadas; não vale

a pena o aluno memorizar a fórmula da distância de um ponto a uma reta, já que esse

cálculo, quando necessário, pode ser feito com conhecimento básico de geometria

analítica (retas perpendiculares e distância entre dois pontos).

Uma vez definido o sistema de coordenadas cartesiano, é importante trabalhar

com os alunos o significado de uma equação. Por exemplo: fazê-los entender que a

equação x = 3 corresponde a uma reta paralela ao eixo y ou que qualquer ponto que

tenha segunda coordenada negativa não pode estar na curva y = x2 (MEC, 2006)

Entendido o significado de uma equação, deve-se iniciar o estudo das equações

da reta e do círculo. Essas equações devem ser deduzidas, e não simplesmente

apresentadas aos alunos, para que, então, se tornem significativas, em especial quanto

ao sentido geométrico de seus parâmetros. As relações entre os coeficientes de pares de

retas paralelas ou coeficientes de pares de retas perpendiculares devem ser construídas

pelos alunos. Posições relativas de retas e círculos devem ser interpretadas sob o ponto

de vista algébrico, o que significa discutir a resolução de sistemas de equações. Aqui

estamos tratando do entendimento de formas geométricas via álgebra.

A resolução de um sistema 2X2 de duas equações e duas variáveis pode ser

associada ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. Com operações

elementares simples, pode-se determinar a existência ou não de soluções desse sistema,

o que significa geometricamente os casos de intersecção/coincidência de retas ou

paralelismo de retas. A resolução de sistemas 2X3 ou 3X3 também deve ser feita via

operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes

situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução) (MC,

2006).

Para dar aos alunos uma visão apropriada da importância dos modelos

probabilísticos no mundo de hoje, é importante que os alunos tenham oportunidade de

ver esses modelos em ação. Por exemplo, é possível simular o que ocorre em certa

pesquisa de opinião estimando, com base em uma amostra, a fração de balas de

determinada cor em uma caixa. O estudo da estatística viabiliza a aprendizagem da

formulação de perguntas que podem ser respondidas com uma coleta de dados,

organização e representação. Durante o Ensino Médio, os alunos devem aprimorar as

habilidades adquiridas no ensino fundamental no que se refere à coleta, à organização e

à representação de dados (MEC, 2006)

Recomenda-se um trabalho com ênfase na construção e na representação de

tabelas e gráficos mais elaborados, analisando sua conveniência e utilizando

tecnologias, quando possível. Problemas estatísticos realísticos usualmente começam

com uma questão e culminam com uma apresentação de resultados que se apoiam em

inferências tomadas em uma população amostral.

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de tabela que pode ser construídos pelos

estudantes do Ensino Médio. Salienta-se que a leitura e interpretação dos dados são

fundamentais neste estudo.

Usando Microsoft Office Excel 2007, você pode criar um gráfico de barras.

Muito parecido com um gráfico de colunas, um gráfico de barras é útil para comparar os

pontos de dados em uma ou mais série de dados. Apresenta-se um exemplo de gráfico

de barras.

Fonte: Fictícia.

A Combinatória não tem apenas a função de auxiliar o cálculo das

probabilidades, mas tem inter-relação estreita entre as ideias de experimento composto a

partir de um espaço amostral discreto e as operações combinatórias. Por exemplo, ao

extrair aleatoriamente três bolas de uma urna com quatro possibilidades, esse

experimento aleatório tem três fases, que podem ser interpretadas significativamente no

espaço amostral das variações. A utilização do diagrama de árvores é importante para

clarear a conexão entre os experimentos compostos e a combinatória, pois permite que

visualizemos a estrutura dos múltiplos passos do experimento. Ao estudar probabilidade

e chance, os alunos precisam entender conceitos e palavras relacionadas à chance,

incerteza e probabilidade, que aparecem na nossa vida diariamente, particularmente na

mídia. Veja exemplo de como trabalhar com os conteúdos de análise Combinatória no

livro de Estágio em Matemática II, do curso de Matemática EAD da ULBRA.

Outras ideias importantes incluem a compreensão de que a probabilidade é uma

medida de incerteza, que os modelos são úteis para simular eventos, para estimar

probabilidades, e que algumas vezes nossas intuições são incorretas e podem nos levar a

uma conclusão equivocada no que se refere à probabilidade e à chance (MEC, 2006).

Nas situações e nas experiências aleatórias, os estudantes precisam aprender a descrevê-

las em termos de eventualidades, associá-las a um conjunto de eventos elementares e

representá-las de forma esquemática.

Importante, também, que o professor trabalhe conceitos que podem ser

explorados para as feiras de Matemática, oficinas para aulas fora do horário de sala de

aula, laboratórios de Matemática. Buscando trabalhar as aplicações da Matemática, o

aspecto artístico e lúdico. Segundo o MEC (2006) um exemplo pode ser: “o estudo das

curvas cônicas como lugar geométrico de pontos (elipse, parábola e hipérbole),

acompanhado de suas equações”. Podem-se, com isso, explicar os princípios de

funcionamento de uma antena parabólica, dos espelhos hiperbólicos usados em

telescópios e dos espelhos elípticos. Outro exemplo pode ser o estudo de poliedros, o

Teorema de Euler e a classificação dos poliedros platônicos com a construção dos

poliedros, via planificações feitas com régua e compasso, pode ser uma atividade de

grande satisfação estética ou co o uso do software Poly.

Veja exemplo a seguir

Outro tópico de natureza interdisciplinar que pode ser interessante é o estudo de

fenômenos que têm registro em escala logarítmica: idade fóssil, intensidade de um abalo

sísmico, intensidade de um som. Pode ser bastante interessante levar para a sala da aula

a discussão de brilhantes ideias geométricas que resolveram certos problemas na

Antiguidade. Veja exemplo a seguir.

Segundo o MEC (2006) a exploração de problemas clássicos é recomendado: o

cálculo do raio da Terra, feito por Eratóstenes no século III a.C.; a solução de Eupalinos

na construção de um túnel, 2.500 anos atrás; os diferentes cálculos astronômicos na

Grécia antiga, tais como as distâncias relativas entre Terra, Lua e Sol. O estudo de

diferentes sistemas de coordenadas para o plano e o espaço (cartesianas, polares,

esféricas), e de construção de algumas curvas e superfícies, provoca um pensamento

matemático generalizador ao ir além do até então restrito universo de retas, círculos e

curvas, que são gráficos de funções reais, de variável real. Espirais, cilindros, cones,

esferas, parabolóides, hiperbolóides são formas geométricas que passam a ser descritas

em sistemas de coordenadas, via curvas parametrizadas, superfícies de revolução,

gráficos de funções de duas variáveis.

Por outro lado, segundo o MEC (2006), podem-se explorar as conexões entre as

operações com números complexos e as transformações geométricas no plano. Outros

tipos de problemas poderiam ser trabalhados na escola – são aqueles relativos a

conjuntos finitos e com enunciados de simples entendimento relativo, mas não

necessariamente fáceis de resolver.

Os Temas que estão indicados nos livros didáticos para o Ensino Médio são os

listados a seguir.

- Conjuntos

- Funções

- Sequências, progressão aritmética, progressão geométrica

- Trigonometria

- Funções trigonométricas

- Geometria Espacial

- Matrizes e Determinantes

- Sistemas Lineares

- Análise Combinatória

- Números Complexos

- Polinômios

- Estatística e Probabilidade

- Matemática Financeira

Salienta-se que cabe a cada escola e ao grupo de professores, em reuniões

sistemáticas, discutirem e optarem pela organização das temáticas em cada ano letivo do

Ensino Médio, discutindo a ênfase que deve ser dado em cada temática e os subitens

que serão desenvolvidos, bem como, as metodologias que deverão ser aplicados em

cada temática.

Referências

MEC. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, 2002. BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio – orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC, 2002. BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Explorando o ensino da Matemática: artigos. Vol. 3. Brasília: MEC, 2004. CÂMARA, Marcelo. Algumas concepções

MEC. Secretaria de Educação Básica. – Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 135 p. (Orientações curriculares para o Ensino Médio ; volume 2) ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO, Volume 3: Ciências Humanas e suas Tecnologias.