Instituto Galeno Raciocínio Lógico / Prof.: George Fontenelle

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Prof. George Fontenelle

RACIONCINIO LÓGICO

Unidade II: Operações com Conjuntos c/ 25 questões de provas do CESPE

1. FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS CONJUNTOS Conjunto: representa uma coleção de objetos Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 1.1. Conjunto Unitário É todo conjunto que possui um só elemento. 1.2. Conjunto Vazio: É o conjunto que não possui elementos. Representamos o conjunto vazio por { } ou ∅ 1.3. Conjunto Universo: É o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar 1.4. Relação de Pertinência: (∈)

Para indicar que um elemento a pertence a um conjunto A.

Dados um elemento x qualquer e um conjunto A, para indicarmos que: -x é um elemento de A, escreve-se x ∈ A (lê-se: x pertence a A)

-x não é um elemento de A, escreve-se x ∉ A (lê-se: x não pertence a A) 1.5. Conjunto das Partes Quando vamos escrever os subconjuntos de um dado conjunto A devemos incluir os conjuntos ∅ e A. Por exemplo, seja A = {a, e, u}. São seus subconjuntos: P(A) = {∅; {a}; {e}; {u}; {a, e}; {a, u}; {e, u}; {a, e, u}}. Obs: número de subconjuntos: 2

n

Notamos então, que A tem 3 elementos e formamos 8 subconjuntos. De modo geral, se um conjunto tem n elementos, então ele tem 2

n subconjuntos.

2.OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 2.1. União de Conjuntos: ( ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}. Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A e do conjunto B. Propriedades a) A ∪ A = A b) A ∪ φ = A c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A ∪ U = U , onde U é o conjunto universo

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,

p q

2.2. Intersecção de Conjuntos

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Exemplo: {0,2,4,5} ∩ { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção "p e q" corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

p q

Propriedades: a) A ∩ A = A b) A ∩ ∅ = ∅ c) A ∩ B = B ∩ A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo. e) A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva) f) A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva) g) A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção) h) A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção) Obs: Se A ∩ B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. Esse caso equivale ao conectivo de Disjunção Exclusiva (ou A ou B): 2.3. Diferença de Conjuntos Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades: a) A - φ = A b) φ - A = φ c) A - A = ∅

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d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa) 2.4. Subconjuntos – Inclusão Se cada elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B, ou que é parte de B, e indicamos tal fato pelo símbolo: A ⊂ B que se lê, o conjunto A está contido no conjunto B, ou ainda B ⊃ A que se lê, o conjunto B contém o conjunto A. Caso exista ao menos um elemento de A que não pertença a B, então a sentença A ⊂ B é falsa; nesse caso devemos escrever A ⊄ B que se lê: A não está contido em B, ou então B ⊅ A que se lê: B não contém A. Propriedades 1. ∅ ⊂ A (o conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto, inclusive dele mesmo); 2. A ⊂ A (propriedade reflexiva); 3. Se A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B (propriedade anti-simétrica); 4. Se A ⊂ B e B ⊂ C ⇔ A ⊂ C (propriedade transitiva). Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): p q

Exercícios 01- Considerando o conjunto A ={1,3,5} , B = {2,5} , C = {1} e D= {{1}, 2} marque com C os itens corretos e E os itens errados: a) A U B = {1,2,3,5,5} ( ) b)A ∩ B = {5} ( ) c) A – B = {1,3} ( ) d) Todo A é B ( ) e) C ∈ A ( ) f) Algum A não é C( ) g) C ⊂ A( ) h) A – Ø = A( ) i) Nenhum B é C( ) j) Ø ∈ C( ) k) C- C= {1} ( ) l) Algum A é B( ) m) n(A ∪ B) = 5 elementos( ) n) 3 ⊂ A ( ) o) Ø ⊂ U ( )

p) 0 ∉ A ( ) q) B ⊄ A r) C ⊃ A s) A ⊃ C ( ) t) {2} ⊂ B ( ) u) {1} ⊂ D ( ) v) {1} ∈ D ( ) x) {{2}} ∈ D ( ) w) {{2}} ⊂ D ( ) z) A ∩ B ∩ C ∩ D = Ø

02. Considere um sistema de conjuntos igual o da figura abaixo. Represente neste diagramas os seguintes itens:

a) A U B b) C U A c) B ∩ C d) A ∩ C e) A ∩ U f) A - B g) C – B h) (A U B) ∩ C i) (B U C) ∩ A j) (B U C) – (A U C) k) (A ∩ B) – (A ∩ C) l) (B ∩ C) U (A ∩ C) m) (A ∩ B) U (C ∩ B) 2.5. Conjunto Complementar Se tivermos dois conjuntos, A e B, de modo que B ⊂A, chama-se conjunto complementar de B em relação a A ou simplesmente complemento de B em A a diferença A – B.

Indicamos por e lemos “complementar de B em A” . Exemplo.: A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6}

= A-B={___,___,___,___}

A∖B={x:x∈A ∧ x∉B}

Exemplos

{1,2,3}∖{1,2}={3};

{1,2}∖{1,2,3}=∅. Exercício 03. Tendo-se A= {0,1,3,4,5} e B= { 0,1,3}., qual o complementar de A em B. Represente o diagrama.

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7. Número de elementos da união de dois ou mais conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Obs: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido como cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A ∪ B) , podemos escrever a seguinte fórmula:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 8.Igualdade entre Conjuntos Um conjunto A será igual a um conjunto B, se ambos possuírem os mesmos elementos. Exemplo Seja A o conjunto das vogais da palavra BOLA: A = {o, a}, e seja B o conjunto das vogais da palavra BANCO: B = {a, o}. É fácil ver que A = B (a ordem em que escrevemos os elementos não importa). Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.

Exercício 04 Uma avaliação contendo duas questões foi dada a 200 alunos. Sabendo que: 50 alunos acertaram as duas questões, 100 alunos acertaram a primeira questão e 99 alunos acertarem a segunda questão. Quantos alunos erraram as 2 questões? 05. Um levantamento sócio econômico entre 200 famílias de um revelou que: 34 têm casa própria, 44 têm automóvel e 16 tem os dois. Qual o número dessas famílias que não tem casa própria nem automóvel? 06. Em uma pesquisa entre 1000 leitores de jornal, 780 afirmaram ler o jornal A e 460 afirmaram ler o jornal B. O número de entrevistados que disseram gostar de futebol e, também, de vôlei foi: a) 240 b) 260 c) 380 d) 300 e) 320 07. Em um grupo de 30 crianças observou-se que todas gostam de pelo menos um esporte. 20 gostam de natação e 15 gostam de caratê. Quantas crianças gostam dos dois esportes? 08. Uma empresa oferecia vagas de emprego nos estados de São Paulo e Rio de Janeiro. Os candidatos pré-selecionados poderiam escolher um ou os dois estados em que tivessem interesse em trabalhar. Sabe-se que 26 pessoas escolheram São

Paulo, 12 optaram pelos dois estados e 20 escolheram apenas um dos dois estados. O número de candidatos pré-selecionados foi: a) 32 b) 34 c) 40 d) 46

Premissa Diagrama

Todo A é B

Algum A é B

Algum A não é B

Nenhum A é B

09. No diagrama abaixo, todo individuo que possui a característica A estará representado dentro de um círculo A e quem não tem a característica estará fora do círculo A. Analogamente, estará dentro do círculo B todos os que têm a característica de B e estarão dentro de C todos os que têm a característica C.

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Nesse caso, a região sombreada indicará todos os indivíduos que: a) não tem nenhuma das três características b) tem pelo menos uma das três características c) tem apenas uma das três características d) tem duas das três características e) tem as três características.

(CESPE-2014-CADE)Comando para as questões 10 e 11

Em uma escola, uma pesquisa, entre seus alunos, acerca de

práticas esportivas de futebol, voleibol e natação revelou que

cada um dos entrevistados pratica pelo menos um desses

esportes. As quantidades de alunos entrevistados que praticam

esses esportes estão mostradas na tabela abaixo.

Com base nas informações e na tabela acima, julgue os

próximos itens.

10.Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 dessas

atividades esportivas ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

11.Entre os alunos, 20 praticam voleibol e natação, mas não

jogam futebol ⃝ CERTO ⃝ ERRADO (2015-STJ)Comando para as questões 12 e 13 Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três disciplinas optativas para alunos do quinto semestre: Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado Empresarial (EME). Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades: 70 em INT; 45 em MAP; 60 em EME;

25 em INT e MAP; 35 em INT e EME; 30 em MAP e EME; 15 nas três disciplinas. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 12. A quantidade de alunos que se matricularam apenas na disciplina MAP é inferior a 10. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO 13. Os dados disponíveis são insuficientes para se determinar a quantidade de alunos que não efetuaram matrícula em nenhuma das três disciplinas. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

(CESPE-2013-TCE-RO-Analista de Informática) Comando para as questões 14, 15, 16 e 17. A respeito das auditorias realizadas pelos auditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, concluiu-se que: • A1 realizou 70 auditorias; • A3 realizou 75 auditorias; • A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias; • A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias; • A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias; • das auditorias que não foram realizadas por A1, somente 18 foram realizadas por A2; • A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 14. Mais de 100 auditorias foram realizadas. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

15. 23 auditorias não foram realizadas por A1. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

16. 5 auditorias foram realizadas apenas por A3. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

17. 20 auditorias foram realizadas apenas por A1. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

18. (2011- CESPE-IFB) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que:

120 crianças tomaram as três doses; 130 tomaram a primeira e a segunda dose; 150 tomaram a segunda e a terceira dose; 170 tomaram a primeira e a terceira dose; 270 tomaram a primeira dose; 220 tomaram a segunda dose; 50 não tomaram nenhuma das três doses.

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Outra pergunta dessa mesma enquete era referente à vacina BCG, cuja dose é única. De acordo com os dados acima, julgue os itens que se seguem. Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO 19.(CESPE-2014-ANTAQ) Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas apresentou o seguinte resultado: • 5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; • 1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; • 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros; Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que as 600 empresas pesquisadas se enquadram em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. O número de empresas que atuam somente no mercado de transporte fluvial de passageiros é superior ao número de empresas que não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO 20.(2014-Polícia Federal-Agente Administrativo) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO (CESPE-2013- MPU) Comando para as questões 21, 22 e 23) Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I — planejamento estratégico institucional — e da atividade II — realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados — revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue o item que se segue. 21. Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas atividades é superior a 20. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO 22. A quantidade máxima de técnicos desse grupo que não gosta de nenhuma das duas atividades é inferior a 7. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO 23.Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25 técnicos gostam das duas atividades. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

24. (CESPE-2013-MPOG) Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masculino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. Considerando que os empregados entrevistados dessa empresa pratiquem tênis ou ciclismo e que, na entrevista, tenha sido constatado que 30 funcionários gostam de praticar tênis e 28 gostam de ciclismo, é correto afirmar que a quantidade de empregados dessa empresa que gostam de praticar tênis e ciclismo é maior que 10. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

25.(2014-SUFRAMA) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. Se A e B forem subconjuntos de Ω, tais que A ⊂B, então 0 ≤ S(A) ≤ S(B) ≤ 55. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

26.(2014-SUFRAMA) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a

soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse

sentido, julgue o item a seguir.

Se A⊂Ω , e se Ω\A é o complementar de A em Ω , então

S(Ω\A) = S(Ω) – S(A). ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

(2013-PC-DF) Comando para a questão 27, 28 e 29

O Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA) divulgou, em

2013, dados a respeito da violência contra a mulher no país.

Com base em dados do Sistema de Informações sobre

Mortalidade, do Ministério da Saúde, o instituto apresentou

uma estimativa de mulheres mortas em razão de violência

doméstica.

Alguns dos dados apresentados nesse estudo são os seguintes:

▶ mais da metade das vítimas eram mulheres jovens, ou seja,

mulheres com idade entre 20 e 39 anos: 31% estavam na faixa

etária de 20 a 29 anos e 23% na faixa etária de 30 a 39 anos;

▶ 61% das vítimas eram mulheres negras;

▶ grande parte das vítimas tinha baixa escolaridade: 48%

cursaram até o 8.º ano.

Com base nessas informações e considerando que V seja o

conjunto formado por todas as mulheres incluídas no estudo do

IPEA; A ⊂ V, o conjunto das vitimas jovens; B ⊂ V, o conjunto

das vitimas negras; e C ⊂ V, o conjunto das vítimas de baixa

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escolaridade — vítimas que cursaram até o 8.º ano —, julgue o

item que se segue.

27.Se V\C for o conjunto complementar de C em V, então

(V\C) ⋂ A será um conjunto não vazio. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

28.Se 15% das vítimas forem mulheres negras e com baixa escolaridade, então V = B ⋃ C. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

29. Se V\A for o conjunto complementar de A em V, então

46% das vítimas pertencerão a V\A ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

30.( 2013-CNJ-Técnico Judiciário - Programação de Sistemas)

A tabela acima mostra o quadro de servidores dos

setores de telefonia, reprografia e protocolo de uma repartição

pública, por faixa etária, em anos. Sabe-se que sempre que um

dos servidores da telefonia não estiver trabalhando em sua

função, um dos servidores do protocolo o substituirá; sempre

que um dos servidores do protocolo não estiver trabalhando em

sua função, um dos servidores da reprografia o substituirá; e

não há previsão para substituição de servidores da reprografia.

Julgue os itens seguintes, acerca dos servidores dessa

repartição.

Se os conjuntos A, B e C são tais que A = {servidores dos três

setores com idade maior ou igual a 45 anos}, B = {servidores

do setor de protocolo} e C = {servidores do setor de

telefonia}, então, se Ac representa o conjunto dos servidores

dos três setores que não estão no conjunto A, o conjunto

Ac

∩ (B ∪ C) contém mais de 8 servidores. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

31.(2014-CESPE-Polícia Federal)

A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles

se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.

⃝ CERTO ⃝ ERRADO

32.(2008-CESPE-TRT - 5ª Região (BA)) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

33.(2010-CESPE-TRT - 21ª Região (RN) Considere que todos os 80 alunos de uma classe foram levados para um piquenique em que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre esses alunos, 42 comeram salada e 50 comeram frutas. Além disso, 27 alunos comeram cachorro-quente e salada, 22 comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 comeram os três alimentos. Sabendo que cada um dos 80 alunos comeu pelo menos um dos três alimentos, julgue o próximo item. Sessenta alunos comeram cachorro-quente. ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

(2010-CESPE-SERPRO) Comando para a questão 34 e 35 Os diagramas lógicos, também denominados diagramas de Euler- Venn, são utilizados como auxiliares na solução de problemas envolvendo conjuntos. São três os diagramas básicos.

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34. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. Considere os conjuntos dos políticos, dos advogados e dos católicos. Nesse caso, o diagrama seguinte pode ser usado para descrever a relação entre esses conjuntos.

⃝ CERTO ⃝ ERRADO

35. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

No Brasil, a relação entre eleitores, analfabetos e juízes

pode ser representada pelo seguinte diagrama.

⃝ CERTO ⃝ ERRADO

36. Questão - Numa escola 30% dos alunos falam inglês e 90% falam francês. Qual a porcentagem de alunos que falam as duas línguas? a) 40% b) 10% c) 20% d) 60% ⃝ CERTO ⃝ ERRADO

37. Questão - 3 jornais A, B e C são publicados em uma cidade e

uma pesquisa recente entre os leitores indica o seguinte: 20%

leem A; 26% B; 14% C; 8% A e B; 5% A e C; 4% B e C; 2% A, B e C.

Para um leitor escolhido ao acaso, calcule a porcentagem de

quem:

a) não leia qualquer dos jornais;

b) leia só um dos jornais;

c) A e B se souber que ele lê ao menos 1 jornal