Para Computação
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Para Computação
Aula de Monitoria – Prova 12011.2
oAlberto TrindadeoGisely Meloo José Araújo
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Roteiro
• Crescimento de Funções
• Inclusão-Exclusão
• Indução Matemática
• Definições Recursivas
• Teorema Binomial
• Triângulo de Pascal
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Crescimento de Funções
NOTAÇÃO NOMEO(xx) ordem exponencialO(x!) Ordem fatorialO(cx) ordem exponencialO(xc) Ordem polinomial
O(x · log x) ordem linear-logarítmica
O(x) ordem linearO(log x) ordem logarítmica
O(1) ordem constante
A letra c denota uma constante qualquer
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
Retire todas as Constantes: f(x): 3x2 + 9f(x): x2 O(x2)
Fica sendo o big-O aquele que possuir maior expoente.
g(x) = 3x2 + 70x5
= x2 + x5 = x5 O(x5 )
reduzir os expoentes...h(x) = 3x2 + 70x5 + 10 x12/x4
= x2 + x5 + x12/x4
= x2 + x5 + x8 = x8
O(x8)
ampliar os expoentes...
r(x) = 3x2 + 70x5 + 5(x6 . x4)r(x) = x2 + x5 + (x6 . x4) = x2 + x5 + (x10) = (x10)
O(x10)
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
12n4 + 55 n3
78n2 + 10 n log n
log n + 240
O(n4) O(n5) O(n3)
O(n2) O(n5) O(n)
O(log n) O(n)
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
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Crescimento de Funções
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Crescimento de Funções
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Crescimento de Funções
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
E se aparecer um sinal de MENOS na equação?
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
o BIG–O é pra estimar o tempo que um algoritmo leva pra ser realizado..
Essas equações que vocês veem, é como se fosse a “soma dos tempos”. E não faz sentido aparecer tempo negativo na
equação...
Gisely Melo
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Inclusão-Exclusão
Gisely Melo
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Inclusão-Exclusão
Exemplo QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS
2 X 2 X 2 X 2 X 2 X 1
321/0 1/0 1/0 1/0 1/0 *
Esse valor vai depender do primeiro, logo nessa posição só vai ter uma opção: A QUE FOI COLOCADA NO PRIMEIRO QUADRADO
Gisely Melo
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Inclusão-ExclusãoExemplo
QUANTAS CADEIAS DE 8 BITS PODEMOS FORMAR DE MODO QUE ELAS SEJAM PALÍDROMOS?
2 X 2 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 1
16 CADEIAS
1/0 1/0 1/0 1/0 . . . .
Essas ultimas quatro posições vão procurar saber o que a correspondente a ela colocou...
Gisely Melo
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Inclusão-Exclusão
1) Encontre a quantidade de inteiros positivos que são menores ou iguais a 100 que ñ são divisíveis por 5 e por 7.
Por 5 Por 7
Por 5 e por 7
Calcularemos primeiro a quantidade de inteiros positivos:
De 1 até 100100 números
Depois Calcularemos a quantidade de inteiros positivos divisíveis por 5 e por 7:
{35, 70} = 2 números
Resposta100 – 2 = 98
Gisely Melo
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Inclusão-Exclusão
Exemplo:1) Quantas cadeias de tamanho 8 ou começam com o bit 1,
ou terminam com 2 bits 00?
1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0
1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0
1 1/0 1/0 1/0 1/0 1/0 0 0
Essa opção já esta incluída em A e em B
Gisely Melo
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Inclusão-Exclusão Exemplo : questão 5 da lista de vocês:
QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COM 4BITS “1” JUNTOS EXISTEM?
Gisely Melo
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Provar que a quantidade de subconjuntos de um conjunto finito S é .....
existem cadeias de bits de tamanho | S |. Logo, | P(S) |=
Inclusão-Exclusão
Gisely Melo
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6) Entre 100 pessoas quantas pelo menos nasceram no mesmo mês?
• Eu vou dividir 100 por 12 pra ver quantos grupos de 12 certinho eu consigo formar
• Depois percebo que da 8,333333?
RespostaFunção teto de: 8,333 = 9
Gisely Melo
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Crescimento de Funções
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Inclusão-Exclusão
Exemplo
QUANTAS CADEIAS DE 6 BITS COMEÇAM E TERMINAM COM BITS IGUAIS
Gisely Melo
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Indução matemática
1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n:
a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n²
b) - 1 é divisível por 7
Alberto Trindade
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Definições recursivas
2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se:
a) An = 5n – 3
b) An = n(n + 1)
c) An = n²
Alberto Trindade
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Definições recursivas e Indução matemática
Alberto Trindade
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Indução matemática
1ª) Use a indução matemática para provar que para qualquer inteiro positivo n:
a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n²
b) - 1 é divisível por 7
Alberto Trindade
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Definições recursivas
2ª) Dê uma definição recursiva para a seqüência {An}, n = 1, 2, 3, ... se:
a) An = 5n – 3
b) An = n(n + 1)
c) An = n²
Alberto Trindade
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Definições recursivas e Indução matemática
3ª) Seja o n-ésimo número de Fibonacci. Use indução matemática para provar que )² + )² + ... + )² = )² . )², sendo n um inteiro positivo.
Alberto Trindade
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Teorema binomial / Triângulo de Pascal
4ª) Prove, usando argumento combinatorial, que:
Ligeiro
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Teorema binomial / Triângulo de Pascal
5ª) Prove
a) Usando argumento combinatório
b) Usando identidade de Pascal
Ligeiro
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Teorema binomial / Triângulo de Pascal
6ª) ProveUse uma interpretação combinatória
Ligeiro