Painel 14 - Radiciação de Números Naturais

Painel -14 M SM – M anual S istem atizado de M atem ática R adiciação de núm eros naturais É a operação em que,dado um radicando e um índice,se calcula um a raiz,ou seja:dados a e b, núm eros naturais tais que b²= a,dizem os que b é a raiz quadrada de a. b a porque b²= a Term os 8 64 2 2 índice 64 radicando 8 raiz radical ( o sím bolo de radical, de largo emprego em Matemática, teve sua origem nas deform ações sucessivas da letra m aiúscula R, inicial da palavra radiz (raiz), com a qualos m atem áticos indicavam a raiz quadrada de um núm ero. Leitura de raízes 2 36 = 6 36 6 2 que se lê: A raiz quadrada de 36 é 6 equivale 6 elevado ao quadrado é iguala 36. 8 2 2 8 3 3 que se lê: A raiz cúbica de 8 é 2 equivale 2 elevado ao cubo é igual a 8. 16 2 2 16 4 4 que se lê: A raiz quarta de 16 é 2 equivale 2 elevado a 4 é igual a 16. Notas A radiciação é a operação inversa da potenciação 36 6 6 36 2 Q uando o índice é 2 costum a-se om ití-lo Exem plos: 25 25 36 36 2 2 O s núm eros que podem ser escritos com o potência de expoente 2 são denominados quadrados perfeitos . Somente esses núm eros têm com o raiz quadrada um núm ero natural,ou seja,eles possuem raiz quadrada exata. O quadro seguinte mostra alguns números naturais e seus quadrados ( quadrados perfeitos) n 1 2 3 4 5 6 7 2 n 1 4 9 16 25 36 49 N em todo núm ero natural é quadrado de outro. O número 8, por exemplo, não é quadrado de nenhum núm ero natural. A sequência de núm eros 1,8,27,64,etc. é cham ada sequência de cubos e é form ada porpotências de expoente 3: ,. 27 3 ; 8 2 ; 1 1 3 3 3 M étodo para determ inara raiz quadrada de um núm ero natural Vamos determinar a raiz quadrada de 576 a) D ecom pom os 576 em seus fatores prim os b) Escrevem os o núm ero em sua form a fatorada. 576 = 2 6 3 2 c) Tom am os os expoentes dos fatores prim os e dividim os por2 (quando par)cada um deles. 576 = 2 6 3 2 O expoente do fatorprim o 2 é 6 (6 :2 = 3 ) O expoente do fatorprim o 3 é 2 (2 :2 = 1 ) d) Escrevem os os fatores prim os com os novos expoentes e calculam os o seu produto. 24 3 8 3 2 1 3 Então dizem os que a raiz quadrada de 576 é 24, pois 24 x 24 = 24²= 576 Obs. Todo número que escrito em sua forma fatorada apresentar expoentes pares, será um quadrado perfeito, ou seja, terá raiz quadrada exata. Se em sua form a fatorada um dos fatores prim os apresentar expoente ímpar, o número não terá raiz quadrada exata, ou seja, não será um quadrado perfeito. Exem plo: 1 2 2 5 3 2 180 M étodo de H erão Herão, um m atem ático que viveu em Alexandria, no Egito,no século I,enunciou em um a obra um método que calcula a raiz quadrada aproximada de um núm ero. Se n = x ·y,então 2 y x n

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Painel - 14 MSM – Manual Sistematizado de Matemática

Radiciação de números naturais É a operação em que, dado um radicando e um índice, se calcula uma raiz, ou seja: dados a e b, números naturais tais que b² = a, dizemos que b

é a raiz quadrada de a.

ba porque b² = a

Termos

8642 2 índice 64 radicando 8 raiz

radical ( o símbolo de radical, de

largo emprego em Matemática, teve sua origem nas deformações sucessivas da letra maiúscula R, inicial da palavra radiz (raiz), com a qual os matemáticos indicavam a raiz quadrada de um número.

Leitura de raízes

2 36 = 6 3662 que se lê: A raiz quadrada de 36 é 6 equivale 6 elevado ao quadrado é igual a 36.

8228 33 que se lê: A raiz cúbica de 8 é 2 equivale 2 elevado ao cubo é igual a 8.

162216 44 que se lê: A raiz quarta de 16 é 2 equivale 2 elevado a 4 é igual a 16.

Notas A radiciação é a operação inversa da potenciação

366636 2 Quando o índice é 2 costuma-se omití-lo Exemplos:

2525

36362

Os números que podem ser escritos como potência de expoente 2 são denominados quadrados perfeitos . Somente esses números têm como raiz quadrada um número natural, ou seja, eles possuem raiz quadrada exata. O quadro seguinte mostra alguns números naturais e seus quadrados (quadrados perfeitos)

n 1 2 3 4 5 6 7 2n 1 4 9 16 25 36 49

Nem todo número natural é quadrado de outro. O número 8, por exemplo, não é quadrado de nenhum número natural. A sequência de números 1, 8, 27, 64, etc. é chamada sequência de cubos e é formada por potências de expoente 3:

,...273;82;11 333

Método para determinar a raiz quadrada de um número natural

Vamos determinar a raiz quadrada de 576

a) Decompomos 576 em seus fatores primos b) Escrevemos o número em sua forma fatorada.

576 = 26 32 c) Tomamos os expoentes dos fatores primos e dividimos por 2 (quando par) cada um deles.

576 = 26 32 O expoente do fator primo 2 é 6 ( 6 : 2 = 3 ) O expoente do fator primo 3 é 2 ( 2 : 2 = 1 ) d) Escrevemos os fatores primos com os novos expoentes e calculamos o seu produto.

243832 13 Então dizemos que a raiz quadrada de 576 é 24, pois 24 x 24 = 24² = 576

Obs. Todo número que escrito em sua forma fatorada apresentar expoentes pares, será um quadrado perfeito, ou seja, terá raiz quadrada exata. Se em sua forma fatorada um dos fatores primos apresentar expoente ímpar, o número não terá raiz quadrada exata, ou seja, não será um quadrado perfeito.

Exemplo: 122 532180

Método de Herão Herão, um matemático que viveu em Alexandria, no Egito, no século I, enunciou em uma obra um método que calcula a raiz quadrada aproximada de um número.

Se n = x · y, então 2

yxn

Por exemplo: