PROGRESSÃO

ARITMÉTICA Professora: Rosânia

EXISTEM VÁRIOS TIPOS DE SUCESSÕES E

SEQUÊNCIAS

• O ALFABETO

• AS VOGAIS

• SEQUENCIAS NUMÉRICAS

2, 10, 12, 16, 18, 19

QUAL É O PROXIMO NÚMERO DA

SEQUENCIA?

2, 10, 12, 16, 18, 19, ....

O PROXIMO NÚMERO

DA

SEQUENCIA?

2, 10, 12, 16, 18, 19, ....

200 COMEÇA COM A LETRA D.

NÃO É PROGRESSÃO ARITMÉTICA

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

• É uma sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é

igual ao termo anterior somado a uma constante chamada

RAZÃO.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

EX: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ,16

1º TERMO = 2

2º TERMO = 4

3º TERMO = 6

......

VARIAÇÃO DE 2 EM 2 - CHAMADA DE

RAZÃO DA SEQUÊNCIA

CLASSIFICAÇÃO P.A. crescente, onde a razão é um número

positivo, maior que zero

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 R = 2 > 0

P.A. decrescente, onde a razão é um número negativo ( no caso – 5)

10, 5, 0, -5, -10 R = -5 < 0

P.A. constante, onde a razão é zero

5, 5, 5, 5, 5, 5... R = 0

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

a1 é o primeiro termo da P.A.

a2 é o segundo termo da P.A.

a3 é o terceiro termo da P.A.

an é o último termo da P.A.

r é a razão da P.A.

n é o número de termo da P.A.

A P.A. pode ser finita ou infinita

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2,

a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos

que:

a2 = a1 + r

a3 = a1 + 2r

a4 = a1 + 3r

…

an = a1 + (n – 1) . r

TERMO GERAL DE UMA P.A

Ex: Calcule o 16º termo de uma

P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r ou a16 = a1 + 15r

a16 = -10 + (16 – 1) . 3

a16 = -10 + 15 . 3

a16 = -10 + 45

a16 = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

PROBLEMA:

Uma pessoa pretendendo melhorar seu

condicionamento físico inicia um sistema de

corridas diárias com um aumento de 400m por

semana no seu trajeto.

Na primeira semana foram completados 2 km.

Qual a distância percorrida na décima semana?

Uma pessoa pretendendo melhorar seu condicionamento físico inicia

um sistema de corridas diárias com um aumento de 400m por

semana no seu trajeto.

Na primeira semana foram completados 2 km.

Qual a distância percorrida na décima semana?

A10 = a1 + 9r

A10 = 2km + 9 . 400m

A10 = 2km + 3600m

A10 = 2000m + 3600m

A10 = 5 600m ou 5,6 km

SOLUÇÃO:

SIGNIFICADO DE INTERPOLAÇÃO

Ex: Numa estrada existem dois telefones

instalados no acostamento: um no km 6 e

outro no km 51. Entre eles serão colocados

mais 8 telefones. Mantendo-se entre dois

telefones consecutivos a mesma distância.

Determine em quais marcas quilométricas

deverão ficar esses telefones.

Km 6 ________________Km 51

8 telefones

a1 a10

a10 = a1 + 9r

51 = 6 + 9r

45 = 9r

r = 45/9 = 5

P.A. = 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A

Faça a soma desses termos de forma algébrica.

2+5+8+11+14+17+20+23 = 100

S8 = 100

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A

1, 2, 3, 4, ... 97, 98, 99, 100

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

4 + 97 = 101

a1 + a100 = 101

a2 + a99 = 101

Dos cem números FORMARAM-SE 50 pares

O resultado da soma de cada dois pares dá 101,

então:

101 x 50 = 5050

SOMA DOS TERMOS DE UMA P. A

Sn = (a1 + an) . n

2

Sn = soma dos n termos

a1 = é o primeiro termo

an = é o último termo

n = é o número de termos

1, 2, 3, 4, ... 97, 98, 99, 100 Sn = (a1 + an) . n

2

Sn = (1 + 100) . 100

2

Sn = (1 + 100) . 100

2

Sn = (101) . 100

2

Sn = 101 . 50 = 5050

EX: Em uma gincana, 20 caixinhas estão distribuídas ao

longo de uma pista retilínea, distantes 4m uma da outra.

Um competidor que se encontra a 5m da primeira

caixinha, deve correr até a primeira caixinha, pegar um

objeto e retornar ao ponto de partida. Em seguida ele vai

até a segunda caixinha retira um objeto e retorna ao

ponto de partida, e assim sucessivamente, até atingir a

vigésima caixinha. Quantos metros esse competidor

deverá percorrer para realizar a prova?

5 4 4 4

9

13

17

20ª

Analisar o percurso de ida e o de volta

4

Antes deve-se achar o vigésimo termo:

an = a1 + (n – 1) . r

a20 = a1 + 19 . r

a20 = 5 + 19 . 4

a20 = 5 + 76

a20 = 81

Último termo

s20 = (a1 + a20) . 20

2

Sn = (a1 + an) . n

2

s20 = (5 + 81) . 20

2

s20 = 86 . 20 = 1720 = 860m

2 2

Caminho de ida e volta multiplica por 2

860 x 2 = 1720 m

FÓRMULA DA RAZÃO

a2 – a1 = a3 – a2

Determine o valor de x, de modo que os números 3x -1, x+3 e

x+9 estejam, nessa ordem, e PA.

a1 a2

a3

x = ? a2 – a1 = a3 – a2

(x + 3) – (3x – 1) = (x + 9) – (x + 3)

x + 3 – 3x + 1 = x + 9 – x – 3

- 2x + 4 = 6

- 2x = 6 – 4

- 2x = 2

x = - 2/2

x = -1

PROPRIEDADE IMPORTANTE:

PA com três termos CONHECIDOS

Cada termo é igual à média aritmética dos

seus equidistantes

Aplicando a propriedade: o termo do meio é a

média dos vizinhos. (soma e divide por 2)

PROVA REAL DA QUESTÃO ANTERIOR

Substitui o valor encontrado no x da questão.

x + 5, 5x – 7, 4x + 1

9 13 17

Descubra qual o próximo termo.

PA com três termos DESCONHECIDOS

Ex: Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).

Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média

aritmética para resolver o problema.

Assim, sabemos que . Resolvendo a equação, temos:

Logo, a PA é .

E sua razão é .