P.A e P.G
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1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:
- Primeiro devemos coletar todas informações do problema: a1=5 r=11 a13=? - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:
a13 = 5 + (13 - 1).11 a13 = 5 + (12).11 a13 = 5 + 132 a13 = 137
2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:
a5 = a1 + (5 - 1).r 100 = a1 + (5 - 1).10 100 = a1 + 40 100 - 40 = a1
a1 = 60
3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:
a7 = a1 + (7 - 1).r Substituindo pelos valores 21 = a1 + 6r a9 = a1 + (9 - 1).r Substituindo pelos valores 27 = a1 + 8r Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:
a1 = 21 - 6r
Agora, substituindo na segunda:
27 = (21 - 6r) + 8r 27 = 21 + 2r 27 - 21 = 2r 6 = 2r 6/2 = r r = 3
4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
(A) 8a
(B) 7a
(C) 6a
(D) 5a
(E) 4a
- informações do problema: a1 = 23 r = -6 an = -13 n=?
- Substituindo na fórmula do termo geral: an = a1 + (n-1)r -13 = 23 + (n - 1).(-6) -13 - 23 = -6n + 6 -36 - 6 = -6n -42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42 n = 42/6 n = 7 Resposta certa letra "B
5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
(A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3 (D) 1/2 (E) 2
- Informações:
a1= 2x a2= x+1 a3= 3x
- Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
- Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1) x + 1 - 2x = 3x - x - 1 x - 2x - 3x + x= -1 - 1 -3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1) 3x = 2 x = 2/3 Resposta certa letra "B"
6) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?
- Informações do problema: a1=100 a30=187 n=30 S30=?
- Aplicando a fórmula da soma, temos:
S30 = (287) . 15 S30 = 4305
7) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:
- Informações do problema: a1=21 r=7 S12=?
- Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12. a12=a1+(12-1)7 a12=21+77 a12=98
- Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma: S12=(a1+a12)6 S12=(21+98)6 S12=119*6 S12= 714
8) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:
(A) 195 (B) 190 (C) 27 (D) 26 (E) 25
- Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só! - Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
- À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão). - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá S1=12+2.(1) S1=3 - Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3) - Se substituirmos "n" por 2, temos: S2=22+2.(2) S2=8
- Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1,logo: S2=a1+a2=8 3+a2=8 a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)ra13=3+(13-1)2a13=3+24a13=27 Resposta certa letra "C"
9) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:
(A) 1 (B) 2 (C) 3
(D) 4 (E) 5
- Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:
- Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:
a1=5 e a12=38 r=?
- Agora é só usar a fórmula do termo geral : a12=a1+(12-1)r 38=5+11r 38-5=11r 33=11r r=33/11 r=3 Resposta certa letra "C"
10) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
- Informações do problema: a1=112 an=250 r=23
- Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
- Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa é a letra "C"
12) (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao
intervalo:
a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação
da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
13) (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an,
em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …).
Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas
PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente
relacionada às duas progressões da seguinte forma: Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
14) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto
termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
15) Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine ntal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Progressão Geométrica Questão 1: A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.
Razão da progressão: 6 : 2 = 3
an = a1 * q n–1
a8 = 2 * 3 8–1
a8 = 2 * 3 7
a8 = 2 * 2187
a8 = 4374
Questão 2: (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o
restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao
pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00.
Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
an = a1 * q n–1
a2 = 4000
a4 = 1000
a2 = a1 * q
4000 = a1 * q
a1 = 4000 / q
a4 = a1 * q3
1000 = 4000 / q * q3
1000 / 4000 = q3 / q
1 / 4 = q2
√1/4 = √q2
q = 1/2
a1 = 4000 / 1/2
a1 = 4000 * 2
a1 = 8000
1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$ 500,00
Soma total das prestações: R$ 15 500,00
Entrada (valor do carro menos o total das prestações)
R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00
O valor da entrada foi de R$ 8 500,00
Questão 3: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1.
Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Questão 4: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24,
tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q,
com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96