Calculo IUnifesp - 1o semestre de 2013

Gabarito da P1 - noturno

1. Responda os itens sobre a funcao f(x) cujo grafico esta apresentado na figura abaixo.

(a) (2,0 pontos) Dentre as 10 afirmacoes, as seguintes sao verdadeiras:

i. f(x) e crescente no intervalo 5 < x < 10.

ii. E possıvel que f(x) apresente uma assintota vertical no domınio conside-rado.

iii. f(x) apresenta uma raiz.

iv. f(x) nao tem funcao inversa no domınio considerado.

(b) (0,5 ponto) Marque com um ’x’, na Figura 1, o(s) ponto(s) onde f ′(x) = 0.Resposta marcada na Figura.

2. Determine os limites a seguir:

(a) (0,5 ponto) limn→∞

(1 +

1

n

)n+3

= limn→∞

(1 +

1

n

)n

. limn→∞

(1 +

1

n

)3

= 3.(1)3 = e

(b) (0,5 ponto)limx→0

3

2−√

2x + 1=

3

2−√

1= 3 (substituicao direta)

(c) (0,5 ponto) limx→−2

x + 2√x2 + 5− 3

= limx→−2

x + 2√x2 + 5− 3

.

√x2 + 5 + 3√x2 + 5 + 3

=

limx→−2

(x + 2)(√x2 + 5 + 3)

x2 + 5− 9= lim

x→−2

(x + 2)(√x2 + 5 + 3)

x2 − 4=

limx→−2

(x + 2)(√x2 + 5 + 3)

(x + 2)(x− 2)= lim

x→−2

√x2 + 5 + 3

(x− 2)=

√4 + 5 + 3

−4= −3

2

(d) (1,0 ponto) Se x→ 1−, x < 1, entao |x− 1| = −(x− 1). Logo:

limx→1−

√2x(x− 1)

|x− 1|= lim

x→1−

√2x(x− 1)

−(x− 1)= lim

x→1−

√2x

−1= −√

2

3. Calcule a derivada das funcoes:

(a) (0,5 ponto)d

dx

(x + 1

x− 1

)=

1(x− 1)− (x + 1)1

(x− 1)2=

−2

(x− 1)2

(b) (0,5 ponto)d

dx(xsen(2x)) = 1.sen(2x) + x.cos(2x).2 = sen(2x) + 2x.cos(2x)

(c) (1,0 ponto)d

dx

(ln

(ex + 1

cos(x)

))=

1ex+1cos(x)

.d

dx

(ex + 1

cos(x)

)=

cos(x)

ex + 1.ex.cosx− (ex + 1)(−senx)

cos2(x)=

ex.cosx + (ex + 1)senx

cos(x).(ex + 1)

(d) (1,0 ponto) Calcule y′ para x3 + y3 = 2xyd

dx

(x3 + y3

)=

d

dx(2xy)

3x2 +d

dy

(y3).dy

dx= 2

d

dx(xy)

3x2 + 3y2.dy

dx= 2(1.y + x.

dy

dx)

dy

dx.(3y2 − 2x) = 2y − 3x2

dy

dx=

2y − 3x2

3y2 − 2x

4. (2,0 pontos) Encontre dois numeros cuja diferenca seja 100 e cujo produto seja omenor possivel.Diferenca entre dois numeros x e y: x− y = 100⇒ y = x− 100Produto entre os dois numeros: P = x.y = x.(x− 100) = x2 − 100x.A funcao P (x) deve ser minimizada. Para isso, derivamos P (x) e igualamos a deri-vada a zero:P ′(x) = 2x− 100P ′(x) = 0⇔ 2x− 100 = 0⇔ x = 50.x = 50 e um numero crıtico da funcao P (x). Para mostrar que este numero corres-ponde a um mınimo local da funcao P (x), uma das seguintes consideracoes podemser realizadas:

(a) x = 50 e um mınimo local porque o grafico de P (x) e uma parabola comconcavidade para cima, com vertice em x = 50.

(b) Teste da derivada segunda: P ′′(x) = 2 ⇒ P ′′(50) > 0. Logo, x = 50 e ummınimo local.

(c) Teste da derivada primeira: o sinal de P ′(x) muda de negativo para positivoem x = 50. Logo, x = 50 e um mınimo local.