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TAREFA 2 Quest˜ ao 1 (2,5 pontos) A torcida de um time de futebol tem hoje p 0 membros. A taxa anual de natalidade ´ e i, a mortalidade ´ e j e, al´ em disso, todo ano um n´ umero fixo de R torcedores desiste de vez. Se i>j , determine um modelo matem´atico que permita determinar o n´ umero de torcedores daqui a n anos. A torcida est´ a condenadaaextin¸c˜ao? Rpta. p n = p 0 - R i-j (1 + i - j ) n + R i-j . Para R>p 0 (i - j ) a torcida se extingue. Quest˜ ao 2 (2,5 pontos) Um casal de coelhos rec´ em-nascidos foi posto num lugar cercado. Estabele¸ca uma modelagem ma- tem´ atica para determinar quantos casais de coelhos ter-se-˜ ao ap´ os um ano, supondo que, a cada mˆ es, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal come¸ca a procriar dois meses ap´ os o seu nasci- mento. Rpta. O modelo ´ e dado pela equa¸c˜ ao de diferen¸cas x n = x n-1 + x n-2 ; x 1 = x 2 =1, onde x n representa o n´ umero de coelhos existentes no mˆ es n. x 12 = 144. Quest˜ ao 3 (2,5 pontos) Em um jogo, em cada etapa Ronaldo, pode fazer 1 ou 2 pontos. De quantos modos ele pode totalizar n pontos? Rpta. x n = 1 √ 5 1+ √ 5 2 n+1 - 1 √ 5 1- √ 5 2 n+1 , onde x n ´ e o modo de obter 2 ou 1 pontos no primiero jogo. Quest˜ ao 4 (2,5 pontos) Uma planta ´ e tal que cada uma de suas sementes produz, um ano ap´ os ter sido plantada, 21 novas sementes e, a partir da´ ı, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, estabele¸ ca uma modelagem matem´atica para saber quantas sementes ser˜ ao produzidas daqui a n anos? Rpta. O modelo matem´ atico ´ e dado por uma equa¸c˜ ao de diferencias na vari´avel x n , onde x n denota o n´ umero de sementes geradas no ano n. Resolvendo a equa¸c˜ao obtemos x n = 11 12 23 n + 1 12 (-1) n . 1
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TAREFA 2
Questao 1 (2,5 pontos)
A torcida de um time de futebol tem hoje p0 membros. A taxa anual de natalidade e i, a mortalidadee j e, alem disso, todo ano um numero fixo de R torcedores desiste de vez. Se i > j, determine ummodelo matematico que permita determinar o numero de torcedores daqui a n anos. A torcida estacondenada a extincao?
Rpta. pn =(p0 − R
i−j
)(1 + i− j)n + R
i−j . Para R > p0(i− j) a torcida se extingue.
Questao 2 (2,5 pontos)
Um casal de coelhos recem-nascidos foi posto num lugar cercado. Estabeleca uma modelagem ma-tematica para determinar quantos casais de coelhos ter-se-ao apos um ano, supondo que, a cada mes,um casal de coelhos produz outro casal e que um casal comeca a procriar dois meses apos o seu nasci-mento.Rpta. O modelo e dado pela equacao de diferencas
xn = xn−1 + xn−2; x1 = x2 = 1,
onde xn representa o numero de coelhos existentes no mes n. x12 = 144.
Questao 3 (2,5 pontos)
Em um jogo, em cada etapa Ronaldo, pode fazer 1 ou 2 pontos. De quantos modos ele pode totalizarn pontos?
Rpta. xn = 1√5
(1+√5
2
)n+1− 1√
5
(1−√5
2
)n+1, onde xn e o modo de obter 2 ou 1 pontos no primiero jogo.
Questao 4 (2,5 pontos)
Uma planta e tal que cada uma de suas sementes produz, um ano apos ter sido plantada, 21 novassementes e, a partir daı, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vezque uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, estabeleca uma modelagem matematicapara saber quantas sementes serao produzidas daqui a n anos?
Rpta. O modelo matematico e dado por uma equacao de diferencias na variavel xn, onde xn denota onumero de sementes geradas no ano n. Resolvendo a equacao obtemos xn = 11
1223n + 1
12(−1)n.
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